Istorijski pregled spektralne i Furijeove analize

Vidak KažićElektrotehnički fakultet,

Unverzitet u Beogradu, 11000 Beograd, Srbijavidakdk@gmail.com

3. januar 2013

Uvod

Furijeova analiza je u početku pretstavljalanačin da se proizvoljna funkcija pretstavi kaosuma jednostavnijih trigonometrijskih f̌unkcija.Od tada je matematička teorija Furijeove ana-lize postala znatno kompleksnija i zahtevnija,ali su njene mnoge primene relativno jedno-stavne i moguće su bez dubljeg poznavaja ma-tematičkih osnova Furijeove analize.Proces dekompozicije funkcije nazivamo Furi-jeovom transformacijom, a proučavanje njenihosobina i njenih primena u elektrotehnici, kaoi nekih generalizacija, spada u polje spektralneanalize.

1 Trigonometrijski redovi

Teorija Trigonometrijskih redova datira odpočetka 18-og veka, kada su matematičari ko-ristili ove redove u raznim astronomskim izra-čunavanjima.

Godine 1729., Euler1 je formulisao probleminterpolacije kao odredjivanje funkcije u proi-zvoljnoj tački. 1751. godine Euler je pretstaviofunkciju φ, koja je opisivala odredjeno kretanjeplaneta, u formi trigonometrijskog reda. Ovupretstavu funkcije danas nazivamo Furijeovimredom funkcije. Euler je takodje objavio i for-

1Leonhard Euler, 1707 - 1783

mule za izračunavanje koeficijenata reda prekointegrala funkcije, i može se reći da je 1751.godine funkcija prvi put prestavljena trigono-metrijskim redom.

Tih godina, d’Alembert2, Lagrange3 i Berno-ulli4 su imali slične rezultate.

Interesantno je da ni Euler ni Lagrange nisupomenuli da su neke od funkcija koje su raz-matrali bile aperiodične. Tek kasnije, iz pi-sma koje je Lagrange poslao d’Alembert-u 1768,može se zaključiti da su ovo primetili u kontek-stu nekih drugih problema.

Zatim, 1757. god., Clairaut5 je izveo funk-ciju kretanja sunca kao kosinusni red.

Dvadeset godina kasnije, 1777. god., Eulerje odredio koeficijente trigonometrijskog redarazvoja trigonometrijske funkcije metodom jed-nakom metodi koja se koristi danas.

U gorepomenutim radovima vide se primeritrigonometrijskih redova raznih funkcija, alifundamentalno pitanje o mogućnosti pretsta-vljanja proizvoljne funkcije trigonometrijskimredom ostalo je nerešeno sve do radova J. B.Fourier-a.

2Jean-Baptiste d’Alembert, 1717 - 17833Joseph-Louis Lagrange, 1736 - 18134Daniel Bernoulli 1700 - 17825Alexis Claude de Clairaut, 1713 - 1765

1

2 Fourier i naučni rad

2.1 Biografija

Jean Baptiste Fourier je rodjen u Francuskoj21. marta 1768. godine. Ostao je bez rodi-telja kad je imao devet godina, i zahvaljujućipreporukama nekih porodičnih prijatelja upi-sao je vojnu školu koju su držali Benediktinskimonasi reda Saint Maur, poznatog po negova-nju obrazovanja. Kao djak je pokazao izuzetandar za matematiku, i, kada mu je, zbog skro-mnog porekla, zabranjeno da postane artiljerij-ski oficir, uprkos jake preporuke Legendre6-a,prihvatio je mesto profesora matematike u voj-noj školi u Francuskoj.

Zbog svojih aktivnosti tokom Francuske re-volucije, gde je služio na raznim pozicijama,kao i žbog pomaganja žrtvama revolucionara,Fourier je bio uhapšen 1789. godine, i jedvaizbegao giljotinu. Pet godina kasnije, 1794. go-dine, Fourier je izabran medju 500 kandidataza profesora škole École Normale u Parizu, iuprkos gašenju škole ubrzo posle toga, postaoje kao naučnik istaknut u društvu. Ubrzo,1795. godine pozvali su ga da predaje u presti-žnoj École Polytechnique, visokoškolskoj usta-novi koju je samo godinu dana ranije osnovaoMonge7, na kojoj je u to vreme predavao i La-grange.

