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CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRISEP – LEI – AMATA - 1S. 2009/10
ISEP
–LEI –
AMATA
‐1S. 200
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• Derivada de uma função num ponto
Cálculo Diferencial em IR
As rectas PQ1, PQ2 e PQ3 sãorectas secantes à curva y=f(x).
x
y
P
Q1
Q2
Q3y=f(x)
tA recta t é tangente à curva y=f(x) no ponto P.
Os declives das rectas secantes PQ1, PQ2, PQ3,..., sãocada vez mais próximos do declive da recta tangente t.
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Cálculo Diferencial em IR
x
y
P
Q
y=f(x)
t
s
x0 x0+Δ x
f(x0)
f(x0+Δ x)
Δ x
Δ y
P(x0 , f(x0))Q(x0+Δ x, f(x0+Δ x))
Δ x ‐ variação ou acréscimo da variável independente
Δ y - variação ou acréscimo da variável dependente ou função: Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)
t ‐ recta tangente à curva y=f(x) no ponto P.
s ‐ recta secante à curva y=f(x) quepassa nos pontos P e Q.
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Cálculo Diferencial em IR
Declive da recta secante s:
Declive da recta tangente t:
xxfxxf
xyms Δ
−Δ+=
ΔΔ
=)()( 00
xxfxxf
xym
xxsx Δ−Δ+
=ΔΔ
=→Δ→Δ→Δ
)()(limlimlim 00
000
Definição: A função y = f(x) diz‐se diferenciável num ponto x0 , sse existir
e representa‐se por,
f ’(x0) é a derivada da função y=f(x) no ponto x0
xxfxxf
x Δ−Δ+
→Δ
)()(lim 00
0
xxfxxf
xfyxxx Δ
−Δ+==
→Δ=
)()(lim)('' 00
000
Notação: yDdxdf
dxdyxfy y ;;;;)(;' ′ .
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• Interpretação geométrica da derivada
Cálculo Diferencial em IR
O valor da derivada de uma função num ponto P(x0 , f(x0)) é numericamente igual ao valor do declive da recta t tangente à curva y=f(x) nesse ponto, isto é
θtg)( 0 =′ xf
x
y
P
y=f(x)
t
x0
f(x0)
θ
θ : ângulo formado pela direcçãopositiva do eixo OX e a recta t tangente à curva y=f(x) no ponto P.
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• Recta tangente e recta normal
Cálculo Diferencial em IR
x
y
P
y=f(x)
T
x0
y0
N T – recta de declive mT, tangente à curva y=f(x) no ponto P.N ‐ recta de declive mN, normal à curva y=f(x) no ponto P.
dxdyxfmT
xx
=′==
)( 00
0
1)(
11
0
xx
TN
dxdyxfm
m
=
−=′
−=−=
As equações das rectas tangente e normal à curva no ponto P(x0, y0 ) são dadas por:
T →
N →
)( 00 xxmyy T −=−
)( 00 xxmyy N −=− Se f’(x)=0 então:a recta tangente é horizontal (y=y0) e a recta normal é vertical (x=x0)
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• Exemplo
Cálculo Diferencial em IR
Considere a função y=sen(x) definida no intervalo [0, π], e os pontos P e Q de abcissas π/2 e π/4. Escreva as equações das rectas tangente e normal à curva nos pontos dados e represente‐as graficamente.
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• Regras básicas de derivação
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Derivada do produto
Derivada do quociente
Derivada da potência
Derivada da função exponencial
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• Regras básicas de derivação
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Derivada da função logarítmica
Derivada de funções trigonométricas
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• Exemplos
Cálculo Diferencial em IR
Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) b)
c) d)
e)
xxy5
43 +=
543 +
=xy
)3(2 xseny = 3)2( xtgy =
[ ] xxegy 42 )(cot=
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• Derivada da função composta
Cálculo Diferencial em IR
Seja u=g(x) uma função de x diferenciável e y=f(u) uma função de u diferenciável.
Define‐se a função composta y=(fog)(x) como a função y=f [g(x)].
A derivada da função composta é dada por:
e é extensível a um número maior de variáveis.
0x 0u 0y
g f))((
)()(
0000
00 xgfyufyxgu
=∴⎩⎨⎧
==
dxdu
dudy
dxdyxguyxyxgxgfxgf =⇔′′=′⇔′′=′ )()()()())(()()( o
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• Exemplo
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Sendo e , determine (das duas formas possíveis).11
+−
=uuy 2xu =
dxdy
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• Função inversa
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Recordemos que a condição para uma função admitir inversa é que seja injectiva.
O domínio e contradomínio da função f--1(x) são respectivamente o contradomínio e o domínio da função f(x) .
Os gráficos de f(x) e f--1(x) são simétricos relativamente à recta de equação y=x.
yfxxfy )()( 1−=⇔= )()(1 xfxf DD ′=− )()(1 xfxf DD =′ −
)(1 yfx −=
f
)(xfy =
1−fDomínio de f Domínio de f--1
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• Derivada da função inversa
Seja y=f(x) uma função invertível e diferenciável no intervalo ]a,b[ tal que f ’(x)≠ 0.
