juuri tehtävien ratkaisut kustannusosakeyhtiö otava päivitetty …¤... · juuri 7 •...

Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

3 Tangentti

ENNAKKOTEHTÄVÄT

1. a) Täydennetään kuvaan kulman α kehäpiste Q ja pieni suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yksikköympyrän säde 1.

Sinin arvo on 35

, joka on samalla pisteen

Q y-koordinaatti, eli pienessä kolmiossa

kulman α vastaisen kateetin pituus on 35

.

Kosinin arvo on 45

, joka kertoo pisteen Q

x-koordinaatin, eli pienessä kolmiossa

kulman α viereisen kateetin pituus on 45

.

Tangentti on vastaisen kateetin pituuden suhde viereisen kateetin pituuteen.

33 4 35tan :

4 5 5 55

5 34 4

b) Edellisessä kohdassa selvisi pisteen Q koordinaatit: 4 3,5 5

.

Piste T sijaitsee suoralla x = 1, joten sen x-koordinaatti on 1. Pisteen T y-koordinaatti on isomman suorakulmaisen kolmion korkeus.

tan1

34

y

y

Siis piste on T = 31,4


2. a) Piirretään suorakulmainen kolmio, ja merkitään toista terävää kulmaa kirjaimella x, valitaan toisen kateetin pituudeksi 1 ja merkitään toisen kateetin pituutta y.

Annetaan kulman x kasvaa, jolloin muodostuu kuvan mukaisia kolmioita.

Kuvan merkinnöillä ( ) tan .1

yf x x y

Kun kulma x kasvaa, sivun pituus y kasvaa myös, joten funktion f arvo

kasvaa välillä 0,2

.

Tehtävä voidaan ratkaista myös edellisen tehtävän avulla. Ensimmäisessä neljänneksessä olevien kulmien tangentti on sellaisen pisteen y-koordinaatti, jonka x-koordinaatti on 1 ja joka sijaitsee

kulman loppukyljen jatkeella. Kun kulma x kasvaa välillä 0,2

,

kulman kylki on yhä ylempänä, eli pisteiden y-koordinaatit kasvavat. Tällöin myös tangenttifuntkion f(x) = tan x arvot kasvavat.


b) Taulukoidaan funktion f(x) = tan x arvoja lähellä kohtaa x = 2 , sen

vasemmalla puolella.

x f(x)

0,12 tan 0,1

2 = 9,96…

0,012 tan 0,01

2 =99,99…

0,0012 tan 0,001

2 = 999,99…

0,00012 tan 0,001

2 = 9999,99…

Kun muuttujan x arvot lähestyvät kohtaa π2

x vasemmalta puolelta,

huomataan, että funktion arvot kasvavat rajatta. Toispuoleista raja-arvoa

π2

lim ( ) x

f x ei voida määrittää.

Geometrisena tarkasteluna voidaan toistaa a-kohdan mukainen päättely kolmion avulla.


3.1 Tangentti yksikköympyrässä YDINTEHTÄVÄT

301. a) Kuvasta katsottuna kulman 50° tangenttipisteen y-koordinaatti on noin 1,2, joten tan 50° ≈ 1,2.

b) Kuvasta katsottuna kulman 30° tangenttipisteen y-koordinaatti on noin

0,6, joten tan 30° ≈ 0,6.

c) Huomataan, että 230° = 50° + 180°, joten kulman 230° loppukyljen jatke on kulman 50° loppukylki. Siis kulmilla 230° ja 50° on sama tangenttipiste ja siten tan 230° ≈ 1,2.

d) Kulman −30° tangenttipiste sijaitsee symmetrisesti samassa kohdassa

kuin kulman 30°, mutta x-akselin toisella puolella. Tällöin sen y-koordinaatti on −0,6, joten tan (−30°) = −0,6.

e) Huomataan, että −150° = 30° − 180°. Kulmilla −150° ja 30° on sama

tangenttipiste, eli tan (−150°) ≈ 0,6.

f) Koska −130° = 50° − 180°, kulmilla −130° ja 50° on sama

tangenttipiste. Siis tan (−130°) ≈ 1,2.


302. a) Appletin avulla löydetään kulmaksi 117°, koska sen loppukyljen jatke leikkaa tangenttisuoran pisteessä, jonka y-koordinaatti on −2,0.

b) Edellisen kohdan perusteella voidaan päätellä, että myös kulman 117° + 180° = 297° tangentti on −2,0.

