2.4.2 Analitiki postupak odreivanja brzine takeAnalitikim postupkom brzina take se moe odrediti u: 1. Dekartovim pravouglim koordinatama, 2. Polarnim koordinatama, 3. Polarno-cilindrinim koordinatama i 4. Sfernim koordinatama. U ovom dijelu e se prikazati analitiki postupak odreivanja brzina take izraena u Dekartovim

pravouglim koordinatama i u polarnim koordinatama.

2.4.2.1 Brzina take izraena u Dekartovim pravouglim koordinatamaz

M

z x y x y

Poloaj:

take

M

odreen

vektorom

poloaja:

Ortogonalne

projekcije

vektora

brzine

odreenog

jednainom na koordinatne ose su:.

(30)

Prema tome kada je kretanje take odreeno Dekartovim pravouglim koordinatama, x=x(t); y=y(t); z=z(t)

onda se projekcije vektora brzine take na ose nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema jednake prvim izvodima Dekartovih koordinata po vremenu. Kada su poznate projekcije vektora brzine na koordinatne ose, intenzitet vektora brzine odreuje se obrascem:

gdje se ispred korjena uzima znak plus jer se ovim obrascem odreuje intenzitet vektora brzine.

2.4.2.2 Brzina koordinatama

take

izraena

u

polarnim

Poloaj take A je odreen polarnim koordinatama: r = r(t) =

Jedinini vektori su: usmjeren du vektora poloaja i normalan na vektor poloaja.

Slika 13.

Prilikom kretanja take A mijenja se pravac radijus vektora to su i jedinini vektori promjenljive veliine koje se mogu prikazati preko jedininih vektora i nepokretnih osa Ox i O y i polarnog ugla.

+

=

Izvodi po vremenu jedininih vektora su odreeni izrazima :

Vektor poloaja take A moe se napisati u obliku:dok je

,odreen prvim

vektor brzine

izvodom vektora poloaja

Odnosno

komponenta : karakterie promjenu

naziva radijalna komponenta intenzitetavektora poloaja ,

brzine i ona

komponenta

naziva transverzalna , poprena ilivektora poloaja .

cirkularna brzina i ona karakterie promjenu pravca

Intenziteti radijalne i poprene brzine su odreeni izrazima :

dok je intenzitet brzine take odreen izrazom:

Ugao koji vektor brzine gradi sa potegom odreuje se relacijom:

Intenzitet brzine se moe odrediti i na osnovu veze dekartovih i polarnih koordinata: pomou prvih izvoda koordinata po vremenu odreuje se intenzitet

2.4.2.3Brzina take pri prirodnom postupku odreivanja kretanja takeSrednja brzina na putu se dobije iz analize veze izmeu analitikog i prirodnog postupka odreivanja kretanja take koji smo predhodno objasnili.z s So M

DrM1 v A

l y

x

Po definiciji vektor srednje brzine take odreen je izrazom:

Vektor brzine take u datom trenutku vremenaformulom:

odreen je

(37)

gde je

jedinini vektor tangente i usmjeren je u

stranu porasta krivolinijske koordinate s, pa je mogue napisati:

,

(38)

:

(39)

Projekcija vektora brzine

na pravac tangente, odreena je i jedininog vektora

skalarnim proizviodom vektora brzine tangente

(40)

Prema tome, moemo rei: projekcija vektora brzine take na pravac tangente

na putanju take, jednak je prvom izvodu po vremenu krivolinijske koordinate s i ima znak plus ili minus u zavisnosti od smjera kretanja take. Kod krivolinijskog kretanja brzina se mijenja i po pravcu i po intenzitetu. Po intenzitetu se mijenja zato to materijalna taka moe da ubrzava ili usporava. Po pravcu se mijenja zato to je pravac brzine tangenta na putanju, a putanja se stalno savija kod krivolinijskog kretanja. 2.4.3 Hodograf vektora brzine take

z M1 M2 M3

O y x

z1 N1

O1 x1 N2 N3

y1

Na osnovu konstruisanog hodografa vektora brzine pokretne take mogue je izmjeriti promjenu pravca i intenziteta vektora brzine pokretne take, a isto tako zakljuiti o karakteru kretanja take. Na primjer, ako se taka kree pravolinijski kontstantnom brzinom, hodograf brzine take je samo taka, a ako se taka kree konstantnom brzinom po ravnoj krivoj, hodograf brzine je krug sa polom u sreditu kruga.

