katli integral

7/22/2019 Katli Integral

1/22

ift Katl ntegraller

Bir deikenli fonksiyonlardaki trev kavramn iki ve daha ok deikenli fonksiyonlaragenelletirdik ve kismi trevleri elde ettik. Bir deikenli fonksiyonlardaki integralkavram iki ve daha ok deikenli fonksiyonlara nasl genelletirilebilir? Bu soruya birdeikenli fonksiyonlar iin belirsiz integral tanmnda olduu gibi ters trev ilemi ileyaklaacaz ve iki deikenli fonksiyonlar iin nce dikdrtgensel bir blge zerindensonra da daha genel blgeler zerinden ift katl integral tanmn vereceiz.

Bir deikenli fonksiyonlarn belirli integralinde olduu gibi ift katl integraller deRiemann toplamlar kullanlarak tanmlanabilir. Ancak, ift katl integraller bu kitaptaardk (tek katl) integraller olarak tanmlanacaktr. Tanm bu ekilde vermek bukitabn kapsam ve amacna daha uygun dmektedir.

1. Ters Trevler. F, G ve f iki deikenli fonksiyonlar; D bu fonksiyonlarn herbirinin tanm kmesinde kapsanan bir kme olsun. Her (x,y)D iin Fx(x,y)=f(x,y) ise, Ffonksiyonunafnin Dkmesindexe gre ters trevidenir. Benzer ekilde, her (x,y)Diin Gy(x,y)=f(x,y) ise, Gfonksiyonunafnin Dkmesindeyye gre ters trevidenir. Terstrevlerden sz edilirken herhangi bir kmeye referans verilmemise, Dkmesi olarakters trev olma zelliinin geerli olduu en geni kme alnr.

rnek 1. 97534),( 232 yxyxyxyxF , 25632),( 24 yxxyxyyxG ve

568),( 3 xyxyyxf denklemleri ile tanmlanan fonksiyonlar iin F, f nin x e gre

ters trevidir, nk

),(568),( 3 yxfxyxyyxFx

dir. Gfonksiyonuf ninyye gre ters trevidir, nk

),(568),( 3 yxfxyxyyxGy

dir.


2/22

2

Bir deikenli fonksiyonlardaters trevle ilgili tartmalarmz anmsayarak u sonu-lara ulaabiliriz:

F1veF2, aynf fonksiyonununxe gre ters trevleri ise, yle bir (bir deikenli) Bfonksiyonu vardr ki, F2(x,y)=F1(x,y) + B(y) dir.

G1veG2, aynf fonksiyonununyye gre ters trevleri ise, yle bir (bir deikenli)Cfonksiyonu vardr ki, G2(x,y)=G1(x,y) + C(x) dir.

Yukardaki ifadelerde, Bve C sabit fonksiyonlar olabilir.

f fonksiyonunun x e gre tm ters trevlerinin ailesi fnin xe grebelirsiz integralidiye adlandrlr ve

dxyxf ),( ile gsterilir.Bylece, fnin xe gre bir ters trevi F ise, Bbir deikenli veya sabit birfonksiyon olmak zere

)(),(),( yByxFdxyxf

dir.

ffonksiyonununyye gre tm ters trevlerinin ailesi f nin yye grebelirsiz integrali

diye adlandrlr ve

dyyxf ),( ile gsterilir. Bylece,f ninyye gre bir ters trevi G ise, C bir deikenli veya sabit birfonksiyon olmak zere

)(),(),( xCyxGdyyxf

dir.

x e ve y ye gre belirsiz integral tanmlar aadaki gibi zetlenebilir:

),(),()(),(),( yxfyxFyByxFdxyxf x ,

),(),()(),(),( yxfyxGxCyxGdyyxf y .

Herhangi bir deikene gre integral hesab yaplrken dier deiken(ler) sabit kabuledilerek bir deikenli durumda olduu gibi hesap yaplr.


3/22

3

rnek 2. 568),( 3 xyxyyxf fonksiyonunun x e ve y ye gre belirsiz integrallerini

hesaplayalm.

dxxyydxxyxy )5)68(()568( 33

)(534)(52

)68( 2322

3 yBxyxyxyBxxyy ,

dyyxyxdyxyxy )5)6()8(()568( 33

)(532)(52

)6(4

)8( 2424

xCyxyxyxCyy

xy

x .

rnek 3. 4),( 22 xyeyxyxf fonksiyonununxe veyye gre belirsiz integrallerini

hesaplayalm.

)(43

)4( 23

22 yBxy

exy

xdxeyx

xyxy ,

)(43

)4(3

222 xCyx

eyyxdyeyx

xyxy .

