İkİncİ mertebe etkİlerİn sİstem serbest tİtreŞİm ... · tek katlı tek açıklıklı bir...

4. Uluslararası Deprem Mühendisliği ve Sismoloji Konferansı

11-13 Ekim 2017 – ANADOLU ÜNİVERSİTESİ – ESKİŞEHİR

İKİNCİ MERTEBE ETKİLERİN SİSTEM SERBEST TİTREŞİM

PERİYOTLARINA ETKİSİ

A. GÜNAYDIN1 ve M. R. AYDIN

2

1 Yrd. Doç. Dr., İnşaat Müh. Bölümü, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eskişehir

Email: [email protected] 2 Prof., İnşaat Müh. Bölümü, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi (Emekli),Eskişehir

ÖZET:

Çelik yapıların tasarımında ikinci mertebe etkilerin göz önüne alınması gereklidir. Bu durum tasarım

yönetmeliklerinde de açık olarak yer almaktadır. Ancak bu etkilerin, taşıyıcı sistemlerin deprem yükleri altındaki

analizlerinde önemli bir parametre olan, serbest titreşim mod ve periyotlarına etkilerine ait kurallar

yönetmeliklerde yer almamaktadır. Özellikle, narin yapılar grubunu oluşturan çelik yapıların titreşim

hesaplarında göz önüne alınması iyi bir tasarım için gereklidir. Bu çalışmada en basitinden bir konsol kirişten

başlamak üzere, sırası ile tek açıklıklı, tek katlı ve iki katlı çerçevelerin farklı mesnet koşulları için analitik

incelemeleri yapılmış ve bu incelemeler sonucunda elde edilen kesin sonuçlar genel haldeki sistemlere

genişletilmiştir. Kat kütlelerinin B<1.0 olan bir büyütme katsayısına bölünmesi yolu ile arttırılarak ikinci

mertebe etkilerin göz önüne alınabileceği sonucuna varılmıştır. Sonraki aşamada değişik tipteki yapı sistemlerine

uygulanarak önerilen yöntemin geçerliliği test edilmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: İkinci Mertebe Etki, Serbest Titreşim, Periyot

CONSIDERATIONS OF THE SECOND ORDER EFFECTS ON THE SYSTEM

FREE VIBRATION PERIODS

ABSTRACT:

Second order effects should be considered in design of steel structures. Various design codes include the

regulations about how to consider second order effects. However, in the design codes, second order effects on

the free vibration modes and periods are not sufficiently taken into account which are important parameters for

the analysis of structural systems under earthquake loads. Steel structures belongs to slender buildings class and

because of this slenderness steel structures should be analyzed regarding to the consideration of second order

effects for free vibration cases. This is necessary for reliable design. In this study, first exact analytical

investigations were carried out for various beam-column and frame systems including a cantilever beam-column,

a single span frame and two story-single span frame with various support conditions. Exact results obtained from

analyses are extended to the other systems. It is concluded that the second order effects can be taken into account

by increasing the mass of the stories with a magnification factor. Finally, the proposed method validated over

different types of frame systems.

KEYWORDS: Second Order Effect, Free Vibration, Period.



1. GİRİŞ

Büyük bir bölümü deprem riski altında bulunan ülkemizde depreme dayanıklı yapı tasarımının önemi ve

gerekliliği tartışılmaz bir gerçektir. Yapıların deprem gibi dinamik yükler etkisindeki davranışları, her bir yapı

için karakteristik özelliğe sahip ve dinamik karakteristikler olarak adlandırılan serbest titreşim mod ve periyotları

kullanılarak belirlenmektedir. Mod ve periyotlar, deprem analizi sırasında yapıya etkiyecek deprem

kuvvetlerinin hesaplanmasında kullanılmaktadırlar. Çelik yapılar gibi narin yapılarda ikinci mertebe etkiler

önem kazanmaktadır. Bu tür yapıların analiz ve tasarımında ikinci mertebe etkileri göz önüne alan hesap

yöntemleri yönetmeliklerde mevcuttur. Ancak serbest titreşim mod ve periyotlarının hesabında ikinci mertebe

etkilerin nasıl göz önüne alınacağı ile ilgili kurallar mevcut değildir.