2.4.4 Ubrzanje takea)Vektor ubrzanja take u datom trenutku vremena

Promjena brzine - vektorski prirataj brzine

v1 se

dobije

kao razlika brzine na kraju i poetku vremenskog intervala, tj. = karakterie intenzitetu. Veliina koja pokazuje kako se tokom vremena vri promjena brzine pri pomjeranju take iz jednog u drugi poloaj se naziva se srednje ubrzanje. promjenu brzine take po pravcu i

Srednje ubrzanje se rauna kao:

=

(42)

Srednje ubrzanje u vremenskom intervalu t definisano sa jednainom (43) predstavlja vektor paralelan saSlika 17. Srednje i trenutno ubrzanje z M1 M

.

O y

Prelaskom na granini sluaj kada interval vremena t 0 trenutno ubrzanje se definie relacijom: (44)

Uzimajui u obzir take se moe napisati i u obliku:

=

r ubrzanje

a

dv dt

d r2

dt 2 .

(45)

Prema tome vektor ubrzanja take, u datom trenutku jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu ili drugom izvodu vektora poloaja po vremenu. U optem sluaju krivolinijskog kretanja vektor ubrzanja karakterie promjenu brzine po intenzitetu, pravcu i smijeru. Ubrzanje take je jednako nuli samo ako je brzina take tokom vremena konstantna po intenzitetu, pravcu i smijeru, tj u sluaju ravnomjernog pravolinijskog kretanja take jer je pa je a dv dt v const. ,

0

Vektor ubrzanja atake u datom trenutku vremena usmjeren je u konkavnu stranu putanje, kao i vektor asr .

Za konkavnu se stranu

putanje uzima ona strana na kojoj se nalazi centar (sredite) zakrivljenosti putanje.

Vektor ubrzanje se moe rastaviti na dvije meusobno upravne komponente: tangencijalno (u pravcu tangente) i normalno (u pravcu normale). Tada je ubrzanje jednako vektorskom zbiru ovih komponenti, tj. = Svaka od ovih komponenti (46) ima jasno definisani

znaenje: promjena brzine po intenzitetu karakterie

tangencijalno ubrzanje; promjena brzine po pravcu karakterie normalno ubrzanje. Intenzitet vektora ubrzanja jednak je intenzitetu prvog

izvoda vektora brzine po vremenu, to je predstavljeno narednom jednainom (47):

a

dv dt

(47)

Na osnovu definicije vektora ubrzanja slijede i njene dimenzije: a brzina vrijeme

U tehnikom sistemu mjera dimenzije brzine je metar u sekundi na kvadratm s2

2.4.5 Analitiki postupak odreivanja ubrzanja takeAnalitiki postupak odreivanja ubrzanja take se moe izraziti na slijedei nain: 1. Ubrzanje take izraena u Dekartovim pravouglim koordinatama, 2. Ubrzanje take izraena u polarnim koordinatama, 3. Ubrzanje take izraena u polarno-cilindrinim koordinatama i 4. Ubrzanje take izraena u sfernim koordinatama. U ovom dijelu e se prikazati analitiki izrazi za odreivanja ubrzanja take izraena u Dekartovim

pravouglim koordinatama i u polarnim koordinatama

2.4.5.1

Ubrzanje

take

izraena

u

Dekartovim pravouglim koordinatama

.

