Evaluation d’une technique de test d’un capteur devision CMOS à base d’une copule archimédienne

Kamel Beznia†, Ahcène Bounceur†, Reinhardt Euler†† Lab-STICC, CNRS, UMR 3192,- université de bretagne occidentale

20, Avenue Victor Le Gorgeu29238, Brest, France

Email: {Kamel.Beznia, Ahcene.Bounceur, Reinhardt.Euler}@univ-brest.fr

Résumé— L’évaluation des techniques de test analogique/RFet les métriques de test paramétrique nécessite une précisiond’un modéle statistique multivariée de des paramétres de sortiedu dispositif sous test, à savoir performances et les mesures detest. Dans cet article, nous utiliserons la théorie des copules pourcalculer un tel modèle. Un modèle à base de copules qui sépare lesdépendances entre ces paramétres de sortie de leurs distributionsmarginales, fournissant un ensemble complet et description sanséchelle de dépendance qui est plus apte à être modélisés enutilisant des lois multivariée paramétriques. Dans cette articlenous montrerons l’utilisation des copules Archimèdiennes pourla modélisation des dépendances non-gaussien. En particulier,une copule Clayton sera utilisée pour modéliser les dépendancesentre les paramétres de sortie dúne technique de test. Le casétude pour imageurs CMOS.

I. INTRODUCTION

L’estimation des métriques de test paramétrique durant laphase de conception est une tâche essentielle dans un fluxde conception pour le test pour les circuits de dispositifsanalogiques/RF. Étant donné que ces circuits sont sensibles auxdiviations combiner de plusieurs paramètres d’entrée, offrant uneapproche globale du modèle de faute paramétrique est une tâchedifficile. De toute évidence, ce n’est pas suffisant pour modéliserles variations défectueux des appareils qui peuvent résulterde la combinaison des diviations des paramètres multiples. Leproblème de l’estimation des métriques de test à savoir la Pertede rendement et le taux de défauts est équivalent au problème derendement estimation pour les concepteurs analogiques / RF. Celase fait habituellement lors de la conception à l’aide des expéri-ences et des modèles-régression. Compte tenu de l’importantelade la dimension ie l’espace des paramètres d’entrée (conceptionet les paramètres de la technologie), les concepteurs doiventgénéralement choisir paramètres d’entrée le plus critique pourla construction de l’estimation du rendement modèles. Cetteapproche repose sur une profonde compréhension de la dispositifsous test, et est donc très difficile d’automatiser en pratique.Une approche alternative pour les circuits analogiques/RF estde ne travailler que sur l’espace des paramètres de sortie quiest généralement de dimension beaucoup plus faible que l’espaced’entrée. La fonction de distribution cumulative (CDF) de lasortie paramètres correspondant à un modèle statistique quiincarne tous les les informations requises pour l’essai paramètresd’estimation paramétrique. Il est un modèle complet du com-portement du système paramétrique. Ainsi, il peut égalementêtre utilisé comme une faute complète paramétrique modèle del’appareil à test. Plusieurs techniques ont été considérées dans lepassé pour découlant de ce type de modèle statistique [1] [2] [3].Les données pour l’extraction de ce modèle a été obtenu grâceà Monte Carlo simulation du dispositif sous test, généralementl’examen d’une analyse rapide de quelques milliers de circuits.