Eksenel yük etkisindeki kirişlerin serbest titreşimi ile ilgili olarak yapılan ilk çalışmalar Timoshenko ve Young

[1] ve Fyrba’nın [2] eksenel kuvvet etkisindeki tek açıklıklı kirişler üzerine yaptıkları çalışmalardır. Her iki

çalışmada da kirişe ait serbest frekans denklemleri analitik olarak elde edilmiştir. Shaker [3] yaptığı çalışmada

toplu kütleli konsol kirişin ve üniform kirişlerin serbest titreşim mod ve frekanslarına eksenel yükün etkisini

araştırmıştır. Çeşitli durumlarda frekans ve mod şekil fonksiyonlarını veren karakteristik denklemler elde

edilmiştir. Bokaian [4] farklı sınır koşullarına sahip tek açıklıklı kirişlerde eksenel basınç kuvvetinin serbest

titreşim karakteristikleri üzerine etkisini incelemiştir. Şimşek [5] farklı sınır koşullarına sahip eksenel kuvvet

etkisindeki kirişlerin serbest titreşimlerini Lagrange denklemlerini kullanarak incelemiştir.

Depreme dayanıklı yapı tasarımında, bir yapıya etkiyecek olan deprem yüklerinin belirlenmesinde, deprem

yönetmeliklerinde tanımlanan tasarım spektrumları kullanılmaktadır. Türkiye Deprem Yönetmeliği taslağında

[6] yer alan ivme tasarım spektrumu Şekil 1’de verilmektedir. Şekil 1’den görüldüğü gibi Sae(T) yatay elastik

tasarım spektral ivmesi, yapı doğal titreşim periyodu T’ye bağlı olarak elde edilmektedir.

Şekil 1. İvme tasarım spektrumu

Bu çalışmada, önce ikinci mertebe etkilerin serbest titreşim periyoduna etkisi en basit sistem olan tek serbestlik

dereceli (TSD) sönümsüz bir sistem göz önüne alınarak incelenmiştir. Ardından tek katlı ve iki katlı tek açıklıklı

çerçevelerin mafsallı ve ankastre mesnetli olmaları hali için analitik incelemeleri yapılmıştır. Buradan elde

edilen sonuçlar genel haldeki sistemler için genişletilmiştir. Önerilen yöntemde kat kütlelerinin B<1.0 olan bir

büyütme katsayısına bölünmesi ile arttırılarak hesaplara katılması yolu ile ikinci mertebe etkilere ait periyotlar

elde edilmiştir. Periyotların yanında serbest titreşim modlarının da elde edilmesi gereklidir. Bu çalışmanın

modlar ve sonucunda elastik deprem yüklerinin elde edilmesi yönünde genişletilmesi amaçlanmaktadır.



2. KONSOL KİRİŞTE İKİNCİ MERTEBE ETKİLER İÇİN SERBEST TİTREŞİM PERİYODU

HESABI

Narin taşıyıcı sistemlerin eğilme rijitliklerinin hesabında eksenel kuvvetlerin etkilerinin göz önüne alınarak

analizlerinin yapılması yapı güvenliği açısından gereklidir. Bu tarzda bir analiz ikinci mertebe hesap yöntemi

olarak adlandırılır. Titreşim özellikleri yönünden taşıyıcı sistemlerin en basiti olan ve herhangi bir kabul

yapmaksızın kesin sonuçlar alınabilen yapı elemanı bir konsol kiriştir.

2.1. Konsol Kirişte Birinci Mertebe için Periyot Hesabı

Şekil 2’de gösterilen tek serbestlik dereceli sönümsüz bir sistemin serbest titreşim periyodu, kütlesi m ve rijitliği

k ya bağlı olarak Denklem (1a) ile verilmektedir [7].

