SpieltheorieSkript zur Vorlesung im SS 2006Prof.Dr.J urgenJergerLehrstuhlf urinternationaleundmonetareOkonomikInstitutf urVolkswirtschaftslehreundOkonometrieWirtschaftswissenschaftlicheFakult atUniversitatRegensburgApril2006iiInhaltsverzeichnis1 Literaturhinweise 12 Einf uhrung:ElementederSpieltheorie 32.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Was ist Spieltheorie?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1 Modellierung strategischer Interdependenz . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Elemente eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Anwendungsbereiche der Spieltheorie, oder: Warum das Paradies mitdem S undenfall enden musste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 EindegeneriertesBeispiel:Ein-Personen-SpielmitvollkommenerIn-formation (Schatzsuche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Klassikation verschiedener Arten von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Kooperative vs. nicht-kooperative Spiele. . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Statische (strategic) vs. dynamische (extensive, sequential) Spiele 122.3.3 One-shot games vs. wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Nullsummenspiele vs. Spiele mit variablen Auszahlungssummen . . . . 132.3.5 Spiele mit vollkommener bzw. unvollkommener Information . . . . . . 142.3.6 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Nutzen und Erwartungsnutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Anforderungen an Nutzenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Bewertung von Risiko und Erwartungsnutzenfunktion . . . . . . . . . 172.5 Rationalitat der Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 Das St. Petersburg Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.2 Das Allais-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 Beschrankte Rationalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Alternative Darstellungen von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.1 Extensive Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.2 Normalform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6.3 Koalitionsspiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Losungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.1 Elimination dominierter Strategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.2 Zermelos Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.3 Nash-Gleichgewicht und Fokus-Punkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7.4 Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 NichtkooperativeSpieleI: StatischeSpielemitansonstenvollkommenerInformation 413.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Information in Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Perfekte Information und common knowledge . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Sicherheit, Vollstandigkeit und Symmetrie von Informationen . . . . . 443.3 Das Gefangenendilemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46iiiiv INHALTSVERZEICHNIS3.4 Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Nash-Gleichgewichte mit (unendlich) vielen Strategien . . . . . . . . . . . . . 523.6 Existenz von Nash-Gleichgewichten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.1 Oligopol I: Das Cournot-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Oligopol II: Das Bertrand-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7.3 Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.4 Geldpolitik I: Die Nash-Losung des Barro-Gordon-Modells . . . . . . . 604 NichtkooperativeSpieleII: DynamischeSpielemitvollkommenerInfor-mationundwiederholteSpiele 654.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 R uckwartsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Teilspiele und teilspielperfekte Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.1 Begriiches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.2 Endlich wiederholte Spiele I: Eindeutige Nash-Gleichgewichte auf deneinzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.3 EndlichwiederholteSpieleII:MultipleNash-Gleichgewichteaufdeneinzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.4 Unendlich oft wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.1 Oligopol III: Die Stackelberg-Losung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.2 Geldpolitik II: Stackelberg-F uhrerschaft der Lohnsetzer im Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5.3 Geldpolitik III: Reputation im Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . 915 NichtkooperativeSpieleIII: DynamischeSpielebei unvollkommenerIn-formation 955.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Modikation des Losungskonzepts bei dynamischen Spielen bei unvollkomme-ner Information. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.1 Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.2 AndereGleichgewichtskonzeptebeidynamischenSpielenmitunvoll-kommener Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3 Signalspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3.1 Problemstruktur und Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3.2 Mogliche Gleichgewichte eines Signalspiels. . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4.1 Allgemeine Charakterisierung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4.2 Screening auf dem Versicherungsmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5.1 Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt (Spence 1973) . . . . . . . . . . . . 1075.5.2 Geldpolitik IV: Das Barro-Gordon-Modell bei unbekannter Inations-aversion der Zentralbank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 Verhandlungen 1156.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2 Methodische Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Nicht-kooperative Verhandlungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.1 Verteilungsspiel I: Endlicher Zeithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.2 Verteilungsspiel II: Unendlicher Zeithorizont, Rubinstein-Spiel . . . . . 1196.3.3 Die Einbeziehung von Auenoptionen im Rubinstein-Spiel . . . . . . . 1226.4 Kooperative Verhandlungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124INHALTSVERZEICHNIS v6.4.1 Die Nash-Verhandlungslosung (Verteilungsspiel III) . . . . . . . . . . . 1246.4.2 Eine unschone Eigenschaften der Nash-Verhandlungslosung: Glaubi-gerverhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4.3 Die Kalai-Smorodinsky-Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.5.1 Lohnverhandlungen I: Verteilung von Renten in einem endlichen Spiel 1306.5.2 Lohnverhandlungen II: Die Nash-Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5.3 Wie funktionieren Ehen und WGs? Die Perspektive der kooperativenHaushaltstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367 Auktionen 1417.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Grundlegende Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.1 Wert und Bewertung einer Auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.2 Auktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3Aquivalenzeigenschaften von Auktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.4 Winners curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.5 Erweiterungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.5.1 Multi-Unit-Auktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.5.2 Komplementaritaten bei multi-object auctions . . . . . . . . . . . . . 1527.5.3 Multi-object auctions ohne Komplementaritaten: Die Moglichkeit ei-nes Zielkonikts zwischen Ezienz- und Einnahmenziel . . . . . . . . 1527.5.4 Multi-object auctions und Bieterkollusion . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5.5 Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548 Koalitionsspiele 1578.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2 Grundlegende Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2.1 Kooperative Mehrpersonenspiele ohne Koalitionsbildung. . . . . . . . 1578.2.2 Koalitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.2.3 Transferierbarer Nutzen, die charakteristische Funktion und ein Beispiel1598.2.4 Der Shapley-Shubik-Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.3 Losungskonzepte f ur Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.3.1 Imputationsmenge eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.3.2 Der Kern eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.3.3 Der Shapley-Wert eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.4 Weitere Bei-(Spiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169vi INHALTSVERZEICHNISTabellenverzeichnis2.1 Anwendung der Charakteristika auf drei Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Lotterie A und B, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Lotterie C und D, Teil 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Lotterie A und B, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Lotterie C und D, Teil 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1 Battle of the sexes: Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte uber zwei Runden . 794.2 Der qualitative Einuss der dynamischen Struktur im Stackelberg-Duopol . . 857.1 Zahlungsbereitschaften dreier Bieter f ur jeweils drei Einheiten eines Gutes . . 1527.2 Zahlungsbereitschaften von zwei Bietern (A und B) f ur zwei Produkte (1 und2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.3 Auktionserlose f ur die UMTS-Lizenzen je Einwohner . . . . . . . . . . . . . . 1558.1 Koalitionsmoglichkeiten bei 4 Spielern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2 Ein Drei-Personen-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.3 Drei charakteristische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.4 Strategiewahl einer Zweier-Koalition unter Verwendung des Minimax-Kriteriums1618.5 Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei defensivem Verhalten . . 1628.6 Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei rationalen Drohungen . . 1628.7 Wie machtig sind die einzelnen Fraktionen im Dt. Bundestag? . . . . . . . . . 1638.8 Die Ermittlung des Shapley-Shubik-Index f ur die Fraktionen des Dt. Bundestags165viiviii TABELLENVERZEICHNISAbbildungsverzeichnis2.1 Strategische Interdependenz in einem Tripol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Ergebnisraum im Paradiesspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Ergebnismatrix im Paradiesspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Spielbaum des Paradiesspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Der Spielbaum f ur Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Instrumentenrationalitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Auszahlungen f ur zwei Lotterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 Das Zustandspraferenz-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10Das Maximum-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11Das Erwartungswert-Kriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13Das Erwartungsnutzen-Kriterium bei Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . 222.14Das St. Petersburg-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.15Battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.16Die extensive Form von battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.17Normalform von Gemeinsame Schatzsuche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.18Koalitionsform von Gemeinsame Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.19Seeschlacht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.20Das Dilemma des Samariters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1 Systematik der nichtkooperativen Spieltheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Die Informationsmengen bei battle of the sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Die Normalform des Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Arbeiter und Unternehmer im Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Das Gefangenendilemma bei der Bereitstellung oentlicher G uter . . . . . . . 