kalibrasi model matematis

Jurnal Natur Indonesia 5(1): 29-40 (2002) ISSN 1410-9379

KALIBRASI MODEL MATEMATIS 2D HORIZONTAL FESWMS DALAM KASUS PERUBAHAN POLA ALIRAN AKIBAT ADANYA KRIB DI BELOKANBambang Sujatmoko Jurusan Teknik Sipil, FT, Universitas Riau Diterima 07-6-2002 Disetujui 25-7-2002

ABSTRACTA Software called FESWMS in the BOSS SMS SMS package is one that were used supposed to simulate 2D depth averaged surface water flow. The accurate result of simulation flow on this model must be calibrated to get degree of uniformity between numerical models and the measured data. Therefore, it is necessary to conduct an effort to calibrate based on the visualization of current pattern data and the measurement of flow velocity on the channel bend with the groyne. A study was done with the BOSS SMS FESWMS software module and the result of numerical simulation was calibrated with the physical simulation data. Current patern simulation and the measurement of surface flow velocity on physical model was done by particle image velocimetry method. Quality calibration was done visually to eddy current at the down stream groyne and quantity calibration was done by determine the RMS of deviation of the numerical result from the measurement result from the surface flow velocity data. The results of current pattern simulation, qualitatively, can be shown by the existence of eddy current at the same places and the same dimensions between two models. The quantitative calibration of models showed that the ratio of the average of the RMS values to the average of velocities less then 5%. From the process of calibration can be obtained the parameters n and c at the material 1 : n1 = 0.015, o1 = 1.14x10-6 m2/det and c1 = 5.93; and at the material 2 : n2 = 0.010, o2 = 1.14x10-6 m2/det dan c2 = 5.93. Keyword : calibration, current pattern, eddy current, numerical models

PENDAHULUAN Model matematis sirkulasi perubahan arus (hidrodinamika aliran) yang dikembangkan oleh berbagai institusi dan perorangan semakin banyak dan mempunyai spesifikasi yang berbeda-beda. Penelitian ini menggu-

nakan salah satu model matematis hidrodinamika aliran dua dimensi horisontal dengan rata-rata kedalaman (depth average) yang dikenal dengan FESWMS (Finite Element Surface Water Modeling System). Program matematis ini menggunakan Metode

30

Jurnal Natur Indonesia 5(1): 29-40 (2002)

Elemen Hingga (MEH) dalam analisis hitungannya dan merupakan salah satu modul yang terdapat dalam Software Boss SMS (Surface water Modeling System). Penggunaan model matematis ini diterapkan pada hasil pengukuran model fisik di Laboratorium untuk masalah perubahan pola arus di belokan akibat adanya penempatan bangunan pengarah arus (krib) di tepian sungai. Hasil hitungan pada simulasi model matematik merupakan prediksi terhadap fenomena pada model fisik. Oleh sebab itu, hasil hitungan model matematik harus diuji validitasnya (tingkat kesesuaiannya) dengan hasil simulasi model fisik. Untuk itu, penetapan parameter aliran yang cocok pada model matematik dilakukan dengan trial and error, yang dikenal dengan usaha kalibrasi model. Agar proses kalibrasi dapat dilaksanakan dengan cepat, perlu dipilih parameter yang memberikan perubahan signifikan terhadap hasil simulasi model. Salah satu modul perangkat lunak BOSS SMS (Surface water Modelling System) yaitu FESWMS 2DH,H + (HU ) + (HV ) = q t x y

merupakan model numeris untuk menghitung proses hidrodinamika aliran dua dimensi pada rerata kedalaman. Perangkat lunak SMS merupakan post dan pre-processing unit, sedangkan FESWMS (finite element surface water modeling system) merupakan running execution program (Anonim 1995). Persamaan yang menggambarkan aliran di sungai, estuari dan badan air yang lain didasarkan pada konsep klasik konservasi massa dan momentum. Persamaan aliran 2D horizontal (depth averaged) diturunkan dengan mengintegrasikan persamaan tiga dimensi transport massa dan momentum terhadap koordinat vertikal dari dasar sampai ke permukaan air, dengan asumsi bahwa kecepatan dan percepatan vertikal diabaikan. Persamaan kontinuitas dan momentum arah sumbu x dan y untuk aliran dua dimensi rata-rata kedalaman dapat dituliskan (Froehlich 1997) dalam persamaan (1) dan (2) berikut untuk aliran pada arah sumbu x dan persamaan (3) untuk aliran pada arah sumbu y. (1)