Belirsiz integral kullanlarak her bir deikene gre belirli integral dnlebilir. Eer fninxe gre bir ters trevi Fise,

),(),(),(),( yaFybFyxFdxyxf bx

ax

b

a

olur. Eerfninyye gre bir ters trevi Gise,

),(),(),(),( cxGdxGyxGdyyxf dy

cy

d

c

olur.

rnek 4.3

1

2323

1

3534)568(

x

xxyxyxdxxyxy

.102432)534()152736( 333 yyyyyy

2

0

242

0

3 532)568(

y

yyxyxydyxyxy

.1012320)101232( xxxx

Bir belirli integral hesaplanrken integrandn ve ters trevlerinin, integrali belirleyendeikenin integral limitleri arasnda tanml olmas gerektii aktr. Aksi halde, integraltanmsz olur.

rnek 5. yyyyx

x

xyxy eeedxye 23)2(ln)3(ln3ln

2ln

3ln

2ln

.


4/22

4

rnek 6. 3ln

2lndyye

xy belirli integralini hesaplamak iin nce ksmi integrasyon uygulanr,

daha sonra integral limitleri yerletirilerek sonu elde edilir.

dyx

ee

x

yvduuvudvdyye

xyxyxy

3ln

2ln

3ln

2ln

22

11

y

y

xyxyxy exx

ye

xe

x

y

xx

xxxx2

12ln3

13ln22

.

rneklerde grld zere, iki deikenli bir fonksiyonun deikenlerden birine grebelirli integrali sadece dier deikene bal bir ifade verir. Baka bir deyile, ikideikenli bir fonksiyonun deikenlerden birine gre belirli integrali dier dei keni

bamsz deiken kabul eden bir deikenli bir fonksiyon verir. Dolaysyla, ikideikenli bir fonksiyonun deikenlerden birine gre belirli integrali hesaplandktansonra elde edilen fonksiyonun da dier deikene gre integrali hesaplanmak suretiyleardk integrallerden sz edilebilir.

rnek 7. dydxxyxy

2

0

3

1

3 )568( ardk integralinin hesab, nce keli parantez

iindeki xe gre integral hesaplanp bulunan ifadenin yye gre integrali hesaplanarakyaplr. Daha nce rnek 4te hesaplandgibi,

102432534)568(

33

1

2323

1

3

yyxyxyxdxxyxyx

x

olduundan,

2

0

32

0

3

1

3 )102432()568( dyyydydxxyxy

1562048128101282

0

24 yyy .

Ayn integrand ile, integral snrlar da uygun ekilde deitirilmek suretiyle ters sradayazlm olan ardk integrali hesaplayalm:

dxyxyxydxdyxyxy yy

3

1

2

0

243

1

2

0

3 532)568(

dxxdxxx 3

1

3

1)1044()101232(

156=10)-(22-30-198=10223

1

2 xx .

Son rnekte ardk integralin deikenlere gre hesap sras deitirildii zamanintegralin ayn deeri verdiine dikkat ediniz.

u=y , dv=exydydu=dy , v=(1/x)exy


5/22

5

rnek 8. Bu rnekte de ayn integranda sahip, deikenlere gre hesap sras deiti-rilmi ardk integraller hesaplayacaz.

dyyydyyxxdydxyxx

x

3

2

3

2

2

1

23

2

2

1)31(643)32(

2

21)66(

2

279

2

33)33(

3

2

23

2 yydyy .

dxxxdxyxydxdyyx

y

y

2

1

22

1

3

2

22

1

3

2)64(

2

276

2

32)32(

.2

21)

2

151(154

2

15)

2

152(

2

1

22

1 xxdxx

Son iki rnekte hesaplanan ardk integrallerde deikenlere gre integral srasdeitirilince integrallerin deerinin deimediini gryoruz. Bu sonu, bir tesadfdeildir ve sonraki kesimde dikdrtgensel blgeler zerinden ift katl integral tanmiin temel oluturacaktr.

Bundan byle ardk integralleri yazarken nceki rneklerde kullandmz keliparantez gsterimini yazmayacaz, nk keli parantez yazlmasa da ilemlerin hangisrada ve nasl yaplaca anlalmaktadr. Daha ak bir ifade ile

dydxyxfdydxyxfd

c

b

a

d

c

b

a

),(),(

dxdyyxfdxdyyxfb

a

d

c

b

a

d

c

),(),( .