493.7 Die Normalform-Darstellung von matching pennies . . . . . . . . . . . . . . . 503.8 Die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler in matching pennies . . . . . . . 513.9 Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien f ur matching pennies . . . . 523.10Die Fixpunkteigenschaft der Reaktionsfunktion in einem 2-Personen-Spiel . . 543.11Das Cournot-Duopolmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.13Das Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1 R uckwartsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 R uckwartsinduktion bei battle of sexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 R uckwartsinduktion bei einem Kartenspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Das chain store paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Die extensive Form des Marktzutrittspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 Das Marktzutrittspiels und die Glaubw urdigkeit einer Drohung . . . . . . . . 724.7 Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73ixx ABBILDUNGSVERZEICHNIS4.8 2 Spieler, 2 Strategien, 2 Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.9 Strategien bei 2x2x2 Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.10Das wiederholte Marktzutrittspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.11Ergebnismatrix Battle of the sexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.12Battle of the sexes: Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischen Strategien . 784.13Gleichgewichte in Battle of the sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.14Normalform eines Gefangenendilemmas mit zusatzlichem Nash-Gleichgewicht 804.15Auszahlungsmatrix eines Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.16Timing im Stackelberg-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.17Timing im Stackelberg-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.18Qualitative Eigenschaften eines Stackelberg-Gleichgewichts . . . . . . . . . . 894.19Qualitative Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . 905.1 Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . . . . . . . . 975.2 Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . . . . . . . . 995.3 Normalform des Teilspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Struktur eines Signalspiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Screening auf dem Versicherungsmarkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.6 Screening auf dem Versicherungsmarkt bei zwei Vertragsoptionen. . . . . . . 1065.7 Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.8 Timing im Modell von Vickers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.1 Das Verteilungsspiel: splitting the pie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Endliche sequentielle Verhandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3 Unendliche sequentielle Verhandlung: Das Rubinstein-Spiel . . . . . . . . . . 1206.4 Losungen des Rubinstein-Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5 Das Rubinstein-Spiels mit Auenoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.6 Ergebnisraum f ur das Rubinstein-Spiel mit Auenoptionen . . . . . . . . . . . 1236.7 Das Rubinstein-Spiels mit Auenoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.8 Die Irrelevanz der Forderungshohe im Glaubigerspiel . . . . . . . . . . . . . . 1276.9 Die Nicht-Monotonizitat der Nash-Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.10Die Kalai-Smorodinsky-Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.11Nash- und Kalai-Smorodinsky-Losung bei Glaubigerverhandlungen . . . . . . 1306.12Lohnverhandlungen zwischen Belegschaft und Management . . . . . . . . . . 1316.13Abwechselnd teilspielperfekte Forderungen in den Lohnverhandlungen . . . . 1336.14Timing im Zeuthen-Nash-Jackmann-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.1 Vier Auktionsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2 The winners curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3 Die Besonderheit der UMTS-Auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Kapitel1LiteraturhinweiseDie Vorlesung folgt nicht stur einem bestimmten Lehrbuch - was die Existenzberechtigungdieses Skripts ist. Dies ist deshalb der Fall, weil kein auf dem Markt verf ugbares Buch sowohleine fundierte Darstellung der methodischen Grundlagen der Spieltheorie als auch eineBehandlung der (wirklich interessanten) AnwendungendieserMethoden gibt.Daher wird dem Einsteiger in dieses Fach aus den verf ugbaren Lehrb uchern der immen-seNutzenunddieweitgehendeDurchdringungdeswirtschaftswissenschaftlichenTheorie-geb audesdurchdieseMethodenichtwirklichdeutlich. ImGegensatzdazuversuchtdieseVorlesung, gerade auch spieltheoretische Anwendungen in der makrookonomischenTheoriezuvermitteln. DiesentsprichtnichtnurdenkomparativenVorteilendesVerfas-sers dieses Skripts, sondern soll dazu dienen, zu zeigen, wie die Entwicklung der Spieltheo-riedieArt desNachdenkens uber makrookonomischePhanomeneverandert hat. Umsoviel vorwegzunehmen: Dieser Einuss spieltheoretischer Methoden war und ist immens. Soist es beispielsweise schwer vorstellbar, dass sich ohne die Ergebnisse einer spieltheoretischfundiertenTheoriederGeldpolitikdieZentralbankenrundumdenGlobusseitMitteder1980er Jahre eine deutlich starkere Orientierung am Ziel der Preisstabilitat zu eigen gemachth atten.AhnlichbedeutsameImpulsedurchspieltheoretischeMethodenerfuhrbspw.auchdie Arbeitsmarkttheorie. All diese Entwicklungen sind in den gangigen Lehrb uchern kaumnachvollziehbar.DennochseiendiefolgendenB ucher f ur diebegleitendebzw. erganzendeLekt urezudieser Veranstaltung empfohlen:Avinash Dixit, Barry Nalebu: Thinking strategically. The Competitive Edge in Busi-ness, Politics, and Everyday Life, New York: W.W. Norton, 1991.Dieses Buch liegt auch als deutscheUbersetzung vor:AvinashDixit, BarryNalebu: Spieltheorief urEinsteiger. StrategischesKnow-howf ur Gewinner, Stuttgart: Schaer-Poeschel-Verlag, 1997.Das Buch bietet rein verbale Beschreibungen vieler (Bei-) Spiele und vermittelt einenguten Eindruck in die Denkweise der Spieltheorie und von der Breite der Anwendbar-keitdieserIdeenwobeiallerdingsnurwenigAnwendungenaufmakrookonomischeFragestellungen angesprochen werden. Weil jedoch jede formale Beschaftigung mit derMethode gemieden wird, eignet sich das Buch nicht zur Nacharbeitung des Vorlesungs-stos.Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einf uhrung in die Spieltheorie, Heidelberg: Springer-Verlag, 6. Auage, 2006.DiesesBuchbieteteinegute,undteilweisesehrformaleundnichtleichtverdaubareUbersicht uberdieSpieltheorie.VorallemdiekooperativeSpieltheorieisthierrechtausf uhrlich abgehandelt.12 KAPITEL1. LITERATURHINWEISEEric Rasmusen:Games and Information, Malden/MA: Blackwell, 3rd. ed., 2001.Rasmusen bietet eine sehr gut lesbare und didaktisch auerst empfehlenswerte Einf uhrungauf relativ hohem Niveau. Als eines der wenigen Lehrb ucher bietet Rasmusen auch einKapitel zu Auktionen an. Es fehlt allerdings die Behandlung der kooperativen Spiel-theorie.Robert Gibbons:A Primer in Game Theory, Harlow: Pearson Education, 1992Hier werdenamehestendierelevantenAnwendungender Spieltheorieprasentiert.Insgesamt eines der didaktisch besten B ucher zur nicht-kooperativen Spieltheorie. Ko-operative Spieltheorie und die Verhandlungstheorie werden nicht behandelt.Die Liste dieser Empfehlungenist notwendigerweise selektivunddamit auchetwaswillk urlich. Gerade auf dem Markt f ur englischsprachige Lehrb ucher ndet sich eine groeZahlausgezeichneterTextezurSpieltheoriediesemGebiet.AbgesehenvomgewahltenNi-veauder formalenDarstellungunterscheidensichdieseTexteinsb. inder Auswahl derAnwendungsbeispielesowieinderAuswahl derTeile, die uberdieKapitel 2bis5dieserVorlesunghinausgehen. DiegrundlegendenKonzeptesindjedochtrotzeiner bisweilennichtimmerleichtzuentwirrendenUnterschiedlichkeitinderexaktenBegrisverwendung uber verschiedene Autoren hinweg weitgehend kanonisiert, womit verschiedene Lehrb ucherdurchaus gut gegeneinander substituierbar sind.Kapitel2Einf uhrung:ElementederSpieltheorie2.1 LernzieleEin Spiel gehort zu den Dingen, von denen bereits ein Kleinkind eine ziemlich konkreteVorstellunghat.Daheristesvielleicht uberraschend,ausgerechtineinerrelativspeziellenVeranstaltung im Hauptstudium auf eine Veranstaltung mit dem Titel Spieltheorie zu sto-en. In diesem einleitenden - allerdings recht umfanglichen - Kapitel geht es daher zunachstum die Inhalte und die wesentlichen Begrie der Spieltheorie. Im Einzelnen soll Ihnen diesesKapitel Vorstellungen davon vermitteln,welche Besonderheit die Spieltheorie relativ zu anderen Theoriezweigen aufweist, kon-kret, dass es auf einer sehr allgemeinen Ebene immer um die Analyse strategischerInterdependenz geht;was genau die (formalen) ElementeeinesSpiels sind;dass die Anwendungsbereiche der formalen Spieltheorie nicht nur Fragestellungender Volkswirtschaftslehre betreen, sondern wesentlich weitergehend sind;welche grundlegenden (und n utzlichen) Klassikationen von Spielen in der Literaturvorgenommen werden;was die nutzentheoretischen Grundlagen der Spieltheorie sind und dass es diese uberhaupt braucht;welchenStellenwertdasRationalitatspostulatf urdieAkteureinderSpieltheoriebesitztundinwieferndiesesPostulateinen utzlichebzw. realitatsnaheAnnahmedarstellt;welche alternative (formale) DarstellungenvonSpielen es gibt;welche grundsatzlichen Losungsstrategien f ur ein Spiel (unter verschiedenen Vor-aussetzungen) es gibt bzw. wie Losungen eines Spiels charakterisiert werden konnen.2.2 WasistSpieltheorie?Game theory is concerned with the actions of decision makers who are consciousthat their actions aect each other.(Rasmusen, 2001, p. 11)34 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEGame theory is everywhere these days.(Hargreaves Heap/Varoufakis, 1995, p. 1)In diesem ersten Unterabschnitt wollen wir uns zunachst vor Augen f uhren, was Spiel-theorie uberhauptist. Dazubetrachtenwirzunachstin2.2.1daszentraleElementspiel-theoretischer Situationen, das Vorliegen strategischer Interdependenz. Eine etwas formalereAuistung der Elemente eines Spiels 2.2.2 schliet sich an, bevor in den Abschnitten 2.2.3und 2.2.4 zwei (Bei-) Spiele analysiert werden.2.2.1 ModellierungstrategischerInterdependenzIm volkswirtschaftlichen Grundstudium wird man fast ausschlielich mit zwei sehr speziellenAnnahmen uber Marktformen konfrontiert, namlichder vollstandigen Konkurrenzdem unilateralen Monopol (in aller Regel: Angebotsmonopol)Obgleich diese Marktformen denkbar gegensatzlich sind, haben sie doch eines gemeinsam:Das Angebotsverhalten der einzelnen Akteure kann relativ einfach modelliert werden, weilAspekte strategischer Interdependenz wegfallen:Im Fall vollstandiger Konkurrenz sind es so viele Akteure, dass das Verhalten des Einzel-nen f ur die jeweils anderen (annahmegema) keine Rolle spielt. Also wird jede(r) Einzelnedas Verhalten der anderen als Datum hinnehmen, das von ihm oder ihr nicht beeinussbarist. Insbesondere der Preis einer Ware ist f ur den Einzelnen Akteur ein Datum, da die vonihm produzierbare Menge nur den sprichwortlichen Tropfen auf den heien Stein ausmachtund daher den Marktpreis nicht zu beeinussen vermag. Daher spricht man auch von denAnbietern bei vollstandiger Konkurrenz von Preisnehmern bzw. von Mengenanpassern.Im Fall des Monopols ist das noch einfacher zu verstehen, da hier nur ein Akteur uber-haupt auftritt. Dieser kann (gegeben die Nachfragefunktion f ur das entsprechende Produkt)frei wahlen, insbesondere kann er auch den Preis nach Belieben (also gewinnmaximal) setzen.Daher spricht man von einem Angebotsmonopolisten als einem Preissetzer.In vielen Markten besteht aber eine Situation, in der eine noch uberschaubare Mehrzahlvon Anbietern auftritt. Da die Anbieter um die gleichen Nachfrager konkurrieren, wird ihrVerhalten nicht nur von der Nachfrageseite (Lage und Steigung der Nachfragefunktion) undderbetrieblichenKostenfunktionabhangen, sondernauchvomVerhaltenderanderenAnbieter. Da dies f ur alle Anbieter gilt, spricht man von einer Situation strategischer Inter-dependenz:DasindividuelloptimaleVerhaltenhangtvomVerhaltenderanderenAkteureab. Wenn sich eine solche Situation auf die Angebotsseite von Markten bezieht, spricht mandabei von Oligopolen.Abbildung 2.1 verdeutlicht dies f ur das Beispiel eines Tripols.Anbieter1Anbieter2 Anbieter3Abbildung 2.1: Strategische Interdependenz in einem TripolBei mehralseinem, abernichtsehrvielenAnbieternhangtdasVerhaltenjedenAkteursvom Verhalten der jeweils anderen Akteure ab. Man spricht dabei von strategischer Inter-dependenz.Im Gegensatz zur Charakterisierung von Markten unter vollstandiger Konkurrenz oderimFall einesAngebotsmonopols, liefertdieAnalysevonOligopolenkeineeindeutigen2.2. WASISTSPIELTHEORIE? 