(48)

Intenzitet ubrzanja a se odreuje obrascem:

(49)

2.4.5.2 Ubrzanje take izraena u polarnim koordinatamaDiferanciranjem brzine , po vremenu dobije se izraz za ubrzanje u obliku:

(50)

je ubrzanje usmjereno du potega i naziva se radijalno ubrzanje, je popreno, obrtno ili cirkularno ubrzanje i ono je normalno na poteg. Intenziteti radijalnog i poprenog ubrzanja su: pa je intenzitet ubrzanja take odreen formulom:

2.4.5.3 Ubrzanje take pri prirodnom postupku odreivanja kretanja take Da bi se ubrzanje take izrazilo u prirodnim

koordinatama, konstruie se prirodni trijedar koji je prikazan na slici.

Ratifikaciona ravan Normalna ravan

-A+Oskulatorna ravan

C

Prirodni

trijedar

je

pravougli

koordinatni

sistem

konstruisan u pokretnoj taki sa koordinatnim osama usmjerenim du tangente binormale , glavne normale i

. Pri kretanju take prirodni trijedar se kree

zajedno sa takom, pa se orijentacija osa trijedra tokom

kretanja take po trajektoriji mijenja, pa svakom poloaju take odgovara poseban prirodni trijedar odreuju oskulatornu raktifikacionu ili

U prirodnom trijedru vektori ravan, normalnu ravan a

tangentnu ravan. Za odreivanje projekcije vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra polazi se od izraza za brzinu take

, gdje je v = Diferenciranjem vektora brzine po vremenu, vodei rauna da su promjenljive veliine v i , dobije se vektor ubrzanja take u prirodnom trijedru.

Gdje je Duina

poluprenik krivine putanje u datoj taki. nanijeta po glavnoj normali u konkavnu stranu

putanje odreuje taku C koja se naziva centar krivine putanje.

Prema tome , ubrzanje take lei u oskulatornoj ravni. Komponente ubrzanja usmjerena je po

tangenti i naziva se tangentno ubrzanje take, komponenta usmjerena po

glavnoj normali se naziva normalno ubrzanje take. Projektovanjem vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra dobije se:

Tangentno ubrzanje karakterie promjenu brzine take po intenzitetu. Normalno ubrzanje karakterie promjenu pravca

vektora brzine i usmjereno je u konkavnu stranu putanje ka centru krivine. Navedene komponente ubrzanja nazivaju se i prirodne komponente ubrzanja pokretne take.

2.4.6. Pravolinijsko kretanje takePravolinijsko kretanje take se moe posmatrati kao specijalan sluaj krivolinijskog kretanja take i na osnovu naprijed izvedenih izraza za dekartove komponenate brzine i ubrzanja mogue je izvriti analizu pravolinijskog kretanja take

a)Jednoliko (ravnomjerno kretanje take) Jednoliko kretanje vri se po pravolinijskoj putanji brzinom koja je konstantna (koja se ne mijenja u toku vremena) pa je vektor brzine v const.

o MM MO 0 Mo MM MO M MM MO 0 pravolinijsko

x MM MO 0

Slika 20.

0 Jednoliko

kretanje

Neka se taka , koja se u poetnom trenutku vremena t = 0 nalazi u poloaju Mo kree po osi x (slika 20). Poetno rastojanje OM0 oznaimo sa apscisu OM sa x. Za pravolinijsko ravnomjerno kretanje u pravcu ose x brzina e biti u obliku: a promjenljivu

Integrirajui ovu jednainu u odgovarajuim granicama:(58)

za

= const, dobit e se: ( )=(59)

Prema tome, za jednoliko pravolinijsko kretanje du ose x, moe se napisati da je: (60)

Ovaj konstantni kolinik puta i vremena naziva brzinom ravnomjernog pravolinijskog kretanja. Odavde dobijamo: s=v t (61)

tj. put koji pree taka pri ravnomjernom kretanju jednak je proizvodu brzine i vremena. Vijeme za koje taka pri ravnomjernom kretanju pree dati put, jednako je koliniku tog puta i brzine, tj.:

(62) Stavljajui u jednainu (61) umjesto s dobie se : ili (63) Ova jednaina izraava zavisnost izmeu preenog puta i vremena i naziva se zakon ravnomjernog kretanja. Kako je ova jednaina prvog stepena u odnosu na razliku ,

promjenljive v i t to je i dijagram ravnomjernog kretanja prava linija .

