istituzionifisicamatematica

7/23/2019 IstituzioniFisicaMatematica

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Note del corso di

Metodi Matematici della Meccanica Quantistica

Chi dice di aver capito qualcosa della meccanica quantistica in realta non hacapito nulla R. Feynman

1 Novembre, 2014


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Bibliografia essenziale

- L.Landau e Lifsitz:Meccanica Quantistica non relativistica;- M.Reed e B.Simon:Methods of Mathematical Physics I. Functional Analysis(Academic

Press, 1980);- J.G.Taylor: Quantum Mechanics: an introduction(1970);- G.Teschl:Mathematical Methods in Quantum Mechanics, with applications to Schrodinger

operators(American Mathematical Society, 2009).

Citazioni serie ...

- I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics; Richard Feyn-man, Nobel Laureate.

- Anyone who is not shocked by quantum theory has not understood a single word;

Niels Bohr, Nobel Laureate.- I do not like it (Quantum Mechanics), and I am sorry I ever had anything to dowith it e Had I known that we were not going to get rid of this damned quantumjumping, I never would have involved myself in this business!; Erwin Schrodinger,Nobel Laureate.

- God does not play dice with the cosmos; Albert Einstein (Nobel Laureate). Do notpresume to tell God what to do; Niels Bohr (Nobel Laureate), in risposta ad AlbertEinstein.

- If that (Quantum Mechanics) turns out to be true, Ill quit physics; Max von Laue,Nobel Laureate 1914, parlando a riguardo della tesi ondulatoria di de Broglie.

- A philosopher once said, It is necessary for the very existence of science that the same

conditions always produce the same results. Well, they dont!; Richard P. Feynman,Nobel Laureate.

... e meno serie ...

- Very interesting theory - it makes no sense at all; Groucho Marx (attore comico diHollywood).

- You think quantum physics has the answer? I mean, you know, what purpose does itserve for me that time and space are exactly the same thing? I mean I ask a guy whattime it is, he tells me 6 miles? What the hell is that? ; Woody Allen tratto dal filmAnything else


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Indice degli argomenti ragionato

1. Le difficolta della Meccanica Classica e la nascita della Meccanica Quantistica2. Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo unidimensionale: proprieta generali

ed esempi notevoli3. Spazi di Hilbert: definizione e proprieta fondamentali, concetto di sistema ortonormale,

completezza, esempi notevoli di spazi di Hilbert e di sistemi ortonormale completi,teorema di proiezione.

4. Funzionale lineare e teorema di rappresentazione di Riesz.5. Operatori lineari limitati su uno spazio di Hilbert: definizione e norma delloperatore;

aggiunto di un operatore lineare limitato.6. Convergenza forte e debole di vettori.7. Convergenza di operatori: convergenza forte e debole; convergenza in norma di oper-

atori limitati; estensione di un operatore limitato e densamente definito.

8. Struttura assiomatica della Meccanica Quantistica.9. Operatore auto-aggiunto: definizione di operatore simmetrico, di operatore aggiuntoe di operatore auto-aggiunto; dominio di un operatore; operatori simmetrici e formequadratiche a valori reali; criterio di autogiunzione.

10. Esempi notevoli di operatori simmetrici e loro estensione (operatore di moltiplicazionee operatore differenziale).

11. Chiusura di un operatore: definizione e proprieta principali; operatore essenzialmenteauto-aggiunto e criterio di essenziale autogiunzione; Teorema del grafico chiuso.

12. Forme quadratiche ed estensione di Friedrichs: operatori simmetrici non-negativi e lim-itati dal basso; spazio dellenergia, Teorema di estensione di Friedrichs; forma quadrat-ica e dominio di forma; esempio notevole (operatore laplaciano unidimensionale).

13. Risolvente e spettro: operatore risolvente ed insieme risolvente; spettro di un opera-tore; prima formula del risolvente e sue conseguenze; esempio (risolvente delloperatoredifferenziale); successione di Weyl.

14. Spettro di operatori auto-aggiunti ed unitari: proprieta fondamentali e stima delloperatorerisolvente per operatori auto-aggiunti.

15. Teorema spettrale: definizione di p.v.m. e proprieta fondamentali; risoluzione dellidentitaP(); teorema spettrale e sue conseguenze; decomposizione spettrale per operatoriauto-aggiunti (spettro puramente puntuale, assolutamente continuo e singolare con-tinuo) e per operatori qualunque (spettro discreto ed essenziale); formula di Stone.


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VIII

16. Operatori relativamente limitati e Teorema di Kato-Rellich: definizione di operatorerelativamente limitato e proprieta principali; Teorema di Kato-Rellich; seconda formuladel risolvente.

17. Operatori di rango finito e compatti: definizione di operatore di rango finito; definizionedi operatore compatto e proprieta fondamentale; operatore relativamente compatto;operatori di Hilbert-Schmidt.

18. Teorema di Weyl: Criterio di Weyl; Teorema di Weyl.19. Convergenza del risolvente: definizione e proprieta fondamentali; criterio per la con-

vergenza del risolvente; Teorema di stabilita dello spettro.20. Principio di min-max.21. Teorema di Stone: operatore di evoluzione; generatore di un operatore di evoluzione;

Teorema di Stone.22. Teorema RAGE: Teorema di Wiener e media secondo Cesaro; Teorema RAGE.23. Operatore di Schrodinger libero: dominio di autogiunzione e spettro; operatore di

evoluzione temporale; forma esplicita delloperatore risolvente.


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Sommario

1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Le difficolta della Meccanica Classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 La stabilita della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Spettro di emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Radiazione di un corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Leffetto fotoelettrico ed il fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Introduzione del quanto dazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Crash course in Quantum Mechanics for beginners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Funzione donda di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Misure di una grandezza fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Equazioni di Schrodinger e limite classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 Stati stazionari ed equazione di Schrodinger indipendente dal tempo . 142.1.6 Proprieta fondamentali delloperatore H e delle soluzioni

dellequazione di Schrodinger indipendente dal tempo . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Equazione di Schrodinger in dimensione 1- Applicazioni elementari . . . . . . . 18

2.2.1 Proprieta generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Il teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 Spazio delle funzioni test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Definizione di distribuzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.3 Operazioni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7 Convergenza forte e debole di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.8 Convergenza di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


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X Sommario

4 Operatori auto-aggiunti e spettro di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1 Struttura assiomatica della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Operatori auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Indice di difetto di un operatore simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Chiusura di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Forme quadratiche ed estensione di Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Risolvente e spettro di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5.1 Spettro di Operatori auto-aggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.2 Somma ortogonale di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Teoria perturbativa per operatori auto-aggiunti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1 Il Teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1 Decomposizione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Operatori relativamente limitati e teorema di Kato-Rellich. . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 Operatori di rango finito e operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.1 Operatori di Hilbert-Schmidt ed operatori di classe traccia . . . . . . . . . 87

5.4 Operatori relativamente compatti e Teorema di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.5 Convergenza del risolvente in norma e forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6 Il principio min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Dinamica di un sistema quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.1 Il Teorema di Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Il Teorema Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3 Il Teorema RAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1 Loperatore di Schrodinger libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1 Evoluzione temporale per il problema libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.2 Il risolvente e la funzione di Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2 uni-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


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Introduzione

1.1 Le difficolta della Meccanica Classica

E ben noto che lo scopo della meccanica classica e determinato il moto di un dato sistemafisico riducendosi allo studio di un numero finito, anche se grande, di parametri lagrangianiqh(t) e determinandone il loro comportamento in funzione del tempo. Questo problemaviene affrontato partendo dalle leggi di Newton e la posizione e velocita iniziale del sistemadetermina lo stato del sistema ad ogni istante successivo.

Questa descrizioe classica di ogni sistema fisico in realta e stata dimostrata non piuadeguata verso la fine dell 800; infatti certi fenomeni riguardanti sistemi di dimensionidellordine di 106 metri non potevano essere spiegati classicamente. Per spiegare questifenomeni recalcitranti una nuova meccanica venne introdotta per sostituire la meccanicaclassica, questa meccanica venne chiamata Meccanica Quantistica e riusc nellintentodi spiegare questi fenomeni, oltre che essere in accordo con la meccanica classica dovequesta era corretta.

La Meccanica Quantistica ha avuto sostanzialmente 2 periodi di sviluppo distinti.

- Il primo periodo inizia con lintroduzione del concetto di quanto dazione nel 1900dovuto a Planck (o piu correttamente nel 1905 con il lavoro di Einstein). In questoperiodo la nuova meccanica era sostianzalmente una miscela di concetti classici enon-classici, e non era considerata completamente soddisfacente.

- Il secondo periodo, che inizia nel 1925, e sostanzalmente frutto dei progressi, ottenutiindipendentemente ma alla fine equivalenti, di Heisenberg e Schrodinger. Le difficoltadella precedente versione della Meccanica Quantistica sono ora completamente risolteed e a questa versione che viene dato il nome di Meccanica Quantistica. Lapprocciodi Schrodinger si basa sullo studio dellequazione di Schrodinger ed e quello che noiadotteremo nel corso; lapproccio di Heisenberg, detto anche metodo delle matrici, nonviene da noi trattato. Comunque entrambi gli aprocci sono equivalenti.

In realta la Meccanica Quantistica, nella sua versione definitiva, descrive il compor-tamento di particelle quali atomi, elettroni, nuclei, molecole, fotoni, etc.. La descrizionedelle particelle sub-atomiche richiede un ulteriore sviluppo della Meccanica Quantisticache prende il nome diQuantum Field Theorye che inizia sostanzialmente attorno al 1947.

Riassumendo:


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2 1 Introduzione

- Meccanica Classica. Valida per oggetti di dimensione maggiore di 106 metri.- (Vecchia) Meccanica Quantistica. Nasce nel 1900/05 e fino al 1925 viene utilizzata

per descrivere la dinamica di oggetti di dimensione minore di 106 metri.

- (Nuova) Meccanica Quantistica. Nasce nel 1925 viene utilizzata per descrivere ladinamica di oggetti di dimensione minore di 106 metri, ma comunque di scala atomica(atomi, elettroni, etc.).

- Teoria dei campi quantistica. Nasce attorno al 1947 per descrivere la dinamica dioggetti di dimensione sub-atomica (quark, muoni, neutrini, etc.).