5Ergebnisse, da hier sehr viel darauf ankommt, exakt wie die strategische Interdependenzaussieht. SomachtesbeispielsweiseeinenenormenUnterschied, obdieOligopolistenmitihren jeweiligen Mengen (Mengenwettbewerb; Cournot-Losung), oder aber mit den Preisen(Preiswettbewerb; Betrand-Losung)aufeinanderreagieren. Wennmannichtapriori eineVorstellung davon hat, welches Szenario realistischer ist, ist die einzige Aussage, die die Oli-gopoltheorie treen kann, dass die Losung zwischen der Konkurrenz- und Monopollosungliegt was nicht gerade eine sehr scharfe Aussage ist.Wir werden diese Modellierungen in spateren Abschnitten der Vorlesung genau kennenlernen, konnen aber hier bereits festhalten, dass die Analyse von Situationen mit strategi-schen Interdependenzen haug keine eindeutige Losung hat, sondern dass solche Situationendurchaus auch mehrere plausible Losungen aufweisen konnen.DasMerkmalderstrategischenInterdependenzkannauchbenutztwerden,umsichzuverdeutlichen, dass Spiele im umgangssprachlichen Wortsinn genau dieses auch oft bein-halten. Beispiele daf ur sind:Schach ( uber dessen Eigenschaften sogar eines der ersten Ergebnisse der Spieltheorieformuliert wurde, namlich Zermelos Theorem, vgl. Abschnitt 2.7.2 auf Seite 36)Monopoly (das falschlicherweise so heit, weil der ganze Spa daher r uhrt, dass es sichumOligopolsituationenhandelt-nichtumsonstendetjadasSpielspatestensdann,wenn sich ein(e) Monopolist(in) herausgestellt hat)Fuball (washiergenanntwerdensoll, umsofortdenPunktzuverdeutlichen, dasseine noch so gewiefte und fachkundige Analyse aller Regeln und AusgangsbedingungenzwarzueinemfundiertenTip,nichtabernichtzunotwendigerweisezurPrognosedes richtigen Ergebnisses f uhren muss)Patience (Spiel gegen die Natur)2.2.2 ElementeeinesSpielsDie Charakterisierung jedes Spiels kann letztlich auf die folgenden zentralen Elemente zur uck-gef uhrt werden:Die Menge der Spieler i I mit I = {1, 2, . . . , I}.1Als Spieler werden nur die aktivamSpiel beteiligtenAkteurebezeichnet. BisweilenndensichauchSituationen, indenen die Natur irgend eine Zufallsentscheidung trit (bspw. ob nach der Gr undungeines Unternehmens gleich eine Rezession auftritt oder nicht). Man spricht in diesemZusammenhang dann auch von einem (oder mehreren) Pseudospielern.Beispiele: Der am haugsten analysierte Fall ist ein 2-Personen-Spiel mitI= {1, 2},wof ur Schach ein Beispiel ist. Bei der Analyse eines Tripols ist I = {1, 2, 3}. Die Naturals Pseudospieler tritt in jedem Kartenspiel auf, da hier die Karten zufallig gemischtwerden. DaherwerdenSpielewiebeispielsweiseSolitaire(I= {1})auchalsSpielegegen die Natur bezeichnet.DieStrategiemengen (reine Strategien - das sind eindeutig denierte Aktionen imGegensatzzuzufalligenKombinationenvonreinenStrategien,diegemischteStrate-gien genannt werden)Si, die jedem der Spieler zur Verf ugung stehen. Die Strategieselbst(si Si)-alsodieWahl ausderStrategiemengeistletztlichdasErgebniseiner spieltheoretischen Analyse und speziziert, welche Aktion jeder Spieler zu jedemZeitpunktvordemHintergrundseinesInformationsstandeswahlt.EinwichtigerBe-standteil der Strategiemengen ist,welchen Zugman wann machen kann, d.h.ob der1Dassf urdieMengeundderenGroe-unddamitderenletztesElement-dasgleicheSymbolverwendetwerdenisteinehaugbenutzteKonventionundwirdhierbenutzt, solangediesnichtzuKonfusionAnlassgibt.6 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEoder die andere(n) Spieler mit ihren Aktionen vor oder nach einer moglichen eigenenAktion ziehen d urfen.Beispiele: Im Schach besteht die Strategiemenge aus den Regeln nach denen jede derFiguren ziehen darf und aus der Tatsache, dass nach der Eronung durch Wei immerabwechselnd gezogen werden muss. Bei der Cournot-Losung des Oligopol-Modells sinddiesdieAusbringungsmengender einzelnenUnternehmen, bei der Betrand-Losungdie Preise. Hier sind die die Strategievariablen also stetig variierbar. Oft - und gleichinAbschnitt2.2.3-betrachtenwiraberauchSituationen,indenendieStrategieva-riabledichotomist,beispielsweisekanneinMarkteintrittsspielimeinfachstenFallspeziziert werden mit den Handlungsoptionen eintreten und nicht eintretenDie Auszahlungsfunktionen(payofunctions) ui (s) aller Spieler, die nat urlichabhangenvondenausderStrategienmengeSitatsachlichgewahltenStrategienal-lerISpielers = {s1, s2, . . . , sI}.Beispiele: Bei Schachgibt es einfachnur dieDreiteilung: Sieg, Niederlage, Remis.Bei anderenSpielenkanndasRemissogarwegfallen. HaugisteinfachderGewinn(bei Oligopolmodellen) bzw. dessen Nutzen die relevante Auszahlungsfunktion.Uberdie Anforderungen an die Auszahlungsfunktion werden wir uns noch in Abschnitt 2.4naher unterhalten.Schlielich ist derInformationsstandderSpieler von entscheidender Bedeutung.HaugwirdhierdieAnnahmegetroen, dassalleSpielerjeweilsallederdrei obengenannten Merkmale des Spiels kennen (und dass alle wissen, dass alle alles wissen).Allerdings wird haug ein Spiel gerade dadurch interessant, dass bestimmten Akteu-ren bestimmte Informationen nicht vorliegen. Als Beispiele seien genannt: Lohnsetzerkennen nicht das Ausma der Inationsaversion der Zentralbank; Arbeitgeber kennennicht die genaue Qualikation bzw. Leistungsfahigkeit eines Bewerbers. Abschnitt 5.4auf Seite 104 nimmt diese Beispiele genauer unter die Lupe.2.2.3 AnwendungsbereichederSpieltheorie, oder: WarumdasPa-radiesmitdemS undenfallendenmussteSince God does not always get His way, He can properly be viewed as a parti-cipant, or player, in a game(Brams, 2003, p. 5)Die Spieltheorie ist letztlich eine Analysemethode und als solche oen f ur Anwendungenaus allen moglichen Bereichen. Daher kann die Spieltheorie auch alsHilfswissenschaftandererDisziplinenverstandenwerden. EinzigeVoraussetzungf urdieAnwendbarkeitderSpieltheorie ist, dass die zu analysierende Situation eine strategische Interaktion von Spielernbetrachtet.EinigeBeispiele(diekeineswegseineabgeschlosseneListedarstellen)helfendabei,denEinsatzbereich der Spieltheorie abzuschatzen.VWL: Modellierung der Interaktion von Geld- und Lohnpolitik, Analyse von (verschie-denen Arten von) LohnverhandlungenBWL: Wahl von Marketingstrategien, Modellierung des Verhaltens bei Auktionen (unddamit auch design der Auktionen)Politikwissenschaft: ParteienwettbewerbBiologie: Wettbewerb innerhalb und zwischen verschiedenen Populationen um knappeRessourcen (Wasser, Nahrung, Nistplatze, . . . )2.2. WASISTSPIELTHEORIE? 7Militar: (Strategische) Kriegsf uhrung; Kalter Krieg1Religionswissenschaft:DieBibelenthalt-wiealleinteressantenB ucher-eineganzeReihe von Geschichten, die mehr oder weniger komplexe Entscheidungssituationenbeinhalten. Deren spieltheoretische Aufarbeitung ist Gegenstand des Buches von Ste-ven J. Brams (2003) - und eine empfehlenswerte und spannende Lekt ure.Als Verdeutlichung der universellen Einsetzbarkeit der Spieltheorie gehen wir zur uck zum(biblischen) Beginn der Welt und analysieren die wahrscheinlich allgemein bekannte Situa-tion, diezumS undenfall undzurVertreibungausdemParadiesf uhrte. EinwenigSpiel-theorie hilft zu verstehen, warum vor dem Hintergrund der biblisch belegten bzw. begr und-barenPraferenzenderbeteiligtenAkteureletztlichgarnichtsanderesalsdieVertreibungvonAdamundEvaausdemParadiesherauskommenkonnte.2GleichzeitigvermitteltdasBeispiel einehilfreicheAnwendungderimletztenAbschnittvorgenommenenallgemeinenCharakterisierung eines Spiels.DieSpieler:Die Situation wird dargestellt als ein 2-Personenspiel zwischen Gott auf der einen Seite undAdam und Eva auf der anderen Seite.3DieStrategienmengen:Gott: Gott kann nat urlich alle Parameter frei wahlen. Bevor das hier zu analysierendeSpiel beginnt, hat er sich aber bereits entschieden, dass er einen Menschen mit freiemWillen einer willenlosen Marionette vorzieht. Gegeben, dass also Adam und Eva ubereinen freien Willen verf ugen, kann Gott wahlen, ob er den beiden verbietet, die FruchtvomBaumder Erkenntnis zuessenoder ober dieses Verbot nicht ausspricht. Erentschied sich bekanntermaen f ur das Verbot, denn vom Baum der Erkenntnis vonGut und Bose darfst du nicht essen; denn sobald du davon isst, wirst du davon sterben(Gen 2,17). Wir unterscheiden daher die beiden folgenden Moglichkeiten: verbietenund nicht verbieten.AdamundEva: Unabhangig von dem Verbot, haben sie die Moglichkeit, vom Baumder Erkenntnis zu essen oder nicht zu essen.Durch die 2x2 Aktionsmoglichkeiten eronen sich vier denkbare Ergebniskonstellationen,die in Abbildung 2.2 auf der nachsten Seite einfach mit romischen Zahlen durchnummeriertwerden.DiesenvierdenkbarenErgebnissenm ussennunnochNutzenwertederAkteurebeige-messen werden.1Die Spieltheorie wurde bereits sehr fr uh f ur militarische Zwecke eingesetzt, so hat auch einer der wichtig-sten Spieltheoretiker - der Nobelpreistrager John Nash - f ur das amerikanische Militar gearbeitet. Auch einerderdrei NobelpreistragerdesJahres2005- ThomasSchelling- bekamdenPreisf urdiespieltheoretischeDurchdringungeinesmilitarischenProblems,namlichdeskaltenKrieges.2DasBeispielistentnommenausBrams(2003),ch.2.3Nat urlich ist die Zusammenfassung von Adam und Eva eine Vereinfachung, die wir aber zunachst akzep-tierenwollen.Selbstverst andlichistauchdieInteraktionzwischenAdamundEvaeinerweiterenspieltheo-retischenAnalysezuganglichundauchdieSchlangekannmiteinbezogenwerden.F urDetailsseiaufdasangegebeneBuchvonBramshingewiesen. (ImUbrigenistderBibel zuentnehmen, dasssichAdambeimParadiesspiel rechtpassivverhielt. NachdemsichEvavonderSchlangehatverf uhrenlassenundvonderverbotenenFruchtgegessenhatte,heitesinGen3,6etwaslapidar:SiegabauchihremMann,derbeiihrwar,undauchera.)8 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEAdamundEvanichtessen essenverbietenGottnichtverbietenI IIIII IVAbbildung 2.2: Ergebnisraum im ParadiesspielJededenkbareKombinationvonAktionenderSpielerf uhrtzueinemmoglichenErgebnisdes Spiels. Bei 2x2 Aktionen sind dies vier Moglichkeiten.DieAuszahlungfunktionen:UberNutzenfunktionenberichtetdieBibelnuretwaszur uckhaltend,dennochkonnenwirdie folgenden Reihungen aufstellen:Gott fande es am besten, wenn Adam und Eva nicht vom Baum der Erkenntnis essen,ohne dass er dies verbieten und mit dem Ausschluss aus dem Paradies drohen m usste.So w urde ihm die Drohung erspart bleiben und dennoch nach seinem Willen gehandeltwerden. Schon etwas weniger gut ist, wenn Adam und Eva zwar nicht essen, aber nurdeswegen, weil er gedroht hat.1Noch weniger zufrieden ware Gott, wenn er zwar dasVerbot ausspricht, Adam und Eva aber dennoch essen. Und das f ur Gott schlechtesteResultat moge sein, dass er das Verbot nicht ausspricht und Adam und Eva vom Baumder Erkenntnis essen.2F ur Gott gilt also, dass IIIIIIIV. Wir konnen diesenSituationen Auszahlungen (Nutzenwerte) in Hohe von 4, 3, 2 und 1 beilegen. F ur dieLosung des Spiels gen ugt es jedoch, wenn die die Auszahlungen als ordinale Reihungverstanden wird, eine kardinale Interpretation ist nicht zwingend erforderlich.AdamundEvahingegenfandenes nat urlichambesten, wennsievomBaumderErkenntnis essen konnten ohne dabei gegen ein gottliches Verbot verstoen zu m ussen.Das zweitbeste Resultat ware f ur sie, der Versuchung auch gegen ein gottliches Verbotnachzugeben - Erkenntnis ist schlielich ein hohes Gut und verbotene Fr uchte warenschon immer s u. Schlechter sind f ur Adam und Eva alle Situationen, die mit nichtessen assoziiert sind. Wenn Gott das Verbot auferlegt, konnen sie sich wenigstens amWohlgefallen Gottes freuen, was die Situation f ur sie noch besser macht als wenn sieohne Verbot auf den Genuss der Frucht verzichten. F ur Adam und Eva gilt also IV IIIIII. Auch hier konnen wir den Situationen (in der genannten Reihenfolge) dieNutzenwerte 4, 3, 2 und 1 zuordnen.Dies f uhrt zu der Ergebnismatrix in Abbildung 2.3 auf der nachsten Seite.Ein genauer Blick auf die Ergebnismatrix zeigt, dass die Interessen genau entgegengesetztsind, wobei inallenSituationendieAuszahlungssummengleichhochsind. Einesolche1DieseReihenfolgeistvielleichtnichttheologischzwingend, dahinterstecktaberdieIdee, dassGottesschatzenw urde,wenndieMenschendasgew unschteVerhaltenausvolligfreienSt uckenandenTaglegten.2AuchdieseReihenfolgeistnichtzwingend, aberzurechtfertigen. Mankannsichvorstellen, dassGottimletztenFall(FallIV)esbereuenw urde,dieBeschrankungnichtausgesprochenzuhabenundAdamundEvavolligungewarntinsVerderbenrennenlie.2.2. WASISTSPIELTHEORIE? 