Uskoro posle toga otputovao je sa Napoleo-nom u Egipat, gde je bio imenovan za guver-nera južnog Egipta. Po povratku iz Egipta, Na-poleon mu je poklonio baronsku titulu. Bio jeveoma cenjen od strane Napoleona, i zbog togaimao razne privilegije sve do njegovog poraza.Nasledio je d’Alembert-a kao sekretar francuskeAkademije nauka za vreme vladavine Louis-aXVIII 1822. godine. Preminuo je 16. maja1830. godine u Parizu, sa 62 godine.

Paralelno sa aktivnom političkom i admin-strativnom karijerom, Fourier je sprovodio ma-

6Adrien-Marie Legendre, 1752 - 18337Gaspard Monge, 1746 - 1818)

tematička istraživanja u oblasti jednačina i ma-tematičke fizike.

2.2 Naučni rad

Već sa šesnaest godina, Fourier je otkrio novidokaz Descartes8-ove teoreme o pozitivnim inegativnim korenima polinoma. U dvadeseti prvoj je prezentovao prvi rad pred francu-skom Akademijom nauka, o numeričkim jed-načinama proizvoljnog stepena.

Fourier je predvideo linearno programiranjeu knjizi Analyse des équations déterminés, kojuje 1831. god. objavio zajedno sa prijateljemNavier9.

Ipak, glavni njegov doprinos je u matema-tičkoj fizici. Proučavao je prenos toplote iz-medju dve sredine različitih tempreatura, štoje bilo bitno u proizvodnji oružja, i time jakovažan problem za francusku vojsku. Na istomproblemu je radio i Newton10, koji je pronašaoaproksimaciju brzine hladjenja objekta u od-nosu na razliku temperatura izmedju objekta iokoline. Ono što Newton nije uspeo da odredije prostorna brzina hladjenja, jer ona zavisi odviše nezavisno promenljivih, npr. od oblika, to-plotne provodnosti, i površinske raspodele tem-perature. Fourier je ovaj problem rešio, poka-zujuči da početna raspodela temperature možebiti pretstavljena preko beskonačne sume sinu-snih i kosinusnih članova, koja se sada zoveFourier-ov red.

2.3 Fourier-ova analiza

Glavni Fourier -ov doprinos matematičkoj fi-zici se može ukratko pretstaviti na sledeći na-čin. Ako je funkcija f neprekidna i diferenci-jabilna na intervalu (t0, t0+TF ), osim možda ukonačno mnogo prekida, možemo je pretstaviti

8René Descartes, 1596 - 16509Claude-Louis Navier, 1785 - 1836

10Sir Isaac Newton, 1642 - 1727

2

Fourier -ovim redom:

f(t) =∞∑

n=−∞Fne

jnωF t,

gde t ∈ [t0, t0 + TF ], ωF =2π

TF, i gde su koefi-

cijenti Fn odredjeni sa:

Fn =1

TF

t0+TF∫t0

f(t)e−jnωF tdt.

U tačkama prekida, kojih je po pretpostavci ko-načno mnogo, vrednost funkcije je

f(t) =f(t−) + f(t+)

2, gde je t tačka diskonti-

nuiteta. Fourier je klasifikovao aperiodičnefunkcije kao periodične funkcije čiji period težibeskonačnosti. U ovom slučaju, Fourier-ov redpostaje Fourier-ova transformacija, koja se de-finiše kao:

F (jω) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt,

i inverzno:

f(t) =1

2π

∞∫−∞

F (jω)ejωtdω.