Kun kulmasta 297° vähennetään yksi täysi kulma, saadaan 297° − 360° = −63°, joten myös tan (−63°) ≈ −2,0.

303. a) Kulman tangenttia ei voi määrittää, jos sen loppukylki on pystysuora.

Tällaisia kulmia on esimerkiksi kulmat 3 3 5, , , ja 2 2 2 2 2 .

b) 3 11tan tan tan 1 ( 1) 3 2 3

4 4 12


304. a) Sijoitetaan lauseeseen sin

tancos

xx

x ,

5sin

13x ja

12cos

13x ,

jolloin saadaan

5sin 5 12 513tan :cos 12 13 13 13

13

xxx

13 5

12 12 .

b) Kulman x kehäpisteen koordinaattien perusteella

cos x = −0,6 ja sin x = 0,8.

sin 0,8 8 4tan

cos 0,6 6 3

xx

x

305. Kun terävä kulma x kasvaa kohti arvoa 2 , tangenttipiste T siirtyy rajatta

ylemmäksi. Siten tangentin arvo kasvaa rajatta, kun terävä kulma x kasvaa

kohti arvoa 2 .

Kun tylppä kulma x kasvaa kohti arvoa π, tangenttipiste T siirtyy lähemmäs pistettä (1, 0). Siten tangentin arvo lähenee lukua 0, kun tylppä kulma x kasvaa kohti arvoa π.


VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT

306. Ratkaistaan cos x yhtälöstä sin2x + cos2x = 1.

2 2

22

2

2

sin cos 1

1sin 14

1sin 116

15(sin )16

15 15sin tai sin16 1615 15sin sin4 4

x x

x

x

x

x x

x x

Kulman tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten, kun sin x = 154

, on

15sin 15 1 154tan :cos 1 4 4 4

4

xxx

4 151 ja,

kun sin x = 154

, on tan x = 15.


307. 2 2

2 2

2

2

sin cos 1

0,28 cos 1

0,0784 cos 1

(cos ) 0,9216

cos 0,9216 tai cos 0,9216

cos 0,96 cos 0,96

x x

x

x

x

x x

x x

Koska 2 < x < π, kulma sijaitsee toisessa neljänneksessä.

Tällöin kosinin arvo on negatiivinen, joten cos x = −0,96. Kulman tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten

0,28sin 7tan 0,291... 0,29cos 0,96 24

xxx


308.

2 2

22

2

2

sin cos 1

1sin 13

1sin 19

8(sin )9

8 8sin tai sin9 98 8sin sin9 94 2 4 2sin sin3 3

2 2 2 2sin sin3 3

x x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

Koska kulma α on välillä 3,2

, se on

kolmannessa neljänneksessä, jossa sinin arvo on

negatiivinen. Tällöin 2 2sin .3

2 2sin 2 23tancos 1 3

3

3 2 21 .


309. Koska tan x = −3, niin sin 3.cos

xx Tästä saadaan sin x = −3cos x.

Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 x + cos2 x = 1, saadaan

2 2

2 2

2

2

( 3cos ) cos 1

9cos cos 1

10cos 1 :10

1(cos )10

1 1cos tai cos10 10

x x

x x

x

x

x x

Koska kulma x on tylppä, niin kulman loppukylki sijaitsee toisessa neljänneksessä, jossa kosinin arvo on negatiivinen.

Siis 1cos10

x .

Tästä saadaan

1sin 3co 31

s0 10

3 .x x


310. Kulman x kehäpisteen P koordinaatit ovat (cos x, sin x). Ratkaistaan sin x ja cos x.

Koska tangenttipiste T = (1, 7), niin tan x = 7.

sintan 7cos

xxx

, josta saadaan

sin x = 7cos x. Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 x + cos2 x = 1, saadaan

2 2

2 2

2

2

(7cos ) cos 1

49cos cos 1

50cos 1 :50

1(cos )50

1 1cos tai cos50 501 1cos tai cos

5 2 5 2

x x

x x

x

x

x x

x x

Kun 1cos5 2

x , 1 7sin 7cos2

75 5 2

x x .

Kun 1cos5 2

x , 7sin .5 2

x

Tällöin 1 7,5 2 5 2

P tai 21 7,

5 5 2P .