6/22

6

2. Dikdrtgensel Blgeler zerinde ift Katl ntegraller. Dzlemde birdikdrtgensel blge, a, b, c, d ve a< b, c


7/22

7

Ayn integral deikenlere gre hesap sras deitirilerek aadaki gibi hesaplanabilir:

dxxxdxyyxdxdyyxdAyxy

yD

))46(99()3()23()23( 22

1

23

2

2

1

222

1

3

2

22

12)51(1085))53(

2

1

32

1

2

xxdxx .

rnek 2. }11,10:),{( yxyxD olmak zere

D

yx dAexy22

8 integralinin

hesab.

dyyeeydyeydxdyexydAexy yyx

x

yxyx

D

yx )44()4(8822222222 1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0)22(2222 221

1

1 22

eeeeee yy .

rnek 3. }32,:),{( 2 yexeyxD olmak zere D

dAxln integralinin hesab.

222

)ln2ln3()ln(lnln 3

2

3

2

e

e

e

e

y

y

e

eD

dxxxdxxydydxxdAx

222 )(2lnln22

eeeeexxxdxx e

e

e

e .

7.3. Dzgn Blgeler. Dikdrtgensel blgeler zerinden yaplm olan ift katlintegral tanmnn daha genel blgelere geniletilmesini dnmek doaldr. Bubalam-da ilk akla gelebilecek blgeler dzgn (regler) blgelerdir.

m,n fonksiyonlar, a, breel saylar, a < b ve her x [a,b] iin m(x) n(x) olmak zereKartezyen dzlemde

},)()(:),{( bxaxnyxmyxD

blgesine bir dzgnx-blgesi denir.


8/22

8

Her dikdrtgensel blge bir dzgn x-blgesidir. Bir dzgn x-blgesinin grnmaada gsterilmitir:

ekilden de grld zere dzgn x-blgesi D, [a,b] kapal aral zerinde y=n(x) ingrafiinin altnda vey=m(x) in grafiinin stnde bulunan noktalardan olumaktadr.

rnek 1. }31,2:),{( xxyxyxD blgesi bir dzgnx-blgesidir ve aadaki

ekilde taranm olan blgedir.

rnek 2. y = x dorusunun altnda, y = (x-2)2 parabolnn yukarsnda bulunan nok-

talarn oluturduu blge bir dzgn x-blgesidir ve aadaki ekilde taranarakgsterilmitir. Blgenin dzgn x-blgesi olarak ifade edilebilmesi iin y =xdorusu iley= (x-2)2parabolnn kesim noktalarnnbelirlenmesi yararl olacaktr:

(x-2)2 =x x2 -5x+ 4 = 0

(x-1)(x-4) = 0 x = 1 veyax= 4.

Herx[1,4] iin (x-2)2x ve

}41,)2(:),{( 2 xxyxyxD .

x

y

(0,0)

y=m(x)

y=n(x)

a b

D

y

y=x

x(0,0)

y= (x-2)2

1 2 4

D

(4,4)

(1,1)

x

y

(0,0)

xy

xy 2

1 2 3

D

(3,3)

(1,1)

(1,2)


9/22

9

r, s fonksiyonlar, c, d reel saylar, c < d ve her y [c,d] iin r(y) s(x) olmak zereKartezyen dzlemde

},)()(:),{( dycysxyryxD

blgesine bir dzgny-blgesi denir.

Her dikdrtgensel blge ayn zamanda bir dzgn y-blgesidir. Bir dzgn y-blgesiningrnm aada gsterilmitir:

ekilden de grld zere dzgn y-blgesi D, [c,d] kapal aral zerinde x=r(y) ingrafiinin sanda vex=s(y) in grafiinin solunda bulunan noktalardan olumaktadr.

rnek 3. }42,72

1

4:),{(

2

yyxyyxD blgesi bir dzgn y-blgesidir ve

aadaki ekilde taranm olan blgedir.

x

y

(0,0)

x=r(y)x=s(y)

c

d

D

x

y

(0,0)

x= -y/2+7(y=-2x+14)

x=y2/4

)2( xy

2

4

D

(5,4)(4,4)

(1,2)(6,2)


10/22

10

rnek 4. x=y2parabolnn sandavey =x-2 dorusunun solunda bulunan noktalarnoluturduu blge bir dzgny-blgesidir ve aadaki ekilde taranarak gsterilmitir.Blgenin dzgn y-blgesi olarak ifade edilebilmesi iin y = x-2 dorusu ile x = y2parabolnn kesim noktalarnnbelirlenmesi yararl olacaktr:

y =x-2 ,x=y2y =y2 -2y2 y-2 = 0

(y+1)(y-2) = 0

y = -1 veyay = 2.

Hery[-1,2] iiny2 y + 2 ve

}21,2:),{( 2 yyxyyxD .

