İŞaretler - slaytlar
DESCRIPTION
İŞARETLER VE SİSTEMLERTRANSCRIPT
Hafta 1:
İşaretler ve Sistemler
• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
• Bağımsız değişkenin dönüştürülmesi
• Üstel ve sinüzoidal işaretler
• İmpuls ve birim basamak fonksiyonları
• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Sistemlerin temel özellikleri
Ele Alınacak Ana Konular
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
• İşaretler bir olayın davranışı veya doğası hakkında bilgi içermektedir.
• İşaretleri çeşitli şekillerde ifade etmek mümkündür. İşaretler, matematiksel olarak
bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonu biçiminde temsil edilir.
• Örneğin, ses işareti zamanın fonksiyonu olarak akustik basınçla belirtilir. Benzer
şekilde, bir görüntü iki konum değişkeninin fonksiyonu olarak parlaklıkla
tanımlanır.
• Bu derste, aksi belirtilmediği sürece bir bağımsız değişkenli işaretleri inceleyecek
ve bağımsız değişkene ZAMAN diyeceğiz. Ancak, tüm fiziksel olaylarda
bağımsız değişkenin zaman olmadığı hatırda tutulmalıdır. Örneğin, meteorolojik
araştırmalarda yüksekliğe bağlı olarak hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızının
değişimi hakkında bilgi önemlidir. Bu durumda bağımsız değişken yüksekliktir.
İncelenen işaretler ise hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızıdır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
Bir ses kaydı. İşaret, “should we
chase” kelimlerini, zamana bağlı
olarak akustik basınç değişimleri
şeklinde temsil etmektedir. Üst satır
“should”, ikinci satır “we” ve son iki
satır “chase” kelimlerine karşılık
gelmektedir.
• Bu derste, sürekli-zaman ve ayrık-zaman şeklinde sınıflandırılan temel iki tür
işareti inceleyeceğiz. Sürekli-zaman işaret durumunda, bağımsız değişken
süreklidir ve dolayısıyla işaret bağımsız değişkenin tüm değerleri için tanımlıdır.
Diğer yandan, ayrık-zaman işartler sadece belirli zamanlarda tanımlıdır ve
bağımsız değişken ayrık değerler alır.
• Zamanın fonksiyonu olarak ses işareti ve yüksekliğin fonksiyonu olarak
atmosferik basınç sürekli-zaman işaretlere örnektir. İstanbul Menkul Kıymetler
Borsası (İMKB) haftalık endeksi ve dünyadaki ülkelere göre toplam nüfüs ayrık-
zaman işaretlere örnektir.
• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretlerini birbiriyle karıştırmamak amacıyla,
sürekli ve ayrık durumlarda bağımsız değişken için sırasıyla t ve n; işaretler için
de x(t) ve x[n] notasyonlarını kullanacağız.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
(a) Sürekli-zaman ve (b) ayrık-
zaman işaretlerinin grafik
gösterilimi. 2.5 kişiden oluşan bir
aile için ortalama kazançtan söz
etmenin anlamsız olması gibi bir
ayrık-zaman işaretinin 3.5. örneği
hakkında söz etmek de anlamlı
değildir. Bu yüzden, kaynağı ne
olursa olsun, ayrık-zaman
işaretlerinin n’nin tamsayı
değerleri için tanımlı olduğuna
dikkat ediniz.
• İşaretler çeşitli fiziksel olayları temsil edebilir. Çoğu uygulamada, ilgilenilen
işaret bir fiziksel sistemdeki güç ve enerjiyi belirten fiziksel büyüklüklerle
doğrudan ilişkilidir.
• Bir sürekli-zaman işareti x(t)’de t1 ≤ t ≤ t2 aralığında ve bir ayrık-zaman işareti
x[n]’de n1 ≤ n ≤ n2 aralığındaki TOPLAM ENERJİ, |x| sayının genliğini
göstermek üzere
ilişkilerinden hesaplanır. ORTALAMA GÜÇ, sonuçlar ilgili aralıkların boyuna
bölünür (sürekli durumda t2 - t1; ayrık durumda n2 - n1 + 1) elde edilir.
• Yukarıda verilen ilişkileri sonsuz aralık durumuna genelleştirmek mümkündür.
Aralığın sonsuza gitmesi limit durumunda ilgili tanımlar elde edilir:
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
2
1
2
1
22 |][|,|)(|t
t
n
nn
nxdttx
N
NnN
T
TT
N
NnN
T
TT
nxN
PdttxT
P
nxEdttxE
22
22
|][|12
1lim |)(|
2
1lim
|][|lim |)(|lim
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
• Enerji ve güç içeriğine göre işaretler üç sınıfa ayrılabilir.
• Sonlu enerjiye sahip (E∞ < ∞) işaretlere ENERJİ İŞARETİ denir. Enerji
işaretlerinin gücü sıfır olmalıdır. Bir örnek vermek gerekirse, [0,1] aralığında 1,
diğer zamanlarda sıfıra eşit olan bir sürekli-zaman işaretinin enerji işareti
olduğunu göstermek zor değildir.
• Sonlu güce sahip işaretlere (P∞ < ∞) GÜÇ İŞARETİ denir. Güç işaretlerinin
enerjisi sonsuz olmalıdır. Değeri 4 olan sabit bir ayrık-zaman işareti (tüm n
değerleri için x[n] =4) güç işaretidir.
• Diğer bir grup işaretler için ne enerji ne de güç sonlu bir değere sahiptir. x(t) = t
şeklinde bir işaret bu gruba girmektedir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
• İşaret ve sistem analizindeki önemli bir kavram bir işaretin dönüştürülmesidir.
• Örneğin, bir uçak kontrol sisteminde pilotun eylemlerine karşılık işaretler
elektriksel ve mekanik sistemler aracılığıyla uçağın hız veya konumundaki
değişikliklere dönüştürülür.
• Diğer bir örnek olarak, bir ses siteminde kaset veya CD’ye kaydedilmiş müziği
temsil eden bir giriş işareti istenilen karakteristikleri iyileştirme, kaydetme
gürültüsünü gidermek amacıyla değiştirilebilir.
• Aşağıda, bağımsız değişkene yapılan basit değişikliklerden oluşan dönüşümleri
ele alacağız.
• Bu basit dönüşümler, işaretler ve sistemlerin temel özelliklerini tanımlamamıza
imkan verecektir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
• Bağımsız değişkene yapılabilecek dönüşümlerden birisine ZAMANDA
ÖTELEME denir ve sürekli durum için x(t-t0) şeklinde ifade edilir (ayrık-durumda
ifade x[n-n0]’dir). Orijinal ve ötelenmiş işaretlerin şekli aynıdır ancak işaretler
birbirlerine göre kaymıştır.
• Öteleme ile radar, sonar ve sismik işaret işleme uygulamalarında karşılaşılır. Bu
uygulamalarda, farklı konumlardaki alıcılar bir ortamdan iletilen bir işareti algılar.
İşaretin alıcılara ulaşma süreleri arasındaki farktan ötürü alıcılardaki işaretler
birbirine göre ötelenmiş olmaktadır.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
• Bağımsız değişkene yapılabilecek ikinci bir dönüşüme ZAMANI TERSİNE
ÇEVİRME denir ve sürekli durumda matematiksel olarak x(-t) şeklinde ifade
edilir. Orijinal işaretin dikey eksen (t = 0) etrafında döndürülmesiyle zaman
tersine çevrilmiş işaret elde edilir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
• Bağımsız değişkene yapılabilecek üçüncü dönüşüme ÖLÇEKLEME denir ve
sürekli durumda x(αt) biçiminde temsil edilir. α’ya ölçekleme katsayısı denir.
α’nın 1’den büyük olması durumunda orijinal işaretin şeklini bozmadan işareti α
kadar daraltarak öçeklenmiş işareti elde ederiz. Aksi durumda, orijinal işaret α’nın
tersi kadar genişletilir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
• Şimdi orijinal işarete bu üç temel dönüşümün birlikte uygulanmasını ele alacağız.
Genel dönüşüm x(αt+β) şeklinde ifade edilebilir. Orijinal işaretten dönüştürülmüş
işareti bulmak için , işaret ilk önce β kadar ötelenir, daha sonra otelenmiş işaret α
ile ölçeklenir. α’nın negatif olması durumunda ayrıca zaman tersine çevrilir.
Aşağıda, bir sürekli-zaman işareti x(t) için, x(t+1), x(-t+1), x(3/2t) ve x(3/2t+1)
işaretleri çizilmiştir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
TANIM: Bir sürekli-zaman işareti t’nin değerinden bağımsız olarak x(t) = x(t+T)
eşitliğini pozitif bir T değeri için sağlıyorsa T periyodu ile periyodiktir. Eşitliğin
geçerli olduğu en küçük T değerine temel periyod (T0) denir. Periyodik olmayan
işaretlere aperiyodik denir.
TANIM: Bir ayrık-zaman işareti n’nin değerinden bağımsız olarak x[n] = x[n+N]
eşitliğini pozitif bir tamsayı N değeri için sağlıyorsa N periyodu ile periyodiktir.
Eşitliğin geçerli olduğu en küçük N değerine temel periyod (N0) denir.
T0 = T N0 = 3.
Bağımsız değişkenin dönüşümü
TANIM: Bir işaret zaman tersine çevrilmiş haline eşitse (x(t) = x(-t)) ÇİFT; zaman
tersine çevrilmiş halinin negatifine eşitse (x(t) = - x(-t)) TEK işarettir.
TANIM: Bir işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin toplamının yarısına işaretin
ÇİFT PARÇASI denir. Bener şekilde, işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin
farkının yarısına işaretin TEK PARÇASI denir.
çift işaret tek işaret
)()(2
1)(
)()(2
1)(
txtxtxOd
txtxtxEv
Bağımsız değişkenin dönüşümü
Bir ayrık-zaman işareti ile işaretin çift ve tek parçaları aşağıda verilmiştir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak
üzere x(t) = Ceat’dir. Bu iki parametrenin değerine bağlı olarak karmaşık üstel
işaret farklı davranış gösterir.
• Aşağıda gösterildiği gibi C ve a gerçel ise, iki durum vardır. a pozitif ise x(t) artar,
aksi halde azalır. Ayrıca, a = 0 olduğunda, x(t) sabit olmaktadır.
(a) a > 0, (b) a < 0.
• a gerçel kısmı sıfır olan karmaşık bir sayı (a = jw0t), yani olsun. Bu
durumda x(t) periyodiktir.
• Periyodiklik tanımından, x(t)’nin periyodik olması için eşitliğini
sağlayan pozitif bir T değeri bulunabilmelidir. Üstel sayıların özelliğinden
olduğundan, periyodiklik için olmalıdır.
• T’nin alacağı değer w0’a bağlıdır. w0 = 0 ise, x(t) =1 olup T’nin herhangi bir değeri
için periyodiktir. w0 ≠ 0 ise, en küçük pozitif T değeri (temel periyod) için
bulunur. O halde, işaretleri aynı temel periyoda sahiptir.
tjetx 0)(
tjTtjee o 0
)(
TjtjTtjeee 000
)(
10Tj
e
||
2
00T
tjtjee 00 ve
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Periyodik karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret
şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir.
• t’nin birimi saniye ise, ve 0’ın birimleri radyan ve saniye başına radyandır.
0 = 2 f0 yazılırsa f0’ın birimi, saniye başına değişim sayısı veya hertz (Hz)’dir.
• Sinüzoidal işaret periyodik olup temel periyodu şeklindedir.
)cos()( 0tAtx
||
2
00T
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Euler ilişkisi kullanılarak, karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler birbiri cinsinden
yazılabilir. İlişkiler aşağıda verilmiştir:
• Eşdeğer olarak, sinüzoidal işaretler, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısmı
şeklinde ifade edilebilir:
• Üstel işaretler atomik patlamalardaki zincir reaksiyonları, karmaşık kimyasal
işlemleri, radyoaktif bozunumu, RC devrelerinin ve sönümlü mekanik sistemlerin
yanıtını modellemede kullanılır. Benzer şekilde, sinüzoidal işaretler enerjinin
korunduğu fiziksel sistemlerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir LC devresinin doğal
yanıtı ve bir müzik tonuna karşılık gelen akustik basınç değişimleri sinüzoidaldir.
tjjtjj
tj
eeA
eeA
tA
tjte
00
0
22)cos(
)sin()cos(
0
00
}Im{)sin(
}Re{)cos()(
0
)(0
0
0
tj
tj
eAtA
eAtA
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Bir sürekli-zaman sinüzoidal veya periyodik karmaşık üstel işaretin temel
periyodu T0, TEMEL FREKANS olarak adlandırılan | 0| ile ters orantılıdır.
• 0 = 0 ise, x(t) sabit olup herhangi bir positif T için periyodiktir. O halde, sabit
bir işaretin temel periyodu tanımsızdır. Ancak, sabit bir işaretin temel periyodunu
sıfır kabul edebiliriz (sabit bir işaretin değişim hızı sıfırdır).
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Periyodik karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin güç işareti olduğu gösterilebilir.
• Periyodik karmaşık üstel işaretlerden çoğu diğer işaret üretilebilir. Ortak bir
periyod ile periyodik olan periyodik üstel işaretler kümesine HARMONİK
İLİŞKİLİ KARMAŞIK ÜSTEL KÜMESİ denir.
• ej t işaretinin T0 ile periyodik olabilmesi için T0 = 2 k, k = 0, 1,2,... olmalıdır.
0 = 2 / T0 olarak tanımlanırsa, T0 = 2 k koşulunun sağlanması için , 0’ın
katı olmalıdır. O halde, harmonik ilişkili bir karmaşık üstel kümesi, pozitif bir 0
frekansının katlarına eşit temel frekansa sahip periyodik üstel işaretler kümesidir:
• k = 0 için k(t) sabittir, herhangi bir diğer k değeri için k(t), |k| 0 temel
frekansıyla veya
temel periyodu ile periyodiktir. k(t)’ye k. HARMONİK denir.
,...2 ,1 ,0 ,)( 0 kettjk
k
||||
2 0
0 k
T
k
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak
üzere Ceat ile verildiğini hatırlayınız. C, kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , a ise
kartezyen koordinatlarda a = r + j 0 şeklinde ifade edilsin.
• C ve a yerine konulup Euler ilişkisi konulursa karmaşık üstel işaret
şeklinde yeniden düzenlenebilir. Bu ilişkiden aşağıdaki gözlemler yapılabilir.
• Karmaşık üstel işaretin genliği |C|ert’dir.
• r = 0 ise, karmaşık üstelin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir.
• r > 0 ise, gerçel ve sanal kısımlar artan üstel işaret, aksi halde azalan üstel işaret
ile çarpılır. Azalan üstel işaret ile çarpılan sinüzoidal işaretlere SÖNÜMLÜ
sinüzoidal denir. Sönümlü sinüzoidal işaretlerle RLC devrelerinde ve mekanik
sistemlerde karşılaşılır. Bu tür sistemler, zamanla azalan salınımlı enerji üretir.
)sin(||)cos(|| 00 teCjteCCe rtrtat
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
(a) Artan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r > 0.
(b) Azalan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r < 0.
Şekillerde kesikli eğriler |C|ert’fonksiyonlarına karşılık gelmektedir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve α karmaşık sayılar olmak
üzere x[n] = Cαn’dir. α = eβ olmak üzere, üstel işaret x[n] = Ceβn şeklinde de
yazılabilir. C ve α’nın aldığı değerlere göre işaretin şekli değişir.
• C ve α gerçel ise, aşağıdaki durumlar mümkündür:
|α| > 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak artar.
|α| < 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak azalır.
α pozitif ise, işaretin tüm değerleri aynı işarete (hepsi pozitif veya negaif) sahiptir.
α negatif ise, x[n]’nin işareti örnekten örneğe değişir.
α = 1 ise, x[n] sabittir (x[n] = C).
α = -1 ise, x[n] dönüşümlü olarak C ve –C değerlerini alır.
• Ayrık-zaman gerçel üstel işaret doğum oranına bağlı olarak nüfus artışı ve zamana
(gün, ay, yıl vb) bağlı olarak yatırım sonucunda elde edilen kar gibi olayları
modellemede kullanılır.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman gerçel üstel işaret x[n] = Cαn
(a) α > 1
(b) 0 < α < 1.
(c) -1 < α < 0.
(d) α < -1
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Sürekli durumda olduğu gibi, karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret
şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir.
• n boyutsuz ise, ve 0’ın birimleri radyandır.
• Euler ilişkisi kullanılarak ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler
birbirleri cinsinden yazılabilir:
• Ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin, sürekli durumda olduğu gibi
güç işaretleri olduğunu göstermek zor değildir.
)cos(][ 0nAnx
njjnjj
nj
eeA
eeA
nA
njne
00
0
22)cos(
)sin()cos(
0
00
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• C ve α için kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , yazılıp Cαn ifadesinde
yerine konulursa ayrık-zaman karmaşık üstel işaret aşağıdaki gibi yazılabilir:
• |α| = 1 ise, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir. |α| < 1 ise,
sinüzoidal işaretler azalan bir üstel işaretle, aksi halde ise artan bir üstel işaretle
çarpılmaktadır.
0je
)sin()cos( 00 nCjnCCnnn
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler arasında önemli farklar vardır. Birinci fark
olarak, aşağıda gösterildiği gibi , 2π ile periyodiktir:
• Sürekli durumda ω0’ın farklı değerleri için farklı işaretler olmasına karşın,
ayrık-durumda işaretinde ω0 yerine ω0 + 2π, ω0 + 4π, ω0 + 6π… yazıldığında
aynı sonuç elde edilmektedir. Bu yüzden, ayrık-zaman karmaşık üstel işaretleri 2π
uzunluğundaki bir frekans aralığında incelemek yeterlidir. Genelde 0 ≤ ω0 < 2π
veya -π ≤ ω0 < π seçilir.
• |ω0| arttıkça işaretinin temel freakansı artıyordu. Ayrık durumda bu geçerli
değildir. ω0, 0’dan π’ye doğru artarken işaretinin birim zamandaki salınım
sayısı artarken π’den 0’a doğru artarken salınım sayısı azalır. O halde, ayrık-zaman
karmaşık üstel işaret, ω0’ın 0 veya π’nin çift katlarına yakın değerleri için düşük
frekanslı, π’nin tek katlarına yakın değerleri içinse yüksek frekanslıdır.
nje 0
njnjnjnjeeee 000 2)2(
tje 0
nje 0
tje 0
nje 0
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
• işaretinin periyodik olması için veya eşitliğini
sağlayan pozitif bir tamsayı N bulunabilmeliydi. Karmaşık üstel işaretin 1 değerini
alması için üs 2π’nin katı olmalıdır. O halde, m bir tamsayı olmak üzere
periyodiklik şartı olarak ω0/2π’nin rasyonel bir sayı oması gerektiğini belirten
yazılabilir (ikinci fark: sürekli işaret ω0’ın herhangi bir değeri için periyodikti!). Bu
koşul, ayrık-zaman sinüzoidal işaretler için de geçerlidir.
• Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin temel periyodu N ise, temel frekansı 2π/N’dir.
O halde, işaretinin temel frekansı
olacaktır.
nje 0 njNnj
ee 00 )(10Nj
e
N
mmN
22 0
0
nje 0
mN
02
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
ω0’ın farklı değerleri için farklı işaretler 2π ile periyodik
ω0’ın herhangi bir değeri için periyodik N > 0 ve m tamsayıları için ω0= 2πm/N ise periyodik
Temel frekans: ω0 Temel frekans: ω0/ m
Temel periyod:
ω0=0 ise tanımsızdır
ω0≠ 0 ise 2π/ ω0
Temel periyod:
ω0=0 ise tanımsızdır
ω0≠ 0 ise m(2π/ ω0)
tje 0 nj
e 0
• Son olarak, harmonik ilişkili bir ayrık-zaman karmaşık üstel kümesi, ortak bir
periyod N’ye sahip periyodik üstel işaretler kümesidir:
• Sürekli durumdan farklı olarak, periyodiklikten ötürü kümede N adet işaret
olduğuna dikkat ediniz (sürekli durumda kümede sonsuz işaret vardı!).
1,...,1,0,][ )/2( Nken nNjk
k
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri
TANIM: Ayrık-zaman İMPULS dizisi [n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
Dizinin grafik gösterilimi:
TANIM: Ayrık-zaman BİRİM BASAMAK dizisi u[n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
Dizinin grafik gösterilimi:
0,1
0,0][
n
nn
0,1
0,0][
n
nnu
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri
• Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:
• Toplama işlemlerinin pozitif ve negatif n değerleri çin hesaplanması aşağıda
gösterilmiştir:
0
)gösterilim (2. ][][
)gösterilim (1. ][][
]1[][][
k
n
m
knnu
mnu
nunun
1. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0. 2. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri
• Ayrık-zaman impuls dizisi, bir işareti n = 0 anındaki değerini değerini örneklemede
kullanılabilir:
x[n] [n] = x[0] [n]
• Daha genel ifadeyle, n = n0 anındaki bir impuls işaretin n0 anındaki değerini
örneklemde kullanılabilir:
x[n] [n - n0 ] = x[n0] [n- n0]
• İmpuls dizisinin örnekleme özelliği, doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemlerin
analizi ile sürekli-zaman işaretlerin ayrıklaştırıldığı örnekleme konularında sıkça
kullanılacaktır.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
TANIM: Sürekli-zaman birim basamak fonkiyonu u(t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
Fonksiyonun grafik gösterilimi:
TANIM: Sürekli-zaman impuls fonksiyonu (t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
Not: u(t), t = 0 anında sürekli olmayıp türevi hesaplanamayacağından (t)’nin tanımı
aslında geçerli değildir. Ancak, limit durumda birim basamak fonksiyonuna eşit olan
yumuşak geçişli işaretler kullanılırsa tanım geçerli olacaktır.
