,2010.(j)jI 151 161.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 jj . . . . . . . . . 191.3 . . . . . . . . . . . . . . 221.4 . . . . . . . . . . 231.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.1 j . . . . 261.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 1 292.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 2 403.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 j. . . . . . . . . . . . . . . . 454 j j j 484.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 j . . . . . . . . . . . . 535 j 555.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.1 j . . . . . . . . . . . 582,,2010.5.2.2 j . . . . . . . . . . . . 595.3 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 j, 676.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 j jj . . . . . . . . . . 686.3 j . . . . . . . . . . . . . . . 706.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 j 767.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 - 958.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2 j- . . . . . . . . . 968.3 j- . . . . . . . . . . . . . 98II 1009 jj 1019.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310 10510.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711 11011.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11212jj 11412.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11412.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ,,2010.13 11813.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11813.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014j 12214.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12615j 12815.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130III 13216j 13316.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13316.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13316.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617j 13917.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13917.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13917.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14418aj 14718.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14718.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14718.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15119 15319.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15319.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15319.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15720jj 16020.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16020.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16421jj 16621.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168,,2010.22j1 17022.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17022.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17122.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17423j 17623.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17623.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17823.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17824j 18024.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18024.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18124.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18525j2 18725.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18725.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19026j 19326.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19326.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19426.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19627 19827.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19827.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20028j 20328.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20328.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20328.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21029jj 21229.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21229.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21229.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21530j 21830.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21830.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21830.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 ,,2010.IV 8. 22331j 22431.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22431.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22531.3 . . . . . . . . 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25737j 25937.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25937.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26037.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26538j 26738.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26738.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26738.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27139j 27339.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27339.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27539.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277,,2010.40j 27940.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27940.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28040.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28441-(jj) 28641.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28641.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29042j 29242.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29242.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29342.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29543j 29843.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29843.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29843.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30144jj 30344.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30344.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30344.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30645 30945.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30945.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30945.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31246j 31446.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31446.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31446.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317V 7. 31947j 32047.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32047.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32247.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32448j2 32648.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32648.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 ,,2010.49-(jj) 33049.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33049.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33149.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33550 33750.1 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33750.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33850.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34151j 34351.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34351.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34351.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34652 34852.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34852.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34852.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35053jjj? 35253.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35253.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35253.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35754j1- 35954.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35954.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35954.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36255j2- 36455.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36455.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36455.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36756j3- 36956.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36956.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37056.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37257j2() 37457.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37457.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37457.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377,,2010.58 37958.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37958.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38259 38459.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38459.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38459.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38860j() 39060.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39060.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39060.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39261J 39561.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39561.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39561.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398VI 6. 40062j1() 40162.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40162.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40162.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40463j2() 40663.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40663.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40763.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40964j 41264.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41264.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41364.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41865j 42065.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42065.1.1 jj . . . . . . . . . . . . . . . . 42065.1.2 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42165.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42266j 42566.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42566.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42566.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 ,,2010.67 43067.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43067.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43067.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43268-(, ) 43568.1 j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43568.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43668.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44069j 44369.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44369.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44369.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44670 44870.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44870.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44970.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45271 45471.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45471.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45471.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45572j 45872.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45872.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45872.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46173 46373.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46373.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46574j 46874.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46874.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46974.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47175 47475.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47475.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47475.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477,,2010.VII 5. 47976j 48076.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48076.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48076.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48377 48577.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48577.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48577.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48878j 49078.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49078.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49078.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49279 49579.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49579.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49579.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49880 50080.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50080.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50080.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50281 50481.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50481.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50481.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50682j 50882.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50882.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50982.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51183 51483.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51483.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51784j 51984.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51984.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 ,,2010.85(j, ) 52485.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52485.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52986 53186.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53186.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53186.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53387j j j j 53587.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53587.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53587.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53788(jj) 54088.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54088.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54088.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54289(,) 54589.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54589.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54589.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54890() 55090.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55090.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55090.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552VIII 4. 55591 55691.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55691.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55691.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55992 56192.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56192.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56192.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56393 56693.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56693.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56693.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568,,2010.94 57194.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57194.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57194.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57395J 57695.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57695.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57695.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57896 58096.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58096.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58397 58597.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58597.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58597.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58798jj 58998.1 j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58998.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58998.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59399j(,j) 59599.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59599.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597100 j 600100.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600100.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602101 jj 604101.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604101.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607102 jjj 609102.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609102.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610103 - 613103.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613103.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 ,,2010.104 j2 617104.1j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617104.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617104.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619105 j 621105.1j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621105.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622105.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625I151PrimitivnikoreniDuxanMilijanqevi,Matematiqkagimnazija1.1 Yono:ooiynniu:u!o:onoonxounfoon]cin:ufon]uanofo-oun:unu!oouu. ,unouofuio|nnnmn:o ]onyonu]:nuuu]nn]nxoaunn]uyciynynoanxoo]onu,oaunn]yioniyonnn]o.Definicija1. !uo:oucynoanoo]onnanbioniyonfnnno:o-yayn(n Z 0)nnnmo:oa nbuionunn[a b.Ioaunn]uioniyonnn]o n:unoo:ucanuno ocoonno iuonoaunn]u]onuiocfnncuu!o:ooiu:ufnnoioonx.Teorema1. iocya, b, c, dnoanoo]ononn Z0onunun.1a na.2io]oa nb,onu]onb na.3io]oa nbnb nc,onu]oa nc.4io]oa nbnc nd,onu]oa +c nb +dnac nbd.5io]oa nb,onu]oaknbk:ucnuinnnounoo]k.6io]oad nbdnd ,= 0,onu]oa n(n,d)b, io]o(n, d)o:nuiu:unu]no!n:u]onnuinoanaunoo]onunnd.16,,2010.Dokaz:1)oiu:caonn:o|nnnnn]ooaunn]oioniyonnn]o.2!uio ]o a nb, fo ]o a = kn+b, :u noin noo oo] k, nu ]o b = kn+a,onocnob na.3!uio ]oa nb fo ]o a = kn+b, k Zn iuio ]o b nc fo ]o b = tn+c,t Zniuio]ob= kn + afo]o kn + a=tn + cnu]oa=tn + kn + conocnoa = n(t +k) +cnu]oa nc.4!uio]oa nbnc ndfo]oa = kn + bnc = tn + d, :unoionoaooo]onoknl,nu ]oa+c = kn+b+tn+d. Onu ]oa+c = (k+t)n+b+d f].nun a+c nb+d. Canuno ]o n ac = (kn+b)(tn+d) = ktn2+knd+btn+bd =n(ktn +kd +bt) +bdonocnoac nbd.5)oiu:!o:on:nocfn:ofoo::ufo:ufnuionnyinn]o. ,uk=1oon]u:o a nb mfo ]o ycaon :uufiu. Iofnocfunn:o u fooo:u nun:uk=r noiu:u!:ounun:uk=r + 1. Onu]oarnbr, nuio-ncfo!n'ooo:ylno1oon]u:oar a nbr b,onocnoar+1nbr+1un:o]ooiu:unnnyinn]cinioui,nucu:n:fn:nfuonofn)oo.6!uio]o ad nbdfo]o ad=kn + bd:unoinnoooo] k. Onud[kn, onocnod(n,d)[kn(n,d). Iomfo]o(d(n,d),n(n,d))=1, fonund(n,d)[k, nunocfo]nnoooo] l fuiunu]ok=ld(n,d). Onu]oad=lnd(n,d)+ bd, nu]oa =ln(n,d)+b,onocnoa n(n,d)+b. )oiun:oao:yio]o!o:oioncfnfnyoiu:yO]aoonofooo:o. 1. Hoiu]o n Nn(a, n) =1 (a Z). iocya1, a2, ..., a(n)nnonnoo]onn :un o nn y:u]u:o nocfn cu n, onu cy oo-]onnaa1, aa2, ..., aa(n)ioniyonfnnoo]onn:ua1, a2, ..., a(n)no:oyaynynoio:oocaoy(onuiunciynoo]onunu:nnucooyionuncncfo:ocfufuiuno:oyaym).Dokaz: )oiun:oucnuinooo]onu aa1, aa2, ..., aa(n)u]o u:-anunfocfufuinnooycun. Iofnocfunn:ocynofnof]. u]oaai naaj,:unoio1 i < j (n). Onua[a(ai aj),nu:ooi(a, n) = 1oon]u:oai naj, mfo]oionfuninn]ucun:ooo:oo]onuainaj.Onn:]oao:uoiu:un.Definicija 2. +yninn]u io]u cnuio: nnono: oo]y n ooy]o oo]nnonnxoo]onu io]nnncyno!nonny:u]u:nocynocfncu nnu:nnucoO]aoonu|yninn]unoooaounucocu(n). ,,2010.)o|nnnnn]yO]aoono|yninn]onaycfy]o:onn:on:u. (8) =4]ocyoo]onn1, 3, 5n7y:u]u:nonocfncu8(u2, 4, 6, 8nncy),(7) = 6]ocyoo]onn1, 2, 3, 4, 5n6y:u]:nonocfncu7(u7nn]o).Teorema2. (O]aoonufooo:u) io]onnnounoo] n(a, n) =1onu]oa(n)n1.Dokaz: Hoiucya1, a2, ..., a(n)nnonnoo]onnnono!nonny:u-]u:onocfncun. !uio]o(a, n)=1n:o:oln:u:oucyoo]onnaa1, aa2, ..., aa(n)ioniyonfnnoo]onn:u a1, a2, ..., a(n)no:oyaynynoio:oocaoy. Onuaa1 na1, aa2 na2, ... aa(n) na(n), iocyoo]onna1, a2, ..., a(n)oo]onna1, a2, ..., a(n)ynoio:oocaoy. Y:n-:u]y!nnon:noufnxioniyonnn]uoon]u:o(aa1)(aa2)...(aa(n)) na1a2...a(n)na1a2...a(n),nu ]o a(n)a1a2...a(n) na1a2...a(n). !uio ]o (ai, n) = 1 :u 1 i (n),fo]o(a1a2...a(n), n) = 1,nu ciu!nnuo: nocaoo ioniyonnn]o oon]u:oa(n)n1,mfo]ofoouaooiu:ufn. In:ofn:ou:unocfoo]pnun(p) = p 1,nu]oap1p1uiop nooana,mfo]o ^uau+o:uonufooo:u. )uiao,O]aoonufooo:u]oyonmfoo^uao+o:uonofooo:o.Definicija3. iocynoanoo]onnanny:u]u:nonocfn, noouioo]uano:oyayn]onu]:unnnounoo]kfuiunu]oakn1.Iunauimoicxnufuuo|nnnnn]ynoofiunaycfy]o:onn:oo:.Ioouioo]u2no:oyay5]o4:ufomfo2152, 2254, 2353,2451.Cuu!o:ooiu:ufnnoioaniocno]cfununoofiuno:oyay.Teorema3. io]onoouioo]uano:oyayn]onuikonualn1(l N),uioncu:ouiok[l.Dokaz: Ino!o:ooiu:ufnuuio]oaln1, onuk[l. Iofnocfu-nn:ocynofnou]ol=kx + rn0 2,fo]oionfuninn]ucun:ooo:oo]ug. Onn:c:ooiu:uanfn)oo:uufiu.Zadatak3. Hoiu]onnnounoo]. )oiu:ufnunocfo]noocionuuno:noionocfnxoo]onupfuinnxu]onu]:unno:nfnnunnn:nfnnunioonno:oyaypno!non.Iomooonoinooao:uioncfn]onynooao:nfunyfooo:y, nuiuno!o:oononunonfn.1.5 Y ono: ooiy nniu:u!o:o iuio co no:o!y nunoono foon]o o nn-:nfnnnn:ioonn:u:oiynu]onocfununnuunnoiu:ufnu:nocfnunn:foon]ooo]onu.1. (Inacononufooo:u)io]opoo]onu]o(p 1)! p 1.Dokaz: Hoiu]ognn:nfnnunioonno:oyayp. Onuno'ooo:n9. nun(p 1)! pg0+1+...+p2pg(p1)(p2)2.Huocnony'ooo:oS. ]o gp12p 1, nu]o g(p1)(p2)2p 1, mfo:unmunuoiu:fooo:o.2. Hoiu]oSk=p1

i=1ik, :unoinnonuunnocfoo] pnk N. Hu!nocfufuioSknnooyp.Rexee: Hoiu]ognn:nfnnunioonno:oyayp. Onu:ucnuio1 i p 1nocfo]n]onncfnono0 j p 2fuinou]ogjpi,nu]o,,2010.Sk=p2

i=0gki=gk(p1)1gk1.iok[p 1, onu]oSk p 1, uuiop 1 ,[k, onu]o(gk 1, p) =1,nu]oSk p0,un:oc:o:unmnan:uufui.3. ,uufnnonuunnocfoo]pnu!ncno|yninn]of: Z Zfuinounun(1)f(m) = f(n):ucnom, n Z:uio]om pn.(2)f(mn) = f(m)f(n):ucnom, n Z.Rexee: O:nuun:ocugnn:nfnnunioonno:oyayp. I:yio]onuiocfn:um=n=0oon]u:ou]of(0)=f(0)2, u:um=n=1oon]u:of(1) = f(1)2,nununf(0), f(1) 0, 1. I:u:ocaoo!ocayn-xu]ono.(1)f(1) = 0. Onu]of(m) = f(m)f(1) = 0,nu]of(m) = 0:um Z.(2)f(1) = 1. !uio]ogp11p,fo]of(g)p1= 1,nu]of(g) 1, 1,mfonu:nononou]ocayuu]ono.(21)f(g)=1. Onu]of(gi)=f(g)i=1, un:o]ooo)onu|yninn]u:u cno nonocfn uiy:onfuio]o nncyonnn cup. !uio ]of(0) 0, 1oon]u:o no :oiy!nocfnf(m) =1 :u cno mZnan f(m) =1 :um Z, p ,[ nnf(m) = 0:up[n.(22)f(g) = 1. Onu]of(0) = f(0g) = f(0),nu]of(0) = 0. 'uio)o]of(gk) = (1)k,mfooo)y]oounon cn:ooa,nu]of(m) = (xp),f].ocfufuioxp12nnooycup.Ouniaonocnoono|yninn]oncnyunu]yycaono:uufiu, nucyono:uncfuomoo. Onn:c:o:unmnan:uufui.4. Hoiu]o p nocfoo] no!no3. )uan]o :oiy!o ucnoonfnoo]ono1, 2, ..., p 1yfo:onup 1-foyiaufuiou:ucnuiufncyconuoo]ua, b, cfuinuu]obn::o)yancnunp[b2ac.Rexee: ^oiy!o]o. Hoiu]ogonaoio]nnn:nfnnunioonno:o-yayp. Io]gi1modpcfunn:oyi-fofo:o:noioyiau:u1 i p 1.Onn: cy no 'ooo:n 9. ooyxnu!onn cnn fuonn oo]onn. ,u y:ucfonnufnfo:onu a, b, c nunb2 ac =(gi)2 gi1gi+1p0, mfo:unmunu:uufui. ,,2010.1.6 1.6.1 jInfuoio]oconocfununocaonofxonoinooao:u]ooo)nnu-onu]:uoinn:nfnnnoiioonunoufo::oyay. Onomfo]o:unn-:nno]ou]oono]omynoiofnoonnooao:. Ono!o:on:no]nfnnoioo:nuuu]nn]nxo:yafufun:onoooaucfn. Huunno,no!o:onuno-nfn oiu:o onnx fooo:u, ]o cy uaoio o oao:onfunnx. Iun auimoicnuauouo:nuun:ocug(p)nu]:unno:nfnnunnn:nfnnunioonnonocfo::oyayp. Inu:nuuu]nufooo:un:onoooaucfn]ocaoo!u.Teorema15. (Innoiuon, l9Su) Iun caoo!u no]oonuiocf (io ]o cumo:nuuonoo]u:anunfnxnocfnx|uifouop 1).g(p) 2mp 1(p 2)p.Homfoiucnn]onununono]onooomuoynnycaoo!ofooo:o.Teorema 16. (Xyu, l912) Iun caoo!u no]oonuiocf (io ]o cu mo:nuuonoo]u:anunfnxnocfnx|uifouop 1).g(p) < 2m+1p.,unn:nno ]o n nuno:onyfn fo u yioanio on co yonmfonu In:unonuxnnofo:unoiu:uaufuuno:, n:oonco:oiaon:nocfnu]onu]:unnn:nfnnunioonnonocfo::oyaypnn]ono!no70(ln p)2, mfo]o:noiooounononuonunoonnx.1.6.2 ArtinovahipotezaJonoonu]:nuuu]nn]nxnnfuyyno:nnn:nfnnnnxioonuonocnconuciynoo]onuio]nn:u]ynoooo] a:unn:nfnnunioon. Inyxnnofo:yoono:ciynynocfunno]oI:nafnny1927. ionnn. +o-:yaunn]uxnnofo:o]ocaoo!u.Hipoteza 1. (fnn) Hoiu]o a noooo] u:anunf o 1 io]nnn]onofnyninuuf. O:nuun:ocuS(a) ciynnocfnxoo]onuio]nn:u]ynn:nfnnunioona. 'uuS(a) n:uno:nfnnnyiycfnnyyciynyno-cfnxoo]onu (mfo:nuun u ]oS(a) oocionuuun). io oo]a nn]o onninuufo:no!n:o1iycfnnu]ono:unncnuoann:nocn.,,2010.