Per meglio comprendere lo sviluppo della Meccanica Quantistica sara di aiuto sof-fermarsi brevemente sui fenomeni recalcitranti che non potevano spiegarsi classi-camente, seguendo la loro scansione temporale. Di fatto questi fenomeni recalci-tranti nascono quando alle usuali legge della Meccanica Classica si accostano le leggidellelettromagnetismo o della termodinamica.

1.1.1 La stabilita della materia

La materia e fatta di molecole, che a sua volta sono fatte di atomi. Gli atomi non sonomai in equilibrio, infatti essi sono costituiti di particelle cariche con diverse positivitatenuti insieme dalla legge di Coulomb. Seguendo lapproccio della Meccanica Classicalelettrone, come un satellite attratto da un pianeta, non cade sul nucleo solo se e in motolungo unorbita. Daltra parte la teoria di Maxwell afferma che particelle cariche accel-erate devono emettere radiazione elettromagnetica, quindi lelettrone attorno al nucleodovrebbe emettere radiazione e quindi perdere energia e rapidamente colassare sul nucleostesso nellordine di 1010 secondi. E evidente che un tale collasso avrebbe conseguenze

catastrofiche e tutta la chimica non potrebbe funzionare; il fatto che i sistemi non col-lassino dopo 1010 secondi significa che lelettrone in orbita non emette radiazione (cheinfatti non viene misurata) e quindi la spiegazione classica e lei a colassare!

1.1.2 Spettro di emissione

Quando riscaldiamo un elemento (ad esempio una barra di metallo) o la sottometti-amo ad una forte scarica elettrica (come nel caso dei gas) esso emette una radiazioneelettromagnetica (luce). Questa radiazione e formata solamente da un certo numero difrequenze. La descizione classica stabilisce che queste frequenze devono essere le stesse(o loro combinazione lineare) delle frequenze normali dei moti periodici delle particelle

cariche negli atomi. Piu precisamente, se j sono le frequenze elementari allora noi ciaspettiamo (classicamente) di osservare frequenze della forma =

njj dove nj sono

numeri interi positivi. In realta, quello che sperimentalmente si osserva e che le frequenzadellemissione elettromagnetica sono della forma = n m dove n sono un fissatoinsieme di frequenze.

1.1.3 Radiazione di un corpo nero

Consideriamo la radiazione elettromagnetica allinterno di un dominio racchiuso che sia inequilibrio con lambiente; questa radiazione a anche storicamente detta radiazione di un


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1.1 Le difficolta della Meccanica Classica 3

corpo neroperche se pensiamo idealmente di fare un piccolo foro nellinvolucro, per perme-ttere alla radiazione di uscire ed essere misurata, allora la radiazione che dallesterno entranon ha praticamente possibilita di uscire e quindi il piccolo buco assorbe la radiazione, e

quindi appare come nero. La spiegazione classica porta a concludere che il numero (inrealta la funzione densita) n() di onde elettromagnetiche con frequenza tra e +de dato da

n()d=82

c3 d

dove c e la velocita della luce. In termini di energia sia ha che lenergia per unita divolume donda ha densita

E()d =82

c3 kTd

dove T e la temperatura del corpo e k e la costante di Boltzmann. Questultima prendeil nome di formula di Rayleigh-Jeans ed e in buon accordo con gli esperimenti solo perbasse frequenze; per alte frequenze essa non vale e cio non sorprende, infatti se vogliamocalcolare lenergia totale essa risulta essere

0 E()d e un integrale divergente.

Questo paradosso venne risolto da Planck nel 1900 per mezzo di una proposta radicale.Egli sugger che la radiazione di una data frequenza puo solo scambiare energia con lamateria in pacchetti discreti di quanti, ognuno di energia h, dove h e una costante, oradetta costante di Planck, che ha un valore fissato e che ha le dimensioni di una energiaper un tempo. Con questo approccio segue che la legge di distribuzione dellenergia hala forma

E()d=8h

3

c3 1eh/kT 1d (1.1)nota come legge di Planck. Osserviamo che per piccolo (o per Tgrande) ritroviamola legge di Rayleigh-Jeans. La legge di Planck descrive correttamente gli esperimenti perogni frequenza e lenergia totale emessa vale

0E()d=

4

c T4

dove

= 25k4

15h3c2

e nota come costant di Stefan. Poiche c e noto e poiche lenergia totale si misura speri-mentalmente allora si trova che il valore della costante di Planck vale:

h= 6.55 1034 joule per secondo.

1.1.4 Leffetto fotoelettrico ed il fotone

Quando una luce ultra-violetta colpisce una superficie metallica si osserva sperimental-mente che si genera una corrente di elettroni, anche quando un potenziale ritardante e


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4 1 Introduzione

presente purche questo non sia troppo grande. Se il potenziale ritardante e abbastanzagrande allora non si osserva nessuna emissione di elettroni. Il piu grande potenziale rtar-dante per il quale si osserva emissione di elettroni viene denominato Vsed e detto stopping

potential, ed e proporzionale alla massima energia di elettroni emessa dalla superficieirradiata. Sulla base del formalismo classico ci si aspetta che lenergia degli elettroni au-menta con lintensita della luce ultra-violetta e quindi, se lenergia della luce ultra-violettaaumenta, dovrebbe aumentare anche lo stopping potential. Daltra parte sperimental-mente e stato trovato che lo stopping potential era indipendente dallintensita dellaluce, ma aumentava linearmente con la frequenza della luce. Questo fatto non trova sp-iegazione classica, infatti cambiare la frequenza non dovrebbe avere nessun effetto sullostopping potential.

Lestensione logica dellipotesi quantistica di Planck fu fatta nel 1905 da A. Einsteinper spiegare leffetto fotoelettrico. Egli sugger non solo che lo scambio di energia traradiazione e materia avviene attraverso pacchetti di quanti, ma che la radiazione ef-

fettivamente consiste solamente di quanti discreti di energia detti fotoni, ognuno dienergiah(dovee la frequenze della luce). Sulla base di questa ipotesi trova spiegazioneleffetto fotoelettrico; infatti se il fotone che colpisce la superficie metallica ha energia hsuperiore al lavoro W necessario per strappare lelettrone allatomo allora lelettroneemergera con energiahWe quindi lo stopping potential sara questa differenza. QuindiVs sara linearmente proporzionale a e la costante di proporzionalita e la costante h. Erimarchevole sottolineare che tale costante di proporzionalita puo essere sperimentale mis-urata e coincide, con buon accordo, alla costante trovata nella radiazione del corpo nero.Piu precisamente, i dati sperimentali in possesso di Einstein nel 1905 gli permisero solodi stabilire che entrambe le costanti avevano valori compatibili; successivamente Millikanarrivo ad una misura piu precisa trovando che nelleffetto fotoelettrico

h= 6.5 1034 joule per secondo.in sostanziale accordo con ilrisultato precedente.

Le moderne misurazioni di h danno il valore

h= 6.62606896(33) 1034 joule per secondo.

1.2 Introduzione del quanto dazione

La Meccanica Quantistica nasce con il concetto di quanto dazione. Anche se e indis-cussa la parternita del quanto a Max Karl Ernst Ludwig Planck non e inutile vedere comequesto concetto e stato introdotto nel 1900.

Planck naque nel 1858 e venne nominato professore di Fisica presso lUniversit a diBerlino nel 1889; la sua tesi di dottorato presso lUniversita di Monaco riguardava laseconda legge della termodinamica, argomento che fu soggetto di ricerca prevalente finoal 1905.

Lo studio della radiazione del corpo nero ebbe inizio nel 1859 con i lavori di RobertKirchoff, precedessore di Planck a Berlino. La prima legge empirica riguardante la radi-azione fu introdotta da Wien e derivata rigorosamente successivamente da Planck. Questa


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1.2 Introduzione del quanto dazione 5

legge, inizialmente in accordo con gli esperimenti, venne messa rapidamente in discussionea causa di esperimenti realizzati a Berlino che mostravano che essa non descriveva corret-tamente lo spettro. Planck riprese le sue ricerche e arrivo finalmente alla legge (1.1) in

accordo con gli esperimenti, questa legge venne presentata alla riunione della Societa Fisicadella Germania il 19 Ottobre 1900. Nel Novembre 1900 Plack realizzo che la derivazionedella formula (1.1) non era basata su una derivazione rigorosa e cerco tenacemente dicolmare questa lacuna; questo risultato arrivo solamente il 14 Dicembre 1900 a seguito diun atto di disperazione(come Planck stesso commento il suo lavoro as an act of despair... I was ready to sacrifice any of my previous convictions about physics): egli ammise,senza nessuna motivazione fisica ma solo come artificio matematico, che lenergia E siadi divisa in porzioni attraverso un processo di quantizzazione.

Se il 14 Dicembre 1900 avvenne una rivoluzione non se ne accorse nessuno, nemmenoPlack. Di fatto la sua legge enunciata il 19 Ottobre 1900 fu immediatamente accettata, mala novita relativa allintroduzione dei quanti fu sostanzialmente ignorata. Uno delle poche

persone che prese sul serio lidea di Planck fu un impiegato dellufficio brevetti di Zurigo:Albert Einstein, che nel 1905 pose lidea dei quanti a base della spiegazione delleffettofotoelettrico; a questo lavoro ne seguirono altri che posero le basi della Meccanica Quan-tistica.

Possiamo concludere che lintroduzione del quanto dazione e avvenuto nel 1900 peropera di Planck, ma che la nascita della Meccanica Quantistica vede la luce nel 1905 conil lavoro di Albert Einstein.

The Nobel Prize in Physics 1918 was awarded to Max Planck in recognition of theservices he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta.

The Nobel Prize in Physics 1921 was awarded to Albert Einstein for his services toTheoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect.


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Crash course in Quantum Mechanics for beginners

2.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica

2.1.1 Funzione donda di una particella

Denotiamo conq M = RN linsieme delle coordinate di un sistema quantistico (nel casodi una sola particella allora N= 3 in generale, nel caso di Mparticelle allora N= 3M),denotiamo poi con dq il prodotto dei differenziali di queste coordinate, cioe lelementodi volume nello spazio delle configurazioni. Nel seguito, per semplicita, supponiamo diconsiderare una sola particella.