Şekil 2. Konsol kiriş ucunda toplu m kütlesi

k

mT 21 (1a)

Toplu m kütlesinin ağırlık yüklerinden oluştuğu ve bu yükün kolondaki eksenel kuvvete eşit olduğu kabul

edilerek ve gPm / alınmak sureti ile periyodu aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

gk

PT 21 (1b)

k elaman rijitliği, elemanda birim deplasman meydana getiren kuvvete eşittir. Konsol kirişte bu değer 3

3

L

EIk

tür.

Burada ikinci mertebe etkiler için önemli olan ve λ ile gösterilen bir esneklik parametresinden söz edilecektir.

EI

PL olarak tanımlanan bu parametre birinci mertebe etkilere ait denklemlere katılmak sureti ile her iki

hale ait durumların karşılaştırılması amaçlanmıştır. Buna göre birinci mertebe etkiler altındaki periyot T1:

LgEIg

PL

gk

PT

3

2

)3(22

3

1 (2a)

(2a) Denklemi L (m) ve T1 (s) olarak basitleştirilirse

LT 158.11 (2b)

m

k, EI L



(2a) ve (2b) Denklemleri eksenel kuvvet etkisi olmaksızın elde edilen yani birinci mertebe etkilere ait periyotları

göstermektedir.

2.2. Konsol Kirişte İkinci Mertebe için Periyot Hesabı

Bunun için önce ikinci mertebe hale ait rijitlikler elde edilmelidir. Sabit basınç kuvveti etkisi altındaki bir

çubukta elastik çizgi Denklem (3) ile verilmektedir [8].

4321 )cos()sin()( CxCxL

CxL

Cxy

(3)

Şekil 3’de verilen eksenel yük etkisi altındaki konsol kirişin serbest ucunda etki eden H yatay kuvveti ve

0x ’da 0y ve 0dx

dy

Lx ’de 02

2

dx

ydEI ve H

dx

ydEI

3

3

sınır koşulları kullanılarak elastik çizgi ifadesi olarak

)tan)()cos(tan)sin()(

3

3

x

Lx

Lx

L

L

EI

Hxy (4)

elde edilir.

Şekil 3. Konsol kirişe etki eden uç kuvvetleri ve elastik çizgi

Elastik çizgi denkleminin 1L

xolduğu serbest uçtaki ifadesi

tan)()cos(tan)sin(13

3

EI

HLy (5)

Denklem (5) ile elde edilen yer değiştirme

XEI

HLy

3

(6)

P y

H

L

x

y



formunda ifade edilebilir. y=1 hali için bulunacak H değeri aranan k rijitliğine eşit olur. Sonuç olarak konsol

kirişte ikinci mertebe etkiler için rijitlik:

3L

EIXk (7)

Buradan ikinci mertebe için periyot

)(

223

2XEIg

PL

gk

PT (8)

Denklem (7)’de yer alan X değerleri Tablo 1’den alınabilir. (Hatırlatma: birinci mertebe için X=3 dür.)

Örnek olarak λ=0.5 için tablodan X=2.70 olarak alınarak 3

70.2L

EIk olarak elde edilir. İkinci mertebe için

periyot:

LLgEIg

PLT

221.1

70.2

2

)70.2(2

3

2 (L m ve T2 s olarak) ve T1 için (2b) Denklemi

kullanılarak

Periyottaki artış 05.1158.1

221.1

1

2 L

L

T

T

olarak elde edilir.

2.3. Konsol Kirişte İkinci Mertebe Etki için Eğilme Momentinin Hesabı

İkinci mertebe etkiler altında analiz edilen konsol kirişte eğilme momentinin genel denklemi aşağıdaki gibidir:

)cos(tan)sin( x

Lx

L

HLM

(9)

Mesnette 0L

x için ve

tanY olmak üzere moment ifadesi

YHLM (10)

formunda ifade edilebilir. Y değerleri moment büyütme faktörü olarak tanımlanır. Y değerleri de Tablo 1’den

alınabilir. (Hatırlatma: birinci mertebe için Y=1 dir.)