Dikdrtgensel blgelerin hem dzgnx-blgesi hem de dzgny-blgesi olarak dn-lebileceini belirtmitik. Dikdrtgensel olmayan baz blgeler de hem dzgn x-blgesihem de dzgny-blgesi olarak dnlebilir.

rnek 5. xy in grafiinin altnda ve 2xy parabolnn yukarsnda kalan blge

dzgnx-blgesi olarak

}10,:),{( 2 xxyxyxD

biiminde ifade edilebildii gibi, bu blge 2yx parabolnn sanda ve yx

erisinin solunda kalan noktalardan olutuundandzgny-blgesi olarak

}10,:),{( 2 yyxyyxD

biiminde de ifade edilebilir.

y

)(

2

yx

xy

x(0,0)

)(

2

yx

xy

1

1

D

y

x=y+2

x(0,0)

x=y2

-1

2

D

(4,2)

(1,-1)


11/22

11

4. Dzgn Blgeler zerinde ift Katl ntegraller.Dzgn blgeler zerindeift katl integral, dikdrtgensel blgeler zerinde tanmland gibi ardk (tek katl)integraller olarak tanmlanr.

ki deikenli birffonksiyonunun


biiminde verilmi dzgnx-blgesi zerindeintegrali ardk integraller olarak

dxdyyxfdAyxfb

a

xn

xmD

)(

)(),(),(

eitlii ile tanmlanr. Bu tanmda, keli paran-

tez iindeki integralin snrlar x deikenine bal ifadeler veya sabitler olup integralhesaplannca sadece x deikenine bal veya sabit bir ifade elde edilir. Elde edilen buifadenin x deikenine gre [a,b] kapal aral zerinde integrali, f fonksiyonunun Dblgesi zerinde integralidir.

Her dikdrtgensel blgenin bir dzgn x-blgesi olduunu belirtmitik. Eer D blgesibirdikdrtgensel blge ise, daha nce verilen tanm yeni tanm ile akr.

Bundan byle, dikdrtgensel blgeler iin yaptmz gibi, keli parantezi yazmadan

dxdyyxfdAyxf ba

xn

xmD

)(

)(),(),(

yazacaz. Dzgn x-blgeleri zerinde ift katl integral hesaplanrken nce ydeike-nine gre, sonrax deikenine gre integral hesaplanacan unutmamalyz.

rnek 1. }31,2:),{( xxyxyxD olmak zere D

dAyx )25(

integralini

hesaplayalm.

dxyxydxdyyxdAyxxy

xy

x

xD

3

1

22

3

1

2

5)25()25(

dxxxxdxxxxxx )6410(5(410 231

2

33

1

22

)224(323234224 3225

3

1

322

5

xxx

4033645418336 .

x

y

(0,0)

y=m(x)

y=n(x)

a b

D


12/22

12

rnek 2.y = x dorusunun altnda ve y = (x-2)2 parabolnn yukarsnda bulunan

noktalarn oluturduu Dblgesi (Bak. rnek 3.2) iin D

dAx8 integralini hesaplayalm.

nceki kesimde rnek 3.2de grld zere, Dblgesi bir dzgnx-blgesidir:

}41,)2(:),{( 2 xxyxyxD .

Dolaysyla,

dxxydxdyxdAx xyxy

x

xD

4

1 )2(

4

1 )2( 22

888

dxxxxdxxxx )32408()2(88 24

1

34

1

22

)163

402(25664

3

4051216

3

402

4

1

234 xxx

90840750238633

40512 .

ki deikenli birffonksiyonunun

},)()(:),{( dycysxyryxD

biiminde verilmi dzgny-blgesi zerindeintegrali ardk integraller olarak

dydxyxfdAyxfd

c

ys

yrD

)(

)(),(),(

eitlii ile tanmlanr. Bu tanmda, keli paran-tez iindeki integralin snrlar y deikeninebal ifadeler veya sabitler olup integral hesaplannca sadece y deikenine bal birifade veya sabit elde edilir. Elde edilen bu ifadeniny deikenine gre [c,d] kapal aralzerinden integrali,ffonksiyonunun D blgesi zerinde integralidir.

Her dikdrtgensel blgenin bir dzgn y-blgesi olduunu belirtmitik. Eer D dzgny-blgesi ise, daha nce verilen tanm yeni tanm ile akr.