La meccanica quantistica nella interpretazione di Copenaghen si basa sulla propo-sizione che lo stato di un sistema ad ogni istante t puo essere descritto da una funzionedetta funzione donda a valori complessi (q, t) delle coordinate e del tempo. Piu pre-cisamente il quadrato del modulo di questa funzione definisce la distribuzione delle

probabilita dei valori delle coordinate: sia A M un qualunque insieme dello spaziodelle fasi misurabile, allora

Pt(A) =

A|(q, t)|2dq

e la probabilita di trovare la particella in A allistante t. La funzione prende il nomedifunzione donda.

Poiche la somma delle probabilita di tutti i valori possibili delle coordinate del sistemadeve, per definizione di probabilita, essere uguale a 1 allora segue che la funzione dondadeve soddisfare alla seguente condizione di normalizzazione

M

|(q, t)|2dq= 1 , t. (2.1)

Quindi la funzione donda deve essere quadrato sommabile su tutto lo spazio delleconfigurazioni e lambito naturale in cui lavorare in meccanica quantistica e lo spazio diHilbertH =L2(M) sul quale e definito il prodotto scalare

f, g =

Mf(q)g(q)dq .

La condizione di normalizzazione (2.1) si traduce quindi nella richiesta


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8 2 Crash course in Quantum Mechanics for beginners

(, t) = 1 dove f =

f, f.Poiche le grandezze fisiche dipendono dalla funzione donda attraverso il suo modulo

segue che la funzione donda e sempre definita a meno di un fattore di fase deltipo ei, dove e una costante reale. Ovvero la funzione donda e la funzione dondaei definiscono lo stesso stato quantistico. Questa assenza di univocita non puo essereeliminata, tuttavia essa non e essenziale perche non influisce sulla descrizione del sistemaquantistico.

Inoltre osserviamo cheNota 2.1: Se una funzione donda viene moltiplicata per un numero complesso c nonnullo, allora la nuova funzione dondaccorrispondera allo stesso stato quantistico poiche,una volta normalizzata, ha la stessa funzione di distribuzione.

2.1.2 Principio di sovrapposizione

Ilprincipio di sovrapposizione degli staticostituisce una delle tesi fondamentali dellameccanica quantistica. In forma elementare il principio di sovrapposizione degli stati sipuo esprimere nelle seguenti due proposizioni.

Ipotesi 1. Se un sistema si puo trovare in stati descritti dalle funzioni donda1 e2, allora esso puo trovarsi anche in stati descritti da una funzione donda

= a11+ a22

ottenuta mediante una combinazione lineare di 1 e 2; dove a1 e a2 sono dei numericomplessi qualsiasi indipendenti dal tempo.

Questa proposizione costituisce il principio fondamentale della meccanica quantistica

e da esse segue necessariamente che tutte le equazioni cui soddisfano le funzioni dondadevono necessariamente essere lineari rispetto alla funzione donda .

2.1.3 Misure di una grandezza fisica

Consideriamo una data grandezza fisica f a valori reale detta anche osservabile (ades. posizione, momento, energia, etc.) e i valori che questa puo assumere. In meccanicaclassica tipicamente puo assumere una distribuzione continua di valori. In meccanicaquantistica la situazione e diversa: i valori che losservabile puo assumere in meccanicaquantistica non sono, in generale, distribuiti con continuita e i valori ammessi sono dettiautovalori, e si parla del loro insieme come spettro puntuale. In meccanica quantis-

tica esistono ugualmente fisiche (ad esempio le coordinate) i cui valori ammettono unadistribuzione continua, in tal caso si parla di spettro continuo. Lunione insiemisticadello spettro puntuale e dello spettro continuo prende il nome di spettro.

Dire che fn e lautovalore associato allosservabile f corrispondente allautovettore nvuole dire che quando lo stato e rappresentato dalla funzione dondanallora losservabilefha valore fn.

Supponiamo, al momento, che lo spettro sia puramente puntuale e indichiamo confn,n = 0, 1, 2, . . ., linsieme dei suoi autovalori; indichiamo conn le funzioni donda cor-rispondenti allo stato quantistico di energiafn, queste funzioni sono denotate autovettorio autofunzioni e sono convenzionalmente assunte normalizzate, cioe


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2.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica 9M

|n(q)|2dq= 1 , n.

In virtu del principio di sovrapposizione consideriamo una funzione donda combi-

nazione lineare delle singole funzione donda

(q) =

n

ann , (2.2)

dove le costanti complesse an saranno scelte in modo da rendere questa somma conver-gente, nello spazio di HilbertHassegnato. La nuova funzione donda normalizzata(q)rappresenta un nuovo stato quantistico. Osserviamo che se linsieme degli autovettori eun sistema ortonormale allora deve necessariamente essere

an= n, =

Mn(q) (q)dq

e inoltre n

|an|2 = 1 . (2.3)

Il viceversa non e sempre possibile, piu precisamente un qualunque stato quantisticopuo essere rappresentato da una funzione donda (2.2) se il sistema degli vettori n e unsistema (ortonormale) completo per lo spazio di HilbertH.

Nel caso in cui lo spettro sia (almeno in parte) continuo allora questi concetti possonoessere generalizzati considerando, in alternativa alla (2.2), lo sviluppo

(q) = c aff(q)dfdove c denota lo spettro continuo, f(q) la autofunzione associata al valore fdellosservabile e afdenota una densita che deve essere normalizzata:

c|af|2df= 1.

Sia dato uno stato quantistico avente rappresentazione data dalle funzioni donda decomposte sugli autovettori ndalla (2.2). Introduciamo ora il concetto di valore medio(o valore atteso)f di unosservabile fin un dato stato definito dalla (2.2):

f = n fn|an|2 (2.4)dove fn sono i valori ammessi dalosservabile fe dove abbiamo supposto lo spettro pura-mente discreto.

Introduciamo loperatore integraleFformalmente definito su un vettore test Hnel seguente modo:

(F ) (q) =

MK(q, q)(q)dq

avente nucleo Kdefinito come


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K(q, q) =

n

fnn(q)n(q)

Per definizione segue formalmente che loperatore agisce sul vettore definito dalla (2.2)

nel seguente modo

(F ) (q) =

M

n

fnn(q)n(q)(q

)dq

=

n

fnn(q)

Mn(q

)(q)dq =

n

anfnn(q)

e quindi

f = , F Ovvero, loperatore lineare F e loperatore formalmente associato allosservabilef, ed il

valore atttesof e definito dallazione delloperatore F associato sulla funzione dondadello stato quantistico. Occorre osservare che questa procedura e al momento solo unaprocedura formale e non ben definita da un punto di vista matematico. Come risultatosi osserva che e possibile associare, mediante una opportuna operazione detta quantiz-zazione di unosservabile, unoperatore lineare auto-aggiunto su uno spazio di HilbertH =L2(M):

Osservabile f Operatore lineare F .E immediato osservare che se la funzione e una delle autofunzioni n (in modo che

an =n

n) allora

F n = fnn (2.5)

cioe i valori fn coincidono con gli autovalori delloperatore lineare F e n ne sono gliautovettori associati.Nota 2.2: Poiche gli autovalori fn ed il valore mediofdi una grandezza fisica a valorireali sono numeri reali allora loperatore Fdeve essere un operatore simmetrico:

, F = F , ,, H (2.6)perche i suoi autovalori devono essere numeri reali. Infatti,

, F = n

ann, Fn

bnn=n,n

anbnn, F n =n,n

anbnn, fnn

=n,n

anbnfnn, n =n,n

anbnfnn

n

=

n

anbnfn

dalla relazione (2.5). Similmente segue che


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2.1 Concetti fondamentali della Meccanica Quantistica 11

F , = n

anbnfn

dove le due sommatorie coincidono poiche fn= fn.

Gli operatori lineari che soddisfano alla condizione (2.6) prendono il nome di oper-atori hermitiani o operatori simmetrici; quindi gli operatori che sono di interessenellapparato matematico della meccanica quantistica, corrispondenti a grandezze fisichereali, devono essere hermitiani. Esiste la seguente corrispondenza tra osservabili classichee operatori lineari:

coordinata spaziale x xmomento px ih xEnergia E= 1

2mp2 +V(x1, . . . , xN) H= h22m +V(x1, . . . , xN)

dove

=N

j=1

2

x2j

e dove h e una costante introdotta da M. Planck nel 1900 (piu esattamente Planck intro-dusse la costante h= 2h) che vale

h= 1.054 1027 erg s.Consideriamo ora due osservabili classichefeg e i due operatori associatiF eG. Se le

osservabilif e g possono essere simultaneamente misurabili allora entrambe insistonosugli stessi autovettori n (con autovalori fn e gn non necessariamente coincidenti).Di conseguenza il prodotto dei due operatori ha come risultato

F G= F G

n

ann =

fngnann

e similmente

GF = GF

n

ann =

gnfnann .

Di conseguenza possiamo affermare che i due operatori commutano:

[F, G] =F G

GF = 0 .

Poiche vale il viceversa possiamo affermare che date due osservabili f e g e dati glioperatori associati F e G allora le due osservabili sono misurabili simultanea-mente se, e solo se, i due operatori associati commutano tra loro.Esempio 2.1: Le osservabili xe px non sono misurabili simultaneamente. Infatti

x x e px ih x

e quindi


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12 2 Crash course in Quantum Mechanics for beginnersx, ih

x

= ih = 0 .

Invece xe py sono misurabili simultaneamente, infattix, ih

y

= 0 .

Nota 2.3: Come conseguenza del fatto chex, ih

x

= ih e

x, ih

y

= 0

vale la seguente disuguaglianza (detto principio di indeterminazione di Heisemberg)

xpx 12h e xpy 0in cui x lerrore sulla posizione e px (risp. py) quello sulla quantit di moto rispettoalla direzione x(risp. y).

2.1.4 Equazioni di Schrodinger e limite classico

Nella meccanica quantistica la funzione donda determina, ad ogni istante, in modocompleto lo stato di un sistema fisico. Di conseguenza la sua variazione temporale

tdeve essere determinata a partire dalla funzione stessa:

t

=H()

per una dato operatore H. Daltra parte, per il principio di sovrapposizione necessari-amente segue che la dipendenza di H da deve essere lineare e quindi tale equazioneprende la forma

ih

t =H , =(q, t), (2.7)

dove H e un operatore lineare, dove il fattore i e legato alla conservazione della norma di e dove h e la costante di Plack.