9AdamundEvanichtessen essenverbietenGottnichtverbieten(3,2) (2,3)(4,1) (1,4)Abbildung 2.3: Ergebnismatrix im ParadiesspielDieersteZahl gibtjeweilsdieAuszahlungf urGott, diezweiteZahl dieAuszahlungf urAdam und Eva an.Situation wird als Konstantsummenspiel bezeichnet.1Es ist zu beachten, dass daf ur dieNutzenwertederSpielerzwischenSituationenundSpielernnumerischverglichenwerdenm ussen. Damit wird einekardinaleMessbarkeitvonNutzen unterstellt. F ur eine nurordinale Nutzenmessung kann man nicht von einem Konstantsummenspiel sprechen.InformationsverteilungundTiming:AlsletztesCharakteristikumsinddieAnnahmen uberdieInformationsverteilungunddasTiming der einzelnen Spielz uge zu benennen. Wir gehen hier von vollkommener Informationaller Ergebnisse und Konsequenzen bei allen Akteuren aus. Sowohl Gott als auch Adam undEva kennen also die Ergebnismatrix in Abbildung 2.3 und wissen, dass der jeweils andere sieauch kennt. Bzgl. der Reihenfolge der Spielz uge wird angenommen, dass Gott zuerst ziehtund erst dann Adam und Eva ihre Entscheidung treen konnen.Losung:Die gerade genannte Timing-Annahme kann in einem so genannten Spielbaum (game tree)zum Ausdruck gebracht werden. Dieser ist in Abbildung 2.4 auf der nachsten Seite zu sehen.MitHilfediesesInstrumentskonnenwirunsderLosungbereitsgutnahern. DaGottzuerst zieht, muss sein Kalk ul als erstes verdeutlicht werden.2Daf ur ist jedoch entscheidend,dass das Ergebnis auch davon abhangt, was Adam und Eva tun. Ein Blick auf den Entschei-dungsbaum zeigt Gott, dass auf Stufe 2 Adam und Eva immer die Option essen wahlenwerden egal was Gott in Stufe 1 tut.3Die Ergebnisse I und III sind also aus dem Rennen,es bleiben die Moglichkeiten II und IV. Gott sieht also, dass er sich die Auszahlungen 4 und3 zwar nicht sichern kann, durch die Auferlegung der Beschrankung aber immerhin noch 2(an Stelle von 1) erreichen kann. Also wird Gott in Stufe 1 die Aktion verbieten wahlenund Adam und Eva in Stufe 2 die Aktion essen. Und genau so steht es nat urlich auch inder Bibel.Damit haben wir das erste Spiel aufgeschrieben und gelost, wobei hier die Situation sogestaltetwar,dasssicheineLosungeindeutigableitenlie.ImVerlaufdesAbschnitts2.31DurchgeeigneteNormierungderAuszahlungenkonntemandasSpiel ineinsogenanntesNullsum-menspielumformen,waseinesehrwichtigeKategoriedarstellt.Vgl.Abschnitt2.3.3aufSeite13zudiesemPunkt.Zubeachtenist,dassdaf ureinkardinalesNutzenkonzeptvorausgesetztwerdenmuss.2DieseVorgehensweisewirdalsR uckwartsinduktionbezeichnet.3Mansollte sichdaranerinnern, dass Gott ineiner vorgelagertenEntscheidung sichbereits f ur dieSch opfungvonMenschenmitfreiemWillenentschiedenhat,diesalsooensichtlichgegen uberwillensfreienGesch opfenpraferierte.10 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEverbietennichtverbietennichtessenessenI(3,2)II(2,3)III(4,1)IV (1,4)nichtessenessenGott A&EAbbildung 2.4: Spielbaum des ParadiesspielsHier ist die Annahme sichtbar gemacht, dass Gott zeitlich bzw. logisch vor Adam und Evazieht.wird dieses Paradiesspiel als Beispiel f ur die unterschiedlichen Merkmale von strategischenInteraktionen (d.h. von Spielen) dienen.2.2.4 EindegeneriertesBeispiel: Ein-Personen-Spiel mitvollkom-menerInformation(Schatzsuche)UmdieBestandteileeines Spiels nochklarer zumachen, wirdindiesemAbschnitt eindenkbar einfaches Spiel analysiert (vgl. Gardner 1995, ch. 1.3). Es gibt nur einen Spieler,weshalbdasSpieldegeneriertistindemSinn,dassstrategischeInteraktionenkeineRollemehr spielen konnen.1Nennen wir diesen Spieler 1.Weiterhin gibt es vollkommene Information, d.h. der Spieler kennt alle relevanten Umstande.Das Spiel besteht darin, dass 1 ein Labyrinth betritt undentweder im Labyrinth gegen eine Wand stot, womit das Spiel mit einer Auszahlungvon Null beendet ist (einfach umkehren ist also nicht zulassig),oderamAusgangdesLabyrinthseinenSchatzndet,deneralsPreisdesWertsWerhalt.Nennen wird das Spiel daher Schatzsuche. Das (sehr ubersichtliche) Labyrinth ist inder folgenden Abbildung 2.5 auf der nachsten Seite zu sehen.DieSpielermengeistdamiteinfachgegebendurchI = {1}DieStrategienmengeistwiefolgtdeniert: InPunkta: S1a= {rechts gehen, links gehen}InPunktb: S1b={rechts gehen, links gehen}Die Auszahlungsfunktion f ur Spieler 1 istu1 =_W f urs1a =links gehen unds1b =rechts gehen0 sonstWie schon f ur das Paradiesspiel konnen wir auch f ur Schatzsuche einen Spielbaum auf-zeichnen. Dieser ist in Abbildung 2.6 auf der nachsten Seite gezeigt.DiePunkteaundbindemBaumbezeichnetmanalsKnoten; vondiesengehendieAste(oderKanten)aus, diedurchdieHandlungsoptionengegebensind. Gehtvoneinem1Wenn irgendwelche Informationsunvollkommenheiten f ur den einen Spieler bestehen, so spricht man voneinemSpielgegendieNatur.2.3. KLASSIFIKATIONVERSCHIEDENERARTENVONSPIELEN 11Eingang abAbbildung 2.5: SchatzsucheIn den Punkten a und b ist jeweils die Entscheidung rechts oder links zu fallen. Am Ausgangwartet der Preis.linksrechtslinksrechts00WAbbildung 2.6: Der Spielbaum f ur SchatzsucheKnoten kein Ast mehr nach rechts weiter, spricht man von einem Endknoten. Die Auszah-lungsfunktion weist jedem Endknoten einen bestimmten Wert zu.MansiehtauchhierdieLosungsofort. WennSpieler1dasLabyrinthkennt, wirdernat urlich die Strategie {s1a, s1b} = {links gehen, rechts gehen} wahlen. Dies ist unter dendrei generell denkbaren Kombinationen die einzige mit einer positiven Auszahlung.2.3 KlassikationverschiedenerArtenvonSpielenEin Blick in ein spieltheoretisches Lehrbuch kann leicht den Eindruck einer mehr oder we-niger gut geordneten Sammlung verschiedener (Bei-) Spiele erwecken. Um diesem Eindruckentgegenzuwirken, werden in diesem Abschnitt die f unf wichtigsten Charakteristika von Spie-len vorgestellt. Ein konkretes Spiel ist dann immer charakterisiert durch eine Kombinationdieser Charakteristika. In den folgenden f unf Unterabschnitten werden diese Merkmale vor-gestellt und kurz diskutiert, Abschnitt 2.3.6 auf Seite 14 klassiziert drei Spiele gema dieserKriterien.2.3.1 Kooperativevs.nicht-kooperativeSpieleDie Spieltheorie besteht zum weitaus uberwiegend Teil aus der Analyse non-kooperativer Si-tuationen. In diesen nicht-kooperativen Spielen wird angenommen, dass die SpielerstriktgegeneinanderspielenindemSinn,dasssiesichnichtf urdieAuszah-lungender anderenSpieler oder f ur eineTeilmengedieser Auszahlungenin-teressieren, sondernnurandeneigenenAuszahlungeneinInteressenehmen.DieMitspielersindalsonurinsoweitvonInteresse, alsderenAktionendieeigenenZieletangieren. Mit solchen Situationen werden wir uns auch in der Vorlesung im Wesentlichenbeschaftigen. Dies reektiert die Tatsache, dass die Theorie non-kooperativer Spiele deutlich12 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEbesser ausgebaut ist als die Theorie kooperativer Spiele.1InSituationenmit strategischenInteraktionenist es aber durchaus moglich, dass esKooperationenzwischeneinzelnenSpielerngibt. ImExtremfall istsogareineKooperati-onallerSpielermiteinanderdenkbar,wasdannwiederzueinemdegeneriertenSpiel(vgl.Abschnitt2.5aufSeite22)ohne(echte)strategischeInteraktionf uhrt.Beiallseitskoope-rationsfreudigen Oligopolisten spricht man von einem Kartell, das sich wie ein Monopolistverhalt. F ur solche Kartelle gibt es zahlreiche Beispiele, das bekannteste ist dasOlkartell derOPEC. Das entscheidende Merkmal kooperativer Spiele ist die Moglichkeit, dasseinzelneSpielerbindendeundglaubw urdigeVerhaltensank undigungen(commitments)machen konnen, die f ur ein kooperatives Gleichgewicht unerlasslich sind. Auf das Beispielder OPEC gem unzt heit dies, dass alle Teilnehmerlander sich auf eine Forderquote einlas-sen und auf diese verpichten m ussen. Wenn diese Selbstverpichtungen nicht glaubw urdigsind, bricht das kooperative Gleichgewicht zusammen - was bei Kartellen nicht gerade seltenauchinderRealitatderFallist. DerGrunddaf urliegtdarin,dassausgehendvoneinemkooperativenOptimumfastimmerAnreizef urdenEinzelnengibt,sichanderszuverhal-ten. Mit dieserUberlegung r uckt das Konzept der Glaubw urdigkeit in den Mittelpunkt desInteresses.Mit der Analyse der Moglichkeit, dass einzelne Spieler Koalitionen untereinander bildenkonnen, setztsichdieTheoriekooperativerSpieleauseinander, diewirinKapitel 8aufSeite 157 kennen lernen werden.DasParadiesspielausAbschnitt2.2.3auf Seite6isteinnon-kooperativesSpiel, dazwischen Gott sowie Adam und Eva keine Absprachen getroen werden. In dem Konstant-summenspiel kannesauchinsofernnichtzuKooperationkommen, alsdaswasdeneinenSpielerbesserstellt,denanderenimmerumdengleichenBetragschlechterstellt.Koope-rationistnamlichnurdannzuerwarten, wennsichdarauspotentielleVorteilef urbeideergeben konnen. In einem Konstantstummenspiel ist die per Konstruktion nicht der Fall. ImGegensatz dazu liegen f ur ein Kartell liegen die potentiellen Vorteile einer Kooperation aufderHand:DurchKooperationlassensichdieGewinnallerbeteiligtenAnbieterrelativzueinerSituationohneKooperationsteigern.DieinderPraxisbisweilensehr schwierig zu losende Frage ist dann nur noch die nach der Verteilung dieser Gewinne.2.3.2 Statische (strategic) vs. dynamische (extensive, sequen-tial)SpieleEineweiterewichtigeKategorisierungistdiezwischenstatischenunddynamischenSpie-len.InstatischenSpielen2wahlenalleSpielerihreStrategiesimultanaus.Diesbedeutetinsbesondere, dass alleSpieler uberdasVerhaltenderjeweilsanderenSpielernurErwartungen bilden konnen, nicht aber deren Verhalten als gegeben und damitunabhangig vom eigenen Verhalten annehmen konnen. Davon geht man beispiels-weise in Modell des Cournotschen Duopols aus: Man unterstellt, dass ein jeder Duopolistseinen Gewinn unter der Annahme maximiert, dass der jeweils andere Duopolist dies auchtut. Die jeweiligen Produktionsmengen werden aber simultan bestimmt.ImGegensatzdazuweisendynamischeSpiele3einevorgegebenezeitliche(oderlogische)ReihenfolgederSpielz ugeauf.1InderRealitatndetsichofteineMischungzwischenkooperativenundnicht-kooperativenVerhaltens-weisenvor.InderManagementliteraturwurdedaf urbereitsdasKunstwortco-opetion(alsSyntheseausco-operationundcompetition)geschaen.2Hier gibt es wie so oft in der Spieltheorie leider keine einheitliche Begrisverwendung in der Literatur.Bspw. Osborne/Rubinstein(1994)bezeichnendiehiercharakterisiertenstatischenSpielealsstrategischeSpiele, in anderen Lehrb uchern wird auch von Spielen in Normalform gesprochen. Dies ist jeweils synonymmiteinander.3AuchhiergibteszweisynonymeBezeichnungsweisen:Osborne/Rubinstein(1994)sprechenvonexten-sivegames,andere(z.B.Gardner1995,partII)vonsequentialgames.2.3. KLASSIFIKATIONVERSCHIEDENERARTENVONSPIELEN 13So hat im Paradiesspiel Gott vor Adam und Eva gezogen, d.h. Adam und Eva konntendieEntscheidungverbietenbereitsalsDatuminihrEntscheidungskalk ul ubergehor-chen und nicht gehorchen einieen lassen. Im Beispiel des Duopols spricht man hier vonder so genannten Stackelberg-Losung. Diese Losung postuliert, dass ein Duopolist (derStackelberg-F