(1 1p(p 1)),ioconon:nonmnnocnn:nocfn:oo]onn:u.Io]n:nofxonoo|nnnnn]onu:nnucofnnonuioncfunfu.Y1967. ionnnXoao] ]o nnn oiu:uo nofxonyxnnofo:y ocau-u]y!nconucnonn]uanocayuu]onoyonmfonoIn:unonoxnnofo:o,un:o]o xnnofo:u]omynoi ocfuauofnoonu. Y1984. ionnnno]nnu:u-fo:ufnuuu Iu:nIynfu noiu:uancyu ]o xnnofo:u fuunu :u ooc-ionuuno:noiooo]onua. Hu]no!nnunouiyoiu:unnyyunnno]oIomoXnf-Iuynnoiu:unmnunocfo]onu]nnmonunocfuoo]u:uio]u]ofnnonuxnnofo:unofuunu. Iuio]onofxonn:ufo:ufnuu1cioodoiu:uo xnnofo:y]omynoicono:nu:uio]onocfooo]ono]oonu:ou nofuunu. Ono mfo ]o :unn:nno ]o u co ]om ynoi no :nu nn ]onunonocfoo]ua:uio]y]oonufuunu.[1] . j, . j, 282-, , ,Almamater: , j . jjj. jj. j j, j. jlnenadovic@ipb.ac.rs.2.1 j,j, j,jj. jjj jjf(x)=1/x. jjx=0, j . j.j,jj. jjj.29 ,,2010.j f(x), jj-x0, f(x0), jj, j jj . j j f(x) = x2 j j j j .,,j:f(x) =_x2x ,= 0,1 x = 0(2.1)jjjjx = 0 j j j f(0) = 1. , . j j. jjjj. j j j. j j x0, j x1, x2, x3, . . .jx0f(x1), f(x2),f(x3), . . .j jfx0.,j:f(x) =_ 1 x < 0,1 x > 0(2.2)xn=1njx=0. jf(xn) f(0) =1jjx=01. j xn= 1njx=0, . jj jjf(0) = 1. jjjx=0, ,jx = 0. j j jj jj j. . x1, x2, x3, . . . jx0jf(x1), f(x2), f(x3), . . . f(x0). x j x0, f(x) f(x0)., j, jxx0jf(x)f(x0)j. , j j , j >0jjf(x)f(x0)jjxx0. j:,,2010.j1. jS Rjf: S R.jjx0:( > 0) (> 0) ([x x0[ < [f(x) f(x0)[ < )jf: S Rj,jj S. jj f(x) = x2. j j-, , x0=0. j>0j, >0j [f(x) f(x0)[ 0)(B(x, y) Q). jjj(R2, B) . 1jjjR2 B, j 2 .34 j 12j., jRnjR2 :B(x) = y Rn[d(x, y) < , j d(x, y) =_(x1 x1)2+. . . + (xn yn)2x =(x1, . . . , xn) y =(y1, . . . , yn). , jRn, j . d(x, y). Rn j j , j j j ,,2010.. jj, j.j 8. (X, T (X)) j B X j X, Xj B.jRjjj-(a, b), a, b Rj, , j.j a, b, cj, j a,b cjj a, b, c j .[1] Martin.D.Crossley: Essential Topology, Springer-Verlag, London(2005).[2] JohnM. Lee: Introductionto Smooth Manifolds, Springer-Verlag, NewYork(2006).[3] JacquesLafontaine: Introductionauxvarietesdierentielles, Pressesuni-versitairesdeGrenoble(1996).[4] H. Stephani: Allgemeine Relativitatstheorie, Dt. Verl. d. Wiss. Berlin(1977).393-, , ,Almamater: , 3.1 j-j. -, jj j j . jj.J, jjj, j. jjj-R3, j,.j9. j(X, T (X)) U, V X : UV j,j. U V= , UV jX,tj. U V= X, UV ,j. U ,= ,V ,= .40,,2010.X,j(X, T (X)). . . . , (2, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 3), . . . R.J j j R. j.j10. (X, T (X))j j X, j X,jj .(X, T (X))j-. j j j X, j (X, T (X)).j j j j .(0, 1)j, -Un,n N n > 1:U2= (12, 1),U3= (13, 1),. . . , Un= (1n, 1),. . .j(0, 1) jjj x01,j j n, x (1n, 1)n. ,-, Ui1, . . . , Uik, (0, 1)jj j Ui= (1i, 1), j i i1, . . . , ik. j1i, jj,j.j[0, 1] , jj . [0,12][12, 1]. -jI1. jI1= [0,12] j [0,14] [14,12], jI1=[12, 1], [12,34] [34, 1]. j j I2. j , . j jj:[0, 1] I1 I2 j. In12n, j.jx [0, 1]. j . j j , x,, x (xx, x+x)[0, 1], (x> 0). j In, j ,,2010., tj.12n< x, ,n>log2(1x). nIn(x , x + )jj. , In , j j In . j j j -. [0, 1] 01, (0, 1), j,j.j(Hausdor).j11. (X, T (X)) jx, y X,jU, V X x Xy Y U V= . j j, jjj . j.[0, 1] j . , x, y [0, 1] . j [xy[ > 0 =12[xy[ U= (x, x+)[0, 1] V= (y , y +)[0, 1]. ,. U V , x U y V U V ,= , j j . , Rnje n.jj. , a, b j j. x = ay= b,jj jx,jy.j j j . Jj j 0. j L - : R j 0 j j L j , j j R . R j0jjL. J 0, 0, 0 0. LjjR.Lj. jj. jjj,,00. Lj 0 0 R j 0. R (, ),j Lj0jj0, ,jLj .,,2010.3.2 , j j-jj . j j j .j 12. (X, T (X)) (Y, T (Y )) () jf :X Y g: Y X (f g) = idY (g f) = idX.jf g . idXidYXY . f g ,f1gg1f.jf: X Y , jf j g: Y X f,. j j. , , X= (1, 1)Y= (0, 3). f: X Y g: Y Xf(x) =32(x + 1), g(x) =23x 1. (3.1) j. X=(1, 1)Y =(0, 3).j j jj -j j. j , j. j(2,2)f: (2,2) R:f(x) = tg(x). (3.2)jjjg :R (2,2):g(x) = arctg(x). (3.3) , j-j. j , j. ,,2010. S1. -je : [0, 1] S1jje(t) =(cos(2t), sin(2t)). j | S1, j | j S1. U |, jf1(U) [0, 1]jjf.jf1(U) | j -[0, 1], j.j 1jU UVf1(U) [0, 1]. j 1 | S1.: x S1, jxf, jf j, jy [0, 1] f(y)=x. j[0, 1] UVf1(U), jU 1 y f1(U), f(y) U,, x U. j x S1, j 1j x, j 1 |, j S1. . -j jf: X Y Xj, j Y. j ,jj[0, 1] (0, 1). j, j, j j . [0, 1](0, 1).-. [0, 1]j S1. .[0, 1]12j,j, j. , j .3.3 jjjjj .j 13. j M . j jn :1. Mj. p, q Mj U, V M U V= p Uq V .2. jMj.3. Mjn. Mjj Rn.,,2010.M,p MU Mjp, U Rn : U U.jjjnj Rn. j j j j j jjRn. ,Rnj, ,.j14. jMjn. - j (U, ), jU M, : UU U U= (U) Rn.p Mj(U, ). (U, ), U . , (x1, . . . , xn) j (p) = (x1(p), . . . , xn(p))jU.3.4 jj, j, , j j. j j j jj . j . U V Rn, j f: U V j j, j C, jj . , j fjj ,j. j,j.Mjn. jj:U U Rn. jjM-jjf:M Rjjf 1:U R . j jj.j15. jMjn. (U, )(V, )jU V ,= , 1: (U V ) (U V ) . j, j. ,,2010.(U, )(V, )jU V= j 1. . jj.j 16. j M j n. - /MjjjM. /j /j.j, jj . Rn:/1= (Rn, idRn), /2= (B1(x), idB1(x))[x Rn., jjjf : RnR j j.jjj, jj.j17. /Mjj j .jjj /j /. . jj -j.j18. j Mj nj. (M, /), jM jn, / M,jjn.[1] Martin.D.Crossley: Essential Topology, Springer-Verlag, London(2005).[2] JohnM. Lee: Introductionto Smooth Manifolds, Springer-Verlag, NewYork(2006).[3] JacquesLafontaine: Introductionauxvarietesdierentielles, Pressesuni-versitairesdeGrenoble(1996).[4] H. Stephani: Allgemeine Relativitatstheorie, Dt. Verl. d. Wiss. Berlin(1977).474SvoeematematiqogmodelaicekojaoscilujenasistemlinearnihjednaqinaubicaMati,Matematiqkifakultet4.1 jDefinicija 5. Y cnuiononno: nnofy uocfo nunau:n:o nu no]uno io]ocyonncuno:noin:|n:nunin:, :oxunnun:, cfufnun:ocoonnu:u. I:oounxooou:y:o:onnonn:nn]oonnmo:o, nucfuau]omnoiufoon]uio]uncfo::uufiynnau:ncuu:anunfnxucnoiufu.Iu::ofn:oocnnaunn]yfunionnoio]u]oyunc!onunu]ono:cno:iu]y, oi]ocynofuniu] caoooun. Iu::ufuonmn:oy: nof-nocfuniyuocnnaunn]o:unncocu:ooxon:onfuanono:onnnoxnno:onciot. 'uio)o, yunc!oniu] nnoo:nuun:ocua, ucaooouncub.Ocfynuoounnofunoinoaou]ufuuionnocuuncnnco:xyno:oncio:fonyfiyto:nuun:ocuu = u(x, t).Iniofuycaooonoiiu]unno,y|n:nuo:c:ncay:oo:on:-yuunufnnyfuy,o:nnynnanio: iofuuio]u :ooonfnioncfunfnu48,,2010.nanno,nocfo]uonouofnoo:nno,yo:uu...'uio)o, :ooconoyuunufno]cfnocnoumnxnynyfumnx|ui-fouiuomfocy. cnaoio]oy:oiy]yofnonniofuy, :o|oaomioiuuifoncfniofoau(ooani,iycfnnu,xo:oionocf,oaucfnunocf). .Y cfufnnn cy n:yuono ocnonno iooaunn]o n::o)y noanunnu io]o onn-cy]y ufo iofuo. Hu nn:o,n: |o:yaos = vt nnn:o u co o:nnu:oonoc:ufufniuon:nonyfunono:ony,u(:ooiv = at)n|oon-nnu:oanfynoanunny]om]ono:nono:ony,oon!o:oyo:uo.Ononoiu:y]ou co,y:no:nunuo oionuu]y!o:ufo:ufnuiounuu-fyo,:ooc:unfnoo]no:onnnnxio]oonncy]yufoiofuomfoonono:nuuu]noiynoc!unuun:oiy!nocfn:uofunn]oncfu:-xnnuo. .Ynunoco:ooionnxnuifnunnxnofoouu:nnaufoon]uio]ycyun-no:ononocfnnuan:ufo:ufnuun,|n:nuun,:oxunnuun..!aucu ]onuunnu io]y o|nnnmo onu foon]u co nu:nnu ]onuunnu:u :u-fo:ufnuio|n:nio.Ioiun:ocuuiuion:iaouiononcuo:ufo:ufnuioi:ooaununn:oynnoio]uocnnay]o.CuT(x, t)oooaon:ocnayncfo:uu(onu]ofunionfnununny),cu(x)iycfnnynno, ucuF(x, t)cnayio]ucoonocnnucnoumoyfn-nu]o.Io:uXyiono::uiony, cnauncfo:uuT(x, t) !oonfnioncfunfnuf]. [T(x, t)[ = To.Ioc:ufu]:ocoi:onfnno(x, x + x) nncnnfu]:ocnaoio]onuoiuoay]y.'y cy. cnau ncfo:uu un]n ]o nnfon:nfof ]onui caoo!o] u:annnT(x + x, t) T(x, t), :ufn:cnoumucnauun]o!o:oo]cfnoo:nuuu-nufncuF(x, t).)yinyfnon:uioniononofo:ou ]oo:yafy]y!ucnauio]u o-ay]onufoao]onuiunon:noy:uconyo:uufoifoau.!uuononn:onn:oyioniofno:cayuu]yocnnaunn]onnonnoc:u-fu:oio:nononfynuuaoanycuuoco:,oon!o:o.(Tosin)[x+x(Tosin)[x +F(x, t)x = m a = (x)x2ut2 (x, t)Iocaou]onuiocf]oncnyonu]oc:oyo:uonoc:ufuaniuo2ut2 , u:ucyiuonon:noannouno iycfnno nynno. 'uio)o, nn:uan:ocnnaunn]u:u, f]. iuu]o:uaunonocfyiau, :oo:oun:nmn:ocaoo!yunoicn:unn]y. ,,2010.sin =tan1+(tan)2 tanYouunu:ou]otanynunono:onuu(x, t) :unncnoonnoioo-nnufo,onocnon:no,fuiounnmo:o.sin =tan1+(tan)2 tan =ux)uiao, :ucy,yo:uonsinc:on:u:nannoio|yninn]uu(x, t)n(x).!uuooocfuno]onuiocfnnooan:ocux,oon!o:o.T01x[u(x+x,t)xu(x,t)x] +F(x, t) = (x)x2ut2 (x, t)Coo:no: unoc:ufu:o non:nounnnfonua(x, x+x),:oo:o:uxfonufnux0. Yfo:cayuu]yn:u:1x[u(x+x,t)xu(x,t)x]ionnoinuiu2ux2(x, t))uiao, yinyfnon:uionnfooo:o|n:niocynu:uan]onun-xnnyio]uonncy]oiofuofuuuiunno. Y:n:nocnounoicn:unn]o,fy]onuunnycnon:onucaoo!y.(x)2ut2 (x, t) = To2ux2(x, t) +F(x, t)nionuuno,iuunofxony]onuiocfnooan:ocu(x),oon!o:o.2ut2 (x, t) = p2ux2(x, t) +f(x, t)io]op =To(x)no:nfnnunioo|nnn]onf.In:ofn:o u c:o nn iononcuy :ufo:ufnuoi :ooau u::ufuancu:oyfnnu] cnoumo cnao ncnao ncfo:uu. !uu yu::ufuo yn-cfn:onoaucfnunocnao,:ooaoon]uio:nanionunn]nooani.2ut2 (x, t) = p2ux2(x, t) q(x)u(x, t) +f(x, t),,2010.io ]o q(x) |yninn]u io]u onncy]o oaucfnuny cnay io]u oay]o nu nnyyfuuinx.Iununcnao oaucfnunocfnco noiaunucu cu:o:nyfuo:fuuuiunno, fuiounocfo]nannoununu:un::o)yoaucfnunocnaonocfy-nuuounnofonoinoaou]uu(x, t) mfo]oynofxono] ]onuunnnnocfunonoiuoq(x)u(x, t).'uio)o, nnnuaunocnocfuno]onuiocfncoonocnnucnayncfo-:uu, uyinnuoaucfnunycnay. Coo:no:uononocnaon:u]ycynofun c:o, nocfuao ]o ]ucno n :umfo cy oonyfn no:nunn uaunonuio]nnxnocfunu]y.Onuion:noonu]onuunnucnuuyiaucynunn]uannxn|oonnn-]uannx]onuunnu.Jonuunnu yio]o] co]unu]ynunn]uann n:non nono:nufo |yninn]ouno:unncnono:onnnnxx1, x2, ...xnconu:nnununn]uanun|oonnn-]uanu]onuunnu. ono]ooo)onoo:nu]nnmoin:nou. Onmfununn]uanun|oonnn]uanu]onuunnu]oooaniu.F(x1, x2, ...xn, u,ux1,ux2....uxn,2ux1,2ux2....2uxn....kux1k1 ....xkkn )io]oFufu|yninn]u.Huunno, onuno:ouucuncnono:unncnono:onnno, nono-:nufy|yninn]yncnoononunn]uanon:noo.Iomoo nunn]uano n|oonnn]uano ]onuunno ]o |yninn]u n: noioi o-nycfnnoiciynu|yninn]uio]uony]onuunnynonfnuin:uonounu.4.2 j j Iocfunn:ou(x, t)iuonon:no.u(x, t) = u(x)(t)Jonuunnu2ut2 (x, t) =x(pux) q(x)uco,onuioynoono:c:ono:,func|o:nmonucaoo!nooani.u(x)(t) = (pu(x)(t)) q(x)u(x)(t) = (t)[(pu(x)) q(x)u(x)] ,,2010.nan(t)(t)=pu(x)(t))q(x)u(x)u(x)= iuunocaoy]onuiocfyiuun]onunnmo:o,oon!o:o.