Nota 2.4: Loperatore Hdeve essere hermitiano, cio segue dalla conservazione dellanorma: se(, t) = 1 allora

0 = d

dt(, t), (, t) =

t(, t), (, t)

+

(, t),

t(, t)

=1

h[iH(, t), (, t) + (, t), iH(, t)]

= i

h[H(, t), (, t) (, t), H(, t)]


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Come operatore Hviene scelto loperatore associato allosservabile energia:

H=

h2

2m

+V (2.8)

in tale modo lequazione di Schrodinger dipendente dal tempo prende la forma

ih

t =

h

2

2m+V

, =(q, t). (2.9)

Tal scelta e lunica compatibile con ilprincipio di corrispondenzaformulato da N.Bohr nel 1920

Ipotesi 2. Le grandezze fisiche quantistiche devono tendere alle corrispondenti clas-siche nel limite macroscopico.

Con limite macroscopico si intende una scala fisica nella quale lazione classica

S= L [q(t), q(t)] dte molto piu grande della costante di Planck h. In questo limite si puo sostanzialmenteaffermare che h e trascurabile e che gli effetti quantistici sono molto piccoli. Per questaragione il limite macroscopico si chiama anche limite semiclassico e si denota, in modoimproprio, h 0; questo limite non deve essere ovviamente preso alla lettera, infatti h euna costante (molto piccola) che non puo variare e comunque porre h= 0 nellequazione(2.9) darebbe luogo ad un limite singolare.

Per rendersi conto del limite classico andiamo a considerare lequazione (2.9) dove cer-chiamo la soluzione (q, t) nella seguente forma (dettatrasformazione di Madelung)

(q, t) =a(q, t)eiS(q,t)/h

dove a ed Ssono due funzioni incognite a valori reali. Sostituendo e separando tra lorola parte reale ed immaginaria si trova che queste devono soddisfare al seguente sistema diequazioni

St

+ 12m

(S)2 +V h22ma

a= 0at

+ a2m

S+ 1m

S a = 0Trascurando nella prima di queste equazioni il termine contenente h2 (limite semiclassico)si ottiene che la funzione S soddisfa allequazione

S

t +

1

2m(S)2 +V = 0 (2.10)

che risulta essere lequazione classica di Hamilton-Jacobi per lazione Sdella particella.Dalla seconda equazione si ottiene invece la seguente relazione

a2

t + div

a2

Sm

= 0

A questa equazione possiamo attribuire un significato fisico importante: ricordando che


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:= |a|2 = ||2

rappresenta la densita di probabilita e che dalla (2.10)Sm

= pm

=v rappresenta la velocitaclassica della particella allora lequazione

+ div (v) = 0

rappresenta lequazione di continuita per la densita che esprime il fatto che la densitadi probabilita si evolve nel tempo spostandosisecondo le leggi della meccanica classicaattraverso la velocita v.

2.1.5 Stati stazionari ed equazione di Schrodinger indipendente dal tempo

La legge di conservazione dellenergia in meccanica classica implica che lenergia di un datostato quantistico si conserva nel tempo. Infatti, siaHloperatore associato allenergiaEe

siafuna qualunque altra osservabile associata ad un operatore F, e immediato osservareche ponendof = , F df

dt =

d

dt , F dove =(q, t)

= , F + , F + , F= , F +1

h[iH,F + , iFH]

= , F + ih, [H, F],

=

t f

+ i

h, [H, F]

In particolare, seF =He se lo stato corrisponde ad una autofunzionen di autovaloreEn segue che

dEndt

=dE

dt =

tE + i

hn, [H, H]n = 0

poiche Enon dipende esplicitamente dal tempo e [H, H] = 0Gli stati di un sistema in cui lenergia ha valori determinati En sono detti stati

stazionari; la funzione dondanassociata ha una forma ben definita, infatti lequazione(2.7) prende la forma

ihnt

=H n=Enn

che ha soluzione elementare

n(q, t) =eiEnt/hn(q) (2.11)

dove En e n(q) sono la soluzione del seguente problema agli autovalorih

2

2m+V

= E (2.12)


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Lequazione (2.12) prende il nome di equazione di Schrodinger indipendente daltempo e gioca un ruolo molto importante.

Supponiamo, per un momento, che il problema agli autovalori H = E ammetta

soluzioni n ed En con n H =L2

(M), cioe quadrato sommabili; supponiamo inoltreche la famiglia delle autofunzioni{n}n costituisca un sistema (ortonormale) completo.Di conseguenza, in virtu del metodo di separazione delle variabli e assumendo che lospettro di H siapuramente puntuale, la soluzione generale del problema (2.9) prendela forma

(q, t) =

n

aneiEnt/hn(q) (2.13)

dove i coefficienti an sono determinati dalla funzione donda in un dato istante iniziale0(q) =(q, 0) attraverso la relazione

an= n, 0

e dove i quadrati |an|2 rappresentano fisicamente le probabilita dei diversi valori dellenergiadel sistema.

Se lo spettro non e puramente puntuale, ma e ammesso anche una parte di spettrocontinuoc, allora perE cla corrispondente soluzioneE(q) dellequazione (2.12) nonsara quadrato sommabile (ma solamente limitata) e il contributo della spettro continuoalla soluzione generale sara dato da

(q, t) =

caEe

iEt/hE(q)dE

Di qui in seguito assumiamo che lo spettro sia puramente puntuale e enunciamo(ed in parte dimostriamo) alcune proprieta fondamentali degli autovettori. Premettiamoche lo stato stazionario con valore dellenergia minimo tra tutti quelli possibili si chiamastato fondamentale, o anche ground state, del sistema.

2.1.6 Proprieta fondamentali delloperatore He delle soluzioni dellequazione di

Schrodinger indipendente dal tempo

Anzitutto osserviamo che loperatoreH= h22m

+ V, definito su H =L2(M) nellipotesiin cuiM= RN e V(x) e a valori reali, e simmetrico. Infatti, siano dati due vettori test, C0 (RN) e osserviamo che (per fissare le idee poniamo N= 1)

H, = 12m

R

ih x

ih x

(q)

(q) dq+

R

V(q)(q)(q) dq

= limR+

1

2m

|q|R

ih

x

ih

x

(q)

(q) dq+

R

V(q)(q)(q) dq

= limR+

1

2m

ih(q)x

(q)

RR

|q|R

ih

(q)

x

ih(q)

x

dq

++R

V(q)(q)(q) dq


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= limR+

1

2m

|q|R

ih

(q)

x

ih (q)

x

dq

+R

V(q)(q)(q) dq

= limR+1

2m (q)ih(q)x R

R +|q|R (q) ih xih x(q) dq +

+R

V(q)(q)(q) dq

= limR+

1

2m

|q|R

(q)

ih

x

ih

x

(q)

dq+

R

V(q)(q)(q) dq

= ,HPoiche lo spazio C0 e denso in L

2 la proprieta vale.

Proprieta 1

Stati stazionari n e m corrispondenti a diversi livelli En=Em dellenergia sono ortog-onali tra loro:

Enn, m = Enn, m = Hn, m = n, Hm = n, Emm=Emn, m

poiche H e simmetrico, da cui segue che (En Em)n, m = 0. Osserviamo che statistazionari degeneri, ovvero corrispondenti ad uno stesso livello energetico, non sono nec-essariamente ortogonali tra loro; e comunque sempre possibile, mediante una opportunascelta, determinare stati stazionari ortonormali.

Proprieta 2

Poiche in uno stato stazionario (discreto) la norma 2 = 1 e finita segue che la funzionedonda deve decrescere rapidamente allinfinito e quindi ilsistema si muove in unaregione finita, si trova cioe in uno stato legato. Diverso e il caso dello spettrocontinuo in cui la norma2 non e finita.

Proprieta 3

Se lenergia potenziale V(q) e una funzione continua a tratti allora la funzione donda,

soluzione dellequazione (2.12), e continua insieme alla sua derivata prima; solo nel caso incui lenergia potenziale sia singolare sono presenti discontinuita nella funzione donda. Inparticolare se lenergia potenzialeV assume il valorein una regione allora su questaregione la funzione donda deve annullarsi identicamente.

Proprieta 4

Sia

Vmin= minqM

V(q)


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Allora i valori dellenergia En in corrispondenza agli stati stazionari soddisfano allaseguente proprieta

En> Vmin. (2.14)

Infatti, sia n lautovettore associato, esso ovviamente non puo essere identicamentecostante e inoltre soddisfa alla relazione (2.12); di conseguenza, moltiplicandola scalar-mente per n, si ottiene la seguente reazione

h2

2mn, (i)2n + n, V n =En

Poiche

n, V n n, Vminn =Vmine

n, (i)2n = in, in >0allora segue la disuguaglianza (2.14).

Proprieta 5

Sia

V = lim infq V(q)

allora le soluzioni E < V del problema (2.12) corrispondono a stati legati, cioe i cor-rispondenti autovettori sono quadrato sommabili. Daltra parte, le soluzioniE V delproblema (2.12) corrispondono a stati non legati, cioe i corrispondenti autovettori nonsono quadrato sommabili. Ovvero, se denotiamo con p lo spettro puntuale e con c lospettro continuo segue che

p (Vmin, V) e c [V, +).

Proprieta 6

Sia E un autovalore non degenere soluzione dellequazione (2.12) con autofunzione as-

sociata , allora puo sempre essere scelta a valori reali. Infatti, se e soluzionedellequazione (2.12) allora, prendendone il complesso coniugato, segue che anche ne esoluzione (assumendo cheV e a valori reali), e di conseguenza anche la loro combinazionelineare 1

2( + ) ne e soluzione. Osserviamo inoltre che se una funzione donda e

soluzione dellequazione (2.9) allora lequazione ottenuta a partire dalla (2.9) invertendolasse dei tempi t t ammette soluzione .


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Proprieta 7

Il calcolo degli autovalori del problema (2.12) puo essere affrontato in modo variazionale.Introduciamo il funzionale energia

F : H =L2(M) Rdefinito nel seguente modo (su un dominio appropriato)

F() = ,H = h2

2m, (i)2 + , V

= h2

2mi, i + , V = h

2

2mi2 + , V

Da qui appare che il dominio del funzionale e lo spazio di SobolevH1, con condizioni di

normalizzazione = 1. Premesso cio segue che gli autovettori di Hsono tutti e solii punti di stazionarieta perF. In particolare il minimo del funzionale sara ilgroundstate delloperatore H:

minH1,=1

F() =E0.