A derivada da função inversa x=f--1(y) é dada por:
A derivada da função inversa é igual ao inverso multiplicativo da derivada da função directa.
[ ] [ ] ( ))(1
)(1)( 1
1
yffxfyfx −
−
′=
′=′
=′
xyy
x
yxx
y
dd1
dd
dd1
dd
=⇔=
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• Exemplos
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Sendo , calcule directamente e através da regra da derivada da função inversa.)4ln(23 −−= xyxy
dd
Sendo , calcule pela regra da derivada da função inversa.)4ln(23 −−= xyyx
dd
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• Derivada da função trigonométrica inversa arcsen(x)
Cálculo Diferencial em IR
Seja y=arcsen(x) com -1< x <1, cuja função inversa é x=sen(y) com
Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos
Como cos(y) é positivo no intervalo então teremos e consequentemente:
Assim,
Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:
22ππ
<<− y
)(cos
1
dd1
dd
∗===y
yxx
y
22ππ
<<− y yy 2sen1)cos( −+=
22 11
sen11
dd)(
xyxy
−=
−=∗
( )21
1arcsenx
x−
=′
( ) ( ) ( )222 1
arcsen1
.1
1ddarcsendarcsen
dd
uuu
uuu
uxu
duuu
x −
′=′∴
−
′=′
−==
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• Derivada da função trigonométrica inversa arctg(x)
Cálculo Diferencial em IR
Seja y=arctg (x) com -∞< x <∞, cuja função inversa é x=tg(y) com
Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos
Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:
22ππ
<<− y
222 11
tg11
sec1
dd1
dd
xyyyxx
y+
=+
===
( ) ( ) ( ) 222 1arctg
1.
11
ddarctgdarctg
dd
uuu
uuu
uxu
duuu
x +′
=′∴+′
=′+
==
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• Derivadas das função trigonométricas inversas
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• Exemplos
Cálculo Diferencial em IR
Calcule y’ sendo y=f(x)
a) f(x)=arccos(x4)
b) f(x)=arctg(4x+2)
c) f(x)=arcsen(2x2‐3)
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• Derivadas de ordem superior a um
– Derivada de 1ª ordem:
– Derivada de 2ª ordem:
– Derivada de 3ª ordem:
– Derivada de ordem n:
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xyy
dd;′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′′
xy
xxyy
dd
dd
dd; 2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′′′
2
2
3
3
dd
dd
dd;
xy
xxyy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −1
1-nn)(
dd
dd
dd; nn
n
xy
xxyy
Exemplo: Calcule a derivada de 2ª ordem da função y=xe‐2x
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• Diferencial
x
y
P
Q
y=f(x)
t
x x+Δx
f(x)
f(x+Δx)
Δ x
Δydy
A variação Δy que uma função y=f(x) sofreem consequência da variação da suavariável independente x tem uma relaçãoestreita com a sua derivada f ’(x).
Seja Δx a variação ou acréscimo davariável independente e Δy=f(x+Δx)-f(x) avariação ou acréscimo da variáveldependente ou função.
Quando a variável independente varia dex para x+Δx a variação exacta da função édada por Δy, no entanto, para valorespequenos de Δx, esta variação pode serestimada por dy.
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Cálculo Diferencial em IR
Tendo em conta a interpretação geométrica daderivada num ponto podemos verificar que:
a que se dá o nome de diferencial da função:
dy=f’(x) Δx
Através da observação directa da figura anterior podemos verificar que, para valores pequenos de Δx, a variação Δy pode ser aproximada pelo diferencial dy.
xxfyyy ΔΔΔ ′≈⇔≈ )(d
x
y
P
Q
y=f(x)
t
x x+Δx
f(x)
f(x+Δx)
Δ x
Δydy
θ
xxfyxtgyxytg
Δ′=⇔Δ=Δ
==
)(dd
dadjacentecatetocomp.
opostocatetocomp.
θ
θ
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Verifiquemos se o erro cometido quando se toma Δy por dy é efectivamente pequeno quando comparado com Δx.
Considere‐se a diferença
e calcule‐se o limite
Conclui‐se que a aproximação é tanto melhor quanto menor for Δx.
Sendo que Δx=dx, podemos também representar o diferencial dy como dy=f’(x)dx.
[ ] xxfxfxxfyy ΔΔΔ ′−−+=− )()()(d
xxyy
Δ−Δ
→Δ
d
0lim
[ ]
0)()(
)(
0lim
)()(
0lim
)()()(
0lim
d
0lim
=′−′=
=Δ
Δ′
→Δ−
Δ−Δ+
→Δ=
=Δ
Δ′−−Δ+
→Δ=
Δ−Δ
→Δ
xfxfxxxx
xxxxxxfxfxxf
xxfxfxxfyy
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Exemplo
Considere a função , x>0 (área de um quadrado).Escreva as expressões analíticas de Δy e dy , correspondentes a uma variação Δx do lado do quadrado.
2xy =