((pu(x)) +q(x)u(x) = u(x) = f(x),,2010.4.3 j^ofou ionuunnx u:aniu co :ucnnnu nu :u:onn n:nou ioanunnnn:uionuunnxu:aniu.Io]ucocucfo]nyfo:oucoouoooionuuno:noiofuuuiucoi:onfunuio:]o o|nnncununo:onnnux. 'o fuuio nu:nnu:ounoonn:u:oo.Yioaniocyunoonnunno:onoucnoo)onn, :ou]ounno:onu,nnuuo]onounno:onu.^ou o|nnncunu iouio: h,ucfo]uo: :o)y unoonn:u,]o ufu cu.wh= [xi[xi= ih; i = 0, 1...n; h =ln]io]ol ynnucoi:onfunuio:]ono:onnnuxo|nnncunu.Hu onuio o|nnncuno] :on n:noo unoicn:nu:o nu caoo!nnuunn.ux,i =1h[u(xi+1) u(xi)]u x,i=1h[u(xi) u(xi1)]u xx,i=1h(ux,i u x,i) =1h2[u(xi+1) 2u(xi) +u(xi1)]!onc!oo:ionuunnxu:aniu,nofxonoo|nnncun:uufui.((pu(x)) +q(x)u(x) = u(x) = f(x) ,,2010.:ooonfnnocfunon:ufnuno:]onuunno:.nan,Au = f)uiao,onn:c:ooonancncfo:announnx]onuunnu.Hun:iaouncfuifunnooao:nonuauouoionuu]y!oi:ufo:ufnu-ioi:ooau:uocnnaufonnnonocnoionoomunuo]ocnoononuooono:nuffoonannounouaiooo.5IspitivaeosobinasfernihiplanarnihsoqivanabazimetamaterijalaOgenTripunovi,MatematiqkagimnazijaApstrakt^ofu:ufon]uan nocfunu]y oaufnnno nony iyny nomfuuinx :u-fon]uauun]ucoiaunnuiuuifoncfniuoiaouynoiufnnno:nnoicynoau:uuonuinnxcfyifyu. ,ooicno]nxn:y:ofnnxno|o:uncn,:oiy!o nx ]o ioncfnfn:u nunoo cynocounnu, f]. counnu io]unonu:nau:on|uinnonnan:nf. Yono:uyuf]ofoon]cinonncnocfnuucnofaocfnio:counnonununonoo:ofu:ufon]uauy:-n:u]y!nyoo:nnoioo:ofn]o. naununync|ony. Hy:onuino-:yafufn noiu:y]y :unncnocf noao:onoi oau nou o oncoiu |oinon-nn]u, ynunoi yiau,iuo n ocu:oi ooaniu nou nymfonoinu cynocon-xnno. Iniu:unu]o:oiy!unn:onuc|onoicounnuou:nunoinu:o-fu:ufon]uayiuoyfouyonfnuin:foaoio:ynniunnonn:cncfo:n:u.5.1 Iaunno oaoifo:uinofno iuuifoncfnio noioi :ufon]uaucyo-ionunoaoifnununo:nfnnnocf n:uinofnuno:ouonanocf. ,uu:aniyonnonnxconnu, iuomfocycfuiao, incfua, nf., yio]n:ucyonununuu:ofu(f]. nxonnouannoaonn)ynoino:n-fnnno noanunno, :unoio :ofu:ufon]uao nunu]o , 0. 'uuioyono::ooayo|nnnmo:oiuoIyianciofuuio, ununoannn]ocycnnnoayiyionnofoionuannnuxocy,uiaocunonfo:nuxocnnIy-iancio nuno annn]o ofoionuano nu xocy. xocy nu:nnu:o iunnno:Xnnoooanuiounnn. ,,2010.Ionon:ouannuouicno:oXnnoooanuioioo:ofn]o. HoiucyPnQ no non:nono fuuio. io ono nnnuu]y ncfo] Iyiancio] nu-no] ofoionuano] nu iunnny unnn,onu ]o fu nunu fuonu xnnooo-anuiununu. iononnnuu]y,onuoon:oIyianciycn:ofuayynPQ.Hoiu]ofuuiuRnocounufuuiufocn:ofuaoniunnnoXn-noooanuio unnn. 'uonu y ]o Iyiancin iyi cu nonfo: y fuuinRnnoaynounnio:RP. )uo, Xnnoooanuiniyio|nnnmo:oncfoiuo n Iyiancin. Oon:o ]om Xnnoooanuin yiuo. Hoiu cyA, BnCfn noioannouno fuuio. !oncfynmn:o Iyiancio funionfo BAn BCn:fuuioBnuIyiancioiyiono, onocnoXnnoooanuioynBAnBC. ^ouxnnoooanuioiyiau(AB, BC)]onuiu]o:onIyiancioiyiau(AB, BC).Ionon:o]omuicno:y5. Hoiu]oufununupnfuuiuP nuno.JonncfnononoXnnoooanuionunoq1nq2nuuaoanonuno] pio]ocuo fuuiyP,iuonnoioanioxnnonuuaoannx nunnxnniu:uno cynucaniu:u.,,2010.Ynoon:o]mnoio iuuifoncfnio Iyiancioi nXnnoooanuioifoyiau. Jomcul7ionnuuynonnHo:uuin:ufo:ufnuuIuyc]oo-iu:uou]ononmnnuXnnoooanuioifoyiau]onuiu ( + + ),io cy, , ynyfumnyiaonnfoyiau. )uiao, nonmnnu]o ynoicfoio:uuo. )uo, :unn:nno]o nuno]u:canunocfnfoy-iaonuyXnnoooanuio]ioo:ofn]nnonocfo]n. ionufoyiaun:u]yncfoyiaono,onucyonnnnoyunn.6.5 Ioc:ufu]:oIyianciniyi, oo:iunnunoiynnno, nu:nnu!o:oiuapsoluta. 'uuio y ono: :ooay o|nnnmo:o iuo Iyiancio fuuio,ununoiuonounnioiyiuniuooaonoiynnnuofoionuanonuufniyi2.Iocofn:o co iuio co ioncfynmo iyi ofoionuaun nu ufn iyi k io]ncunynunon:uounyfuuiyP(nfn:oioncfynmo:onunyio:ufyfuuiy). Inno:n]o:yonocynu uncoayfy3nocaniu:o fuuiyP yfuuiyP.4CnuinIyianciniyi io]ncunfuuio P nP]oofoionuaunnuuncoayfy(noiaoufnoufui). )oaonnfnxiyionuynyfuuncoayfocyXnnoooanuionuno.Cuu:oo:onononfnuyIooniuoono:nci:ooaynuoXn-noooanuiouicno:o. HoiucyPnQnon:nonofuuioynciy. iocyioannounocunonfo:iyiuonu]ofu] nounnifuonuxnno-ooanuiununu. ionncy,onunnno:n]o:yonocynuuncoayfyno-caniu:o fuuiyPy fuuiyP. Iocfo]n ]onncfnonn Iyiancin iyi io]ncunfuuioP, QnPnoionooynyfuuncoayfo]ofuonuXn-noooanuiununu.XnnoooanuiniyinXnnoooanuinyiuocoo|nnnmycanunoiuoynofxono::ooay.2nuiyiucyofoionuanu, uiocyofoionuanooionuu]y!ofun-ionfoynocounn:fuuiu:u.3nnno:n]uyonocynuiyinonfuO, noaynounniur ]onocaniu-nuoio]ofuuinPooy]ofuuiyPfuioucyP nPioannounocunonfo:iyiu,nuau:ococuncfocfunonnun|OP| |OP|=r2.4Y nocoiy no:uao n: fuuioPnu nunyOPn iyiuk oon]o:o fuuiyT. I:fofuuioioncfynmo:ofunionfynuiyik. IocoifofunionfonnunoOP]ofuonufuuiuP. ,,2010.Ionon:o]omuicno:y5. Hoiu]oufununupnfuuiuPnuno.JonncfnononoXnnoooanuionunoq1nq2nuuaoanonuno] pio]ocuo fuuiyP,iuonnoioanioxnnonuuaoannx nunnxnniu:uno cynucannn.6.6 ,unufuuuiuP, Qiuo:ou]oharmonijskispregnutsataqkamaR, S, o:nuiuH(P, Q; R, S)uiocyioannounonnunPRRQ= PSSQ.,uufui. )oiu:ufnu]oH(P, Q; R, S)uioncu:ouio]o [PO[2= [OR[ [OS[, io]ofuuiuOconmfoynPQ. Hoiu cy ufo fuuioA nBnu iyiykn fuuiuP,io]u nnnuu nuno]ABnuniyiuk. Hoiu]oTonnufuuiufunionfon:fuuioPnuiyik. 'uunun[PT[2= [PA[[PB[.Onuocoonnuconu:nnupotencijataqkePuodnosunakrugk.,uufui6. )oiu:ufnonyocoonny.,uufui7. HoiufuuioAnBnnnuu]yiyiykn]u:ofuanocycy-nofno,ufuuioCnDiyiyl nnoiucyono1fuuioioannouno. 'uucyiyionnknl ofoionuannuioncu:ouionunH(A, B; C, D).Iomoo. Hoiu]ofuuiuOnonfuiyiuk. Hoiu]oT fuuiunuiyiylfuiou]o [OT[2= [OC[[OD[ (nofonnn]ufuuioOyonocynuiyil).,,2010.Cuunuocnony:uufiuH(A, B; C, D) nunuioncu:ouio]o [OT[=[OA[, uiao uio fuuiu T nnnuu n iyiy k, u fuu cy fn iyionnofoionuann.In:onn:oucy)nnuon:onoi:uufiunufuuioPnP(io]oPnucfuaunnno:n]o:yonocynuuncoayfy), y:ocfofuuuiuCID, nnunon:nouniyil io]nnxcun. iocyAnBnocounofuuionunoPPnuncoayfo, onu]o:ooinnno:n]o [OP[[OP[ = [OA[2, nu:ooi:uufiucaonH(A, B; P, P), u:ooi:uufiu7caonu]oiyilofoionuaunnuuncoayfy.nfoufyu.l. Hyperbolic Geometry, JAMESW. CANNON, WILLIAMJ. FLOY D,RICHARD KENY ON, AND WALTER R. PARRY2.Hyperbolic Geometry, ChristinaL. Sheets, University of Nebrask LincolnS. Ioo:ofn]u,,ounyun!,1. Iooo cuuuconuOcnonuioo:ofn]o, 2uu6. ionno, ucncfonf ^n]ununfn!7ProbabilistiqkimetoduteorijigrafovaDuxanMilijanqevi,Matematiqkagimnazija7.1 Iu|G=(V, E) ]o yo)onnnuciynufo:onu(unoonu) nnnnnu(iunu), io ]o E_V2_nociynnouaunnxnociynonuoV . Ciyncnnxiu|onucunfo:onuo:nuun!o:ocuGn. Io] fo:onuiu|uGo:nuun!o:ocu [G[,uoo]nnnnucu [[G[[. Cfononunouiu|unocfu-nuoo]iunuio]on:au:on:oiu. io]ocfononnoioiunouiu|u]onui0iuo:ou]ofu]unon:oaonun.Ynom!o:o]omnoioaniocfununnxfo:nnun:foon]oiu|onu.Definicija 6. PutduinekugrafuG=(V, E) je ureenak-torka(v1, v2, . . . , vk)takvadaje v1, v2, v2, v3, . . . , vk1, vk E.Cnonn]uaunnnnyfu]onniayc.Definicija7. CiklusduinekugrafuG=(V, E)jeureenak-torka(v1, v2, . . . , vk)takvadaje v1, v2, v2, v3, . . . , vk1, vk, vk, v1 E.)yin:oun:unniayc]o:ufnoonnnyf. Iono:unocfiu|]oonfnocno]cfnoiu|uno|nnnmocoiuo.Definicija8. Grafjepovezanukolikopostojiputizmeusvakadvaegovaqvora.ionocfo]nnyfn::o)ynoiunuunouonunocfo]nnyfio]nno-au:nio:cnuiofo:onu]nnmo]ono:(yioanionn]onniayc,ioconon-xofnonnnofo:onoiaunu]y),nu:oo:onofnocfunnfnucnuinnyf76,,2010.cunu:anunfufo:onu,ocn::ouiu]oinnouofnoi.Yoayo ao:no noconn:unnooao:n:u nciofno ioo:ofn]oon!onu:nofoounno]u:naununoiiu|u.Definicija9. Zagrafkaemodajeplanaranukolikoseegovate-menamogusmestitiuravan, takodase zasvakuegovuivicuutojravnimoe konstruisati neprekidnakrivakoja povezuje dvaodgova-rajuatemena,priqemusenikojedveodkonstruisanihkrivihnesekuuunutraxosti.,unaununoiu|ononunO]aoonufooo:uio]yoiu:y]o:o.Teorema17. NekajeGplanaranpovezangrafsaeivica, nqvorovaideliravannaooblasti. Ondajen +o = e + 2.Dokaz: 'n)oo oiu:y]o:onnyinn]o:nooo]yooaucfno. ioGn:u ]ony ooaucf,onu no:u nniaycu n nono:un ]o, nu nocfunu no.Onu ]o e = n1, nu nun e+2 = n+o. Y cynofno:, n:uoon:o nnnny dio]u ]o ,,iunnununnnnu no u:anunfo ooaucfn o G n n:onmn:o ]o. d:oo u co no]uny]o cu:o ]ono: nu iunnnn noio ooaucfn, nu oionn:oncuo:iu|ocfu]onono:un(cnuinnyfio]nnoau:nnoiod:ooco :u:onnfnnyfo:io]nno ocfufio:iunnno fo ooaucfn). Onuinooncuo c:uy]o noo] ooaucfnnoo] nnnnu :u 1, nufooo:u nonnnnnny:ufo:ufnuionnyinn]onun.Yooiyiunnuno|yninn]oioncfo!o:o|yninn]yio]u:oniy-cfnnyiu|uno|nnnmoco.Definicija 10. Funkcija merigustinugrafa, tj. (G) =||G|||G|, zaneprazangrafG.!uo:ou]oiu|Gouauncnunyioanionun(G) = max(F) [ ,= F G.!oncfn!o:o]omnuno]:un: foon]o iu|onu- xo:ufcinoo] nnu]no!noo]no:unncnnxfo:onu.Definicija 11. Hromatski broj grafa G se oznaqava sa (G) i predsta-vanajmaibrojbojakojimsemoguobojititemenagrafaGtakodasusvakadvatemenakojasupovezanaivicomobojenarazliqitimbojama.Definicija12. Najveibroj nezavisnihqvorovagrafaGkojiseozna-qavasa(G)predstavanajveibroj qvorovagrafaodkojihnikojadvanisupovezanaivicom.I:foon]onoonufno!onofoonocynu:ocnonnocfnun. Cnnno-cfonnoonufno!oio]onoc:ufu:ocyionuunnno:nuuunu:onxcu, ,,2010.onn:o= 1, 2, . . . , knfo!o:onuuoc:ufufn. ,uufoo-uanooo]onopi 0, :u1 i k, fuinou 1ik pi=1, noonufno!yoiu)u]uAo|nnnmo:oiuoPr[A] =