X, Y değerlerinin ve periyottaki artış oranlarının λ’ya bağlı olarak değişimi Tablo 1’de verilmiştir.

Tablo 1. Konsol kirişte X, Y değerleri ve T2/T1 oranları

λ 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50

X 2.99 2.95 2.89 2.81 2.70 2.57 2.41 2.23 2.02 1.79 1.54 1.26 0.95 0.62 0.27

Y 1.00 1.01 1.03 1.06 1.09 1.14 1.20 1.29 1.40 1.56 1.79 2.14 2.77 4.14 9.40

T2/T1 1.00 1.01 1.02 1.03 1.05 1.08 1.12 1.16 1.22 1.29 1.40 1.54 1.77 2.19 3.35

X ve T2/T1’in analitik ifadeleri aşağıdaki Denklem (11) ve (12)’ye uymaktadır.



2

123

X (11)

21

2

/41

1

T

T (12)

Denklem (12), 2

1

2

2/1

1

T

T şeklinde de ifade edilebilir. Bu denklem genel bir hale dönüştürülmek

istenirse; katta bulunan düşey yükler, EI

PL ifadesi dönüştürülerek

2

2

L

EIPkat , ve kattaki elastik kritik

burkulma yükü 2

2

,)(KL

EIP kate ifadesinde kolon etkili burkulma boyu katsayısı olarak konsol kiriş için K=2

alınarak 2

, 2/

kate

kat

P

Pbulunur. Bu ifade yukarıdaki denklemde yerine yazılarak

B

P

PT

T

kate

kat

1

1

1

,

1

2

(13a)

Burada,

kate

kat

P

PB

,

1 (13b)

Sonuç olarak B

TT 1

2 veya

Bk

mT 22 (14)

olarak elde edilir.

Görüldüğü gibi konsol kirişte kütle değerinin (13b) Denklemi ile verilen B<1.0 olan katsayıya bölünerek göz

önüne alınması T2 nin hesabı için yeterli olmaktadır. B katsayısı AISC [9] ve Türkiye Çelik Yapılar

Yönetmeliğinde [10] yer alan P-Δ etkisinin hesabında kullanılan B2 çarpanının tersine eşittir.

3. TEK KATLI TEK AÇIKLIKLI ÇERÇEVE

Tek katlı tek açıklıklı bir çerçevenin mafsallı ve ankastre mesnetli olması durumunda birinci ve ikinci mertebe

periyotlarının hesabı bir örnek üzerinde incelenecektir. Şekil 4’te verilen çerçevede kolonlar ve kirişler IPE 550

profilinden yapılmıştır. Bu profile ait kesit özellikleri A=13.44x10-3 m2, Iy=671.2x10-6 m4; E=2x108 kN/m2 dir.

Hesaplar λ’nın değişimine bağlı olarak yapılacaktır. λ'yı oluşturan ağırlık yükleri, 2

2

L

EIP ve bu λ

değerlerine ait çerçeveye verilen birim deplasman için programdan elde edilen kolon kesme kuvvetleri, Tablo

2’de görülmektedir. Kolon kesme kuvveti V, kolona ait rijitliğe eşittir. Simetri nedeni ile tek kolon için bulunan

değerler kullanılarak sisteme ait periyotların hesabı yapılabilir.



Şekil 4. Ankastre mesnetli çerçeve ve boyutları

Örnek olarak λ=1.25 için kütleyi meydana getiren yük:

4.131092

2 L

EIP kN, Tablo 2’den birinci mertebe için k=17601.4 kN/m, ikinci mertebe için

k=13901.7 kN/m alınarak,

73.1)4.17601(

4.13109221

ggk

PT s,

95.1)7.13901(

4.13109222

ggk

PT s

Periyottaki oransal artış T2/T1=1.95/1.73=1.13 kesin sonuçtur.

Simetri nedeni ile tek kolon göz önüne alınmıştır, genel hallerde toplam P ve V ler alınmalıdır.

