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Komplexe Rotation

Korbinian Munster

30.05.07

MotivationTheorie der komplexen Rotation

Anwendungen und Ergebnisse

Ubersicht

MotivationResonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik

Theorie der komplexen Rotationmathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion

Anwendungen und ErgebnisseSpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen

Korbinian Munster Komplexe Rotation



Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik

Atomare Resonanzen/Autoionisation

Was sind atomare Resonanzen/Autoionisation?

Ein resonanter Zustand (Autoionisationszustand) ist einmetastabiler Zustand, bei dessen Zerfall ein oder mehrereElektronen ionisiert werden.⇒ Autoionisation

Grund fur die Metastabilitat und Ionisation des ElektronsDie Kontinuumszustande koppeln mit den ’gebundenenZustanden’.





Veranschaulichung: Resonanzen

Abbildung: Resonanzen zuPotential Vk

Abbildung: Tunneleffekt





Beispiele fur atomare Resonanzen

Heliumatom

H =p2

1 + p22

2− 2

r1− 2

r2+

1

r12= H1 + H2 +

1

r12(1)

⇒qualitatives Spektrum: doppel-te Rydbergserie ⇒doppelt ange-regte Zustande sind resonant (we-gen ee-Wechselwirkungsterm)





Beispiele fur atomare ResonanzenWasserstoffatom im konstanten Magnetfeld

H =p2

2− 1

r+

γ

2lz︸︷︷︸

lin. Zeemanterm

+γ2

8ρ2︸︷︷︸

quad . Zeemanterm

(2)

= HH−Atom + VHarm.Osz. +γ

2lz︸︷︷︸

const.

(3)

(B zeigt in z-Richtung und γ = B/Bc mit Bc = 2.35 · 105T )⇒ qualitatives (asymptotisch fur große r) Spektrum:γ(N + 1/2) + Rydbergserie⇒Fur N ≥ 1 uberlappt die zugehorige Rydbergserie mit demKontinuum von N − 1,N − 2, ... und alle Zustande zu diesem Nwerden durch die Coulombwechselwirkung zu resonantenZustanden.






Wasserstoffatom im konstanten Magnetfeld

6E

N=0

Y0. Landauschwelle

N=1

Y1. L.S.

N=2

Y2. L.S.

Abbildung: Qualitatives SpektrumAbbildung: Potentiale zuunterschiedlichem k(=N)






Wasserstoffatom im konstanten elektrischen Feld

H =p2

2− 1

r+ eEz (4)

Spektrum des elektrischenPotentials ist kontinuierlichuber die ganze reelle Achse⇒alle Zustande werden

resonant

Abbildung: Potential Wasserstoffim konst. E-Feld





Energie von ResonanzenResonanzen haben eine endliche Lebensdauer, d.h. dieWellenfunktion fallt exponentiell mit der Zeit ab.⇒ E = ER − ıΓ/2 ∈ C und Fano Profile im Wirkungsquerschnitt:

Fq(E ) =(qΓ/2 + E − ER)2

(Γ/2)2 + (E − ER)2

Abbildung: Fano-Profile

Abbildung: Spektrum





Problem bei der Berechnung von Resonanzen

H hermitesch ⇒ EW sind immer reell⇒ Fortsetzung des EW-Problems des Hamilton-Operators in diekomplexe (unter) Zahlenebene⇒ komplexe Rotation!




mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion

Mathematische Formulierung der komplexen Rotation

Definitionen

x → eıθx

p → e−ıθp

Darstellung uber Operator (nicht unitar):

R(θ) ≡ e−θ/2(px+xp)

eıθx = R(θ) · x · R(−θ)

e−ıθp = R(θ) · p · R(−θ)

Hθ = R(θ) · H · R(−θ)





Eigenschaften des Spektrums des rotiertenHamiltonoperators

Eigenwertgleichung: Hθ|Ψjθ〉 = Ejθ|Ψjθ〉I Das diskrete Spektrum von H ist im diskreten Spektrum von

