KOMUNIKACIJA:• portal www.vsite.hr• Forum: Osnove elektrotehnike• e – mail: hdivic@vsite.hr

• Predavanja 2 sata:• Korištena literatura:

– Viktor Pinter: Osnove elektrotehnike, knjiga 1 i knjiga 2– Ljubo Malešević, Osnove elektrotehnike, repetitorij s laboratorijskim vježbama,

Veleučilište u Splitu, elektrotehnički odjel Split 2001– Željko Novinc: Ispitivanje sigurnosti električnih instalacija

• Za pripremu ispita dovoljni materijali na portalu• Svaki tjedni termin - test, potrebno 50% od ukupnog broja bodova za pristupanje

semestralnim testovima

• tijekom semestra dva testa iz teorije

2

• Predavanja 2 sata:• Korištena literatura:

– Viktor Pinter: Osnove elektrotehnike, knjiga 1 i knjiga 2– Ljubo Malešević, Osnove elektrotehnike, repetitorij s laboratorijskim vježbama,

Veleučilište u Splitu, elektrotehnički odjel Split 2001– Željko Novinc: Ispitivanje sigurnosti električnih instalacija

• Za pripremu ispita dovoljni materijali na portalu• Svaki tjedni termin - test, potrebno 50% od ukupnog broja bodova za pristupanje

semestralnim testovima

• tijekom semestra dva testa iz teorije• Auditorne vježbe 1 sat:

• 50% obvezno prisustvovanje• tijekom semestra dva testa iz zadataka• upute na portalu, primjeri riješenih zadataka

• Laboratorijske vježbe 2 sata:• ulazni test svake vježbe, 100% obvezne• ukoliko nisu sve laboratorijske vježbe odrađene

nemate pravo pristupa ispitu• Materijali za laboratorijske vježbe nalaze se na portalu

Polaganje ispita• Predmet položen ukoliko su položeni semestralni testovi iz teorije i

zadataka te odrađene sve laboratorijske vježbe. Ukupnu srednju ocjenu formirajuocjene iz tjednih testova, laboratorijskih vježbi i semestralnih testova iz teorije izadataka.

• Na zimskom ispitnom roku (veljača 2013., dva termina) polažu se oni semestralnitestovi iz teorije i zadataka koji nisu ocijenjeni pozitivnom ocjenom.

• Ukoliko se na zimskom ispitnom roku ne polože osnove elektrotehnike, prilika zapopravak su dva ispitna jesenska roka (rujan 2013.) ali se tada polaže cjelokupniispit ne priznaju se položeni dijelovi gradiva tijekomsemestra (semestralni ispiti).

3

Polaganje ispita• Predmet položen ukoliko su položeni semestralni testovi iz teorije i

zadataka te odrađene sve laboratorijske vježbe. Ukupnu srednju ocjenu formirajuocjene iz tjednih testova, laboratorijskih vježbi i semestralnih testova iz teorije izadataka.

• Na zimskom ispitnom roku (veljača 2013., dva termina) polažu se oni semestralnitestovi iz teorije i zadataka koji nisu ocijenjeni pozitivnom ocjenom.

• Ukoliko se na zimskom ispitnom roku ne polože osnove elektrotehnike, prilika zapopravak su dva ispitna jesenska roka (rujan 2013.) ali se tada polaže cjelokupniispit ne priznaju se položeni dijelovi gradiva tijekomsemestra (semestralni ispiti).

Tematske cjeline:

• Istosmjerna struja• Elektrostatika• Magnetizam• Izmjenična struja

4

• Istosmjerna struja• Elektrostatika• Magnetizam• Izmjenična struja

1. ISTOSMJERNA STRUJARazlozi korištenja električne energije:

1. Električna energija se u aparatima (trošilima) možeiskoristiti za obavljanje različitog rada.

2. Električna energija, za pogon trošila, može se dobiti udovoljnim količinama u tzv. električnim izvorima(termocentrale, atomske centrale, centrale na vjetar,sunce, baterije i akumulatori).

3. Električna energija se lako može od mjesta proizvodnjeprenijeti i na velike udaljenosti do mjesta potrošnje.

5

Razlozi korištenja električne energije:

1. Električna energija se u aparatima (trošilima) možeiskoristiti za obavljanje različitog rada.

2. Električna energija, za pogon trošila, može se dobiti udovoljnim količinama u tzv. električnim izvorima(termocentrale, atomske centrale, centrale na vjetar,sunce, baterije i akumulatori).

3. Električna energija se lako može od mjesta proizvodnjeprenijeti i na velike udaljenosti do mjesta potrošnje.

1. Osnovni pojmovi

1.1 ELEKTRICITET1.1 ELEKTRICITET• Elektricitet – prirodni fenomen povezan s nastankom pozitivno ili

negativno nabijenih čestica

6Bohrov model atoma

•Pozitivno i negativno nabijen atom nastaje oduzimanjem i dodavanjemelektrona prethodno neutralnom atomu

7

1.2. ELEKTRIČNA STRUJA1.2. ELEKTRIČNA STRUJAElektrična struja, općenito, usmjerenogibanje električki nabijenih čestica.

Osnovni učinci električne struje:1. Toplinski učinak2. Kemijski učinak3. Magnetski učinak

8

1.2. ELEKTRIČNA STRUJA1.2. ELEKTRIČNA STRUJAElektrična struja, općenito, usmjerenogibanje električki nabijenih čestica.

Osnovni učinci električne struje:1. Toplinski učinak2. Kemijski učinak3. Magnetski učinak

1.3. JAKOST ELEKTRIČNE STRUJE1.3. JAKOST ELEKTRIČNE STRUJE

[ ] [ ]AmpereAIt

QI

,

,

=

= Q – količina nabijenih čestica kroz presjek vodiča

9

[ ] [ ] [ ]AsC

CoulonCsAQtIQt

QI

11

,

=

=×=⇒×=⇒=

1.4. TRENUTNA VRIJEDNOST JAKOSTI STRUJE1.4. TRENUTNA VRIJEDNOST JAKOSTI STRUJE

dt

dqti =)( trenutna vrijednost jakosti struje

Infinitezimalni odsječakInfinitezimalni odsječak

10

1.5. MJERENJE JAKOSTI ELEKTRIČNE STRUJE1.5. MJERENJE JAKOSTI ELEKTRIČNE STRUJE

ampermetar serijski spoj s električnim elementima

Simbol ampermetra

11

strujanje nabijenihčestica jeNESTLAČIVO

1.6. SMJER ELEKTRIČNE STRUJE1.6. SMJER ELEKTRIČNE STRUJE

• stvarni smjer električne struje u vodičima: strujanje elektrona, od ‘–’ prema ‘+’ poluizvora

• tehnički smjer električne struje: (+) pola izvora kroz trošilo prema (-) polu izvora.

12

1.7. ELEKTRIČNI NAPON1.7. ELEKTRIČNI NAPON

•ELEKTRIČNI NAPON (U) - razlika električnih stanja pozitivnog i negativnog pola električnogizvora.

•Voltmetar – instrument za mjerenje električnog napona, spaja se paralelno električnomelementu

13

1.8. UNUTARNJI NAPON, VANJSKI NAPON1.8. UNUTARNJI NAPON, VANJSKI NAPONNapon izvora opisuje se elektromotornom silom pomoću koje se u električnim izvorimaostvaruje odvajanje pozitivnih i negativnih naboja. Takav napon naziva se UNUTARNJI iliPROIZVEDENI NAPON (E, U0).