0,1
0,0)(
t
ttu
dt
tdut
)()(
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
• Aşağıda, Δ → 0 limit durumunda u(t)’ye eşit olan, türevi tüm noktalarda
hesaplanabilir bir fonksiyon uΔ(t) ve fonksiyonun türevi Δ(t) verilmiştir.
• Δ(t), Δ’nın değerinden bağımsız olarak altındaki alan 1 olan kısa süreli bir
darbedir. Δ, 0’a yaklaştıkça Δ(t) darlaşıp dikleşecek ancak altında kalan alan hep
1 olackatır. Δ → 0 limit durumunda darbenin süresi sıfır, yüksekliği sonsuz
olacaktır. Bu durum grafiksel olarak şöyle gösterilir:
dt
tdutt
)(lim)(lim)(
00
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
• Genel olarak, altındaki alan k olan ölçeklenmiş impuls fonksiyonu k (t) ile
gösterilir ve grafik gösterilimde okun yanına 1 yerine k yazılır.
• (t), u(t)’nin türevi olduğundan, u(t) (t)’nin integralidir. İntegral eşdeğer iki
şekilde yazılabilir:
• İntegrallerin pozitif ve negatif t değerleri için hesaplanması aşağıda gösterilmiştir:
0)gösterilim (2. )d-()(
)gösterilim (1. )()(
ttu
dtut
1. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0. 2. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
• Sürekli-zaman impuls fonksiyonunun da örnekleme özelliği vardır. Aşağıda, keyfi
bir x(t) için, x1(t) = x(t) Δ(t) çarpımı ve çarpımın sıfırdan farklı olduğu kısmın
büyültülmüş hali gösterilmiştir.
• Yeterince küçük Δ için 0 ≤ t ≤ Δ aralığında x(t) yaklaşık olarak sabit olduğundan
x(t) Δ(t) ≈ x(0) Δ(t) yazılabilir. Δ → 0 limit durumunda Δ(t), (t)’ye eşit
olduğundan impulsun örnekleme özelliği x(t) (t) = x(0) (t) elde edilir.
• Benzer adımları kullanarak, t = 0 yerine t = t0 anındaki bir impuls için örnekleme
özelliği x(t) (t - t0) = x(t0) (t - t0) şeklinde olur.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
• Gerçek bir fiziksel sistem, eylemsizliğe sahiptir ve uygulanan girişlere aniden yanıt
veremez. Dolayısıyla, sistemin yanıtı uygulanan darbenin süresi veya şeklinden
ziyade darbenin altındaki alandan (darbenin toplam etkisinden) etkilenecektir.
• Hızlı davranış gösteren sistemler için darbenin süresi, yanıt darbenin şekli veya
süresinden etkilenmeyecek şekilde küçük olmalıdır. Herhangi bir gerçek fiziksel
sistem için süresi yeterince küçük bir darbe bulabiliriz. İmpuls fonksiyonu, bu
kavramın idealleştirilmişidir (herhangi bir sistem için yeterince küçük süreli darbe!).
• İmpuls ve ilişkli fonksiyonlara TEKİL veya GENELLEŞTİRİLMİŞ fonksiyonlar
denilmektedir. Daha fazla bilgi aşağıdaki kaynaklardan edinilebilir:
A. H. Zemanian, Distribution theory and transform analysis, NY, McGraw-Hill, 1965.
R. F. Hoskins, Generalised functions, NY, Halsted Press, 1979.
M. J. Lighthill, Fourier analysis and generalized functions, NY, Cambridge University Press, 1958.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları
• Süreksizlik içeren sürekli-zaman işaretlerinin türevi impuls fonksiyonu kullanılarak
hesaplanabilir. Süreksizlik noktalarındaki türev impuls fonksiyonu oluşturur ve
impulsun genliğini süreksizlik noktasındaki sıçrama miktarı belirler. Aşağıda bir
örnek verilmiştir.
Türev doğru ise, b)’deki işaretin integrali
a)’daki işareti vermelidir. c)’de herhangi
bir t değeri için integral aralığı
gösterilmiştir. Integral işleminin sonucu
t < 0 ise 0
1 ≤ t < 2 ise 2,
2 ≤ t < 4 ise -1,
t ≥ 4 ise 1
olup gerçekten de a)’daki işaret elde edilir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• SİSTEM, girişine uygulanan bir işareti çıkışında başka bir işarete dönüştüren bir
süreç olarak değerlendirilebilir.
• Sürekli-zaman sistemlerde giriş ve çıkış işaretleri sürekliyken; ayrık-zaman
sistemlerde ayrıktır. Sistemler grafiksel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:
• Bir işaret, başka bir işaret haline dönüştürülmek istendiğinde bir sürekli-zaman
sistemi tasarlanabilir (analog çözüm). Ancak, işaret örneklenip ayrık-zaman haline
getirildikten sonra aynı işlem bir ayrık-zaman sistem tasarlanarak da yapılabilir
(sayısal çözüm). Sayısal çözümde elde edilen sonuçun tekrar sürekli hale
getirilmesi gerektiğine dikkat ediniz.
• Sayısal çözümün analog çözüme göre üstünlükleri oldukça fazladır. Bu konu
SAYISAL İŞARET İŞLEME dersinde ele alınmaktadır.
x(t) y(t) y[n] x[n]
x(t) → y(t) x[n] → y[n]
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
Örnek: Bir sürekli-zaman sistemine örnek olarak, aşağıda verilen RC devresinde giriş
işareti vs(t) ile çıkış işareti vc(t) arasındaki ilişkiyi bulalım.
Ohm yasasından, direnç üzerinden geçen akım, direnç üzerindeki gerilimin dirençin
değerine bölünmesiyle elde edilir:
Kapasitenin tanımından
Bu iki eşitlikten, giriş ile çıkış arasındaki ilişki aşağıda verilen diferansiyel denklem
olarak elde edilir:
R
tvtvti cs )()()(
dt
tdvCti c )(
)(
)(1
)(1)(
tvRC
tvRCdt
tdvsc
c
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
Örnek: Bir ayrık-zaman sistemine örnek olarak, ay sonunda banka hesabındaki para
miktarını ele alalım. x[n] ay boyunca net para girişi (yatırılan-çekilen) ve y[n] ay
sonunda hesaptaki para olmak üzere, y[n]’nin aşağıda verilen fark denklemiyle
belirlendiğini varsayalım:
y[n] = 1.01y[n-1] + x[n]
Modeldeki 1.01y[n-1] terimi, ilgili ayda % 1 oranında faizi modellemektedir.
• Yukarıda verilen basit iki örnek, daha karmaşık sistemlere uyarlanabilir. Genelde,
giriş ile çıkış arasındaki ilişki, sürekli-zaman sistemlerde diferansiyel
denklemlerle, ayrık-zaman sistemlerde ise fark denklemleriyle verilir.
• Bu derste, sistemleri analiz edebilmek için etkili yöntemler (Fourier dönüşümü,
z-dönüşümü vb) tanıtılacaktır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Çoğu gerçek sistem, birkaç alt sistemden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, basit
sistemler birleştirilerek karmaşık sistemler oluşturulabilir.
• Sistemleri çok değişik biçimlerde birbirleriyle bağlamak mümkündür. Ancak,
sıklıkla kullanılan bağlama biçimleri SERİ, PARALEL ve SERİ-PARALEL olup
bunlara karşılık gelen blok diyagramlar aşağıda verilmiştir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Diğer önemli bir sınıf, aşağıda gösterilen GERİBESLEMELİ bağlamadır.
• Geribesleme sistemleri birçok uygulamada kullanılmaktadır. Örneğin, sayısal olarak kontrol
edilen bir uçak sisteminde gerçek ve gerekli hız, yön ve yükseklik arasındaki farklar gerekli
düzeltmeleri yapmak üzere geri besleme işaretleri olarak kullanılır. Elektrik devrelerinde de
geribesleme mevcuttur. Aşağıda bir elektrik devresi ve karşılık gelen blok diyagram
verilmiştir
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Herhangi bir andaki çıkışı, sadece o andaki girişine bağlı olan sistemlere
HAFIZASIZ, aksi halde HAFIZALI denir.
• Hafızasıs sistemler:
y[n] = (2x[n] –x2[n])2
y(t) = R x(t)
• Hafızalı sistemler:
• Hafızalı sistemlerde, girişi çıkışın hesaplandığı an dışındaki zamanlarda saklayan
mekanizmalar olmalıdır. Çoğu fiziksel sistemde, hafıza enerjinin depolanması ile
doğrudan ilişkilidir. Örneğin, kondansatör elektriksel yük biriktirerek enerji saklar.
t
n
k
dxC
ty
kxny
)(1
)(
][][
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Herhangi bir andaki çıkışı, girişin geçmişteki veya o andaki değerlerine bağlı olan
sistemlere NEDENSEL denir.
• Nedensel sistemler:
• Nedensel olmayan sistemler:
• Bir sistemin nedensel olup olmadığı belirlenirken giriş-çıkış arasındaki ilişki tüm
anlarda incelenmelidir. Ayrıca, giriş-çıkış arasındaki ilişkide girişten hariç diğer
fonkiyonlar dikkate alınmamalıdır.
t
n
k
dxC
ty
kxny
)(1
)(
][][
)1()(
]1[][][
txty
nxnxny
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Sınırlı girişler için sınırlı çıkışlar oluşturan sistemlere KARARLI, aksi halde
KARARSIZ denir.
• Kararlı sistemler:
• Kararsız sistemler:
• Bir sistemin kararsız olduğunu göstermek için iyi bir yaklaşım, sonsuz bir çıkış
üreten sonlu bir giriş bulmaktır. Ancak, bu herzaman mümkün olmayabilir. Bu gibi
durumlarda, giriş işaretinden bağımsız olarak çalışan bir yöntem kullanılmalıdır.
)()(
][12
1][
tx
M
Mk
ety
knxM
ny
)()(
][][
ttxty
kxnyn
k
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• Bir sistemde, giriş işaretine uygulanan bir öteleme çıkış işaretinde de aynı miktarda
ötelemeye neden oluyorsa sisteme ZAMANLA DEĞİŞMEYEN, aksi halde zamanla
değişen denir.
• Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi
y(t) = sin[x(t)]
ile verilen sistemi ele alalım. Giriş işaretine t0 kadar bir öteleme uygulayalım, yani
x2(t) = x(t-t0) olsun. Sistemin x2(t)’ye yanıtı, y2(t) = sin [x2(t)] = sin[x(t-t0)]’dir.
Çıkışın t0 kadar ötelenmişi, y(t-t0) = sin[x(t-t0)]’dir. Giriş işaretine uygulanan
öteleme, çıkışta da aynı miktarda ötelemeye sebep olup bu sistem nedenseldir.
• Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi
y[n] = nx[n]
olan sistemin zamanla değiştiği, benzer işlemler takip edilerek gösterilebilir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
• İki veya daha fazla işaretin toplamından oluşan bir girişe olan yanıtı, giriş işaretini
oluşturan bileşenlere yanıtlarının toplamına eşit olan sistemlere DOĞRUSAL denir.
• Doğrusallığın matematiksel tanımı, sürekli-zaman sistemleri için aşağıda
verilmiştir. Tanım, ayrık-zaman durumunda da geçirlidir.
• Bir sisteme uygulan xk(t) girişlerine karşılık gelen çıkışlar yk(t), k = 1,2,... olsun.
ak’lar katsayı olmak üzere, sistemin
girişine yanıtı
ise, sistem doğrusaldır.
...)()()()()( 332211 txatxatxatxatxk
kk
...)()()()()( 332211 tyatyatyatyatyk
kk
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = tx(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını
belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı
olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:
Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı
şeklinde olup sistem doğrusaldır.
)()()(
)()()(
222
111
ttxtytx
ttxtytx
)()()( 213 tbxtaxtx
)()(
)()(
))()((
)()(
21
21
21
33
tbytay
tbtxtatx
tbxtaxt
ttxty
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = x2(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını
belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı
olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:
Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı
olup sistem doğrusal değildir.
)()()(
)()()(2
222
2
111
txtytx
txtytx
)()()( 213 tbxtaxtx
)()(2)()(
)()(2)()(
))()((
)()(
2122
12
212
222
12
221
233
txtabxtybtya
txtabxtxbtxa
tbxtax
txty
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler
Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y[n] = 2x[n]+3 olan sistemin doğrusal olmadığını göstermek
zor değildir. Giriş-çıkış ilişkisi doğrusal olmasına rağmen, sistemin doğrusal olmaması
ilginçtir. Bu sistemin çıkışı, aşağıda gösterildiği gibi doğrusal bir sistemin çıkışıyla
sistemin SIFIR-GİRİŞ yanıtına eşit olan bir işaretin toplamı olarak düşünülebilir:
Örneğimizde doğrusal sistem x[n] 2x[n], sıfır-giriş yanıtı y0[n] = 3’dür. Böyle
sistemlerde, iki girişe olan yanıtlar arasındaki fark, girişlerin farkının doğrusal bir
fonksiyonudur:
Bu tür sistemlere ARTIŞSAL DOĞRUSAL sistem denilmektedir.
]}[][{2}3][2{3][2][][ 212121 nxnxnxnxnyny
Hafta 10:
z-Dönüşümü
• z-dönüşümü
• z-dönüşümünün yakınsaklık bölgesi
• Ters z-dönüşümü
• z-dönüşümünün özellikleri
• z-dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi
Ele Alınacak Ana Konular
• İmpuls yanıtı h[n] olan bir LTI sistemin, zn girişine olan yanıtının y[n] = H(z)zn
olduğunu görmüştük. H(z) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:
• z = ej yani |z| = 1 için, yukarıda verilen toplam h[n]’nin ayrık-zaman Fourier
dönüşümüdür. |z| = 1 olmak zorunda olmadığında, toplamaya z-dönüşümü denir.
• z karmaşık bir sayı olmak üzere, bir ayrık-zaman işaret x[n]’nin z-dönüşümü
denklemiyle tanımlanır. z-dönüşümünü belirtmek için Z{x[n]} kullanacak, işaret
ile z-dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz.
z-Dönüşümü
n
nznhzH ][)(
n
nznxzX ][)(
)(][ zXnx Z
• Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki olduğu
gibi, z-dönüşümü ile ayrık-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki vardır.
• z kutupsal koordinatlarda şeklinde yazılabilir. O halde,
• Görüldüğü gibi, X(rej), x[n] ile r-n dizilerinin çarpımının Fourier dönüşümüne
eşittir. Yani,
X(rej) = F{x[n]r-n }.
• |z| = 1 iken, toplama x[n] işaretinin ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur:
z-Dönüşümü
jrez
n
njn
n
njj ernxrenxreXzX ][][)()(
][)()( nxFeXzX j
ez j
z-Dönüşümü
• Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde hesaplandığında
sürekli-zaman Fourier dönüşümünü veriyordu.
• z-dönüşümü, karmaşık z-düzleminde birim çember (|z|=1) üzerinde
hesaplandığında, ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur.
• Bir x[n] işaretinin z-dönüşümünün var olabilmesi için x[n]r-n işaretinin ayrık-
zaman Fourier dönüşümü yakınsamalıdır. Verilen bir işaret için, z-dönüşümünün
var olduğu r değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (ROC) denir. ROC,
birim çemberi içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de vardır.
ÖRNEK: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramı
ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
Serinin yakınsaması için |az-1|<1 veya eşdeğer olarak |z|>|a| olmalıdır. O halde,
][][ nuanx n
][)(0
1
0
n
n
n
nn
n
n azzaznxzX
z-Dönüşümü
azazaz
azzXn
n
:ROC ,z
1
1 )(
10
1
ÖRNEK: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup
diyagramı ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
Serinin yakınsaması için |a-1z|<1 veya eşdeğer olarak |z|<|a| olmalıdır. O halde,
]1[][ nuanx n
0
1
1
1
1 - ][)(n
n
n
nn
n
nn
n
n zazazaznxzX
z-Dönüşümü
azazazza
zazXn
n
:ROC ,z
1
1
1
111 )(
110
1
ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup
diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani,
O halde,
z-Dönüşümü
0
1
0
1
2
16
3
17][
2
16][
3
17 )(
n
n
n
n
n
n
nn
zzznunuzX
][2
16][
3
17][ nununx
nn
2/112
1 ve3/11
3
1 11 zzzz
2
1z:ROC ,
2
1
3
1
2
3
2
11
3
11
2
31
2
11
6
3
11
7)(
11
1
11
zz
zz
zz
z
zz
zX
Aynı sonucu, önceki alıştırmaları kullanarak hesaplama yapmadan da bulabiliriz.
2
1:ROC ,
2
11
6
3
11
7][
2
16][
3
17
2
1:ROC ,
2
11
1][
2
1
3
1:ROC ,
3
11
1][
3
1
11
1
1
z
zz
nunu
z
z
nu
z
z
nu
Z
nn
Z
n
Z
n
ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup
diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani,
O halde,
z-Dönüşümü
][3
1
2
1
3
1
2
1][
4sin
3
1][ 4/4/ nue
je
jnunnx
n
j
n
j
n
0
14/
0
14/
0
4/4/
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1)(
n
n
j
n
n
j
n
n
n
j
n
j zej
zej
zej
ej
zX
3/113
1 ve3/11
3
1 14/14/ zzezze jj
3
1z:ROC ,
3
1
3
1
23
1
3
11
1
2
1
3
11
1
2
1)(
4/4/14/14/
jjjj
ezez
z
zej
zej
zX
z-Dönüşümü
ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretlerin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup
diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
(i) x[n]= δ[n], (ii) x[n]= δ[n-1], (ii) x[n]= δ[n+1]
ÇÖZÜM:
(i)
(ii)
(iii)
zzznzXn
n
:ROC ,1]0[][)( 0
zzzznzXn
n
:ROC ,]11[]1[)( 11
zzzznzXn
n
:ROC ,]11[]1[)( )1(
z-Dönüşümü
ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup
diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
Sıfırlar (pay polinomunun kökleri)
Kutuplar (payda polinomunun kökleri): z = a, z=0 (N-1) katlı
k= 0 için bulunan sıfır ile kutup birbirini götürür. Sonuç olarak,
Sıfırlar: Kutuplar: z=0 (N-1) katlı
.0 ,halde aksi,0
10,][
aNna
nxn
z
az
az
zaz
azazzazX
NN
N
nN
n
nN
n
nn
:ROC ,1
1
1)(
11
11
0
11
0
1,...,1,0 ,/2 Nkeaz Nkj
kk
1,...,1 ,/2 Nkeaz Nkj
kk
Örnek: işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramını
ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
Çözüm: İşaret çift taraflı olup b < 1 ve b > 1 için şekli aşağıda verilmiştir.
z-Dönüşümü
0 ,][ bbnxn
]1[][][ nubnbnx nn
]1[][][ nubnbnx nn
bzb
bzbz
z
b
bzbbz
zXnubnubnx
bz
zbnub
bzbz
nub
Znn
Zn
Zn
1:ROC ,
1
,1
1
1
1)(]1[][][
1:ROC ,
1
1]1[
:ROC ,1
1][
1
2
111
11
1
z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri
1. Bir ayrık-zaman işaretini z-dönüşümünün ROC’si, z-düzleminde sıfır etrafında
bir halkadır.
2. ROC herhangi bir kutup içermez.
3. Ayrık-zaman işaret sonlu süreli ise, z-dönüşümünün ROC’si muhtemelen z = 0
ve/veya z = ∞ hariç, tüm z-düzlemidir.
4. Ayrık-zaman işaret sağ taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde
ise, |z| > r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir.
5. Ayrık-zaman işaret sol taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde
ise, 0 < |z| < r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir.
z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri
6. Ayrık-zaman işaret çift taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde
ise, ROC |z|=r0 halkasını içeren bir halkadır.
7. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ise, ROC kutuplarla sınırlıdır veya
sonsuza kadar uzanır.
8. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sağ taraflı ise, ROC en
dıştaki kutbun dışındaki bölge, yani en yüsek genlikli kutbun genliğine eşit
halkanın dışıdır. İşaret aynı zamanda nedensel ise (sağ taraflı ve n < 0 için sıfıra
eşitse), z = ∞ ROC içindedir.
9. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sol taraflı ise, ROC en içteki
kutbun içindeki bölge, yani en küçük genlikli kutbun genliğine eşit halkanın
içidir. İşaret aynı zamanda nedensel değilse (sağ taraflı ve n > 0 için sıfıra eşitse),
z = 0 ROC içindedir.