311. a) Lauseen mukaan tan (−x) = −tan x = −3.

b) Lauseen mukaan tan(x + n ⋅ π) = tan x, kun n on kokonaisluku. Nyt n = 1, joten tan(x + π) = tan x = 3.

c) Vastaavasti tan(x + 100π) = tan x = 3.

d) Vastaavasti tan(x − 199π) = tan x = 3

312. a) Taulukon mukaanπ 1

tan6 3 .

b) Lauseen mukaanπ π 1

tan π tan6 6 3

.

c) Lauseen mukaanπ π

tan 3π tan .3 3

Taulukosta saadaan π

tan 33 .


313. a) Koska 11 2 23 33 3 3 , kulmilla 11

3 ja 2

3 on sama

tangenttipiste. Näin ollen 11π 2π

tan tan 3.3 3

b) Lauseen mukaan tan (−α) = −tan α.

π π 1tan tan

6 6 3

.

c) Koska 9π 1

2 24 4 4

, kulmilla 9

4 ja

4 on sama

tangenttipiste. 9π π π

tan tan tan 14 4 4

314. a) Tangentti on nolla esimerkiksi, kun

x = 0, x = π, x = 2π, x = −π tai x = −2π.

b) Tangentin arvo on yksi esimerkiksi, kun

π

4x

,

π 5ππ

4 4x

,

π 9π2π

4 4x

, π 3π

π4 4

x tai π 7π

2π4 4

x .


315. a) Kun kulman loppukylki on 1. tai 3. neljänneksessä, loppukylki tai sen jatke leikkaa suoran x = 1 x-akselin yläpuolella, joten tangenttipisteen y-koordinaatti on positiivinen. Kun kulman loppukylki on 2. tai 4. neljänneksessä, loppukylki tai sen jatke leikkaa suoran x = 1 x-akselin alapuolella, joten tangenttipisteen y-koordinaatti on negatiivinen.

b) Osamäärän merkki määräytyy osoittajan ja nimittäjän merkkien mukaan. Koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä sekä sinin että kosinin arvot ovat positiivisia. Kahden positiivisen luvun osamäärä on

positiivinen, eli

, joten tangentin arvot ovat positiivisia.

Koordinaatiston toisessa neljänneksessä sinin arvot ovat positiivisia ja kosinin arvot ovat negatiivisia. Positiivisen ja negatiivisen luvun

osamäärä on negatiivinen, eli ,

joten tangentin arvot ovat

negatiivisia. Koordinaatiston kolmannessa neljänneksessä sekä sinin että kosinin

arvot ovat negatiivisia, joten

, eli tangentin arvot ovat

positiivisia. Koordinaatiston neljännessä neljänneksessä sinin arvot ovat

negatiivisia, mutta kosinin arvot ovat positiivisia, joten

, eli

tangentin arvot ovat negatiivisia.


SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT

316. a) Kun kulmaan x lisätään kulma π

( 90 )2 , niin muodostuvan kulman

π

2x loppukylki on kohtisuorassa kulman x loppukylkeä vastaan.

Koska tan x = 2, on tangenttipisteen y-koordinaatti 2. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla.

tan2

x on pisteen F y-koordinaatti.

Punaisen suoran OQ kulmakerroin on 2. Koska musta suora OF on

kohtisuorassa suoraa OQ vastaan, on sen kulmakerroin 12

, koska

kohtisuorien suorien kulmakertoimien tulo on −1.

Suora OF kulkee pisteen (0, 0) kautta, joten sen yhtälö on y = 12

x .

Piste F on suoran OF ja suoran x = 1 leikkauspiste.

Leikkauspisteessä x = 1, joten y = 1 112 2

.

π 1tan

2 2x


b) Kulmat x ja π

2x ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten niiden

loppukylkien suuntaisesti voidaan piirtää toisiaan vastaan kohtisuorat suorat. Kohdassa a kolmiosta saatiin, että jos tan x = a, on kulman x

loppukyljen suuntaisen suoran kulmakerroin a. Tällöin kulman x + 2

loppukulman suuntaisen suoran kulmakerroin on 1a

. Koska suora

kulkee pisteen (0, 0) kautta, on suoran yhtälö 1 .y xa

Tämän suoran

ja suoran x =1 leikkauspisteen y-koordinaatti ilmoittaa lausekkeen

tan2

x arvon.

Suoran 1y xa

ja suoran x = 1 leikkauspisteen y-koordinaatti on

1 11 .ya a


317. Koska tan α = 5 , niin sin 5.cos

Tästä saadaan sin α = 5 cos α.

Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 α + cos2 α = 1, saadaan

2 2

2 2

2

2

5 cos cos 1

5cos cos 1

6cos 1 : 6

1(cos )61 1cos tai cos6 6

Koska kulma α on tylppä, niin kosini on negatiivinen. Siis cos α = 16

.