Na dio strujnog kruga, koji se od vanjskih stezaljki izvora nastavlja vodičima do priključenog trošila,djeluje vanjski napon U..

14

1.9. VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNIH NAPONSKIH IZVORA1.9. VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNIH NAPONSKIH IZVORA

R

UI =

Ohmov zakon:

)( 000

0T

T

RRIURR

UI +⋅=⇒

+=

15

)( 000

0T

T

RRIURR

UI +⋅=⇒

+=

URIRIRIU T +⋅=⋅+⋅= 000

00 RIUU ⋅−=

00 RIUU ⋅−=→=⇒= 00 0 UUR idealni naponski izvor

16

vanjska karakteristika idealnog naponskog izvora

prazni hodVanjsko trošiloodspojeno

00 UUI =⇒=

U0,R0=konstanta

000 0 RIUUR ⋅−=⇒≠realni naponski izvor

17

prazni hodVanjsko trošiloodspojeno

kratki spojVanjsko trošilopremošteno

kIR

UIU ==⇒=

0

00

VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNOG NAPONSKOG IZVORA

1.9.1.1.9.1. Utjecaj unutarnjeg otpora R0 na vanjsku karakteristiku realnog naponskogizvora (E, R0 = konstantno)

18

vanjska karakteristika triju realnih naponskog izvora R01, R02, R03

Promatramo za dvije struje opterećenja I1 i I2 padove napona na izvorima unutarnjih otpora R01 i R03

U2>U1R03 > R01

19

PROMJENA NAPONA U JE VEĆA, S PROMJENOM OPTEREĆENJA, KOD REALNOG IZVORA SVEĆIM UNUTARNJIM OTPOROM

U2>U1R03 > R01

Utjecaj unutarnjeg otpora R0 na vanjsku karakteristiku realnog naponskog izvora(U0,R0 ≠ konstantno)

20

2. OSNOVNI ZAKON ELEKTRIČNOG STRUJANJA2. OSNOVNI ZAKON ELEKTRIČNOG STRUJANJA2.1. Ohmov zakon2.1. Ohmov zakon

R

UI =Jakost struje direktno je proporcionalna naponu, a obrnuto proporcionalna otporu:

[ ] [ ][ ] Ω===⇒=⇒= 1

1

1

A

V

I

UR

I

UR

R

UI

Električni otpor ovisi o sljedećim karakteristikama:

proporcionalno duljini vodiča l m i materijalu od kojeg je vodič napravljen( - specifični otpor materijala, mm2 m),

21

obrnuto proporcionalno poprečnom presjeku vodiča (S mm2]),

•električni otpor ovisi o temperaturi (T [0C ili K ])

proporcionalno duljini vodiča l m i materijalu od kojeg je vodič napravljen( - specifični otpor materijala, mm2 m),

Ω=)(20 Ω⋅=

S

lR

[ ]2

2

mm

m

m

mmR ⋅Ω=

MATERIJAL

Srebro 0,0163 61,35

•električna vodljivost:

[ ] )(1

SiemensSG =Ω

=

)(2mm

mvodljivostspecifičpe

Ω−

)/( 2 mmmΩ )/( 2mmSm

l

S

l

S

S

lRG ⋅=⋅=

⋅==

111

Srebro 0,0163 61,35Bakar 0,0172 58,14Zlato 0,023 43,48Aluminij 0,0270 37,034Manganin* 0,48 2,083Konstantan* 0,49 2,041

22*maganin i konstatnta su legure s malim temperaturnim koeficijentom

Primjer 1.Bakreni vodič duljine l i presjek S potrebno je zamijeniti s aluminijskim vodičem istogotpora. Koliko puta mora biti veći presjek aluminijskog vodiča u odnosu na bakreni?

CuAl RR =

Cu

Al

Cu

Al

CuCu

AlAl S

S

S

l

S

l

ρρ

=⇒⋅ρ=⋅ρ

Cu

AlCuAl SS

ρρ

⋅=

23

Cu

AlCuAl SS

ρρ

⋅=

CuCuAl SSS 57,10172,0

0270,0 =⋅=

22 161057,110

.

mmSmmS

npr

AlCu ≈⋅=⇒=

2.2.Utjecaj temperature na električni otpor

Metalni vodiči imaju sljedeću ovisnost otemperaturi: ↓↓⇒

↑↑⇒RT

RT

Izračun vrijednost otpora u odnosu na temperaturu:

RRR ∆+= 20 C20priatemperaturR 0−20

24

C20priatemperaturR 0−20

otporatkoeficijennitemperatur−20

202020 TRRR ∆+=

2020 ⋅∆⋅=∆ TRR

[ ])20(1

)1(

020

2020

CTS

lR

TRR

−+⋅=

∆+=

Grafički prikaz ovisnosti otpora o temperaturi

25

?'' =T

)1( 2020 TRR ∆+= 0=R

)1(0 2020 TR ∆+=

)20(1(0 0'2020 −+= TR

0

20

' 201 +−=

Tnpr. α20=0,0039 za Cu

CT 0' 4,236−=

Temperaturni koeficijent otpora

[ ] [ ]100

2020

1 −=

=⇒

×∆∆=⇒ C

CRT

R

numerički predstavlja za koliko se oma mijenja svaki prvotni om (što ga vodič ima prije zagrijavanja)uslijed promjene temperature od 1 0C.

Primjer1.U žarulji s volframovom niti, α=0,004, čiji je otpor u hladnom stanju R20 , za koliko seputa poveća otpor niti u užarenom stanju ako je ∆T=2250 0C.

)103103( 43 −− ⋅−⋅=metala metalalegura <

2020 ⋅∆⋅=∆ TRR

26

Primjer1.U žarulji s volframovom niti, α=0,004, čiji je otpor u hladnom stanju R20 , za koliko seputa poveća otpor niti u užarenom stanju ako je ∆T=2250 0C.

( )∆Τ⋅α+= 120RR

)(RR 22501000

4120 ⋅+= 2020 1091 R)(RR ⋅=+=

Primjer 2.Za koliko bakreni namoti električnih strojeva i transformatora, koji se smiju upogonu trajno zagrijavati za oko 55 stupnjeva Celzija, povećaju svoj otpor utoplom stanju?