İşaret z-Dönüşümü Yakınsaklık Bölgesi (ROC)
1 Tüm z değerleri
m > 0 için 0 veya m < 0 için ∞
hariç tüm z değerleri
][n
][nu 11
1 z
1z
]1[ nu11
1 z
1z
][ mn mz
][nun11
1 z
z
]1[ nun11
1 z
z
z-Dönüşüm Çiftleri
İşaret z-Dönüşümü Yakınsaklık Bölgesi (ROC)
][nun n 21
1
1
z
z
z
]1[ nun n 21
1
1
z
z
z
][)cos( 0 nun 21
0
1
0
)cos(21
)cos(1
zz
z
1z
][)sin( 0 nun21
0
1
0
)cos(21
)sin(
zz
z
1z
][)cos( 0 nunrn 221
0
1
0
)cos(21
)cos(1
zrzr
zr
rz
][)sin( 0 nunrn 221
0
1
0
)cos(21
)sin(
zrzr
zr
rz
z-Dönüşüm Çiftleri
Ters z-Dönüşümü
• x[n] işaretinin z-dönüşümü X(z)=X(rej) , x[n]r-n işaretinin ayrık-zaman Fourier
dönüşümü ise, x[n]r-n işareti X(rej)’nın ters Fourier dönüşümüdür. Yani,
• z = rej değişken dönüşümü yapılırsa,
• ω, 2π aralığında değişirken, z r yarıçaplı bir daire üzerinde değerler alır.
Dolayısıyla, integral z cinsinden aşağıdaki gibi olur:
• O, merkezi orijin olan, saat yönünün tersi yönde, r yarıçaplı kapalı bir eğriyi ifade
etmeketdir. Ters z-dönüşümü, karmaşık düzlemde integral alma yerine basit
kesirlere ayırma ve kuvvet serisine açma yöntemleri kullanılarak belirlenir.
22
11
))((2
1)(
2
1
)}({][)}({][}][{)(
drereXdereXr
reXFrnxreXFrnxrnxFreX
njjnjjn
jnjnnj
dzzjdjzddjredz j 1)/1(
dzzzX
jnx n 1)(
2
1][
(Ters z-dönüşümü)
Ters z-Dönüşümü
Örnek (basit kesirlere ayırma): Aşağıda verilen z-dönüşümlerinin tersini bulunuz.
(i)
(ii) X(z) aynı, ROC: 1/4<|z|<1/3,
(iii) X(z) aynı, ROC: |z|<1/4,
Çözüm:
(i) bileşenler sağ taraflıdır:
(ii) 1/4 kutbundan gelen bileşen sağ taraflı, 1/3 kutbundan gelen bileşen sol taraflıdır:
(iii) bileşenler sol taraflıdır:
3
1:ROC ,
3
11
4
11
)6/5(3)(
11
1
z
zz
zzX
1111 )3/1(1
2
)4/1(1
1
)3/1(1)4/1(1)(
zzz
B
z
AzX
11 )3/1(1
2
)4/1(1
1][3/12][4/1
zznunu Znn
11 )3/1(1
2
)4/1(1
1]1[3/12][4/1
zznunu Znn
11 )3/1(1
2
)4/1(1
1]1[3/12]1[4/1
zznunu Znn
Ters z-Dönüşümü
Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz.
Çözüm: z-dönüşümünün tanımını hatırlayalım:
Görüldüğü gibi, z-dönüşümünde z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin
değerleridir (z0 yanındaki sayı x[0], z-1 yanındaki sayı x[1], z-2 yanındaki sayı x[2], z1
yanındaki sayı x[-1], z2 yanındaki sayı x[-2], vb). O halde,
zzzzX 0:ROC ,324)( 12
n
nznxzX ][)(
]1[3][2]2[4][
halde aksi,0
1,3
0,2
2,4
][
nnnnx
n
n
n
nx
Ters z-Dönüşümü
Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz.
Çözüm: Önceki örneklerden işaretin sağ taraflı ve x[n]=anu[n] olduğunu biliyoruz.
Aynı sonucu verilen rasyonel z-dönüşümünü kuvvet serisine açarak da bulabiliriz.
Polinom bölme işlemi, z’nin negatif kuvvetleri oluşacak şekilde yapılır:
O halde, n < 0 için x[n] = 0, x[1] = a, x[2] = a2 veya genel olarak x[n]=anu[n].
Not: ROC |z| < |a| olsaydı, işaret sol taraflı olacağından z’nin pozitif kuvvetleri
oluşacak şekilde polinom bölme işlemi yapılr:
Bu durumda, n≥0 için x[n]=0, x[-1]=-a-1, x[2]=-a-2 veya genel olarak x[n]=-anu[-n-1].
azaz
zX
:ROC ,1
1)(
1
...11
1 33221
1
zazaaz
az
...1
1 33221
1
zazaza
az
Ters z-Dönüşümü
Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz.
Çözüm: ln(1+x) için seri açılımı aşağıda verilmiştir.
ln(1+x) için seri açılımında x yerine az-1 yazılırsa soruda X(z) elde edilir:
Açılımda, z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin değerleri olduğundan
azazzX :ROC ),1ln()( 1
1 ,)1(
)1ln(1
1
xn
xx
n
nn
1 ,)1(
)(1
1
xn
zazX
n
nnn
]1[)(
][
0,0
1,)1(][
1
nun
anx
n
nn
anx
nn
n
z-Dönüşümünün Özellikleri
• Kolaylık olması bakımından, z-dönüşümü ve tersini belirtmek için sırasıyla
Z{x[n]} ve Z-1{X(z)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca, z-dönüşüm çiftini
belirtmek için
notasyonunu kullanacağız.
• z-dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, z-dönüşümü bilinen
işaretlerden çoğu işaretin z-dönüşümünü elde etmek kolaylaşmaktadır.
• Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı
benzer şekilde yapılabilir.
(z) ][ Xnx Z
Zamanda öteleme:
İspat: z-dönüşüm denkleminden
n-n0 = u değişken deönüşümü yapılırsa,
X(z)’nin ROC’si R olsun. n0>0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da kutuplar oluşur
ve bunlar X(z)’nin z = 0’daki sıfırlarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin
kutbu olabilir. Bu durumda x[n-n0]’ın ROC’si orijin hariç R’dir.
n0<0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da sıfırlar oluşur ve bunlar X(z)’nin z =
0’daki kutuplarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin sıfırı olabilir. Bu
durumda x[n-n0]’ın ROC’si sonsuz hariç R’dir.
)(][ )( ][ 0
0 zXznnxzXnxnZZ
n
nznnxnnxZ ][]}[{ 00
)(][][]}[{ 000 )(
0 zXzzuxzzuxnnxZn
u
un
u
nu
z-Dönüşümünün Özellikleri
z-uzayında ölçekleme:
İspat:
z, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi içindeyse, |z0|z, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi
içindedir. O halde, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi R ise, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi
|z0|R olur.
Özel durum:
Diğer bir deyişle, bir işareti zaman uzayında belirli frekanslı karmaşık üstel bir işaret
ile çarpmak, z-dönüşümünün üstel işaretin frekansı kadar dönmesine neden olur.
Yani, tüm sıfırlar ve kutuplar üstel işaretin frekansı kadar döner.
0
0 ][ )( ][z
zXnxzzXnx ZnZ
00
00 ][][]}[{z
zX
z
znxznxznxzZ
n
n
n
nnn
zeXnxeezjZnjj 000 ][ 0
z-Dönüşümünün Özellikleri
Konvolüsyon özelliği:
İspat: Konvolüsyon denkleminden
Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim dir. O halde,
X(z)’in ROC’si R1 ve H(z)’in ROC’si R2 olsun. Y(z) = X(z)H(z) olduğundan, Y(z)’in
var olabilmesi için X(z) ve H(z) var olmalıdır. Yani, Y(z)’in ROC’si R = R1∩R2 olur.
Ancak, çarpımda sıfır-kutup götürmesi olursa Y(z)’in ROC’si R1∩R2 kesişiminden
de büyük olabilir.
)()()( ][*][][ zHzXzYnhnxny
k
knhkxny ][][][
k n
n
n
n
k
zknhkxzknhkxnyZzY ][][][][][)(
)( zHz k
)()(][)()(][)( zHzXzkxzHzHzkxzYk
k
k
k
z-Dönüşümünün Özellikleri
z-uzayında türev alma:
İspat:
Eşitliğin her iki tarafı –z ile çarpılırsa
X(z)’in ROC’si R olsun. -z ile çarpma ilave bir kutup getirmeyip, sıfır-kutup
götürmesi oluşmaması durumunda z = 0’da bir sıfır oluşturur. Bu nedenle, bir ayrık-
zaman işareti zaman-uzayında n ile çarpmak z-dönüşümünün ROC’sini etkilemez.
Yani, -z(dX(z)/dz)’in ROC’si de R’dir.
z-Dönüşümünün Özellikleri
dz
zdXznnxzXnx ZZ )(
][ )( ][
n
n
n
n znnxdz
zdXznxzX 1][
)(][)(
][][)(
nnxZznnxdz
zdXz
n
n
z-Dönüşümünün Özellikleri
Örnek: z-dönüşümü
X(z) =ln(1+az-1), |z| > a
olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım.
Çözüm:
]1[)(]1[)(
][
1]1[)(
1][)(
1
)(][
1
1
11
1
1
1
nun
a
n
nuaanx
az
aznuaa
az
anuaa
az
az
dz
zdXznnx
nn
Zn
Zn
Z
z-Dönüşümünün Özellikleri
Örnek: z-dönüşümü
olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım.
Çözüm:
21
1
1
1
11
1][
1
1][
az
az
azdz
dznuna
aznua
Zn
Zn
az
az
azzX
,1
)(21
1
Özellik İşaret z-dönüşümü ROC
Doğrusallık En az R1 ∩ R2
Zamanda öteleme Orijin dahil veya hariç R
z-uzayında
ölçekleme
R
z0R
|a|R
Zamanda tersine
çevirme
1/R
Zamanda
ölçekleme
R1/k
][
][][
2
1
nx
nxnx
)(
)(
)(
2
1
zX
zX
zX
][][ 21 nbxnax )()( 21 zbXzaX
][ 0nnx )(0 zXz
n
z-Dönüşümünün Özellikleri
2
1
R
RR
][0 nxenj
)( 0 zeXj
][0 nxzn
0z
zX
][nxan)( 1zaX
][-nx )( 1zX
rkn
rknrxnx k
,0
],[][)(
)( kzX
Özellik İşaret z-dönüşümü ROC
Eşlenik alma R
Konvolüsyon En az R1 ∩ R2
Fark alma En az R ∩ (|z| > 0)
Toplama En az R ∩ (|z| > 1)
z-uzayında türev
alma
R
İlk Değer Teoremi
n < 0 için x[n]=0 ise
z-Dönüşümünün Özellikleri
][* nx )( ** zX
][*][ 21 nxnx )()( 21 zXzX
]1[][ nxnx )()1( 1 zXz
n
k
kx ][ )()1(
11
zXz
][nnxdz
zdXz
)(
)(lim]0[ zXxz
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
• X(z), Y(z) ve H(z), bir LTI sistemin sırasıyla girişinin, çıkışının ve impuls yanıtının
z-dönüşümleri olmak üzere, konvolüsyon özelliğinden Y(z) = H(z) X(z) olduğunu
görmüştük. H(z)’ye sistemin TRANSFER FONKSİYONU denir.
• Bir LTI sistemin çoğu özelliği, transfer fonksiyonunun kutupları, sıfırları ve
yakınsaklık bölgesiyle ilişkilidir.
• Bir sistem nedensel ise n<0 için h[n]=0 olup impuls yanıtı sağ taraflıdır. O halde,
H(z)’nin ROC’si z-düzleminde bir çemberin dışından sonsuza doğru uzanmalıdır.
• Ayrıca, H(z) rasyonel ise, sistemin nedensel olabilmesi için H(z)’nin ROC’si en
dıştaki kutbun dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmalıdır. Yani, z → ∞ limit
durumunda H(z) sonlu olmalıdır. Diğer bir deyişle, H(z)’nin pay polinomunun
derecesi payda polinomunun derecesinden büyük olmamalıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
Bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi için gerek ve yeter koşul,
transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesinin karmaşık z-düzleminde bir
çemberin dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmasıdır.
Rasyonel transfer fonksiyonlu bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi
için gerek ve yeter koşul (a) transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesi karmaşık
z-düzleminde en dıştaki kutbun dışındaki bir bölge olmasıdır ve (b) H(z)’nin pay
polinomunun derecesinin payda polinomunun derecesinden büyük olmamasıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen ayrık-zaman LTI sistemlerin nedensel
olup olmadıklarını belirleyiniz.
(i) (ii)
Çözüm:
(i) ROC hakkında bilgi sahibi olmamamıza rağmen sistemin nedensel olmadığını
söyleyebiliriz çünkü pay polinomunun derecesi payda polinomunun derecesinden
büyüktür.
(ii)
z=1/2, z=2’de iki kutup vardır. Sistem nedenseldir çünkü ROC en dıştaki kutbun
dışına doğrudur ve pay polinomunun derecesi payda polinomununkinden büyük
değildir.
8
1
4
1
2)(
2
23
zz
zzzzH 2:ROC ,
21
1
2
11
1)(
11
zz
z
zH
12
52
52z
212
11
2
52
)(2
2
11
1
zz
z
zz
z
zH
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
• LTI bir ayrık-zaman sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtı mutlak
toplanabilir olmalıdır. Bu durumda, h[n]’nin ayrık-zaman Fourier dönüşümü var
olup H(z)’nin ROC’si karmaşık z-düzleminde birim çemberi içermelidir.
• LTI bir ayrık-zaman sistemin nedensel olduğu biliniyorsa, H(z)’nin ROC’si en
dıştaki kutbun dışına doğru olmalıdır. ROC’nin aynı zamanda birim çemberi de
içermesi için, H(z)’nin kutuplarının tümü karmaşık z-düzleminde birim çemberin
içinde olmalıdır.
Bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için gerek ve yeter koşul, H(z)’nin
ROC’sinin karmaşık z-düzleminde birim çemberi (|z|=1) içermesidir.
Rasyonel transfer fonksiyonlu nedensel bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı
olabilmesi gerek ve yeter koşul H(z)’nin kutuplarının tümünün birim çember
içinde (yani tümünün genliğinin birden küçük) olmasıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen nedensel ayrık-zaman LTI sistemlerin
kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz.
(i) (ii)
Çözüm:
(i) H(z)’nin z = a’da bir kutbu vardır. Sistemin kararlı olabilmesi için kutup birim
çember içinde olmalıdır. Yani, |a| < 1 ise sistem kararlı, aksi halde kararsızdır.
(ii) H(z)’nin z1 = re jθ ve z2 = re -jθ’ da iki kutbu vardır. |r| < 1 ise, kutuplar birim
çember içinde, aksi halde dışındadır. O halde, sistemin kararlı olabilmesi için, r| < 1
koşulu sağlanmalıdır.
11
1)(
azzH
)cos(21
1)(
221
zrzrzH
• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin transfer fonksiyonunu
bulalım
• Konvolüsyon özelliğinden,
• Fark denkleminin her iki tarafının z-dönüşümü alınır ve z-dönüşümünün zamanda
öteleme özelliği kullanılırsa transfer fonksiyonunu bulunabilir:
M
k
k
N
k
k knxbknya00
][][
)(
)()()()()(
zX
zYzHzHzXzY
N
k
k
k
M
k
k
kM
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
N
k
k
M
k
k
N
k
k
za
zb
zHZXzbzYza
knxZbknyZaknxbZknyaZ
0
0
0
0
0000
)()()(
][][][][
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan
LTI Sistemler
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan
LTI Sistemler
ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin transfer fonksiyonu ve impuls
yanıtını bulunuz.
ÇÖZÜM:
H(z)’nın ters z-dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.
Ters z-dönüşümü yakınsaklık bölgesine bağlıdır. İki durum vardır
(i) ROC: |z|>1/2, impuls yanıtı sağ taraflı olup
(ii) ROC: |z|<1/2, impuls yanıtı sol taraflı olup
]1[3
1][]1[
2
1][ nxnxnyny
1
1
11
2
11
3
11
)(
)()()(
3
1)()(
2
1)(
z
z
zX
zYzHzXzzXzYzzY
1
1
1
1
1
1
11
2
11
3
1
2
11
1
2
11
3
11
)(][
z
z
z
Z
z
z
ZzHZnh
]1[2
1
3
1][
2
1][
1
nununh
nn
][2
1
3
1]1[
2
1][
1
nununh
nn
Hafta 3:
Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler
• Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi
• Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Sürekli-zaman işaretlerin impuls fonksiyonu cinsinden ifade edilmesi
• Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
Ele Alınacak Ana Konular
Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi
• Doğrusallık ve zamanla değişmezlik özellikleri iki açıdan çok önemlidir: (i) çoğu
fiziksel sistem bu iki özelliğe sahip olup doğrusal ve zamanla değişmeyen (LTI)
sistem olarak modellenebilir, (ii) LTI sistemleri incelemek amacıyla geliştirilmiş
güçlü matematiksel yöntemler (Laplace ve z-dönüşümleri) mevcuttur.
• LTI bir sistemin girişine uygulanan herhangi bir işareti, temel bazı işaretlerin
toplamı cinsinden yazabilirsek, sistemin çıkışı temel işaretlere olan yanıtlarının
toplamına eşit olacaktır.
• Aşağıda gösterileceği gibi, sürekli-zaman işaretleri impuls fonksiyonu, ayrık-
zaman işaretleri ise impuls dizisi cinsinden ifade edilebilir. O halde, sistemin
impulsa olan yanıtı bilindiğinde herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.
• Sistemin impulsa olan yanıtına İMPULS YANITI denir. Giriş-çıkış ilişkisi ayrık-
zaman durumunda KONVOLÜSYON TOPLAMI, sürekli-zaman durumda ise
KONVOLÜSYON İNTEGRALİ ile verilir.
Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi
• Bir ayrık-zaman işaret impulsların toplamı şeklinde düşünülebilir. Aşağıda bir
ayrık-zaman işaretinin [-2, 2] aralığındaki bileşenlerinin impuls dizisi karşılıkları
verilmiştir.
Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi
• Şekilden, beş bileşenin toplamının -2 ≤ n ≤ 2 aralığında x[n]’ye eşit olduğu
görülmektedir. Genelleştirme yaparsak, bir ayrık-zaman işaret x[n] impuls dizisi
cinsinden şöyle yazılabilir:
• Yani, herhangi bir ayrık-zaman işaret ötelenmiş impulsların ağırlıklı toplamı olup
ağırlıklar işaretin değerleridir. Örnek olarak, x[n] = u[n] olsun. k < 0 için u[k] = 0
ve k ≥ 0 için u[k]=1 olduğundan, daha önce tartıştığımız ilişki elde edilir:
][][
...]3[]3[]2[]2[]1[]1[
][]0[]1[]1[]2[]2[]3[]3[...][
knkx
nxnxnx
nxnxnxnxnx
k
0
][][k
knnu
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Bir ayrık-zaman LTI sistemin keyfi bir x[n] girişine olan yanıtını bulmaya
çalışalım. Girişi,
şeklinde yazabilriz.
• Sistemin [n-k]’ya olan yanıtını hk[n] ile belirtelim. Sistem doğrusal olduğundan,
sistemin x[n]’ye yanıtı
olacaktır.
• O halde, ayrık-zaman LTI sistemin - < k < için [n-k]’ya olan yanıtları
(hk[n]’ler!) biliniyorsa, sistemin herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.
][][][ knkxnxk
][][][ nhkxny kk
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Sistem zamanla değişmez olduğundan, hk[n] = h0[n-k] ilişkisi geçerli olmalıdır.
• Çünkü, hk[n] sistemin [n-k]’ya; h0[n] ise [n]’ye olan yanıtıdır. Zamanla
değişmeyen bir sistemde giriş hangi miktarda ötelenmişşe çıkışda aynı miktarda
ötelenir. Girişler arasında k kadar öteleme olduğuna göre, çıkışlar arasında da k
kadar öteleme , yani hk[n] = h0[n-k] olamlıdır.
• Notasyon kolaylığı için h[n] = h0[n] yazacak ve h[n]’ye sistemin İMPULS
YANITI (sisteme [n] uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz.
• Sonuç olarak, bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme
uygulanan giriş x[n] ise, sistemin yanıtı
ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON TOPLAMI denir ve kısaca
y[n] = x[n] * h[n] şeklinde gösterilir.
][ ][][ knhkxnyk
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan
giriş aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Giriş işaretinde sadece iki terim sıfır olduğundan konvolüsyon toplamı iki
terimin toplamından oluşur:
Bu örnek için, impuls yanıtı 0.5 ile çarpılır, 1 birim sağa ötelenip 2 ile çarpılır. İki
işlemden elde edilen sonuçların toplamı çıkışa eşit olur. İlgili işlemler ve sonuç
aşağıda verilmiştir.