Edelleen 1 5sin 5 cos 5 .66

Sinin kaksinkertaisen kulman kaavalla

5 1 2 5 5sin 2 2sin cos 26 36 6

.

Kosinin kaksinkertaisen kulman kaavalla

22 5 5 2cos2 1 2sin 1 2 1 2

6 36

.

318. Vastaus on oikea, eikä perusteluissa ole moittimista.


319. a) Kotangentti on määritelty, kun kulman loppukylki ja suora y = 1 leikkaavat, eli loppukylki ei ole yhdensuuntainen suoran y = 1 kanssa. Kulmat, joiden loppukylki on vaakasuora, ovat x = nπ, n . Kotangentti on määritelty, kun π, .x n n

b) Olkoon l suora, joka yhtyy kulman x loppukylkeen. Sinin ja kosinin määritelmien perusteella suora l kulkee origon ja kehäpisteen (cos x, sin x) kautta, joten sen kulmakerroin on

sin 0 sincos 0 cos

x xkx x

ja yhtälö on muotoa y = kx. Lasketaan suorien y = kx ja y = 1 leikkauspiste.

1

1 ||: 0

1

sin1:cos

cossin

y kx

y

kx k

xk

xxx

xxx

Suorat l ja y = 1 leikkaavat pisteessä cos ,1sin

xx

. Kulman x kotangentti

on tämän pisteen x-koordinaatti cos .sin

xx


c) sin cos

2 2

sin costan cotcos sin

sin cossin cos

1sin cos

x xx xx xx x

x xx x

x x

d)

2

2

2 2

2

2 2

2

2

cosDcot Dsin

D(cos ) sin cos D(sin )

(sin )sin sin cos cos

(sin )sin cos

sin(sin cos )

sin1

sin

xxxx x x x

xx x x x

xx x

xx x

x

x


320. Koska sintancos

xxx

, niin 2

22

sintancos

xxx

ja

2 2

2

2

2

cos2

2 2 2

2 tan12 2 tan

21 tan 1 tan2 2

sin122

cos sin2 21cos

2

2sin2

sin2cos 1

2 cos2

2sin 2sin cos2 2 2

sin cos sin2 2 2cos

2 cos2

x

xx

x x

x

x x

x

x

xx

x

x x x

x x xx

x

Kaavoilla sin2 α + cos2 α = 1 ja sin 2α = 2sin α cos α saadaan

2 2

sin 22sin cos22 2 sin .

1cos sin2 2

xx x

xx x


Koska sintancos

xxx

, niin 2

22

sintancos

xxx

ja laventamalla lausekkeella

2cos2x , saadaan

2cos

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

sin21

1 tan cos cos sin2 2 2 2

1 tan sin cos sin2 2 2 21

cos2

xx

x x x x

x x x x

x

Sievennetään kaavoilla cos 2α = cos2 α − sin2 α ja sin2 α + cos2 α = 1.

2 2

2 2

cos 2cos sin22 2 cos

1cos sin2 2

xx x

xx x


3.2 Tangenttifunktio, tangenttiyhtälö ja tangentin derivaatta

YDINTEHTÄVÄT

321. Koska tan x = tan (x + nπ) ja tan 33 niin esimerkiksi

tan π 33 , tan 2π 3

3 ja tan π 3.

3

Funktio f saa siis arvon 3 esimerkiksi kohdissa

4π3 3

x , 72π3 3

x ja 2π .3 3

x

322. a) Yhtälön tan x = 1

3 yksi ratkaisu on

6x

.

Yhtälön kaikki ratkaisut saadaan lauseen avulla.

6x n

, .n

b) tan 3x = tan 67

637

2 , .7 3

x n

x n n


323. a) tan x = 1

4

x n

, .n

b) tan x = −1

4

x n

, .n

c) tan x = 0

x = 0 + n ⋅ π x = n ⋅ π, .n

324. a) tan 3x = tan 39°

3x = 39° + n ⋅ 180° || : 3 x = 13° + n ⋅ 60°, .n

b) tan 2x = −4

2x = −75,96…° + n ⋅ 180° || : 2 x = −37,98…° + n ⋅ 90° x ≈ −38° + n ⋅ 90°, .n

c) tan 12x

45 180 || 2

290 360

x n

x n n


325. a) tan (x − 1) = 1,7 x − 1 = 1,03… + n ⋅ π x = 2,03… + n ⋅ π x ≈ 2,0 + n ⋅ π, .n

b)

tan4 6

0,482... || 44

1,929... 41,9 4 ,

x

x n

x nx n n

c)

1tan 23

2 ||: 26

,12 2

x

x n

x n n


326. a) tan x = 3 x = 1,249… + n ⋅ π, x ≈ 1,2 + n ⋅ π, n

b) Edellisessä kohdassa saatiin eräs yhtälön ratkaisuista, x ≈ 1,2, joka osuu

välille ,2 2

. Kuvassa tämä näkyy tälle välille osuvana

tangenttifunktion kuvaajan ja suoran y = 3 leikkauspisteenä.