Il punto 0 di stazionarieta in corrispondenza al quale si determina in minimo delfunzionale F(0) =E0sara quindi lautovettore (in senso debole) di Hassociato aE0. Invirtu di teoremi del calcolo variazionale si puo sempre dimostrare che 0 non si annullamai in alcun punto.

Per determinare il secondo autovaloreE1 andreamo a cercare il minimo del funzionale

Fsul sottospazio ortogonale a 0:E1= min

H1,=1,,0=0F()

e di seguito gli altri autovalori.

Proprieta 8

Il livello energetico corrispondente alground state e semprenon degenere. Infatti, seesso fosse degenere allora esistono almeno due diverse autofunzioni 0 e

0 corrispondeti

adE0, ed anche una loro combinazione linearec0+c

0 e associata allo stesso autovalore

E0. Daltra parte questultima funzione si puo annullare in un qualunque punto prefissatoper una opportuna scelta delle costantice cin contraddizione con il fatto che la funzionedonda associata al ground state non si annulla mai.

2.2 Equazione di Schrodinger in dimensione 1- Applicazioni elementari

2.2.1 Proprieta generali

Consideriamo il caso particolare in cui la dimensione dello spazio si riduce a 1. In questocaso lequazione indipendente dal tempo prende la forma


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2.2 Equazione di Schrodinger in dimensione 1- Applicazioni elementari 19

d2

dx2 +

2m

h2 [E V(x)] = 0, =

R

|(x)|2 dx1/2

= 1 (2.15)

Anzitutto osserviamo che se V(x) e una funzione di classe Cr allora la soluzione (x) del

problema agli autovettori (2.15) deve essere di classe Cr+2.Una prima proprieta caratteristica dei sistemi unidimensionali e la seguente.

Teorema 2.1.I livelli energetici dello spettro puntuale sono non degeneri.

Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che ad un dato valoreEcorrispondono due aut-ofunzioni 1 e 2 linearmente indipendenti. Poiche sono soluzioni della stessa equazionedeve essere

11

=2m

h2 [E V(x)] =

2

2

ovvero

12 21= 0 .Integrando ambo i membri segue che deve essere

1(x)2(x) 2(x)1(x) =Cdove C e una costante. Poiche questa relazione vale per ogni x, e quindi vale anche nellimitex , e poiche le funzioni1,2(x) sono quadrato sommabili e quindi si annullanoallinfinito segue che deve essere C= 0. Di conseguenze

1(x)2(x) 2(x)1(x) = 0da cui segue

11

=22

.

Integrando una seconda volta segue che deve essere 2 = c1, cioe le due funzioni sonolinearmente indipendenti, cadendo in assurdo.

Un secondo risultato, del quale omettiamo la dimostrazione, e il seguente.

Teorema 2.2.Consideriamo gli autovaloriEn dello spettro puntuale, ordinati in ordinecrescente, e siano n gli autovettori associati, n = 0, 1, 2, . . .. Il numero degli zeri realidin(x), contandone la molteplicita, e esattamente uguale an.

Se il potenziale e soggetto a proprieta di simmetria allora queste si riflettono anchesulle soluzioni.

Teorema 2.3.SeV(x) e una funzione pari, ovveroV(x) =V(x), allora le autofunzionin(x) sono funzioni pari sen= 0, 2, 4, . . ., sono invece funzioni dispari sen= 1, 3, 5, . . ..


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Dimostrazione. Infatti, seV(x) =V(x) allora lequazione (2.15) con soluzione reale (x)resta invariata se scambiamo x xe di conseguenza (x) e anchesso soluzione. Perla condizione di non degenerazione deve essere (x) =c(x) per una qualche costantec e, dalla condizione di normalizzazione, deve essere c =1. Quindi le soluzioni(x)sono funzioni pari o dispari. Daltra parte se n e pari allora lautofunzione ammette unnumero pari di zeri, e quindi non puo che essere una funzione pari; se invece n e dispariallora lautofunzione ammette un numero dispari di zeri, e quindi non puo che essere unafunzione dispari.

2.2.2 Esempi notevoli

Particella in dimensione 1 in una scatola

Come prima applicazione consideriamo un modello molto semplice: una particella in di-mensione 1 mobile tra due barriere di potenziale in x= 0 ed x= a, a >0. Il potenziale

V(x) si scrive come

V(x) =

+ se x a0 se 0 x a .

Quindi, per 0 x a, la particella e libera ed essa non puo penetrare le due barriereinfinite; ovvero (x) 0 per x 0 e per x a, gli estremi sono inclusi per continuitadella funzione donda in x= 0 ed in x= a.

Come primo passo studiamo lequazione di Schrodinger indipendente dal tempo allinternodellintervallo [0, a]

h2

2m

d2

dx2 (x) =E (x) (2.16)

con condizioni al contorno

(0) =(a) = 0

e con condizione di normalizzazione a0

|(x)|2dx= 1

E immediato riconoscere che lequazione (2.16) non ha soluzioni compatibili con lecondizioni al contorno per E

0, per determinare le soluzioni corrispondenti a E > 0

poniamo

k =

2mE

h

e la soluzione generale dellequazione d2

dx2(x) = k2(x) ha la forma

(x) =Csin(kx +) .

Dalla condizione (0) = 0 immediatamente segue che = 0, dalla seconda condizione(a) = 0 segue invece che il parametro k non puo essere arbitrario ma deve soddisfare


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alla condizioneka = n , n N. Quindi abbiamo una famiglia di soluzioni{n}+n=1 dateda

n(x) =Cnsin(knx), kn =n

a

, (2.17)

corrispondenti al valore dellenergia En = 2h2

2ma2n2. La costante Cn di normalizzazione e

semplicementeCn=

2/a. In conclusione, gli autovalori e le autofunzioni associate sonodate da

n(x) =

2

asin

n

a x

, En= 2h2

2ma2n2 , n= 1, 2, . . . . (2.18)

Nota 2.5: Si osserva che la densita dei livelli energetici En aumenta al crescere di a e dim; questo fatto implica che quando m ed a sono grandi (come nel caso dei corpi macro-scopici) allora i livelli quantistici diventano approssimativamente continui. Similmenteper h molto piccolo.

Nota 2.6: Dalla teoria delle serie di Fourier si puo osservare che linsieme delle autofun-zioni e una base per lo spazio di BanachXdelle funzioni continue in [0, a] con condizionenulle agli estremi. Se denotiamo con H lo spazio di Hilbert delle funzioni quadrato somma-bili su [0, a] con condizione nulle agli estremi e se osserviamo cheX H ed e denso inHcon la norma L2 allora possiamo affermare che ogni Hpuo essere decomposta comesomma di una serie di Fourier convergente ilH:

(x) =+n=1

cnn(x) , cn = n, = a0

n(x)(x)dx .

Poiche

{n

}n costituisce una base per lo spazio

H siamo ora in grado di determinare

la soluzione (x, t) dellequazione di Schrodinger dipendente dal tempo

ih

t= h

2

2m

2

x2 , x [0, a] , (0) =(a) = 0 ,

a partire da una configurazione iniziale (x, 0) =0(x) H. Ponendo

0(x) =+n=1

cnn(x), cn = n, 0 ,

segue che la soluzione (x, t) ha la forma

(x, t) =+

n=1 cnn(x)eiEnt/h =

2

a

+

n=1 cnei 2h

2ma2n2t sin

n

a

x . (2.19)Esercizio 2.1: Poniamo a= 1, m= 1 e h= 1 e scegliamo le condizioni iniziali

0(x) =cx(x 1)eivx , v Rdove c e una costante di normalizzazione. Determinare c e la soluzione (x, t) dellequazionedi Schrodinger dipendente dal tempo mediante la serie (2.19). Calcolare poi per diversivalori di v

x = (, t), (, t) = a0

x|(x, t)|2dx .


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Buca di potenziale finita

Consideriamo ora un modello piu complesso: il potenziale esterno e una buca quadrata diprofondita finita:

V(x) =

V0 se x a0 se 0 x a ,

dove V0 > 0 e un valore fissato. Distinguiamo lasse reale in tre regioni(I) x


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dove la funzione arctan prende valori nellintervallo [0, /2]. Tornando allespressioneiniziale di h e k in funione di Esi perviene allequazione

f(E) =g(E) dove f(E) :=n

2a2mE

h , g(E) := 2arctan EV0 E (2.23)E immediato osservare che f(E) e una funzione monotona decrescente tale che

f(0) =n >0 e f(V0) =n

2a2mV0h

;

inoltre g(E) e una funzione monotona crescente e tale che

g(0) = 0 e g(V0) = .

Quindi,per ogni fissato n lequazione f(E) = g(E) ammette una sola soluzione En =h2k2n/2m a condizione che il parametro n sia tale che

g(V0)> f(V0)

2a2mV0h

>(n 1) . (2.24)

Le rimanenti equazioni del sistema (2.21) e la condizione di normalizzazione

1 = +

|(x)|2dx=

0

|I(x)|2dx + a0

|II(x)|2dx + +

a|II I(x)|2dx

permettono di determinare i valori dei restanti parametri cI, cII e cII Ie della fase .Nota 2.7: Non e possibile determinare in forma esplicita gli autovalori Ene le autofunzioni

associate, ma solo in forma approssimata.Nota 2.8: A differenza dellesempio 2.2.2 in questo caso noi otteniamo un numero finitoNdi autovalori, dove N e tale che

N V0 lequazione di Schrodinger indipendente dal tempo non hasoluzioni quadrato sommabili, ma solo limitate, coerentemente con il fatto che lo spettrodiscreto sia un sottoinsieme di (0, V0), mentre lo spettro continuo c= [V0, +).


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Potenziale singolare di tipo di Dirac

Consideriamo ora un modello collegato con il modello precedente in cui il potenzialeesterno V e una di Dirac che, per fissare le idee, assumiamo posizionata nellorigine:V(x) =(x) dove R e un parametro fissato che misura lintensita della ; se >0si parla di repulsiva, invece se


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Sotto la condizione (2.27) segue quindi che il problema agli autovalori (2.26) ammetteil solo autovalore

E=

1

42

E=

m

2h22

con autofunzione normalizzata associata

(x) =

k

2ek|x|=

m||2h2

e||m

h2 |x| .