(HU ) + xx HUU + (cos x cos z )2 1 gH 2 + xy HUV + 2 t x y z 1 cos x gH b HV + bx sx (H xx ) H xy x x y

(

)

(2)

(

)

=0

Model Matematis FESWMS Pola Aliran (HV ) + xy HVU + yy HVV + cos y cos z t x y cos y gH

31

(

)

(

)2 1 gH 2 + 2 ) = 0

(3)

zb 1 H yx H yy + HU + by sy y x y

(

)

(

dengan g = percepatan gravitasi ; x= arctan (zb/x); y = arctan (zb/y);

= 2 sin adalah koefisien koriolis; z=arccos 1 cos 2 x cos 2 y ;

(

)

= rapat massa air; bx dan by =tegangan geser dasar; sx dan sy

2DH, DIN2DH dan ANO2DH merupakan program-program yang tidak saling mempengaruhi dan bukan merupakan program simulasi. DIN2DH adalah suatu input data pre-processor untuk membentuk mesh pada suatu sistem model dan ANO2DH menam-

Uu w vH

zuH

y

yZ

x

x

z y x (a)

Datum

(b)

Gambar 1. Sistem koordinat dan variabel yang dipakai (a) dan kecepatan rata-rata kedalaman pada arah sumbu x (b).

adalah tegangan geser permukaan;

xx, xy, yx dan yy adalah tegangangeser akibat turbulensi. xx, xy, yx dan yy adalah koefisien koreksi momentum. Sistem koordinat dan variabel yang digunakan lihat Gambar 1. Modul FESWMS digunakan untuk keperluan memodelkan problemproblem aliran air dangkal dan secara khusus digunakan untuk memodelkan aliran yang melalui bangunan kontrol di antaranya bendungan, terowongan air, bangunan pengambilan (drop inlets), dan pilar jembatan dengan model 2D elemen hingga. FESWMS ver-

pilkan hasil simulasi aliran dalam bentuk report dan plot, dan bertindak U sebagai data post-processor dalam sistem model. FLO2DH merupakan program simulasi dan mesin analisis dalam FESWMS, dan selama menggunakan SMS, hanya program FLO2DH yang digunakan. FESWMS-2DH menggunakan metode elemen hingga Galerkin dalam menyelesaikan sistem pembentuk persamaan diferensial, yang diawali dengan prosedur diskretisasi, yaitu membagi daerah penyelesaian (domain komputasi) menjadi sejumlah sub-

32


sub domain yang lebih kecil, yang dinamakan elemen. Pada penelitian ini, diskretisasi model menggunakan elemen gabungan segitiga 6 simpul (sixnode triangles) dan segiempat 9 simpul (nine-node Lagrangian quadrilateral). Penyiapan data input kondisi batas (boundary condition), input parameter aliran, serta diskretisasi domain model dilakukan secara interaktif menggunakan fasilitas yang telah disediakan di Software BOSS SMS. Penelitian ini bertujuan untuk menetapkan parameter aliran yang digunakan di dalam model matematis

ada di Laboratorium Hidraulika JTSFT UGM untuk running model; pasir, semen dan batubata untuk pembuatan model fisik sesuai domain model; kawat halus, benang, kayu serta paku untuk membuat grid-grid horizontal; dan batu pecah untuk peredam gelombang air pada model fisik. Pada penelitian ini digunakan model sungai yang ada di Laboratorium Hidraulika Jurusan Teknik Sipil FT UGM yaitu model saluran A sebagai peralatan utama. Situasi model fisik yang digunakan di laboratorium ditunjukkan oleh Gambar 2.

Reservoir

Saluran/paritpompa

Tangki pengumpul air krib Tangki pengatur debit

Saluran Model A

Pintu pengatur elevasi m. air

Ba pecah tu

Domain model saluranPintu peluap segitiga

Pembacaan ketinggian m. air

(tanpa skala)

Gambar 2. Situasi model fisik saluran di laboratorium.