APr[],io]oPr[i]=pi:u1 i k. uiocononounuuonuo|nnnnn]uncnyunuuicno:onoonufno!o.,ucnuiunuoiu)u]uAnBnunPr[A B] = Pr[A] +Pr[B] Pr[A B],mfoco:unc]ynfinooiu)u]ocnonnuPr[A B] = Pr[A] +Pr[B]. Ho-:unncnocfnuoiu)u]uo|nnnmo:oiuo.Definicija13. DvadogaajaAiBsunezavisnaakovaiPr[A B] = Pr[A]Pr[B].Cayuu]nono:onnnonoc:ufu!o:ocu:onuouann:o:onn:uno|nnnmo:onxiuoouano|yninn]o R. iocayuu]nono:onnnonuncfn:nocfoo:noonufno!ocuonu:o, oy:n:u:o, :non:ocuciuauo: nan :non:o :o)ycoono onof oon]u:o cayuu]no no:onnno.Ouoinnuocayuu]nono:onnnoXo|nnnmo:oiuoE[X] =

Pr[]X().,uouoinnuo:onucayuu]nnxno:onnnnxnuncaoo!u]onuiocf.Teorema18. NekasuXiY sluqajnepromenivedefinisanenad,aaibproizvonirealnibrojevi. Ondavai:E[aX +bY ] = aE[X] +bE[Y ].Dokaz: I:u:ou]oE[aX +bY ] =

Pr[](aX() +bY ())= a

Pr[]X() +b

Pr[]X()= aE[X] +bE[Y ].Ouoinnuonon:noucayuu]nnxno:onnnnx:oo:o]onocfunnon:uuynufnycayuu]yiuucyfocayuu]nono:onnnono:unncno. Io-]u:no:unncnocfncayuu]nnxno:onnnnxcoo|nnnmoiuo.,,2010.Definicija14. DverealnesluqajnepromeniveXiY naistompro-storuverovatnoesunezavisneakovaiPr[X= x Y= y] = Pr[X= x]Pr[Y= y],zaproizvonerealnebrojevexiy,gdejeX=xskupsvih zakojejeX() = x.CanunocuX to:nuuunu!o:ociyn [ , X() t. ,ucayuu]no:unncnnxcayuu]nnxno:onnnnxnuncaoo!u]onuiocf.Teorema19. NekasuXiY nezavisnesluqajnepromenivenaistomprostoruverovatnoe. OndajeE[XY ] = E[X]E[Y ].Dokaz: I:u:ou]oE[X]E[Y ] =_

Pr[]X()_

_

Pr[]Y ()_=

,Pr[]Pr[]X()Y ().HoiuXy:n:unonocfn x1, . . . , xm, u Y nonocfn y1, . . . , yn.Onu]o

,Pr[]Pr[]X()Y () =

i,jxiyjPr[X= xi]Pr[Y= yj].!uiocyXnY no:unncnono:onnnofo]oPr[X= xi Y= yj] = Pr[X= xi]Pr[Y= yj],:ucno1 i mn1 j n. Onunun

i,jxiyjPr[X= xi]Pr[Y= yj] =

i,jxiyjPr[X= xi Y= yj],mfo]o]onuio Pr[]X()Y ().Yuo:uyioncfn!o:oncaoo!onono]onuiocfn.Teorema20. (Markovevanejednakost) Za sluqajni promenivu Xkojauzimanenegativnevrednostinadit > 0vaiPr[X t] E[X]t. ,,2010.Dokaz: I:u:ou]oE[X] =

Pr[]X() =

;X()0onu]oouoinnununonocfck2k.ionunp(n)n 0:un ouoinnununonocfoo]unniaonuy:-xnnok]o0, oi]o:up(n)n ouoinnununonocf]onuiu . Ic-nocfunucoucanunoucn:nfofciononumuonunn:u:noioyioocoonno iu|onu. )ofunn]n: n:yuunuo: onuinnx |yninn]u ounn!o:ocoycaoo!o:ooiy.7.3 j!uomfoc:ono:onyanynofxono:oay,:u:noiucno]cfnuiu|unocfo]o iunnuno |yninn]o. +o:uano,cno]cfno: iu|u c:ufu:o ciyniu|onuio]n]o:ufnoonyonocynun:o:o|n:u:. CuPr[G(n, p) T]o:nuuunu:o:oncnnxnoonufno!uiu|onun:G(n, p)io]nnnnuu]yT. Inoo|nnnmn:oiunnuny|yninn]y.Definicija16. Zasvojstvo Tsluqajnog grafafunkcijuverovatnoet(n)nazivamograniqnomfunkcijomakoimasledeeosobine:(1) limnPr[G(n, p) T] = 0zap(n)t(n) 0gden ;(2) limnPr[G(n, p) T] = 1zap(n)t(n) gden .I:o|nnnnn]ocaonuyioanio]ot(n)iunnunu|yninn]u:unoiocno]cfnoiu|uonu]onct(n) :uc >0iunnunu|yninn]ufoi cno]-cfnu. Huuo!o:ooo)nnufniunnuno|yninn]oonuioncfunfy.Yioanio]olimnPr[G T]=0iuo:ouiu|cioocniynono:ucno]cfno T, uyioanio]olimnPr[G T] =1iuo:ouiu|cioocniynon:ucno]cfno T. ^noiucno]cfnuiu|ucoonoconuoiononoiu|o, nufuio:oounuc:unn:uuancioocniynocnniu-|onncuonofnyniu|ouk. Yfo:onu::oono:o!ncaoo!ufooo:uio]ncyoiu:uanIomnIon]nl96u. ionno. O:nuun:ocuTH, io]oHnoiniu|, cno]cfnouiu|n:unoiu|n:o:o|uncuH.Teorema24. AkojeHbalansirangrafondajegraniqnafunkcijaza THjednakan1(H).Dokaz: Hoiu]oXcayuu]nuno:onnnuio]unoiu:y]oioanionoiu|un:o:o|nnx cuHn:uG. O:nuun:o cukoo] unoonu oH,u culoo]oionnxiunu. Cu 1o:nuun:ociyncnnxiu|onun:o:o|nnxcuHun]u cy fo:onu noiu o fo:onu non:nonoi iu|u G Gn(cnn iu|onnn:Gnn:u]yncfnciynfo:onu). Onu]ono^uionono]no]onuiocfnPr[G TH] = Pr[X 1] E[X] =_nk_hpl, ,,2010.io]ohoo]uyfo:o|n:u:uiu|uH. Hoiu]op = n1(H). I:u:ou]oE[X] nkhlnl(H)= hlnkl(H)= hl,:ooi_nk_nk. Ouniaono:u 0nunPr[G TH] E[X] 0, un:oc:ooiu:uanucioocniynoiu|no:ucno]cfno TH. Ocfu]onu:uoiuo:ouuio onuiu|cioocniynonnnuu TH. 'o!o:oyunnnfnioncfo!noonmononyno]onuiocf. I:u:ou]oPr[X= 0] Pr[[X E[X][ E[X]] E[X2] E[X]2E[X]2,nu]oonononoiu:ufnuE[X2]E[X]2E[X]2 0:un n . Inn:ou]oPr[Hi Hj G] = p2l||HiHj||,:uHi, Hj 1. !uio]oHouauncnuniu|fo]o(Hi Hj) (H), nu]o [[Hi Hj[[ [Hi Hj[lk,onocnoPr[Hi Hj G] = p2l||HiHj|| p2lslk.io ]o s = [HiHj[. Hoiu ]o As=

sPr[HiHj G], io

so:nuuunu uco cy:nuo nmn no cnn: nuonn:u Hi, Hj 1 fuinn: u ]o [HiHj[ =s. ,us = 0oon]u:oununA0=

0Pr[Hi Hj G] =

0Pr[Hi G]Pr[Hj G],:ooino:unncnocfnoiu)u]uHi GnHj G:u [Hi Hj[ =0. OnununA0 (

Pr[Hi G])2,io co cy:nuo nmn no cnn: Hi 1. Iocaon n:u: ]o ]onui E[X]2,nununA0 E[X]2. Ononn:ocuuAs:us > 0. ,u|nicnunniu|Hinocfo]n fuuno_ks__nkks_ciynonu cu kuoonu io]u cuHin:u]y :u]onnuiosunoonu. !uio]onoonufno!u:uHi Hj Gnono!uop2lslknHn:uhuyfo:o|n:u:ufo]oAs

Hi_ks__n kk s_hp2lslk,iococy:nuonmnnocnn:Hi 1. !uiofuinnxHin:u_nk_hfo]oAs _nk__ks__n kk s_h2p2lslk.,,2010.I:u:ou]oE[X] =_nk_hpl,nu]oAs E[X]2_ks__nkks__nk_ pslk.!uio]onk_nk_ cnk,:unoiyioncfunfycfo]oAs c1E[X]2nksc2nk(nkl)slk= c1c2E[X]2slk c1c2E[X]2lk.Cuu]oPr[X= 0] E[X2] E[X]2E[X]2=k

s=1AsE[X]2 c3lk.!uiolk0:u focioo:ucnoiu|ononunPr[X 1]=1,mfo]onfoouaooiu:ufn.Onufooo:uo:oiy!unuun:uuynu:o iunnuno |yninn]o :u:noiucno]cfnuiu|onu. 'uionunn:o:ucno]cfnoiu|uucunnn-iaycynnoknunu]oiunnunu|yninn]un1:ooiouauncnunocfnnniau. Iomfo]ocfuoaoouauncnuniu|iunnunu|yninn]ucno]cfnuuiu|cuncfuoaoouk ]o nkk1. Canuno:ucno]cfnoiu|uucunnofnyniu|ouknunu]ooionuiunnunu|yninn]un2k1. Yonmfoonofxonofooo:o:ucno]cfnoiu|uucuncnoiu|onoco:fnnn]uanoinu:noiiu|uuo]oIoaoouml9Sl. ionno.'ufooo:uiaucn.Teorema25. ZagrafH,kojiimabarjednuivicu,nekaje(H) = max(F) [ ,= F H.Graniqnafunkcijazasvojstvo THgrafajen1(H).Dokaz: !uoynofxono:oiu:yo:nuun:ocuXcayuu]nyno:onnnyio]u:onioanionoiu|onun:o:o|nnxcuH(io]nn:ul nnnnunkunoonu)n:uG. Canunoiuoynofxono:oiu:ycu 1o:nuun:ociyncnnxiu|onunufo:onn:unon:nonoiiu|uG Gn(cnniu|onnn:Gnn:u]yncfufo:onu)io]ncyn:o:o|nn cuH. Hoiu]op = n1(H),unoiu]oSnoiu|oHfuiunu]o(S) = (H). ,u 0n:noxonofooo:on:u:ouiu|cioocniynonocunS,nucioocniynono cun nn H]o ]o TH TS. Cu:n: fn: onono nu: ]o u noiuo:ou :u nn iu| cioo cniyno cunH. 'o !o:o yunfn ,,2010.canunoiuonynofxono: oiu:yno:o!yoonmononono]onuiocfn.I:u:ounun.Pr[X= 0] Pr[[X E[X][ E[X]] E[X2] E[X]2E[X]2.)onono]onoiu:ufnuE[X2]E[X]2E[X]2 0:un . I:u:ou]oE[X2] =

Pr[Hi Hj G],iococy:nuonmnnocnn:Hi, Hj 1. !uio]oPr[Hi Hj G] = p2l||HiHj ||iynnmn:o nuono Hin Hjno nxonn: noconn:u. Ionn:nn]o :u cnuioF Hnoiu]oAF=

FPr[Hi Hj G],io Fo:nuuunuucocy:nuonmnnocnn:HinHjio]ncyn:o-:o|nncuHn:uio]onunu]oHi Hjn:o:o|nocuF. )oon]u:ou]oA=

Pr[Hi G]Pr[Hj G] E[X]2.,u|nicnunF ,= n:u_n|F|_:oiy!nocfn:un:oounoonuoFyG. ,ufu]|nicnunFn:u:o_n|F|k|F|_:oiy!nocfn:uciynunoonuHi.^oiy!nocfn:uunoonooouciynuHinHjn:u:ofuuno_n [F[k [F[__n kk [F[_.Ioonufno!uu:u|nicnunoHinHjnunHi Hj G]op2l||F||,nu]oAF _n[F[_f_n [F[k [F[__n kk [F[_h2Fp2l||F||,io ]ohFoo] uyfo:o|n:u:uH Hfuinnx u noiu| n:o:o|uncuFocfuno|nicnun, ufoo]uyfo:o|n:u:un:FyF. !uio :u noiyioncfunfycnunnk_nk_ cnkoon]u:oununAF cFn2k|F|p2l||F||.!uio]op=n1(H)nE[X] =_nk_hpl(h]ooo] uyfo:o|n:u:uoH),fo]o,,2010.AF cFn2k|F|+ ||F||(H)||F|| E[X]2h2_nk_2,onocnoAF cF||F||n2k|F|+ ||F||(H)E[X]2_nk_2.Iomfo]o_nk_ cnk:unoiyioncfunfycfo]o_nk_1c1nk:unoiyioncfunfyc1. Onu:unoiyioncfunfycFnunAFE[X]2 cFn|F|+ ||F||(H)||F||.!uio]o(H) ||F|||F|,fo]on|F|+ ||F||(H) 1,nununAFE[X]2 cF||F||.,u oon]u:oununAFE[X]2 0. !onuunon:u:ou]oPr[X= 0] A +

=FH AF E[X]2E[X]2

=FHAFE[X]2.!uio nociynonu o Hn:u ionuuunu oo], uAFE[X]2 0 fo ]o limnPr[X=0] = 0,mfo]onfoouaooiu:ufn. Onn:]o:unmonoiu:fooo:o.)oiu:uanc:oucno]cfnouiu|cunufnnoiu|n:uiu-nnuny|yninn]y. ,unn:nno]onoc:ufufnio]uocfuaucno]cfnuiu|un:u]yiunnuny|yninn]y. Ynon:ocaoo!yo|nnnnn]y.Definicija17. Svojstvografa TsenazivarastueakosedodavaemivicaugrafG Tdobijagrafiz T.)oiun:ocaoo!onnfynfnnnofn)oo.Teorema26. NekaG(n, p1) iG(n, p2) sluqajnigrafovinaistomskuputemena,a Trastuesvojstvografa. Akojep2 p1ondajePr[G(n, p1) T] Pr[G(n, p2) T].Dokaz: Hoiu ]o Hciyn cnnx iu|onu cu ufnx n fo:onu io]n cy oao:onfnT,uN=_n2_. ,ucno]cfno Tnp (0, 1)nunPr[G(n, p) T] =