[ ] [ ]550039011 2020 ⋅+⋅=∆Τα+⋅= ,RRR

27

2020 211100

211 R,RR ⋅=

+⋅=

2.3. Označavanje otpornika bojama

BOJA

1.PRSTEN

ODREĐUJEPRVU

ZNAMENKU

2. PRSTENODREĐUJE

DRUGUZNAMENKU

3. PRSTENODREĐUJEBROJ NULA

4. PRSTENODREĐUJETOLERANCIJU

CRNA 0 0 - -

SMEĐA 1 1 101 ±1%

Označavanje s četiri boje (prstena):prve dvije određuju znamenku, trećabroj nula i četvrta toleranciju

Označavanje s pet boja (prstena): prvetri određuju znamenku, četvrta brojnula i peta toleranciju

28

CRNA 0 0 - -

SMEĐA 1 1 101 ±1%

CRVENA 2 2 102 ±2%

NARANČASTA 3 3 103 -

ŽUTA 4 4 104 -

ZELENA 5 5 105 ±0,5%

PLAVA 6 6 106 ±0,25%

LJUBIČASTA 7 7 - ±0,1%

SIVA 8 8 - ±0,05%

BIJELA 9 9 - -ZLATNA 10-1 ± 5%

SREBRNA 10-2 ± 10%BEZ BOJE ± 20%

Primjer. Odrediti vrijednost otpornika na kojem se nalaze sljedeće boje:

1. boja broj: narančasta (3)2. boja broj: narančasta (3)3. boja broj nula: smeđa (1)4. boja tolerancija: zlatna (±5%)_____________________________

330 5%(313,5 - 346,5)

CRNA 0

SMEĐA 1

CRVENA 2

NARANČASTA 3

ŽUTA 4

ZELENA 5

PLAVA 6

LJUBIČASTA 7

SIVA 8

BIJELA 9

29

1. boja broj: plava (6)2. boja broj: siva (8)3. boja broj nula: crvena (2)4. boja tolerancija: zlatna (±5%)_____________________________

6800 5%(6460 - 7140)

1. boja broj: crvena (2)2. boja broj: ljubičasta (7)3. boja broj nula: zlatna (-1)4. boja tolerancija: zlatna (±5%)_____________________________

27x10-1 5%(2,565 - 2,835 )

CRNA 0SMEĐA 1CRVENA 2NARANČASTA 3ŽUTA 4ZELENA 5PLAVA 6LJUBIČASTA 7SIVA 8BIJELA 9

30

1. boja broj: crvena (2)2. boja broj: ljubičasta (7)3. boja broj: crvena (2)4. boja broj nula: zlatna (-1)5. boja tolerancija: zlatna (±5%)_____________________________

272x10-1 5%(25,84 – 28,56 )

2.4. Tolerancija vrijednosti otpora na otporniku:

TOLERANCIJA - dozvoljeno odstupanje od nazivne vrijednosti otpora otpornika izraženo u postocimanazivne vrijednosti, a ujedno je mjerilo točnosti izrade elemenata.

Ovisno o vrsti otpornika tolerancija se kreće od 0,05% do 20% nazivne vrijednosti otpornika

RENARDOV NIZ ili E – niz:susjedne nazivne vrijednosti otpora razlikuju za dvostruki iznos tolerancije pri čemu se dobivene vrijednostizaokružuju na cijele brojeve.

31

Standardne vrijednosti E – nizova:E6 (tolerancija ±20%), E12 (tolerancija ±10%), E24 (tolerancija ±5%), E48 (tolerancija ±2%),E96(tolerancija ±1%), E192(tolerancija ±0,5%),

Primjer:E6:100Ω 150 Ω 220 Ω 330 Ω 470 Ω 680 Ω 1000 Ω…

E12:100 Ω 120 Ω 150 Ω 180 Ω 220 Ω 270 Ω 330 Ω 390 Ω470 Ω 560 Ω 680 Ω 820 Ω 1000 Ω

3.3.STRUJNI KRUGOVI ISTOSMJERNE STRUJE3.1.3.1. SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA (UTJECAJ OTPORA VODIČA)

1. Struje kroz otpornike trošila su jednake:

32

nIII === 21

1. Struje kroz otpornike trošila su jednake:

UUUU n =+++ 21

2. Zbroj padova napona na pojedinom otporu je jednak naponu izvora U:

Iz Ohmovog zakona vrijedi:

RIUR

UI ×=⇒=

UUUU n =+++ 21

uknn2211 IRRIRIRI =+++

ukn21

n21

IR)RRI(R

IIII

=+++====

33

ukn21

n21

IR)RRI(R

IIII

=+++====

n21uk RRRR +++=

ukupni ili ekvivalenti otporserijskog spoja otpornika

Utjecaj otpora vodiča kojima povezujemo trošilo s izvorom:

Ako zanemarimo utjecaj otpora vodova:

UT = U = 120V

Pretpostavka: bakreni vodiči duljine 20 m i presjeka 0,75mm2 , RT=100Ω:

34

Ω=+=++= 46,10046,0100VTVuk RRRR

ukR

UI =

Ω=⋅=⋅ρ= 230750

1001720 ,

,,

S

lR CuV

VRR

UU T

ukT 119

46,100

100120 =⋅=⋅=⇒

35

U praksi treba voditi računa o padu napona na vodičima koji povezuje trošilo s izvoromda bi trošilo moglo ispravno raditi.

TT RIU ⋅=VR

R

UU T

ukT 119

46,100

100120 =⋅=⋅=⇒

3.2. PARALELNI SPOJ OTPORNIKA

1. Napon na pojedinom trošilu jednak je naponu izvora:

nUUUU ==== 21

36

nUUUU ==== 21

2. Ukupna struja (struja izvora) jednaka je zbroju struja kroz pojedini otpornik:

nIIII +++= 21

?=ukR

nIIII +++= 21nuk R

U

R

U

R

U

R

U +++=⇒ 21

:Unuk RRRR

1111

21

+++=⇒

Primjer1.Kolika je vrijednost ukupnog ili ekvivalentnog otpornika kada imamo četiri otpornika spojena u paralelu:

?

90

15

45

30

4

3

2

1

=Ω=Ω=Ω=Ω=

ukR

R

R

R

R

4321

11111

RRRRRuk

+++=

Ω= 5,7ukR

Vrijednost otpora ukupnog otpornika za paralelni spoj je uvijek manji od najmanjeg otpornika u paraleli

Izraz za računanje vrijednosti otpora ukupnog otpornika za dva otpornika u paraleli:

=+++=⇒90

1

15

1

45

1

30

11

ukR 90

12

90

1623 =+++

37

Izraz za računanje vrijednosti otpora ukupnog otpornika za dva otpornika u paraleli:

21

111

RRRuk

+=

Izraz za računanje vrijednosti otpora ukupnog otpornika za TRI otpornika u paraleli glasi

213132

321

RRRRRR

RRRRuk ⋅+⋅+⋅

⋅⋅=

21

21

RR

RRRuk +

⋅=⇒

Primjer 2.Kod paralelnog spoja dvaju otpornika poznate su vrijednosti R1=30Ω, Ruk=20Ω. kolika je vrijednost R2=?

21

21

RR

RRRuk +

⋅=

2121 )( RRRRRuk ⋅=+⋅

ukR

RRRR 21

21

⋅=+ 221

1 RR

RRR

uk

−⋅=⇒

38

)1( 121 −=

ukR

RRR

Ω==−=−

= 6010

600

202030

30

)12030

(

302R

ukR

RRRR 21

21

⋅=+ 221

1 RR

RRR

uk

−⋅=⇒

)1( 1

12

−=⇒

ukR

RR

R

3.3. MJEŠANI SPOJ OTPORNIKA

Primjenjuju se pravila za serijski i paralelni spoj.