Hθ enthalten. Begrundung: H|Ψ〉 = E |Ψ〉 ⇒R(θ)HR(−θ)R(θ)|Ψ〉 = Hθ|Ψθ〉 = R(θ)E |Ψ〉

I Das kontinuierliche Spektrum von Hθ ist um den Winkel 2θ indie komplexe unter Halbebene rotiert. Begrundung:Kontinuum (freies Teilchen, d.h. ebene Welle):

eıkx → eıkeıθx = eık

′x mit k ′ = keıθ und somit:E = k2/2 = e−2ıθk ′2/2⇒ Rotation des Kontinuums um 2θ





Eigenschaften des Spektrums des rotiertenHamiltonoperators

I Die zusatzlichen Eigenwerte im diskreten Spektrum von Hθsind die komplexen Energiewerte der Resonanzen. Sie liegenzwischen dem rotierten Kontinuum und der reellen Achse undsind unabhangig von θ (fur θ ∈ [0, π/4]) unter der Annahmedass sie aufgedeckt wurden.

I Ej ,−θ = Ej ,θ und |Ψj ,−θ〉 = |Ψj ,θ〉

Dies ist gultig fur ’dilatations-analytische’ Operatoren d.h. inAbhangigkeit vom Potential (1/r , 1/r2, r , r2, ...).





Green’s Funktion

Definition der Green’s Funktion (Resolvente)

G (E ) = (E − H)−1

G±(E ) = (E ± ıη − H)−1

⇒ |ΨE 〉〈ΨE | =1

2πı(G−(E )− G+(E )) (lim η → 0)

G−: Fortsetzung in die obere Halbebene⇒ G−(E ) = R(θ)(E − ıη − H−θ)−1R(−θ)G+: Fortsetzung in die untere Halbebene⇒ G+(E ) = R(−θ)(E + ıη − Hθ)−1R(θ)





Green’s Funktion

⇒ |ΨE 〉〈ΨE | =1

2πı(R(θ)G−θ(E )R(−θ)− R(−θ)Gθ(E )R(θ)) (5)

die Green’s Funktion dargestellt in der Eigenbasis von Hθ:

Gθ(E ) =∑

j

|Ψjθ〉〈Ψjθ|E − Ejθ

(6)




SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen

Spektrum des Heliumatoms

Abbildung: Berechnetes Spektrum

Abbildung: Qualitatives Spektrum





Spektrum des Wasserstoffatoms im konstanten Magnetfeld

Abbildung: Berechnetes Spektrum

6

Re(E)

N=0

Y0. Landauschwelle

N=1

Y1. L.S.

N=2

Y2. L.S.

Abbildung: Qualitatives Spektrum





Berechnung des Photoionisations-Wirkungsquerschnitts

Nach Fermi’s goldener Regel gilt fur den Wirkungsquerschnitt inDipolnaherung:

σ(ω) =4π2ω

c|〈ΨE |T |g〉|2 =

4π2ω

c〈g |T |ΨE 〉〈ΨE |︸︷︷︸

Green′s Funktion

T |g〉

Mit Gleichung 5 und 6 lasst sich der Wirkungsquerschnittschreiben als:

σ(ω) =4πω

cIm

∑j

〈Ψjθ|R(θ)T |g〉2

Ejθ − Eg − ~ω





Wirkungsquerschnitt: Wasserstoffatom im Magnetfeld





Wirkungsquerschnitt: Heliumatom





Berechnung der Wellenfunktion

|ΨE |2 = 〈x| ΨE 〉〈ΨE︸︷︷︸Green′s Funktion

|x〉

mit der Definition der Green’s Funktion aus Gleichung 6 ergibt sichdann fur die Wellenfunktion:

⇒ |ΨE |2 =1

πIm

∑j

(Ψjθ(xeıθ))2

Ejθ − E





Wellenfunktion im Heliumatom

Abbildung: Zee KonfigurationAbbildung: eZe Konfiguration

[1] [2]


Bibliographie

Harald Firedrich.Theoretical Atomic Physics.Springer, 2006.

Michael Reed and Barry Simon.Methods of Modern Mathematical Physics - IV Analysis ofOperators.Academic Press, 1978.


Danke fur ihre Aufmerksamkeit!


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