FESWMS, agar hasil simulasi model matematis sama atau mendekati hasil simulasi model fisik. BAHAN DAN METODE Bahan yang digunakan pada pembuatan model fisik untuk kalibrasi model matematik meliputi air yang

Fasilitas lain yang digunakan adalah pompa air type DAB K14/400m, tangki pengumpul air, tangki pengatur debit, kamera, gabus yang sudah dipotong kecil-kecil, sebagai alat untuk menandai gerakan air atau pola arus di permukaan air pada saat running model berlangsung.

Model Matematis FESWMS Pola AliranMULAI PROSES FISIS MOD MATEMATIK Penyusunan data jaring elemen hingga (diskretisasi) Penyusunan file data jaringan dengan SMS, disimpan dalam file : file.net Ubah parameter data input Penyusunan file data kontrol simulasi program dengan SMS, disimpan dalam file : file.dat MODEL FISIK

33

Pembuatan saluran model fisik

Running Simulasi model fisik Pengukuran medan kecepatan dengan metode PIV

Penyusunan file data kondisi batas dengan SMS, disimpan dalam file : file.dat

Pengolahan data hasil simulasi model fisik

Eksekusi program simulasi Hidrodinamika aliran 2DH dengan modul FLO2DH Ya

Interpretasi hasil Simulasi model Fisik Tidak

ERROR?

Tidak Penayangan hasil hitungan dalam bentuk grafis dengan SMS (menu post-processor) Pengolahan citra informasi pemodelan ke program aplikasi lain Pencetakan citra hasil pemodelan

KALIBRASI MODEL sesuai? Ya Kesimpulan

Pencetakan citra hasil pemodelan dengan SMS

Interpretasi hasil Simulasi Model Numeris

SELESAI

Gambar 3. Diagram alir prosedur penelitian.

Model

belokan

sungai

di pada

Laboratorium Hidraulika Teknik Sipil UGM, merupakan alat utama penelitian ini (lihat Gambar 2). Prosedur kalibrasi model matematik pada penelitian ini secara umum mengikuti diagram alir seperti pada Gambar 3.

Kondisi batas hulu adalah debit (0,002; 0,003; 0,005 m3/det) dan batas hilir adalah elevasi muka air konstan (0,02 m). Metode Particle Image Velocimetry (PIV) digunakan untuk mendapatkan pola arus dan nilai kecepatan permukaan dengan potongan kecil dari gabus, atau mengukur

34


medan kecepatan aliran dengan menggunakan bayangan partikel. Metode ini cukup baik dila-kukan karena tidak mengusik aliran pada waktu pengukuran, dan diperoleh banyak data kecepatan pada satu waktu pengukuran (Suroso 1999). Partikel gabus disebar di permukaan badan air untuk mendapatkan pola aliran permukaan. Potongan gabus yang bergerak tadi disinari dan diambil fotonya dengan menggunakan kamera yang telah diatur kecepatan dan bukaan rananya. Pengambilan gambar dilakukan di daerah sekitar krib untuk mendapatkan perubahan

(pre processing unit), berupa diskritisasi daerah model, pengisian kondisi batas berupa nilai debit, elevasi muka air di hilir, parameter aliran dan numeris. Proses diskretisasi dalam penelitian ini menggunakan bentuk elemen gabungan elemen segitiga dan segiempat kuadratik. Hasil diskretisasi pada domain komputasi yang merupakan jaring elemen hingga disajikan dalam Gambar 4(a) dan pembagian jenis material yang digunakan pada tiap elemen sebagai parameter kalibrasi disajikan dalam Gambar 4(b). Penyiapan data input (pre-processing) dilakukan menggunakan fasilitas yang

(b) (a) Gambar 4. Jaring elemen pada domain komputasi (a) dan penentuan material parameter kalibrasi pada jaring elemen (b).

kecepatan yang signifikan, dan hasilnya berupa gambar garis-garis putih kecil. Gambar garis ini diskalakan dan dibandingkan dengan waktunya (bukaan rana kamera) akan didapat nilai kecepatan aliran permukaan di lokasi garis tersebut berada. Software Boss SMS memiliki pre dan post processor untuk program komputasi menggunakan distribusi elemen hingga. Penggunaan program komputasi ini meliputi penyiapan data

telah disediakan software Boss SMS. Dengan siapnya data input tadi, maka eksekusi program FESWMS dapat dilakukan. Hasil simulasi pada umumnya ditampilkan dalam bentuk pola dan arah kecepatan, kontour permukaan air, kontour perubahan dasar, dan grafik perubahan-perubahan parameter fisis pada salah satu simpul terhadap waktu. Kalibrasi model adalah suatu upaya menentukan parameter yang