]1[2][5.0]1[]1[]0[]0[][ nhnhnhxnhxny
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Giriş ve/veya impuls yanıtı sonsuz değer aldığında konvolüsyon toplamı etkin bir
şekilde hesaplanmalıdır. Çıkışın herhangi bir n anındaki değerinin konvolüsyon
toplamından hesaplandığını hatırlayınız:
• İlk önce, x[k] ve h[n-k] işaretleri k’nın fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon
çarpılarak g[k] = x[k] h[n-k] dizisi elde edilir.
• Daha sonra, g[k] dizisi tüm k değerleri üzerinden toplanarak y[n] bulunur.
• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm n değerleri için tekrarlanır.
• Bu işlem yapılırken h[n-k]’nın h[k]’nın zaman tersine çevrilmiş ve n kadar
ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.
][ ][][ knhkxnyk
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] = u[n] ve sisteme
uygulanan giriş, 0 < α < 1 olmak üzere x[n] = αnu[n] olarak verilmiştir. Sistemin
çıkışını hesaplayınız.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
ÇÖZÜM: Aşağıda x[k] ve h[n-k] n < 0 ve n ≥ 0 için çizilmiştir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Şekillerden n < 0 ise, x[k] ile h[n-k] dizilerinin kesişmeyip x[k] h[n-k] çarpımının
sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, n < 0 ise y[n] = 0.
• n ≥ 0 ise, diziler 0 ≤ k ≤ n aralığında kesiştiğinden x[k] h[n-k] çarpımı şöyle olur:
• y[n]’yi belirlemek için konvolüsyon toplamı hesaplanmalıdır.
halde aksi,0
0,][][
nkknhkx
k
1
1
][][][][][
1
0
0
nn
k
k
n
kk
knhkxknhkxny
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
Özetle,
0,0
0,1
1][
1
n
nny
n
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan
giriş x[n] aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
halde aksi,0
60,][
halde aksi,0
40,1][
nnh
nnx
n
Aralık 1: n < 0.
Aralık 2: 0 ≤ n < 4
Aralık 3: 4 < n ≤ 6
Aralık 4: 6 < n ≤ 10
Aralık 5: n > 10.
• ÇÖZÜM: x[k]h[n-k] çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her
aralıkta ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
• Aralık 1 (n < 0): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.
• Aralık 2 (0 ≤ n < 4):
halde aksi,0
0,][][
nkknhkx
kn
n
k
nn
r
rknny0
1
0 1
1][
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
• Aralık 3 (4 < n ≤ 6):
• Aralık 4 (6 < n ≤ 10):
• Aralık 5 (n ≥ 10): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.
halde aksi,0
46,][][
knknhkx
kn
4
6
74
1
116
10
0
1610
0
6
11
1][
nk
nnrn
r
n
r
rknny
halde aksi,0
40,][][
kknhkx
kn
11
1 ][
14
1
514
0
4
0
1nn
n
k
k
k
nknny
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
Özetle,
10,0
106,1
64,1
40,1
1
0,0
][
74
14
1
n
n
n
n
n
ny
n
nn
n
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi
Bir sürekli-zaman işareti ötelenmiş darbelerin toplamı biçiminde yaklaşık olarak
yazılabilir. Aşağıda bir sürekli-zaman işaretin -Δ ≤ t ≤ Δ aralığındaki darbe
yaklaşıklığı çizilmiştir.
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi
• Δ(t) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlansın:
• Sürekli-zaman işaret yaklaşık olarak şöyle yazılabilir:
• Δ küçüldükçe yaklaşıklık iyileşir ve Δ 0 limit durumunda x(t) elde edilir. Yani,
halde aksi,0
0,1
)(t
t
k
ktkxtx )()()(ˆ
k
ktkx
xtx
)()(lim
(t)ˆlim)(
0
0
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi
• Δ 0 limit durumunda toplama integrale eşit olur (Riemann integral tanımını
hatırlayınız!).
• Ayrıca, Δ 0 limit durumunda Δ(t) fonksiyonu (t)’ye eşit olur. O halde,
• Örnek olarak, x(t) = u(t) olsun. t < 0 için u(t) = 0 ve t ≥ 0 için u(t) = 1 olduğundan
u(t) ile (t) arasında daha önce verdiğimiz aşağıda verilen ilişki elde edilir:
dtxtx )()()(
0
)(
)()()(
dt
dtutu
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
• Bir sürekli-zaman LTI sistemin keyfi bir girişine olan yanıtını bulmaya
çalışalım. Girişi,
şeklinde yazabiliriz.
• Sistemin Δ(t-kΔ) ’ya olan yanıtını ile belirtelim. Sistem doğrusal
olduğundan, ’ye yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir.
• Δ 0 limit durumunda ve doayısıyla olur. Yani,
)(ˆ tx
k
ktkxtx )()()(ˆ
)(ˆ thk
)(ˆ tx
kk tkxty )()()(ˆ
)(ˆ)( txtx )(ˆ)( tyty
dtxtkx
tyty
kk )()()()(lim
)(ˆlim)(
0
0
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
• Sistem zamanla değişmez olduğundan
h (t)= h0(t- )
ilişkisi geçerli olmalıdır.
• Notasyon kolaylığı için h(t) = h0(t) yazacak ve h(t)’ye sistemin İMPULS YANITI
(sisteme (t) uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz.
• Sonuç olarak, bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme
uygulanan giriş x(t) ise, sistemin yanıtı
ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON INTEGRALİ denir ve
kısaca y(n) = x(t) * h(t) şeklinde gösterilir.
dthxty )()()(
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
• Çıkışın herhangi bir t anındaki değerinin konvolüsyon integralinden
hesaplandığını hatırlayınız:
• İlk önce, x( ) ve h(t- ) işaretleri ’nun fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon
çarpılarak g( ) = x(t)h(t- ) işareti elde edilir.
• Daha sonra, g( ) işaretinin değerleri üzerinden inetgrali alınarak y(t) bulunur.
• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm t değerleri için tekrarlanır.
• Bu işlem yapılırken h(t- )’nın h( )’nun zaman tersine çevrilmiş ve t kadar
ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.
dthxty )()()(
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan
giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
)()(
0 ),()(
tuth
atuetx at
ÇÖZÜM: Aşağıda x( ) ve h(t- ) işaretleri t < 0 ve t ≥ 0 için çizilmiştir.
• Şekillerden t < 0 ise, x( ) ve h(t- ) işaretlerinin kesişmeyip x( )h(t- ) çarpımının
sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, t < 0 ise y(t) = 0.
• t ≥ 0 ise, işaretler 0 ≤ ≤ t aralığında kesiştiğinden x( )h(t- ) çarpımı şöyle olur:
• y(t)’yi belirlemek için konvolüsyon integrali hesaplanmalıdır.
• Özetle,
aethx )()(
)1(11
)( |00
attt
aa ea
ea
dety
)()1(1
)( tuea
ty at
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan
giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
halde aksi,020,
)( halde aksi,0
0,1)(
Tttth
Tttx
Aralık 1: t < 0.
Aralık 2: 0 ≤ t < T
Aralık 3: T ≤ t < 2T
Aralık 4: 2T < 4 ≤ 3T
Aralık 5: t > 3T
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
• ÇÖZÜM: x( )h(t- ) çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her aralıkta ayrı
ayrı hesaplanmalıdır.
• Aralık 1 (t < 0): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0.
• Aralık 5 (t > 3T): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0.
• Diğer üç aralıkta x( )h(t- ) çarpımı aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
Çıkışı bulmak için x( )h(t- ) çarpımının ilgili aralıklardaki integrali hesaplanır. Sonuç ve
çıkış işaretinin grafiği aşağıda verilmiştir.
Tt
TtTTTtt
TtTtTt
Ttt
t
ty
3,0
32,2
3
2
1
2,3
1
02
10,0
)(
22
2
2
Hafta 4:
Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler
1 4.Hafta
• LTI sistemlerin özellikleri
• Diferansiyel denklemlerle tanımlanmış sürekli-zaman nedensel LTI sistemler
• Fark denklemleriyle tanımlanmış ayrık-zaman nedensel nedensel LTI sistemler
• Tekil fonksiyonlar
Ele Alınacak Ana Konular
2 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Konvolüsyon işlemi, değişme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,
• Bu ilişkiler, basit değişken dönüşümleriyle ispatlanabilir. Örneğin, ayrık-zaman
durumunda r = n-k değişken dönüşümü yapılırsa
• Özetle, bir LTI sistemde giriş ve impuls yanıtının rolleri değiştirilirse çıkış aynı
kalmaktadır:
dtxhtxththtx
knxkhnxnhnhnxk
)()()(*)()(*)(
][][][*][][*][
k r
nxnhrhrnxknhkxnhnx ][*][][][][][][*][
3 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Konvolüsyon işlemi, dağılma özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,
• Bu ilişkileri ispatlamak zor değildir. Sürekli-zaman durumu için ilişkilerin blok
diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:
• Özetle, paralel olarak bağlanmış LTI sistemler, impuls yanıtı parelel bağlamadaki
LTI sistemlerin impuls yanıtlarının toplamına eşit olan tek bir sisteme eşdeğerdir.
)(*)()(*)()]()([*)(
][*][][*][])[][(*][
2121
2121
thtxthtxththtx
nhnxnhnxnhnhnx
4 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Konvolüsyon işlemi, birleşme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak,
• Ayrık-zaman durumu için ilişkilerin blok diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:
• Özetle, seri olarak bağlanmış iki LTI sistem, impuls yanıtı seri bağlamadaki
sistemlerim impuls yanıtlarının konvolüsyonuna eşit olan tek bir sisteme
eşdeğerdir.
)(*)](*)([)](*)([*)(
][*])[*][(])[*][(*][
2121
2121
ththtxththtx
nhnhnxnhnhnx
5 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Konvolüsyon işlemi değişme özelliğine sahip olduğundan iki işaretin
konvolüsyonu herhangi bir sırada yapılabilir. O halde, değişme ve birleşme
özelliklerinden
• Sonuç olarak, seri olarak bağlanmış LTI sistemlerde sistemlerin sırası
değiştirildiğinde toplam yanıtın değişmeyeceği anlaşılmaktadır. Yani,
6 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Hafızasız sistem tanımından, LTI sistemlerin hafızasız olabilmesi için ayrık-zaman
durumunda n ≠ 0 için h[n] = 0, sürekli-zaman durumunda ise t ≠ 0 için h(t) = 0
olmalıdır. Yani,
• K =1 durumunda konvolüsyon toplamı ve konvolüsyon integrali aşağıdaki
sonuçları verecektir:
• Toplama işleminde, herhangi bir sayının sıfır ile toplamı kendine; çarpma
işleminde herhangi bir sayının 1 ile çarpımı kendine eşittir. Konvolüsyon
işleminde ise, bir işaretin impuls ile konvolüsyonu kendine eşit olmaktadır. O
halde, konvolüsyon işleminin BİRİM OPERATÖRÜ impuls fonksiyonudur.
)()(
][][
tKth
nKnh
)()(*)( )()()(*)(
][][*][ ][][][][*][
txttxdtxttx
nxnnxnxknkxnnxk
7 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Herhangi bir LTI sistemin tersinin de LTI olacağı gösterilebilir.
• Bir işaret, sisteme uygulanıp sistemin çıkışı da ters sisteme uygulandığında tekrar
işaret geri elde edilir. Bu gözlem, sürekli-durumda aşağıda özetlenmiştir:
• O halde, sistem ve tersinin seri bağlanmasından oluşan toplam sistemin impuls
yanıtı impuls fonksiyonuna eşit olmalıdır. Sistemin ve tersinin impuls yanıtları
sırasıyla h ve h1 ile gösterilsin. İmpuls yanıtları arasındaki ilişki
eşitlikleriyle verilir.
][][*][
)()(*)(
1
1
nnhnh
tthth
8 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t) = x(t-t0)
ile verilmektedir. Ters sistemin impuls yanıtını bulunuz.
ÇÖZÜM: Sistemin impuls yanıtını bulmak için girişine δ(t) uygulanmalıdır. O halde,
Sisteme x(t) uygulandığında çıkış
y(t) = x(t) * h(t) = x(t) * δ(t-t0) = x(t-t0).
olup sistem girişi t0 kadar ötelemektedir. Çıkış, ters yönde t0 kadar ötelenirse giriş
geri elde edilecektir. Yani, ters sistemin impuls yanıtı h1(t) = δ(t+t0) olmalıdır.
Yanıtımızı kontrol edelim:
)()( 0ttth
)(
)(
)(*)()(*)(
00
001
t
ttt
ttttthth
9 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Bir LTI sistemin nedensel olabilmesi (çıkışın girişin gelecekteki değerlerine bağlı
olmaması) için impuls yanıtı bağımsız değişkenin negatif değerleri için sıfır
olmalıdır. Yani,
• O halde, nedensel bir LTI sistemde giriş belirli bir ana kadar sıfır ise çıkış da o ana
kadar sıfır olacaktır.
• Nedensel LTI sistemler için konvolüsyon denklemleri aşağıdaki gibi olur:
0. t,0
0n ,0][
h(t)
nh
t
k
n
k
dtxhdthxty
knxkhknhkxny
0
0
)()()()()(
][][][][][
10 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• Bir LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtının sağlaması gereken koşulu
ayrık-zamanda çıkaralım. Sürekli-zamanda adımlar benzer olduğundan sadece
sonuç verilecektir.
• B bir sabit olmak üzere, impuls yanıtı h[n] olan sistemin girişine tüm n değerleri
için |x[n]| < B koşulunu sağlayan bir herhangi bir giriş uygulandığında çıkışın
genliği konvolüsyon toplamı kullanılarak bulunabilir:
• Sonsuz tane sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin
toplamından küçük (veya eşit) ve iki sayının çarpımının mutlak değeri sayıların
mutlak değerlerinin çarpımına eşit olduğundan
k
knxkhny ][][][
k
knxkhny |][| |][|][
11 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• En son toplamada, girişin genliği tüm anlarda B’den küçük olduğundan, girişin
genliği yerine B yazılırsa toplamanın değeri daha fazla büyüyeceğinden
• Son eşitsizlikten, çıkışın sonlu ve dolayısıyla sistemin kararlı olabilmesi için
impuls yanıtının mutlak toplanabilir olması gerektiği sonucu çıkmaktadır:
• Benzer şekilde, bir sürekli-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls
yanıtının mutlak integrallenebilir olması gerektiği gösterilebilir:
k
khBny ][][
k
kh ][
dtth )(
12 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
ÖRNEK: İmpuls yanıtları aşağıda verilen sistemlerin kararlılığını belirleyiniz.
(a) h[n] = δ(n-n0), (b) h(t) = δ(t-t0), (c) h[n] = u(n), (d) h(t) = u(t).
ÇÖZÜM:
(a) Sistem kararlıdır çünkü
(b) Sistem kararlıdır çünkü
(c) Sistem kararsızdır çünkü
(d) Sistem kararsızdır çünkü
nn
nnnh 1][][ 0
1)()( 0 dtttdtth
nn
nunh ][][
dttudtth )()(
13 4.Hafta
LTI Sistemlerin Özellikleri
• LTI sistemlerin davranışını belirlemek için BİRİM BASAMAK YANITI (sisteme
birim basamak uygulandığında elde edilen yanıt) da kullanılabilir. Bu nedenle,
impuls yanıtı ile birim basamak yanıtı arasındaki ilişkiyi bulmak faydalı olabilir.
• Ayrık-durumda sistemin birim basamak yanıtını s[n] ile gösterelim. h[n] ile s[n]
arasındaki ilişki konvolüsyon toplamı kullanılarak belirlenebilir:
• Yukarıdaki ilişki eşdeğer olarak , h[n] = s[n] - s[n-1] şeklinde de yazılabilir.
• Sürekli-durumda h(t) ile s(t) arasındaki ilişki konvolüsyon integralinden bulunur:
k
n
k
khknukhns ][][][][
)()(
)(
)()()()(
' tsdt
tdsth
dhdtuhtst
14 4.Hafta
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• y(t) çıkış, x(t) giriş olmak üzere, bir sürekli-zaman sisteminde giriş-çıkış ilişkisi
aşağıdaki gibi olsun:
• Diferansiyel denklem giriş ile çıkış arasında bir kısıt vermektedir, ancak bu kısıt
çözüm için yeterli değildir. Çözüm için başlangıç koşulları da belirtilmelidir.
• Bu derste, nedensel sürekli-zaman LTI sistemleri tanımlamada diferansiyel
denklemler kullanacağız. Nedensel LTI sistemler için başlangıç koşulları özel bir
şekildedir.
• Diferansiyel denklemi, K gerçel bir sayı olmak üzere x(t) = K e3t u(t) girişi için
çözelim. y(t), özel (yp(t)) ve homojen çözümün (yh(t)) toplamına eşittir:
)()(2)(
txtydt
tdy
)()()( tytyty hp
15 4.Hafta
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• Özel çözüm diferansiyel denklemi sağlayan bir çözüm, homojen çözüm ise giriş
sıfırken diferansiyel denklemin çözümüdür.
• Özel çözümün girişle aynı forma sahip olduğu ancak parametrelerinin bilinmediği
varsayılır. Yani, A bilinmeyen bir sabit olmak üzere yp(t) = Ae3t. Çözüm,
diferansiyel denklemde yerine konulursa:
• Homojen çözümün, B ve s sabitler olmak üzere yh(t) = Best şeklinde olduğu
varsayılır. yh(t) diferansiyel denklemde yerine konulursa, aşağıdaki sonuç bulunur:
• s = -2 olmalıdır ve homojen çözüm herhangi bir B için Be-2t’dir. Sonuç olarak,
tttt eK
tK
AtKeAeAe 3
p
333
5)(y ,
5 0 ,23
0)2(2 seBesBe ststst
.0 ,5
)()()( 32 teK
Betytyty tt
ph
16 4.Hafta
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• Görüldüğü gibi, soruda verilen bilgiler B sabitinin değerini belirlemek için yeterli
değildir.
• Sistemin nedensel olduğu varsayılırsa, t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0
olmalıdır. Örneğimizde t < 0 için x(t) = 0 olup t < 0 için y(t) = 0 olacaktır. Çözüm
t = 0’da hesaplanıp sıfıra eşitlenirse B hesaplanabilir:
• O halde, çözüm tam olarak aşağıdaki gibi olur.
550
KB
KB
)()(5
)( 0),(
5
0,0)( 23
23 tueeK
tytee
Kt
ty tttt
17 4.Hafta
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• Genelleştirme yaparsak, N. Dereceden sabit katsayılı diferansiyel denklem
aşağıdaki şekilde verilir:
• Çıkışın en yüksek dereceden türevine diferansiyel denklemin derecesi denir.
Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir.
• Diferansiyel denklem tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da
belirtilmelidir. Farklı başlangıç koşulları farklı çözümler verir.
• Ancak, sistem nedensel ise t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0 olacağından
başlangıç koşulları bulunabilir ve t > t0 için y(t) hesaplanabilir. İlgili başlangıç
koşulları şöyledir:
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
)()(
.0)(
...)()(
)(1
0
1
2
0
2
00
N
N
dt
tyd
dt
tyd
dt
tdyty
18 4.Hafta
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• N. dereceden sabit katsayılı bir fark denklemi aşağıdaki şekilde verilir:
• Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir.
• Fark denklemi tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da
belirtilmelidir. Fark denklemi şu şekilde de düzenlenebilir:
• O halde, y[n]’nin hesaplanabilmesi için y[n-1], y[n-2], …, y[n-N] başlangıç
koşullarının bilinmesine gerek vardır.
• Sürekli durumda olduğu gibi sistemin nedensel olduğu biliniyorsa başlangıç
koşulları belirlenebilir ve fark denklemi çözülebilir.
M
k
k
N
k
k knxbknya00
][][
M
k
N
k
kk knyaknxba
ny0 10
][][1
][
19 4.Hafta
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• Fark denkleminin, N’nin sıfırdan farklı olup olmamasına göre iki şekli vardır:
• N = 0 durumunda, çıkış sadece girişe bağlı olup çözüm için başlangıç koşulları
gerekli değildir. Bu tür denklemlere YİNELEMELİ OLMAYAN denklem denilir.
• Yinelemeli olmayan fark denkleminde x[n] = δ[n] yapılırsa sistemin impuls yanıtı
elde edilir:
• İmpuls yanıtı, sonlu sayıda değer aldığından yinelemeli olmayan fark
denklemleriyle tanımlanan LTI sistemlere SONLU İMPULS YANITLI (FIR)
sistem denilir.
.0 ],[y[n]
,0 ,][][1
][
0 0
0 10
Nknxa
b
Nknyaknxba
ny
M
k
k
M
k
N
k
kk
halde aksi,0
0,][
0
Mna
b
nhn
20 4.Hafta
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
• .N ≠ 0 durumunda, çıkış hem giriş hem çıkışa bağlı olup için başlangıç koşullarına
gerek vardır. Bu tür fark denklemlerine YİNELEMELİ fark denklemi denilir.
• ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıdaki fark denklemiyle verilen ayrık-zaman
nedensel LTI sistemi ele alalım:
• Görüldüğü gibi, çıkışın herhangi bir andaki değerinin hesaplanabilmesi için bir
önceki değeri bilinmelidir.