B katsayıları ile hesap ve kontrol:

Burada önce kolon etkili boy katsayısı hesaplanmalıdır. Kolon etkili boy katsayıları yazarlar tarafından

geliştirilen Ek I tablosundan alınabilir. Tablodaki CA ve CB katsayıları L

EIk olmak üzere;

üstccA

kk

kkC

,

21

;

altccB

kk

kkC

,

43

olarak alınmalıdır (Şekil 5).

Şekil 5. Kat kolonu ve bağlanan elemanlar

Örnekte açıklıklar ve kesitler eşit olduğundan CA=1 ve CB için de ankastre mesnet hali seçilerek tablodan

K=1.157 olarak alınır.

4 m

4 m

IPE550

IPE

55

0

IPE

55

0

kc,üst

kc,alt

k2 k1

k4 k3

kc

A

B



61858)( 2

2,

KL

EIP kate kN, 4.13109

2

2 L

EIPkat kN ve

788.01,

kate

kat

P

PB (Denklem 13b) ve

95.14.17601788.0

4.13109222

gBgk

PT s (Denklem 14)

B katsayıları ile bulunan sonuçların program sonuçları ile aynı değerlerde olduğu görülmektedir. Değişik λ

değerleri için programdan elde edilen T1 ve T2 değerleri ve bunların oranları ile Denklem (13a)’ya göre

hesaplanan B katsayıları kullanılarak elde edilen oranlar Tablo 2’de özetlenmiştir. Görüldüğü gibi son iki

sütundaki değerler birbirlerine çok yakındır.

Tablo 2. Ankastre mesnetli çerçeve için sonuçlar

λ P

(kN) V

(kN) T2

(s) T1

(s) T2/T1 1/ B

0.00 0.0 17601.4 - - - -

0.25 524.4 17457.3 0.35 0.35 1.00 1.00

0.50 2097.5 17010.2 0.70 0.69 1.02 1.02

0.75 4719.4 16271.0 1.08 1.04 1.04 1.04

1.00 8390.0 15235.0 1.49 1.38 1.07 1.08

1.25 13109.4 13901.7 1.95 1.73 1.13 1.13

1.50 18877.5 12269.6 2.49 2.08 1.20 1.20

1.75 25694.4 10337.4 3.16 2.42 1.30 1.31

2.00 33560.0 8102.6 4.08 2.77 1.47 1.47

2.25 42474.4 5563.0 5.54 3.11 1.78 1.78

2.50 52437.5 2716.2 8.81 3.46 2.55 2.55

Aynı çerçeve mesnetlerinin mafsallı olması hali için de çözülmüş ve her iki hale ait elde edilen periyot artış

oranları Tablo 3’te özetlenmiştir.

Tablo 3. Mesnetlerin ankastre ve mafsallı olması hali için periyot artış oranları

Ankastre mesnet Mafsallı mesnet

λ T2/T1 T2/T1

0.00 1.00 1.00

0.25 1.00 1.02

0.50 1.02 1.08

0.75 1.04 1.20

1.00 1.07 1.49

1.25 1.13 2.64

1.50 1.20

1.75 1.30

2.00 1.47

2.25 1.78

2.50 2.55



4. İKİ KATLI TEK AÇIKLIKLI ÇERÇEVE

Şekil 6’da verilen iki katlı tek açıklıklı çerçevede ikinci mertebe için titreşim periyotları λ’ nın değişimine bağlı

olarak hesaplanacaktır. Çerçevedeki tüm elemanlar IPE 550 profilinden yapılmıştır. Bu profile ait kesit

özellikleri A=13.44x10-3 m2, Iy=671.2x10-6 m4; E=2x108 kN/m2 dir. Çerçevedeki düğüm noktalarında ağırlık

yükü olarak eşit P kuvvetleri vardır.

Şekil 6. İki katlı tek açıklıklı çerçeve

Burada da önce çerçeveye ait rijitlik matrisleri elde edilmelidir. Verilen yükleme haline ait Tablo 4’ün birinci

sütunundaki λ değerleri alt kat kolonlarına ait değerlerdir, buna göre üst katta 0.707λ değeri olmaktadır. Program

kullanılarak λ’ların değişik değerleri için rijitlik matrisleri elde edilerek birinci titreşim moduna ait T1 ve T2

periyotları bir özdeğer problemi olarak

010

012

2221

12112

m

KK

KKmKDET

denkleminden elde edilmiştir. Sonuç periyotlar ve artış oranları Tablo 4’te görülmektedir.