Tangenttifunktion kuvaaja ja suora y = 3 leikkaavat äärettömän monessa kohdassa. Nämä saadaan, kun yhteen ratkaisuun lisää luvun π monikertoja, koska tangenttifunktion kuvaaja toistuu samanlaisena piin välein.

327. a) Tangenttifunktion kuvaaja on kasvava välillä ,2 2

, joten se saa

jokaisen arvonsa, myös arvon a, vain kerran.

b) Tangenttifunktion perusjakso on π. Väliin ,2 2

sisältyy kolme

perusjakson pituista väliä. Tangenttifunktio on kasvava väleillä

, ,2 2

,

2 2

ja ,

2 2

ja se saa jokaisen arvonsa näillä

väleillä kerran. Siten yhtälöllä tan x = a on kolme ratkaisua välillä

,2 2

.


VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT

328. a) f(0) = 2tan 0 − sin (2 ⋅ 0) = 2 ⋅ 0 − 0 = 0

b) π π π π

2 tan sin 2 2 1 sin 2 1 14 4 4 2

f

c)

32 3

π π π 1 π2tan sin 2 2 sin

6 6 6 33

2 3 4 3 3 3 3

2 6 6 63

f

329. tan x = 1

3

6

x n

, .n

Kulma 6

ei kuulu välille

3 9 3, eli ,

2 2 6 6

eikä välille

, eli ,2 2 6 6

.

Kun kulmasta 5

6x

vähennetään 2π, saadaan kulma

52

6 6x

, joka kuuluu välille

3,

2 2

.

Kun kulmaan 5

6x

lisätään 2π, saadaan kulma 5 172

6 6x , joka

kuuluu välille ,2 2

.


330. Lauseke ei ole määritelty, kun

2 π π || π232 π ||:22

3 π , 4 2

x n

x n

x n n

Sijoitetaan lausekkeeseen 19

24x

.

19 19 12 7πtan 2 π tan tan 2 3 2 3

24 12 12 12


331. a) Kuvaaja leikkaa x-akselin, kun f(x) = 0.

tan 3 0

tan 3

ππ,

3

x

x

x n n

Välillä 2 2

x on 3

x .

Kysytty piste on π

,03

.

b) Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x = 0.

(0) tan 0 3 0 3 3f

Kysytty piste on 0, 3 .

c) Kuvaaja leikkaa suoran y = 2, kun f(x) = 2.

tan 3 2

tan 2 3

5ππ,

12

x

x

x n n

Välillä 2 2

x on 12

x .

Kysytty piste on 5 ,2 .12


332. Ratkaistaan käyrien leikkauspisteen x-koordinaatti yhtälöstä sin x = cos x. Yhtälö ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x ≠ 0.

sin cos || : cos ( 0)

sin 1costan 1

π, 4

x x x

xxx

x n n

Välillä [−π, 2π] olevat leikkauskohdat ovat

3 5π , ja π .4 4 4 4 4

x x x

333. Yhtälö ei toteudu, jos cos 3x = 0, joten voidaan olettaa, että cos 3x ≠ 0.

sin3 3 cos3 0

sin3 3 cos3 || : cos3 ( 0)

sin3 3cos3tan3 3

3 π ||:33

π , 9 3

x x

x x x

xxx

x n

x n n

334. Tangentti on vaakasuora, kun derivaatta on nolla.

f ′ (x) = 2(cos x − sin x) = 2cos x − 2sin x

2cos 2sin 0

2sin 2cos ||: 2cos ( 0)

tan 1

ππ,

4

x x

x x x

x

x n n


335. a) Käytetään sääntöä D tan x = 1 + tan2 x.