AHp|A|(1 p)N|A|.O:nuun:ocuhk:u0 k Noo]iu|onun:Hcufuunokiunu.Onu]o ,,2010.Pr[G(n, p) T] =N

k=0hkpk(1 p)Nk.Onu|yninn]u]ononoinnunn|oonnn]uonanunopnnundPr[G(n, p) T]dp=N

k=1khkpk1(1 p)NkN1

k=0(N k)hkpk(1 p)Nk+1=N

k=1pk1(1 p)Nk(khk (N k + 1)hk1).,u cnuio G1T Hcu k 1 iunu nocfo]n N k+1 iu|onuG2 T Hcukiunu io]ncooon]u]younuo:]ono iuno. Canuno:ucnuioG2 T Hcukiununocfo]nnu]nnmokiu|onuG1 T Hcuk 1iunuio]ncooon]u]yoncuo:]ononnnno. Caonu]okhk (N k + 1)hk1,nu]oPr[G(n, p) T] ucfy!u|yninn]unop.Iofnocfunn:oucno]cfno Tnn]ofnnn]uano( , Tnnocfo]noao-:onfn: T:uufon). Iunu]oPr[G(n, 0) T] =0nPr[G(n, 1) T] =1. !uio]oPr[G(n, p) T] nonoinnunucfy!u|yninn]unop,fo:ucnuioa (0, 1)nocfo]n]onncfnonop(a, n)(:uufon)fuinou]oPr[G(n, p(a, n)) T]=a. +yninn]up(a, n)]oucfy!unnonoinnunoa,uiuio]o]oPr[G(n, 0) T] = 0nPr[G(n, 1) T] = 1:oo:oy:ofnu]op(0, n) =0np(1, n) =1. Onu]o|yninn]up:[0, 1]N [0, 1] on]oi-nn]u. Cuu:oo:ouoiuo:ocaoo!onunofn)oo:uiunnuno|yninn]o. Onyfooo:yoiu:uancyIoaooumn'o:uconl979. ionno.Teorema27. Svakorastuesvojstvo Timagraniqnufunkciju.Dokaz: ,uufo (0, 1/2) nocfo]nm Nfuinou]o (1 )m.+nicnu]:on. Ioiu:uanc:ou:ufonocfo]np(, n) (0, 1)fuinou]oPr[G(n, p(, n)) T] = .ionununn:oynn]ymno:unncnnxiu|onuG(n, p(, n)) oon]u:oiu|G(n, p)io]op= 1 (1 p(, n))m mp()noIonyan]ono]no]o-nuiocfn. Onu]oPr[G(n, p) T] Pr[G(n, mp(, n)) T].^o)yfn:Pr[G(n, p) , T] Pr[G(n, p(, n)) , T]m= (1 )m ,nu]oPr[G(n, mp(, n)) T] Pr[G(n, p) T] 1 = Pr[G(n, p(1 , n)) T],,,2010.nu :ooi nofxono fooo:o nun mp(, n) p(1, n). ,ooi :onofonocfn|yninn]op(, n)(no)nunp(, n) p_12, n_ p(1 , n) mp(, n),iom:unncno,uannoon. )oiun:ou]op(12, n)iunnunu|yni-nn]u:ucno]cfno T. Iofnocfunn:ocynofno, f]. unocfo]nnn:p(n)fuiununun(:un )p(n)p(12, n) 0nliminfnPr[G(n, p(n)) T] > 0nanp(n)p(12, n) nlimsupnPr[G(n, p(n)) T] < 1.io]onnncayuu]onunocfo]n (0, 1)fuioununPr[G(n, p(n)) T] = Pr[G(n, p(, n)) T],nu ]op(, n) p(n). I:onoiucaonup(,n)p(12,n) 0,mfo]ono:oiy!o:ooinofxonono]onuiocfn. Canuno, yyio:cayuu]ynocfo]n (0, 1)fuioununPr[G(n, p(n)) T] = Pr[G(n, p(, n)) T],nu]op(n) p(, n). Onup(,n)p(12,n) :un , mfo]oonofno:oiy!ononofxono]no]onuiocfn. Onn:]ofooo:uoiu:unu.7.4 Yono:oayn:aon!o:onnnun:foon]oiu|onuio]nco:u-cnnnunuynofoonnoouonancfnuioi:ofou. yfo]o IuaIomio]n]oonu]uoo]unnol99. ionno.Teorema28. Zasvakiprirodanbroj kpostojigrafqijijenajkraici-klusduineveeodk(akonemaciklussmatramodajeminimalnici-klusduine+),ahromatskibrojveiodk.Yoiu:y!o:oioncfnfncaoo!yao:y.7. Nekajekprirodanbroj inekajep=p(n)funkcijaodntakvadajep 6k ln nnzavelikevrednostibrojan. OndajezaG G(n, p)limnPr[(G) n2k] = 0. ,,2010.Dokaz: ,ucno nnonooo]ono n r 2 n:u:ounun(:uG G(n, p))P[(G) r] _nr_(1 p)(r2) nr(1 p)(r2)= (n(1 p)r12)r (nep(r1)2)r,ionocaouno]onuiocfnun:ooi1 x ex:uno:nfnnnooo]onox(onuno]onuiocfcoauiooiu:y]ooo)nnuo:nnn:y:u|yninn]of(x) = ex+x 1). !uio]op 6k ln nnnr n2k,nunnep(r1)2= nepr2+p2 nn32

e =en,mfo fon 0 iuio n fon +. !uio ]o p 6k ln nn(:u noanio n) :u r =_n2k_cooon]ulimnPr[(G) n2k] =limnPr[(G) r] = 0.Cuu:oo:oucoynycfn:oyoiu:Iomonofooo:o.Dokaz: Hoiu ]ok 3n|nicnu]:ofuinou ]o0 < 1 :u x = 1. )oiu:ufn u fu ncfu no]onuiocfnonununn:ucnuiox > 0.Rexee: Hoiu]oP(x)=

ni=0aixi. ,ux=1n:u:ou]oP(1)2>1onocnou]o(

ni=0ai)2> 1. ,unon:nonox > 0nun(n

i=0aixi)(n

i=0aixi) (n

i=0ai)2> 1,no!omn-Ununono]no]onuiocfn. Onn:]o:uufuiomon.Zadatak157. io cyn, a1, a2, .., anu:anunfn noan oo]onn oiu:ufn u]onoanno:(x a1)(x a2)...(x an) 1noynnonuanyZ[x].Rexee: O:nuun:oonu]noanno:cuP(x)nnofnocfunn:ocynofnof]. u]oP(x) = Q(x)R(x):unoiununoaooo]nunoanno:uQ(x)nR(x)cfononuou1. Onu]oQ(ai)R(ai)= 1:ui=1, 2, ..., n. !uiocyP(ai)nQainoanoo]onnfo:ouununP(ai) + Q(ai)=0. Ioc:ufu]:onoanno: P(x)+R(x). oion cfonon ]o :un o n, u nun P(ai)+Q(ai) = 0:unu:anunfxouannxoo]onu. Onu]o P(x) + Q(x) =0:ucnuioouanox,onocnonun(x a1)(x a2)...(x an) 1 = P(x)2.Cfonony:xncu aonocfuno ]o ]onui1, u cu ocno cfuno ]o noiufn-nun. Ono]ono:oiy!o]ocyfununoanno:u]onuiuun:oc:ooonanionfuninn]y. Caonu]ofuonnnoanno::uncfunoynnonaun.,,2010.Zadatak158. Hoiu]oan an1 ... a0> 0:un 2. )oiu:ufnu:ucnoouanonyaoanoanno:uP(x) =

ni=0akxknun [a[ 1.Rexee: !uiocycnnioo|nnn]onfnno:nfnnnnfo:uouanynyaya:oununfna1noanno:f(x)=xn+ 5xn1+ 3noynnonaunyZ[x].Rexee: Iofnocfunn:ocynofnof]. u]of(x)=g(x)h(x) :unoionoanno:og(x), h(x) Z[x] cfononuou1. Hoiucynyaoog(x)]onuioa1, a2, ..., ak,unyaooh(x)]onuiob1, b2, ..., bsio]ok +s = n,uk, s N.,ux=0n:u:ou]o3=f(0)=(1)k+sa1a2...akb1b2...bs, onocnonun3 = [a1a2...ak[[b1b2...bs[. Io:y:uouonmfocfn:oo:onofnocfunnfnu]o [a1a2...ak[ =1. !uiocyai(:u1 i k) nyao nof(x) fo]o[an1i(ai + 5)[ = 3,nunun[an11an12...an1k[[(a1 + 5)(a2 + 5)...(ak + 5)[ = 3k.Onu]o[(a1+5)(a2+5)...(ak+5)[ =3k. !uio]o [g(5)[ = [(a1+5)(a2 + 5)...(ak + 5)[=3kngg(5)[f(5) =3, fo3k[3ouiaocaonu]ok=1. )oonanc:ou]onoanno:g(x)annouun, onocnouf(x)n:unoaooo]nynyaya1. io]oa1nuunoo] onu]of(a1) 2f(3) 23,mfo]ono:oiy!o:ooif(a1) = 0. Canunon:unonunoa1nunf(a1) 2f(1) 29mfo]oncfono:oiy!o. Onn:c:ooonanionfuninn]y,nu]of(x):uncfunoynnonaunnoanno:.Zadatak162. Hoiu]oP(x) noanno:cu]noaooo]nn:ioo|nnn]onfn:ucfononun > 1. O:nuun:ocuQ(x) = P(P(...P(x))...)iocoPno]uny]oknyfu(k N). )oiu:ufnu]onuunnuQ(t) = tn:unu]nnmonnoaooo]-nnxomou.,,2010.Rexee: )oiu:u!o:onnou:ucnuionoaooo]noomooQ(t)=tnunP(P(t))=t, f]. u:oo:onofnocfunnfnu]ok 2. Hoiu]ox0= x,x1= P(x)nxi+1= P(xi):ui N. I:u:oununx0 x1[x1 x2[...[xk1 xk[xk x1.!uio]oxk= x = x0,focycnou:anioxi xi+1:u0 i k]onuionouncoayfno]noocfn. Hoiu]od = x0 x1. io]ox1 x2= donu]ox0=x2onocnoP(P(x))=x. ^o)yfn:uio]ox1 x2=x0 x1=dnucfunu:onocfynuiuo. Hoiuc:ooonanu]oxixi+1= d:ucnoi mnnoiu]omnu]no!nfuiunoo]. io]om > k, onu]oxicfoio:onofonnn:nucono:ooocnfnu]ox0= xk. Caonu:ufuinom:ouununm k. Onu]oxm+1 xm+2= d= (xm xm+1), f].nunxm=xm+2. I:onoiucaonu]oxm+s=xm+2+s:ucnuios N,nucaonnu]oP(P(x))=x:us k m. Onn:c:ooonanucycno|nicnofuuiooQ(x)y]onon|nicnofuuiooP(P(x)).)onono]ooiu:ufnu]onuunnuP(P(x))=xn:unu]nnmonno-aooo]nnxomou. io]ononocnnxomouynfounn]u:uoP(x)]onui1onucnufuomou:uonounu]yP(x) =x, nunxno:oon:ufn nnmo o n. Hoiu nocfo]n omoo a un]n ]o nono fuuno 2n noiu ]o c noio yio omoo (un]n ]o nono 1 nan 2). Hoiu ]ob=P(a) nd=P(c). Onu]o P(b) =anP(d) =c. I:u:oununa c[P(a) P(c) = b d[P(b) P(d) = a c,nu]o [a c[ = [b d[. Canunon:u:oununa d[P(a) P(d) =b c[P(b) P(c) =a d, nu]o n[a d[ = [b c[. Yioanio]oa +b ,= c +donu:ouununa c = b dna d=b conocnoa b=c d=d c, f]. c=dn:uoiucaona=b mfo]o cynofnocunofnocfunio:u]ononooafuuno2.Caonu]oa + b =c + d. )uocaonu:ucnuionoaooo]noomoox]onuunnuP(P(x))=xnunP(x) + x=a + P(a)n:uoiucaonu]oxomoonoanno:no]onuunnon-foicfononu,nucu:n:fn:]onuunnuP(P(x)) = xno:oon:ufnnnmoonnoaooo]nnxomou.19.3 Zadatak163. Oonfn:onioo|nnn]onufunununn::ocfn:unoan-no:uP(x) = (x2x + 1)2010+ (x2+x + 1)2011.Zadatak164. Hoiu]op>2nocfoo] nnoanno:P(x)=xp x + p.)oiu:ufn.u)io]onyau( C)noanno:uP(x)onu]o [[ < p1p1.o)P(x)]onoynnonaunyZ[x].Zadatak 165. Hoiu]o P(x) Z[x] fuiun noanno:ucyP(0) nP(1)nonunnoo]onn. )oiu:ufnuP(x)no:unoaooo]nonyao. ,,2010.Zadatak 166. )uannocfo]nnoanno:P(x) cunoaooo]nn:ioo|nnn-]onfn:ufuiunu]oP(x)=P(x) :ucnoouanoxnnunP(1)=9nP(9) = 41.Zadatak167. Hoiu]oa0 +a1x +... +a2nx2n= (x + 2x2+... +nxn)2.)oiu:ufnu]o 2ni=n+1ai=n(n+1)(5n2+5n+2)24.|l| .Inioa,ProblemSolvingStrategies,Cnnniol997.|2| ).Jyin!,I.Junionn!,I.^ufn!,H. Iofonn!,TheIMOCompen-dium,Cnnnio2uu6.|S| I. Jonunonn!, ,. !uoaoyi, I. ^auononn!, Meunarodneibal-kanske matematiqkeolimpijade1984-1995. godine, ^ufon]uan:u:auo:ufo:ufnuuo - cnociuS2, )ymfno:ufo:ufnuuuCon]ol996.|1| )oufnunucfunuy^ufo:ufnuio]in:nu:n]n|| Cu]fwww.mathlinks.ro15920RaznizadaciizteorijebrojevaDuxanMilijanqevi,Matematiqkagimnazija20.1 Zadatak168. Hu!ncnou:anunfonnonooo]onoxnyfuinou]oxy= yx.Rexee: Io:y:uouonmfocfn:oo:onofnocfunnfnu]ox > y.I:ufooaunn]ocaonuxnyn:u]y]onuionocfo|uifoo. Hoiu]ox=

si=1paii, uy=

si=1pbii. Onununyai=xbi:ucnuio1 i s.!uio]ox>yfo]obi z:uz 3fo]oz=1nanz=2. ,ooix ,=y:ouuoyoz=2, nu]oy= 2nx = 4.Zadatak169. Hu!ncnonnonooo]onoxnyfuinou]oxy= yxy.Rexee: I:ufooaunn]ocaonu]ox y, nu]oyxy=xyyynu:ouununx 2y. Onu]o(xy)y=yx2ynoooo] nuy[x. Hoiu]ox=yz :unoionnonoz. ,u:oy]y!nony]onuiocfyynoau:nyoon]u:ou]o(yz)y= yy(z1),onocnoyz= yz1,f]. z= yz2. ,uy= 1n:u:oomoox = 1. Inuuo:uy 2nunz= yz2 2z2. !uio]o:uz 5 2z2> z fo ]o z 4. I: z= yz2oon]u:o u cy ]onno :oiy!nocfn(y, z) (2, 4), (3, 3)mfou]oomou(x, y) (8, 2), (9, 3), (1, 1).Zadatak 170.Hoiu ]o xn nn: cu cno]cfno: x0= 1 n xn+1= 2xn+_3x2n + 1.)oiu:ufnucycnnuaunonnnn:unoanoo]onn.Rexee: I: ufo oaunn]o n:u:o u ]o (xn+12xn)2= 3x2n+1 onocnox2n+1 4xnxn+1 +x2n= 1.160,,2010.Io:ouo:nnoicu:u1oon]u:oununnx2n+2 4xn+1xn+2 +x2n+1= 1.Oy:n:uo:nofxononooaunn]on:u:oununx2n x2n+2 + 4xn+1(xn+2 xn) = 0,onocno(xn+2 xn)(4xn+1 xn xn+2) = 0.!uio]onn:xnucfy!nfo]o4xn+1 xn xn+2= 0,onocnoxn+2=4xn+1xn,nucycnnuaunonnnn:unnonnoo]onn.Zadatak171. )uf]onn: ancucno]cfno:a1=a2=a3=1nan+3=1+an+1an+2an. )oiu:ufnu]onn:annoaooo]un.Rexee: I:ufooaunn]on:u:oununanan+3= 1 +an+1an+2,onocnonocaono:ouunnoicuununan+1an+4= 1 +an+2an+3.Oy:n:uo:onono]onuiocfnoon]u:ou]oanan+3 an+1an+4= an+1an+2an+2an+3.'unc|o:unn]o:ono]onuiocfnoon]u:ou]oan+3(an +an+2) = an+1(an+2 +an+4),onocnoan +an+2an+1=an+2 +an+4an+3.Io:ouo:nnoicunuuonofxonnn:u:]o]onuia1+a3a2= 2n,a2+a4a3=3nunu]oan+2=2an+1 annanan+2=3an+1=an, f].cnnuaunonnnn:ucynoanoo]onn,uiuiocynno:nfnnnnfoan N:un N.Zadatak172. iocya, bn a +1bnnonnoo]onnoiu:ufnucyanbnofnynninuufn.Rexee: io a+1b N onu na+1b +2_ab N,nu ]o1b +2_ab Z.io cno no:non:o cub oon!o:o1+2ab Z,onocnoab Q. !uio]o ioonnnonoi oo]u nannunnonuaun nannnoun oo] :uiyn-xy]o:ouab N,onocnoab = m2(:unoionnonom). ,u:oy]y!n ,,2010.onoynouofny]onuiocfoon]u:ou]oab+1b=m+1bnnounoo].Onub:ou onfn nonfyn inuuf (uiob noon ono nofnyninuuf onuonbononunnonuaunoo],nuonnnoooo]m+1bononunnonuaun).!uio]onabnofnyninuuffo]onanonfyninuuf.Zadatak173. )uf]onnounoo] n. Ynnfonuay(n2, n2+ n) n:u-ounu cynunnonu oo]uanb. )oiu:ufnu yfo:nnfonuayno:unoaooo]nnxoanonuooo]uabu:anunfnxoanb.Rexee: Iofnocfunn:ocynofno f]. u nocfo]noanaundoo]uabn: nnfonuau(n2, n2+n). Onu d [ [(da)(db)[ , u iuio d, a n b nnnu]ynnfonuay(n2, n2+ n)fo]o [(d a)(d b)[ n2(nomfonnnuunnfonuay(n2, n2+ n)). ,nuunnouofnunofnocfuniu]onofuunu, nunonocfo]noanaundoo]uabio]nnnnuunnfonuay(n2, n2+n).Zadatak174. io]opnocfoo]oiu:ufnu]op1