• x[n] = Kδ[n] olsun. n < 0 için giriş sıfır olduğundan n < 0 için y[n] = 0 olmalıdır.
Bu nedenle, n < 0 için çıkışın hesaplanmasına gerek yoktur.
• n ≥ 0 için başlangıç koşulu olarak y[-1] = 0 seçip hesaplamalara başlayabiliriz.
]1[2
1][][ nynxny
21 4.Hafta
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler
Knynxny
Kyxy
Kyxy
Kyxy
n
2
1]1[
2
1][][
.
.
2
1]1[
2
1]2[]2[
2
1]0[
2
1]1[]1[
]1[2
1]0[]0[
2
• K = 1 için x[n] = δ[n] olup sistemin impuls yanıtı olur.
• İmpuls yanıtı, sonsuz sayıda değer aldığından yinelemeli fark denklemleriyle
tanımlanan LTI sistemlere SONSUZ İMPULS YANITLI (IIR) sistem denilir.
][2
1][ nunh
n
22 4.Hafta
Birinci DerecedenFark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi
ele alalım:
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir
sabitle çarpma ve birim gecikme operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.
]1[][][ naynbxny
23 4.Hafta
Birinci Dereceden Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• O halde, fark denklemi aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.
• Blok diyagram, sistemin gerçekleştirilebilmesi için hafıza elemanına ve başlangıç
koşullarının bilinmesine gerek olduğunu göstermektedir.
• Birim gecikme elemanı hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli bir önceki
çıkış değerini saklamaktadır. Sistem nedensel ise, giriş uygulanıncaya kadar hafıza
elemanında saklanan değer sıfırdır.
24 4.Hafta
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi
ele alalım:
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir
sabitle çarpma ve türev alma operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.
)()(1
)()()()(
tbxdt
tdy
atytbxtay
dt
tdy
25 4.Hafta
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• O halde, diferansiyel denklem aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.
• Türevin gerçekleştirilmersi zordur ve türev işlemi gürültü ile hatalara karşı
oldukça duyarlıdır.
• İntegral işleminin gerçekleştirilmesi ise kolaydır. Bu nedenle blok diyagram
gösteriliminde integratör kullanılması tercih edilir.
26 4.Hafta
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• Diferansiyel denklemin her iki tarafının integrali alınırsa eşdeğer gösterilim elde
edilir:
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir
sabitle çarpma ve integral alma işlemleri gereklidir. İntegratör tanımı ve sistemin
blok diyagram gösterilimi aşağıda verilmiştir:
daybxtytaytbxdt
tdy t
)()()()()(
)(
27 4.Hafta
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman
LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi
• İntegratörler, işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılarak gerçekleştirilebilir.
• Bu nedenle, sürekli-zaman sistemlere karşılık gelen blok diyagram gösterilimi
modern analog hesaplayıcılara temel teşkil etmektedir.
• İntegratör hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli başlangıç değerini
saklamaktadır. Bunu görmek için, integral işleminin aşağıdaki şekilde yeniden
düzenlenebileceğine dikkat ediniz:
• İntegratör y(t0) başlangıç değerini saklamaktadır.
• Hem ayrık hem de sürekli durumda yüksek dereceden sistemlere karşılık gelen
blok diyagramlar benzer şekilde elde edilebilir.
daybxtytydaybxtyt
t
t
0
)()()()( )()()( 0
28 4.Hafta
Hafta 5:
Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• LTI sistemlerin karmaşık üstel işaretlere yanıtı
• Sürekli-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi
• Fourier serisinin yakınsaklığı
• Sürekli-zaman Fourier serisinin özellikleri
Ele Alınacak Ana Konular
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
• LTI sistemlerin analizinde faydalı bir yaklaşım, işaretleri aşağıdaki iki özelliği
sağlayan temel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil etmektir:
1. Temel işaretler, geniş ve faydalı bir işaret kümesini oluşturabilmelidir.
2. Bir LTI sistemin temel bir işarete yanıtı basit olmalıdır. Böylece, LTI
sistemin bir girişe yanıtı, basit yanıtların doğrusal kombinasyonu olacaktır.
• Bu iki özelliği, hem sürekli hem de ayrık durumda karmaşık üstel işaretler
sağlamaktadır.
• LTI bir sistemin çıkışı, girişin karmaşık bir sabitle çarpımına eşitse girişe
SİSTEMİN ÖZFONKSİYONU, karmaşık sabite SİSTEMİN ÖZDEĞERİ denilir.
• s ve z karmaşık sayılar olmak üzere, aşağıda gösterildiği gibi sürekli-zamanda est,
ayrık-zamanda zn LTI sistemlerin özfonksiyonudur.
• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında
sistemin çıkışı konvolüsyon integralinden hesaplanabilir:
• Eşitliğin sağındaki integralin yakınsadığını varsayalım. İntegralin değeri s’e
bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. İntegralin sonucunu H(s) ile gösterlim:
• O halde, y(t) = H(s)est (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani,
karmaşık üstel est işaretinin sürekli-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu
göstermiş olduk.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
dehe
dehdtxhty
sst
ts
)(
)()()()( )(
dehsH s)()(
• Benzer işlemler ayrık-zamanda yapılabilir. İmpuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman
LTI sistemin zn girişine olan yanıtı konvolüsyon toplamından hesaplanır:
• Eşitliğin sağındaki toplamanın yakınsadığını varsayalım. Toplamanın değeri z’ye
bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. Toplamanın sonucunu H(z) ile gösterlim:
• O halde, y[n] = H(z)zn (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani,
karmaşık üstel zn işaretinin ayrık-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu
göstermiş olduk.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
k
kn
k k
kn
zkhz
zkhknxkhny
][
][][][][
k
kzkhzH ][)(
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sisteme üç adet karmaşık üstel
işaretin toplamına eşit olan bir giriş uygulayalım.
• Özfonksiyon özelliğinden, sistemin karmaşık üstel işaretlere yanıtı şöyledir:
• Sistem doğrusal olduğundan, karmaşık üç üstel işaretin toplamından oluşan girişe
olan yanıtı üstel işaretlere olan yanıtlarının toplamına eşittir:
tststseaeaeatx 321
321)(
tsts
tsts
tsts
esHaea
esHaea
esHaea
33
22
11
)(
)(
)(
333
222
111
tststsesHaesHaesHaty 321 )()()()( 332211
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
• Yukarıdaki sonucu genelleştirebiliriz. Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi x(t),
karmaşık üstel işaretlerin ağırlıklı toplamı (doğrusal kombinasyonu) olsun:
• Doğrusallık ve özfonksiyon özelliklerinden, sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur:
• Benzer şekilde, bir ayrık-zaman LTI sistemin girişi x[n], ayrık-zaman karmaşık
üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu olsun:
• Sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur:
k
tsk
keatx )(
k
tskk
kesHaty )()(
k
nkk zanx ][
k
nkkk zzHany )(][
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
• GÖZLEM: Bir LTI sistemin girişi karmaşık üstel işaretlerin doğrusal
kombinasyonu ise, çıkışı da aynı üstel işaretlerin doğrusal bir kombinasyonudur.
Çıkış işaretinin gösterilimindeki katsayılar, giriş işaretinin gösterilimindeki
katsayılar ile karmaşık üstel işaretlere karşılık gelen sistem özdeğerlerinin
çarpımına eşittir.
• Bu gözlem, Fourier ve kendisinden sonra gelenlerin herhangi bir işaretin
karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde nasıl yazılabileceği
hakkında araştırma yapmalarına ön ayak olmuştur.
• Bu ve önümüzdeki haftalar, soruyu sırasıyla sürekli ve ayrık-zaman periyodik
işaretler için yanıtlayacak, daha sonraki haftada periyodik olmayan işaretler
durumunu ele alacağız.
• s ve z herhangi bir karmaşık sayı olabilir. Ancak, Fourier analizinde s ve z sırasıyla
s = j ve z = e j varsayılacaktır. Laplace ve z-dönüşümü konularında s ve z
herhangi bir karmaşık sayıya genelleştirilecektir.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı
ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t)=x(t-3)
ve sisteme uygulanan giriş x(t) = ej2t olsun. Sistemin çıkışı şöyledir:
Uygulanan giriş bir özfonksiyon olduğundan bu sonucu aslında bekliyorduk. Girişe
karşılık gelen özdeğeri hesaplayalım. Sistemin impuls yanıtının h(t) = (t-3) olduğu
açıktır. O halde,
Örneğimizde s = j2 olduğundan, girişe karşılık gelen özdeğer H(j2) = e-j6 olarak elde
edilir. Görüldüğü gibi çıkış, giriş ile girişe karşılık gelen ödeğerin çarpımına eşittir.
.
tjjtj eeety 26)3(2)(
sss ededehsH 3)3()()(
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde
yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım:
• Harmonik ilişkili üstel işaretlerin herbirinin T ile periyodik olduğunu görmüştük.
O halde, x(t)’de T ile periyodiktir.
• k = 0 için, toplamadaki üstel işaret sabittir. k = 1 için üstel işaretlerin temel
frekansı 0’dır ve bu terimlere TEMEL veya BİRİNCİ HARMONİK bileşenler
denir. k = 2 için üstel işaretlerin temel frekansı 20’dır ve bu terimlere ikinci
harmonik bileşenler denir. Genel olarak, k = N için toplamadaki karmaşık üstel
işaretlere N. HARMONİK bileşenler denir.
• Periyodik bir işaretin yukarıdaki gibi toplama şeklinde ifade edilmesine
FOURİER SERİSİ gösterilimi denir.
k k
tTjkk
tjkk eaeatx /20)(
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
ÖRNEK: Temel frekansı 2 olan bir sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisi
gösterilimi aşağıda verilmiştir:
Katsayılar toplamada yerine konularak işaretin analitik ifadesi elde edilebilir:
Euler ilişkisi kullanılarak, işaret trigonometrik fonksiyonlar cinsinden de yazılabilir:
.
3
1 ,
2
1 ,
4
1 ,1
)(
3322110
3
3
2
aaaaaaa
eatxk
tjkk
tjtjtjtjtjtj eeeeeetx 664422
3
1
2
1
4
11)(
)6cos(3
2)4cos()2cos(
2
11)( ttttx
Harmonik bileşenlerin işareti nasıl olusşturduğu aşağıda gösterilmiştir.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Sürekli-zaman gerçel periyodik işaretler için Fourier serisinin diğer bir gösterilimi
vardır. Gerçel bir işaret için x*(t) = x(t) olduğundan
• Son ifade, Fourier serisi gösterilimi ile karşılaştırılırsa ak = a*-k veya eşdeğer
olarak a*k = a-k sonucu çıkar. Bu sonuçtan yararlanılarak Fourier serisi aşağıdaki
gibi yazılabilir:
k
tjkk
k
tjkk
k
tjkk eaeaeatx 000 **
*
)(
10
1
*0
10
0
00
000
Re2
)(
k
tjkk
k
tjkk
tjkk
k k
tjkk
tjkk
tjkk
eaa
eaeaa
eaeaaeatx
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Son ifadede ak kutupsal koordinatlarda Ak ejk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen
eşdeğer trigonometrik gösterilim elde edilir:
• ak kartezyen koordinatlarda Bk + jCk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen diğer bir
trigonometrik gösterilim elde edilir:
100
10
)cos(2
Re2)( 0
kkk
k
tjkjk
tkAa
eeAatx k
1000
10
)sin()cos(2
Re2)( 0
kkk
k
tjkkk
tkCtkBa
ejCBatx
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Şimdi de, periyodik bir işaret için Fourier serisi katsayılarının nasıl
hesaplanabileceğini tartışacağız.
• Fourier serisi gösteriliminde, eşitliğin her iki tarafı e-jn0t ile çarpıldıktan sonra
çarpımın [0,T] aralığında integrali alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir:
• Köşeli parantez içindeki ifade Euler formülü kullanılarak yeniden düzenlenebilir:
k
T tnkjk
tjnT T
k
tjkk
tjn
dtea
dteeadtetx
][
)(
0
][
0 0
0
000
dttnkjdttnkdteTT Ttnkj
0 00 0 0][
])sin[(])cos[(0
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• k n için cos[(k-n)0t] ve sin[(k-n)0t] işaretleri T/|k-n| temel periyodu ile
periyodiktir. İntegralın alındığı aralık T uzunluğunda olup temel periyodun |k-n|
katıdır.
• Sinüs ve kosinüs işaretlerinin bir periyodunda, işaretlerin sıfırın üstünde ve altında
kalan kısımları aynı alana sahip olup bu işaretlerin bir periyod ve dolayısıyla da
bir periyodun tamsayı katı uzunluğundaki bir aralıktaki integrali sıfıra eşittir. k
n için her iki integral sıfıra eşittir.
• k = n için, integrand 1 olup integralin sonucu T’ye eşittir. Özetle,
• O halde, seri gösterilimindeki katsayılar şöyle hesaplanır:
T tnkj
nknkT
dte0
][
,0,
0
T tjn
n dtetxT
a0
0)(1
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Yukarıda bulunan sonucun, T uzunluklu herhangi bir aralık için geçerli olduğuna
dikkat ediniz. T uzunluklu herhangi bir aralık boyunca integral T notasyonu ile
gösterilmek üzere, sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve
açılımdaki katsayıların hesabı aşağıdaki eşitliklerde verilmiştir:
• İşaretin seri şeklinde gösterilimine SENTEZ, katsayıların nasıl hesaplanacağını
veren eşitliğe ise ANALİZ denklemi denilir. a0 katsayısı, işaretteki sabit veya DC
bileşen olup işaretin bir periyod boyunca ortalama değeridir:
dtetxT
dtetxT
a
eaeatx
tTjk
T
tjk
Tk
k k
tTjkk
tjkk
)/2(
/2
)(1
)(1
)(
0
0
T
dttxT
a )(1
0
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
ÖRNEK: Temel periyodu T ve temel frekansı 0 = 2/T olan periyodik kare dalganın
Fourier serisi gösterilimini elde ediniz.
ÇÖZÜM: İşaretin bir periyodunun matematiksel ifadesi şöyledir:
Fourier serisi katsayılarını bulmak için T uzunluklu herhangi bir aralık seçilebilir.
İşaret, t = 0 etrafında simetrik olduğundan aralık olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 seçilmesi
mantıklıdır.
2/||,0
||,1)(
1
1
TtT
Tttx
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
İlk önce a0’ı belirleyelim.
Diğer katsayılar (ak, k 0) benzer şekilde hesaplanır:
Katsayılar sabit bir T1 ve değişik T değerleri için aşağıda çizilmiştir. Bu örnek için
katsayılar gerçel çıktığından katsayılar için bir grafik yeterli olmuştur. Katsayıların
karmaşık sayı olması halinde, gerçel ve sanal kısımları çizmek için iki grafiğin
gerekli olacağına dikkat ediniz.
T
T
T
T
T T
Tdt
Tdt
Tdttx
Ta
2/
2/
10
1
1
211)(
1
k
Tk
Tk
Tk
j
ee
Tk
dteT
dtetxT
a
TjkTjk
T
T
T
T
tjktjkk
)sin()sin(2
2
2
1)(
1
10
0
10
0
2/
2/
1010
1
1
00
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda
verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim.
Çözüm: Euler ilişkisiden işaret karmaşık üstel işaretlerin toplamı şeklinde yazılabilir:
O halde x(t)’nin Fourier serisi katsayıları ifadeye bakılarak doğrudan yazılabilir
)4
2cos()cos(2)sin(1)( 000
ttttx
tjjtjjtjtj
tjtjtjtjtjtj
eeeeej
ej
eeeeeej
tx
0000
000000
24/24/
)4/2()4/2(
2
1
2
1
2
11
2
11
2
1
2
11)(
.3 ,0
)1(4
2 ),1(
4
2
2
11
2
11 ,
2
11
2
11 ,1
4/2
4/2
110
ka
jeajea
jj
ajj
aa
k
jj
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Katsayıların genliği ve fazı, k’ya bağlı olarak aşağıda çizilmiştir.
ÖRNEK: Örnekleme bahsinde kullanılacak periyodik impuls dizisininFourier serisi
katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: İşaret, analiz denkleminde yerine konularak katsayılar hesaplanabilir.
İşaret simetrik olduğundan integral aralığı olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 almak uygundur.
–T/2 ≤ t ≤ T/2 aralığında x(t) = (t) olduğundan,
Not: Yukarıdaki sonucu bulurken şu özelliği kullandık:
k
kTttx )()(
dtetxdtetxT
at
Tjk
T
T
T
tT
jk
k
22/
2/
2
)()(1
Te
Tdtet
Ta T
jkT
T
tT
jk
k
11)(
1 02
2/
2/
2
)0()()(2/
2/fdttft
T
T
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• Kare dalgada süreksizlikler vardır. Halbuki seri gösterilimindeki harmonik ilişkili
karmaşık üstel işaretlerin hepsi süreklidir. Süreksiz bir işaretin sürekli işaretlerle
temsil edilebileceğine şüpheyle bakılmıştır.
• Fourier’in tespitleri dönemin usta matematikçisi Lagranage tarafından veto
edilmiştir. Hatta, dönemin diğer matematikçileri Lacroix, Monge ve Laplace’nin
Fourier’e desteği bile araştırmaların yayınlanması için yeterli olmamıştır.
Fourier’in araştırmaları vefatından sonra yayınlanabilmiştir.
• Fourier serisinin geçerliliğini göstermek için, bir sürekli-zaman periyodik işaretin
sonlu sayıda harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretle temsilini ele alalım:
• eN(t) yaklaşıklık hatasını göstersin:
N
Nk
tjkkN eatx 0)(
N
Nk
tjkkNN eatxtxtxte 0)()()()(
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• Farklı yaklaşıklıkları birbiriyle karşılaştırabilmek için, yaklaşıklık hatasının
boyutunu veren bir ölçüt kullanmamız gereklidir. Ölçüt olarak, bir periyot
boyunca hatanın enerjisini kullanacağız.
• Hatanın enerjisini minimum yapan katsayıların
olduğu gösterilebilir (ödevlerin birinde bu sonuç ispatlanacaktır!). Yani, hatayı
minimum yapan katsayılar Fourier serisi katsayılarına eşittir. O halde, x(t)’nin
Fourier serisi gösterilimi varsa, N büyüdükçe hata azalır ve N limit
durumunda EN sıfıra eşit olur.
• Şimdi de periyodik bir işaretin hangi koşullar altında Fourier serisi gösterilimine
sahip olacağını belirlemeye çalışalım.
T NN dtteE2
)(
T
tjkk dtetx
Ta 0)(
1
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• İki durumla karşılaşmak mümkündür: (i) katsayıların hesaplanmasına imkan veren
integral yakınsamayabilir (bazı katsayılar sonsuz olabilir), (ii) katsayıların hepsi
sonlu olsa bile, bu katsayılar sentez denkleminde yerine konulduğunda elde edilen
seri orijinal işareti vermeyebilir.
• Periyodik bir işaret, bir periyod boyunca sonlu enerjiye sahi, yani
ise, Fourier serisi katsayılarının sonlu olacağı gösterilebilir. Bu durumda, işaret ile
Fourier serisi gösterilimi arasındaki hatanın enerjisi bir periyot boyunca sıfır
olacaktır.
• Bu sonuç, Fourier serisi gösteriliminin işarete eşit olduğu anlamına gelmediğini,
ancak ikisi arasındaki farkta enerji olmadığını belirtmektedir.
• Fiziksel sistemler, işaretin enerjisine yanıt verdiğinden, bu anlamda işaret ile
Fourier serisi gösterilimi eşdeğerdir. İlgilendiğimiz çoğu periyodik işaretin enerjisi
sonlu olup bu işaretler için Fourier serisi gösterilimi mevcuttur.
dttxT
2)(
k
tjkk dtteeatxte
T
20)( )()( 0
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• Dirichlet, periyodik bir işaret ile Fourier serisi gösteriliminin, işaretin süreksiz
olduğu noktalar hariç eşit olabilmesi için koşulları belirlemiştir. Süreksizlik
noktalarında seri, işaretin süreksizlik noktasında soldan ve sağdan limitlerinin
ortalamasına eşit olur. Dirichlet koşulları aşağıda verilmiştir.
• Koşul 1: İşaret bir periyod boyunca mutlak integrallenebilir olmalıdır:
• Koşul 2: Bir periyot boyunca, işaretin sonlu sayıda minimum ve maksimumu
olmalıdır.
• Koşul 3: Sonlu bir aralıkta, işarette sonlu sayıda süreksizlik olmalı ve ayrıca
süreksizlik noktalarında işaretin değeri de sonlu olmalıdır.
• Dirichlet koşullarını ihlal eden işaretler örnekler aşağıda verilmiştir.
T
dttx )(
Koşul 1’i ihlal eden bir işaret
Koşul 2’yi ihlal eden bir işaret
Koşul 3’ü ihlal eden bir işaret
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• Dirichlet koşullarını sağlamayan işaretlerin fiziksel sistemlerde karşımıza çıkma
olasılığının oldukça az olduğu örneklerden görülmektdir.