Nota 2.11: Per


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i) Sia

k1= E1 = i

2a[W(aea) a]

allora

1(x) =C1

eik1x , x < a2k1+i2k1

eik1x +eik1x

,a x +a

e+ik1x , x >+a

doveC1 e la costante di normalizzazione data da

C1 = |k1|

(2|k1| +) (2|k1|a +a+ 1)

.

ii) Sia

k2 =

E2= i2a

[W(+aea) a]

allora

2(x) =C2

eik2x , x < a2k2+i2k2

eik2x eik2x

,a x +a

e+ik2x , x >+adoveC2 e la costante di normalizzazione data da

C2= |k2|

(2|k2| +) (2|k2|a +a+ 1).

Nota 2.12: Ricordando che la funzione speciale di Lambert W(x) ha il seguente anda-mento asintotico

W(x) x x2 +32

x3 + O(x4)

allora segue che lo splitting e esponenzialmente piccolo:

|E1 E2| h22ea = 2h2

ea/h2

= 2h2

ea||/h2.

Nota 2.13: Si osserva che le due autofunzioni soddisfano a condizioni di simmetria:

1(x) =1(x) e 2(x) = 2(x)

Consideriamo ora la dinamica associata allequazione di Schrodinger dipendente daltempo


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ih

t=

h

2

2m

2

x2+a++a

per < 0 e dove assumiamo che allistante iniziale la funzione donda (x, t) sia unacombinazione lineare dei soli due autovettori1,2(x):

(x, 0) =0(x) =c11(x) +c22(x)

La soluzione (x, t) ha quindi la forma

(x, t) =c1eiE1t/h1(x) +c2e

iE2t/h2(x) .

Per studiare la funzione donda (x, t) andiamo ad introdurre i seguenti due vettorinormalizzati diL2(R):

R=1+ 2

2e L=

1 22

(2.29)

La relazione inversa e immediata:

1 =R+ L

2e 2=

R L2

. (2.30)

Esercizio 2.4: Dimostrare che i vettori R e L sono localizzati solo su una delle duebuche, nel senso che +

0|L(x)|2dx= termine esponenzialmente piccolo rispetto a h

e similmente 0

|R(x)|2dx= termine esponenzialmente piccolo rispetto a h .

Esprimendo (x, t) attraverso questa base si ottiene che

(x, t) = c1eiE1t/h1(x) + c2eiE2t/h2(x)

=c1eiE1t/h R(x) +L(x)

2+ c2e

iE2t/h R(x) L(x)2

= 1

2 c1eiE1t/h + c2eiE2t/hR(x) +

1

2 c1eiE1t/h

c2e

iE2t/h

L(x)=eit/h

1

2

c1e

it/h + c2eit/hR(x) + 1

2

c1e

it/h c2eit/h

L(x)

dove abbiamo posto

=E1+E2

2 e =

E2 E12

Segue quindi che (x, t) e, a meno di un fattore comune di fase Eit/h inessenziale,una funzione periodica in t con periodo


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T =h

Consideriamo infine il caso particolare in cui allistante iniziale sia c1 = c2= 1

2, ovvero

0(x) =R(x)

lo stato e inizialmente localizzato tutto su una buca (diciamo la buca destra). Con questecondizioni iniziali la funzione donda (x, t) prende la forma

(x, t) =eit/h [cos(t/h)R(x) + sin(t/h)L(x)]

e osserviamo che ha luogo un moto di battimento: allistante iniziale lo stato e tuttolocalizzato sulla buca destra, dopo un tempo t = h

2 = 1

2T lo stato e invece localizzato

completamente sullaltra buca. Il passaggio della funzione da una buca allaltra e permessodalleffetto tunnel.

Oscillatore armonico

Consideriamo una particella che compie piccole oscillazioni unidimensionali (il cosidettooscillatore armonico o anche oscillatore lineare). Lenergia potenziale V(x) dellaparticella di massa m e uguale a

V(x) =1

2m2x2

dove rappresenta nella meccanica classica la frequenza propria delle oscillazioni.Lequazione di Schrodinger dipendente dal tempo assume la forma

ih

t= h

2

2m

2

x2+

1

2m2x2 (2.31)

Poiche lenergia potenziale diventa infinita nel limite x allora la particellasostanzialemnte puo compiere solo un moto finito e di conseguenza ci aspettiamo chelo spettro sia solamente puntuale e che linsieme delle autofunzioni del problema agliautovalori

h2

2m

d2

dx2+

1

2m2x2=E , = 1, (2.32)

costituisca una base dello spazio di Hilbert L2(R). Osserviamo inoltre che deve essereE >min V = 0.

Per risolvere lequazione (2.32) conviene fare il cambio di variabile

=

m

h x

In tal modo lequazione (2.32) prende la forma

+

2E

h 2

= 0 dove =

d

d. (2.33)


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Se osserviamo che per grandi valori di il termine costante 2Eh

e trascurabile alloralequazione approssimata prende la forma = 2 che ammette soluzioni con com-portamento asintotico del tipo e

2/2. Poiche la funzione donda deve essere quadrato

sommabile allora occorre scegliere la sola soluzione con il segno. Di conseguenza lasoluzione dellequazione completa (2.33) puo essere scritta nella forma() =e

2/2() (2.34)

dove () e una funzione incognita che deve essere finita per finito e che nel limite puo crescere con velocita al piu di tipo potenza. Sostituendo la (2.34) nella(2.33) si ottiene che soddisfa alla equazione differenziale

2+ 2n= 0 (2.35)dove abbiamo posto

2n=2E

h 1

Si puo dimostrare che lequazione (2.35) ammette sempre due soluzioni linearmente

indipendente; per n / N entrambe divergono allinfinito con velocita maggiore di e2/2,invece per n N una diverge allinfinito con velocita maggiore di e2/2 mentre laltradiverge allinfinito con velocita di tipo potenza. Questultima soluzione ha la forma

() =anHn()

dovean e una costante di normalizzazione e doveHn() sono polinomi di Hermite di grado

nin definiti dalla formula

Hn() = (1)ne2 dne

2

dn . (2.36)

Dove ricordiamo che i polinomi di Hermite sono funzioni a valori reali e soddisfano alleseguenti proprieta:

i. H0() = 1, H1() = 2e in generale

Hn() = 2Hn1() 2(n 1)Hn2() .

ii. sono ortogonali, nel senso cheR

e2

Hn()Hm()d=mn2

nn!

.

Esercizio 2.5: Dimostrare che il sistema di vettori{e2/2Hn()} e un sistema ortonor-male completo.

Di conseguenza i soli valori ammessi per lenergia sono dati da

En=2n + 1

2 h, n= 0, 1, 2, . . .


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Imponendo le condizioni di normalizzazionen = 1 segue che i corrispondenti au-tovettori costituiscono un sistema ortonormale completo e sono dati da

n(x) = 4mh 12nn! e m2h x2Hn xmh (2.37)

Poiche il sistema di autovettori n e un sistema ortonormale completo dello spazio diHilbert L2(R) si puo determinare la soluzione dellequazione (2.31) attraverso lo sviluppoin serie. Assegnata la funzione donda(x, t) allistante iniziale:

0(x) =(x, 0)

e ponendo

cn= n, 0 , n= 0, 1, 2, 3, . . .

segue che la soluzione (x, t) e determinata dalla serie

(x, t) =

n=0

cneiEnt/hn(x) (2.38)

Esercizio 2.6: Sia assegnata la funzione donda allistante inziale

0(x) =ceivxe(x)2/2

dipendente dai parametri , e v; c e una costante di normalizzazione (da calcolare).Si deve calcolare la soluzione (x, t) mediante la serie (2.38). Si calcoli poi ilvalore diaspettazione

xt = ,xe lo si confronti, per diversi valori dei parametri, con il moto x(t) classico della particella.

Coefficiente di trasmissione

Consideriamo lequazione di Schrodinger dipendente dal tempo in cui il potenziale V(x)forma una barriera; per fissare le idee e per semplicita assumiamo che questa barrierasia quadrata:

V(x) = 0 se x a

V0 se 0 x a ,

dove V0 e una grandezza positiva assegnata.Consideriamo una particella che si muove da sinistra verso destra con velocita positiva

assegnata, siaEla sua energia totale. In meccanica classica e ben noto che se:

i. lenergia totale E e minore del massimo V0 della barriera allora la particella saratotalmente riflessa dalla barriera e non potra mai visitare la regione destra;

ii. lenergia totale E e maggiore del massimo V0 della barriera allora la particella saratotalmente trasmessa dalla barriera e potra visitare la regione destra, uscendo com-pletamente dalla regione sinistra.


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In meccanica quantistica si osservano invece due fenomeni nuovi. Se

i. lenergia totale E e minore del massimo V0 della barriera allora la particella saraparzialmente riflessa dalla barriera, nel senso che la probabilita della particella di

attraversare la barriera di potenziale (effetto tunnel) e di visitare la regione destra enon nulla (anche se piccola);

ii. lenergia totale E e maggiore del massimo V0 della barriera allora la particella saraparzialmente trasmessadalla barriera, nel senso che una piccola frazione della fun-zione donda sara riflessa.

Per semplicita consideriamo solo onde piane (anche se non sono quadrato sommabili ....). Unonda piana trasmessa di energiaEha la forma eikx mentre unonda piana riflessa

ha la forma eikx, dove k =

2mE/h. Infatti, la velocita, piu precisamente il momentop, associata allonda piana (consideriamo londa piana su un dominio limitato in modo dapoterla normalizzare) e data da

p =

, ih x

= kh, =kh .