Depuis paramétrique défectueux dispositifs sont des événementsrares, une difficulté majeure consiste à bien l’estimation desqueues de distribution, si ces faits, rares sont trouvé. Il ya peude données, le cas échéant, sur les queues de distribution Dansla première série de données de Monte Carlo. Bien que lestechniques existent pour générer des données dans les queuesde distribution avec un nombre limité exécuter des simulationsde Monte Carlo [4], l’application de ces techniques pour unespace des paramètres de sortie multidimensionnelle prendre untemps que la dimension de la augmente l’espace de sortie.Uneapproche pour résoudre ce problème est de considérer copulesla théorie de la construction du modèle statistique. Un copulesà base modèle sépare modélisation des dépendances entre lesparamètres de sortie du modèle de la distribution marginalede chaque paramètre de sortie. En conséquence, le modèlede les dépendances des paramètres et le modèle du marginaldistribution de chaque paramètre sont estimées séparément. L’modèle des dépendances de données (une copule) est un systèmecomplet et description sans échelle de dépendance qui est plusapte à être obtenu à partir de lois bien connues multivariéesparamétriques. Pour estimation de la copule, nous utiliseronsdans cet article les données de un rapide résumé de simulationde Monte Carlo. Dans des travaux précédents, nous avons utilisépour la copule gaussienne la modélisation des dépendances entreles paramètres de sortie pour certains types de dispositifs (e.g RFLNA [2]). Dans cet article, nous illustrent l’utilisation de copulesarchimédiennes pour la modélisation non-gaussien dépendancesparamètre de sortie. Nous allons d’abord examen des travauxantérieurs dans ce domaine à la section II. Ensuite, Section IIIprésentera la théorie des copules archimédiennes,décrivant enparticulier la copule Clayton. Cette copule sera utilisées pourmodéliser une technique de test étude de cas pour imageursCMOS présentés à la section IV. métriques de test paramétriquestels que le pixel fausse acceptation et de faux rejet sera estiméeau moyen du modèle dérivé à la section V. Enfin, nous concluonsle document avec des directions des travaux futurs

II. LES TRAVAUX PRÉCÉDENT

III. PREVIOUS WORKS

Le calcul direct des métriques de test du circuit lors dela simulation Monte Carlo est quasiment impossible, car lesdonnées sont insuffisant pour représenter correctement les dis-positifs défectueux (ou de dispositifs de cahier des charges). Afind’obtenir une précision de quelques parties par millions (ppm),il est nécessaire de générer une population d’au moins d’unmillion à partir d’une petite population initiale. Une approchepour produire ce grand nombre de dispositifs est de premièreestimation de la fonction densité de probabilité conjointe (PDF)de les paramètres de sortie d’une petite population de dispositifs,et échantillon suivant cette densité pour produire les appareils.

Comme le montre la Figure 2, plusieurs approches ont étéconsidérées dans le passé pour obtenir cette fonction de densitéau stade de la conception, en tenant compte dans tous lescas un échantillon initial de données obtenues grâce à unesimulation rapide Monte Carlo circuit. Une première approcheconsidérée comme une normale multivariée fonction [1]. Cetteapproche paramétrique est simple, mais elle est limitée au cas desparamètres de sortie qui ont Gaussiennes linéairement corrélésentre eux. Une plus générale approche non paramétrique aété considéré dans [3], en utilisant une adaptation du noyauEstimation de la densité (KDE). Bien que cette méthode ne faitaucune hypothèse sur la vraie forme de la densité, il souffred’une imprécision croissante que les dimensionnalité de l’espacede sortie augmente. Enfin, l’utilisation de la théorie des copulesa été examinée dans [2], en utilisant une gaussienne copule pourmodéliser les dépendances de données. Dans cette approche, ledistributions marginales des paramètres de sortie peuvent avoirun forme arbitraire. Toutefois, les dépendances de données entreles lois marginales doivent être gaussienne. Cela a été démontréque une approche raisonnable pour les périphériques tels que lesamplificateurs à faible bruit RF.

Copulas based model

Gaussian [2]

Archimedean [this work]

Non parametric model

[3]

Multivariate Gaussian model

[1]

Large population generated

from the statistical model

Small population generated

from the circuit simulation

Fig. 1. Méthodes statistiques pour la génération d’un échantillon de circuitde population plus large utilisant l’estimation de densité.

Copulas based model

Gaussian [2]

Archimedean [this work]

Non parametric model

[3]

Multivariate Gaussian model

[1]

Large population generated

from the statistical model

Small population generated

from the circuit simulation

Fig. 2. Statistical methods for the generation of a large circuit populationusing density estimation.