uhrer)seinenGewinnmaximiertunterderAnnahme, dassderzweiteDuo-polist (Stackelberg-Folger) dies auch tut, dabei aber die Menge des ersten Duopolisten alsgegeben hinnimmt.Wir werden im Verlauf der Vorlesung auch Beispiele (Geldpolitik I und Geldpolitik II)aus der Makrookonomik kennen lernen, in denen die Implementierung einer zeitlichen Rei-henfolge von Spielz ugen einen ganz entscheidenden Einuss auf das Ergebnis hat.2.3.3 One-shotgamesvs.wiederholteSpieleUnabhangig davon, ob in einer Spielrunde die Akteure simultan oder in einer wohlspezizier-tenReihenfolgeihreSpielz ugedurchf uhren,kanndassobeschriebeneSpielalseinmaligesEreignis(one-shotgame)betrachtetwerdenoderaberdavonausgegangenwerden,dassdieses Spiel oft (oder sogar unendlich oft) gespielt wird.Die Losung des wiederholten Spiels muss dabei nicht notwendigerweise einer immer glei-chen Abfolge der Losung des one-shot games entsprechen. (Ist dies der Fall, ware auch dieUnterscheidung gleich uber ussig.) Der Grund daf ur besteht darin, dass es bei wiederholtenSpielen moglich ist, dass die Spieler voneinander lernen und sich bestimmte Reaktionsmustersignalisierenkonnen.EskannmithinzueinemAufbauvonReputationkommen,wasin einem one-shot game nicht moglich ist. Auch die Idee, dass man sich bewusst aus strate-gischen Erwagungen heraus Handlungsoptionen verbaut (tying ones hand oder burningbridges) kann nur im Kontext wiederholter Spiele einen Sinn ergeben.Beispiele:DieRelevanzeinessolchenReputationsaufbausliegtinganzunterschiedlichenBereichenauf der Hand. Genannt sei dieBeziehungzwischenLieferantenundKunden. Wennhier ein Lieferant den Kunden bei einer Transaktion nicht so weitgehend wie irgend moglichausquetscht, so ist dies nicht unbedingt reiner Altruismus, sondern kann als Reputations-aufbau mit dem Ziel des Abschlusses lukrativer Geschafte auch in der Zukunft verstandenwerden. Allerdings besteht dieser Anreiz nur dann, wenn davon ausgegangen werden kann,dass das Spiel zumindest potentiell ein wiederholtes Spiel ist.Ein h ubsches Beispiel daf ur, dass analoge Situationen wiederholt oder auch one-shotsein konnen, ist die Entscheidung uberdasGebenvonTrinkgeld bei einem Restau-rantbesuch. HierhatdieTatsache, obmanirgendworegelmaigwiederkommtundeinenguten Service erhalten mochte, oder auf der Durchreise ist, und das Restaurant voraussicht-lich nie wieder betritt, durchaus Einuss auf das Verhalten.Auch in der Theorie der Geldpolitik kann der Aufbau von Reputation eine ganz zentraleRolle spielen. Wir werden in der Anwendung Geldpolitik III darauf zur uckkommen.2.3.4 Nullsummenspielevs.SpielemitvariablenAuszahlungssum-menMitdemParadiesspielhabenwirbereitseinBeispiel f ureinNullsummenspiel kennengelernt. DasentscheidendeMerkmal f ureinNullsummenspiel istdasfolgende: IneinemNullsummenspiel addierensichinallendenkbarenEndknotendieAuszahlun-genallerSpieleraufNull bzw. zueinemkonstantenWert.1Mit anderen Worten:1Im Paradiesspiel addieren sich die Auszahlungen jeweils auf 5. Zieht man von jeder Bewertung einfach dieZahl 2,5ab, soandertsichnichtsanderordinal deniertenWertschatzungderEntscheidungsalternativen.DamitbleibenauchdieEntscheidungendiegleichen. DieAuszahlungenderSpieleraddierensichaberin14 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEDeseinenVerlustistdes(oderder)anderenGewinn, eshandeltsichalsoumeinreinesVerteilungsspiel. DieDarstellungvonNullsummenspieleningangigenLehrb uchernderSpieltheorieistrelativausf uhrlich,wasallerdingseherdogmengeschichtlichealsmaterielleGr undehat:DieAnalysevonNullsummenspielenwarnamlichindemdasFachpraktischbegr undenden Buch von John von Neumann und Oskar Morgenstern (1944) sehr prominent vielleicht auch deshalb, weil diese Spiele relativ einfach zu losen sind.GeradeinokonomischenKontextengehtesabersehrviel haugerumvariablesumgames1, d.h. nicht nur die individuellen, sondern auch die aggregierten Auszahlungen derAkteure hangen davon ab, welche Strategiekombinationen gewahlt werden.Beispielef urvariablesumgames:Als Beispiel moge wieder das aus dem Grundstudium bekannte Duopolmodell dienen. Hierist die Summe der Gewinne bei Kooperation (Kartell) hoher als bei Nicht-Kooperation. Aberauch bei Nicht-Kooperation, wenn also tatsachlich ein Zielkonikt zwischen den Duopolistenbesteht, ist der zusatzliche Gewinn des einen Anbieters nicht unbedingt identisch mit demdadurch verursachten zusatzlichen Verlust beim anderen Anbieter.2.3.5 Spielemitvollkommenerbzw.unvollkommenerInformationEine weitere wichtige Kategorisierung von Spielen bezieht sich auf die Informationslage derSpieler.DieweitestgehendeAnnahme uberdieVerf ugbarkeitvonInformationist,dassal-lerelevanteInformationallenSpielernzurVerf ugungsteht.InAbschnitt3.2aufSeite42wirddaraufnochdetailliertereinzugehensein. F urdenMomentsoll etwaslosefestgelegtwerden, dassmanvoneinemSpiel mitvollkommeneroderperfekterInformationspricht, wennalleSpieler bei jeder Entscheidunggenauwissen, inwelcher Situationsiesichbenden, welcheEntscheidungsalternativenzurVerf ugungstehen, ggf. wiedasSpielweitergehenwird(bzw. kann), undwelchesdieAuszahlungeninjedemEndknotensind.Prototypisches Beispiel daf ur ist Schach, aber auch das Paradiesspiel ist ein Spiel mit voll-kommener Information, daAdamundEvabei ihrer Entscheidungwissen, obsieeinemgottlichen Verbot unterliegen und auch die Konsequenzen ihrer Entscheidungsalternativenkennen. Fehlt irgendeinem Spieler an irgendeinem Punkt des Spiels ein Teil der Information,so spricht man von Spielenmitunvollkommener Information. Statische Spiele weisenperKonstruktioneinegewisseInformationsunvollkommenheitauf:DadieEntscheidungenaller Spieler simultan gefallt werden, wei der einzelne Spieler nicht (mit Sicherheit), welcheEntscheidungen die anderen jeweils treen. In der Literatur wird oft uber dieses MerkmalhinweggesehenundauchvonstatischenSpielenmitvollkommenerInformationgespro-chen. Damit die Einschrankung klar erkennbar bleibt, wird hier bei statischen Spielen, diekeinenweiterenInformationsbeschrankungenunterliegenvonstatischenSpielenbei an-sonsten vollkommener Information geredet. Deren Analyse ist Gegenstand von Kapitel 3.2.3.6 AnwendungAbschlieendsollendief unf Charakteristikaauf drei Spieleangewendet werden. Bereitshier behandelt wurde das Paradiesspiel, aus dem Grundstudium sind auerdem auch ohnegenaue spieltheoretische Charakterisierung das Cournot-Duopolspiel sowie die Kartelllosungbei einem Duopol bekannt.jedemEndknotenzuNull.1Im Deutschen wird daf ur bisweilen der Begri Positivsummenspiel gebraucht. Allerdings ist dies insoferneher irref uhrend, alsesauf dieUnterschiededer aggregiertenAuszahlungenanverschiedenenEndknotenankommt und nicht auf die Frage, welches Vorzeichen diese haben. Daher der etwas sperrige Begri variableAuszahlungssummeninderUberschrift.2.4. NUTZENUNDERWARTUNGSNUTZEN 15Spiel kooperativvs.non-kooperativstatischvs.dynamischone-shotvs.wiederholtkonstantevs.variableSummen-spielvollk.vs.unvollk.Infor-mationParadies-spielnon-kooperativdynamisch one-shot Nullsummen-spielvollk.InformationCournot-Duopolnon-kooperativstatisch one-shot (a) variableSummenansonstenvollk.Information(b)Kartell kooperativ statisch one-shot (a) variableSummenansonstenvollk.Information(b)Anmerkungen: (a) Einfache Lehrbuchdarstellungen analysieren ublicherweise ein one-shotgame.GeradedieKartelllosungkanndadurchstabilwerden,dasssichdieein-zelnenMitgliederineinemwiederholtenSpieleineReputationdaf uraufbauen,sichan die vereinbarten Quoten zu halten. Dies wird analysierbar im Kontext eines wie-derholten Spiels. Gleiches gilt f ur die strategische Interaktion von Anbieter in einemengen Markt ohne Kooperation. (b) Auch bez uglich des Informationsstands sind Va-riationen denkbar, bspw. Unsicherheiten der Anbieter uber die Nachfrageverhaltnisse, uber Kostenparameter etc..Tabelle 2.1: Anwendung der Charakteristika auf drei Spiele2.4 NutzenundErwartungsnutzenReason is, and ought only to be the slave of the passions, and can never pretendto any other oce than to serve and obey them.David Hume, Treatise on Human NatureAktionen im wirtschaftlichen Bereich oder auch dar uber hinaus konnen immer nur vor demHintergrund von Zielfunktionen modelliert werden. Das ganze Programm der Wirtschafts-wissenschaften kann verstanden werden als die Losung des zentralen Problems der Knapp-heit von Ressourcen. Wie genau diese knappen Ressourcen eingesetzt werden sollen, hangtnat urlich von den Praferenzen der Akteure ab.Auch die Aktionen in Spielen sind getrieben von den Zielen der einzelnen Akteure (sowieden Nebenbedingungen, die den Handlungsspielraum der Akteure denieren). Wir sprechenhier allgemein von Nutzenfunktionen. Im Paradiesspiel hatten wir f ur die beiden Akteure(Gott, Adam und Eva) ordinale Reihungen der moglichen Ergebnisse postuliert. Nat urlichhangt die Losung des Spiels von diesen unterstellten Nutzenfunktionen ab.DieAnforderungen, dieandieseNutzenfunktionenzustellensind, werdenimerstenTeilabschnitt 2.4.1 kurz beleuchtet. Daran schliet sich eine kurze Darstellung der Ber uck-sichtigung von Risiko ein wichtiges Element in fast allen realen Spielen an.2.4.1 AnforderungenanNutzenfunktionenEine Nutzenfunktion bewertet alle moglichen Ergebnisse (eines Spiels) in einer konsistentenWeise. DieseBewertungisteinenotwendigeBedingung, damitsicheinSpieler(odereineGruppevonSpielern)rational verhaltenkann.UberdieRationalitatsannahmewirdimfolgenden Abschnitt 2.5 noch einiges zu sagen sein, hier gen ugt es festzuhalten, dass damit16 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEMittel ZieleAbbildung 2.7: InstrumentennationalitatDiese verlangt den ezienten Einsatz der vorhanden Mittel zur Erzielung des hochstmogli-chen Zielerreichungsgrades.eineInstrumentenrationalitatgemeintist, d.h. derrationaleEinsatzvonverf ugbarenMittelnbeiderVerfolgungklardenierterZiele.(DieseZielfunktionenkonnendannEgo-ismus, Altruismus und Merkw urdigkeiten jeder Art enthalten.) Abbildung 2.7 macht daseinfache Denkmuster deutlich.FolgendeAnforderungensindandiePraferenzen, d.h. andenVergleichderdurchdiePraferenzordnung zu bewertenden G uter bzw. G uterb undel zu stellen:1. Reexivitat: F ur alle xi gilt, dass xixi. Diese Eigenschaft verlangt also, dass jedeszu bewertende Gut (oder G uterb undel) xi mindestens so viel wert ist wie es selbst undimpliziert nat urlich auch die intuitiv einsichtigere Eigenschaftxi xi.2. Transitivitat: F ur alle xi, xj und xk, f ur die gilt, dass xixj und dass xjxk mussauch gelten, dass xixk. Hierbei geht es um die logische Konsistenz von Praferenzen.3. Vollstandigkeit: F ur alle denkbaren Alternativenxi undxjgilt entweder, dassxi xjoder dassxixj. Mit dieser Anforderung wird sichergestellt, dass es keine durchdie Praferenzordnung nicht erfassten G uter(b undel) gibt.4. Kontinuitat: F ur alle xi, xj und xk, f ur die gilt, dass xixjxk muss es ein aus xiund xk zusammengesetztes Gut y geben, f ur das gilt, dass y xj, d.h. dass zwischen xjundy Indierenz besteht. Die Zusammensetzung vony kann dabei sowohl wortlichgenommen werden Teile der beiden G uter werden einfach kombiniert als auch imSinne einer Lotterie verstanden werden, die eines der beiden Teilg uter mit bestimmtenWahrscheinlichkeiten liefert.Die Eigenschaften (1) - (3) konstituieren eine wohldenierte Praferenzordnung aller Al-ternativen bei dem Individuum. Wenn dar uber hinaus auch die Kontinuitatseigenschaft (4)gilt,dannkanndiesePraferenzordnungdurcheineNutzenfunktionU (xi)dargestelltwer-den. Wenn es um die Praferenzen uber unsichere Zahlungen (also Lotterien1) geht, so wirdein weiteres Axiom erforderlich:5. Unabhangigkeit: xi, xjundxkseiendrei Lotterien, undesgeltexi xj. Dannmuss f ur die folgenden zusammengesetzten Lotterien gelten, dass p xi +(1 p) xk p xj +(1p) xk0 p 1. Damit wird sichergestellt, dass die Praferenz zwischen xiund xj nicht vom Vorhandensein einer bestimmten Beimischung der dritten Lotteriexkabhangt.InvielenSituationengen ugtesvollig,eineVorstellung uberdieReihenfolgevonAl-ternativen zu haben. Dieses wird bezeichnet als ordinaleNutzenfunktion. Wenn jedochbspw. verschiedene Alternativen mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten auftreten, oder Nut-zenvergleichezwischenPersonenstattndensollen(incl. derBewertungdesaggregiertenNutzens mehrerer Personen in einem Koalitionsspiel), dann ist diese Information nicht hin-reichend. Dazu ist es erforderlich, Vorstellungen uber eine kardinaleNutzenfunktion zuhaben, dieNutzenunterschiedezwischenverschiedenenAlternativenquantiziert. (Strenggenommenreicht einekardinaleNutzenfunktionf ur eineinterpersonelleVergleichbarkeit1Formal isteineLotteriecharakterisiertdurchdiemoglichenAuszahlungen, denenjeweilsWahrschein-lichkeitenzugeordnetsind.2.4. NUTZENUNDERWARTUNGSNUTZEN 17Zustandder Weltgut(g)schlecht(b)Lotterie ALotterieB1000100900 700Abbildung 2.8: Auszahlungen f ur zwei LotterienDie Zahlen geben die Auszahlungen der Lotterien A und B im guten bzw. schlechten Zustandder Welt an.nicht aus, dieseVergleichbarkeit wirdbisweilen einfach zusatzlich angenommen.)In vielen(Bei-) Spielen auch in der Realitat geht es einfach um Geld, was zumindest auf den erstenBlick eine unmittelbare Vergleichbarkeit auch zwischen Personen suggeriert. Man sollte sichaber klar machen, dass dahinter das Werturteil steckt, dass ein Geldbetrag in den Handenunterschiedlicher Personen gleich viel wert ist. Das trit selbstverstandlich f ur die Kauf-kraft zu, nicht aber notwendigerweise f ur den Nutzen, den verschiedene Personen aus dieserKaufkraft ziehen konnen.2.4.2 BewertungvonRisikoundErwartungsnutzenfunktionRisiko ist mit fast allen (realistischen) Spielen und okonomischen Situationen verbunden.Bei dem Kauf eines Lotterieloses liegt es auf der Hand, nicht sicher absehbare VeranderungenderkonjunkturellenSituation, desWechselkursesoderandererRelativpreisesindandereBeispiele (aus der Makrookonomik) f ur Risiken, die sich auf Auszahlungen in strategischenSpielen und damit auf das Verhalten von Spielern auswirken konnen. Es liegt dabei vollig aufderHandundentsprichtderLebenserfahrung,dassverschiedenePersonendiegleicheriskanteSituationunterschiedlicheinschatzen, es alsounterschiedliche BewertungenvonRisiken gibt. Bereits ohne nahere Analyse konnen wir unterscheiden, ob eine Personrisikoavers,risikofreudig oderrisikoneutralist. WirkonnenunsdieseUnterscheidunganhandvonzwei sehreinfachenLotterienvorAugen f uhren. Die Auszahlungen der beiden Lotterien sind in Abbildung 2.8 wiedergegeben.Lotterie A ergibt im g unstigen Fall eine Auszahlung von 1000, im schlechten Zustand derWelt aber nur eine Auszahlung von 100. Lotterie B ist im Vergleich mit Lotterie A deutlichwenigersensitivgegen uberdemZustandderWelt. Intuitivlasstsichdahersagen, dassLotterieBweniger riskant als LotterieA ist.1Die beiden Lotterien lassen sich sehr anschaulich in Abbildung 2.9 auf der nachsten Seitemit Hilfe des sog. Zustandspraferenz-Diagramm darstellen.Entlangderhorizontalen(vertikalen)AchsesinddieAuszahlungenimguten(schlech-ten)ZustandderWeltabgetragen.2Die45-LinieistderOrtallerPunkte,indenensich1Man kann sich hier eine Situation ohne (Lotterie A) bzw. mit (Lotterie B) einer Versicherung vorstellen,wobei die Versicherung auch im schlechten Zustand der Welt eine Auszahlung von 700 garantiert, daf ur abereinePramievon100nimmt.2Die Idee ist keineswegs auf eine Situation mit nur zwei Zustanden der Welt beschrankt. Allgemein erfolgtbeindenkbarenZustandendieanalogeDarstellungineinemn-dimensionalenRaum.18 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIE451000BA 100700Auszahlungimschlechten Zu-stand der WeltAuszahlungimgutenZustandder Welt900Sicherheits-linieAbbildung 2.9: Das Zustandspraferenz-DiagrammMitHilfedieserGraklasstsicheineLotteriealsPunktineinemn-dimensionalenRaumdarstellen, wobei n die Zahl der moglichen Umweltzustande bezeichnet. Im Beispiel ist n = 2.die beiden Zustande der Welt nicht voneinander unterscheiden. Man spricht daher von dersog. Sicherheitslinie. BeideLotterienlassensicheinfachdurcheinenPunkt indiesemDiagramm darstellen.Die Frage ist jetzt die nach der Bewertung dieser Lotterien. Dies ist nicht objektivmoglich, sonderneineFrageder subjektivenEinschatzungdes oensichtlichun-terschiedlichenRisikos, das in den beiden Lotterien steckt. Drei verschiedene Kriterienwerden haug herangezogen, die nachfolgend erlautert werden sollen. Diese sinddas Maximin-Kriterium,der Erwartungswert der Lotterie, sowieder Erwartungsnutzen der Lotterie.Nach der Erlauterung dieser drei Konzepte werden noch zwei gangige Mae f ur die Messungder Risikoneigung eingef uhrt.DasMaximin-Kriteriumgibt die folgende Handlungsanweisung: Wahle diejenige Handlung, die im schlechtesten Fallam besten ist. Man schaut also ausschlielich auf den worstcase in diesem Fall alsodie zweite Spalte in der Auszahlungstabelle in Abbildung 2.8 auf der vorherigen Seite undoptimiertdar uber, suchtalsodasmaximaleMinimum. DieReihungderbeidenLotteriengema des Maximin-Kriteriums ist damit klar: Es gilt, dass LotterieBLotterieA.Allgemein lasst sich f ur beliebige Lotterienj L und Zustande der Welti n mit denL n Auszahlungen Wij das Maximin-Kriterium wie folgt darstellen: Der Wert einer Lotteriejist gegeben durch minin(Wji), die Auswahl der besten Lotterie gegeben durch die Losungdes ProblemsmaxjLminin(Wji) . (2.1)Wichtigbei diesemKriteriumist, dass die Bewertungganz oensichtlichohne dieBer ucksichtigung von Information, die man intuitiv als relevant erachten w urde,zustande kommt. Konkret werden folgende Bestandteile einer Lotterie vernachlassigt:alle Auszahlungen in anderen als dem schlechtesten Zustand;2.4. NUTZENUNDERWARTUNGSNUTZEN 19451000BA100700Auszahlungimschlechten Zu-stand der WeltAuszahlungimgutenZustandder Welt900Abbildung 2.10: Das Maximin-KriteriumDiesesKriteriumlasstsichdarstellenmitHilfevonL-formigenIndierenzkurvenimZu-standspraferenz-Diagramm.jegliche Wahrscheinlichkeiten, mit denen der gute oder schlechte Zustand eintritt.Qua Konstruktion beinhaltet das Maximin-Kriterium den denkbar hochsten Grad an Pes-simismus, weil eben unabhangig von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens ausschlielichder schlechteste Zustand in die Bewertung mit einiet.Im Zustandspraferenz-Diagramm ist es moglich, das Maximin-Kriterium mit den aus demGrundstudium vertrauten Indierenzkurven darzustellen. Wie man sich leicht verdeutli-chen kann, verlaufen diese L-formig durch die Punkte in Abbildung 2.9 auf der vorherigenSeite, wobei der Knick auf der Sicherheitslinie liegt. Abbildung 2.10 zeigt diese Indierenz-kurven. JeweitereineIndierenzkurvevomUrsprungentferntliegt, destohoheristdasdamit assoziierte Nutzenniveau.DerErwartungswerteinerLotterieist gegeben durch die mit denEintrittswahrscheinlichkeitenderverschiedenenZu-standederWeltgewichtetenAuszahlungen in diesen Zustanden. Man spricht dabeiauch von einem fairen Preis einer Lotterie. Die Wahrscheinlichkeit f ur das Eintreten desschlechtenZustandsderWeltsei pb,entsprechendistdieGegenwahrscheinlichkeitf urdasEintreten des guten Zustands der Welt mit (1 pb) gegeben. Daher sind die ErwartungswertederLotterienAundBdurchE (A)=pb 100 + (1 pb) 1000undE (B)=pb 700 +(1 pb) 900gegeben. BezeichnenWgundWballgemeindieAuszahlungeneinerLotteriein den beiden Zustanden, so ist der Erwartungswert einer LotterieL konstant entlang einerLinie im Zustandspraferenz-Diagramm mit der Steigung (1 pb)/pb.1Damitistklar, dassimGegensatzzumMaximin-KriteriumbeimErwartungswertalleZust ande der Welt und alle moglichen Auszahlungen eine Rolle spielen. Allgemein, d.h. f urbeliebig viele (hier: n) Zustande der Welt ist der Erwartungswert einer LotteriejgegebendurchE (Wj) = inpijWijmit inpij = 1. DieAuswahl ausmehrerenLotterienist dieL osung des ProblemsMaxjLE (Wj) (2.2)1DerxeErwartungswertsei E(L)=C=pbWb+ (1 pb) Wg. AuosendieserGleichungergibtsofortWb=Cpb1pbpbWg.DamitistWbWgC= 1pbpb.20 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIE451000BA100700Auszahlungimschlechten Zu-stand der WeltAuszahlungimgutenZustandder Welt900Abbildung 2.11: Das Erwartungswert-KriteriumDieses Kriterium bezieht die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der beiden Zustande mitein.DerErwartungswert isteinBewertungskriterium, dasmanmitRisikoneutralitatas-soziieren kann. Dabei interessiert nicht die mogliche Streuung der Auszahlungen uber diediversen Zustande der Welt, sondern einzig die erwartete Auszahlung. Viele Entscheidungs-situationen sind allerdings dadurch gekennzeichnet, dass es keine objektiven Wahrschein-lichkeiten f ur den Eintritt diverser Zustande gibt.1In diesem Fall sind entweder subjektiveWahrscheinlichkeiten(incl.Sensitivitatsanalysen)zuverwenden.AndernfallsistdasKriterium nicht anwendbar.Abbildung 2.11 zeigt f ur die beiden Lotterien A und B die Linien mit jeweils identischemErwartungswert. F ur die Wahrscheinlichkeit, die zu den beiden durchgezogenen Linien mitjeweilsgleichenErwartungswertenf uhrt, giltwieder, dassdieLotterieBderLotterieAvorgezogen wird. Die durch A und B gehende gestrichelte Linie reprasentiert Eintrittswahr-scheinlichkeiten der beiden Zustande, die den beiden Lotterien gerade den Erwartungswertgeben. Es ist f ur die Auszahlungen aus Abbildung 2.8 auf Seite 17 recht einfach zu berechnen,welche Wahrscheinlichkeit f ur das Eintreten des guten Zustands der Welt daf ur notwendigist.2DasErwartungsnutzen-KriteriumalsdritterBewertungsmastabbewertetschlielichdieAuszahlungenWijeinerLotteriej ineinemZustandimiteinerbeliebigenNutzenfunktionu(Wij). EineLotteriej weistdann einen Erwartungsnutzen vonuej E (uj) = inpiju(Wij) auf. Die Wahl zwischenverschiedenen Lotterien ist dann die Losung des ProblemsmaxjLE (uj) . (2.3)1F ur das bekannte Lotto (6 aus 49) sind solche Wahrscheinlichkeiten problemlos anzugeben. Die Wahr-scheinlichkeit, dassausden49Kugelneinebestimmte6-erKombinationgezogenwird, istgegebendurch496=49!6!(496)!= 13983816.2F ur das Verstandnis des Konzepts ist es hilfreich zu zeigen, dass dieser Wert pg= (1 pb) = 6/7 0, 857betragt.2.4. NUTZENUNDERWARTUNGSNUTZEN 21Abbildung 2.12: RisikoaversionBei Vorliegen von Risikoaversion ist der Nutzen des (sicheren) Erwartungswertes der Aus-zahlungenhoheralsderErwartungswertdesNutzenseinerLotteriemitdiesererwartetenAuszahlung.Die Erwartungsnutzenfunktion E (uj) wirdauchhaugals vonNeumann-Morgenstern-Nutzenfunktion bezeichnet.1(2.3) ist das allgemeinste der drei Kriterien, da verschiedene Risikoneigungen abgebildetwerden konnen, was nachfolgend kurz erlautert werden soll.Als risikoavers bezeichnet man eine Bewertung, bei der ein sicheres Einkommen Weinerbeliebigen Lotterie mit dem gleichen Erwartungswert vorgezogen wird. Abbildung 2.12 zeigteinen solchen Fall.Wiederum nehmen wir an, dass es zwei Zustande der Welt, b und g gebe. Die Auszahlun-gen der Lotteriej sind in Abbildung 2.12 mitWbjbzw.Wgjbezeichnet. Wenn beide Ereig-nisse gleich wahrscheinlich sind, so ist der Erwartungswert E (Wj) gerade das arithmetischeMittel. DerdamitassoziierteNutzenistmit u(E (Wj))bezeichnet. DiesesNutzenniveauw urderealisiert, wenndieerwarteteAuszahlungsicherbezahltw urde. Bei derLotterieistdiesjedochnichtderFall; vielmehrwirdmiteinerWahrscheinlichkeitvonjeweils1/2ein niedrigeres bzw. hoheres Nutzenniveau realisiert. Der Erwartungswert aus diesen beidenNutzenwertenistinderAbbildung2.12mitE (u(Wj))bezeichnet.DurchdieKr ummungder Nutzenfunktionu(Wj) ist dieser Erwartungsnutzen niedriger als der Nutzen des gleichhohen Erwartungswertes.Aus Abbildung 2.12 geht sofort hervor, dass RisikoaversionverbundenistmitderEigenschaftdessinkendenGrenznutzensderAuszahlungen.2Analogisteinstei-gender Grenznutzen mit Risikofreude verbunden, und ein konstanter Grenznutzen mit Risi-koneutralitat. Sinkender Grenznutzen der Auszahlungen (also eine konkave Nutzenfunktion)geht einher mit konvexen Indierenzkurven im Zustandspraferenz-Diagramm, das in Abbil-1Diese Bezeichnung ehrt die beidenPioniere der Spieltheorie (undder Erwartungsnutzentheorie, dieebenfalls indem1944erschienenenBuch, das die Spieltheorie begr undete, entwickelt wurde), JohnvonNeumannundOskarMorgenstern.2Sowie die NutzenfunktioninAbbildung2.12gezeichnet ist, sollte klar sein, dass u

