om av spektralna analiza novo
DESCRIPTION
sdsdTRANSCRIPT
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
1
2. SPEKTRALNA ANALIZA SIGNALA
Svaku periodiฤnu funkciju ๐ฆ(๐ก) moลพe se prikazati s pomoฤu Fourierova reda kao suma
sinusnih i kosinusnih ฤlanova ฤije su frekvencije cjelobrojni viลกekratnici osnovne frekvencije:
๐ฆ(๐ก) = ๐ด(0) +โ[๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) cos(๐๐๐ก) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) sin(๐๐๐ก)]
โ
๐=1
Gdje je:
๐ฆ(๐ก) โ trenutna vrijednost funkcije/signala
๐ด(0) - srednja vrijednost funkcije
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) โ tjemena vrijednost n-tog kosinusnog/sinusnog ฤlana
๐ - osnovna frekvencija
๐ด(0) =1
๐โซ๐ฆ(๐ก)๐๐ก
๐
0
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ฆ(๐ก) cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ฆ(๐ก) sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
Bitno je naglasiti kako je moguฤe Fourierov red zapisati i na druge naฤine.
๐ฆ(๐ก) = ๐ด(0) +โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) sin(๐๐๐ก + ๐(๐))
โ
๐=1
= ๐ด(0) +โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) cos (๐๐๐ก + ๐(๐) โ๐
2)
โ
๐=1
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐)
๐(๐) = ๐ก๐โ1๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) โ vrลกna vrijednost n-tog harmonijskog ฤlana
๐(๐) โ fazni pomak n-tog harmonijskog ฤlana
Parsevalov teorem
Kada je potrebno iz poznatih koeficijenata Fourierovog reda (๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) ) izraฤunati
efektivnu vrijednost tada je najjednostavnije koristiti Parsevalov teorem, tj. efektivna
vrijednost signala je:
๐ = โ๐ด2(0) +1
2โ[๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐)]
โ
๐=1
= โ๐ด2(0) +1
2โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐)
โ
๐=1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
2
Faktor harmonijskog izobliฤenja
Faktor harmonijskog izobliฤenja odreฤuje se kao omjer efektivne vrijednosti napona svih
viลกih harmonika i efektivne vrijednosti osnovnog ฤlana. Ukupni faktor harmonijskog
izobliฤenja THD (Total Harmonic Distortion) definira se na sljedeฤi naฤin:
๐๐ป๐ท =โโ ๐ถ2(๐)โ
๐=2
๐ถ(1)
Pojedinaฤni faktori izobliฤenja definiraju se kao:
๐ท๐ =๐ถ(๐)
๐ถ(1)
Zadatak 2.1.
Za funkciju danu izrazom:
๐ข(๐ก) = 10๐ ๐๐ (0๐ก +๐
2) + 5๐ ๐๐ (314๐ก +
๐
4) + 3๐ ๐๐ (628๐ก โ
๐
6) treba nacrtati fazno-
frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izraฤunati ukupni faktor
harmoniฤkog izobliฤenja te odrediti faktor oblika.
Rjeลกenje:
Funkcija se prvo pretvotri u oblik Fourierova reda sa sinusnim ฤlanovima:
๐ข(๐ก) = 10๐ ๐๐ (0๐ก +๐
2) + 5๐ ๐๐ (314๐ก +
๐
4) + 3๐ ๐๐ (628๐ก โ
๐
6)
Vremenski dijagram izgleda prema slici:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5
0
5
10
15
20
t (ms)
u(t
) V
u(t)=10+5sin(314t+pi/4)+3sin(628t-pi/6)
u1(t)=5sin(314t+pi/4)
u2(t)=3sin(628t-pi/6)
ud=10
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
3
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
f0 fo 2fo
Um
10
3
5
Fazno-frekvencijska karakteristika
f0 fo2fo
2
4
6
Srednja ispravljena vrijednost funkcije:
10U U V
Efektivna vrijednost funkcije:
๐ = โ๐2(0) + ๐2(1) + ๐2(2) = โ102 + (5
โ2)2
+ (3
โ2)2
โ 10,82 V
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
4
Faktor oblika:
10 821 082
10
U ,f ,
U
Ukupni faktor harmoniฤkog izobliฤenja:
2
2
1
3
2 0 65
2
UTHD ,
U
Zadatak 2.2.:
Za funkciju danu izrazom: u(t) = sin(ฯ0t) โ 0,5cos(3ฯ0t) treba nacrtati vremenski
dijagram, fazno-frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izraฤunati
ukupni faktor harmoniฤkog izobliฤenja te odrediti faktor oblika.