k=1[k3p] =(p + 1)(p 1)(p 2)4.Rexee: In:ofn:ocaoo!o.p1

k=1[k3p] =p1

k=1k3pk3p .!uio]ok3p =k3mod pp,fo]op1

k=1[k3p] =1pp1

k=1k31pp1

k=1k3mod p.!uio]o p1k=1k3=p2(p1)24n p1k=1k3mod p =p(p1)2,fo]op1

k=1[k3p] =p(p 1)24p 12=(p + 1)(p 1)(p 2)4,mfo]onfoouaooiu:ufn.Zadatak175. )oiu:ufnu]ooo]5100+ 575+ 550+ 525+ 1caoon.Rexee: Cfunuo:x = 525oon]u:ou]ox4+x3+x2+x + 1 = (x2+ 3x + 1)25x(x + 1)2.,,2010.!uio ]o5x = 526nofnyninuuf,focoiono:yaufuf:oo|uifon-cufuiuou:aniuinuufu, iocyoouunnnonuno!uo1, nu]oufnoo]caoon.Zadatak 176. Hoiu ]o Sk:on nnnx knocfnx oo]onu. )oiu:ufn u co:u cnuio nnono k n::o)y Skn Sk+1nuau:n ou ]oun nofnyn inuuf.Rexee: Honocono co nonounu fn)oo nun :u k = 1, 2, 3. )oiu-:uxn:o cuu nnyinn]o: nok,k 4 u nun no]onuiocf_Sk+1Sk>1.bazaindukcije,uk = 4n:u:o28 17 > 1,mfo]ofuuno.indukcijskapretpostavkaHoiu]o_Sk+1 Sk> 1:uk 4.indukcijski korakHoiu ]o pnnfn nocf oo]. Onu ]o_Sk +pk+1>Sk+ 1, onocnoSk+ pk+1>Sk+ 1 + 2Skmfoco cnonnupk+1>1 + 2Sk, onocno(pk+1 1)2>4Sk. Ouniaono]opk+2 pk+1 2npk+2 +pk+1 2 2pk+1,nu]o(pk+2 pk+1)(pk+2 +pk+1 2) 4pk+1,onocno(pk+2 1)2 4pk+1 + (pk+1 1)2,uiuio]o(pk+1 1)2> 4SknSk+1= pk+1 + Sk,fo]o(pk+2 1)2> 4Sk+1.Cuunomfo]oSk+2 Sk+1= pk+2fo]oSk+2 Sk+1 1 > 2_Sk+1,onocnoSk+2> (Sk + 1 + 1)2,mfococnonnu_Sk+2 _Sk+1> 1.Onn:]ooiu:ununo]onuiocf_Sk+2_Sk+1> 1:ucnuiok 4. Cuunofnocfunn:ocynofnof]. ucon::o)ynoinxSknSk+1nonuau:nnofnyninuuf. Onu]oSk+1 ([Sk] + 1)2(([Sk] + 1)2]onu]:uninuufno!noSk), onocno_Sk+1 Sk 1, mfo]ono:oiy!onooiu:uno] no]onuiocfn. !onfuninn]u!! ,nuunn::o)ySknSk+1coynoinuau:nnofnyninuuf.Zadatak177. Hu!ncnonuononnonnxoo]onuanbfuinnxu]ob2+acfononnocfoioo]unb2+aoana2+b. ,,2010.Rexee: I:ycaonuonnocfnoon]u:ou]oa b. !uiob2+ a [b2+a, a2+b n:u:o u]o b2b2+aana2b2+ab. !nunuo:nono n:u:ono:yyiyioniyonnn]yoon]u:o u ]o b4b2+ab,onocno b2+a[ b4+b =b(b3+1). Hoiu ]o b2+a =pm, ,io ]o pnocfoo]. !uio]o (b, b3+ 1) =1 nb2+ acfononnocfoi oo]ufob2+a [ bnanb2+a [ b3+ 1. Inncayuu]ofnuu]o]ob2+a > b. ,nuunb2+ a [(b + 1)(b2 b + 1). !uiocynb + 1nb2 b + 1:unob2+ afonoincfononnnocfoioo]upoaob +1,unoinoaob2b +1(n:onoiucaonu]ob2b +1 > 1,onocnob > 1). ,nuunp [ (b +1, b2b +1) = d.!uio]od = (b(b +1), b2b +1) = (b2+b, 2b 1). )oonanc:oud [ 2b 1nd [ b +1, onocno d [ 2b +2. !oncfo!nud [ 2b 1 nd [ 2b +2 oon]u:ou]od=3(no:ooonfnd=1]o]odnoincfononoo]up). ,nuunp=3. Hn]ofomionononfnu9nniunooanb2 b + 1, mfo:nuunu3m1[b + 1. I:nofxonoi:uiyuy]o:ou]ob 3m1 1, uiuio]ob2+ a=3moon]u:ou]o3m>b232m2 23m1+ 1, onocno3m+ 23m1=53m1>32m2932m4>532m4. Onununu]o3m1>32m4, onocnom 1>2m 4n:uoiucooon]uu]om 2.!uiocfononnoincfononnocfoioo]upoanb + 1, unoinb2 b + 1fo]om 2. )oon]u:ou]om = 2. Iomunuo:]onuunno9= b2+ anioncfo!nfou]ob>1oon]u:oomooa=5nb=2. !uio9 [ 27(ycaononnocfn), :uiyuy]o:ou]oono:uncfuomoonfo]onn-cfnono.20.2 Zadatak 178.)oiu:ufn u nn: [2k+12] :u k Ncun oocionuuno :noionunnxoo]onu.Zadatak179. iocuS(n) o:nuun:o:onnn|uunnonoioo]unn:uuynufnS(S(S(44444444))).Zadatak180. iocyanb u:anunfnnnonnoo]onn, no!no1,fuinnu]ob2+a 1oana2+b 1, oiu:ufnuoo]b2+a 1 n:uounuu:anunfunocfu|uifou.Zadatak181. Hu!ncnonnonooo]onoxny:uio]onunxy2= yx.Zadatak 182. Hoiu]o xnnn: nnonnxoo]onufuiunu]o xn+2=x2n+1+cxn:unoinnnounoo]c. iocyx1, x2nx21+x22+cx1x2nnonnoo-]onooiu:ufn]oxnnnounoo]:ucnuionnonon.|l| ^. Iuonunonn!, Nizoviirekurentnejednaqine, )oufnunucfunuy^ufo:ufnuio]in:nu:n]n|2| www.mathlinks.ro16521TriteoremeelementarneteorijebrojevaDuxanMilijanqevi,Matematiqkagimnazija21.1 jTeorema54. (^uau+o:uonufooo:u)Hoiu]opnocfoo] io]nnooana. Onu]oap1p1.Teorema 55. (O]aoonu fooo:u) Hoiu ]o m oo] io]n ]o y:u]u:no nocfcua. Onu]oa(m)m1.Teorema 56. (Inacononu fooo:u) Inoun oo] p ]o nocf uio n cu:ouionun(p 1)! p 1.21.2 Zadatak183. )oiu:ufn:uay+o:uonyfooo:y.Rexee: Hoiu]o a1, a2, ..., ap1oyionuncncfo:ocfufuiuno:o-yayp. Onu]o:ooi(a, p)=1n aa1, aa2, ..., aap1oyionuncncfo:ocfufuiu, nununap1a1a2...ap1 pa1a2...ap1. I:onoiucaonu]oap1p1,mfo]onfoouaooiu:ufn.Zadatak184. )oiu:ufnInacononyfooo:y.Rexee: Hoiu]opnocfoo]. ,ucnuina 2, 3, ..., p 2nocfo]n]onncfnonb 2, 3, ..., p 2fuiunu]ob ,= anab p1. Cu:n:fn:]o(p 1)! p11...11 p 1. Iofnocfunn:ocuuu:upnunufuoaunn]u. Hoiu]odnon:onunoanaunopio]n]o:unooiu.Onud[(p 1)!, nud[ 1n:uoiucaonu]od =1. Cu:n:fn:p:ouonfnnocfoo].166,,2010.Zadatak185. )oiu:ufn u :u cno nnono oo]onoa nn nunn[(an1).I:u:o u nun an1[an1 n an1[a(an1)1, nu an1[a(n,(an1))1.!uio ]on (n, (an1)) n,fo]on = (n, (an1))nu nunn[(an1).Zadatak186. )oiu:ufnu]ofuuno]ounooo]onuAnBonncup(p]ononuunncofoo])uio]oA = a1+2+...+p11nB= a1+2+...+p1+ 1,io]oanoinnoooo]y:u]u:nonocfcup.Rexee: Hunouofiynoiun:ocaoo!o. io]oanoooo]y:u]u:nonocfcup(p]ononuunncofoo])onu]oap12 1(modp). Oun-iaono ]o(ap12)2 1(mod p), nu n:u:o u p[(ap12+1)(ap121), nu ]o nannnn |uifo onn cup nanyin |uifo. I:u:ou ]oA = (ap12)p1nB= (ap12)p+ 1. Iu:aniy]o:onucayuu]u.1ap12 1(modp). Onu]oA 0(modp).2ap12 1(modp). Onu]oB 0(modp),un:oc:o:unmnan:uufui.Zadatak 187. )oiu:ufnu:uu:anunfo nocfo oo]ono p nq nunpq[pq1+qp11.Rexee: io]o p=q foouoiu:ufnup2[2pp1. 'yn:u:onucayuu]uuio]op=2np 3. ,up=2n:u:o4[22mfo]ofuuno, u:up 3p2[pp1[2pp1. Hoiu]ocuup ,= q. Onucypnqy:u]u:nonocfnnu ]opq1+qp1 pq1 1(mod q),nuq[pq1+qp11. Canuno oon]u:onup[pq1+qp11,nupq[pq1+qp11]ocypnqy:u]:nonocfn.Zadatak188. )oiu:ufnu:ucnuinnnoun oo]nnun2730[n13n.Rexee: !uio]o2730=235713onono]ooiu:ufnucnuinoonnxnocfnxoo]onuoann13 n. Hoiup 2, 3, 5, 7, 13. io]o(p, n) =1onup[np1 1. !uiop 1 1, 2, 4, 6, 12fon12pnp1,nun:u:ou:u(n, p)=1nunp[n12 1, onocnop[n13 n. Yyio:cayuu]yp[nnununp[n13n. I:onoiucaonu:uncfu2730[n13n.Zadatak 189. Hn: ano|nnncun]o cuan=2n+ 3n+ 6n 1, :un 1. Oonfncnonnonooo]onoio]ncyy:u]u:nonocfncucnn:uaunonn:unn:u.Rexee: Ouniaono ]o ]oun fuiun oo] 1. )oiu:u!o:o u ]o n ]onnnfuiomfo!o:onoiu:ufnu:ucnuinnocfoo]pnocfo]ni Nfuinoup[ai. ,up=2n:u:oa1=10, u:up=3n:u:oa2=48. Hoiu]o ,,2010.cuup 7. Onu]o6ap2= 32p1+ 23p1+ 6p1 6,uiuiocy2, 3, 6y:u]u:nonocfncup(p 7)fo]o2p1 3p16p11(modp), nu]o6ap2 3 + 2 + 1 6 0(modp). ,nuunp[6ap2,unomfo]o(6, p)=1fooon]u:op[ap2,un:oc:o:unmnan:uufui.Zadatak 190. io]o p nonuunnocfoo] nanb y:u]u:nonocfnoo]onnfuinnup[a2+b2onu]op 41.Rexee: Iofnocfunn:o cynofno f]. u ]o p = 4k+3, :u noio k N0.I:a2+b2p0n:u:ou]oa2p b2,nu]oap1p(1)2k+1bp1(nocaocfonononuucup12=2k + 1). iopoan]ounoanb, onuoannyinnuanbno:oiyonfny:u]u:nonocfn. ,nuunanbcyy:u]u:nonocfncu p. Onu]o ap1p1 p1 pbp1, un:o c:o oonanionfuninn]y:ooip ,= 2. Caonu]o:uncfup 41Zadatak191. )oiu:ufnuoo]7p + 3p4nn]onofnyninuufuio]opnocf.Rexee: O:nuun:o ufn oo] cuN. io ]op = 2onu ]oN= 19,mfoouniaononn]onofnyninuuf. Hoiu]ocuup 3. Iofnocfunn:ocynofnof]. u]oNnofnyninuuf(N= n2). Onu]oN p3p4 p1,nup[n2+12,uiuiocynn1y:u]u:nonocfnfo]op 41. ^o)yfn:onu ]oN 4 7+(1)p4 42, mfo ]o no:oiy!o ]o inuuf noaoi oo]uno:oouu]oocfufui2no:oyay4.21.3 Zadatak192. )oiu:ufnu7[5999999+ 1.Zadatak193. )oiu:ufnO]aoonyfooo:y.Zadatak 194. Hoiu cy a n b nnonn oo]onn, u p nocf oo]. )oiu:ufnu6[abpapb.Zadatak195. Hoiu]oannounoo],upnqu:anunfnnocfnoo-]onn. )oiu:ufnupq[a(p1)(q1)1.Zadatak196. io]opnocfoo]nknon:nounnnoun oo]oiu-:ufnu1k+ 2k+... + (p 1)kn:uocfufui 1nnooycupuiop 1[k,unnuuo]oonncup.|l| ). ^nan]unuonn!, Aritmetiqke funkcije, ofn :ufo:ufnuiniu:n-Uuoun2ulu.|2| www.mathlinks.ro|S| ).^nan]unuonn!MalaFermaovateorema16922Elementarnageometrija1ErnaOklapi,Elektrotehniqkifakultet22.1 jAksiom1. ,ucnuio nou:nofuuionocfo]nfuuno]onu nunuio]unxcun.Aksiom 2. ,u cnuio fn fuuio nocfo]n ou ]onu unun io]u nx cun.Aksiom 3. io no u:no fuuio noio nuno nnnuu]y noio] unnn, fuuncnofuuiofonunonnnuu]yfo]unnn.Aksiom4. iocynounnnnnnnonfnocunoio:fuuio:,fuucyononnnnonfnocuou]om]ono:fuuio:.Aksiom5. Iocfo]ouofnnnoio:naununofuuio.Teorema 57. io fuuiu A no nnnuu nuno] p fuu nocfo]n ]onncfnonuununio]ucunfuuiyAnnunyp.Teorema 58. io no u:no unnn n:u]y :u]onnuiy fuuiy fuu ]o nxonnocoinunu.Dokaz: Io:uuicno:u:ul,Sn1onofn)oonun.Teorema59. ionunuio]u]oyunnnfoyiauABCnocunnn]onoooionnx fo:onu ncouo ]onyoionynnnny, fuufu nunucouofuuno]om]onyoionynnnny.Aksiom 6. (Plejferova aksioma paralelnosti) io fuuiuA no nnnuununo]p,fuuyunnnn:uoo)ono]nocfo]nfuuno]onununuio]ucunfuuiyAnnc]ynifnu]ocununo:p.170,,2010.Aksiom7. (AksiomaparalelnostiLobaqevskog)iofuuiuAnonn-nuu nuno]p,fuu y unnn n:u oo)ono] nocfo]o ou no nuno io]ocuofuuiyAnnc]ynifnocycununo:p.Teorema 60.Ioaunn]u nuuaoanocfn nunnx ]o oaunn]u oinnnuaonnn]o.Teorema61. Ioaunn]unuuaoanocfnunnn]ooaunn]uoinnnuaonnn]o.Aksiom8. iocyA, BnA1ufofuuiofuinou]oA1nouofnufuuiunoionoaynunoa1fuununoaynuno]A1a1nocfo]nfuuno]onufuuiuB1,fuinuu]o A1, B1 = A, BAksiom9. HoiucyA, B, CnA1, B1, C1fuuio fuino uA B CnA1B1C1. 'uuuio]o A1, B1 = A, Bn B1, C1 = B, C,onu]on A1, C1 = A, C.Aksiom 10. io cy A, B, Cfn noioannouno fuuio n A1, B1 fuuio nnnnoa1noayunnna11fuinou]o A1, B1 = A, Bfuuyofnoono]noay-unnn1nocfo]nfuuno]onufuuiuC1,fuinuu]o B1, C1 = B, C,nA1, C1 = A, C.Teorema62. iocyOpqnO1p1q1nuionnoicnuyiau,fuinuu]oOp |O1p1nOq |O1q1, fuucyonunuyiau]onuiuuiocyoouomfunanooufynu. io]o]ounofnxyiaonuomfu,uyinfyn,onucyonncynao:onfnn.Teorema63. CfunnnuafoyiauABCno!u]oocfunnnob uioncu:ouio]onucnu:nnyiuono!noyiau.22.2 Zadatak197. Hoiu]ofuuiuAnunnunnxpnq. ionocfo]onou:nonuno io]o cuo fuuiy A n coiy nuno p n q, fuu cy p n q io:naununonuno. )oiu:ufn.Rexee: Hoiuno:onyfonunocoiynunypyfuuiu:uBnC, ununyqyfuuiu:uDnE. IunoBEnCDcocoiy.,ucnuiononunoio]ococoiynocfo]n]onncfnonuununio]unxcun.Zadatak198. iocynunnnnpnunu, nnuo:yp |n |oiu:ufnu]op | Rexee: Hoiu]o ,=. ,ooip |, nocfo]nnunurio]unnnuuunnn, p | r. 