(Wj) >0undu

(Wj) < 0.22 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIE451000BA100700AuszahlungimgutenZustandder Welt900Abbildung 2.13: Das Erwartungsnutzen-Kriterium bei RisikoaversionDasErwartungsnutzen-KriteriumbeziehtnebendenWahrscheinlichkeitendesEintretensder beiden Zustande auch eine subjektive Bewertung der Auszahlungen mit ein. Gezeigt istFall der Risikoaversion.dung 2.13 zu sehen ist.AbschlieendwerdennunnochzweigangigeMaef urdieBeschreibungderRisikonei-gung eingef uhrt. F ur eine gegebene Nutzenfunktionu(W) ist das Arrow-Pratt-MaderabsolutenRisikoaversion deniert durch den TermARA = u

(W)u

(W) , (2.4)wahrend das Arrow-Pratt-Ma der relativen Risikoaversion deniert ist durchRRA = u

(W) Wu

(W). (2.5)Beispiel:F ur die Nutzenfunktionu(W) = Wsind diese Mae gegeben durchARA = (1 ) W1undRRA = (1 ).2.5 RationalitatderAkteureRationalitatderAkteurevordemHintergrundwohlspezizierterPraferenzenisteinezen-trale Annahme in allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften. In diesem Abschnitt1wirdnun mit dem sog. St.-Petersburg-Paradoxon zunachst ein historisch sehr altes Beispielvorgestellt, in dem sehr deutlich wird, dass die Orientierung an Erwartungswerten bei Spie-lennichtadaquatist,sondernderErwartungsnutzendasrelevanteKonzeptseinmuss,wenn man tatsachliches Verhalten mit dem Rationalitatspostulat unter einen Hut bringenmochte.Daran schliet sich mit dem Allais-Paradoxon die Analyse einer Situation an, in dertatsachlichbeobachtbares undauf denerstenBlickganzvern unftigesVerhalteneinerwie auch immer spezizierten Erwartungsnutzenfunktion widerspricht. Anders gesagt geht1DieserAbschnittst utztsichaufdieDarstellunginHargreavesHeap/Varoufakis(1995),p.13-14.2.5. RATIONALITATDERAKTEURE 23ZahlKopfZahlKopfZahlKopfZahlKopfetc.12480000Abbildung 2.14: Das St. Petersburg-ParadoxoneshierumeinVerhalten, dasnichtmitdenimAbschnitt2.4auf Seite15vorgestelltenAxiomender(Erwartungs)Nutzentheoriekonsistentist. DiesesBeispiel isteinwichtigesArgumentletztlichgegendieganzeMethodederWirtschaftswissenschaft-wobeiallerdings mit dem Hinweis auf mogliche Schwachen einer Methode noch keine Alternativegenannt ist, und schon gar keine bessere Alternative. Dennoch zeigt das Allais-Paradoxon,dass die Rationalitatspramisse nicht vollig unangreifbar ist - jedenfalls dann, wenn Rationa-litat hinlanglich eng gefasst wird, was noch zu erlautern sein wird.Abschlieend erfolgen einige Bemerkungen zur Modellierung beschrankter Rationa-litat - eine der Forschungsfronten der Spieltheorie bzw. der Wirtschaftstheorie uberhaupt.2.5.1 DasSt.PetersburgParadoxonZu Beginn des 18. Jahrhunderts1formulierte der Schweizer Mathematiker Nikolaus Bernoullieine Lotterie mit einer bemerkenswerten Eigenschaft: Die Zahlungsbereitschaften potentiel-ler Spieler weichen dramatisch von der objektiv berechenbaren erwarteten Auszahlung derLotterieab. EineLosungdiesesscheinbarenParadoxonsbotDaniel Bernoulli, einCousinvon Nikolaus Bernoulli.2Das angebotene Spiel ist sehr einfach und kann wie folgt beschrieben werden:Eine(faire)M unzewirdwiederholtgeworfen.EswirdzuBeginnvereinbart,wieoftdie M unze maximal geworfen wird. Dies ist eine ZahlImit 1 I .Taucht zum ersten Mal Kopf auf, so ist das Spiel beendet. Die Auszahlung betragtin diesem Fall Null.TauchtZahlauf, soerhaltderSpielervomAnbieterdesSpiels(VeranstalterderLotterie) einemit der Anzahl des sukzessivenAuftauchens vonZahlwachsendeAuszahlung. Diese beginnt bei 1enach dem ersten Wurf von Zahl und verdoppeltsichdanachjeweils, betragt also2ebeimzweitenMal, dann4e, 8eetc.. EinmalerhalteneAuszahlungenbehaltderSpieler. Bei einerWurolgeZZZKerhaltderSpieler also 1e + 2e + 4e = 7e.Das Spiel kann in dem Spielbaum der Abbildung 2.14 dargestellt werden. An jedem Knotenist diebei ErreichenjeweilsfalligeAuszahlungangegeben. Manbeachte, dassanjedemEndknotennurdiezusatzlicheAuszahlunggleichNullist,insgesamtdasSpielabereineAuszahlung in Hohe der Summe der Auszahlungen, die bei den passierten Knoten nach Wurfvon Zahl fallig werden, aufweist.Zunachst ist nun der Erwartungswert des Spiels zu berechnen. Daf ur ist die Wahrschein-lichkeit p (i), eine beliebige Zahl i von W urfen hintereinander Zahl zu werfen entscheidend.1DieserAbschnittbasiertaufderDarstellunginJerger(1992).2DieLosungvonDaniel Bernoulli wurdewahrendeineAufenthaltsinSt. PetersburgausgearbeitetundauchdortimJahr1738veroentlicht-daherderNamedesParadoxons.24 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEDiese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durchp (i) =12 12 . . . 12. .i Faktoren=12i(2.6)Die Auszahlung W (i) f ur den Fall, dass i Mal hintereinander Zahl fallt ist gegeben durchW (i) = 2i1(2.7)Die erwartete AuszahlungE (W (I)) bei maximalIW urfen ist also gegeben durchE (W (I)) =I