• 1898 yılında, Amerikan fizikçi Albert Michelson, sonlu Fourier serisini N = 80’e
kadar hesaplayan bir aygıt (modern adıyla harmonik analizör) geliştirmiştir.
• Michelson, aygıtını pek çok periyodik işaret için test etmiştir. Michelson, kare
dalga için ummadığı sonuçlar elde edince geliştirdiği aygıtın hatalı olabileceğini
düşünmüş ve konuyu matematiksel fizikçi Josiah Gibbs ile paylaşmıştır.
• Gibbs, problemi derinlemesine incelemiş ve düşüncelerini 1899 yılında Michelson
ile paylaşmıştır.
• Periyodik kare dalga, Dirichlet koşullarını sağladığından, sonlu serideki terim
sayısı sonsuza giderken süreksizlik noktalarında serinin limiti süreksizlik
değerinin ortalamasına eşit olmalıdır. Diğer noktalarda, seri işarete yakınsamalıdır.
Çeşitli N değerleri için yaklaşık işaret ve kare dalga aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı
• Michelson’un Gözlemi: Sonlu seri, süreksizlik noktalarında dalgalanmalar
vermektedir. Dalgalanmaların tepe genliği N’den bağımsızdır ve N arttıkça
azalmamaktadır.
• Gibbs’in Açıklaması: İşaretin süreksiz olmadığı bir t1 noktası süreksizlik noktasına
yaklaştıkça hatanın küçük olması için N büyük olmalıdır. Bu nedenle, N arttıkça
dalgalanmalar süreksizlik noktası etrafında yoğunlaşır ancak dalgalanmanın
maksimum genliği sabit kalır.
• Bu gözleme GIBBS OLAYI denir. Yani, süreksiz bir işaretin sonlu terimli Fourier
serisi yaklaşıklığı yüksek frekanslı dalgalanmalar içerir ve süreksizlik noktasında
işaretten daha yüksek değer alır.
• Sonlu terimli Fourier serisi kullanılacaksa, dalgalanmalardaki toplam enerji ihmal
edilebilecek kadar küçük olacak şekilde yeterince büyük N değeri seçilmelidir.
Limit durumunda, hatasının enerjisi sıfır olur ve Fourier serisi yakınsar.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
• Temel periyodu T ve temel frekansı ω0 = 2π/T olan periyodik bir işaretin Fourier
serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için
notasyonunu kullanacağız.
• Sürekli-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier
serisi katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını
elde etmek kolaylaşmaktadır.
• Fourier dönüşümü konusunda da göreceğimiz gibi, çoğu özellik Fourier
dönüşümünün özelliklerinden elde edilebilir. Bu nedenle, sadece en önemli
özellikleri sıralayacak ve yorumlayacağız.
k
FS
atx )(
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik 1 (Zamanda öteleme): ise,
İspat: Periyodik bir işaret, zamanda ötelenirse periyodikliği korunur ve periyodu
değişmez. Ötelenmiş y(t) = x(t-t0) işaretinin Fourier serisi katsayıları bk olsun:
İntegralde, τ = t-t0 değişken dönüşümü yapalım. t, uzunluğu T olan bir aralıkta
değişiyorsa τ’da uzunluğu T olan bir aralıkta değişecektir. O halde,
Yorum: olduğundan, .
(Periyodik bir işaret ötelendiğinde Fourier serisi katsayılarının genliği değişmez!)
k
FS
atx )( k
tTjk
k
tjkFS
aeaettx 000 )/2(
0 )(
T
tjk
T
tjk
k dtettxT
dtetyT
b 00 )(1
)(1
0
k
tTjk
k
tjk
T
jktjk
T
tjk
k
aeae
dexT
edexT
b
000
00000
)/2(
)()(
1)(
1
10)/2(
tTjke
kk ab
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik 2 (Zamanda tersine çevirme): ise,
İspat: Periyodik bir işaret, zamanda tersine çevrilirse periyodikliği korunur ve
periyodu değişmez. Fourier serisi açılımından x(-t) işareti
şeklinde yazılabilir. Toplamada, k = -m değişken dönüşümü yapılırsa
Son eşitlik, x(-t) işaretinin Fourier serisi açılımı olup açılımdaki katsayılar a-k’dır.
Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaret zamanda tersine çevrilirse, karşılık gelen
Fourier serisi katsayıları da tersine çevrilir. O halde, çift işaretlerin (x(t)=x(-t))
Fourier serisi katsayıları çift (ak=a-k), tek işaretlerinki ise tek (ak= -a-k) olacaktır.
k
FS
atx )( k
FS
atx )(
k
Ttjk
keatx /2)(
m
Ttjm
meatx /2)(
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik 3 (Zamanda ölçekleme): ise,
İspat: Periyodik bir işaret, ölçeklendiğinde periyodu değişir. x(t)’nin temel periyodu
T ve temel frekansı ω0 = 2π/T ise, x(αt)’nin temel periyodu T/α ve temel frekansı
αω0’dır. x(t)’nin Fourier serisi açılımında t yerine αt yazılırsa
Son eşitlik, temel frekansı αω0 olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup açılımdaki
katsayılar ak’dır.
Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işareti zamanda ölçekleme Fourier serisi
katsayılarını değiştirmez.
k
FS
atx )( k
FS
atx )(
k
tjk
keatx)( 0)(
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik 4 (Zamanda türev alma): ise,
İspat: Periyodik bir işaretin türevi alınırsa yine periyodik olur ve periyodu değişmez.
x(t)’nin Fourier serisi açılımında, eşitliğin her iki tarafının t’ye göre türevi alınırsa
Son eşitlik, temel frekansı ω0 = 2π/T olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup
açılımdaki katsayılar jkω0ak = jk(2π/T)ak olarak görülmektedir.
Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaretin türevini almak, Fourier serisi
katsayılarının hem genliğini hem de fazını değiştirmektedir.
k
FS
atx )( kk
FS
aT
jkajkdt
tdx
2
)(0
k
tjk
k
k
tjk
k
k
tjk
k
eajk
eadt
dea
dt
d
dt
tdx
0
00
0
)(
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik 5 (Parseval ilişkisi):
İspat: İntegralde , yazıp, x(t) ile eşleniği için Fourier serisi
gösterilimlerini kullanırsak
Köşeli parantez içindeki integrali daha önce hesaplamıştık:
O halde, son eşitlikte sonsuz tane integral olmasına rağmen integrallerin sonucu
sadece l = k için T, diğer l değerlerinde 0’a eşittir. Sonuç olarak, iki toplama bir
toplamaya indirgenir ve l = k olur:
T
k
kadttxT
22)(
1
)()()( *2txtxtx
k lT
tlkj
lk
Tl
tjl
l
k
tjk
kTT
dteT
aa
dteaeaT
dttxtxT
dttxT
0
00
)(*
**2
1
1)()(
1)(
1
T
tlkj
lk
lkTdte
,0
,0)(
k
k
k
kkT
aTT
aadttxT
2*2 1)(
1
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Parseval İlişkisinin Yorumu:
• Bir işareti değişik şekillerde temsil etmek aslında ilave bir bilgi vermemektedir.
• Bir bakış açısında gizli olan bir bilgi, diğer bir bakış açısında ortaya çıkabilir.
• İşaretin enerjisi kullanılan gösterilimden bağımsıztır. Diğer bir deyişle, işaretin
enerjisini zaman veya frekans uzayında hesaplamak aynı sonucu vermelidir.
Diğer Özellikler:
• Sürekli-zaman Fourier serisinin ispatını vermediğimiz başka özellikleri de vardır.
• Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir. Özelliklerin tümü aşağıdaki
tabloda listelenmiştir.
Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları
Doğrusallık
Zamanda öteleme
Frekansta öteleme
Eşlenik alma
Zamanda tersine çevirme
Zamanda ölçekleme α>0 ( T/α ile periyodik)
Periyodik konvolüsyon
Zamanda çarpma
periyodik ileperiyodu temel
vefrekansı temel/2
)(
)( 0
T
T
ty
tx
k
k
b
a
)()( tBytAx kk BbAa
)( 0ttx 000 )/2( tTjk
k
tjk
k eaea
)()( )/2(0 txetxe tTjMtjM Mka
)(* tx *
ka
)( tx ka
)( tx ka
T
dtyx )()(kkbTa
)()( tytx
l
lklba
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları
Zamanda türev alma
Zamanda integral alma
Gerçel işaretler için
eşlenik simetriklik
x(t) gerçel
Gerçel ve çift işaretler
Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift
x(t) gerçel ve çift
ak gerçel ve çift
ak saf karmaşık ve çift
Gerçel işaretlerin çift-tek
ayrıştırması
Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
dt
tdx )(kk a
Tjkajk
20
t
dttx )(kk a
Tjka
jk
)/2(
11
0
kk
kk
kk
kk
kk
aa
aa
amam
aeae
aa
}{}{
}{}{
*
gerçel] )([ })({Od)(
]gerçel )([ )}({Ev)(
txtxtx
txtxtx
o
e
}{
}{
k
k
amj
ae
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
T
k
kadttxT
22)(
1
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda
verilen g(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: g(t) işaretini analiz denkleminde yerine koyarak, Fourier serisi
katsayılarını belirleyebiliriz. Ancak, g(t) işaretini daha önce Fourier serisini
hesapladığımız periyodik simetrik kare dalga cinsinden ifade edip sonucu bulacağız.
Kare dalga ve Fourier serisi katsayıları, hatırlatma amacıyla aşağıda verilmiştir:
T
Ta 1
0
2
0 ,)sin( 10 k
k
Tkak
Periyodik kare dalga işaretinde T = 4 ve T1 = 1 alalım. Şekillerden, g(t) ile x(t)
arasındaki ilişkinin g(t) = x(t-1) – 1/2 olduğu görülmektedir. x(t-1) işaretinin Fourier
serisi katsayıları bk olsun. Öteleme özelliğinden,
DC terimin (-1/2) Fourier serisi katsayıları ck olsun. DC işaretin sıfırdan farklı bir
Fourier serisi katsayısı vardır:
g(t) işaretinin Fourier serisi katsayıları dk olsun. Doğrusallık özelliğinden
Son ifadede ak yerine konulursa
2/jk
kk eab
0,2/1
0,0
k
kck
0,2/1
0,
0
2/
ka
keacbd
jk
k
kkk
0,0
0,)2/sin( 2/
k
kek
k
djk
k
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda
verilen x(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: Bu işaretin türevi, önceki örnekte ele alınan g(t) işaretine eşittir. g(t) ve
x(t) işaretlerinin Fourier serisi katsayılarını sırasıyla dk ve ek ile gösterelim. Türev
özelliğinden,
İfade, k ≠ 0 için geçerlidir. dk eşitlikteyerine konulursa
e0, bir periyot boyunca x(t)’nin altındaki alan periyoda bölünerek elde edilebilir:
jk
deejkd k
kkk
2)4/2(
0 ,)(
)2/sin(2 2/
2 ke
kj
ke jk
k
T
dttxdttxT
e2
20
2
1)(
4
1)(
1
Hafta 6:
Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Ayrık-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi
• Ayrık-zaman Fourier serisinin özellikleri
• Fourier serisi ve LTI sistemler
• Filtreleme
• Sürekli-zaman filtre örnekleri
• Ayrık-zaman filtre örnekleri
Ele Alınacak Ana Konular
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Ayrık-zaman Fourier serisindeki amaç, periyodik bir ayrık-zaman işareti
harmonik ilişkili ayrık-zaman karmaşık üstel işaretler cinsinden yazmaktır.
Ancak, ile verilen harmonik ilişkili karmaşık
üstel kümesinde birbirinden farklı N adet işaret olduğunu hatırlayınız.
• N ile periyodik bir ayrık-zaman işareti, harmonik ilişkili üstel işaretlerin doğrusal
kombinasyonu şeklinde yazmaya çalışalım:
• Birbirinden farklı N adet üstel işaret olduğundan, toplama N terim içermelidir.
Toplamaya herhangi bir k değerinden başlanabilir (örneğin, k = 0,1,…, N-1 veya
k = 3,4, N+2). Bu durumu belirtmek için k = <N> notasyonu kullanılırsa
• Periyodik bir ayrık-zaman işaretin bu şekilde yazılmasına ayrık-zaman Fourier
serisi gösterilimi ve ak katsayılarına Fourier serisi katsayıları denir.
,2,1,0 ,][ )/2(0 keen nNjknjk
k
k
nNjk
keanx )/2(][
Nk
nNjk
keanx )/2(][
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Ayrık-zaman Fourier serisi katsayılarının hesaplanmasında aşağıda verilen eşitliği
kullanacağız.
• Fourier serisinin iki yanını e-jr(2π/N) n ile çarpıp, N terim üzerinden toplarsak
• İçteki toplama k = r için N, k ≠ r için 0’dır. O halde, iki toplama tek toplamaya
indirgenir ve k = r olur. Sonuç olarak,
halde aksi,0
2,,0,)/2(
NNkNe
Nn
nNjk
Nk Nn
nNrkj
k
nNjr
Nn Nk
nNjk
k
Nn
nNjr
ea
eeaenx
)/2)((
)/2()/2()/2(][
Nn
nNjr
r
Nk
r
Nn
nNjr enxN
aNaenx )/2()/2( ][1
][
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
• Ayrık-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve açılımdaki katsayıların
hesabı aşağıdaki eşitliklerde özetlenmiştir.
• k[n] = e-jk(2π/N) n olsun. Sentez denklemi, k = 0,1,…, N-1 veya k = 1,2,…, N için
yazılırsa aynı sonucu vereceğinden
• Ancak, 0[n] = N[n] olduğundan, yukarıdaki eşitliklerden a0 = aN sonucu çıkar.
Benzer işlemler, arka arakaya gelen N adet k için yapılırsa ak = ak+N elde edilir.
Yani, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier serisi katsayıları da periyodiktir!
Nk
nNjk
k
Nk
njk
k eaeanx )/2(0][
Nn
nNjk
Nn
njk
k enxN
enxN
a )/2(][1
][1
0
][][][][
][][][][
2211
111100
nanananx
nanananx
NN
NN
Sentez denklemi:
Analiz denklemi:
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda
verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim.
Çözüm: 2π/ω0 rasyonel bir sayı ise x[n] periyodiktir. Bu koşulun sağlanması halinde
iki durum vardır:
Durum 1: N bir tamsayı olmak üzere, 2π/ω0 = N
Durum 2: N ve M tamsayılar olmak üzere, 2π/ω0 = N/M
Durum1: Euler ilişkisinden
)sin(][ 0nnx
1 ,0 ,2
1 ,
2
1
2
1
2
1
2
1)sin(][
11
)/2()/2(
000
kaj
aj
aej
ej
eej
nnx
k
nNjnNj
njnj
Durum2: Euler ilişkisinden
Fourier serisi katsayıları her iki durum için aşağıda çizilmiştir. Katsayıların periyodik
olduğuna dikkat ediniz.
Mkaj
aj
aej
ej
eej
nx kMM
nNjMnNjMnjnj
,0 ,
2
1 ,
2
1
2
1
2
1
2
1][ )/2()/2(00
Durum 1: N = 5
Durum 2: M=3, N=5
ÖRNEK: Aşağıdaki işaretin ayrık-zaman Fourier serisi gösterilimini elde edelim
ÇÖZÜM: İşaret N ile periyodiktir. Euler ilişkisinden
Fourier serisi katsayıları doğrudan yazılabilir:
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
2
4cos
2cos3
2sin1][
n
Nn
Nn
Nnx
nNjjnNjjnNjnNj
nNjnNjnNjnNjnNjnNj
eeeeej
ej
eeeeeej
nx
)/2(22/)/2(22/)/2()/2(
)2//4()2//4()/2()/2()/2()/2(
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
31
2
1
2
3
2
11][
.2 ,1 ,0 ,0 ,2
1 ,
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3 ,
2
1
2
3
2
1
2
3 ,1
22
110
kajaja
jj
ajj
aa
k
Fourier serisi katsayılarının gerçel ve sanal kısımları, genliği ve fazı aşağıda
çizilmiştir.
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
ÖRNEK: Aşağıdaki verilen periyodik ayrık-zaman kare dalganın Fourier serisi
gösterilimini elde edelim
ÇÖZÜM:
,2,,012
,2,,0,)/sin(
]/)2/1(2sin[1
1
1
11
111][
1
1
1
)2/2()2/2()2/2(
/)2/1(2/)2/1(2)2/2(
)/2(
/)12(2)/2(
2
0
)/2()/2(2
0
))(/2()/2()/2(
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
NNkN
N
NNkNk
NNk
N
eee
eee
Ne
ee
N
eeN
eN
eN
enxN
a
NjkNjkNjk
NNjkNNjkNjk
Njk
NNjkNNjk
N
m
mNjkNNjkN
m
NmNjkN
Nn
nNjkN
Nn
nNjk
k
Fourier serisi katsayıları 2N1+1=5 ve N = 10, 20, 40 için aşağıda çizilmiştir.
N = 10
N = 20
N = 40
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
• Temel periyodu N ve temel frekansı ω0 = 2π/N olan periyodik bir ayrık-zaman
işaretin Fourier serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için
notasyonunu kullanacağız.
• Ayrık-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier serisi
katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını elde
etmek kolaylaşmaktadır.
• Özellikler, sürekli durumdakine benzer bir şekilde kolaylıkla ispatlanabilir.
k
FS
anx ][
Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları
Doğrusallık
Zamanda öteleme
Frekansta öteleme
Eşlenik alma
Zamanda tersine çevirme
Zamanda ölçekleme
Periyodik konvolüsyon
Zamanda çarpma
periyodik ileperiyodu temel
vefrekansı temel/2
][
][ 0
N
N
ny
nx
k
k
b
a
][][ nBynAx kk BbAa
][ 0nnx 000 )/2( nNjk
k
njk
k eaea
][][ )/2(0 nxenxe tNjMtjM Mka
][* nx *
ka
][ nx ka
halde aksi0,
katı nin tam ,],/[][)(
mnmnxnx m ka
m
1
Nr
rnyrx ][][kkbNa
][][ nynx
Nl
lklba
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları
Zamanda fark alma
Zamanda toplama
Gerçel işaretler için
eşlenik simetriklik
x[n] gerçel
Gerçel ve çift işaretler
Gerçel ve tek işaretler
x[n] gerçel ve çift
x[n] gerçel ve tek
ak gerçel ve çift
ak saf karmaşık ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek
ayrıştırması
Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
]1[][ nxnx k
Njk ae )/2(1
n
k
kx ][kNjk
ae
)/2(1
1
kk
kk
kk
kk
kk
aa
aa
amam
aeae
aa
}{}{
}{}{
*
gerçel] ][[ }][{Od][
]gerçel ][[ ]}[{Ev][
nxnxnx
nxnxnx
o
e
}{
}{
k
k
amj
ae
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
Nk
k
Nn
anxT
22][
1
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
ÖRNEK: Ayrık-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda verilen
x[n] işaretinin (N = 5 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: x[n] işareti, aşağıda gösterildiği gibi x1[n] ve x2[n] işaretlerinin toplamı
olarak yazılabilir.
x[n], x1[n] ve x2[n] işaretlerinin Fourier serisi katsayıları sırasıyla ak ,bk ve ck
olsun. Doğrusallık özelliğinden kkk cba
][][][ 21 nxnxnx
bk daha önce bulunmuştu (N1=1, N = 5):
x2[n] işareti sabit (DC) olup sıfırdan farklı bir Fourier serisi katsayısına sahiptir:
Fourier serisi katsayıları 5 ile periyodik olduğundan
O halde,
0,1
0,0
k
kck
,10,5,0,5
8
,10,5,0,)5/sin(
)5/3sin(
5
1
k
kk
k
cba kkk
,10,5,05
3
,10,5,0,)5/sin(
]5/3sin[
5
1
k
kk
k
bk
,10,5,0,1
,10,5,0,0
k
kck
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri
ÖRNEK: Hakkında aşağıdaki bilgiler bilinen bir ayrık-zaman işareti bulunuz.
1. x[n], N = 6 ile periyodiktir,
2.
3.
4. Yukarıdaki üç koşulu sağlayan işaretler arasından, periyot başına en küçük
enerjiye x[n] sahiptir.
ÇÖZÜM:
2 nolu bilgiden a0=1/3.
olduğundan, 3 nolu bilgiden a3=1/3 .
5
02][
nnx
7
21][)1(
n
n nx
njnjn ee 3)6/2()1(
İşaretteki ortalama güç Parseval ilişkisi kullanılarak hesaplanabilir:
ak katsayılarının her birinin P’ye katkısı pozitif bir sayıdır. a0 ve a3 değerleri belli
olduğundan, P’nin en küçük olabilmesi için a1 = a2 = a4 = a5 = 0 olmalıdır. Tüm
katsayılar belirlendiğinden, sentez denklemi kullanılarak işaret belirlenebilir.