Récemment, une approche qui utilise Théorie des ValeursExtrêmes (EVT) et la technique statistique-blocus [4] pours’adapter à une densité à la queue de distribution d’un seulparamètre en sortie, a été présenté dans [5]. Cette approchepermet une rigoureuse précision estimation des paramètresd’essai avec une précision ppm quand un seul paramètre desortie est considéré. Toutefois, l’extension de cette approche pourun cas multivarié n’est pas bien connue. Certains les résultatsrécents ont porté sur la théorie des copules multivariées analysedes valeurs extrêmes dans les domaines des financiers [6] et del’hydrologie [7] . Bien que l’exploration de ce domaine serontconsidérées de poursuivre les recherches, le présent documentest destiné à illustrer l’utilisation de copules non gaussiennespour la modélisation de la dépendance et d’essai paramètresd’estimation.

IV. THÉORIE DES COPULES ARCHIMÉDIENNE

A. Génération d’Echantillons à l’Aide des CopulesNous allons utiliser la théorie des copules de générer un large

échantillon de dispositifs à partir d’une une petite initial obtenuà partir d’un rapide Monte Carlo simulation de circuit. Nousne décrirons pas la théorie des copules formellement dans leprésent document. Les définitions de base et les propriétés desfonctions copules sont présentés dans [8]. Une brève introductionde copules pour l’essai paramètres d’estimation est donnée dans[2]. Pour illustrer l’utilisation de la théorie des copules pourla génération d’échantillon, nous examinera l’exemple à deuxvariables de la figure 3.

Fig. 3. Calcul de la copule d’une population.

Le diagramme de dispersion d’un vecteur aléatoire à deuxvariables X = (X1, X2) est affiché dans le coin supérieur droit(couleur mauve) de la figure 3. Afin de séparer les dépen-dances entre ces deux variables aléatoires de leurs distributionsmarginales, nous appliquonsla transformation ui = Fi(xi), oùchaque échantillon initial point (x1, x2) est transformé en un nou-veau point (u1, u2), à l’aide le CDF marginal de chaque variable(F1 for x1 and F2 for x2). Le résultat de cette transformation estle vecteur aléatoire à deux variables U = (U1, U2)) indiqué dansle coin inférieur gauche (couleur bleue). Cette distribution nouveléchantillon correspond à une étude empirique copule pour laque-lle les distributions marginales sont uniformes. Cette descriptioncomplète et sans échelle de dépendance est plus adapté à êtremonté à bien connues multivariée lois paramétriques copulesappelé.

Une fois une forme paramétrique de la copule a été installée,nous pouvez l’utiliser pour la production d’un large échantillonde données. Nous pourrez déguster un nombre arbitrairementgrand de points de la densité de la copule, et chaque pointpeut être transformé à nouveau à la distribution initiale enutilisant l’inverse CDF de chaque marginal variable xi =F−1i (ui). L’échantillon de données générées seront ensuite ont

le même fichier PDF joint que l’échantillon initial de données.Cette est illustré à la figure 4. Comme dans [2], nous avonsconsidéré un Copule gaussienne pour cet exemple qui peut êtrefacilement reconnue par sa forme elliptique semblables à desyeux (en bleu). Pour l’échantillon Copule gaussienne, nous avonsd’abord transformer la copule empirique initial en utilisantune distribution multinormale normalisés marginal distributions.Nous avons ensuite adapter une distribution multinormale à

ce données qui sont faciles à échantillonner en utilisant destechniques disponibles (en noir). Chaque point produit dans lemultinormale distribution est transformé à nouveau à la copuleen utilisant le standard marginaux (en bleu). Enfin, chaque pointde copule est transformé à la distribution initiale en utilisantl’inverse CDF de chaque variable marginal (couleur mauve).

Fig. 4. Génération d’échantillons à l’aide d’une copule gaussienne.

B. Les Copules Archimédienne

Dans ce travail, nous allons illustrer l’utilisation a autre typede copule pour l’estimation des metriques de test, qui appartientà la famille de copules archimédiennes. Copules archimédiennesincluent une grande variété de familles de copules qui peuventêtre facilement construits pour modéliser les dépendances nonlinéaires et non elliptiques. Par exemple, copules archimédiennespeut décrire les dépendances asymétriques, où les coefficients dedépendance dans la partie supérieure et inférieure de la queuesont différents.