i=1p (i) W (i) =I

i=112i 2i1=I

i=112=I2. (2.8)Die erwartete Auszahlung wachst also proportional mit der maximalen Anzahl der W urfe.Diesistdeshalbso, weil anjedemPunktdesSpiels, dieOption, weiterzuspielen, einenpositivenWerthategalwiehaugzuvorbereitsZahlerschien.Dadurchimpliziertistaberauch, dassderErwartungswertdesSpielsbei einerexanteunbegrenztenZahl vonW urfen unendlich hoch ist. Selbst bei einer sehr begrenzten Maximalzahl von W urfen vonz.B. I= 100 waren aber die wenigsten Spieler bereit, f ur die Teilnahme 50ezu bezahlen.DierelativhoheWahrscheinlichkeit mit keinemoder sehr geringenGewinnendas Spielzuverlassen,f uhrtinallerRegelzueinersubjektivenBewertungdesSpielsunterhalbdesErwartungswerts.Die grundlegende Idee von Daniel Bernoulli, die eine Losung dieses Paradoxons ermoglicht,liegt in der konzeptionellen Trennung von erwarteter Auszahlung und dessen Nut-zen. In seinen eigenen Worten (der englischenUbersetzung) beschreibt er die Grundlage desParadoxons wie folgt:Until now scientists have usually rested their hypothesis on the assumption thatall gains must be evaluated exclusively in terms of themselves, i.e., on the levelsof theirintrinsicqualities, andthatthesegainswill alwaysproduceautilitydirectly proportionate to the gain.Esbedarf dahereinerBewertungdesSpielsinKategoriendeserwartetenNutzens-wiediesbereitsalsvonNeumann-Morgenstern-Funktioneingef uhrtwurde. AnstelledesErwartungswertkriteriums ( 2.8) ist daherE (u(W (I))) =I

i=1p (i) u(W (i)) =I

i=112i u_2i1_(2.9)heranzuziehen. Daniel Bernoulli selbst schlug daf ur die folgende logarithmische Nutzenfunk-tion vor:u(W) = a ln (W) , (2.10)wobeia eine positive Konstante ist.1Einsetzen von ( 2.10) in ( 2.9) liefert dannE (u(W (I))) =I

i=112i a ln_2i1_ = a I

i=1i 12iln 2 = a ln 2I

i=1i 12i(2.11)Die unendliche ReiheI

i=1i12ikonvergiert gegen den Wert 1, d.h. limII

i=1i12i= 1. Somit istalso derErwartungsnutzen desSpiels beieiner exante nicht begrenztenZahlvon W urfengegeben durchE (u(W ())) = a ln 2. (2.12)1F ur alle qualitativenEigenschaftender Nutzenfunktionist es unerheblich, auf welche Basis sichdieLogarithmus-Operationbeziehthierwurdedernat urlicheLogarithmusverwendet.2.5. RATIONALITATDERAKTEURE 25Anstelle des Erwartungswerts von Unendlich f uhrt die Bewertung mit der Nutzenfunk-tion(2.10aufdervorherigenSeite)zueinerAquivalenzderLotteriemiteinemsicherenGewinn in Hohe von 2. In Experimenten, in denen Probanden dieses Spiel angeboten wurde,war eine Zahlungsbereitschaft in der Regel zwischen 2 und 3e zu beobachten. Dies legt nahe,dass die logarithmische Nutzenfunktion (2.10) eine oenbar realitatsnahe Spezikation ist.(2.10) weist die f ur das Ergebnis eines endlichen Erwartungsnutzens einer Lotterie mitunendlich hoher erwarteter Auszahlung zentrale EigenschaftsinkendenGrenznutzensund damit der Risikoaversion auf.2.5.2 DasAllais-ParadoxonDasAllais-Paradoxon-bezeichnetnachdemfranzosischenOkonomenMauriceAllais,derv.a. f urseineArbeitausdemJahr1953spaterdenNobelpreiserhielt-schilderteineSi-tuation, in der beobachtbares Verhalten den Axiomen der Nutzentheorie widerspricht unddamit rationales Verhalten der Akteure oensichtlich nicht gegeben ist.NehmenSiean, SiehattendieWahl zwischenfolgendenLotterien, wobei esf urdenVergleich egal ist, ob diese kostenlos sind, oder ob ein Los jeweils den gleichen Preis hat.Lotterie A 2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33%2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%Lotterie B 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% (degenerierteLotterie)Tabelle 2.2: Lotterie A und B, Teil 1Die Wahl ist nicht ganz oensichtlich, d.h. lasst oensichtlich Raum f ur unterschiedlicheRisikoeinstellungen. Das Maximin-Kriterium f uhrt nat urlich zu einer Praferenz von B uberA, das Erwartungswertkriterium zu der umgekehrten Praferenz, da (f ur einen Preis des Losesvon Null) gilt, dassE (WA) = 2500 0, 33 + 2400 0, 66 + 0 0, 01 = 2409 > E (WB) = 2400.Wenn die beiden Lotterien tatsachlich (in einem Experiment) angeboten werden, so ent-scheiden sich viele f ur Lotterie B, d.h. die wenn auch kleine Wahrscheinlichkeit (1%), volligleer auszugehen, wird gerne vermieden, auch wenn man daf ur auf die Chance, 100e mehrzu gewinnen, verzichten muss. Anders gesagt: Viele Menschen sind hinreichend risikoavers,um Lotterie B der Lotterie A vorzuziehen.NachdemeineEntscheidungzwischendenLotterienAundBgefallenist, gibtesnuneine zweite Wahl zu treen, namlich zwischen den folgenden Lotterien C und D.Lotterie C 2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 67%Lotterie D 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%Tabelle 2.3: Lotterie C und D, Teil 1Selbstverstandlich sind beide Lotterien schlechter als A und B, beide haben aber einenpositiven Erwartungswert.1Konkret gilt folgendes f ur die erwarteten Auszahlungen der bei-den Lotterien:E (WC) = 2500 0, 33 = 825 > E (WD) = 2400 0, 34 = 816.HierwahlennunvielePersonen, diezuvorLotterieBgewahlthaben, LotterieC, d.h.diejenige mit dem hoheren Erwartungswert. DieUberlegung dahinter mag wie folgt lauten:1DasMaximin-Kriteriumf uhrthieroensichtlichzueinerIndierenz.26 KAPITEL2. EINFUHRUNG:ELEMENTEDERSPIELTHEORIEAm wahrscheinlichsten ist ohnehin, dass ich leer ausgehe. Ob nun die Gewinnchance 33%oder34%betragt, istohnehinfastdasgleiche. Alsoentscheideichmichf urdenhoherenGewinn, f ur den Fall, dass ich Gl uck habe.F ur den gesunden Menschenverstand sind beide Entscheidungen nicht unplausibel,jedenfalls begr undbar, und durchaus auch nicht inkonsistent miteinander. Jedenfalls ist nichtoensichtlich, dassdiesebeidenEntscheidungenmitdemPostulatrationalenVer-haltens inkonsistent sind. Genau dies ist aber gema den Postulaten der Erwartungsnut-zentheorie der Fall. Diese Inkonsistenz soll im Folgenden gezeigt werden.Zu diesem Zweck werden die Lotterien A und B wie folgt dargestellt.Lotterie A 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%Lotterie B 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34%Tabelle 2.4: Lotterie A und B, Teil 2DiebeidenerstenZeilensindjeweilsidentisch,konnenalsobeieinemNutzenvergleichvernachlassigt werden. DiezuvorbeschriebeneEntscheidungzwischenLotterieAundBmuss also darauf beruhen, dassE (u(WA) u(WB)) = 0, 33 u(2500) + 0, 01 u(0) 0, 34 u(2400) < 00, 33 u(2500) + 0, 01 u(0) < 0, 34 u(2400) (2.13)NurwenndieseBeziehunggilt, wirdeinrationalerAkteurLotterieBderLotterieAvorziehen (BA).Analog konnen Lotterien C und D leicht umgeschrieben werden in die folgende Form:Lotterie C 2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%Lotterie B 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34%2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%Tabelle 2.5: Lotterie C und D, Teil 2Hier ist die jeweils letzte Linie identisch und kann also bei einem Vergleich weggelassenwerden. Eine Hoherschatzung von Lotterie C relativ zu Lotterie D bedingt alsoE (u(WC) u(WD)) = 0, 33 u(2500) + 0, 01 u(0) 0, 34 u(2400) > 00, 33 u(2500) + 0, 01 u(0) > 0, 34 u(2400) (2.14)Oensichtlichstehen(2.13)und(2.14)indiametralemWiderspruchzueinander.An-ders gesagt: Ein rationalesIndividuum, der sich bei der Auswahl zwischen A und B f urBentscheidet, musssichbei derWahl zwischenCundDf urDentscheiden. DieTatsa-che,dassdiesinExperimentennichtnotwendigerweisesoist,isteinVerstogegendiePramissedesRationalverhaltens. Konkret verstot dieses Verhalten gegen das Axiomder Reexivitat (vgl. Abschnitt 2.4.1 auf Seite 15): Wird 0, 33 u(2500) +0, 01 u(0) als Gutx1und0, 34 u(2400)alsGutx2deniert, giltnamlich sowohl x1 x2als auchx1 x2,was oensichtlich gegen das Reexivitatsaxiom verstot.Um dieses Ergebnis in Perspektive zu setzen, sind zwei Dinge von Bedeutung:2.5. RATIONALITATDERAKTEURE 27Rationalitat ist daran gebunden, dass das Individuum, dessen Entscheidungen betrach-tetwerden, eineSituationvolligverstehtbzw. esderM uhef urwerterachtet,eineSituationvolligzuverstehen. DieUnterschiedezwischenjeweilszwei LotterienA und B bzw. C und D sind vielleicht schlicht zu gering oder die Entscheidung zukompliziert,umhierjeweilseinezwarmogliche,aberanstrengendegenaueBewer-tung vorzunehmen. Es entspricht jedenfalls der Alltagserfahrung, dass Entscheidungenzwischen zwei sehr engen Substituten oft zufallig, d.h. ohne genaueres Nachdenkengetroen werden. Ist dieses Nachdenken anstrengend und der damit verbundene Auf-wand groer als die bei nicht zufalliger Entscheidung zu erwartende Nutzengewinn so ist diese Unscharfe bereits wieder rational.Der hier unterstellte Rationalitatsbegri postuliert, dass unterschiedliche Entschei-dungssituationenmit der jeweils gleichenPraferenzordnungentschiedenwerden. Dies ist zwar letztlich methodisch unumganglich, da man sonst jedes Verhal-ten als mit Rationalverhalten kompatibel erklaren konnte. Allerdings ist es durchausdenkbar,dasseinunddasgleicheIndividuummitrelativgeringenBetragenineinembegrenztenUmfangrisikofreudigagiert, wahrenddasVerhaltenauf Risikoaversion schlieen lasst, wenn es um hohere Betrage geht. Anderslasstsichbeispielsweisenichterklaren,dassvieleLeutemehroderregelmaigLottospielen, was nur mit Risikofreude konsistent ist, eine sogar mehr als faire Lotterie aberablehnen w urden, wenn dabei im schlechtesten Fall z.B. ihr Eigenheim verloren gehenkonnte also Risikoaversion an den Tag legen.2.5.3 BeschrankteRationalitatI have the impression that [. . . ] the attempts to model bounded rationality haveyet to nd the right track. It is dicult to pinpoint any economic work not basedon fully rational microeconomic behaviour that yields results as rich, deep, andinteresting as those achieved by standard models assuming full rationality.(Ariel Rubinstein, 1998, p. 3)DasAllais-ParadoxonisteinesvonrelativvielenBeispielen, indeneninexperimen-tellenSituationen (experimental economics) Verhalten beobachtet werden konnte, dasnichtmitRationalitatinEinklanggebrachtwerdenkann. Vondaheristzunachsteinmalzukonzedieren, dassRationalitateineArbeitsannahmeist, diekeinenAnspruchaufumfassendeG ultigkeitf urallerealenSituationenf ursichinAnspruchnehmenkann. IndiesemAbschnitt gehenwir kurzundeher beispielhaft auf drei Eekteein, diebei derModellierungbeschrankterRationalitateineRollespielen:BegrenzteundunterschiedlicheFahigkeiten von Spielern, Framing-Eekte und die TendenzzurVereinfachung vonEntscheidungsproblemen.KognitiveundanalytischeFahigkeitenDas vielleicht wichtigste Beispiel f ur eingeschrankte Rationalitat ist die unterschiedlicheFahigkeitvonSpielern, dieinRedestehendenstrategischenSituationenzudurch-schauen (analytische Fahigkeiten) unddiedaf urrelevanteInformationzuerfassenund zu verarbeiten (kognitive Fahigkeiten). Es gibt unterschiedlich geschickte Unterhand-ler, obgleich die Regeln einer Verhandlung f ur alle die gleichen sein mogen. Ein noch fr