D(2tan x) = 2(D tan x) = 2(1 + tan2 x) = 2 + 2tan2 x

b) D(2x − tan x) = 2 − (1 + tan2 x) = 2 − 1 − tan2 x = 1 − tan2 x

c) Tulon derivoimissäännöllä

D(x tan x) = 1 ⋅ tan x + x ⋅ (1 + tan2 x) = tan x + x + x tan2 x

336. a) Derivoidaan funktio f(x) = tan x.

f ′ (x) = 1 + tan2 x Ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0.

2

2

1 tan 0

tan 1

x

x

Yhtälöllä ei ole reaalijuuria, joten derivaatalla ei ole nollakohtia.

b) Ratkaistaan yhtälö f ′ (x) = 4.

2

2

1 tan 4

tan 3

tan 3 tai tan 3

π 2ππ π,

3 3

x

x

x x

x n x n n

337. Derivoidaan funktio f(x) = x − tan x ja ratkaistaan yhtälö f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 1 − (1 + tan2 x) = −tan2 x

2tan 0

tan 0

π,

x

x

x n n


338. Sijoitetaan funktion lausekkeeseen 3

x

.

3tan 3 33 3

f

Tangentti kulkee pisteen ,3 33 kautta.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa 3

x

.

Derivoidaan funktio f(x) = 3tan x. f′(x) = 3(1 + tan2 x) = 3 + 3tan2 x

22' 3 3tan 3 3 3 3 3 3 123 3

f

Sijoitetaan suoran yhtälöön y − y0 = k(x − x0) piste 0 0π

( , ) ,3 33

x y

ja

kulmakerroin k = 12.

π3 3 12

3

12 4π 3 3

y x

y x

Kohtaan 3

x

piirretyn tangentin yhtälö on 12 4π 3 3y x .


339. a) 2

2

tan 2 3

(tan 2 ) 3

tan 2 3 tai tan 2 3

π 2π2 π ||:2 2 π ||:2

3 3π π π π

,6 2 3 2

x

x

x x

x n x n

x n x n n

b)

2

2

2

3tan 1 0

3(tan ) 1 ||: 3

1(tan )

31 1

tan tai tan3 3

π 5ππ π,

6 6

x

x

x

x x

x n x n n

340. Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x = 0. f(0) = 2tan 0 − 3cos 0 = 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 = −3 Siis kuvaajan ja y-akselin leikkauspiste on (0, −3). Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvokohdassa x = 0. Derivoidaan funktio ja sijoitetaan x = 0. f′(x) = 2(1 + tan2 x) − 3(−sin x) = 2 + 2tan2 x + 3sin x f′(0) = 2 + 2tan2 0 + 3sin 0 = 2 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 = 2. Kysytty tangentti on suora, jonka kulmakerroin on 2 ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, −3). Sen yhtälö on y = 2x − 3.


341. Otetaan yhtälössä tan2 2x − tan 2x = 0 yhteiseksi tekijäksi tan 2x ja käytetään tulon nollasääntöä.

2

2

tan 2 tan 2 0

(tan 2 ) tan 2 0

tan 2 (tan 2 1) 0

tan 2 0 tai tan 2 1 0

x x

x x

x x

x x

Ratkaistaan saadut yhtälöt erikseen. tan 2 0 tai tan 2 1

π2 0 π ||: 2 2 π ||:2

4π π π

,2 8 2

x x

x n x n

x n x n n


342. Kirjoitetaan funktion lauseke muodossa tan 1 1

( ) tan2 2 2

x xf x x x

ja

derivoidaan funktio.

2 2 21 1 1 1 1 1'( ) (1 tan ) tan 1 tan

2 2 2 2 2 2f x x x x

Tangentin kulmakerroin saadaan sijoittamalla derivaattaan 4

x

.

2 2π 1 π 1 3' 1 tan 1

4 2 4 2 2f

Tangentilla on piste, jolle 4

x ja 4y f .

π 1 π π 1 π 1 π 1 π 4

tan4 2 4 4 2 4 2 8 2 8

f

Sijoitetaan suoran yhtälöön y − y0 = k(x − x0) piste 0 0π π 4

( , ) ,4 8

x y

ja

kulmakerroin 3

2k .

2

π 4 3 π

8 2 4

3 3π π 4

2 8 8

3 4 2π

2 83 2 π

2 4

y x

y x

y x

y x

Kohtaan 4

x

piirretyn tangentin yhtälö on 3 2 π

2 4y x

.