Dans ce travail, nous allons utiliser la dépendance du coeffi-cient de Kendall tau au lieu du facteur de corrélation linéaireclassique rho. Un estimateur τ̂ de ce coefficient est calculé commesuit

τ̂ =2

n(n− 1)

∑i<j

sgn[(xi − xj)(yi − yj)], i, j = 1, ..., n (1)

where

sgn(z) =

{1 if z ≥ 0−1 if z < 0

(X,Y ) des variables aléatoires continues. les copules archimédi-ennes va avoir la formule suivante: Archimedean copulas havethe following form:

C(u1, u2) =

ϕ−1(ϕ(u1) + ϕ(u2)) ifϕ(u1) + ϕ(u2) ≤ ϕ(0)

0 otherwise(2)

Using the generator function ϕ, the Kendall’s τ of anarchimedean copula can be written as follows :

τ = 1 + 4

∫0

1ϕ(u)

ϕ′(u)du (3)

It is estimated using Equation (1).

C. Copule de ClaytonLa copule Clayton [9][10] est une copule archimédienne dont

la fonction génératrice est définie comme:

ϕ(u) =1

θ(u−θ − 1) (4)

avec, θ ∈] − 1, 0[∪]0,∞[. pour le cas de deux dimensions de safonction C(u1, u2) peut être écrit comme suit:

C(u1, u2) = max

{(u−θ1 + u−θ2 − 1

)− 1θ, 0

}(5)

La formule générale de cette q́uation est donné dans[8]. Leparamètre θ dépend de tau Kendall et est calculèe comme suit:

θ = − 2τ

τ − 1(6)

Figure 5(a) montre les CDF de la copule Clayton avec unparamètre θ = −0.63 et la figure 5(b) montre un ensemble de1000 échantillons provenant de cette copule

(a) (b)

Fig. 5. (a) CDF of a Clayton copula with θ = −0.63, (b) 1000 samplesgenerated from the Clayton copula.

V. ETUDE DE CAS

Notre étude de cas sera une technique de BIST pour unimageur CMOS présenté dans [12]. Les parties analogiqueset à signaux mixtes de l’imageur comprennent un pixel grandematrice, les amplificateurs de colonne et les convertisseurs de don-nées. La matrice de pixels généralement composées de millions depixels est généralement lu ligne par ligne dans les amplificateursde colonne. Figure 6 montre la structure de pixel composé detransistors PMOS et d’une photodiode. Ce type de pixel donneune relation logarithmique entre le tension de sortie (Vph) et de lalumière incidente (représentée par la courant photogénéré Iph).

La performance principale mesurée pour la matrice des pixelset la colonne de l’amplificateur . les différentes sources de lumièresont utilisés pour mesurer le bruit. Deux grands types de FPNsont mesurées: réponse des pixels non uniformité (PRNU) qui estobtenu en utilisant des sources lumineuses et Dark Signal nonuniformité (DSNU) qui est obtenu dans des conditions sombres.

La technique de BIST consiste à l’application d’une impulsionde tension à l’anode de la photodiode, et mesurer de la tensionde sortie VA du pixel. Cette mesure électrique est effectuéetrès rapidement, et la mesure de la production n’est donc pasdépendant de la lumière entrante. Cette mesure BIST vise àsaisir les principales sources de DSNU, comme l’inadéquationdes transistor.

Logarithmic compressor

Column ampli!er Input stage

Vpol_P

!!"

!"

!#

!$

"#$%

!&'%

!%&'(

!#(!)*$%

Fig. 6. Logarithmic pixel structure.

Dans ce travail nous considérons uniquement la performanceDSNU qui a une relation non linéaire avec la BIST mesure VA.La spécification est DSNU ∈ [−0.032, 0.032] V, fixé à 3σ, cequi conduit à un rendement de ' 3000dppm (défaut paetie parmillion soit 3000 pixels de spécifications par 1 million).

VI. ESTIMATION DES METRIQUES DE TEST AVEC LACOPULE DE CLAYTON

Pour une coupe avec des paramètres de sortie X =(X1, X2, ..., Xn), la procédure générale pour l’estimation de testparamétrique paramètres est la suivante:• Exécuter un circuit au niveau de la simulation Monte Carlo

pour obtenir m des échantillons de X.• Fit une copule paramétrique pour la copule empirique

obtenue.• Utilisez un test de la bonté de l’ajustement de vérifier que les

échantillons de m X suivre la copule paramétrique équipée.• Exemple de la copule de générer N (m N) de nouvelles

observations de X.