Model Matematis FESWMS Pola Aliran

35

cocok digunakan pada model matematis, sehingga hasil keluaran model matematis mendekati fenomena hasil simulasi model fisik. Pada penelitian ini, parameter aliran sebagai data kalibrasi meliputi koefisien kekasaran dasar Manning, n dan koefisien viskositas turbulensi. Nilai kekasaran dasar, n ditetapkan menggunakan pedoman dari buku acuan (Chow 1959) dan koefisien viskositas turbulensi v ditetapkan dengan rumus

RMS (root-mean-square) antara kedua model dengan persamaan berikut (Burr 1974):RMS 1 = N

(Un i =1

fisik

U

numeris

) (5) 2

1/ 2

dengan : N = jumlah data, U = kecepatan pada model HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Kalibrasi Model (Parameter Aliran Kalibrasi yang dilakukan terhadap parameter aliran pada model fisik dan model matematik melalui proses perulangan (trial and error), baik secara kualitatif maupun secara kuantitatif diperoleh nilai-nilai parameter aliran sebagai berikut:Tabel 1. Nilai parameter hitungan yang telah dikalibrasi. Parameter Material 1*) Material 2*) n o(m2/det) C 0,015 1,14 x 10-6 5,93 0,010 1,14 x 10-6 5,93

= o + cU*H

(4)

dengan o = viskositas kinematik dasar, c =koefisien viskositas turbulen, U* = kecepatan gesek dasar saluran. Nilai viskositas turbulensi dan n Manning didapat dari hasil kalibrasi simulasi model numeris. Kalibrasi dilakukan dengan beberapa uji coba parameter di atas sampai diperoleh suatu nilai tertentu dimana fenomena pola arus hasil running model numeris mendekati fenomena yang terjadi di model fisik. Proses ini dilakukan berulang-ulang (trial and error), sampai diperoleh kesesuaian antara hasil simulasi kedua model. Kalibrasi kualitatif dilakukan dengan membandingkan secara visual gambar pola arus yang terbentuk di kedua model, yang dititikberatkan pada daerah sebelah hilir krib untuk membandingkan dimensi pusaran arus yang terbentuk pada kedua model. Kalibrasi kuantitatif dilakukan dengan menghitung nilai

*) penetapan material 1 dan 2 lihat Gambar 4b.

Pengaturan parameter-parameter kendali dalam proses hitungan dengan model matematik dilakukan dalam upaya untuk memperoleh kesesuaian hasil hitungan dengan fenomena model fisik baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Kalibrasi secara kualitatif dilakukan dengan melihat fenomena pola aliran yang terjadi di saluran model fisik. Pola aliran yang spesifik dari suatu aliran yang berbelok

36


yang melalui suatu bangunan krib adalah adanya suatu arus pusar di bagian hilir krib. Dimensi arus pusar yang terjadi di hilir krib (pusat pusaran, panjang pusaran) dipengaruhi oleh konfigurasi pemasangan bangunan krib. Selanjutnya kalibrasi secara kualitatif difokuskan pada kesesuaian dimensi arus pusar yang terjadi di bagian hilir bangunan krib untuk keda model. Sedangkan kalibrasi model secara kuantitatif dilakukan dengan membandingkan nilai kecepatan yang terjadi pada kedua model dengan suatu besaran yang dinamakan root-mean-square (RMS). Nilainilai kecepatan yang dibandingkan diambil di sepanjang tampang melintang (di tiga tampang), agar perbedaan nilai kecepatan keduanya dapat diplot secara grafis. Kalibrasi Kualitatif Proses kalibrasi kualitatif dilakukan secara visual melalui foto dan membandingkannya dengan hasil simulasi model numeris. Ada 3 parameter yang akan dikalibrasi yaitu koefisien viskositas turbulen (c), nilai viskositas kinematik dasar (o) dan koefisien kekasaran dasar (n). Pada penelitian ini penulis menetapkan parameter o tetap (1,14x10-6 m2/det) selama proses kalibrasi. Berikut ini ditunjukkan hasil simulasi hidrodinamik apabila pada material 2, parame-

