#karenamatematikaadalahbahasa … · 2020. 1. 23. · bagaimanamelatihnya? tahap 2: memperkaya kosa...

Mengajarkan Matematika: PR Kita Bersama

Jonathan Hoseana, Ph.D.

Universitas Prasetiya Mulya

[email protected]

23 Januari 2020

Jonathan Hoseana, Ph.D. (Universitas Prasetiya Mulya[0.1cm][email protected])Mengajarkan Matematika: PR Kita Bersama 23 Januari 2020 1 / 24

Dua PR kita bersama

#KarenaMatematikaAdalahBahasa

#KarenaMatematikaAdalahPemecahanMasalah


PR pertama

Mengajarkan matematika sebagai suatu bahasa


Pentingnya presisi

Bilangan prima adalah . . .

Bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. (X)

Bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. (X)

Bilangan asli lebih dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinyasendiri. (V)

Bilangan asli yang memiliki tepat dua faktor positif berbeda. (V)

Bilangan komposit adalah . . .

Bilangan yang selain bilangan prima. (X)

Bilangan asli selain bilangan prima. (X)

Bilangan asli selain 1 dan selain bilangan prima. (V)

Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor positif berbeda. (V)


Pentingnya presisi

Luas sebuah persegi adalah . . .

s2. (X)

Sisi kuadrat. (X)

Kuadrat sisinya. (X)

Kuadrat panjang sisinya. (V)

Teorema Pythagoras berbunyi . . .

a2 + b2 = c2. (X)

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi penyikunya.(X)

Kuadrat sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlahkuadrat sisi-sisi penyikunya. (X)

Kuadrat panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama denganjumlah kuadrat panjang sisi-sisi penyikunya. (V)


Pentingnya presisi

Soal pilihan ganda

Jika 4x − 7 > 1 maka . . .

(a) x > 2

(b) x < 2

(c) x > −2

(d) x < −2

Tentu saja jawaban yang diharapkan adalah (a).Tetapi (c) juga benar!Oleh karena itu, soal ini perlu diperbaiki.

Pertidaksamaan 4x − 7 > 1 ekuivalen dengan . . .


Pentingnya presisi

Beberapa soal ujian dan kompetisi di Indonesia


Mengapa kemampuan berbahasa itu penting?

Kalimat-kalimat yang sering kita dengar

Pemerintah berhasil menurunkan angka kemiskinan hingga lima komatiga belas persen.

Angka: 0, 1, . . . , 9.Pemerintah berhasil menurunkan persentase kemiskinan hingga limakoma satu tiga persen.

Pemerintah berhasil menurunkan angka pengangguran hingga satudigit.

Angka pasti satu digit: 0, 1, . . . , 9.Pemerintah berhasil menurunkan persentase pengangguran hinggakurang dari sepuluh persen.


Mengapa kemampuan berbahasa itu penting?

Koran Jawa Pos, 5 September 2017

Kecepatan mampu menembus 160 km per jam.


Bagaimana melatihnya?Tahap 1: Mengidentifikasi ekspresi-ekspresi matematis

Tentukan apakah setiap ekspresi berikut merupakan himpunan ataubilangan atau pernyataan benar atau pernyataan salah atau ekspresi takberarti.

1 {0}

2 0 ∈ {0}

3 n({0})

4 n(0)

5 {n({0})}

6 ∅

7 n(∅)

8 ∅ ⊂ {0}

9 ∅ ∈ {0}

1 himpunan

2 pernyataan benar

3 bilangan

4 ekspresi tak berarti

5 himpunan

6 himpunan

7 bilangan

8 pernyataan benar

9 pernyataan salah


Bagaimana melatihnya?Tahap 2: Memperkaya kosa kata

Deskripsikan setiap ekspresi matematis berikut.{12 ,

35 ,

59}

suatu himpunansuatu himpunan pecahansuatu himpunan pecahan positifsuatu himpunan pecahan positif berukuran 3

x2 + 2x + 3suatu suku banyaksuatu suku banyak berderajat duasuatu suku banyak berderajat dua yang semua koefisiennya positifsuatu suku banyak monik berderajat dua

y = x2 − 1suatu persamaansuatu persamaan non-linearsuatu persamaan non-linear dalam dua variabelpersamaan dari suatu parabola di bidang


Bagaimana melatihnya?Tahap 3: Mendeskripsikan suatu prosedur

Saya mempunyai sebuah parabola (yang diketahui persamaannya) dansebuah titik (yang diketahui koordinatnya) di bidang. Bagaimana caramenentukan persamaan dari semua garis yang melalui titik itu danmenyinggung parabola itu? Jelaskan tanpa menggunakan simbol.

1 Pertama-tama, tuliskan persamaan garis yang melalui titik tersebutdinyatakan dalam suatu parameter yang adalah gradiennya.

2 Pandanglah persamaan garis ini, bersama dengan persamaan parabolayang diketahui, sebagai suatu sistem persamaan dalam dua variabel.