'uu]onr | nnuiu]yp | .Zadatak 199. Yciynyol2fuuuiunocfo]nfuuno6uofnoinio:-naununnxfuuuiunnonocfo]nfuuuiuio]ocyio:naununo. !oaniounnnoo)y]yonnxl2fuuuiu ,,2010.Rexee: Hnio]o S o l2 ufnx fuuuiu nncy ioannouno. (ioonnoiofuuioonaoioannouno, onuoncnuiuo9noocfuanxfun-xuiuonaucun:uio:naununu, nuononaoou9io:naununnxuo-fnoin.) ofnnio:naununofuuiooo)y]y]onyunun, uuofnnnoio:naununofuuiooo)y]y1unnn. Io:ufo:o, fuonnoo]]o12111012363 = 202Zadatak200. )ufocyfuuioA, B, C, D, S,fuioucyonaoio]ouofnnonxnoio:naununo. HoiununuABnonoununSCDyfuuinM,nunuBCnono ununSADy fuuinN,nunuCDnono ununSAByfuuinPnnunuDAnonoununSBCyfuuinQ. )oiu:ufnucyfuuioM, N, P, Qio:naununo.Rexee: HoiucounnnSABnSCDcoiynonuno] p. Iuno] pnnnuu]yfuuioS, MnP. Hoiuco, uo, unnnSBCnSADcoiynonuno] q. Iuno] q nnnuu]y fuuio S, Nn Q. Iuno p n q co coiy (n:u]y:u]onnuiyfuuiyS), nuoo)y]y]onyununio]ucunM, N, P nQ.Zadatak 201. iocyanb no :n:onau:nonuno, fuunocfo]o nonuuaoanounnnn,fuioua nb . )oiu:ufn.Rexee: Iunun oo)onu ]o nuno: a n noio: nuno:b1io]u couonunyannuuaoanu]onuno]b. Canunocooo)y]ounun.Zadatak202. Hoiu]oufionuuunciynPynnunopcucno]cfno:ucnuionon:u]ynonu:unnocoi. )oiu:ufnunocfo]nfuuiununopio]unnnuucnn:yn:uciynuP.Rexee: Io: c:uou onmfocfn :oo:o nofnocfunnfn u co ynciynuP nuau:onuoo]no] nuno]. Hoiucya1, a2, ..., anaonniu]onnynn:ciynuPnnoiu]oa1 a2 ... an,ub1, b2, ..., bnocnniu]onnynn:ciynuPnbn bn1 ... b1. 'uununan bn. (ioononaoan> bn,onuycuaonn:iu]o:annycuocnn:iu]o:bnno:u]y:u]onnuinxfuuuiumfo]oionfuninn]u.) 'uuiuan]o:u]o-nnuiufuuiucnnxynciynuP. ,uncfuuio]o[aj, bj] yn:ciynuPfuununai an bn bj.Zadatak203. 'oyiuoABCn:uyiaono= 15on= 30o. Iunuio]ucun fuuiy A n no:uanu ]o nu AB couo y BCy fuuin D. )oiu:ufnu]o2AC= BD.Rexee:Inaqin: !oncfynmn:oyAEfuiou ]oAED = 30o. I:uuynu-nuo: ynyfumnx yiaonu :uiyuy]o:o u cy foyiaonn ACE, ADE, ABE]onuioiuinnunuan:o:]onuinxcfunnnuoau:n:oo:uiyuiuu]o2AC= BD.IInaqin:,,2010.Hoiu]onucfunnnnCBfuuiuEfuinuu]ofoyiuoAEDnunyiuo. 'oyiaonnADEnAEBcycanunnnnun.tan 15o=pb/2tan 15o=b/2qio]op = DE, b = ACnq= EB. !uio]oBD= p + q:oo:onunncufnnu]oBD=b2(tan 15o+1tan 15o). )uiaofoouoiu:ufnu]otan 15o+1tan 15o= 4. In:ono:fniono:ofn]cinxfunc|o:unn]uoon]u:otan 2=sin2cos2=_1 cos1 +cos]oyiuoo30on:u:ono:nonocfnoon]u:ou]otan 15o=2 3.Huiu]ycooon]uu]otan 15o+1tan 15o= 4mfo]onfoouaooiu:ufn.Zadatak 204. Hucn:ofuancnoumoiyiauiofo:onuCfoyiauABCn:uounu]onon:nonufuuiuM. )oiu:ufnu]oMA + MB>AC +BCRexee: Hu nuno]ACn:uoon:o fuuiyD,fuinyu ]oACDnCD = CB. Ouniaono ]ocn:ofuauCMyiauBCDy]ono n cn:ofuauynBD,nu]oMD= MB. YfoyiayADMnunAM+ MD> AD=AC +CD,uouno]oMA+MB> AC +BC.Zadatak205. )oiu:ufnuycnuio:foyiayno!o]cfunnnnoionuu:uufonmnuannn]u,u:uo]cfunnnnnonufonmnuannn]u.Rexee: HoiucyyfoyiayABCfonmnoannn]oAA1, BB1, CC1,fonmfoT nnoiu]oAC 2,onu ]oe < 3v 5.)oufno, uio]ov>3nuioyiu|yno:unniaycuynnoS, onu]oe < 2v 3.24.2 Zadatak227. )uan]o:oiy!ono!ncnnxcou::ocfonufuiouconn]ounonxnono)onnmoo]ounnyf ,,2010.Rexee: Innonfno,onocoonucfunuyoun:ouanyufo:iu|y nocfo]n O]aoon nyf. Youn:o u cy, uio noc:ufu:o ufo oaonoionnuiuounoono,u:ocfonoiuonnnnoiu|u,cfononnufnxunoonu, S, SnS. !uio]onoonxounycaon:unocfo]uoO]aoonoinyfuucfononnfuunonn]onoinannuunouoyynonunn,]ucno]ouon:uonu]iu|nonocfo]n,fou]oono:ocfonono:oiy!ono!nnufuonnnuunn.Zadatak228. )uanco:oonunfufnannn]uio:cnnxocofynufo canio oo: non:uuoaonio nnoauouoaonio:io: noio onnnnununyfuRexee: Ioc:ufu]:o cnuiy o nonmnnu oo)onnx ufo: |niyo:iuounoiu|u. )ocofufnxynnocfunu]yiunoio]ocnu]u]yfounoono. Cuu, nofoono]o nu!nO]aoonnyfio: ufniu|. Cucanioconnnunyf:ouionyfnn:unoonuAnanD, iuiocyfo]onnu nuunoucunonunn: cfonono:. !uiocycfononnBnCnunn,O]aoonnyfnocfo]n,fo]ofuonn:uufuin:nonn.Zadatak229. )uancouofnnnnnnonunoyiuonniunoiononon-]uionuao:oiynunfufny]ono:nofo:yRexee: io nnnno nunoyiuonniu noc:ufu:o iuo unoono,nnn:oucycfononncnnxunoonu]onuin3. )uiao, O]aoonnyfonononocfo]n.,,2010.Zadatak 230. u) )u annocfo]niu|cu 6unoonu un]ncycfononn2,2,S,S,1,o) )u an nocfo]n iu| cu unoonu un]n cy cfononn u,l,2,S,1n))uannocfo]niu|cu6unoonuun]ncycfononn2,S,S,1,1,1i))uannocfo]niu|cu7unoonuun]ncycfononn6,S,S,S,S,S,S )uanfniu|onncuoXu:nafononnO]aoonnyf,onocnonniaycRexee: u)Ho, :ufomfo:oncnnxcfononufoouuoyonuun-cnuiuiununocfonononuunou:u]oun. o)Ho,]oyioanio]oununon:ucfononn 1,onu]oonnono:uncucnn:ocfuan:unoonn:u.^o)yfn:, ufnu:]on]oununocucfonono:u, mfonucononoionfuninn]o. n))u, nnanunoiu]oauionioncfyncufn. n:no-cfo]n, ]ucno nu: ]o(no oionn: cfononn:u), u cun O]aoon nyf, uannonnniayc. 'uio)o,cucanioconnnuufniu|cunnXu:na-fononnyf. i))u,nfuio)ocoauiouioncfyncufn. Onof,fnnn]uanocaonucunXu:nafononnyf,uannonnniayc. ,ooinnmoonuunoucunonunn:cfonono:,:oo:oonfncniynnuO]aoonoinyfuno:u.Zadatak231. Iu|]oonnufnfnnunyioanioco:oonooanfnynunc]ynifnunoiu|ufuiouynyfunxnnio]unuunounncynono-:unu,uiunonocfo]onciyunnon::o)yufonunoiu|u. )oiu:ufnu]oiu|onnufnfnnunuioncu:ouionocunnniaycononunoynno.Rexee: Icnufn:o caoo!n uaionfu:. I:uoon:o onao io]n unoncfunn:oiuyciynA. ,ufn:, ncnufn:ocnuiynnnnyio]uio!on:ufoiunouncfunn:ocnounoonocuyioiiu]ufnxnnnnuyciynB. I:onmn:ocnonnnnoio]oc:oynunoynofoonan. Cuu, :ucnouonoonon:Boio]nxc:oynunooman, ncnufn:ocnoiunoio]nio!yn:nxnunoonocuyiocfunocfunn:oyciynA. I:onc-xo:ocnoynunoynofooononnnno, fononunu:ouaionfu:oinoiaucn|niy]o:ocnounoonoufoiiu|u. Onu] uaionfu:nniuno!onoiymufnuno:ocfnunon: ]onoi ciynuyyin- uio]o noio:unoyvno!ooanociyn,uiooniucycoonnuaonnuyunoonuyonu] yinciyn, foon:nuunaouiu]ocycoonocaononunoioo]uiouiu,f]. uyufo:iu|ynocfo]nnniaycnonunoynno,mfo]oycynofnocfncunnnnn]uann:fn)oo:.Zadatak232. )oiu:ufnuycnuio:nocfo:iu|ynocfo]onuunoucuncfn:cfonono:.Rexee: Hoiuufniu|n:ununoonu. Hu]no!ncfononio]nnoinuno:oon:ufn]on 1. Yioanionocfo]nunocufn:cfonono:, on]onono:uncucnn:ocfuan:unoonn:u, fono:oonocfo]ufnunocucfonono: u. Canuno, uio nocfo]n uno cu cfonono: u, no :oo nocfo]ufnunocucfonono:n 1. )uiao, cfononnunoonu:oiyn:ufnnu]nnmo ,,2010.n 1u:anunfnxnonocfn. !uioiu|n:ununoonu, caon(no)n-nxaoono:nnnnnny),unocfo]oounuunoucuncfn:cfonono:.Zadatak233. io ]onynnncycfnonuaoion|oonnn]n, nuio cooo:nunnnu no:unno cu oo)onn: oo]o: yn, noiu:ufn u nocfo]o ounoocoooio]ocycono:unnaocuncfn:oo]o:yn.Rexee: Ioc:ufu!o:o:nunnnoiuounoonoiu|u. Innnun::o)ynuunounocfo]nuiiocycofonoocooono:unnao. Yioaniocyconoionoocooono:unnaocuncfn:oo]o:yn,cfononfunuunouonno]onui. )uiao,nooao:cocnonnuomoo:uufiu6.Zadatak234. Cnuiniuynoio] unnnono:un]onoifnn:unn-oncin:annn]u:ucufuunofnyiuiuu. I: cnuioi iuuco cunu]nnmo ]onn:nocouo::oo cfn!nyonao io]nyiniufouno. !oanin]onu]no!n:oiy!noo]iuonuyfo]unnRexee: O:nuun:oiuono oo]onn:u1, 2, 3.... I: iuu1co, cu]onn:nocouo::oocfn!ny]omnu]nnmomocfiuonu, fo:ui-cn:uannoo]iuonunn]ono!no10. Ioaufnnnoauioco:oonu!nucnoofnx10iuonufuiou:uonounu]yycaono:uufiu.Zadatak235. YunnOiounn]nnocfo]nn, n > 1iuonu,io]ofoounono:ufn foao|oncin: annn]u:u fuio u nuo caoo!n ycaonn. u) Cnuiuannn]unono:y]onuiuu. o)Iocfo]nyiynnon 1annn]u. n)I:cnu-ioiofnxiuonu:ooco(:uiunnnoifno)u:ionuufncucnn:ocfuan:iuonn:u. )oiu:ufnunocfo]niuio]n]onoifnonono-:uncufuuno]onn:iuo:, fou]oonu] ciynfoao|oncinannn]uycfnuncfuoao.Rexee: Iuonnnocfunu]yunoonoiu|u, ufoao|onciono:on::o)ynxfoao|onciono:o. )ufniu|]onono:un,u:nfoouuo-iuo:ounocfo]nunocucfonono:1. I:ycaonu:uufiun:u:ou]oS1 + ...Sn=2(n 1))uiao, :uou]oununonu:nSi 1,oiu:ufn no]onuiocf.12 0. Iocaociu!nnuuoon]u:ofuony]onuiocf.Zadatak276. Oonfnnonocfn:u:u11+x+xy+11+y+yz+11+z+zxuio]oxyz= 1.Rexee: Iomny]y!nnnnu:ao:uicuz, yincuxz nion-cfo!nycaonxyz= 1n:u:func|o:nmo:oyzz+xz+z+xz1+z+xz+11+z+xz=z+xz+11+z+xz= 1.Zadatak277. io]oaybxc=cxazb=bzcyanabc ,= 0,oiu:ufnu]oxa=yb=zc.Rexee: O:nuun:oaybxc=cxazb=bzcya= t. 