2.4 Prezentacija rada i Izdavanje

Fourier je završio svoj rad "Propagacija to-plote u čvrstim telima" 1807. godine, i prezen-tovao ga pred Francuskom akademijom nauka12. decembra. Konjektura da se svaka funkcijadefinisana na konačnom intervalu može pret-staviti kao beskonačna suma sinusnih i kosinu-snih funkcija nije bila dobro prihvaćena medjučlanovima komisije, koju su činili neki od naj-večhi francuskih , a i svetskih matematičara togvremena, Laplace11, Lagrange, Monge, i Legen-dre.12

11Pierre-Simon, marquis de Laplace 1749 - 182712U nekim zapisima piše da je u komisiji bio Sylvestre

Francois Lacroix, 1765 - 1843, a ne Legendre

Komisija ga je ohrabrila da dopuni svoj radjačim matematičkim aparatom, ali, kada je Fo-urier 1813. god. predao dopunjeni rad, Aka-demija je odbila da ga objavi u svojim Memo-arima, usled još uvek nedovoljne matematičkepreciznosti.

2.5 Priznanja i nagrade

Treba istaći ponovo da politički aktivizam,učestvovanje u Revoluciji i jake veze sa Na-poleonom nisu sprečili Fourier -a da se bavinaučnim radom, i on je nagradjen za svojeuspehe posle obnavljanja monarhizma u Fran-cuskoj. Bio je nominovan za člana Francuskeakademije nauka 1816. god., ali je LouisXVIII odbio da ga prihvati. Sledeće godine,je, medjutim, postao član, i zatim sekretarOdseka za matematičke nauke 1822. god.Te iste godine je objavio svoje delo Theoriéanalitique de la chaleur (Analitička teorijatoplote), kojim je zapravo uveo Fourier-ovuanalizu i začeo spektralnu i harmonijskuanalizu. Postao je redovni strani član Švedskeakademije nauka 1828. godine, i iste godine jepostavljen za člana komiteta Francuske vladeza podsticanje književnosti.

Fourier -ov stav prema nauci i matematicise može opisati jednom njegovom poznatomizrekom: "Detaljno proučavanje prirode jenajplodniji izvor matematičkih dostignuća."Ovo je upravo bio izvor mnogih kritika nje-govog rada od strane ostalih matematičaratog vremena, medju kojima su i Lagrange,Poisson13, i Biot14.

13Siméon Denis Poisson, 1781 - 184014Jean-Baptiste Biot, 1774 - 1862

3

3 Dalji razvoj Fourier-oveanalize

Fourier -ove rezultate su uskoro posle forma-lizovali i matematički preciznije odredili Diric-hlet15 i Riemann16. Dirichlet-ov rad je ob-javljen 1828. god. u poznatom nemačkommatmatičkom časopisu, Journal für die reineund angewandte Mathematik, poznatom i kaoCrelle-ov časopis.

Riemann, inače Dirichlet-ov učenik, je usvom radu o Fourier -ovom redu istakao da jeDirichlet napisao "prvi detaljan rad o ovomproblemu".

Nakon njih, Poisson17 je ustanovio osnovuza radove Riemanna i Dirichlet-a, što se moženaći u casopisu Journal de École Polytechni-que od 1813. do 1823. godine, i u Memoir del’Académie za 1823. godinu. Poisson je tako-dje proučavao Fourier -ovu transformaciju.

Jedan poznat rezultat je Poisson-ova for-mula sumiranja (Poisson resummation for-mula) Poisson je odredio formulu koja pove-zuje sumu vrednosti funkcije u celobrojnim tač-kama, i Fourier -ovu transformaciju. Ako jefunkcija f definisana kako treba, i ako je njenaFourierova transformacija F (jω), onda važi:

∞∑n=−∞

f(n) =

∞∑k=−∞

F (jk)

s tim da funkcija f mora da zadovoljava odre-djene uslove da bi redovi konvergirali.

Poisson je postao redovni profesor na ÉcolePolytechnique 1806. godine, nasledivši Fou-rier -a, koji je otišao u Grenobl. Petnaest go-dina kasnije, 1821. godine, dobio je titulu ba-rona zbog vernosti Burbonima u Stodnevnomratu.