Zadano:

Ω=Ω=Ω=

=

60

30

20

100

3

2

1

R

R

R

VU

nIII === 21

UUUU n =+++ 21

serijskispoj

nUUUU ==== 21

nIIII +++= 21

paralelnispoj

39

Ω=Ω=Ω=

=

60

30

20

100

3

2

1

R

R

R

VU

?,,

?,,

321

321

==

UUU

III

Ω=+⋅=

+⋅=

206030

603023

32

3223

R

RR

RRR

40

Ω=+=+=

402020231

uk

uk

R

RRR

AR

UII

uk

5,240

1001 ====

VRIU 50205,2111 =⋅=⋅=

13223 UUUUU −===

VUU 505010032 =−==

41

AR

UI

RIU

67,130

50

2

22

222

===⇒

⋅=

AR

UI

RIU

83,060

50

3

33

333

===⇒

⋅=Provjera:

5,25,2

83,067,15,2321

=+=

+= III

VUU 505010032 =−==

)(

)(

321

321

231

231

RRR

RRR

RR

RRRuk ++

+⋅=+⋅=

3223 RRR +=serijski spoj R2 i R3:

paralelni spoj R1 i R23:

paralelni spoj R2, R3, R4:

?=ukR

Primjer 2:

Primjer 3:

42

432234

1111

RRRR++=

paralelni spoj R2, R3, R4:

)()()(

)()()(1

324243

432234

432

324243

234

RRRRRR

RRRR

RRR

RRRRRR

R

⋅+⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅+⋅=

2341 RRRuk +=

Primjer 3:

4. JOULEOV ZAKON, ELEKTRIČNA ENERGIJA I SNAGA4. JOULEOV ZAKON, ELEKTRIČNA ENERGIJA I SNAGA

Zbog toplinskog učinka struje, stvara se toplina Q, kojaće tekućinu u boci zagrijati za ∆T.

)J(TΔcmQ ⋅⋅=

m – masa tekućine (kg),c – specifična toplina tekućine (J/kgK)

Toplinski učinak električne energije, preko KALORIMETRIČKE BOCE (bombe)

43

m – masa tekućine (kg),c – specifična toplina tekućine (J/kgK)

kgKJc OH /41802

=

(za 1 litru vode potrebno je dovesti 4180 J topline dabi temperatura porasla za 1 stupanj Celzij)

Pokus pokazao da proizvedena toplina Q ovisi direktno o naponu, strujii vremenu : )(JtIUQ ⋅⋅=

Preko Ohmovog zakona proizlaze izrazi za električnu energiju:

Sva električna energija pretvorila se u toplinsku:

)(JtIUW

QW

⋅⋅==

)(JtIUW ⋅⋅=

44

⇒=R

UI )(

2

JtR

UW ⋅=

)(2 JtRIW ⋅⋅=⇒RIUR

UI ⋅=⇒=

)(2

JtR

UW ⋅=

)(2 JtRIW ⋅⋅=

)(JtIUW ⋅⋅=

Veće jedinice od Ws za energiju od su Wh i kWh:

)(000.600.31 WskWh =

Električni uređaj za mjerenje električne potrošnje je ELEKTRIČNO BROJILO.

)(36001 WsWh =

45

Električna snaga:Rad (W) je, općenito, djelovanje sile (F) na nekom putu (s): sFW ⋅=

hgmW

hGW

⋅⋅=⋅=

Snaga (P) je, općenito, rad kroz vrijeme: ⋅

46

Snaga (P) je, općenito, rad kroz vrijeme:

t

WP = IU ⋅=

)(WIUP ⋅= električnasnaga

⋅

t

tIU ⋅⋅⇒

Koristeći Ohmov zakon:

R

UI =

→ )(2

WR

UP =

RIU ⋅=)(2 WRIP ⋅=

IUP ⋅=

IUP ⋅=→

)....(WIUP ⋅=

)......(2

WR

UP =

).......(2 WRIP ⋅=

47

RIU ⋅=Na svakom električnom trošilu daje se podatak o nominalnom naponu i nominalnojNa svakom električnom trošilu daje se podatak o nominalnom naponu i nominalnoj

snazi trošilasnazi trošilaPrimjer 1.Trošilo snage 100W i napona 230V radi 5 sati. Koliki je otpor, struja i električna energija navedenogtrošila:

VU

WP

230

100

==

?,, =WIRR

UP

2

= Ω===⇒ 529100

23022

P

UR

kWhWhtPW 5,05005100 ==⋅=⋅=

AU

PI 43,0

230

100 ===⇒

Nominalna ili nazivna snaga Pn: vrijednost snage s kojom trošilo može u pogonutrajno raditi (pogonska snaga) a da pri tome ne strada.

Primjer 2.Kolika je pogonska snaga uređaja (U=220 V, RT=484 Ω, Pn=100 W, l=40 m, S=0,75mm2), s tim da kod proračuna je potrebno uzeti u obzir otpor vodiča odnosno padnapona na njemu.

48

Primjer 2.Kolika je pogonska snaga uređaja (U=220 V, RT=484 Ω, Pn=100 W, l=40 m, S=0,75mm2), s tim da kod proračuna je potrebno uzeti u obzir otpor vodiča odnosno padnapona na njemu.

Ω=⋅=⋅= 46,075,0

200175,0

S

lRV

otpor vodiča:

Ω=+= 92,4842 TVuk RRR

ukupni otpor

A4536,092,484

220

R

UI

uk

===

struja izvora(trošila)

VRIU TT 54,2194844536,0 =⋅=⋅=

W58,99484

54,219

R

UP

2

T

2T

T ===

napon trošila

pogonska snaga trošila

Odnos električne snage trošila i električnog napona na koji je priključeno to trošilo:

napon se smanji za 10% snaga trošila:

49

R

U81,0

R

)U9,0(P

22

T

⋅=⋅= nP81,0=

Snaga trošila iznosi 81% nazivne snageR

UP

2

n =

nazivna snaga

n

22

T P21,1R

U21,1

R

)U1,1(P =⋅=⋅=

Snaga trošila je za 21% veća od nazivne snage

napon se poveća za 10% snaga trošila:

R

UP

2

n =

nazivna snaga

4.1. SNAGA I ENERGIJA

50

Konstantni napon i struja dajukonstantnu snagu i energiju

Promjenjive vrijednosti napona i struje rezultira promjenjivom snagom ienergijom.

)()()()( Wtitutp ⋅=Da bi se izračunala ukupna energija za neki konačni interval vremena t, mora se pripromjenjivoj funkciji snage najprije odrediti iznos energije za infinitezimalno malovrijeme dt unutar kojeg se može računati da je snaga konstanta:

Kada se uzmu jako mali odsječci za koje sesmatra da je snaga konstantna veličina, tada seukupna električna energija dobiva zbrajanjeminfinitezimalnih odsječaka do nekog konačnogvremenskog trenutka T:

51

Kada se uzmu jako mali odsječci za koje sesmatra da je snaga konstantna veličina, tada seukupna električna energija dobiva zbrajanjeminfinitezimalnih odsječaka do nekog konačnogvremenskog trenutka T:

∫ ⋅=T

dtpW0

Primjer. Za zadanu promjenjivu snagu izračunati električnu energiju uintervalu T i srednju vrijednost snage:

)(502

02

100 WsTTT

W =⋅+⋅=

∫ ⋅=T

dtpW0

Električna energija

52

Wtpt

Wp =⋅⇒=

TpT ⋅=⋅50

)(502

02

100 WsTTT

W =⋅+⋅=

Wp 50=

Srednja vrijednost snage:

4.2. TEOREM MAKSIMALNE SNAGE4.2. TEOREM MAKSIMALNE SNAGEAko na stezaljkama realnog naponskog izvora, čiji je unutarnji otpor R0 i unutarnji napon U0,priključimo vanjsko trošilo otpora RT, postavlja se pitanje koliki mora biti otpor vanjskogtrošila da se na njemu razvije najveća moguća snaga. .