Zakon promjene pojedinih kinematikih veliina u zavisnosti od vremena, ili jednih kinematikih veliina u zavisnosti od drugih prikazuje se u Dekartovom pravouglom kordinatnom sistemu. Koristei izvedene zakone za jednoliko kretanje mogu se nacrtati kinematiki dijagrami koji su prikazani na slikama.

v

s0 t

Slika 21. Dijagram brzine i vremena (v;t) kod jednolikog pravolinijskog kretanjas2 = v2t

s

s = vt s1 = v1t

0

t

Slika 22. Dijagram puta i vremena (s; t) kod jednolikog pravolinijskog kretanja

b)Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje

Pod

jednolikom

ubrzanim

pravolinijskim

kretanjem

podrazumijeva se kretanje kod koga se brzina u svakoj sekundi poveava za stalnu vrijednost ubrzanja pa je a = , gdje je i

Integrirajui ovu jednainu u odgovarajuim granicama dobit e se.

Razlika

predstavlja put s koji je prela taka za

interval vremena t. Dakle iz izraza se vidi da preeni put zavisi od promjene brzine koja se mijenja u toku vremena i koja zavisi od ubrzanja koje se u dekartovim koordinatama rauna prema izrazu:

(66) Kako je kod jednolikog ubrzanog pravolinijskog kretanja , const. Iz jednaine: i

nakon razdvajanja promjenljivih

i integriranja u odgovarajuim granicama dobije se: (67)

(68) Ako razliku ( t t0 ) = t, onda se dobije formula za odreivanje brzine u funkciji od vremena i ubrzanja. (70) Uvrtavanjem ovog izraza odreuje se preeni put

take koja vri pravolinijsko ubrzano kretanje.

Pa je preeni put jednak:

(72) Pomou ovog izraza se moe izraunati preeni put kada je poznata poetna brzina i ubrzanje, ili izraunati koliko je vrijeme t potrebno da se pree put s ako je poznato poetna brzina i ubrzanje. Iz izraza (70) i (72) moe se dobiti odnos koji postoji izmeu brzine,ubrzanja i puta: (73) Rezime: Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje . Predhodni izrazi se dijagramav v = v0 + at v = at

koristite za

crtanje kinematikih

v0 t

0

Slika 23. Dijagram brzine i vremena(v; t) kod jednako ubrzano pravolinijsko kretanje sa i bez poetne brzine

ax const.

0

t

Slika 24. Dijagram ubrzanje i vremena (a; t)

v at2/2 v0 v0t 0

v = at

t

Slika 25. Odreivanje preenog puta jednako ubrzano pravolinijsko kretanje na osnovu dijagrama (v; t)

b)Jednoliko usporeno pravolinijsko kretanje

Pri ovom kretanju u jednakim vremenskim razmacima brzina opada za isti iznos koji se naziva usporenje.

=0

Slika 26. Jednoliko usporeno pravolinijsko kretanje

Na osnovu toga zakon usporenja je dat izrazom: -a = const. Ovo kretanje se razlikuje od jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja po slijedeem: 1. Brzina take se smanjuje u toku kretanja, 2. Ovo kretanje mora imati poetnu brzinu 3. Ovo kretanje se mora jednog trenutka zaustaviti jer e mu brzina opasti do nule. Zakoni promjene brzine i preenog puta dobiju se na isti nain kao i kod jednako ubrzanog kretanja

v = v0 at

(74) (75)(76)