Rjeลกenje: 0 69U , V ; Uef = 0,79 V; Um = 1,5 V; f =1,12; THD = 0,5
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
5
Zadatak 2.3.
Odredite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku za prva ฤetiri nenulta
harmonika signala zadanog slikom, ako je ๐ผ =1
4. Odredite valovitost i pojedinaฤne faktore
distorzije za prva ฤetiri nenulta harmonika.
Matematiฤki zapis valnog oblika zadan je prema:
๐ข(๐ก) = { ๏ฟฝฬ๏ฟฝ 0 โค ๐ก โค ๐ผ๐โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐ผ๐ โค ๐ก โค ๐
Srednju vrijednost zadanog signala raฤuna se prema:
๐(0) = ๐ด(0) =1
๐โซ๐ข(๐ก)๐๐ก
๐
0
=1
๐[โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ก โ
๐ผ๐
0
โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ก
๐
๐ผ๐
] = (2๐ผ โ 1)๏ฟฝฬ๏ฟฝ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ข(๐ก) cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
=2
๐[โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐ผ๐
0
โ โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐ผ๐
] =
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[โซ cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐ผ๐
0
โ โซ cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐ผ๐
] =2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[1
๐๐sin(๐๐๐ก)|0
๐ผ๐ โ1
๐๐sin(๐๐๐ก)|๐ผ๐
๐ ] =
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐๐[sin(๐๐๐ผ๐) โ sin(0) โ sin(๐๐๐) + sin(๐๐๐ผ๐)] =
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2๐๐[sin(2๐๐๐ผ) โ sin(0) โ sin(2๐๐) + sin(2๐๐๐ผ)] =
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ ๐๐ถ)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ข(๐ก) sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
=2
๐[โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐ผ๐
0
โ โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐ผ๐
] =
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[โซ sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐ผ๐
0
โ โซ sin(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐ผ๐
] =2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[โ
1
๐๐cos(๐๐๐ก)|0
๐ผ๐ +1
๐๐cos(๐๐๐ก)|๐ผ๐
๐ ] =
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
6
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐๐[โ cos(๐๐๐ผ๐) + cos(0) + cos(๐๐๐) โ cos(๐๐๐ผ๐)] =
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐[โ cos(2๐๐๐ผ) + cos(0) + cos(2๐๐) โ cos(2๐๐๐ผ)] =
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐[2 โ 2cos(2๐๐๐ผ)] =
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐[1 โ cos(2๐๐๐ผ)] =
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ ๐๐๐๐(๐ ๐๐ถ)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๐(๐) = (๐๐ถ โ ๐)๏ฟฝฬ๏ฟฝ +โ [๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ ๐๐ถ) ๐๐จ๐ฌ(๐๐๐) +
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ ๐๐๐๐(๐ ๐๐ถ) ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐๐)]
โ
๐=๐
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2(๐) = โ(2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐sin(2๐๐๐ผ))
2
+ (4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐๐ ๐๐2(๐๐๐ผ))
2
=
=2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐โ(sin(2๐๐๐ผ))2 + (2๐ ๐๐2(๐๐๐ผ))
2=
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐โ(2 sin(๐๐๐ผ) cos(๐๐๐ผ))2 + (2๐ ๐๐2(๐๐๐ผ))
2=
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐sin(๐๐๐ผ)โ(cos(๐๐๐ผ))2 + (๐ ๐๐(๐๐๐ผ))
2=๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ ๐๐ถ)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๐(๐) = ๐ก๐โ12๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ sin
(2๐๐๐ผ)