Tablo 4. Programdan elde edilen λ'ya bağlı olarak periyotlar ve artış oranları

λ

Alt kat Üst kat m

(kNs2/m) T2

(s) T1

(s) T2/T1 2P

(kN) P

(kN)

0.00 0.00 0.00 - - - -

0.25 524.38 262.19 26.73 0.46 0.46 1.00

0.50 2097.50 1048.75 106.91 0.94 0.92 1.02

0.75 4719.38 2359.69 240.54 1.44 1.38 1.04

1.00 8390.00 4195.00 427.62 1.99 1.85 1.08

1.25 13109.38 6554.69 668.16 2.61 2.31 1.13

1.50 18877.50 9438.75 962.16 3.34 2.77 1.21

Not: tablodaki P ve m değerleri katlardaki tekil kolonlara aittir.

IPE550

IPE

55

0

IPE

55

0

4 m

4 m

IPE550

IPE

55

0

IPE

55

0

4 m

P P

P P



B katsayıları ile hesap ve kontrol:

Örnek olarak λ=1.25 için yapılacaktır. Çerçevede üst katta CA=1.0, CB=0.5 (Bakınız Şekil 5) ve tablodan

K=1.447, alt katta CA=0.5, CB ankastre uç ve K=1.279 değerindedir.

Verilen yüklemede üst katta λ=0.707x1.25=0.884 ve Pkat=6554.69 kN 39548)( 2

2,

KL

EIP kate kN,

834.01.

kate

kat

P

PB ; Alt katta Pkat=13109.38 kN Pe,kat=50620 kN ve B=0.741

Rayleigh oranı kullanılarak periyot hesabı:

Üst katta F2=20 kN ve alt katta F1=10 kN yatay kuvvetler etki ettirilmesi hali için üst ve alt kat yer değiştirmeleri

u2=2.0544x10-3 m ve u1=1.0119x10-3 m olarak elde edilir. Katlarda m=2x668.16 kNs2/m ve kat kesme kuvvetleri

üstten itibaren 20 ve 30 kN olmak üzere ve kütleler B katsayılarına bölünerek

2/1

2

2

)/(2

Fu

uBmT

67.2

100544.220100119.110

741.0/)100544.2(834.0/)100119.1(16.66822

2/1

33

2323

2

T s (Tablo 4’de

T2=2.61 s)

T1 değeri ise:

32.2

100544.220100119.110

)100544.2()100119.1(3.19242

2/1

33

2323

1

T s (Tablo 4 de T1=2.31 s) dir.

5. ÇOK KATLI BİR ÇERÇEVEYE UYGULAMA

4 katlı ve 5 açıklıklı bir çerçevede ikinci mertebe periyot hesabı B katsayıları ve program kullanılarak

yapılacaktır. Çerçeve mesnetleri mafsallı olup açıklıklar eşit ve 8 m, kat yüksekliği 4 m dir. Tüm kirişler IPE

500, tüm kolonlar ise HE550A profilinden yapılmıştır. IPE 500’e ait kesit özellikleri A=11.55x10-3 m2,

Iy=482x10-6 m4; HE550A’ya ait kesit özellikleri A=21.18x10-3 m2, Iy=1119x10-6 m4 ve E=1.6x108 kN/m2 dir.

Çerçevedeki düğüm noktalarında dış kolonlarda 750 kN, iç kolonlarda 1000 kN ağırlık yükleri mevcuttur.

Birinci ve ikinci mertebe için programdan elde edilen rijitlik matrisleri ve kütle matrisi kullanılarak birinci moda

ait periyot değerleri: ikinci ve birinci mertebe için sırasıyla T2=3.27 s ve T1=2.86 s olarak elde edilmiştir.