Fissato Eandiamo a determinare la soluzione dellequazione indipendente dal tempo

h2

2m

d2

dx2(x) =E (x) (2.39)

con la condizione

(x) =Deikx, x > a, k=

2mE/h

corrispondente al fatto che a destra della barriera abbiamo solo unonda trasmessa. Ilcoefficiente D misura la quantita di onda trasmessa e la grandezza|D|2 misura ilcoef-ficiente di trasmissioneT. A sinistra della barriera la soluzione generale dellequazione(2.39) ha la forma

(x) =eikx +Aeikx, x V0 ed E < V0.Caso 1: E > V0. In questo caso allinterno della barriera la soluzione dellequazione

(2.39) prende la forma

(x) =Beihx +Ceihx, 0< x < a, h=

2m(E V0)/h (2.40)Le costanti A, B , C eD sono determinate imponendo le condizioni di raccordo nei puntix= 0 e x= a: e continua in questi punti.Esercizio 2.7: Verificare che un calcolo porta al seguente risultato


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T = 4h2k2

(k2 h2)2 sin2(ah) + 4h2k2. (2.41)

Nota 2.14: Osserviamo che

T 0 , E > V0 tale che ah =n, n= 1, 2, . . . ,e che

limE+

T(E) = 1 e limEV+0

= 1

1 +mV0a2/2h.

Inoltre per ah= n abbiamo che T = 1 e R= 0; cioe abbiamo che londa viene comple-tamente trasmessa.

Caso 2: E < V0. In questo caso allinterno della barriera la soluzione dellequazione

(2.39) prende ancora la forma (2.40) dove ora h e una grandezza puramente immaginaria

h=

2m(E V0)/h= i , =

2m(V0 E)/hDi conseguenza il coefficiente di trasmissione T ha la stessa forma data in (2.41) dove esufficiente ricordare che sin(i) =i sinh():

T = 42k2

(k2 +2)2 sinh2(a) + 42k2. (2.42)

Nota 2.15: Osserviamo che

T >0 E > V0 ,e che

limE0+

T(E) = 0 e limEV0

= 1

1 + mV0a2/2h.

Di conseguenza una piicolaparte dellonda viene trasmessa.Esercizio 2.8: Fissato V0 > 0, m > 0 e a > 0 determinare lo sviluppo asintotico della(2.42) nel limite semiclassico h 0.


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3

Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert

3.1 Spazio di Hilbert

SiaHuno spazio vettoriale. Sia, : H2 C

una forma bilineare nel seguente senso1u1+2u2, v =1u1, v +2u2, vu, 1v1+2v2 =1u, v1 +2u, v2 , 1, 2, 1, 2 C , (3.1)

e tale cheu, v = v, u. Una forma bilineare che sia anchedefinita positiva

u, u

0

[

u, u

= 0

u= 0]

prende il nome diprodotto internoo prodotto scalare. Associato al prodotto scalaresi introduce la norma

u =

u, u . (3.2)La disuguaglianza triangolare segue dalla disuguaglianza di Schwarz

|u, v | u v , (3.3)e luguaglianza vale se, e solo se, u e v sono paralleli, cioe v= u per un qualche C.

Se le spazio H ecompletorispetto a questa norma, allora e dettospazio di Hilbert.Nota 3.1: Se non ce ambiguita di notazione nel seguito indicheremo conu, v evil prodotto scalare e la norma dello spazio di HilbertH, dove u, v sono vettori diH.Se invece sono presenti piu spazi di Hilbert allora noi denoteremo il prodotto scalare elanorma dello spazio di HilbertHcon la notazioneu, vH euH.Esempio 3.1: Lo spazio L2(M,d) e uno spazio di Hilbert con prodotto scalare definitoda

f, g =

Mf(x)g(x)d(x) . (3.4)

Esempio 3.2: Lo spazio2(N) e uno spazio di Hilbert con prodotto scalare definito come


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34 3 Operazioni elementari sugli spazi di Hilbert

u, v =

j=1

ujvj, u= (u1, u2, . . . , un, . . .) , uj C . (3.5)

Osserviamo che questultimo esempio e un caso particolare dellesempio precedente in cuiM= Re e una somma di misure di Dirac:

(x) =

j=1

(x xj), uj =f(xj) e vj =g(xj) .

Un vettore H e dettonormalizzatoo vettore unitariose = 1. Due vettori, H sono detti ortogonali o perpendicolari ( ) se, = 0, e paralleli seuno e il multiplo dellaltro.

Se e sono ortogonali allora vale il Teorema di Pitagora

+

2 =

2 +

2 . (3.6)

Supponiamo che sia un vettore unitario. Allora laproiezione di nella direzionedi e definita da

= , (3.7)e il vettore

= , (3.8)e perpendicolare a . Queste proprieta possono anche essere generalizzate a piu di unvettore. Un insieme di vettori

{j

}jJ, dove J e un insieme di cardinalita finita, e detto

un insieme ortonormale se

i, j =ji dove ji =

1 se i= j0 se i =j .

Osserviamo che, in generale, un qualunque insieme di vettori{j}jJ linearmenteindipendentipuo sempre essere associato ad un insieme di vettori ortonormali{j}jJ,ed entrambi generano lo stesso spazio vettoriale. Questa procedura, che prende il nomedi metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schimdt, opera nel seguente modo. Ilprimo vettore 1 e semplicemente

1 =

11 .

Il secondo vettore viene definito come

2 = 2 1, 212 1, 21 ,

per costruzione 2 e normalizzato e inoltre e immediato verificare che

1, 2 =1, 2 1, 212

2 1, 21 = 0


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3.1 Spazio di Hilbert 35

Il procedimento procede in modo iterativo: definiti i primi n vettori j, j = 1, 2, . . . , n,normalizzati ed ortogonali tra loro, allora si definisce il vettore n+ 1-esimo come

n+1=

n+1

nj=1

j, n+1

jn+1 nj=1j, n+1j .

In conclusione, e immediato verificare che il nuovo sistema di vettori {j}jJ e ortonormalee che gli spazi vettoriali generati dalle due basi coincidono.

Nel seguito possiamo quindi sempre supporre che la base di ogni spazio vettoriale,sottoinsieme di uno spazio di Hilbert nel quale e stato introdotto un prodotto scalare, siaformata da un insieme ortonormale.

Lemma 3.1.Supponiamo che{j}jJ sia un insieme ortonormale. Allora ogni vettore H puo essere scritto come

=+ dove = jJ

j, j (3.9)

dove e sono ortogonali. Inoltrej, = 0 per ognij J. In particolare2 =

jJ|j, |2 + 2 . (3.10)

Inoltre, ogni vettore appartenente allo span set di{j}jJsoddisfa alla relazione (3.11)

la cui uguaglianza vale se, e solo se, =. In altre parole, e unicamente caratter-izzato come il vettore appartenente allo span set di{j}jJ piu vicino a.Dimostrazione. Posto =

jj, j e posto= e immediato dimostrare che

, = 0. Infatti, =

j

j, j , i,j

j, j , i, i

=

j

|j, |2 i,j

j, i, j, i = 0 .

La proprieta

j,

= 0 si verifica immediatamente, e analogamente la (3.10). Per

dimostrare la (3.11) si consideri un qualunque vettore appartenente allo span set di{j}jJ:=

jJ

cjj

dove cj C. Un calcolo immediato porta alla seguente relazione 2 = + 2 = 2 + 2 2

e luguaglianza ovviamente vale se, e solo se, = .


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Nota 3.2: Dalla (3.10) segue la disuguaglianza di BesseljJ

|j, |2 2 (3.12)

e luguaglianza vale se, e solo se, appartiene allo span set{j}jJ.Nota 3.3: Ricordiamo che il prodotto scalare, puo essere ottenuto dalla norma (daesso definita) attraverso la identita di polarizzazione:

, =14

+2 2 +i i2 i + i2

. (3.13)

Definizione 3.2.Un operatore linearebiiettivoU tra due spazi di HilbertH1 eH2 edetto unitario seUpreserva i prodotti scalari:

U,

U

H2 =

,

H1,

,

H1 . (3.14)

Nota 3.4: In virtu dellidentita di polarizzazione (3.13) un operatore linearebiiettivoUtra due spazi di HilbertH1 eH2 e unitario se preserva le norme:

UH2 = H1, H1 .

3.2 Base ortonormale

Estendiamo le proprieta della sezione precedente al caso in cui linsieme dei vettori ortonor-mali

{j

}j

J ha cardinalita infinitamente numerabile: J = N. Dalla disuguaglianza di

Bessel (3.12) segue immediatamente che la serie

j=1

|j, |2 (3.15)

converge, essendo superiormente limitata. Inoltre la serie di vettori

j=1j, j con-verge in norma. Infatti, la sua norma e data da

Nj=1

j, j

2

=N

j=1

|j, |2

in virtu del Teorema di Pitagora. Poiche la serie a destra converge quandoN +allora entrambe sono di Cauchy, inoltre essendoHuno spazio completo segue che la serieconsiderata converge inH. Di conseguenza il Lemma 3.1 continua a sussistere anche nelcaso in cui J= N.

Definizione 3.3.Un insieme ortonormale{j}jJ si dice completo, o anche baseortonormaledello spazio di HilbertH, se per ogni vettore H allora

=

jJj, j, (3.16)

dove la convergenza si intende in norma diH.


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3.2 Base ortonormale 37

Si hanno seguenti criteri di equivalenza.

Teorema 3.4.Per un sistema ortonormale{j}jJ le seguenti condizioni sono equiv-alenti:

i. {j}jJ e un sistema ortonormale completo;ii. per ogni vettore H vale la seguente

2 = jJ

|j , |2 ; (3.17)

iii.j, = 0 per ognij J, implica che= 0.Dimostrazione. i. ii. segue immediatamente poiche i. implica che = 0.

ii. iii.se j , = 0 per ognij allora la somma (3.17) implica che = 0 e quindi= 0.

iii. i. supponiamo, per assurdo, che esista un vettore tale che:=

jJj , j= 0 .

Moltiplicando scalarmente per i, per ogni i J, segue chei, = i,

jJ

j, i, j = i,

jJj, ji = 0

Quindi = 0 in virtu della proprieta iii..

Esercizio 3.1: In virtu della disuguaglianza di Bessel dimostrare che la mappa

e continua (nella norma dello spazio di Hilbert).

Nota 3.5: Poiche lapplicazione e continua allora e sufficiente verificare le pro-prieta di completezza (3.16) o (3.17) su un sottoinsieme denso di H.Esercizio 3.2: Determinare un sistema ortonormale completo per i seguenti spazi diHilbert:

i. L2([0, 2], dx), cercare una base formata da funzioni armoniche;ii. L2([1, +1], dx), cercare una base formata da polinomi;iii. L2(R+, dx);iv. L2(R, dx);v 2(N).