Bundan byle, dzgn x-blgeleri iin yaptmz gibi, keli parantezi yazmadan

dydxyxfdAyxfd

c

ys

yrD

)(

)(),(),(

yazacaz. Dzgn y-blgeleri zerinde ift katl integral hesaplanrken nce x dei-kenine gre, sonray deikeninegre integral hesaplanacan unutmamalyz.

x

y

(0,0)

x=r(y)x=s(y)

c

d

D


13/22

13

rnek 3. }42,62

1

4:),{(

2

yyxy

yxD dzgny-blgesi iin D

dAy)12( integ-

ralini hesaplayalm.

dyyxdydxydAy yxy

x

y

y

D

4

2

62

1

4

4

2

62

1

4

22 12)12()12(

dyyyydyy

yy 4

2

324

2

2

)3672()4

62

1(12

140)1216144(1921285764

3236

4

2

432 yyy .

rnek 4. x = y2 parabolnn sanda ve y = x - 2 dorusunun solunda bulunannoktalarn oluturduu D blgesi (Bak. rnek 3.4) iin

D

dAyx )1230( integralini

hesaplayalm. nceki kesimde rnek 3.4te grld zere, D blgesi bir dzgn y-blgesidir:

}21,2:),{( 2 yyxyyxD .

Dolaysyla,

dyyxxdydxyxdAyxyx

yx

y

yD

2

1

22

2

1

2

22 1215)1230()1230(

dyyyyyy 2

1

342 )1215()2(12)2(15

dyyyyy )1512278460( 42

1

32

2

1

5432 3394260

yyyyy

243)3394260(964872168120 .

nceki kesimde rnek 5te grld zere hem dzgnx-blgesi hem de dzgny-bl-gesi olan blgeler vardr. Bu tr blgeler zerinde baz fonksiyonlarn integrali hesap-lanrken blgenin dzgn x-blgesi veya dzgn y-blgesi olarak dnlmesi nemkazanr. nk, baz durumlarda dzgn x-blgesi gsterimi kullanldnda analitikolarak hesaplanamayan integraller, dzgn y-blgesi gsterimine geilince kolaycahesaplanabilmektedir. Benzer ekilde, dzgn y-blgesi gsterimi kullanldndaanalitik olarak hesaplanamayan integraller, dzgn x-blgesi gsterimine geilince ko-layca hesaplanabilmektedir. Bir gsterimden dier gsterime gemek, ift katlintegralde integral srasn deitirmeye karlk gelmektedir. Bu hususun ayrntlar ve

rnekleri bir sonraki kesimde verilecektir.


14/22

14

5. ntegral Srasnn Deitirilmesi. Dzgn x-blgeleri zerinde ift katlintegraller ardk integraller olarak hesaplanrken nce y deikenine gre, sonra xdeikenine gre integral hesab yaplr. Dzgny-blgeleri zerinde ift katl integrallerardk integraller olarak hesaplanrken ise ncexdeikenine gre, sonray deikeninegre integral hesab yaplr.

Hem dzgn x-blgesi hem de dzgn y-blgesi olan dikdrtgensel blgeler zerindence hangi deikene gre hesap yaplrsa yaplsn, ardk integralin deerinin deime-diini grm ve dikdrtgensel blgeler zerinde ift katl integral tanmn bu gzlemedayandrmtk.

Dzlemde dikdrtgensel olmayan baz blgelerin de hem dzgn x-blgesi hem dedzgny-blgesi olduunu grmtk. Bu tr blgeler zerinde bir ift katl integral, szkonusu blge dzgn x-blgesi olarak dnlse de, dzgn y-blgesi olarak dnlsede ayn deere sahiptir. Kantlanabilir ki, uygun koullarda eer

},)()(:),{(},)()(:),{( dycysxyryxbxaxnyxmyxD

ise,

dydxyxfdxdyyxfdAyxfd

c

ys

yr

b

a

xn

xmD

)(

)(

)(

)(),(),(),(

dir.

rnek 1. Aadaki ekilde gsterilen (Bak. rnek 3.5) D blgesi hem dzgnx-blgesi,hem de dzgny-blgesidir.

}10,:),{( 2 xxyxyxD ,

}10,:),{( 2 yyxyyxD .

D

dAxy6 integralini her iki gsterim

iin ayr ayr hesaplayalm ve integralin

deerinin deimediini grelim.

Dzgnx-blgesi olarak

2

1

2)33()3(66

1

0

63

1

0

521

0

21

0 22

xxdxxxdxxydydxxydAxy

xy

xy

x

xD

.

Dzgny-blgesi olarak

2

1

2)33()3(66

1

0

63

1

0

521

0

21

0 22

yydyyydyyxdxdyxydAxy

yx

yx

y

yD

.

y

)(

2

yx

xy

x(0,0)

)( 2yx

xy

1

1

D


15/22

15

rnek 2. D, y-ekseninin sanda, y = x dorusunun yukarsnda ve y = 1 dorusunun

aasnda kalan noktalarn oluturduu blge olmak zere D

yx dAe integralini hesap-

layalm.