Tangentti ja normaali ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten normaalin

kulmakerroin 2

3k . Normaali kulkee myös pisteen

0 0π π 4

( , ) ,4 8

x y

kautta, joten sen yhtälö on

π 4 2 π

8 3 4

2 π π 4

3 6 82 7 12

3 24

y x

y x

y x

Suoran x − 2y = 0 eli suoran 12

y x kulmakerroin on 1

2. Tutkitaan, onko

yhtälöllä 1

'( )2

f x ratkaisua.

2

2

2

1 11 tan

2 21 1

tan || 22 2

tan 1

x

x

x

Koska tan2 x ≥ 0, yhtälöllä tan2 x = −1 ei ole ratkaisua. Siis funktion kuvaajalla ei ole tangenttia, joka olisi suoran x − 2y = 0 suuntainen.


SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT

343. Funktion kuvaajan ja x-akselin välinen kulma on leikkauspisteeseen piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma. Ratkaistaan x-akselin leikkauskohdat yhtälöstä f(x) = 0. 1

tan 03

tan 0

π,

x

x

x n n

Nollakohdista välillä 3

,2 2

on kohta x = π.

Tangentin suuntakulma saadaan selville kulmakertoimen, eli derivaatan avulla. Derivoidaan funktio ja sijoitetaan leikkauspiste x = π derivaattafunktion lausekkeeseen.

2 21 1 1'( ) (1 tan ) tan

3 3 3f x x x

2 21 1 1 1

'(π) (1 tan π) 03 3 3 3

k f

Ratkaistaan tangentin suuntakulma yhtälöstä tan .k

1tan

318,43...

18,4

Funktion kuvaaja leikkaa x-akselin noin 18°:een kulmassa.


344. a) Tangenttifunktio on jatkuva ja kasvava välillä 0,3

. Se saa siis

pienimmän arvonsa vasemmassa päätepisteessä ja suurimman arvonsa oikeassa päätepisteessä.

(0) tan 0 0f

tan 33 3

f

Välillä 0,3

funktion suurin arvo on 3 ja pienin 0

b) Tangenttifunktio on kasvava välillä 0,2

. Se saa siis pienimmän

arvonsa vasemmassa päätepisteessä. Suurinta arvoa ei ole, koska

tangenttifunktion arvot kasvavat rajatta, kun .2

x

Funktion pienin arvo on f(0) = tan 0 = 0.

c) Tangenttifunktio on kasvava välillä ,3 4

. Se saa siis pienimmän

arvonsa vasemmassa ja suurimman oikeassa päätepisteessä.

Pienin arvo on 2

tan tan tan 33 3 3 3

f

Suurin arvo on tan 14 4

f

.

d) Tangenttifunktio ei ole määritelty välillä [0, 2π], kohdissa

3 ja

2 2x x

. Niissä kohdissa vasemmanpuoleinen raja-arvo on

ääretön ja oikeanpuoleinen raja-arvo on ääretön. Tangentilla ei siis ole suurinta eikä pienintä arvoa välillä [0, 2π].


345. Ratkaistaan yhtälö tan2 x + 4tan x = −1. Merkitään tan x = u, jolloin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa u2 + 4u + 1 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

3 2tai 3 2u u

Ratkaistaan yhtälöt tan 3 2x ja tan 3 2x .

tan 3 2

11ππ,

12

x

x n n

tan 3 2

7ππ,

12

x

x n n

Funktio f(x) = tan2 x + 4 tan x saa arvon −1, kun

11π 7ππ tai π,

12 12x n x n n


346. Ratkaistaan yhtälö käyttäen tangentin määritelmää sin

tancos

xx

x .

tan sin 0

sinsin || cos

cossin sin cos

sin sin cos 0

sin (1 cos ) 0

sin 0 tai 1 cos 0

x x

xx x

xx x x

x x x

x x

x x

Ratkaistaan molemmat yhtälöt. sin x = 0 x = n ⋅ π, n 1 − cos x = 0 cos x = 1 x = n ⋅ 2π, n Ratkaisut voidaan yhdistää. Yhtälö tan x − sin x = 0 toteutuu, kun x = n ⋅ π, n .


347. Lasketaan käyrien leikkauspiste yhtälöstä sin x = 2cos x. sin 2cos || : cos ( 0)

sin 2costan 2

1,107... π,

x x x

xxx

x n n

Välillä 0,2

oleva leikkauskohta on x ≈ 1,11.

Leikkauskohdassa käyrien y-koordinaatti on y = sin 1,107… = 0,894… ≈ 0,89. Leikkauspiste on (1,11; 0,89). Käyrien välinen kulma on leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma. Lasketaan molempien käyrien tangentin kulmakerroin, eli derivaatta leikkauspisteessä. Käyrä y = sin x: Dsin x = cos x Ratkaistaan cos x arvo leikkauspisteessä, jossa sin x = 2 cos x.