B katsayıları ile periyot hesabı:

1.kat kenar kolon CA=0.108; CB=0; K=4.318; Pe=5923 kN; iç kolon CA=0.215; CB=0; K=3.342; Pe=9888 kN

Pe,kat=2x5923+4x9888=51398 kN, Pkat=4(2x750+4x1000)=22000 kN B=1-22000/51398=0.572 (Denklem 13b)

Benzer şekilde 2. katta B=0.863, 3. katta B=0.909, 4. katta B=0.965 değerindedir.

Kat kütleleri katlarda eşit ve m=(2x750+4x1000)/9.81=560.7 kNs2/m dir

Sonuçlar:

Programdan hesaplanan birinci mertebe etkiye ait periyot T1=2.86 s

Programdan hesaplanan ikinci mertebe etkiye ait periyot T2=3.27 s

Programdan hesaplanan birinci mertebeye ait rijitlik matrisi kullanılarak fakat kütleler B katsayılarına bölünmek

sureti ile hesaplanan periyot T2=3.06 s



Rayleigh oranı ile hesap

Toplamı 100 kN olan ve deprem yönetmeliğinde verilen kurala göre katlara dağılımı yapılan yüklemeden elde

edilen kat deplasmanları, alt kattan itibaren 0.0126 m, 0.0112 m, 0.0089 m ve 0.00552 m dir. Buna göre

Birinci mertebe etkiye ait periyot 2.86 s

B katsayıları kullanılarak ikinci mertebe etkiye ait periyot 3.05 s olarak elde edilmiştir.

6. SONUÇLAR

Eksenel kuvvetin etkisi altında rijitliklerdeki değişimi içeren ikinci mertebe etkilerin tasarımın her aşamasında

göz önüne alınması zorunludur. Deprem yükleri altındaki tasarımda da bu kurala uyulması doğaldır. Elastik

deprem yüklerine ait spektral ivme katsayılarının hesabı doğrudan yapıya ait doğal titreşim periyoduna bağlı

olmaktadır. Sunulan çalışmada düzgün çerçeve sistemler için ikinci mertebe etkiler altında serbest titreşim

periyotlarının hesabına ait bir yöntem önerilmektedir. Kat kütleleri B<1.0 olan bir katsayıya bölünerek

büyütülmekte ve oldukça uygun sonuçlar elde edildiği gözlenmektedir. B katsayıları tasarımın başka

aşamalarında elde edilen bir parametre olduğundan deprem yüklerine ait analizde bu katsayıları elde etmek üzere

ilave bir hesap yapılmasına gerek yoktur. Periyot hesabında Rayleigh yönteminin uygulanmasının uygun

sonuçlar verdiği de ayrıca gözlenmiştir. Çalışma yazı alanındaki kısıtlama nedeni ile doğal titreşim periyodunun

hesabı ile kısıtlı olarak sunuluyor. Bu bakımdan diğer titreşim periyotları, modlar ve modal analizde kullanılacak

olan tasarım yüklerinin elde edilmesine yönelik kısımların çalışmaya eklenmesi amaçlanmaktadır.

KAYNAKLAR

[1] Timoshenko S. and Young D.H. (1955). Vibration Problems in Engineering, Van Nostrand Company, New

York, 324-365.

[2] Fryba L. (1972). Vibration of Solids and Structures Under Moving Loads, The Netherlans, Noordhoff

International, Groningen.

[3] Shaker F.J. (1975). Effect of Axial Load on Mode Shapes and Frequencies of Beams, Technical Report,

NASA Lewis Research Center, Report TN D-8109.

[4] Bokaian A. (1988). Natural Frequencies of Beams under Compressive Axial Loads, Journal of Sound and

Vibration, 126, 49-56.

[5] Şimşek M. (2005). Eksenel Kuvvet Etkisindeki Kirişlerin Serbest Titreşimlerinin Farklı Sınır Koşulları

Altında İncelenmesi, Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi, 23(3), 1-10.