Dblgesi yandaki ekilde gsterilmiolup hem dzgn x-blgesi hem dedzgny-blgesidir.

Dzgnx-blgesi olarak

}10,1:),{( xyxyxD ,

dzgny-blgesi olarak

}10,0:),{( yyxyxD .

D, dzgn x-blgesi olarak dnldnde

1

0

1

x

yx

D

yxdydxedAe

olur. yxe nin y ye gre ters trevi olan bir fonksiyon bulunamayacandan bu integraliyazld biimiyle hesaplamak mmkn deildir. Ancak, Dblgesi dzgn y-blgesi olarak

dnlrse, yxe nin xe gre ters trevi y yxe olduundan

1

0

1

0 0

1

0 0)()( dyyyedyyedxdyedAe

yyx

yyx

D

yx

2

1

2)1()1(

1

0

21

0

eyedyye

bulunur.

Yukardaki rnekte olduu gibi bir ift katl integral verildii biimde hesaplanamyorsa,integral srasnn deitirilmesi yoluna gidilebilir. ntegral srasn deitirerek hesabsrdrebilmek iin integrasyon blgesinin yeni sraya grede dzgn blge olmas gerekir.Verilen ift katl integraldeki integral snrlar dikkate alnarak integrasyon blgesi belirlenir,mmknse bir ekil izilir ve blgenin her iki deikene gre dzgn olmas durumundaintegral sras deitirilerek yeni sraya gre integral hesaplanmaya allr.

rnek 3. 1

0

1 2

y

x dxdye integralinin verilen biimiyle hesaplanmas mmkn deildir. nk,

kitabmzn kapsam dahilinde2

xe nin xe gre ters trevi olan bir fonksiyon yoktur. O halde,

integral srasn deitirmeyi dnmeliyiz. Verilen integralin integrasyon blgesi bir dzgn

y

)( yx

xy

x(0,0)

1y

1

1

D0x


16/22

16

y-blgesidir: }10,1:),{( yxyyxD . Dblgesinin dzgn x-blgesi olup olmad-

n grmek iin bir ekil izmek yararlolacaktr. Yandaki ekilde grldgibi

}10,0:),{( xxyyxD

bir dzgnx-blgesidir. Dolaysyla,

1

0 0

1

0

1 22 xx

y

x dydxedxdye

dxyex

x )(1

0 0

2

)1(21

21

1

0

1

0

22

eedxxe xx .

6. Dzgn Olmayan Blgeler zerinde ift Katl ntegral. Dzgn olmayanblgelerin ou dzgn blgelerin birleimi olarak ifade edilebilir. Eer bir blgedzgn blgelerin birleimi ise ve birleimi oluturan dzgn paralarn snr noktalardnda ortak noktas yoksa, o blge zerinde bir fonksiyonun (ift katl) integrali ayrayr dzgn paralar zerindeki integrallerin toplamdr.

rnein, ekilde grld gibi, D1 ve D2snr noktalar dnda ortak noktalar bu-lunmayan iki dzgn blge ve D= D1D2ise,

21

),(),(),(DDD

dAyxfdAyxfdAyxf

olarak tanmlanr.

ekilde, D1bir dzgnx-blgesi, D2 bir

dzgn y-blgesidir. Bir blgeyi oluturan dzgn paralarn hangi trden olduunemli deildir, snr noktalar dnda ortak noktalar bulunmamas yeterlidir. Snr

y)( yx

xy

x(0,0)

1x

1

1

D

0y

x

y

(0,0)

c

d

D1

D2

a b


17/22

17

noktalar dnda ortak noktalar bulunmayan ikiden ok dzgn blgenin birleimi olanbir blge zerinde bir fonksiyonun integralinin de ayr ayr paralar zerindeki integral-lerin toplam olarak tanmlanabilecei aktr.

rnek 1. D, y = 2x 4 dorusunun ve y = x +2 dorusunun yukarsnda, y = xdorusunun aasnda kalan noktalarn oluturduu blge olmak zere D

dAyx )42(

integralini hesaplayalm.

nce, tarif edilen integrasyon blgesinin eklini izelim.

Sadaki ekilde grld gibi, Dblgesi dey bir doru paras ile her ikisi de dzgnx-blgesi olan iki paraya ayrlabilir:

}21,2:),{(1 xxyxyxD ve }42,42:),{(2 xxyxyxD .