'uu]oay bx = ct,cx az= bt,bz cy = at. )ooo:nnooaunn]ocuab,yiocuac,fo!ocubcoon]u:o.yb xa=cabt,xa zc=bact,zc yb=abctCuonuo:onnx]onuunnuoon]u:oa2+b2+c2abct = 0,nuiuioa2+b2+c2,=0:uiyuy]o:ou:ouonfnt=0. Cuu]oay bx=cx az=bz cy= 0ouiaocaonxa=yb=zc.Zadatak278. io]o1a+1b+1c=1a+b+c, abc ,= 0, a + b + c ,= 0,oiu:ufnu]o.u)a +b = 0nanb +c = 0nana +c = 0.o)1an+1bn+1cn=1an+bn+cn:uonaoio]ononunon.Rexee: ^noo!n ufy ]onuiocf nno cu abc, nu cu a+b+c oon]u:o(ab +ac +bc)(a +b +c) = abc. !uucon:oonyoaunn]yoon!o:oa2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 2abc=0, mfo]ooinnnuaonfnocu(a +b)(a +c)(b +c) = 0. Ounocaonu]oa +b = 0nanb +c = 0nana +c = 0.o)ioyony]onuunny:u:onn:oan= bnoon!o:ooaunn]y1cn=1cnio]u]oynoifuunu.Zadatak279. io]oa +b +c = 0,oiu:ufnu]oa3+b3+c3= 3abc.Rexee: ,uufuico]onocfunnoomunuionc!oo:oaunn]oa3+b3+c33abc = (a +b +c)(a2+b2+c2ab ac bc). ,,2010.Zadatak280. I:uuynufn:ona3b3+b3c3+c3a3uio]oabc ,= 0,ab+bc+ca= 4,ac+cb+ba= 5.Rexee: Hoiu]ox =ab,y=bc,z=ca.Ioycaony:uufiu]oxyz= 1,x +y +z= 4,5 =1x+1y+1z= xy +xz +yz.Cuu:oo:ooonfnx2+y2+z2= (x +y +z)22(xy +xz +yz) = 6.'uio n:u:o x3+y3+z3= (x+y+z)(x2+y2+z2xyxzyz)+3xyz = 7.Zadatak281. Iouannoo]onna, b, c, d:uonounu]y]onuiocfn(1 +abc)(1 +bac)(1 +cab)d2= 1n1a+1b+1c+1d= 1.)oiu:ufnu]oa +b +c = 1.Rexee: I:ycaonu:uufiu]o(1 +abc)(1 +bac)(1 +cab) =1d2= (1 1a 1b 1c)2(l)^nooo:|uifounuaono]cfunn|o:yaooon]u:o(1 +abc)(1 +bac)(1 +cab) = (1 +bac+abc+1c2)(1 +cab)= 1 +abc+bac+cab+1a2+1b2+1c2+1abc. (2))ocnucfunu]onuiocfn(l)]onuiu]o(1 1a 1b 1c)2= 1 +1a2+1b2+1c2 2a 2b 2c+2ab+2ac+2bc. (S)I:(2)n(S)oon]u:oabc+bac+cab+1abc=2ab+2ac+2bc (2a+2b+2c). (1)^noo!n(1)cuabcoon]u:oa2+b2+c2+ 1 = 2c + 2b + 2a (2bc + 2ac + 2ab),f]. (a +b +c)2+ 1 = 2a + 2b + 2c,mfo]ooinnnuaonfnocu((a +b +c) 1)2= 0,ouiaooon]u:oa +b +c = 1.27.2 Zadatak282. Ciufnfnu:ao:uia3+b3+c33abca2+b2+c2abacbc.Zadatak283. Hoiu]oy =x2+x2x2x2nz=x4+x4x4x4. I:u:nzy|yninn]noy.Zadatak 284. Hoiucya, b, c :o)ycoonou:anunfnoo]onnio]nnncy]onuinu, u x, y, z non:nonnouannoo]onn.io nuna(y+z) =b(z +x) = c(x +y),oiu:ufnu]oy za(b c)=z xb(c a)=x yc(a b).Zadatak285. iocyoo]onna, b, c, x, y, zu:anunfnonyaonuio]ox2yza=y2xzb=z2xyc,= 0,onu]oa2bcx=b2acy=c2abz. )oiu:ufn.,,2010.Zadatak286. Hu!nnonocfn:u:ux6+x3y3+y6,uioouannoo]onnxny:uonounu]y]onuiocfnx2+xy +y2= 4nx4+x2y2+y4= 8.|l| Iufio'omn!,Matematiqkiproblemi97,ao|,!^^xn:oocl997.|2| n|,oan!,,.!uoaoyi,C)unOiunonn!,Analizasaalgebrom1,!yi2uu6.|S| Iaun:n)uionn!, Iunao^auononn!, C)unOiunonn!Pri-premni zadaci za matematiqka takmiqea za uqenike sredih skola,)ymfno:ufo:ufnuuuCon]ol999.20228TeorijaigaraAndreaXipka, QueenElizabethsCommunityCollege28.1 jIgra nultesume(zero sumgame): Yiynun oonfui ]onoi nannnmoniuuu]o]onuiyiynno:iyonfiynouonnxniuuu.Ravnoteaigre: Cnfyunn]uio]u ]onnxnufnnu:ucnoyuocnnioynin.Qistastrategija: Iyuio:naofnyo|nnnnn]ynuunnunuio]nniuuniunufn]y.Mexovitastrategija: ]oooaunoonufno!ocnuio]uncfo]cfu-foin]n.Optimalnastrategija: Onucfufoin]uio]uynnmocfyio:nonu-nuynioooo:oo)y]o:uicn:uaunnocouunoonfuionocno:nnn-:uaunnocouuniyonfui.Dominantna strategija: Cfufoin]uio]u]ooouonoioyiocfufoin]o,oo:oo:nunufomfuyinniuunniu]y.Vrednost igre: Ionocf io]y ]oun niuu :ou u ncnaufn yio:nuionmfo]ounnofounocfninyfu,onocnoiuu]oniuiofonu.28.2 Zadatak287. Ioannn]u]ocniynuucyno]nnuocy:nuonnxnoun-nnau:aounn, uanno:uoiu:o:ufo. Ocy:nuonncyono]onnnnynn:cooiono. iocu:o]ounonxnn:nu,onymfu]y!nnoannn]nuocynyioi,on!oocaooo)on,oi!oyinonfnocy)onnu:uicn-:uanyiu:nyo2uionnu. iooounn:nu]yoon]u]ycnnonoiu:no203 ,,2010.ono ionnu. io nn]oun no nn:nu,on!oocy)onnnu iu:nyomocf:oconn:ooinocoonuuoy]u.Onu]nooao:co:oonocfunnfnfuooao:.,ufnoonniB!yfn ,ufnoonniInn:nu]o,ufnoonniA!yfn 6:oconn,6:oconn 2uionnu,caoooun,ufnoonninn:nu]o caoooun,2uionnu ionnu,ionnu!o]ucfufoin]u]onu]oou:u:ufnoonnioRexee: . ,u ooo]nny ]o ncnaufnnn]o u nn:nu]y :aounn, mfo no-cfunu]onnyunnofonyfuuiy:uoou:ufnoonniu. Io:oo:numfu]ocun:nmnaunoayuno,n:u]ucocnuio:onxnnmoncnaufn.Zadatak288. ^uion!ufunnuniu]yniynyafocy:o.Caoo!u:ufnnunoiu:y]oncnaufy:u^uiu, io]oxioncfunfnunonocf.!ufunnu!l !2^uio ^l x^2 -2 1l. Ionu)nn:u:o:u^uionouoinnunnoonfui, uioonniuM1cunoonufno!o:P.2. io]ononocfnioSS,nonu)nnonocfPnx.Rexee:l. K1 : 5P 2(1 P)K2 : xP+ 4(1 P)2. 5P 2(1P) = 8/3P= 2/3xP +4(1P) = 8/32/3x+4/3 = 8/3 x = 2Zadatak 289. Y caoo!o] fuooan cy ufo nonocfn y nin n::o)y u:onIoo. Ycnuio]!oan]n,aonunn|u]oufu:uu:yuocnu:uIoy.cfufoin]u A B CD (S,S) (u,) (l,2)E (1,2) (S,7) (6,1)F (,7) (,S) (2,)l. )u an u:u n:u o:nnunfny cfufoin]yOou:aon cno] oiono2. )uanIoun:uo:nnunfnycfufoin]yOou:aon.Rexee:l. ) Ho. ioIoun:uooo I, :oiy!o ]o u!o oonfnnnmo uion:uooo+,ouy]ono]cnfyunn]n.2. )u. Ouniaono ]ou!ou:u oonfn nu]nnmouio niuI,:umfuIouyuno.,,2010.Zadatak290. Co!io nIunio niu]yniy nyafocy:o. Iiu]o oo-)onucaoo!o::ufnno::uCo!iucfufoin]u X Y ZI -1 -S uII -2 2III l -l Sl. )uanonuniun:uunnofoy2. Ionu)nonfn:uany(playsafe)cfufoin]y:uoouniuuu.S. !o]u]ononocfnioRexee:l. ^nnn:y: no oonn:u. -1, -2, -l.^uicn:y: no ioaonu:u. , -l, S.Hu]:un :oiy!n oonfui (-l) ]o ]onui nu]no!o: :oiy!o: iyonfiy(-l). 'o:nuunu]oomoocfuonanonunnofounocfninyfu.2. Co!ioniuIII,uIunioY .S. Ionocfnio]o-l.Zadatak291. +nannn'ooniu]yniynyafocy:o. Iiu]ooo)onucaoo!o::ufnno::u+nannu.cfufoin]u Cl C2 CSA S 2 lB -2 -l 2l. )uanonuniun:uunnofoy2. Ionu)nonfn:uany:omonnfycfufoin]y:u+nannu.S. Ionu)nnonocfnio.Rexee:l. Ho.2. +nannniuAcunoonufno!o:P, uBcunoonufno!o:(1 P).oionouoinnunnoonfuiiuu'ooniu.C1 : 3P 2(1 P) = 5P 2C2 : 2P (1 P) = 3P 1C3 : P+ 2(1 P) = 2 Pio co ono nocfunnnu iu|niyio ]o nu x ocn0 P1,oon]o:o. ,,2010.Hu]nnmu fuuiu nooconuonoi oinonu ]o nuP= 0, 75. )uiao,+nannfoouu niucunoonufno!o:u,7 nIcunoonufno!o:u,2.S. Ionocf nio ]o. 30, 751 = 1, 25 nan 20, 75 = 1, 25. Oou nuunnuuuynuucynoionu.Zadatak 292. Joaonu n Inu niu]y niy nyafo cy:o. Iiu ]o oo)onucaoo!o::ufnno::uJoaony.cfufoin]u A1 A2 A3P1 2 lP2 -S -l P3 1 l -2l. Ionu)nonfn:uany(playsafe)cfufoin]y:uJoaony.2. )uannocfo]nunnofouS. !o]ycfufoin]yJoaonunniuunofoouuniu1. Ionu)nonfn:uany:omonnfycfufoin]y:uJoaony. Iu|nuinnaycfy].. Hu)nnonocfnio.Rexee:l. ^nnn:y::u P1(5, 2, 1) ]o -l. ^nnn:y::u P2(3, 1, 5) ]o -S.^nnn:y::uP3(4, 1, 2)]o-2. ^uicn:y::nnn:y:u]o-l. )uiao,P1]oonfn:uanuplaysafecfufoin]u:uJoaony.2. ^uicn:y:. A1=5, A2=2, A3=5. ^nnn:y:(5, 2, 5)=2Iomfo]o:uicn:y::nnn:y:u:uJoaony-l,u:uIny2,nonocfo]ncfu-onanoomoo.S. Cfufoin]uP3(4, 1, 2) ynoiu]o :uyncnaufyoP1(5, 2, 1), no-:unncnoofoiumfuInuniu. )uiao, JoaonunniuunofoouuniuP3.,,2010.1. Joaonu niuP1 cu noonufno!o:P,uP2 cu noonufno!o:(1P).Ouoinnunnoonfui:uJoaony, :unncnoofoiuuanInuniul,2nanS]o.A1 : 5P 3(1 P) = 8P 3A2 : 2P (1 P) = 3P 1A3 : P+ 5(1 P) = 5 6PIu|nuinnniu:uno.. Hu]nnmufuuiuoiunnuonoioinonu]o. Yfo]fuuinnun]o-nuunnu3P 1 = 5 6P,9P= 6P= 2/3)uiao,JoaonuniuP12Sno:onu,nP2lSno:onu,fo]ononocfnio3(2/3) 1 = 1Zadatak 293. ^umu n Iofu niu]y niy nyafo cy:o. Iiu ]o oo)onucaoo!o::ufnno::u^umy.cfufoin]u C1 C2 C3R1 -1 1R2 2 -S lR3 - 1 Sl. Ionu)nonfn:uany(playsafe)cfufoin]y:uIofu.2. !o]ycfufoin]y^umunniuunofoouuniuS. Ionu)nonfn:uany:omonnfycfufoin]y:u^umy.Rexee:l. ^uicn:uannoonfuinoioaonu:u:uIofu]o2, , 1. ^nnn:y::uicn:y:u]o2. )uiao,Iofonuonfn:uanuplaysafecfuion]u]oC1.2. R3o:nnnuR1, onocno^umnnoonfui]oynoino!nuioniuR1,unoR3,no:unncnooIofonoin:oou. ,,2010.S. ^umu niu R1 cu noonufno!o: Pn R2 cu noonufno!o: 1P. R3conou::ufu, :ufomfo]oR1o:nnunfnucfufoin]uyonocynuy. ^umnnouoinnunnoonfuiiuuIofuniu.C1 : 4P+ 2(1 P) = 2 6PC2 : 5P 3(1 P) = 3 + 8PC3 : 4P (1 P) = 1 + 5P.Iu|nuinnniu:uno.Hunu]nnmo] fuuinnunu2 6P= 3 + 8P )uiao, P=5/14, n^umufoouuniuR1cunoonufno!o:5/14nR2cunoonufno!o:1 (5/14),onocno9/14.Zadatak294. !o]u]ounnofounio:ucaoo!yniyn::o)y!ynu]funCuyn]ciouon]oIau!uo]ono|ynfu:u:u:nanonoouoauyuio]ncynon:noonn. Hunn:o, uioCuyn]ciuuon]unon:noo:nanonuouoaunonno, oon]uno|nfol6|ynfnnoouoay. ionon:noo6:nanonuouoaunonno,onuoon]ul2|ynfnnoouoay.Iiuco:oonocfunnfnnucaoo!nnuunn.!ynu]fnon:nou 1mouoaunonno 2mouoaunonnoCuyn]ciuuon]u 4mouoaunonno (61,l6) (1S,21)5mouoaunonno (6u,l2) (1u,l6)Rexee: Cuyn]ciu uon]u foou u non:noo 1 :nanonu ouoauu!ynu]fnu. !ynu]fn:uo:nnunfnycfufoin]y. Io:oo:nunufomfuCyun, !ynu]fyconnmoncnaufnunon:nonnu:nanonuouoaunonno. ioCuyn]ciuuon]u:nuu!o!ynu]fynoiuniunu2:nanonu, onn!on:uoufnunon:noo1:nanonu, uno, :ufomfofuio:uicn:n:y]ycno]no|nf.Zadatak295. Ho:uunYomniu]yniynyafocy:o. Iiuco:oono:onfonufnnucaoo!o]:ufnnn:uHo:uy.,,2010.cfufoin]u U1 U2 U3N1 -S -1 lN2 l -lN3 -2 -S 1nuan:nu] onyniy. (Ionu)no:nnnunycfufoin]y, onfn:uany:omonnfycfufoin]y:uHo:uy,nonocfnio.)Rexee: Iiuno:ucfuonanoomoo, :ufomfo]o:nnn:y::ui-cn:y:u(l)u:anunfo:uicn:y:u:nnn:y:u(-l). N1]oynoiaomn]uonnn]uoN3, uiaoN3o:nnnuN1. Ho:uunofoouuniuN1.Ho:uu niuN2 cu noonufno!o:P,uN3cu noonufno!o:1P. ioYomniu. U1, Ho:uuouoiy]ouoon]o. P 2(1 P) =3P 2.U2 : 5P 3(1 P) = 8P 3.U3 : P+ 4(1 P) = 4 5PHuHu]nnmo]fuuinnunu3P 2 =4 5P, onocnoP =3/4.)uiao,Ho:unnu:oonnfucfufoin]u]o. N2cunoonufno!o:S1.N3cunoonufno!o:l1. Ionocfnio]o33/4 2 = 1/4Zadatak296. 'nocoooniu]yniy. Innniuuonuo(ioonanoao),yinniuuonuioaony(aononanocno)ufo!nniuuonu:ufnny(nanI).Innoo]ycnuio]!oan]n]ooonfuiiyonfui:uniuuul,yinoo]]o:uyioiniuuu,nfuiouo.MatricaAaono ocnoioo (6,S,2) (1,S,6)oao (2,S,9) (1,2,2)MatricaBaono ocnoioo (7,2,2) (u,u,2)oao (9,1,S) (u,u,u)Ionu)nunnofoy:uonyniy.Rexee: Y:ufnnnA, niuuln:uo:nnunfnycfufoin]y(ynoi:y]oooouniuioo). Iiuu2no:uo:nnunfnycfufoin]y, uanuio]ounnonuaun:nuu!oniuulynoiniufnioo. Y:ufnnnB,nniuulnniuu2n:u]yo:nnunfnycfufoin]y. Iiuul!oynoi ,,2010.niufnoao, uniuu2aono. ,ufn:, niuuS:oouonocooayiyfuiomfo!ounoc:ufumfuniuunln2:oiyuniu]y. IiuuSonu:ufnnyB, :ufomfoyfo:cayuu]yoon]uS, oiycayuu]yniuuAoon]u6.28.3 Zadatak 297. IiuunAnBnun::onnunonocfunu]yaonno nucao-oonunoumuxonciofuoao. Anocfunuooao aonno, uBnocfununno. onunconoc:onocfunnfnuio]onuyuynofnnnnuioiaonnu(cynofnooo]o). Iiuuio]n]onunofo:y:oonocfunnfncnoiaonnununooonaoio]ooo]o. Iyonfnni]oniuuio]nno:oonony!nnofo:.!onooo)y]oZadatak 298. 2. Huio:nanco nuau:nnofonu. )nuniuuu, AnB, niu]yniyyio]o]nun::onnunononauuono, 7nanllofonucuio:nao. Iyonniuuio]nno:oounonyuonofo:. !o]nniuun:unooonnuiycfufoin]y,uio]on = 2001uio]nuio]on = 5000Zadatak299.