Bir periyot boyunca işaretin değişimi aşağıda verilmiştir
nnj
k
njk
k
k
nNjk
k
eaa
eaeanx
)1)(6/1()3/1(
][
30
5
0
)6/2(5
0
)/2(
5
0
2
k
kaP
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
• İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında
sistemin çıkışı H(s)
olmak üzere, y(t) = H(s)est ile veriliyordu.
• Benzer şekilde, impuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman LTI sistemin zn girişine
olan yanıtı H(z)
olmak üzere, y[n] = H(z)zn eşitliğinden hesaplanmaktaydı.
• s ve z genel karmaşık sayılar olduğunda H(s) ve H(z)’ye SİSTEM FONKSİYONU
denir.
dtethsH st)()(
k
kzkhzH ][)(
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
• s = jω özel durumunda (giriş ω frekanslı karmaşık üstel işaretse) sürekli-zaman
sistem fonksiyonuna sistemin FREKANS YANITI denir ve H(jω) ile gösterilir:
• Benzer şekilde, z = ejω ise, ayrık-zaman sistem fonksiyonuna frekans yanıtı denir
ve H(ejω) ile belirtilir:
• LTI bir sistemin periyodik bir işarete yanıtı, sistemin frekans yanıtından kolaylıkla
belirlenebilir. Adımlar aşağıda verilmiştir.
dtethjwH tj)()(
k
njj ekheH ][)(
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
• Sürekli-zaman: Periyodik x(t) işareti impuls yanıtı h(t) olan bir LTI sisteme
uygulandığında çıkışı hesaplayalım.
• x(t) periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir:
• Herhangi bir karmaşık üstel ( ) işarete yanıt:
• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan
yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir.
• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın
Fourier serisi katsayıları H(jkω0)ak’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının
karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.
k
tjk
keatx 0)(
tjk
kea 0tjk
k ejkHa 0)( 0
k
tjk
k
k
tjk
k ejkHatyeatx 00 )()( )( 0
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
• Ayrık-zaman: Periyodik x[n] işareti impuls yanıtı h[n] olan bir LTI sisteme
uygulandığında çıkışı hesaplayalım.
• x[n] periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir:
• Herhangi bir karmaşık üstel ( ) işarete yanıt:
• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan
yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir.
• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın
Fourier serisi katsayıları ’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının
karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.
Nk
nNjk
keanx )/2(][
nNjk
kea )/2( nNjkNkj
k eeHa )/2(/2 )(
Nk
nNjkNkj
k
Nk
nNjk
k eeHanyeanx )/2()/2)/2( )(][ ][
k
Nkj aeH )( /2
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
ÖRNEK: Aşağıda verilen sürekli-zaman periyodik işaret, impuls yanıtı h(t) = e-t u(t)
olan sisteme uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Giriş ve çıkışın katsayıları ak ve bk olsun. İlk önce frekans yanıtını
hesaplayalım.
Girişin temel periyodu T = 1 (ω0 = 2π) olduğundan çıkışın da temel periyodu 1’dir.
Ayrıca, girişin k ≠ 0, ±1,±2,± 3 için Fourier serisi katsayıları sıfırdır. O halde,
)6cos(3
2)4cos()2cos(
2
11)( ttttx
jdteedtethjH tjttj
1
1)()(
0
61
1
3
1 ,
61
1
3
1
41
1
2
1 ,
41
1
2
1
21
1
4
1 ,
21
1
4
1
,1 ,)2( ,)(
33
22
11
0
3
3
2
jb
jb
jb
jb
jb
jb
bjkHabebty kk
k
tjk
k
Fourier Serisi ve LTI Sistemler
ÖRNEK: İmpuls yanıtı h[n] = α-nu[n], (-1< α < 1) olan sisteme
uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Çıkışın katsayıları bk olsun. İlk önce frekans yanıtını hesaplayalım.
Euler ilişkisinden
O halde,
Diğer bir deyişle,
jn
nj
n
njn
n
njj
eeeenheH
1
1][)(
00
)/2cos(][ Nnnx
nNjnNj eenx )/2()/2(
2
1
2
1][
nNj
Nj
nNj
Nj
nNjNjnNjNj
ee
ee
eeHeeHny
)/2(
2
)/2(
2
)/2(2)/2(2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1][
1 ,0 ,1
1
2
1 ,
1
1
2
12121
kbe
be
b kNjNj
Hafta 7:
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümü
• Sürekli-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri
• Doğrusal, sabit katsayılı diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemler
Ele Alınacak Ana Konular
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
• Periyodik olmayan (aperiyodik) bir işareti, periyodu sonsuz olan periyodik bir
işaret gibi düşünebiliriz.
• Periyodik bir işaretin periyodu büyüdükçe, temel frekans küçülür ve dolayısıyla
Fourier serisi gösterilimindeki harmonik ilişkili üstel işaretlerin frekansları
yakınlaşır.
• Periyodun sonsuz olması limit durumunda frekans bileşenleri sürekli hale gelir ve
Fourier serisi toplamı integrale eşit olur.
• Fourier serisinin, periyodun sonsuza gitmesi durumundaki limit haline FOURIER
DÖNÜŞÜMÜ denir.
• Aşağıda verilen periyodik kare dalganın Fourier serisi katsayılarını hesaplamıştık
• Sabit bir T1 ve değişik T değerleri için Fourier serisi katsayılarını çizersek,
periyodun katsayılar üzerindeki etkisini belirlemiş oluruz.
• Alternatif olarak, değerlerini çizebiliriz.
• 2sin(ωT1)/ω fonsiyonu, Tak’nın zarfını temsil etmektedir ve ak katsayıları bu zarfın
eşit aralıklı örnekleridir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
Tk
Tkak
0
10 )sin(2
0
)sin(2 1
k
TTak
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
• T arttıkça veya eşdeğer olarak temel frekans ω0 = 2π/T azaldıkça, zarf daha sık
örneklenmektedir. T → ∞ limit durumunda, orijinal periyodik kare dalga
dikdörtgen darbeye ve T ile çarpılmış Fourier serisi katsayıları zarfa eşit olur.
• Bu örneği genelleştirmek mümkündür. Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin
periyod sonsuza giderken limit hali gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier
serisine açılır ve periyodun sonsuza gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir.
• Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x(t) ile bu işaretten türetilen ve
bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret verilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
)(~ tx
• Fourier serisine açılabilir. |t|<T/2 için, x(t) = ve aralığın dışında x(t) =0
olduğundan
• Tak’nın zarfı X(jω), şeklinde tanımlansın.
• O halde,
• Zarf cinsinden bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/T=ω0
olduğu göz önünde bulundurulursa
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
)(~ tx )(~ tx
dtetxT
dtetxT
dtetxT
a
eatx
tjkT
T
tjkT
T
tjk
k
k
tjk
k
000
0
)(1
)(1
)(~1
)(~
2/
2/
2/
2/
dtetxjX tj )()(
)(1
0jkXT
ak
k
tjk
k
tjkejkXejkX
Ttx 000
00 )(2
1)(
1)(~
• ω0→ 0 iken, aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi en son toplama integrale yakınsar.
• Toplamadaki her bir terim, yüksekliği ve genişliği ω0 olan bir
dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama fonksiyonunun
integraline yakınsar. O halde, T→ ∞ için x(t) → gerçeğini kullanırsak,
aşağıda verilen Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
tjkejkX 0)( 0
tjejX )(
)(~ tx
dtetxjX
dejXtx
tj
tj
)()(
)(2
1)(
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
• Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir işaretin Fourier serisi
katsayılarının, işaretin bir periyodunun Fourier dönüşümü cinsinden ifade
edilebileceği anlaşılmaktadır.
• , T ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. nin
bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x(t) ve Fourier dönüşümü X(jω) ile
belirtilsin. O halde,
• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz
denklemindeki integral yakınsayabilir ve bu tür işaretler için Fourier dönüşümü
bulunabilir.
• Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullara Dirichlet koşulları
denir ve aşağıda listelenmiştir.
)(~ tx )(~ tx
0
)(1
kjX
Tak
• Harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde
yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım:
• Harmonik ilişkili üstel işaretlerin herbirinin T ile periyodik olduğunu görmüştük.
O halde, x(t)’de T ile periyodiktir.
• k = 0 için, toplamadaki üstel işaret sabittir. k = 1 için üstel işaretlerin temel
frekansı 0’dır ve bu terimlere TEMEL veya BİRİNCİ HARMONİK bileşen
Özetle, mutlak integrallenebilir sürekli veya sonlu sayıda süreksizliğe sahip
işaretlerin Fourier dönüşümü hesaplanabilir.
k k
tTjkk
tjkk eaeatx /20)(
Sürekli-zaman Fourier dönüşümü için Dirichlet koşulları
Koşul 1: İşaret mutlak integrallenebilir olmalıdır:
Koşul 2: Herhangi bir sonlu aralıkta, işaretin sonlu sayıda minimum ve maksimumu
olmalıdır.
Koşul 3: Herhangi bir sonlu aralıkta, işarette sonlu sayıda süreksizlik olmalı ve
ayrıca süreksizlik noktalarında işaretin değeri de sonlu olmalıdır.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
dttx )(
ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve
faz spektrumunu çiziniz.
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli
olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini
(genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
0 ),()( atuetx at
0 ,1
)()(0
aja
dteedtetxjX tjattj
ajX
ajX
1
22tan)( ,
1)(
ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın
fonksiyonu olarak çiziniz.
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda
çizilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
0 ,)(
aetxta
22
0
0
211
)()(
a
a
jaja
dteedteedteedtetxjX tjattjattjtatj
ÖRNEK: Sürekli-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM:
İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir.
ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM:
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
1)()()(
dtetdtetxjX tjtj
1
1
,0
,1)(
Tt
Tttx
)sin(
2)()( 1 1
1
TdtedtetxjX
T
T
tjtj
ÖRNEK: Fouier dönüşümü aşağıda verilen sürekli-zaman işaretini bulunuz.
ÇÖZÜM: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
1 1 sin( )( ) ( )
2 2
Wj t j t
W
Wtx t X j e d e dw
t
W
WjX
,0
,1)(
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve LTI sistemlerin analizinde sin(aθ)/bθ
şeklinde özel bir fonksiyonla sıklıkla karşılaşılır ve böyle fonksiyonlara sinc
fonksiyonu denir.
• Sinc fonksiyonu matematiksel olarak şöyle tanımlanır:
• Sinc fonksiyonu aşağıda çizilmiştir.
)sin()(sinc
Aşağıda sinc(W) fonksiyonu ve Fourier dönüşümü, değişik W değerleri için çizilmiştir. W
arttıkça Fourier dönüşümü genişlerken, sinc fonksiyonunun ana lobunun genişliği darlaşır.
Yani, zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda daha yer kaplayan
bir işaretin Fourier dönüşümü, daha fazla yer kaplayan bir işaretinkine göre daha geniş bir
frekans aralığında frekans bileşenlerine sahipir.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
• Sürekli-zaman periyodik işaretlerin de Fourier dönüşümünü hesaplamak
mümkündür. Göreceğimiz gibi, periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls
fonksiyonu içermek zorundadır.
• Fourier dönüşümü X(jω) = 2π(ω-ω0) olan işareti, ters Fourier dönüşümü
kullanarak rahatlıkla bulabiliriz.
• Daha genel olarak, sonsuz adet impulsun toplamından oluşan bir Fourier
dönüşümünün tersi, sonsuz adet üstel işaretin toplamı olmalıdır:
• O halde, periyodik bir işaretin Fourier dönüşümü, şiddetleri işaretin Fourier serisi
katsayıları ve konumları temel frekansın katları tarafından belirlenen impulslar
içermektedir.
tjtj edetx 0
0 )(22
1)(
k k
tjk
kk eatxkajX 0)()(2)( 0
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Tk
Tkak
0
10 )sin(2
)()sin(2
)( 2)( 010
0
kk
TkkajX
kk
k
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Not: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasındaki ters ilişkiye dikkat ediniz. İmpulslar
zaman uzayında birbirinden uzaklaşırsa frekans uzayında yakınlaşmaktadır.
)2
(2
)( 2)( 0T
k
TkajX
kk
k
2/
2/
1)(
10
T
T
tjk
kT
dtetT
a
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
ÖRNEK: x1(t)=sin(ω0t) ve x2(t)=cos(ω0t) periyodik işaretlerinin Fourier
dönüşümlerini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
)()()(2)(2)(
1 ,0 ,2
1 ,
2
1)cos()(
)()()(2)(2)(
1 ,0 ,2
1 ,
2
1)sin()(
0001012
1102
0001011
1101
aajX
kaaattx
jjaajX
kaj
aj
attx
k
k
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
İşaret Fourier Dönüşümü Fourier Serisi Katsayıları
Periyodik kare dalga
k
tjkkea 0
k
k ka )(2 0 ka
tje 0
)(2 0 1 ,0 ,11 kaa k
)cos( 0t 00 1 ,0 ,2/111 kaaa k
)sin( 0t 00)/( j 1 ,0 ,2/111 kajaa k
1)( tx )(2 0 ,0 ,10 kaa k
2/,0
,1)(
1
1
TtT
Tttx
)()sin(2
010
k
k
Tk
k
101010 sinc)sin( TkT
k
Tk
n
nTt )( )2
(2
T
k
T k
kT
ak ,1
İşaret Fourier Dönüşümü Fourier Serisi Katsayıları
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
1 İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
1
1
,0
,1)(
Tt
Tttx
)sin(2 1T
t
Wt
)sin(
W
WjX
,0
,1)(
)(t
)(tu
j
1
0tt 0tj
e
0e ),( atue at
ja
1
0e ),( atute at
21
ja
0e ),()!1(
1
atuen
t atn
nja
1
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
• Kolaylık olması bakımından, sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve tersini
belirtmek için sırasıyla F{x(t)} ve F-1{X(j)} kısa gösterilimini kullanacağız.
Ayrıca, sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için
notasyonunu kullanacağız.
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla,
Fourier dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde
etmek kolaylaşmaktadır.
• Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı
benzer şekilde yapılabilir.
)( )( jXtxF
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Zamanda öteleme:
İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
Eşitliğin her iki tarafında t yerine t-t0 yazılırsa
Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği
değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.
)()( )( )( 0
0 jXettxjXtx
tjFF
dejXtx tj )(2
1)(
deejXdejXttx tjtjttj )(
0 )(2
1 )(
2
1)( 00
00
)(0
)(
)()()(
)()(tjXjtj
jXj
ejXjXettxF
ejXjXtxF
Zaman-frekans ölçekleme:
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
İntegralde, τ = at değişken dönüşümü yapılırsa
Yorum: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda dar
(geniş) yer kaplayan işaretlerin Fourier dönüşümü geniş (dar) bir aralıkta frekans
bileşenlerine sahiptir. Ayrıca, a = -1 seçilirse, zamanda tersine çevrilmiş işaretin
Fourier dönüşümünün de tersine çevrileceği anlaşılmaktadır.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
a
jX
aatxjXtx
FF
1)( )( )(
dteatxatxF tj )()(
0,)(1
0,)(1
)()/(
)/(
adexa
adexaatxF
aj
aj
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Zamanda türev alma:
İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
Eşitliğin her iki tarafında t’ ye göre türevi alınırsa
Yorum: Zaman uzayında türev alma, frekans uzayında j ile çarpmaya karşılık
gelmektdir. Bu özellik, sabit katsayılı difrenasiel denklemlerle tanımlanmış LTI
sistemlerin analizinde çok önemli rol oynayacaktır. Çözümü zor olan diferansiyel bir
denklem, Fourier dönüşümünün bu özelliği sayesinde çözümü çok kolay olan bir
cebirsel denklem haline getirilir, denklem istenilen değişken için çözülür ve ters
Fourier dönüşümü alınarak çözüm elde edilir.
)()(
)( )( jXjdt
tdxjXtx
FF
dejXtx tj )(2
1)(
dejXjdt
tdx tj )(2
1)(
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Konvolüsyon özelliği:
İspat: Konvolüsyon denkleminden
Eşitliğin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınırsa
Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim dir. O halde,
Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin
çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri
çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.
)()()( )(*)()( jHjXjYthtxty
dthxty )()()(
ddtethx
dtedthxtyFjY
tj
tj
})(){(
})()({)()(
)( jHe j
)()()()(
)()()(
jHjXdexjH
djHexjY
j
j
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
ÖRNEK: x(t)=e-btu(t) b>0 ve h(t)=e-atu(t) a>0 işaretlerinin konvolüsyonunu Fourier
dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Y(j) basit kesirlere açılırsa
y(t)’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir.
))((
1)( ,
1)( ,
1)(
jbjajY
jajH
jbjX
jbjaabjb
B
ja
AjY
111)(
)()(1
111)()( 11
tuetueab
jbjaabFjYFty
btat
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Çarpma (modülasyon) özelliği:
Yorumlar:
1. Zaman uzayında çarpma, frekans uzayında konvolüsyona karşılık gelmektedir.
2. Zaman uzayında konvolüsyonun frekans uzayında çarpmaya karşılık geldiğini
hatırlayınız. Zaman ve frekans uzayları arasındaki bu ilişkiye DÜALLİK denilir.
Dualliğin nedeni, Fourier ve ters Fourier dönüşüm denklemlerinin eşit
olmamakla birlikte oldukça benzer olmasıdır.
3. Verilen bir Fourier çifti için, zaman ve frekans değişkenlerinin rolleri
değiştirilerek DÜAL çift elde edilir.
4. Düallik özelliği kullanılarak, diğer pek çok özellik elde edilebilir. Örneğin,
zaman uzayında türev almak j ile çarpmaya karşılk geldiğine göre, zaman
uzayında integral alma j ile bölmeye karşılık gelmelidir.
5. Düallik özelliği, darbe ve sinc Fourier dönüşüm çifti için aşağıda verilmiştir ve
diğer fonksiyon çiftlerine uygulanabilir.
)(*)(2
1)( )()()(
jPjSjRtptstr
F
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
ÖRNEK: Bir s(t) işaretinin spektrumu aşağıda verilmiştir. p(t)= cos(0t) olmak
üzere, r(t) = s(t)p(t) işaretinin spektrumunu Fourier dönüşümünün
çarpma(modülasyon) özelliğinden yararlanarak bulunuz.
ÇÖZÜM:
)((
2
1)((
2
1)()(*)(
2
1)(
)()()(
0000
00
jSjSjSjR
jP
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Özellik Aperiyodik İşaret Fourier dönüşümü
Doğrusallık
Zamanda öteleme
Frekansta öteleme
Eşlenik alma
Zamanda tersine çevirme
Zaman ve frekans ölçek
Konvolüsyon
Zamanda çarpma
)(
)(
ty
tx)(
)(
jY
jX
)()( tbytax )()( jbYjaX
)( 0ttx )(0 jXe
tj
)(0 txetj ))(( 0 jX
)(* tx )(* jX
)( tx
)(atx
a
jX
a
1
)(*)( tytx )()( jYjX
)()( tytx )(*)(2
1
jYjX
)( jX
Özellik Periyodik İşaret Fourier Serisi Katsayıları
Zamanda türev alma
Zamanda integral alma
Frekansta türev alma
Gerçel işaretler için
eşlenik simetriklik
x(t) gerçel
Gerçel ve çift işaretler
Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift
x(t) gerçel ve tek
X(j ) gerçel ve çift
X(j ) saf karmaşık ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek
ayrıştırması
Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
dt
tdx )()( jXj
t
dttx )(
)()(
)()(
)}({)}({
)}({)}({
)()( *
jXjX
jXjX
jXmjXm
jXejXe
jXjX
gerçel] )([ })({Od)(
]gerçel )([ )}({Ev)(
txtxtx
txtxtx
o
e
)}({
)}({
jXmj
jXe
djXdttx2
2)(
2
1)(
)()0()(1
XjXj
)(ttx )(
jXd
dj
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle
Tanımlanan Sistemler
• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sürekli-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım
• Konvolüsyon özelliğinden,
• Diferansiyel denklemin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier
dönüşümünün türev özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir:
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
)()(
)(
)()()()()(
jX
jYjHjHjXjY
N
k
k
k
M
k
k
kM
k
k
k
N
k
k
k
M
kk
k
k
N
kk
k
k
M
kk
k
k
N
kk
k
k
ja
jb
jHjXjbjYja
dt
txdFb
dt
tydFa
dt
txdbF
dt
tydaF
0
0
00
0000
)(
)(
)()()()()(
)()()()(
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle
Tanımlanan Sistemler
ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls
yanıtını bulunuz.
ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa
H(j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.
)(2)(
)(3)(
4)(
2
2
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd
3)(4)(
2
)(
)()(
)(2)()()(3)()(4)()(
2
2
jj
j
jX
jYjH
jXjXjjYjYjjYj
)(2
1)(
2
1)(
3
2/1
1
2/1)()(
3
11
tuetueth
jjFjHFth
tt
Hafta 8:
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümü
• Ayrık-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri
• Doğrusal, sabit katsayılı fark denklemleriyle tanımlanan sistemler
Ele Alınacak Ana Konular
• Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin periyod sonsuza giderken limit hali
gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier serisine açılır ve periyodun sonsuza
gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir.
• Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x[n] ile bu işaretten türetilen ve
bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret verilmiştir.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
][~ nx
][ ][ ~lim nxnxN
• Fourier serisine açılabilir. –N1 ≤ n ≤ N2 için , x[n] = ve aralığın dışında
x[n] =0 olduğundan
• şeklinde tanımlansın.
• O halde,
• Bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/N=ω0 olduğu göz
önünde bulundurulursa
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
][~ nx ][~ nx
n
nNjkN
Nn
nNjk
Nn
nNjk
k
Nk
nNjk
k
enxN
enxN
enxN
a
eanx
)/2()/2()/2(
)/2(
][1
][1
][ ~1
][~
2
1
n
njj enxeX ][)(
)(1
0jk
k eXN
a
Nk
njkjk
Nk
njkjkeeXeeX
Nnx 0
0000 )(2
1)(
1][~
• Son toplamadaki her bir terim, yüksekliği ve genişliği ω0 olan bir
dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama fonksiyonunun
integraline yakınsar. O halde, N→ ∞ için → x[n] gerçeğini kullanırsak,
aşağıda verilen ayrık-zaman Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
njkjkeeX 00 )(
njj eeX )(
][~ nx
n
njj
njj
enxeX
deeXnx
][)(
)(2
1][
2
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
• Sürekli-zaman ve ayrık-zaman Fourier dönüşümleri incelendiğinde önemli farklar
olduğu göze çarpmaktadır.
• İlk olarak, sürekli-zaman durumunda analiz ve sentez denklemlerinin ikisi de
integral olup, integral aralığı sonsuzdur. Ayrık-zaman durumunda, analiz denklemi
sonsuz bir toplama iken sentez denklemi 2 aralığında sonlu bir integraldir.
• İkinci olarak, sürekli-zaman Fourier dönüşümü periyodik değilken (özel durumlar
hariç), ayrık-zaman Fourier dönüşümü 2 ile periyodiktir.
• Bu farklılıkların nedeni, harmonik ilişkili sonlu sayıda karmaşık üstel işaret
olmasıdır.
• Ayrıca, ayrık-zamanda 0 veya 2’nın katlarına yakın frekanslar yavaş değişen
işaretlerden, ’nin katlarına yakın frekanslar ise hızlı değişen işaretlerden
kaynaklanmaktadır.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
• Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier
serisi katsayılarının, işaretin bir periyodunun ayrık-zaman Fourier dönüşümü
cinsinden ifade edilebileceği anlaşılmaktadır.
• , N ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. nin
bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x[n] ve Fourier dönüşümü X(ejω) ile
belirtilsin. O halde,
• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz
denklemindeki toplama yakınsayabilir ve bu tür işaretler için ayrık-zaman Fourier
dönüşümü bulunabilir.
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullar sürekli
durumdakinden farklıdır.
][~ nx ][~ nx
0
)(1
keX
Na j
k
• Harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde
yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım:
Sentez denklemi için yakınsama problemi yoktur çünkü sentez denklemi sonlu bir
integraldir.
O halde, sentez denklemi hesaplanırken sürekli-zaman durumunda karşılaşılan Gibbs
olayı ile ayrık-zaman durumunda karşılaşılmaz.
k k
tTjkk
tjkk eaeatx /20)(
Ayrık-zaman Fourier dönüşümü için yakınsama koşulu
Koşul : İşaret mutlak toplanabilir veya sonlu enerjiye sahip olmalıdır:
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
][ ,][2
nn
nxnx
ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve
faz spektrumunu çiziniz.
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli
olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini
(genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz.
Pozitif ve negatif a değerleri için genlik ve faz spektrumları aşağıda çizilmiştir. Her
iki durumda da spektrumların 2 ile periyodik olduğuna dikkat ediniz.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
1 ],[][ anuanx n
00
1
1 ][)(
nj
nj
n
njn
n
njj
aeaeeaenxeX
a > 0 a < 0
a > 0 için işaretin tüm değerleri pozitif olup işaret yavaş değiştiğinden Fourier
dönüşümü 0 ve 2’nin katlarında bileşenlere sahiptir. a < 0 için işaretin değeri bir
pozitif, bir negatif olup işaret hızlı değiştiğinden Fourier dönüşümü ’nin katlarında
frekans bileşenlerine sahiptir.
ÖRNEK: işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın
fonksiyonu olarak çiziniz.
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda
0 < a < 1 için çizilmiştir.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
1 ,)( aatxn
2
2
10
0
1
)cos(21
1
11
1
][)(
aa
a
ae
ae
ae
aeae
eaeaenxeX
j
j
j
n
nj
n
nj
n
njn
n
njn
n
njj
ÖRNEK: Ayrık-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM:
İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir.
ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM:
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
11][)( 0
j
n
njj eenxeX
1
1
,0
,1][
Nn
Nnnx
2/sin
2/1sin][)( 1
1
1
NeenxeX
N
Nn
nj
n
njj
Sürekli durumda olduğu gibi, darbenin Fourier dönüşümü sinc fonksiyonudur. Ancak,
sürekli-zamanda yan lobların genliği devamlı azalırken ayrık-zamanda periyodiklikten
dolayı bu durum geçerli değildir.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
• Ayrık-zaman periyodik işaretlerinde Fourier dönüşümünü hesaplamak
mümkündür. periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls fonksiyonu içermek
zorundadır.
• Fourier dönüşümü olan işareti bulalım
• Periyodik bir ayrık-zaman işaret Fourirer serisine açılabilir:
• Açılımındaki karmaşık üstel terimlerin Fourier dönüşümü temel frekansın
katlarında impulslardır. Doğrusallık özelliğinden, sonsuz adet işaretin toplamının
Fourier dönüşümü, tek tek Fourier dönüşümlerinin toplamına eşittir. O halde,
njnjnj
l
ededelnx
0
00)()2(2
2
1][
l
j leX )2(2)( 0
Nk
nNjk
keanx )/2(][
k
k
k
k
j
NkakaeX
2
2)(2)( 0
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
ÖRNEK: ile verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümü nedir?
ÇÖZÜM: Fourier serisi katsayıları tüm n değerleri için 1/N olarak bulunmuştu.
k
kNnnx ][][
kk
k
j
Nk
NNkaeX
222
2)(
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü
ÖRNEK: x [n]=cos(ω0n) periyodik işaretinin Fourier dönüşümü nedir?
ÇÖZÜM:
ll
ll
j
njnj
ll
lalaeX
eennx
)2()2(
)2(2)2(2)(
2
1
2
1)cos(][
00
0101
000
İşaret Fourier Dönüşümü Fourier Serisi Katsayıları
Periyodik kare dalga
k
nNjkkea )/2(
kk
N
ka
22 ka
nje 0
ll)2(2 0
halde aksi,0
,...2,,,1 NmNmmkak
periyodik /20 Nm
)cos( 0n
lll
j)2()2( 00
halde aksi,0
,...2,,,2/1 NmNmmkak
periyodik /20 Nm
)sin( 0n
halde aksi,0
,...2,,,2/1
,...2,,,2/1
NmNmmkj
NmNmmkj
ak
periyodik /20 Nm
lll )2()2( 00
1][ nx
ll)2(2
halde aksi,0
,...2,,0,1 NNkak
2/,0
,1][
1
1
NnN
Nnnx
N
ka
kk
22
,...,,0,/)12(
,...,,0,)/sin(
)]2/1)(/2sin[(
1
1
NkNN
NkNkN
NNk
ak
k
kNn )( )2
(2
N
k
N k
k
Nak ,
1
İşaret Fourier Dönüşümü Fourier Serisi Katsayıları
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
1 İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
İşaret periyodik değil
1 ],[ anuan
jae1
1
)2/sin(
)2/1(sin 1
N
1
1
,0
,1][
Nn
Nnnx
WnW
n
Wnsinc
)sin(
W
WeX j
,0
0,1)(
][n
][nu
k
jk
e
2
1
1
][ 0nn0 n
e
1 ],[)1( anuan n
21
1
jae
1 ],[
)!1(!
!1
anua
rn
rn n
rjae 1
1
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
• Kolaylık olması bakımından, ayrık-zaman Fourier dönüşümü ve tersini belirtmek
için sırasıyla F{x[n]} ve F-1{X(ej)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca,
sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için
notasyonunu kullanacağız.
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier
dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde etmek
kolaylaşmaktadır.
• Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı
benzer şekilde yapılabilir.
)(e )( jF Xtx
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Zamanda öteleme:
İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
Eşitliğin her iki tarafında n yerine n-n0 yazılırsa
Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği
değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.
)e(][ )(e ][ 0
0
jnjFjF XennxXnx
deeXnx njj )(2
1][
deeeXdeeXnnx njnjjnnjj )(
0 )(2
1 )(
2
1][ 00
00 )(
0
)(
)()(][
)(][
neXjjjnj
eXjjj
j
j
eeXeXennxF
eeXeXnxF
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Frekansta türev alma:
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
Eşitliğin her iki tarafında ’ ya göre türevi alınırsa
Son eşitliğin her iki tarafı j ile çarpılırsa sonuç elde edilmiş olur.
d
edXjnnxXnx
jFjF )(
][ )(e ][
n
njj enxeX ][)(
n
njj
enjnxd
edX ][)(
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Konvolüsyon özelliği:
İspat: Konvolüsyon denkleminden
O halde,
Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim dir. O halde,
Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin
çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri
çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.
)()()( ][*][][ jjj eHeXeYnhnxny
k
knhkxny ][][][
k n
nj
n
nj
k
j
eknhkx
eknhkxnyFeY
][][
][][][)(
)( jkj eHe
)()(][)(
)(][)(
jj
k
kjj
k
jkj
eHeXekxeH
eHekxjY
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
ÖRNEK: x[n]=nu[n] ||<1 ve h[n]=nu[n] ||<1 işaretlerinin konvolüsyonunu
Fourier dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Y(e j) basit kesirlere açılırsa
y[n]’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir.
jjjj
j
eejY
ejH
eeX
11
1)( ,
1
1)( ,
1
1)(
jjjj
j
eee
B
e
AeY
11
1
11)(
][1
][][
11
1)(][
11
11
nu
nunu
eeFeYFny
nn
nn
jj
j
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Çarpma (modülasyon) özelliği:
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
x1[n] yerine ters Fourier dönüşüm ifadesi kullanılır ve toplama ile integralin sırası
değiştirilirse
)(*)(2
1)( ][][][ 2121
jjjF eXeXeYnxnxny
n
nj
n
njj enxnxenyeY
21
][][][)(
)(*)(2
1
)()(2
1
][)(2
1
][)(2
1)(
21
)(
22
1
2
)(
21
22
1
jj
jj
n
njj
n
njnjjj
eXeX
deXeX
denxeX
enxdeeXeY
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Özellik Aperiyodik İşaret Fourier dönüşümü
Doğrusallık
Zamanda öteleme
Frekansta öteleme
Eşlenik alma
Zamanda tersine çevirme
Zamanda ölçekleme
Konvolüsyon
Zamanda çarpma
][
][
ny
nx
)(
)(
ejY
eX j
][][ nbynax )()( jj ebYeaX
][ 0nnx )(0 jnjeXe
][ 0 nxenj )(
)( 0jeX
)(* tx )(* jX
][ nx
halde aksi 0,
katınıınk' n,],/[][
knxnx
k jkeX
][*][ nynx )()( jj eYeX
][][ nynx )(*)(2
1
jj eYeX
)( jeX
Özellik Aperiyodik İşaret Fourier Dönüşümü
Zamanda fark alma
Zamanda toplama
Frekansta türev alma
Gerçel işaretler için
eşlenik simetriklik
x[n] gerçel
Gerçel ve çift işaretler
Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift
x(t) gerçel ve tek
X(e j ) gerçel ve çift
X(e j ) saf karmaşık ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek
ayrıştırması
Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
]1[][ nxnx )()1( jj eXe
n
k
kx ][
)()(
)()(
)}({)}({
)}({)}({
)()( *
jj
jj
jj
jj
jj
eXeX
eXeX
eXmeXm
eXeeXe
eXeX
gerçel] ][[ }][{Od][
]gerçel ][[ ]}[{Ev][
nxnxnx
nxnxnx
o
e
)}({
)}({
j
j
eXmj
eXe
2
22)(
2
1][ deXnx j
n
k
jj
jkeXeX
e)2()()(
1
1 0
][nnx
d
edXj
j )(
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan
Sistemler
• Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım
• Konvolüsyon özelliğinden,
• Fark denkleminin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier
dönüşümünün öteleme özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir:
M
k
k
N
k
k knxbknya00
][][
)(
)()()()()(
j
jjjjj
eX
eYeHeHeXeY
N
k
kj
k
M
k
kj
kj
M
k
jkj
k
N
k
jkj
k
M
k
k
N
k
k
M
k
k
N
k
k
ea
eb
eHeXebeYea
knxFbknyFaknxbFknyaF
0
0
0
0
0000
)()()(
][][][][
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle
Tanımlanan Sistemler
ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls
yanıtını bulunuz.
ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa
H(e j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.
][2]2[8
1]1[
4
3][ nxnynyny
2
2
8
1
4
31
2
)(
)()(
)(2)(8
1)(
4
3)(
jjj
jj
jjjjjj
eeeX
eYeH
eXeYeeYeeY
][4
12][
2
14][
4
11
2
2
11
4)(][ 11
nununh
ee
FeHFnh
nn
jj
j
Hafta 10:
Laplace Dönüşümü
• Laplace dönüşümü
• Laplace dönüşümünün yakınsaklık bölgesi
• Ters Laplace dönüşümü
• Laplace dönüşümünün özellikleri
• Laplace dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi
Ele Alınacak Ana Konular
• İmpuls yanıtı h(t) olan bir LTI sistemin, est girişine olan yanıtının y(t) = H(s) est
olduğunu görmüştük. H(s) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:
• s=jw için yukarıda verilen integral ifadesi h(t)’nin Fourier dönüşümünü verir. s’in
genel karmaşık değişken (s= +jw ) olması durumunda integral ifadesine Laplace
dönüşümü denir.
• s karmaşık bir sayı olmak üzere, bir sürekli-zaman işaret x(t)’nin Laplace
dönüşümü
denklemiyle tanımlanır. Laplace dönüşümünü belirtmek için L{x(t)} kullanacak,
işaret ile Laplace dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz.
Laplace Dönüşümü
( ) ( ) stH s h t e dt
( ) ( ) stX s x t e dt
( ) ( )Lx t X s
• Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasındaki ilişki aşağıda
gösterilmiştir.
• s=jw için,
• Dolayısı ile
• s= +jw için,
Bu durumda eşitliğin sağ tarafının x(t) e- t ‘nin Fourier dönüşümüne eşit
olduğu görülür.
Laplace Dönüşümü
( ) ( ) ( ) ( )s jwst jwtX s x t e dt X jw x t e dt
( )( ) ( ) ( ) ( )s jwst jw tX s x t e dt X jw x t e dt
( ) ( )s jw
X s F x t
( ) ( ) ( )t jwt t jwtX jw x t e e dt x t e e dt
Laplace Dönüşümü
• Görüldüğü gibi Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde
hesaplandığında sürekli-zaman Fourier dönüşümünü verir. !!!
• x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü de x(t) işaretinin Laplace dönüşümünü verir.
• Bu durumda:
1-) Bir x(t) işaretinin Laplace dönüşümünün var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin
Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.Verilen bir x(t) işareti için, Laplace dönüşümünün
var olduğu değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (Region Of Converge,
ROC) denir.
2-) Eğer ROC imajiner ekseni (s=j) içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de
vardır.
3-) Bazı işaretler için Fourier dönüşümü yakınsamaz iken Laplace dönüşümü
yakınsayabilir.
( ) ( )s jw
X s F x t
ÖRNEK 1 : işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Bu işaret için Fourier dönüşümü önceki haftalarda aşağıdaki gibi
hesaplanmıştır.
İşaretin Laplace dönüşümü ise,
veya,
( ) ( )atx t e u t
Laplace Dönüşümü
0
1( ) ( ) , 0j t at j tX j x t e dt e e dt
a ja
( )
0 0( ) ( ) s t at s t s a tX s x t e dt e e dt e dt
( )
0
1( ) , 0
( )
a t jwt
s jwX s e e dt
a jwa
1
( ) , Re s jw X ss a
s a
ÖRNEK 2: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Laplace Dönüşümü
( ) ( )atx t e u t
0 ( )( ) ( )at s t s a tX s e e u t dt e dt
1
( ) ( ) , ReLate u t X sss
aa
Örnekler incelediğinde farklı iki işarete ait Laplace dönüşümlerinin cebirsel olarak
birbirine eşit olduğu görülür.
Fakat eşitliklerin geçerli olduğu tanım aralıklarının (yakınsaklık bölgesinin)
birbirinden farklı olduğuna dikkat ediniz.
Bu durumda Laplace dönüşümü için cebirsel ifadenin yanısıra tanım aralığıda
belirtilmelidir.
Laplace Dönüşümü
1
( ) ( ) , ReLate u t X sss
aa
1
( ) ( ) , ReLate u t X ss a
s a
veRe Res a s a
Laplace Dönüşümü
1
( ) ) Re ( ,Late u t X sa
ass
R1
( ) ( ) , eLate u t X s ss a
a
Laplace Dönüşümü
ÖRNEK: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız..
2( ) 3 ( ) 2 ( )t tx t e u t e u t
2 2
0 0( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 2t t s t t s t t s tX s e u t e u t e dt e e dt e e dt
2Re
3 2 1( )
2 1 3 21
sX s
s s ss
s
2 R1
( ) ( ) , e 22
Lte u t X s ss
1
( ) ( ) , 1
Re 1Lte u t X s ss
her iki koşulun sağlandığı bölge…
Laplace Dönüşümü
ÖRNEK: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız..
2( ) ( ) (cos3 ) ( )t tx t e u t e t u t
2
2
1 1 1 1 1 2s 5 12( ) ,
2 2 (1 3 ) 2 (1 3 )Re
s 2 10 ( 21
)
sX s
s s j ss
s j s
2 R1
( ) ( ) , e 22
Lte u t X s ss
(1 3 ) R1
( ) ( ) , (
e 11 3 )
Lj te u t X s ss j
2 (1 3 ) (1 3 )1 1( ) ( )
2 2
t j t j tx t e e e u t
(1 3 ) R1
( ) ( ) , (
e 11 3 )
Lj te u t X s ss j
Örneklerden görüldüğü gibi reel veya karmaşık üstel işaretlerin doğrusal
kombinasyonu olarak tanımlanan işaretin Laplace dönüşümü;
yapısındadır.
Pay N(s) ve payda D(s) için tanımlanan polinomlara ait köklerin s-düzleminde
yerine yerleştirilmesi ve ROC bölgesinin tanımlanması Laplace dönüşümünün
ifadesi için alternatif bir yöntemdir.
Bu tip gösterimde N(s)’in kökleri “o”, D(s)’in kökleri ise “x” ile belirtilir.
Laplace Dönüşümü
( )( )
( )
N sX s
D s
Laplace Dönüşümü
2
1( )
3R
2e 1
sX s
s ss
2
2
2s 5 12( ) ,
s 2 10 (Re
2)1
sX s
ss
s
N(s)’in kökleri X(s)’in sıfırları olarak adlandırılır. Çünkü s’in bu değerleri için X(s) =0
değerini alır. D(s)’in kökleri ise kutup olarak adlandırılır ve X(s) = olur
Laplace Dönüşümü
Örnek: işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.. 24 1( ) ( ) ( ) ( )
3 3
t tx t t e u t e u t
( ) ( ) 1L stt t e dt
1
( ) ( ) , 1
Re 1Lte u t X s ss
2 R1
( ) ( ) , 2
e 2Lte u t X s ss
ROC ?
24 1 1 1 ( 1)
( ) 1 = 3 1 3 2 ( 1)
R( )
e 22
sX s
s s ss
s
Soru: x(t) işaretinin Fourier dönüşümü için ne söylenebilir?
Laplace Dönüşümü
Özellik 1: Laplace dönüşümü X(s)’ e ait ROC jw eksenine paralel bir şerittir.
Daha önce belirtildiği gibi s= +jw olmak üzere x(t) nin Laplace dönüşümünün
var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.
Dolayısı ile koşul sadece s’in gerçel kısmına bağlıdır.
Özellik 2: X(s)’ e ait ROC kutup içermez.
Kutup noktalarında X(s)= olduğundan integrali
yakınsamayacaktır.
( ) tx t e dt
( ) ( ) stX s x t e dt
Laplace Dönüşümü
Özellik 3: x(t) sonlu bir işaret ve mutlak integrallanabilir ise X(s)’e ait ROC tüm
s-düzlemidir.
x(t)e- t
Laplace Dönüşümü
Özellik 4: x(t) sağ tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= ROC bölgesinde ise
Re{s}> şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.
ise şartını sağlayan içinde
geçerli olacaktır.
Özellik 5: x(t) sol tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= ROC bölgesinde ise
Re{s} < şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.
0
1
( )t
T
x t e dt
0 1 1
1
1
( )t
T
x t e dt
0
0
0
0