Dolaysyla,

21

)42()42()42(DDD

dAyxdAyxdAyx

dir. Sadaki integralleri ayr-ayr hesaplayalm.

dxyxydydxyxdAyxx

x

x

xD

)22()42()42(2

1 2

22

1 2

1

dxxxxxx ))2(2)2(2(22( 222

1

2 2

1

23

2

1

282

34)844( xxx

dxxx

3

222

3

28)82

3

4(168

3

32 .

y

x(0,0)

2

D1

4

D2

1

xy

2 xy

y

x(0,0)

2

4

D

4

2

42 xy


18/22

18

dxyxydydxyxdAyxx

x

x

xD

)22()42()42(4

2 42

24

2 42

2

dxxxxxx ))42(2)42(2(22( 224

2

2

4

2

234

2

2 32203

8)32408( xxxdxxx

1763

448)64808

3

8(12832064

3

8 .

Sonu olarak

343

426176176

3

448

3

22)42()42()42(

21

DDD

dAyxdAyxdAyx .

7. ift Katl ntegral le Alan ve Hacim Hesab.Bir dzgnx-blgesi


zerinde D

dA1 integralini dnelim.

Bu integral ardk integraller olarakifade edilip hesaplama balatlnca

b

a

xny

xmy

b

a

xn

xmD

dxydydxdA )(11 )(

)(

)(

)(

dxxmxnb

a ))()((

elde edilir. Tek katl integral uygulama-larndan bilindii zere, son integral D blgesinin alann verir. Benzer ekilde, her

dzgny-blgesi Diin de D dA1 integrali Dblgesinin alann verir. Sonu olarak, her D

x

y

(0,0)

y=m(x)

y=n(x)

a b

D


19/22

19

blgesi iin

Dblgesinin alann = D

dA1

dr. Bu nedenle, ift katl integral yazmnda kullanlan dAifadesine alan eleman denir.

rnek 1. xy dorusu ile 24 xxy parabol arasnda kalan snrl blge bir dzgn

x-blgesidir. ekilde grld gibi, doru ile parabol (0,0) ve (3,3) noktalarndakesiirler ve

}30,4:),{( 2 xxxyxyxD

dir. Dnin alanA ile gsterilirse,

3

0

4 2

11xx

xD

dydxdAA

3

0

4)(

2

dxy xxy

xy

3

0

2)4( dxxxx

6

27

3

27

2

27

323)3(

3

0

323

0

2 xxdxxx

birim kare olur.

rnek 2. 1xy dorusu ile 2xy erisinin alt tarafnda ve y = 1 dorusunun

yukarsnda kalan blge bir dzgny-blgesidir.ekilde grld gibi, 1xy dorusu ile

2xy erisi (1,2) noktasnda kesiirler ve

}21,2

1:),{( yy

xyyxD

dir. Dnin alanA ile gsterilirse,

2

1

2

1

2

1

2

1)(11 dyxdxdydAA y

yx

y

yD

2

14ln

2

1222ln2

2ln2)1

2())1(

2(

2

1

22

1

2

1 y

yydyy

ydyy

y

birim kare.

x

y

(0,0)

y=xy=4x-x2

43

D

x

y

(0,0)

y=x+1x= -1

x=2/y

2

1

D1

2

y=1


20/22

20

Dzlemde bir D blgesi zerinde tanml, negatif deer almayan iki deikenli bir ffonksiyonu iin f nin grafii ile D blgesi arasnda kalan hacim

D

dAyxfV ),(

forml ile belirlenir.

rnek 3. 224 yxz yzeyi ile }11,11:),{( xxyxD dikdrtgensel blgesiarasnda kalan hacim

D

dAyxV )4( 22

1

1

1

1

22 )4( dxdyyx

dyxyx

x 1

1

1

1

23

)34(

dyyy 1

1

22 ))3

14(

3

14(

dyydyy 1

1

21

1

2 )23

22()2

3

28(

3

40)

3

2

3

22(

3

2

3

22

32

3

221

1

3

yy

birim kp.

rnek 4. Keleri (0,0), (2,0) ve (0,1) noktalar olan D geni ile z = 15x3y yzeyiarasnda kalan hacmi bulalm.

D genindeki her (x,y) iin 15 x3y 0 olduu aktr. Bu nedenle sadece D geninineklini izerek dzgn blge olarak belirleyeceiz ve istenilen hacmi ift katl integralolarak hesaplayacaz. ekilden de grld zere Dgeni hem dzgnx-blgesi hemde dzgny-blgesidir. Dzgnx-blgesi olarak

}20,12

10:),{( xxyyxD .

Bylece gen ile yzey arasndaki hacim

2

0

12

1

0

33 1515x

D

dydxyxdAyxV

2

0

232

0

232

0

12

1

0

23 ))2(8

15))1

2

1(

2

15()

2

15( dxxxdxxxdxyx

xy

y

2)165

128

3

32(

8

15)

54

6(

8

15)44(

8

152

0

456

2

0

345 xxx

dxxxx .