Predhodni izrazi se dijagrama:

koristite za

crtanje kinematikih

v0 v0 v = at v

0 t t2

Slika 27. Dijagram (v, t) jednako usporenog kretanja

SPECIJALN SLUAJ PRAVOLINIJSKOG KRETANJA a) Hitac na dole, slobodno padanje Sila zemljine tee svim tijelima daje isto ubrzanje (g) ubrzanje sile zemljine tee. g = 9,81 m/s2. Ako se tijelo baci na dole sa poetnom brzinom v0 , onda ono nastavlja kretanje samo pod uticajem sile zemljine tee, pa se brzina tijela u proizvoljnom trenutku t moe izraunati pomou izraza: v2 = v02 + 2gh (77)

Kod primjene jednaine (77) zanemaruje se otpor vazduha.Kada se tijelo ispusti sa neke visine bez poetne brzine ono se dalje kree samo pod uticajem Zemljine tee, jednako ubrzano i u tom sluaju za izraunavanje kinematikih veliina koriste se sljedee jednaine:

v = gt;

h=

;

v2 = 2gh

(78)

h

h

Slika 28. Hitac na dole i slobodno padanje

b)Hitac uvis (vertikalni hitac)

hmax h Slika 29. Vertikalni hitac0

v = v0 gt h= v2 = v02 - 2gh U najvioj taki je: je oblika: , , pa je

(79) (80) (81) Jednaina (79)

=

(82)

Sloena kretanjaSloeno kretanje je kretanje sastavljeno od dva ili vie kretanja (tijelo je prisiljeno da se kree u dva ili vie pravaca).

2.6.1.

Horizontalni hitac

Ovakva vrsta je kombinacija dva kretanja: horizontalno - jednoliko kretanje, vertikalnog- slobodan pad.

Slika 30. Horizontalni hitac

x = v0t

(83)

(84)

Za jednainu putanje treba nai vezu izmeu x i y odnosno eliminisati parametar t iz jednaina.

Iz (83) slijedi da je nakon sreivanja dobije se:

, kada ovaj izraz uvrstimo u (84)

(85) jednaina putanje

Domet horizontalnog hitca odreuje iz izraza za putanje tako da se trae presjene take jednaine parabole s pravcem

(86) te je domet d za visinu H:

(87) U svim takama komponenta horizontalna brzina je jednaka poetnoj, tj. vx = v0, a komponenta vertikalne brzina je vy = gt. (88) Vrijeme padanja se moe izraunati iz jednaina (84) :

(89)

Kosi hitacKosim hicem se naziva krivolinijsko kretanje estice u izbaena gravitacijskom polju sile tee kada je estica poetnom brzinom

iji pravac lei koso (nije paralelan) u

odnosu na pravac vektora ubrzanja sile tee. Ako se tijelo izbaci iz neke take (sa povrine zemlje) nekom poetnom brzinom v0, koja sa horizontalom zaklapa otar ugao i nastavi da se kree samo pod uticajem zemljine tee, onda se takvo kretanje naziva kosi hitac.

Slika 31. Kosi hitac elevacioni ugao

X = vxo t = v0 cos t

(90)

vxo = v0 cos

(91)

(92)(93)

(94)

U horizontalnom pravcu brzina je uvijek ista, dok je u vertikalnom jednoliko promjenljiva

Jednaina putanje se izvede iz izraza kretanja tako da se iz izraza za x(t) eliminie parametar t: izrazi vrijeme:

te uvrsti u:

tj.:

(95)

Domet se kosog hitca odredi iz jednaine putanje tako da se trae presjene toke jednaine parabole s osi x:

Jedno je rjeenje trivijalno domet:

tj. ishodite koordinatnog sustava, dok je drugo

Maksimalni se domet odreuje kao ekstrem funkcije dometa

tj.

, tj. , dakle

to jest uz

: (97)

Maksimalna se visina leta kod kosog hitca je zapravo ordinata tjemena jednaine putanje odnosno kao ekstrem funkcije jednaine kretanja

, tj.

tj.

gdje je:

to nakon uvrtenja u jednainu kretanja:

(98)