TRR

UI

+=

0

0

struja kroz trošilo

TT RIIUP ⋅=⋅= 2

snaga trošila

53

TT

T RRR

UP ⋅

+=

20

20

)(

TT RIIUP ⋅=⋅= 2

WPRza TSKT 00.......... ).( =⇒=

WPRza THPT 0.......... ).( =⇒∞→

maxTP→

=⋅

⋅⋅=⇒=

20

020

0

)47

(

43

4

3..........

R

RUPRRza TT

=⋅⋅=⇒=

20

020

0 4..........

R

RUPRRza TT W1000

R4

U

0

20 =

⋅

TT

T RRR

UP ⋅

+=

20

20

)(

=⋅

⋅⋅

20

020

1649

43

R

RU

49

48

4 0

20 ⋅

⋅ R

U

20

020

0

)49

(

45

4

5..........

R

RUPRRza TT

⋅

⋅⋅=⇒=

81

80

4 0

20 ⋅

⋅ R

U=

⋅

⋅⋅=

20

020

1681

45

R

RU

W980=

Npr.U0=10 V, R0=40 Ω

54

20

020

0

)49

(

45

4

5..........

R

RUPRRza TT

⋅

⋅⋅=⇒=

81

80

4 0

20 ⋅

⋅ R

U=

⋅

⋅⋅=

20

020

1681

45

R

RU

=⋅

⋅⋅=⇒=2

0

020

0 )4(

33.........

R

RUPRRza TT 4

3

4 0

20 ⋅

⋅ R

U=⋅

⋅⋅20

020

16

3

R

RU

W990=

W750=

Kada je vrijednost otpora trošila RT jednaka unutarnjem otporu izvora R0, tadaizvor daje trošilu maksimalnu moguću snagu (trošilo sa svojim otporomprilagođeno je unutarnjem otporu izvora)

TTT R

U

R

UPRR

⋅=

⋅=⇒=

44

20

0

20

max0

55

Stupanj korisnog djelovanja za odabrane vrijednosti otpornika trošila:

%1000

% ⋅+

=k

k

PP

P

10

<+

==k

k

u

k

PP

P

P

P

gubitakasnagaP

snagaukupnaP

snagakorisnaP

o

u

k

−−−

=⋅⋅+⋅

⋅= %1002

02

2

%T

T

RIRI

RI %100)( 0

⋅+

=T

T

RR

R%100

)( 02

2

⋅+

⋅

T

T

RRI

RI

%50%100..........00

0%0 =⋅

+=⇒=

RR

RRRza T %7,66%100

3

22..........

0

0%0 =⋅=⇒=

R

RRRza T

%75%1004

33..........

0

0%0 =⋅=⇒=

R

RRRza T %80%100

5

44..........

0

0%0 =⋅=⇒=

R

RRRza T

Prilagođivanjem unutarnjem otporu izvora (RT=Ro)

dobija se korisnost “samo” 50%.

Prilagođivanjem unutarnjem otporu izvora (RT=Ro)

dobija se korisnost “samo” 50%.

↓maxTP

Prilagođivanjem unutarnjem otporu izvora (RT=Ro)

dobija se korisnost “samo” 50%.

Prilagođivanjem unutarnjem otporu izvora (RT=Ro)

dobija se korisnost “samo” 50%.

Prilagođivanje se koristi u telekomunikacijskimuređajima, gdje uređaju, koji će primati signale,predajemo što veću snagu kako bi prenesenainformacija bila što bolje registrirana.

Prilagođivanje se koristi u telekomunikacijskimuređajima, gdje uređaju, koji će primati signale,predajemo što veću snagu kako bi prenesenainformacija bila što bolje registrirana.

Jakostrujni uređaji će raditi u području gdje jekorisnost što veća, jer je njihova svrha velikekoličine električne energije prenijetipotrošačima uz što manje gubitke.

Jakostrujni uređaji će raditi u području gdje jekorisnost što veća, jer je njihova svrha velikekoličine električne energije prenijetipotrošačima uz što manje gubitke.

Primjer.Ako je U0 = 100V, R0=10Ω, koliki mora biti RT da se na njemu troši snaga od 200W?

20

20

)( T

TT RR

RUP

+⋅=

2

2

)10(

100200

T

T

R

R

+⋅= 2)10( TR+⋅

TT RR ⋅=+⇒ 10000)10(200 2200:

TTT RRR 5020100 2 =++

0100302 =+− TT RR

57

0100302 =+− TT RR

2

50030

2

40090030)( 2,1

±=−±=TR

Ω=−= 82,32

500301TR

Ω=+= 18,262

500302TR

%6,27%10001

11 =⋅

+=

RR

R

T

T

%72%10002

22 =⋅

+=

RR

R

T

T

5. KIRCHHOFFOVI ZAKONI5. KIRCHHOFFOVI ZAKONI

Postoje dva zakona: 1. Kirchoffov zakon za struje (KZS)

2. Kirchoffov zakon za napone (KZN)5.1. Kirchoffov zakon za struje (KZS)

Algebarska suma struja koje ulaze u čvor jednaka je sumi struja koje izlaze iz čvora.

∑∑ = ij II

Čvor je točka električne mreže u kojoj se spajaju dvije ili više grana.Grana električne mreže je dio električne mreže kroz koji teče jedna struja.

58

∑∑ = ij II

↑• •

↓

AI

I

IIIII

8

1432

5

5

43215

==−++=

−++=

∑∑ = izlazeulaze II

=++ 321 III 54 II +

?

1

4

3

2

5

4

3

2

1

=====

I

AI

AI

AI

AIZadano

Primjer. Za strujni čvor na slici izračunati vrijednost struje I5:

5.2. Kirchoffov zakon za napone (KZN)

∑∑==

=⋅m

Jj

n

ii UIR

11

)(

U zatvorenoj strujnoj konturi algebarska suma svih napona (Uj) izvorajednaka je algebarskoj sumi svih napona na otpornicima (umnošci RI)

Uz dani smjer struje odabere se po volji smjer obilaženja petlje kaopozitivan i u tom smjeru obavlja se zbrajanje. Naponi izvora Uj kojih sepolaritet podudara sa smjerom obilaženja uzimaju se s pozitivnimpredznakom, a oni drugi s negativnim.

59

Uz dani smjer struje odabere se po volji smjer obilaženja petlje kaopozitivan i u tom smjeru obavlja se zbrajanje. Naponi izvora Uj kojih sepolaritet podudara sa smjerom obilaženja uzimaju se s pozitivnimpredznakom, a oni drugi s negativnim.

Padovi napona (umnošci RI) dobivaju predznak plus ukoliko se smjerobilaska petlje podudara sa smjerom struje, odnosno minus ako je smjerobilaska petlje ne podudara sa smjerom struje.

POTENCIJAL φ:Napon između neke točke i po volji odabrane referentne točke u električnojmreži naziva se potencijalom te točke. Samim tim je potencijal referente točkenužno jednak nuli.