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ ๐๐
2(๐๐๐ผ)
= ๐ก๐โ1sin(2๐๐๐ผ)
2๐ ๐๐2(๐๐๐ผ)= ๐ก๐โ1
2 sin(๐๐๐ผ) cos(๐๐๐ผ)
2๐ ๐๐2(๐๐๐ผ)
= ๐ก๐โ1cos(๐๐๐ผ)
๐ ๐๐(๐๐๐ผ)= ๐ก๐โ1(๐๐ก๐(๐๐๐ผ)) = ๐ก๐โ1 (๐ก๐ (โ๐๐๐ผ +
๐
2)) = โ๐ ๐๐ถ+
๐
๐
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๐(๐) = (๐๐ถ โ ๐)๏ฟฝฬ๏ฟฝ +๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ โ [
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ ๐ถ)
๐๐ฌ๐ข๐ง (๐(๐๐ โ ๐ ๐ถ) +
๐
๐)]
โ
๐=๐
Za ๐ผ =1
4 slijedi:
๐ข(๐ก) = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2+โ[
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐sin (
๐๐
4) sin (๐ (๐๐ก โ
๐
4) +
๐
2)]
โ
๐=1
Aproksimacija signala s prva ฤetiri nenulta harmonika:
๐ข(๐ก) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2๐ ๐๐ (โ
๐
2) +
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐(โ2๐ ๐๐ (๐๐ก +
๐
4) + 2๐ ๐๐(2๐๐ก) + โ2๐ ๐๐ (3๐๐ก โ
๐
4))
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
7
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
Fazno-frekvencijska karakteristika
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
8
๐ค๐ข = โ๐2
๐2(0)โ 1 = โ3 โ 1,73
Gdje je:
๐ - efektivna vrijednost ๐ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐(0) โ srednja vrijednost ๐(0) = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ 2โ
๐ = โ1
๐โซ๐ข2(๐ก)๐๐ก
๐
0
= โ1
๐[โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2๐๐ก
๐ผ๐
0
+ โซ(โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ)2๐๐ก
๐
๐ผ๐
] = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Pojedinaฤni faktori distorzije su:
๐ท0 =๐ถ(0)
๐ถ(1)=
๏ฟฝฬ๏ฟฝ22๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
=๐
4
๐ท2 =๐ถ(2)
๐ถ(1)=
2โ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
= โ2
๐ท3 =๐ถ(3)
๐ถ(1)=
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
= 1
Zadatak 2.4.
Odredite prva tri nenulta harmonika zadane funkcije i THDU.
n ๐ท๐
0 ๐
4โ 0,79
1 1
2 โ2 โ 1,41
3 1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
9
Matematiฤki zapis funkcije:
๐ข(๐ก) =
{
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก ๐ก โ [0,
๐
2]
โ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐(๐ก โ
๐
2) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐ก โ [
๐
2,3๐
2]
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐(๐ก โ
3๐
2) โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐ก โ [
3๐
2, 2๐]
Period zadane funkcije je 2๐, dok je kruลพna frekvencija ๐ = 1.
Zadana funkcija je neparno simetriฤna, tj. centralno simetriฤna s obzirom na ishodiลกte.
Svojstvo neparnosti zadanog valnog oblika moลพe se zapisati kao ๐ข(โ๐ก) = โ๐ข(๐ก).
Bez raฤunanja moลพe se zakljuฤiti da je srednja vrijednost signala nula, tj. ๐(0) = 0. U pravilu
srednja vrijednost je nula zbog neparnosti funkcije ๐ข(๐ก).
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ข(๐ก) cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
=2
๐โซ ๐ข(๐ก) cos(๐๐๐ก) ๐๐ก
๐ 2โ
โ๐ 2โ
= 0
ฤlanovi ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) jednaki su nuli jer je podintegralna funkcija neparna, tj. mnoลพenjem neparne
๐ข(๐ก) i parne cos(๐๐๐ก) funkcije dobiva se neparna funkcija.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ข(๐ก) sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
=2
๐โซ ๐ข(๐ก) sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐ 2โ
โ๐ 2โ
=4
๐โซ ๐ข(๐ก) sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐ 2โ
0
Navedene relacije vrijede jer je funkcija ๐ข(๐ก) neparna, tj. podintegralna funkcija je parna jer
je umnoลพak dvije neparne funkcije parna funkcija.