A. Test de la copule de ClaytonFigure 7(a) montre un diagramme de dispersion des

paramètres de sortie (DSNU, VA) que les résultats d’une simula-tion Monte Carlo circuit au niveau du pixel avec 1000 cas. Chaqueparamètre de sortie a une distribution gaussienne marginal. Lesdistributions marginales ont été validées avec le classique testunivarié de Kolmogorov-Smirnov la bonté de l’ajustement. Lesparamètres de ces gaussiennes sont donnés comme suit:• DSNU : µ=1.7mV , σ=10mV• VA : µ=513mV , σ=9mVEn transformant chaque point d’échantillonnage via la fonc-

tion de chaque CDF marginal, on obtient la copule empiriquede la figure 7(b). La distribution résultante n’a pas une formeelliptique typique d’une dépendance gaussienne. Au lieu de cela,cette distribution a la même forme que la Copule bivariée Claytonde la figure5(b). Afin de vérifier formellement la présente, nousutilisons le test de qualité d’ajustement présenté dans [13] quiutilise comme statistique de test de Cramer-von Mises. Ce testmis en oeuvre dans le logiciel R compare la copule empiriqueavec une estimation paramétrique de la copule. La copule est eneffet une copule Clayton qui est caractérisé par le paramètre θ.Ce paramètre est estimé en utilisant l’équation ref eq: theta.Notez que pour calculer θ̂, nous devons estimer la Kendall τ .Par conséquent, θ̂ = −0.77 pour un montant estimé τ̂ = −0.63.

(a) (b)

Fig. 7. (a) un échantillon initial de 1000 pixels obtenus à partir de circuitau niveau de la simulation Monte Carlo, et (b) la copule empirique del’échantillon initial.

B. Génération d’échantillon plus largeAvec la valeur estimée de θ̂, nous pouvons générer un large

échantillon de dispositifs utilisant la copule Clayton. Par exemple,la figure8 comparesamplescopnpa montre le résultat de générer16.000 échantillons en utilisant la copule Clayton (en noir) etles 1000 premiers échantillons obtenus par simulation de MonteCarlo (en gris).

Fig. 8. 1000 pixels generated from circuit-level Monte Carlo simulation(gray) vs. 16000 generated from the Clayton copula (black).

C. Estimation des metriques de TestPour l’estimation des paramètres de test, nous générons

désormais un échantillon de 1 million de pixels. L’échantillonproduite est utilisée pour fixer les limites d’essai sur la mesure deVA, afin de parvenir à des compromis souhaité entre l’acceptationpixel faux (FA) et de faux rejet (FR). Figure?? montre les valeursde la FA et FR pour les limites d’essai différentes de la mesured’essai VA dans la gamme [0.51− k, 0, 51+ k] V où le facteur kestvarieentre0 0, 06 V avec un pas de 0,001 V. Une valeur deFA = FR = 2124 ppm.

VII. CONCLUSIONS ET TRAVAIL FUTURE

Cet article illustre l’utilisation de la copule de Clayton pourla modélisation des dépendances non-linéaires entre DSNU etla mesure de BIST pour un imageur CMOS le cas étude decas. Le modéle de copules-fondé à été utilisé pour la fixation delimites test et la mesure du BIST et l’estimation des paramétresde test tels que l’acceptation de faux pixels et de faux rejet. Le

Fig. 9. Test metrics vs. test limits estimated form the set of 106 circuitsgenerated from the Clayton copula.

résultat obtenu de la FA = FR = 2124 ppm indique déjá quedes travaux supplémentaires sont nécessaires afin de proposerune mesure plus précise BIST de remplacer les tests DSNU.Dáutres travaux seront également examinées à explorer l’analysemultivariée des valeurs extrêmes en utilisant la théorie descopules, afin d’augmenter la précision de la méthode d’estimationdes paramétres et tests d’intégrer les outils développés dans uneplate-forme CAT à signaux mixtes existants [14]..

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