Definizione 3.5.Uno spazio di HilbertH si dice separabile se, e solo se, esiste unsistema ortonormale completo di cardinalita finita o numerabile.

Nota 3.6: E immediato osservare che seH e separabile allora una qualunque sua baseha la stessa cardinalita; la cardinalita delle sue basi prende il nome di dimensione dellospazio di Hilbert. Nel seguito supporremo di lavorare con spazi di Hilbert separabili.


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3.3 Il teorema di proiezione

Definizione 3.6.Sia dato un sottoinsiemeMdi uno spazio di HilbertH: M H. Sidefiniscecomplemento ortogonale diM linsieme

M= { H : , = 0, M} .Esercizio 3.3: Dimostrare che M e un sottospazio vettoriale chiuso diH. Di-mostrare inoltre che

span(M)

=M

e

M

= span(M) .

Teorema 3.7.SiaMun sottospazio lineare chiuso diH. Allora ogni vettore H puoessere scritto in modo univoco come somma di due vettori M e M:

= +, M , M .In questa situazione si scrive

H =M M (3.18)Dimostrazione. La dimostrazione e immediata. Infatti, se M e chiuso allora a sua volta euno spazio di Hilbert ed ammettera una base ortonormale{j}jJ, doveJha cardinalitafinita o numerabile. In virtu del Lemma 3.1 e della sua estensione al caso numerabilepossiamo quindi scrivere

= +

dove Mper costruzione e M.In altri termini, ad ogni vettore Hnoi possiamo associare un unico vettore che

e il vettore di M piu vicino a .

Definizione 3.8.Assegnato un sottoinsieme chiuso M diH, loperatorePM=

e detta la proiezione ortogonale corrispondente aM.

Nota 3.7: E immediato osservare che loperatore di proiezione ortogonale soddisfa alleseguenti proprieta

P2M=PM e PM, = , PM . (3.19)


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3.4 Distribuzioni 39

3.4 Distribuzioni

3.4.1 Spazio delle funzioni test

Per introdurre il concetto didistribuzionesulla retta reale partiamo dallo spazio vettorialeC0 (R), su questo spazio introduciamo la seguente nozione di convergenza (che si piodimostrare discendere da una famiglia di norme): sia data una sucessione di funzioni asupporto compatto infinitamente derivabili n C0 (R), questa converge ad una funzione C0 (R)

n se:

1. Esiste un insieme compattoK indipendente dallindice n tale che n(x) = 0 per ognix / K;

2. Per ogni indice k la successione

(k)

n (x) converge a

(k)

(x) uniformemente rispetto adx(ma non rispetto allindice k).

Lo spazioD := C0 (R), munito di questa nozione di convergenza, prende il nome dispazio delle funzioni test.

3.4.2 Definizione di distribuzione

Si chiama distribuzione (sulla retta R) ogni funzionale continuo definito sullo spaziodelle funzioni test:

T : D R ;

dove la continuita deve essere intesa nel senso che T(n)T() (convergenza in R) sen (convergenza intesa nella topologia dello spazio delle funzioni testD).E immediato che ad ogni funzione f(x), integrabile su ogni intervallo finito, e possibile

associare una distribuzione Tfnel seguente modo

Tf() =R

f(x)(x) dx ; (3.20)

dove e immediato verificare che Tf risulta essere un funzionale lineare e continuo. Ledistribuzioni del tipo (3.20) sono anche dette distribuzioni regolari, le distribuzioni nonregolari sono invece dette distribuzioni singolari.

Vediamo alcuni esempi di distribuzioni singolari.

1. La funzione. Consideriamo il funzionale definito come

T() =(0) ,

che risulta un funzionale lineare e continuo suD, ossia una distribuzione. Di solitoquesto funzionale si scrive come

R(x)(x)dx

dove e intesa come una funzione nulla per ogni x= 0 e infinita nel punto x= 0 etale che

R

(x)dx= 1.


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2. La traslazione della funzionedefinita come

T() =(a) .

Di solito questo funzionale si scrive comeR

a(x)(x)dx

dovea(x) =(x a).3. La derivata della funzionedefinita come

T() = (0) ,che risulta un funzionale lineare e continuo suD, ossia una distribuzione.

4. Consideriamo la funzionef(x) = 1x

, che nonrisulta integrabile sugli intervalli conte-

nenti lorigine. Tuttavia lintegrale R

1

x(x)dx

esiste definito nel senso del valore principale:

T() := PR

1

x(x)dx= lim

0+

R\[,+]

1

x(x)dx = lim

0+

[R,+R]\[,+]

1

x(x)dx

= lim0+

[R,+R]\[,+]

(x) (0)x

dx + lim0+

[R,+R]\[,+]

(0)

x dx

= [R,+R] (x) (0)x dxdove il supporto di D e contenuto nellintervallo [R, +R] e dove la funzione(x)(0)

x risulta essere integrabile.

Si osserva che nessuna di queste 4 distribuzioni e regolare.

3.4.3 Operazioni sulle distribuzioni

La operazione elementare di somma e ovvia. Introduciamo nello spazio delle distribuzioniloperazione di passaggio al limite: si dice che Tn

Tse per ogni funzione test

Dsi

ha cheTn() T(). Indicheremo conD lo spazio delle distribuzioni munito di questanozione di convergenza (detto anche lo spazio dualedi D). Se(x) Callora definiamola nuova distribuzione T come

T() :=T() ,

dove la definizione e ben posta poiche D. Introciamo ora loperazione di derivatadi una distribuzione (detta anche derivata distribuzionale o derivata in senso debole),a tal fine consideriamo una distribuzione regolare T := Tf asociata ad una funzione finfinitamente derivabile:


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3.4 Distribuzioni 41

T() =R

f(x)(x)dx .

E naturale definire dTf

dx :=Tf da cui, per integrazione per parti, segue che

dTfdx

() =R

df(x)

dx (x)dx=

R

f(x)d(x)

dx dx= T() .

Cio premesso, si chiamaderivata di una distribuzioneil funzionale definito dalla relazione

dT

dx() := T() .

Analogamente si definiscono le derivate seconde, terze, etc..Nota 3.8: Warning notation: dT

dx() e un simbolo che definisce la derivata di una dis-

tribuzione, non ha nessuna relazione con il limite di un rapporto incrementale.

Non e difficile dimostrare che:1. Ogni distribuzioneTammette derivate di ogni ordine.2. Se T e una successione di distribuzioni convergente ad una data distribuzioneT al-

lora anche la successione dnT

dxn delle derivate n-esime converge alla distribuzione d

nTdxn

,insomma ogni serie di distribuzioni convergente si puo derivare termine a termine unnumero qualsiasi di volte.

Concludiamo considerando alcuni esempi

1. Sia f(x) la funzione di Heaviside e sia Tfla distribuzione regolare associata

Tf() = +

0 (x)dx ,

segue che la sua derivata e la distribuzione ; infatti:

dTfdx

= +0

(x) =(0) .

In generale, se f(x) e una funzione avente nei punti xi dei salti uguali a hi e derivabile(nel senso usuale) diversamente allora

dTfdx

=Tf+

i

hixi.

2. Si puo definire la derivata della distribuzione ed essa vale ddx

() = (0).3. Consideriamo la funzione f(x) definita dalla serie di Fourier

n=1

sin(nx)n

; e facile ri-conoscere che questa e la serie di Fourier della funzione periodica, di periodo 2, definitacome

f(x) =

12

( x) 0< x +1

2(+x) x


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dTfdx

= 12

T1++

k=(x 2k) . (3.21)

Daltra parte la derivata della serie di Fourier produce la serien=1cos(nx) divergentenel senso ordinario. Tuttavia, nel senso della convergenza delle distribuzioni, questaserie in realta converge (e precisamente alla espressione (3.21)); quindi la nozione didistribuzione consente di attribuire un significato ben determinato alla somma di unaserie divergente nel senso usuale.

3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz

Ricordiamo che

Definizione 3.9.Si dice funzionale lineare ogni operatore lineare

: H CdoveH e un dato spazio di Hilbert (in generale e sufficiente cheH sia uno spazio diBanach).

Nota 3.9: Il funzionale lineare sara definito su un sottoinsieme diH, detto dominio delfunzionale lineare. Se il funzionale lineare e limitato, ovvero

C >0 : |()| C, H,e il suo dominio coincide conHstesso.Esempio 3.3: Consideriamo un esempio notevole di funzionale lineare: dato un vettore H definiamo il seguente funzionale lineare nel seguente modo:

() = , =

(x)(x)dx= T()

coincidente con una distribuzione regolare. E immediato osservare che e un funzionalelineare limitato:

C >0 : |()| CH ,infatti e sufficiente prendere C=H e la proprieta di limitatezza e conseguenza delladisugualianza di Schwarz. Inoltre segue che

= Hdove e la norma del funzionale lineare definita come

= sup :H=1

|()| .

Infatti,

:= sup :H=1

|()| = sup :H=1

|, | sup :H=1

H H = H


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3.5 Funzionale lineare e Teorema di rappresentazione di Riesz 43

Daltra parte siamo in grado di dimostrare che H:

= sup

:H=1 |()

|

H= ,

H=

H .

Da quanto segue dal prossimo Teorema si ha che questo non e, in realta, un casoparticolare, ma ogni funzionale lineare limitato ha la forma di prodotto scalare per undato vettore.

Teorema 3.10 (Lemma di rappresentazione di Riesz). Sia unfunzionale linearelimitatosu un dato spazio di HilbertH. Allora esiste ununico vettore H tale che() = , per ogni H. Inoltre = H.Dimostrazione. Anzitutto ricordiamo che se e un funzionale lineare limitato allora ildominio di questo funzionale coincide con lo spazio di Hilbert

H. Se

0 allora, banal-

mente,= 0. In caso contrario lo spazio

Ker() = { H : () = 0}e un sottospazio proprio diH, ovvero esiste un vettore, che possiamo assumere unitario, Ker(). Per ogni H immediatamente segue che

() () Ker() .Infatti, per la linearita,

[() ()] =()() ()() = 0e quindi

0 = , () () =()2 (), =() (), perche abbiamo assunto unitario. Di conseguenza

() =(), = (), .Q

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