NAPON IZMEĐU DVIJU TOČAKA jednak je razlici potencijala tih točaka. Druga točka uindeksu je globalno dogovorno referentna točka.

)(VUU

U

ABABBA

BAAB

−=−=−=

60

)(VUU

U

ABABBA

BAAB

−=−=−=

STRUJA PROTJEČE KROZ GRANU električne mreže od točke višeg potencijala prematočki nižeg potencijala.

POLARITET NAPONA NA OTPORNIKU je pridružen smjeru struje kroz taj otpornik kako jeprikazano slikom

Primjer 1. Koliki je potencijal točke A, ako je zadano R=20Ω, I=2A?

Potencijal točke B je zadan u odnosu na referentnu točku 0koja ima potencijal nula. Potencijal točke A se računa tako dase polazi od referentne točke preko potencijala točke B, ikroz pad napona na otporniku.

RIBAA ⋅+== 0

VA 14040100 =+=ϕ

61

Primjer 2. Koliki je potencijal točke A, ako je zadano R=20Ω, I=2A?

RIBA ⋅−=

VA 6040100 =−=ϕ

Primjer 3. Koliki je potencijal točke A ako je zadano U=30 V?

Potencijal točke A se računa tako da se polazi odtočke B, te prolaskom kroz izvor uzima napon uskladu s polaritetom izvora +30 V:

VUBA 13030100 =+=+=

Primjer 4. Koliki je napon UAB ako je uz zadani smjer struje poznato U=30 V, R=20 Ω i I=2 A?

BAABU ϕ−ϕ=

62

URIBA +⋅+=

VU

URI

AB

BA

703040 =+=+⋅=−

Primjer 5. Koliki je napon UAB ako je uz zadani smjer struje poznato U=30 V, R=20 Ω iI=2A?

BAABU ϕ−ϕ=URIBA +⋅−=

VU

RIU

AB

BA

104030 −=−=⋅−=−

Primjer 6. Za zadanu petlju odrediti izraze za napone UAB, UBC, UCD, UAD, ako su poznatevrijednosti potencijala točaka A, B, C, D.

BAABU −=111 URIBA +⋅+=111 URIBA +⋅=−

CBBCU −=222 RIUCB ⋅−+=222 RIUCB ⋅−=−

63

DCCDU −=

33 RIDC ⋅−=−33 RIDC ⋅−=

DAADU −=

444 RIUDA ⋅−+=

444 RIUDA ⋅−=−

Algebarska suma napona u zatvorenoj konturi(petlji)jednaka je nuli:

∑=

=n

ii

U1

0

Obavi se zbrajanje napona grana u petlji (proizvoljno se odabire referentni smjer obilaska petlje)npr. počevši od točke A:

=+++ DACDBCAB UUUU

0=

64

∑=

=n

ii

U1

0

0URIRIRIUURI 44433222111 =−⋅+⋅−⋅−++⋅

33221144124 RIRIRIRIUUU ⋅−⋅−⋅+⋅=−−+

=+++ DACDBCAB UUUU

Primjer 7. Primijeniti KZN za električnu petlju na slici na kojoj je zadan smjerobilaska.

65

3144331122 UURIRIRIRI −−=⋅+⋅+⋅−⋅+

∑∑==

=⋅m

Jj

n

ii UIR

11

)( Naponi izvora Uj kojih se polaritet podudara sa smjerom obilaženja uzimajuse s pozitivnim predznakom, a oni drugi s negativnim.

Padovi napona (umnošci RI) dobivaju predznak plus ukoliko se smjerobilaska petlje podudara sa smjerom struje, odnosno minus ako je smjerobilaska petlje ne podudara sa smjerom struje

6. ANALIZA LINEARNIH MREŽA ISTOSMJERNE STRUJE6. ANALIZA LINEARNIH MREŽA ISTOSMJERNE STRUJE

1. Metoda izravne primjena Kirchhoffovih zakona

3. Metoda konturnih struja2. Metoda napona čvorova

4. Metoda superpozicije

5. Theveninov teorem

6. Northonov teorem

7. Millimanov teorem

66

6.1. Metoda izravne primjene Kirchhoffovih zakona6.1. Metoda izravne primjene Kirchhoffovih zakona

1−= čnč broj jednadžbi za KZS č – broj čvorova

1+−= čgnkbroj jednadžbi za KZN g – broj grana

broj grana: 6

broj čvorova: 4

Prvo je potrebno proizvoljno označiti strujegrana i njihove smjerove, te naznačiti čvoroveelektrične mreže:

Primjer: Za električnu mrežu na slici izvršiti analizu, metodom izravne primjene KZ.

67

Pišemo jednadžbe za č-1 čvorova (jedan čvor seproizvoljno izbaci, odnosno kažemo da je njegov potencijalnula, čvor D)

3141čn4č č =−=−=⇒=216 III:A +=

436 III:B +=

153 III:C +=

Jednadžbe KZN za nk kontura:

31461 =+−=+−= čgnk

55221151 RIRIRIUU:I ⋅−⋅−⋅=−−

55443345 RIRIRIUU:II ⋅+⋅−⋅=−

44226646 RIRIRIUU:III ⋅+⋅+⋅=+

68

6.2. Metoda napona čvorova6.2. Metoda napona čvorovaSmanjenje broja jednadžbi

1. Jedan proizvoljno odabran čvor je referentni tako da je njegovpotencijal jednak nuli.

2. Za ostale čvorove (A, B, C) pišemo jednadžbe KZS (proizvoljno određujemo smjerove struja)

69

216 III:A +=

153 III:C +=436 III:B +=

111 RIUCA ⋅++=1

11 R

UI CA −−=⇒

3. Izraziti struje grana pomoću potencijala čvorova?I1 =

?I2 =

22 RIDA ⋅+=2

2 RI A=⇒

33 RIBC ⋅+=3

3 RI BC −=⇒

?I3 =

70

VD 0=3

3 RI BC −=⇒

444 URIDB +⋅−=4

44 R

UI B−=⇒

?I4 =

555 RIUDC ⋅−+=5

55 R

UI C−=⇒

?I5 =

666 RIUBA ⋅−+=6

66 R

UI AB −+=⇒

?I6 =

216 III:A +=

21

1

6

6

RR

U

R

U ACAAB +−−=−+436 III:B +=

4

4

36

6

R

U

RR

U BBCAB −+−=−+

153 III:C +=

1

1CA

5

C5

3

BC

R

UφφR

φU

R

φφ −−+−=−

Izražene struja grana preko potencijala čvorova uvrstimo u KZS jednadžbe za čvorove A, B i C.