Dblgesini dzgny-blgesi alarak hacmi hesaplamaya alnz.

x

y(1,1,0)

(1,-1,0)

(-1,1,0)

224 yxz

z

x

y

(0,0)

x=-2y+2(y=-(1/2)x+1)

D

(0,1)

(2,0)


21/22

21

ALITIRMALAR

1. Aada, nce belirsiz integrali bulunuz ve sonra onu kullanarak belirli integrali hesaplaynz.

a) 1

0

22 6,6 dyyxdyyx b) 3

1

22 6,6 dxyxdxyx

c)

2

0 22, dy

yx

ydy

yx

y )

4

1 22, dx

yx

ydx

yx

y

2. nceki altrmada bulduklarnz da dikkate alarak aadaki ift katl integralleri hesaplay-nz.

a) 3

1

1

0

26 dydxyx b) 1

0

3

1

26 dxdyyx c)

4

1

2

0 2dxdy

yx

y )

2

0

4

1 2dydx

yx

y

3. Aadaintegrasyon blgesi verilmi olan ift katl integralleri her iki integral srasyla (dydxve dxdy) hesaplaynz.

a) }30,10:),{( yxyxD , D

dAxy

b) }94,41:),{( yxyxD , D

dAxy

c) }11,20:),{( yxyxD , D

xdAye

4. Aadaki integrallerde integral sras nem kazanmaktadr. Hesab kolaylatran integralsrasn belirleyerek integrali hesaplaynz.

a) }21,10:),{( yxyxD , D

xydAxe

b) }10,10:),{( yxyxD , D dAxyx

1

5.Verilen denklemlerin grafikleri ile snrlanan blgeyigrafikle gsteriniz ve kme gsterimiyle,dzgnx-blgesi ve/veya dzgny-blgesi olarak ifade ediniz.

a) 1,5 2 yxy b) 4,2 yxy

c) 8,862 yxxxy c) 5,45 2 yxxxy

6. Keleri (1,1), (3,3), (4,3) ve (5,2) noktalarnda olan drtgensel blge D olsun. D yi sadecesnr noktalarnda ortak noktalar bulunan dzgn blgelerin birleimi olarak ifade ederek

D

dAx24 ve D

dAy24 integrallerini hesaplaynz.


22/22

22

7. ntegrasyon blgesi verilmi olan ift katl integrali hesaplaynz.

a) }20,20:),{( xxyyxD , D

dAxyx )( 2

b) }10,0:),{( yyxyxD , D dAxy324

c) }10,:),{( 2 yyxyyxD , D

dAxy

) }10,0:),{( 2 yyxyxD , D

xdAye

d) }10,0:),{( xxyyxD ,

D

yx dAe

8. ntegrasyon blgesinin grafiini izerek integral srasn deitiriniz.

a) 1

0

3

4 ),(

x

xdydxyxf b)

1

0 0

2

),(y

dxdyyxf c) 2

0

4

3 ),(

x

xdydxyxf )

8

0

2

4

),(

y

y dxdyyxf

9. Aadaki integralleri integral srasn deitirerek hesaplaynz (integral srasn deitir -meden hesaplamay denemeyiniz!).

a) 1

0

1 2

x

y dydxe b) 1

0

1

2

2

12y

x dxdyye c) 2

0

4

22 1

4

ydxdy

x

y )

4

0

2

2

2212x dydxy

10.ntegrasyon blgesi Dverilen denklemlerin grafikleri ile snrlanan ift katl integrali hesap-laynz.

a) 32 ,, xyxyD ile snrl ; D

dAyx )( 24

b) xyxyD 28,2, 22 ile snrl ; D

dAy )4( 2

c) yxxyyxD 2,2,0:),{(, ile snrl ; D

xdAe

2

) 1,2,0, yyxxD ile snrl ;

D

y

dAe 2

11. Verilen iki denklemin grafikleri arasnda kalan blgenin alann ift katl integral lehesaplaynz.

a) 22

1,

4

2

xyx

y b) 6,5 yxxy c) 3, xyxy

12. Aada tanmlanan hacimleri hesaplaynz(Sadece Dblgesinin grafiini iziniz).

a) Keleri (0,0), (0,1), (1,0) olan D geni ilez=x+ynin grafii arasndaki hacim,b) Keleri (0,0), (0,2), (2,2) olan D geni ilez=(x-y)2 nin grafii arasndaki hacim,c) y=1-x2vey=0 ile snrlanan D blgesi ilez=4dzlemi arasnda kalan hacim.

katli integral

Documents