ter c dikecilkan dan dibesarkan terhadap nilai c yang terdapat pada Tabel 1 di atas dan nilai kekasaran dasar n, besarnya tetap. Dalam menentukan koefisien c dan n yang cocok dilakukan uji coba parameter tersebut pada simulasi model berkali-kali (trial and error). Nilai n ditetapkan terlebih dahulu berdasarkan bahan pembentuk dasar saluran pada model fisik. Proses kalibrasi kualitatif terhadap nilai n dapat dilihat dengan memperbesar atau memperkecil nilai n terhadap nilai n pada Tabel 1 dan koefisien viskositas turbulensi tidak diubah (sama dengan Tabel 1). Setelah dilakukan uji coba parameter kalibrasi (Gambar 5 s.d. Gambar 8) didapat nilai n dan c yang cocok, sehingga fenomena aliran yang terjadi pada model matematik mendekati fenomena aliran di model fisik, yang difokuskan pada kesesuaian dimensi pusaran arus di hilir krib. Pengecilan nilai n dan c terhadap nilai yang sesuai (Tabel 1) sampai suatu nilai tertentu (untuk c Gambar 6 dan untuk n Gambar 8) akan menghasilkan suatu pola arus atau garis vektor kecepatan yang tidak beraturan. Pola aliran tersebut terjadi disebabkan oleh adanya ketidakstabilan numeris dalam proses hitungan model matematik, atau masukan nilai n dan c menyebabkan hasil hitungan model tidak konvergen (terdivergensi).

Model Matematis FESWMS Pola Aliran

37

c= 5,93

c= 25

c= 1100

Gambar 5. Pola arus di hilir krib bila nilai koefisien viskositas turbulensi dibesarkan dan nilai kekasaran dasar tidak diubah.

c= 5,93

c= 4,00

c= 2,50

Gambar 6. Pola arus di hilir krib bila nilai koefisien viskositas turbulensi dikecilkan dan nilai kekasaran dasar tidak diubah.

n= 0,010

n= 0,025

n= 0,050

Gambar 7. Pola arus di hilir krib bila nilai kekasaran dasar, n dibesarkan dan nilai koefisien viskositas turbulensi ttidak diubah.

n= 0,010

n= 0,025

n= 0,050

Gambar 8. Pola arus di hilir krib bila nilai kekasaran dasar, n dikecilkan dan nilai koefisien viskositas turbulensi tidak diubah.

38


Pembesaran nilai n dan c terhadap nilai yang sesuai (untuk c Gambar 5 dan untuk n Gambar 7), akan menghasilkan suatu pola aliran yang seragam, yang ditandai dengan tidak terjadinya arus pusaran di bagian hilir krib. Hal ini menunjukkan bahwa pada nilai viskositas eddy yang sangat besar akan menyebabkan tegangan gesek turbulen rerata kedalaman yang besar pula, sehingga alirannya akan cenderung mendekati aliran laminer. Dengan menggunakan parameter yang terkalibrasi, hasil running model matematik yang secara kualitatif mendekati fenomena model fisik dapat diperjelas dengan melihat Gambar 9. Panjang pusaran dan titik pusat pusaran yang terjadi antara kedua model mempunyai kesesuaian atau kemiripan secara visual.

Kalibrasi Kuantitatif Kalibrasi secara kuantitatif dilakukan pada kondisi geometrik dan kondisi batas yang sama dengan kalibrasi secara kualitatif (konfigurasi krib yang diamati adalah krib tegak lurus dan ratio antara panjang proyeksi krib dengan lebar saluran adalah 0,260). Perbandingan kuantifikasi nilai kecepatan pada kedua model yang dilakukan pada tampang I-I, II-II dan III-III (lihat Gambar 10) menggunaatau kemiripan kedua model secara kuantitatif. Simpangan (error) nilai kecepatan antara keduanya pada suatu tampang tinjau, ditunjukkan oleh nilai RMS-nya seperti terlihat pada Gambar 11. Pada Gambar 11 terlihat plotting data hasil simulasi model fisik dan model matematik pada ber-

boundary model matematik

Tracer kecepatan model fisik

Vektor kecepatan model matematik

Gambar 9. Hasil simulasi model matematik yang diplot di atas foto hasil simulasi model fisik.