?φ,φ,φ BCA =

71

6

6

1

1

351C

3B

1A

6

6

4

4

3C

346B

6A

6

6

1

1

1C

6B

621A

R

U

R

U)

R

1

R

1

R

1(φ

R

1φR

1φ:C

R

U

R

U

R

1φ)R

1

R

1

R

1(φ

R

1φ:B

R

U

R

U

R

1φR

1φ)R

1

R

1

R

1(φ:A

+−=++⋅+⋅−⋅−

−=⋅−++⋅+⋅−

+=⋅−⋅−++⋅

?φ,φ,φ BCA =

Preko izračunatih vrijednosti potencijala čvorova izračunaju se struje grana

1

11 R

UI CA −−=

5

55 R

UI C−=

4

44 R

UI B−=

22 R

I A=

72

6

66 R

UI AB −+=

33 R

I BC −=

6.3. Metoda6.3. Metoda konturnihkonturnih strujastrujaReducira se broj jednadžbi na nk = g-č+1, odnosno na broj jednadžbi koliko bi trebalopostaviti za KZN:

1. Odrediti grane i čvorove zadane električne mreže

2. Odabrati g-č+1 nezavisnih kontura3. U svakoj konturi ucrtati po jednu “konturnu struju” proizvoljnog smjera, koja teče duž cijelezatvorene konture.

4. Postaviti jednadžbe za KZN za odabrane konture, uzimajući smjer konturne struje kao smjerobilaska zatvorene konture.5. Rješenjem postavljenog sustava jednadžbi izračunati konturne struje, a nakon toga strujepojedinih grana.

73

5. Rješenjem postavljenog sustava jednadžbi izračunati konturne struje, a nakon toga strujepojedinih grana.

Zadano:

654321

4321

,,,,,

,,,

RRRRRR

EEEE

izračunati struje grana:

?,,,,, 654321 =IIIIII

1. Broj grana i čvorova:

6=g 4=č

2. Broj nezavisnih kontura:

3146

1

=+−=+−=

k

k

n

čgn

3. U svakoj konturi ucrtati po jednu “konturnu struju” proizvoljnog smjera, koja teče dužcijele zatvorene konture.

74

4. KZN za odabrane konture:

+⋅ 111 RI 41 UU +=⋅++ 62211 )( RII43311 )( RII ⋅−

222 RI ⋅ 62211 )( RII ⋅++ 2U=53322 )( RII ⋅++

333 RI ⋅ 52233 )( RII ⋅++41133 )( RII ⋅−+ 43 UU −=

5. Riješiti sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice :

.....

.....

.....

33

22

11

===

I

I

I

6. ucrtati smjer struja grana i izračunati ih na osnovu poznatih konturnih struja:

333 II =

75111 II =

11334 III −=

222 II =

)( 33225 III +−=

22116 III +=

metoda rješavanja n jednadžbi s n nepoznanica pomoću metode determinanti:

3333

2222

1111

kzcybxa

kzcybxa

kzcybxa

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅ a, b, c, k – konstantex, y, z =?

D

Dx 1=

D

Dy 2=

D

Dz 3=

333

222

111

cba

cba

cba

D =

33

22

11

ba

ba

ba

)[( 321 abc ⋅⋅− )( 321 bca ⋅⋅+ =⋅⋅+ )]( 321 cab)[( 321 cba ⋅⋅= )( 321 acb ⋅⋅+ )]( 321 bac ⋅⋅+

76

333

222

111

1

cbk

cbk

cbk

D =

33

22

11

bk

bk

bk

)[( 321 cbk ⋅⋅= )( 321 kcb ⋅⋅+ )]( 321 bkc ⋅⋅+ )[( 321 kbc ⋅⋅− )( 321 bck ⋅⋅+ =⋅⋅+ )]( 321 ckb

333

222

111

2

cka

cka

cka

D =

33

22

11

ka

ka

ka

)[( 321 cka ⋅⋅= )( 321 ack ⋅⋅+ )]( 321 kac ⋅⋅+ )[( 321 akc ⋅⋅− )( 321 kca ⋅⋅+ =⋅⋅+ )]( 321 cak

333

222

111

3

kba

kba

kba

D =

33

22

11

ba

ba

ba

)[( 321 kba ⋅⋅= )( 321 akb ⋅⋅+ )( 321 bak ⋅⋅+ )]( 321 kab ⋅⋅+)[( 321 abk ⋅⋅− )( 321 bka ⋅⋅+

23

22

222

332211

332211

332211

=++=++

=++

III

III

III

?,, 222211 =III

113

211

122

=D

6

915

)243()1122(

==−=

=++−++=

[ ])111()322()112( ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=13

11

22

[ ]=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅− )112()122()311(

77

12

12

22

2

1012

)442()282(

==−=

=++−++=

112

212

122

1 =D23

21

22

2

1618

)286()2124(

==−=

=++−++=

123

221

122

2 =D

13

11

22

4

1418

)446()2124(

==−=

=++−++=

213

211

222

3 =D

AD

DI

AD

DI

AD

DI

3

2

6

43

1

6

23

1

6

2

333

222

111

===

===

===

6.4. Metoda SUPERPOZICIJE6.4. Metoda SUPERPOZICIJEU linearnoj mreži koja se sastoji od više naponskih ili strujnih izvora struja grane biti će jednakasumi svih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini izvori sami za sebe.Metodom superpozicije struja se u jednoj grani izračuna tako da se redom ugase svi izvori osimjednog i izračuna struja u promatranoj grani samo uz taj jedan izvor.Tako se redom određuju struje za sve izvore u mreži, a suma tih pojedinih struja biti će traženastruja u promatranoj grani:

Primjer:(1) Analizira se mreža bez napona U2

78

?,, 321 =III

(2) Analizira se mreža bez napona U1

Stvarne struje grana:

)2()1(1 11

III −=

)2()1(22 2

III −=

)2()1(3 33

III +=

6.5.6.5. TheveninovTheveninov teoremteorem

79

6.5.6.5. TheveninovTheveninov teoremteoremPrema Theveninovom teoremu svaka aktivna linearna električna mreža se može gledano s dvijupriključnih točaka nadomjestiti jednim realnim naponskim izvorom s pripadnim unutarnjimnaponom UT i otporom RT (mreža se smatra linearnom ako sadrži samo linearne elemente, aaktivnom ako osim pasivnih komponenata sadrži i izvore)..

Priključak vanjskog trošila R na nadomjesni Theveninov naponski izvor.

RR

UI

T

T

+=

RT i UT određujemo na sljedeći način: Napon UT pojavljuje se kao napon na otvorenimstezaljkama a i b (UT =Uab,

80

RT i UT određujemo na sljedeći način: Napon UT pojavljuje se kao napon na otvorenimstezaljkama a i b (UT =Uab,

Unutarnji otpor Theveninovog izvora RT određuje se kao otpor električne mrežesa stezaljki a i b uz isključene izvore, RT=Rab. Isključiti izvore znači umjestonjih ostaviti priključene samo pripadne unutarnje otpore. To znači da se idealninaponski izvori zamjenjuju kratkim spojevima, a idealni strujni otvorenimstezaljkama.

Primjer1. Primjenom Theveninovateorema izračunati struju I:

Ω40R

Ω60R

Ω30R

V120U

2

1

===

= Odspajamo R i ostatak mreže nadomještamo poTheveninovom teoremu.

81

Ω40R

Ω60R

Ω30R

V120U

2

1

===

=

211 RR

UI

+=

21 RIUU abT ⋅==

221

RRR

UUU abT ⋅

+==

VU

UU

T

abT

80

606030

120

=

⋅+

==

Odspajamo R i ostatak mreže nadomještamo poTheveninovom teoremu.

21

21

RR

RRRR abT +

⋅==

Ω=+⋅== 20

6030

6030abT RR

Na dobiveni nadomjesni Theveninov izvor priključujemo ranije odspojeni R.

