spektralne osobine kompleksnih mreza sa mezoskopskim ... · osobine matrice povezanosti spektralne...
TRANSCRIPT
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Spektralne osobine kompleksnih mreza samezoskopskim nehomogenostima
Seminar
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Sadržaj
1 Uvod
2 Modeli mreža
3 Spektralne osobine matrice povezanosti
4 Spektralne osobine Laplasijana
5 Zakljucak
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Kompleksni sistemi i mreže sa mezoskopskomstrukturom
Pajek
Dinamicki kompleksnisistemi-mreže.Kompleksne mreže −nehomogenosti na svimskalama.Mezoskopska skala -podgrafovi.Podgrafovi⇔ funkcijamreže.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Spektralna analiza mreža
Razliciti operatori povezni za strukturalnim i dinamickimosbinama na mreži.Laplasijan, L - difuziona dinamika (sinhronizacija,random walk dinamika) na mrežama.Matrica povezanosti, A - struktura mreže.Ekstremalne svojstvene vrednosti povezane samodularnom strukturom.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Model modularnih mreža
Parametri modela α, Po and M.B.Tadic, Physica A 293,(2001).
M. Mitrovic and B. Tadic, arXiv, (2008)
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Modularne mreže
Pajek Pajek
Pajek Pajek
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Modularne mreže
Pajek
M = 2, α = 0.9, Po = 0.006Pajek
M = 1, α = 1, Po = 0.006
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Struktura meže
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
1 10 100 1000
P(q
i)
qi
in
out
P(qκ) ∼ q−τκκ
τin = 2.616± 0.006τout = 8.6± 0.3
1
10
100
1 10 100 1000
qi
r(qi)
modular
tree of trees
P(q) ∼ q−τ
τ = 2 + α, τ = 1γ + 1
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Drvo sa “klikovima”
Pajek
kilk⇔ potpuno povezanigraf.klik je najjednostavnijioblik modula.Radnom drvo samodulima velicine n = 4i n = 6.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Metod
Operatori za neusmerene i neotežinjene mreže susimetricni sa realnim spektrom.Algoritmi: Numericki receptiVelicine posmatranih mreža su N = 1000 cvorova.Rezultati za spektralne gustine su dobijeniusrednjavanjem po ansamblima velicine i do 750mreža.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Spektralna gustina modularnih mreža
0
2
4
6
8
10
12
-10 -5 0 5 10
ρ(λΑ
)
λΑ
α=1α=0.9α=0.6
Scale free mreže nisurandom! Farkas et al.,PRE 64 (2008)λmax ∼
√qmax .
Broj modula odgovarabroju najvecih svojstvenihvrednosti.ρ(λ) ∼ λ2τ−1, λ >> 1.Dorogovtsev et al., PRE 68(2003)Rodgers et al., Journal ofPhysics A 38 (2005)
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Drvo sa klikovima
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
freq
uen
cy
eigenvalues
Klik velicine n: jednaλmax = n − 1 i n − 1 putdegenerisana λ = −1.Svojstvene vrednosti ubliskim okolinama λ = 3i λ = 5 su u vezi sapostojanjem klikovan = 4 i n = 6.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Randomizovane mreže
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
-4 -2 0 2 4 6
freq
uen
cy
eigenvalues
Ocuvana raspodelapovezanosti.
0
2000
4000
6000
8000
10000
-10 -5 0 5 10
freq
uen
cy
eigenvalues
Stepena raspodelapovezanosti.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Projekcije svojstvenih vektora
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Vκ(
λA)
κ
λ=4.998λ=3.006
Svojstveni vektori za λ = 4.998 iλ = 3.006
Pajek
Projekcija u realnom prostorusvojstvenog vektora zaλ = 4.998
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Random walk dinamika
Laplasijan sinhronizacije Lij = qiδij − Aij .Random walk dinamika Lij = δij − pij odgovara procesuPij = −
∑k PikLkj .
Obican random walk pij = 1qi
Aij .
Normalizovan Laplasijan pij = 1√qi qjAij .
Zašto normalizovan Laplasijan:Slican RW Laplasijan-u⇒ isti spektar. Operatorslicnosti Sij = δij
√qi
Simetrican⇒ realne svojstvene vrednosti, ortonormiranskup svojstvenih vektora.Ogranicen spektar u intervalu [0,2].
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Osobine laplasiana
Opšte osobine:Pozitivno definitan⇒ λ ≥ 0.Za povezanu mrežu postoji samo jedna λmin = 0 sasvojstvenim vektorom Vκ(λ = 0) =
√(qκ).
Broj svojstvenih vrednosti λ = 0 odgovara brojunepovezanih komponenti.
Osobine karakteristicne za modularne mreže:Teorija perturbacije!Broj svojstvenih vrednosti λ & 0 je povezan sa brojemmodula.Svojstveni velktori za λ & 0 su linearne kombinacijesvojstvenih vektora za λ = 0 diskonektovanih modula.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Osobine Laplasijana modularnih mreža
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
ρ(λL
)
λL
M = 5, α = 0.9 i G = 6
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
ρ(λL
)
λL
G=2
G=4
G=8
G=16
G=32
G=64
M = 5, α = 0.9 i N = 1024
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Drvo drevta
0
0.5
1
1.5
2
0 200 400 600 800 1000
λLi
r(λLi)
M = 1, α = 1 i G = 6λmax = 2
0
10
20
30
40
50
0 0.5 1 1.5 2
ρ(λL
)
λL
G=1G=6
Ne postoji razlika u gustinispektra izmedju drveta sagranama i obicnog scale freedrveta!
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Modularna mreža
0
0.5
1
1.5
2
0 200 400 600 800 1000
λLi
r(λLi)
M = 2, α = 0.9 i G = 6λmax < 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2
ρ(λL
)
λL
G=1G=6
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Svojstveni vektori
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Vκ(
λL)
κ
λ=0.029705
λ=0.038286
λ=0.047033
λ=0.058094
λ=0.065542
M = 2, α = 0.9 i G = 6
Svojstveni vektoriodražavaju scale freestrukturu modula.Mogu poslužiti zadefinisanje inicajlnepodele u razlicitimalgoritmima.
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Scatter plot
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
Vκ(
λ 1L)
Vκ(λ2L)
M = 2, α = 0.9 i G = 6λ1 = 0.047 i λ2 = 0.038
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
Vκ(
λ 1L)
Vκ(λ2L)
M = 1, α = 1 i G = 6λ1 = 0.00108 i λ2 = 0.00033
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Relani prostor-drvo
Pajek
λ1 = 0.004623Pajek
λmax = 2
Marija Mitrovic
Uvod
Modeli mreža
Spektralneosobinematricepovezanosti
SpektralneosobineLaplasijana
Zakljucak
Zakljucak
Modeli mreža sa mezoskopskim nehomogenostima.Spektralne osobine matrice povezanosti. Postojanjemodula je povezano sa najvecim svojstvenimvrednostima.Spektralne osobine Laplasijana mogu poslužiti kaometode detektovanja modularne strukture mreža.