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =2
๐โซ๐ข(๐ก) sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
0
=2
๐
[
โซ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐2
0
+ โซ(โ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก + 2๏ฟฝฬ๏ฟฝ) sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐2 ]
=
2
๐
[
โซ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐2
0
โ โซ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐2
+ โซ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐2 ]
=
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐
[ 1
๐
(
โซ ๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐2
0โ ๐ผ
โ โซ ๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐2
)
+ โซ sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐
๐2 ]
=
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
10
๐ผ = โซ ๐ก sin(๐๐ก) ๐๐ก = |๐ข = ๐ก๐๐ข = ๐๐ก
|๐๐ฃ = sin(๐๐ก) ๐๐ก
๐ฃ = โ1
๐๐๐๐ (๐๐ก)
| =
โ๐ก
๐๐๐๐ (๐๐ก) +
1
๐โซ ๐๐๐ (๐๐ก) ๐๐ก = โ
๐ก
๐๐๐๐ (๐๐ก) +
1
๐2๐ ๐๐(๐๐ก)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) =4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[1
๐((โ
๐ก
๐๐๐๐ (๐๐ก) +
1
๐2๐ ๐๐(๐๐ก))|
0
๐2
โ (โ๐ก
๐๐๐๐ (๐๐ก) +
1
๐2๐ ๐๐(๐๐ก))|
๐2
๐
)
โ1
๐๐๐๐ (๐๐ก)|๐
2
๐] =
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐
[ 1
๐
(
โ
๐2๐๐๐๐ (๐
๐
2) +
1
๐2๐ ๐๐ (๐
๐
2) + 0 โ 0
โ (โ๐
๐๐๐๐ (๐๐) +
1
๐2๐ ๐๐(๐๐)โ
0
+
๐2๐๐๐๐ (๐
๐
2) โ
1
๐2๐ ๐๐ (๐
๐
2))
)
โ1
๐(๐๐๐ (๐๐) โ ๐๐๐ (๐
๐
2))
]
=
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[1
๐(๐
๐๐๐๐ (๐
๐
2) +
2
๐2๐ ๐๐ (๐
๐
2) +
๐
๐๐๐๐ (๐๐)) โ
1
๐(๐๐๐ (๐๐) โ ๐๐๐ (๐
๐
2))] =
4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐[1
๐
2
๐2๐ ๐๐ (๐
๐
2)] =
8๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐2๐2๐ ๐๐ (๐
๐
2)
๐ข(๐ก) โ8๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐2(sin(๐ก) โ
1
9sin(3๐ก) +
1
25sin(5๐ก))
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Efektivna vrijednost se raฤuna prema:
๐ = โ1
๐โซ๐ข2(๐ก)๐๐ก
๐
0
= โ4
๐โซ ๐ข2(๐ก)๐๐ก
๐ 4โ
0
=
โ2
๐[โซ (
2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ก)
2
๐๐ก
๐ 2โ
0
] = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2
3=๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
11
๐๐ป๐ท =โโ ๐ถ2(๐)โ
๐=2
๐ถ(1)=โ๐2 โ ๐2(1)
๐(1)=
โ(๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ3)2
โ (8๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐2โ2)2
8๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐2โ2
โ 0,12 = 12%
Gdje je
๐(1) โ efektivna vrijednost osnovnog harmonika
Zadatak 2.5.
Odredite spektar punovalno ispravljenog sinusnog signala zadanog slikom. Odredite
valovitost.
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco ฤorluka, Ivan Biondiฤ
12
Rjeลกenje:
๐ข(๐ก) =2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐โ4๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐โ
cos (2๐๐ก)
(2๐ โ 1)(2๐ + 1)
โ
๐=1
๐ค๐ข = โ๐2
8โ 1