3 Dengan melakukan substitusi, dapatkanlah suatu persamaan kuadratdalam salah satu dari dua variabel tersebut.

4 Tentukan diskriminan dari persamaan kuadrat ini dinyatakan dalamparameter tadi.

5 Dengan memberlakukan kondisi bahwa diskriminan ini sama dengannol akan diperoleh nilai parameter tersebut, sehingga diperolehpersamaan garis yang diinginkan.


PR kedua

Mengajarkan strategi untuk memecahkan masalah


Contoh-contoh

Contoh 1

Jika x = 5 maka hitunglah (x − 7)(x2 − x − 3

)+ 3(x − 7) + x(x − 7).

Saya menemukan banyak murid yang langsung menyubstitusikan nilaix = 5 ke dalam ekspresi aljabar yang panjang itu.

Jawab

Bentuk aljabar tersebut dapat difaktorkan menjadi

(x − 7)(x2 − x − 3 + 3 + x

)= (x − 7)x2

yang nilainya untuk x = 5 adalah (5− 7) · 52 = −50.


Contoh-contoh

Contoh 2

Hitunglah 492.

Murid yang sudah menguasai bentuk aljabar diharapkan tidak lagimengerjakan dengan cara bersusun.

Jawab

Karena492 − 12 = (49− 1)(49 + 1) = 48 · 50 = 2400,

maka492 = 2400 + 12 = 2401.


Contoh-contoh

Contoh 3

Hitunglah rata-rata dari bilangan-bilangan 1977, 1970, 1961, 1980, 1967.

Langsung dijumlahkan semuanya lalu dibagi 5?

Jawab

Dengan mengurangkan setiap bilangan dengan 1960 diperoleh

17, 10, 1, 20, 7

yang rata-ratanya adalah

17 + 10 + 1 + 20 + 7

5=

55

5= 11.

Jadi, rata-rata kelima bilangan semula adalah 1960 + 11 = 1971.


Contoh-contoh

Contoh 4

Hitunglah 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 97 + 98 + 99 + 100.

Gagasan jauh lebih penting daripada rumus siap pakai.

Jawab

Jumlah tersebut sama dengan

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + · · ·+ (50 + 51)

yaitu101 + 101 + 101 + 101 + · · ·+ 101︸︷︷︸

sebanyak 50

yang bernilai 50× 101 = 5050.


Contoh-contoh

Contoh 5

Selesaikan sistem persamaan

{627x + 373y = 3508373x + 627y = 2492.

Sistem persamaan ini terlihat istimewa.

Jawab

Hasil penjumlahan kedua persamaan itu adalah 1000x + 1000y = 6000,yang ekuivalen dengan x + y = 6, yang juga ekuivalen dengan 373x +373y = 2238. Selisih persamaan ini dengan persamaan pertama adalah254x = 1270, sehingga x = 5. Dengan demikian, y = 6− 5 = 1.


Contoh-contoh

Contoh 6

Faktorkan (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)− 3.

Tentu kita tidak ingin mengekspansikan secara keseluruhan.

Jawab

Perhatikan bahwa

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)− 3 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3)− 3

=(x2 + 5x + 4

) (x2 + 5x + 6

)− 3

=[(x2 + 5x

)+ 4

] [(x2 + 5x

)+ 6

]− 3

=(x2 + 5x

)2+ 10

(x2 + 5x

)+ 21

=(x2 + 5x + 7

) (x2 + 5x + 3

).


Contoh-contoh

Contoh 7

Jika f (x) = sin x , maka tentukan f (2020)(x), yaitu turunan ke-2020 darifungsi tersebut.

Jawab

Perhatikan bahwa

f (x) = sin x

f ′(x) = cos x

f ′′(x) = − sin x

f ′′′(x) = − cos x

f (4)(x) = sin x .

Jadi, f (4)(x) = f (x), sehingga f (8)(x) = f (4)(x) = f (x), dan

f (2020)(x) = f (2016)(x) = · · · = f (8)(x) = f (4)(x) = f (x) = sin x .


Mengapa kemampuan memecahkan masalah itu penting?

Ada banyak masalah kompleks di dunia kerja nanti.

Bagaimana cara menghitung banyaknya harimau Sumatra yang hidupdi sebuah hutan?

Bagaimana cara menghitung besar premi dari suatu asuransi?

Bagaimana cara menghitung harga tiket pesawat?

Mengapa pesawat Airbus A380-800 akan berhenti diproduksi padatahun 2021?


Mengapa kemampuan memecahkan masalah itu penting?

Bagaimana cara mendesain sebuah smartphone andal yang baterainyatidak cepat habis?

Bagaimana cara mendesain sebuah rollercoaster yang seru tanpamembahayakan keselamatan penumpang-penumpangnya?

Para ahli diharapkan mampu memecahkan masalah-masalah sekompleksini, dan mampu mengkomunikasikan solusinya kepada orang lain.Mari kita bekali murid-murid kita, calon ahli masa depan!


Buku-buku yang saya tulis



#karenamatematikaadalahbahasa … · 2020. 1. 23. · bagaimanamelatihnya? tahap 2: memperkaya kosa...

Documents