Model Matematis FESWMS Pola Aliranluar belokanDebit 0,002 m /det0.23

39

0.15

Kecepatan (m/

0.1 matematik (cross 1) matematik (cross 2) matematik (cross 3) data fisik (cross 1) data fisik (cross 2) data fisik (cross 3) 0 -0.05 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.05

0

RMS (1) = 0,0041 (4,43%) RMS (2) = 0,0053 (5,63%) RMS (3) = 0,0041 (4,38%)

-0.1

Gambar 10. Tampang tinjauan pengukuran kecepatan arus.0.35

(a)

x/B

Debit 0,005 m /det

3

bagai simulasi debit di tiap tampang tinjauan. Untuk debit 0,002 m3/det nilai RMSnya berkisar antara 0,00410,0053 m/det, untuk debit 0,003 m3/det nilai RMSnya berkisar antara 0,0054-0,0060 m/det dan untuk debit 0,005 m3/det nilai RMSnya berkisar antara 0,0076-0,0090 m/det. Bila dibandingkan dengan nilai kecepatan reratanya, nilai RMS untuk debit 0,002 m3/det berkisar antara 4,43%5,63%, untuk debit 0,003 m3/det berkisar antara 4,09%-4,48% dan untuk debit 0,005 m3/det berkisar antara 4,01%-4,65%. Dari hasil kalibrasi secara kuantitatif yang dilakukan di atas, dapat dikatakan bahwa hasil simulasi model matematik memiliki kemiripan atau kesesuaian yang memadai, dengan penyimpangan (error) ratarata di bawah 5%. KESIMPULAN Hasil kalibrasi parameter hitungan model matematik FESWMS menunjukkan tingkat kesesuaian yang

0.3 0.25

Kecepatan (m/

0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 matematik (cross 1) matematik (cross 2) matematik (cross 3) data fisik (cross 1) data fisik (cross 2) data fisik (cross 3)

RMS (1) = 0,0090 (4,65%) RMS (2) = 0,0082 (4,10%) RMS (3) = 0,0076 (4,01%)

(b)0.25 0.2 0.15

x/B

Debit 0,003 m /det

3

Kecepatan (m/

0.1 0.05 0 0 -0.05 -0.1 0.2 0.4 0.6

matematik (cross 1) matematik (cross 2) matematik (cross 3) data fisik (cross 1) data fisik (cross 2) data fisik (cross 3)

0.8

1

RMS (1) = 0,0054 (4,09%) RMS (2) = 0,0060 (4,48%) RMS (3) = 0,0055 (4,19%)

(c)

x/B

Gambar 11. Nilai RMS untuk kondisi debit (a) 0,002 m3/s, (b) 0,003 m3/s (b) dan (c) 0,005 m3/s.

memadai antara hasil hitungan model matematik dengan fenomena yang terjadi di model fisik, baik secara kualitatif maupun secara kuantitatif. Kuantifikasi hasil kalibrasi model menunjukkan bahwa rata-rata nilai RMS yang dihasilkan dibandingkan

40


dengan kecepatan reratanya tidak lebih dari 5%. Dari proses kalibrasi yang dilakukan, dapat dilihat bahwa parameter kalibrasi n Manning lebih sensitif daripada parameter kalibrasi viskositas eddy (c) terhadap nilai kecepatan permukaan hasil hitungan model. Parameter kalibrasi n dan c pada material 1: n1 = 0,015;

DAFTAR PUSTAKA Anonim. 1995. Users Manual Boss SMS Version 5.02. Engineering Computer Graphics Laboratory. Madison: Brigham Young University. Burr, I.W. 1974. Applied Statistical Methods. New York and London: Academic Press Inc. Froehlich, D.C. 1997. User Manual Finite Element Surface-water Modeling System: Two-Dimensional Flow in A Horizontal Plane. Version 2. Lexington, Kentucky: Environmental Hydraulics Inc. Suroso, A. 1999. Model Perubahan Dasar. Tesis S2 Program Studi Teknik Sipil. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

o1 = 1,14x10-6 m2/det dan c1 = 5,93; sedangkan pada material 2: n2 = 0,010; o2 = 1,14x10-6 m2/det danc2 = 5,93. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapan terima kasih disampaikan kepada Dr Ir Adam Pamudji Rahardjo MSc dan Dr Ir Djoko Legono yang telah ikut memberikan saran dan komentarnya atas penelitian ini.

Jurnal Natur Indonesia 5(1): 29-40 (2002) ISSN 1410-9379

kalibrasi model matematis

Documents