2 2

2 2

2 2

2

2

sin cos 1

(2cos ) cos 1

4cos cos 1

5cos 1 ||: 51cos51 1cos tai cos5 5

x x

x x

x x

x

x

x x

Koska kulma on välillä 0,2

, on kosinin arvo positiivinen.

Käyrän y = sin x tangentin kulmakerroin on 1 .5


Käyrä y = 2cos x. D 2cos x = −2sin x.

Leikkauspisteessä sin x = 2 cos x ja cos x = 1 .5

Tällöin −2sin x = −2 ⋅ 2cos x = −4 ⋅ 15

= 4 .5

Käyrän y = 2cos x tangentin kulmakerroin on 4 .5

Lasketaan suuntakulmat yhtälöstä tan α = k.

1tan

524,09...

4

tan5

60,79...

Toinen tangentti on laskeva ja toinen on nouseva, joten niiden välinen kulma on 24,09…° + 60,79…° = 84,88…° ≈ 84,9°.


348. Piirretään kuvaajat.

Funktio f on määritelty, kun tangentti on määritelty, eli kun .2

x n

Funktion 2

1( )1 tan

f xx

lausekkeessa tan2x voi saada kuinka suuria

arvoja tahansa, kun kulman arvo lähestyy kohtia x = , .2

n n Kun

jakaja kasvaa äärettömän suureksi, funktion f arvot lähestyvät nollaa, koskaan kuitenkaan saavuttamatta sitä. Tämän vuoksi funktiolla f ei ole nollakohtia.

Funktio 2

1( )1 tan

f xx

saa suurimman arvonsa, kun nimittäjä

1 + tan2 x saa pienimmän arvonsa. Nimittäjä saa pienimmän arvonsa, kun tan x = 0, eli kun x = n ⋅ π, n .

Funktion f suurin arvo on siis 1 1.1 0

Funktio 2

1( )1 tan

f xx

saa pienimmän arvonsa, kun nimittäjä 1 + tan2

x saa suurimman arvonsa. Lausekkeen tan2 x arvo kasvaa rajatta, kun x

lähestyy mitä tahansa kohdista .2

x n Funktion f arvo lähestyy

tällöin nollaa sitä kuitenkaan koskaan saavuttamatta. Funktiolla f ei ole pienintä arvoa. Funktion g lauseke voidaan sieventää.

sin sin cos( ) sin : sin costan cos sin

x x xg x x x xx x x


Funktio g on määritelty, kun tan x ≠ 0, eli kun x ≠ n ⋅ π ja tangentti on

määritelty, kun .2

x n Funktio g on siis määritelty, kun

.2 2

x n

Funktion g nollakohdat ovat yhtälön cos x =0 ratkaisut, eli x = 2

n .

Funktio g ei kuitenkaan ole määritelty näissä kohdissa, joten funktiolla g ei siksi ole nollakohtia. Funktion g suurinta ja pienintä arvoa voidaan tarkastella tarkastelemalla funktion cos x arvoja. Funktion cos x suurin ja pienin arvo ovat 1 ja −1. Kuitenkin, cos x saa nämä arvot kohdissa x = n ⋅ π, jossa funktiota ei ole määritelty. Kun x lähestyy mitä tahansa kohdista 2x n , funktion arvot lähestyvät arvoa 1 ja kun x lähestyy mitä tahansa kohdista 2x n , funktion arvot lähestyvät arvoa −1, koskaan näitä arvoja kuitenkaan saavuttamatta. Funktiolla g ei siten ole suurinta eikä pienintä arvoa.


349. a) Kirjoitetaan tangentti muodossa sin

tancos

xx

x .

π π

π

π

sin sinlim lim sin :

tan cos

coslim sin

sin

lim cos

cosπ

1

x x

x

x

x xx

x x

xx

x

x

b) Käytetään muunnoskaavaa sin 2x = 2sin x cos x.

0 0

20

20

2

2

tan sinlim lim : (2sin cos )

sin 2 cos

sinlim

2sin cos

1lim

2cos

1

2 cos0)

1

2 1

1

2

x x

x

x

x xx x

x x

x

x x

x

juuri tehtävien ratkaisut kustannusosakeyhtiö otava päivitetty …¤... · juuri 7 •...

Documents