[6] TBDY, (2016). Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği (Taslak), Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, Ankara,

Türkiye.

[7] Chopra A.K. (1995). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Eartquake Engineering, Prentice-

Hall, Englewood Cliffs, NJ.

[8] Aydın M.R. (2017), Yapı Statiği Cilt 2, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Yayınları, Eskişehir.

[9] ANSI/AISC 360-16, (2016). Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel

Construction, Chicago.

[10] Çelik Yapıların Tasarım, Hesap ve Yapım Esasları, (2016), Çevre ve Şehircilik Bakanlığı, Ankara, Türkiye.



EK I

Kolon Etkili Boy Katsayıları, K

Yanal Ötelenmesi Önlenmemiş Elemanlar

CB CA 0.02 0.04 0.10 0.20 0.25 0.40 0.50 0.75 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0 5.0 10 50

0.02 6.408 5.322 3.925 3.140 2.935 2.595 2.472 2.292 2.196 2.151 2.107 2.052 2.000 1.963 1.938 1.915

0.04 5.322 4.618 3.568 2.935 2.754 2.453 2.343 2.196 2.107 2.066 2.013 1.975 1.926 1.892 1.858 1.836

0.10 3.925 3.568 2.990 2.553 2.415 2.181 2.093 1.963 1.892 1.858 1.826 1.784 1.744 1.716 1.688 1.670

0.20 3.140 2.935 2.553 2.211 2.122 1.938 1.858 1.754 1.697 1.661 1.635 1.602 1.562 1.539 1.517 1.502

0.25 2.935 2.754 2.415 2.122 2.026 1.858 1.784 1.688 1.627 1.602 1.570 1.539 1.502 1.481 1.460 1.447

0.40 2.595 2.453 2.181 1.938 1.858 1.707 1.644 1.547 1.502 1.474 1.447 1.414 1.383 1.359 1.342 1.331

0.50 2.472 2.343 2.093 1.858 1.784 1.644 1.586 1.495 1.447 1.421 1.389 1.365 1.336 1.314 1.292 1.282

0.75 2.292 2.196 1.963 1.754 1.688 1.547 1.495 1.408 1.359 1.336 1.308 1.282 1.256 1.231 1.217 1.203

1.0 2.196 2.107 1.892 1.697 1.627 1.502 1.447 1.359 1.314 1.287 1.261 1.236 1.208 1.189 1.172 1.159

1.2 2.151 2.066 1.858 1.661 1.602 1.474 1.421 1.336 1.287 1.266 1.241 1.212 1.185 1.163 1.146 1.134

1.5 2.107 2.013 1.826 1.635 1.570 1.447 1.389 1.308 1.261 1.241 1.212 1.189 1.159 1.138 1.121 1.110

2.0 2.052 1.975 1.784 1.602 1.539 1.414 1.365 1.282 1.236 1.212 1.189 1.163 1.134 1.113 1.098 1.083

3.0 2.000 1.926 1.744 1.562 1.502 1.383 1.336 1.256 1.208 1.185 1.159 1.134 1.110 1.087 1.068 1.057

5.0 1.963 1.892 1.716 1.539 1.481 1.359 1.314 1.231 1.189 1.163 1.138 1.113 1.087 1.064 1.047 1.033

10 1.938 1.858 1.688 1.517 1.460 1.342 1.292 1.217 1.172 1.146 1.121 1.098 1.068 1.047 1.030 1.016

50 1.915 1.836 1.670 1.502 1.447 1.331 1.282 1.203 1.159 1.134 1.110 1.083 1.057 1.033 1.016 1.003

Ankastre 1.915 1.836 1.670 1.502 1.444 1.329 1.279 1.201 1.157 1.132 1.108 1.082 1.054 1.033 1.016 1.003

Mafsallı 9.240 6.684 4.457 3.415 3.173 2.780 2.635 2.435 2.327 2.277 2.220 2.167 2.108 2.067 2.034 2.008

İkİncİ mertebe etkİlerİn sİstem serbest tİtreŞİm ... · tek katlı tek açıklıklı bir...

Documents