Cauchy18 je u jednom radu pokazao da Pois-15Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 185916Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 186617Siméon Denis Poisson, 1781 - 184018Augustin Louis Cauchy, 1789 - 1857

son-ov dokaz konvergencije Fourier -ovog redanije matematički korektan, na šta je Dirichletodgovorio da Cauchy-jev iskaz ne uzima u ob-zir neke funkcije za koje Fourier -ov red si-gurno konvergira, čime je praktično opovrgaoCauchy-jevu tvrdnju.

Kasnije, 1799. godine, Parseval19 je obja-vio formulu koja povezuje sumu kvadrata koe-ficijenata Fourier -ovog reda i integral kvadratafunkcije. Ako je funkcija f periodična sa peri-odom T , i odgovarajuća , onda važi:

∞∑n=−∞

|Fn|2 =1

T

t0+T∫t0

|f(t)|2 dt.

Dalje, ako je funkcija f aperiodična, ondaposmatramo Fourier -ovu transformaciju,F (jω) = F{x(t)}, pa je teorema:

∞∫−∞

|f(t)|2 dt =∞∫−∞

|X(jω)|2 dω

Ova teorema je posebno značajna u elektro-tehnici, gde u prvom slučaju vidimo da jesnaga signala jednaka zbiru kvadrata apsolut-nih vrednosti harmonika signala, što je od fun-damentalne važnosti u telekomunikacijama iobradi signala.

Uvodjenje Lebesque20-ovog integrala L u nje-govom doktorskom radu 1902. godine, i uknjizi 1904. god., postavilo je temelje za Riesz-Fischer teoremu u 1907, koja je pokazala dabilo koji niz {xn} čiji kvadrati članova moguda se sumiraju, za n ∈ {−∞,∞} pretstavljaniz Fourier -ovih koeficijenata funkcije L2 naintervalu (t0, t0 + T ), tj, Furijeovi koeficijentisu izometrijsko linearno preslikavanje izmedjudva L2 prostora.

Plancherel21 je 1910. god. dokazao teoremukoja pokazuje da je Fourier -ova transformacija

19Marc-Antoine Parseval des Chênes, 1755 - 183620Henri Léon Lebesgue, 1875- 194121Michel Plancherel, 1885 - 1967

4

izometrijsko preslikavanje prostora L2 u L2. Tateorema se danas zove Plancharel -ova formula.

Dalji razvoj spektralne analize je usko po-vezan sa algebrom i teorijom grupa, i spadau višu matematiku, tako da neće biti pretsta-vljen ovde. Matematičari koji su doprineli na-predovanju ove teorije su bili Dedekind22, Fro-benius23, Schur24, i Weil25. Koristeći sve overezultate, Weyl26 i njegov saradnik Fritz Pe-ter su svojom teoremom (Peter-Weyl theorem)pokazali da je moguće proširiti spektralnu ana-lizu, kroz operatore u Hilbertovom prostoru.

Pored njih, naučnici Egbert van Kampen,Israel Gelfand, Dmitrii Raikov, Louis Auslan-der i C.C.Moore su doprineli razvitku spek-tralne i harmonijske analize u oblik u kom jedanas.

Danas je Fourier -ova transformacija ključnau spektroskopiji, posmatranju radioaktivnihizvora i merenju nivoa radijacije, merenjemelektromagnetnih, optičkih, nuklearnih mag-netnih, i raznih drugih talasa. U svim ovimizračunavanjima Fourier -ova transformacija jeneophodna da bi se iz osnovnih podataka odre-dio spektar signala, pa se zato ova tehnikazove Fourier transform spectroscopy. Spek-tralna analiza i Fourier -ova analiza se koriste iod velike su važnosti u mnogim oblastima mo-derne nauke i tehnologije, posebno u elektro-tehnici.

22Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831 - 191623Ferdinand Georg Frobenius, 1849 - 191724Issai Schur, 1875 - 194125André Weil, 1906 - 199826Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885 - 1955

Literatura

[1] Radomir S. Stankovic, Jaakko T. Astola,Mark G. Karpovsky Remarks on History ofAbstract Harmonic Analysis Boston, USA

[2] http://en.wikipedia.org

[3] Joerg Wichard Fourier Transform andSpectral Analysis 2009 Germany

5