82

RR

UI

T

T

+=

ARR

UI

T

T 33,160

80

4020

80 ==+

=+

=

Na dobiveni nadomjesni Theveninov izvor priključujemo ranije odspojeni R.

6.6.6.6. NorthonovNorthonov teoremteorem

Svaka aktivna linearna električna mreža se možegledano s dviju priključnih točaka nadomjestitijednim realnim strujnim izvorom

Priključak vanjskog trošila R na nadomjesniNorthonov strujni izvor.

Struja Ik je struja kroz granu 'ab' ako seodspoji R, a priključne točke a i b spojevodičem 'bez' otpora. Struja Ik je strujakratkog spoja stezaljki a i b.

Unutarnji otpor Northonovog izvora RT

određuje se kao otpor električne mreže sastezaljki a i b uz isključene izvore, RT=Rab.

83

Struja Ik je struja kroz granu 'ab' ako seodspoji R, a priključne točke a i b spojevodičem 'bez' otpora. Struja Ik je strujakratkog spoja stezaljki a i b.

Unutarnji otpor Northonovog izvora RT

određuje se kao otpor električne mreže sastezaljki a i b uz isključene izvore, RT=Rab.

Primjer1.Primjenom Northonova teorema izračunati struju I

Ω=Ω=Ω=

=

40

60

30

120

2

1

R

R

R

VU

AR

EIk 4

30

120

1

===)2(

R

RIIRIRI

)1(III

TTTT

Tk

⋅=⇒⋅=⋅

+=

84

AR

EIk 4

30

120

1

===

=+⋅==

21

21

RR

RRRR abT Ω=

+⋅

206030

6030

)2(R

RIIRIRI

)1(III

TTTT

Tk

⋅=⇒⋅=⋅

+=

A33,14020

204I

RR

RII

)1()2(

T

Tk

=+

⋅=

+⋅=

→

6.76.7 MillimanovMillimanov teorem (metoda dvaju čvorova)teorem (metoda dvaju čvorova)Više paralelno spojenih trošila koji se napajaju od paralelno spojenih izvora, mogu se prikazatilinearnom mrežom koja ima samo dva čvora a i b na koje se priključuju pojedine grane:

Zadani naponski izvori i svi otporiračunaju se struje svih grana:

baabU −=

iiiab RIUU ⋅−=

iiiba URI +⋅−=

iiiba URI +⋅−=−

85

i

abii R

UUI

−= vodljivostR

Gi

i −= 1

iiiab RIUU ⋅−=

abiii UURI −=⋅

iabi GUU ⋅−= )(

0=∑ iI

∑

∑

=

=

⋅= n

ii

n

iii

ab

G

GUU

1

1

0)(1

∑=

=⋅−n

iiabi GUU

011

=⋅−⋅ ∑∑==

n

iiab

n

iii GUGU

∑∑==

⋅=⋅n

iiab

n

iii GUGU

11

Primjer. Za električnu shemu izračunati struje grana:

VU

VU

VU

VU

25

20

15

10

4

3

2

1

====

Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=

20

15

15

10

10

5

4

3

2

1

R

R

R

R

R

111 )( GUUI ab ⋅−= 222 )( GUUI ab ⋅−=

333 )( GUUI ab ⋅−= 444 )( GUUI ab ⋅−=

86

55 GUI ab ⋅−=333 )( GUUI ab ⋅−= 444 )( GUUI ab ⋅−=

∑

∑

=

=

⋅= n

ii

n

iii

ab

G

GUU

1

1

54321

44332211 0

GGGGG

GUGUGUGUU ab ++++

+⋅+⋅+⋅+⋅=

VU ab 32,14

201

251

151

101

101

251

25151

20101

15101

10=

++++

⋅+⋅+⋅+⋅=

?=abU

AI 43,010

1)32,1410(1 −=⋅−=⇒111 )( GUUI ab ⋅−=

222 )( GUUI ab ⋅−= AI 068,010

1)32,1415(2 −=⋅−=⇒

333 )( GUUI ab ⋅−= AI 379,015

1)32,1420(3 =⋅−=⇒

444 )( GUUI ab ⋅−= AI 712,015

1)32,1425(4 =⋅−=⇒

87

AI 716,020

32,145 −=−=⇒

444 )( GUUI ab ⋅−= AI 712,015

1)32,1425(4 =⋅−=⇒

55 GUI ab ⋅−=

6.8.6.8. EKVIVALENTNIEKVIVALENTNI NAPONSKI I STRUJNI IZVORNAPONSKI I STRUJNI IZVOR

Slično naponskom izvoru postoji i strujni izvor. Realni strujni izvor predstavlja se idealnimstrujnim izvorom nazivne struje Ik te paralelno spojenim unutarnjim otporom R0.

Na izlaznim stezaljkama opterećenog strujnog izvorapojavljuje se izlazni napon

.

TRIU ⋅=

88

Idealni strujni izvor ima beskonačno velik unutarnji otpor i nominalnu struju Ik. Napon na izlazuidealnog strujnog izvora je ovisan isključivo o promjenama priključenog otpora trošila RT

. 00 RIUU ⋅−=

Svaki realni naponski izvor može se zamijeniti ekvivalentnim strujnim izvorom iobrnuto. Pri opterećenju realnog naponskog izvora, kada je spojeno trošilo RT,smanjuje se napon na vanjskim stezaljkama na iznos zbog padanapona na unutarnjem otporu R0

Može se kazati sljedeće: realni naponski izvor sastavljen je od serijskog spoja jednog idealnognaponskog izvora U0 i unutarnjeg otpora R0. Realni strujni izvor sastavljen je od paralelnog spojajednog idealnog strujnog izvora Ik i unutarnjeg otpora R0. Idealni strujni izvor daje uvijek strujukonstantne jakosti Ik nezavisno o priključenom trošilu.

00

0

0

0

0

0

R

U

R

UI

UURI

RIUU

−=

−=⋅

⋅−=

89

00

0

0

0

0

0

R

U

R

UI

UURI

RIUU

−=

−=⋅

⋅−=

)1(III 0k −=

Iz izraza (1) vidi se da trošilo uvanjskom dijelu strujnog krugadobiva struju I, nakon što je odkonstantne struje Ik idealnogstrujnog izvora jedan dio (I0)odvojen i protječe krozparalelno spojen otpornik R0

Valja naglasiti da pri zamjeni naponskog izvora sa strujnim, ekvivalentnost postojisamo u vanjskom dijelu strujnog kruga, dok unutar samog izvora postoji velika razlikau radu jednog i drugog izvora.

U neopterećenom stanju (prazni hod) kroz otpor izvora R0 ne teče struja i ne troši seenergija ako je u nadomjesnoj shemi realnog izvora upotrjebljen idealni naponski izvor,no ako je tamo idealni strujni izvor, onda teče kroz otpornik R0 struja i u praznom hodu,pa se i u praznom hodu troši energija u samom izvoru.

90

Analogno postupku pretvorbe realnog naponskog izvora u strujni izvor može se obaviti ipretvorba svakog realnog strujnog izvora u realni naponski izvor. Pri tom će U0 =Ik ·R0, aunutarnji otpor realnog strujnog izvora R0 će biti jednak unutarnjem otporu realnog naponskogizvora u serijskom spoju