Kongruenzen einiger spezieller vollstiindig einfacher Halbgruppen

Von MARIO PETRICH, University Park, Pennsylvania

(Eingegangen am 18. 5. 1965)

Kongruenzen allgemeiner vollstandig 0-einfacher Halbgruppen wurden vonmehrerenverfassern charakterisiert, wie z. B. von GLUSKIN [5], MUNN [8], PRESTON [ 121, TAMURA [14]. HOEHNKE [3] hat die Kongruenzen Brandtscher Gruppoide und PRESTON [ 1 I] die Kongruenzen Brandtscher Halbgruppen beschrieben. Wir betrachten Kongruenzen vollstandig 0-einfacher Halb- gruppen H , die eine gewisse Bedingung fur idempotente Elemente erfiillen ; genau gesprochen, H ist als 0-direktes Produkt E x o G darstellbar, wo E = &O(T; I , A ; P), I' die einelementige Gruppe und G eine Gruppe ist. Die Klasse dieser Halbgruppen umfaBt die Klasse der Brandtschen Halb- gruppen. Nun betrachten wir auch direkte Produkte E x G, wo E ein recht- winkliges Band und G eine Gruppe ist. Solche Halbgruppen sind genau die vollstandig einfachen Halbgruppen (ohne Null), deren Idempotente eine Teilhalbgruppe bilden.

Insbesondere zeigen wir, daB sich die Kongruenzen von E y oG mittels der Kontraktionen der Matrix von E und der normalen Untergruppen von G in einfacher Weise beschreiben lassen. Im Falle E X G werden die Kon- gruenzen mittels Aquivalenzen von L und R ( E = L x R, wo L und R eine Links- bzw. Rechtsnullhalbgruppe bilden) und der normalen Untergruppen von G gleichfalls in einfacher Weise gegeben. Unsere Ergebnisse stehen in gewisser Beziehung mit den oben erwahnten Charakterisierungen von Kon- gruenzen allgemeiner vollstandig 0-einfacher Halbgruppen ixnd stimmen mit gewissen, oben erwahnten, Beschreibungen von Kongruenzen Brandtscher Gruppoide oder Halbgruppen iiberein.

Wir gebrauchen in dieser Abhandlung die Terminologie und Symbolik von CLIFFORD und PRESTON [ 2 ] . Das Nullelement irgendeiner Halbgruppe wird stets init 0 bezeichnet, was keine Verwirrung stiften wird. Das direkte Produkt (mit HI x H 2 bezeichnet) zweier Halbgruppen Hi und H , wird als mengentheoretisches Produkt H , x H , mit koordinatenweiser Multiplikation definiert. Das 0-direkte Produkt ([9], vgl. [4]) von Halbgruppen HI und H 2

74 Prtrirli, Kongrncnzcn einiger sprziellcr Halhgruppen

(mit HI x ,)H, bezeichnet), von deiien nzindestens eine ein Nullelement hat, wird als Rmssche Diffwcnzlialbgruppe (11, x I12)/lV definiert. Dabei be- cleutet S = S, u X2, ivobei ATI. je naclidem ob H , ein Nullelement hat oder nicht, gleich {(sl, 0) 1 sl H } ocler leer ist uiid K 2 entsprechend definiert ist. Bestinmite Homomorphismen \'on H , x ,)H2 (und H , x E l , ) wurden in [Y] untersncht. Ein rechtu iiikliges O-Band ist eirie Halbgruppe der Form A?) (T; I , A ; P ) . n o T die eiiieleiiientige Gruppe ist. Die genauen Beziehun- gen zn ischeii allgeni&eii vollstiiiidig O-einfacheii Halbgruppen und recht- winkligen O-Banderii wurden in [ G I untersucht. Gewisse Eigenschafteri von Hslbgruppeii der Forin E x G' (reehtn-inkligen Gruppeii), wo E ein recht- winltliges Band itnd C: e h e Gnippe ist, n.erden in [ 101 nachge\h 'Ieserl. '

I.

I n diesem Abschnitt betracliteii n ir be5t iiiinitc allgeineirie Eigenschaften von Kongrueiizen des direliten odcr 0 direliten Prodrilites zweier Halb- griippeii. Es seieii H , wid H 1 zn ei Halbgruppen, die beide mehr als ein Element enthalten. Es sei 0, eiiie Ai:iyuiraleiiz von I$, , i = 1, 2 . I n der Halb- gruppe H , x H L c1efiiiia-r. i ~ i ~ x i i die (.%qiii\ alriiL-)T<clntioii el * pL folgender- maBen :

(s, . sl ) Q, * pl (t l , t l ) gilt gennu dnnn. n-enn s, ci t , , i = 1, 2. Es sei beiiierkt. claB fiir beliebige 3Iengc.n und Relationen * es von

BIRKHOFF [ 11 das I~a~diiialprodnlit und 1-011 WAGSER [ 151 das innere Produkt voii 9 , uiid 9. genannt n-irtl. Der folgcnde Sstz ist leicht zu verifizieren.

Satz 1. Es seien 9 , u n t l G~ x c e i ii'quivulenzen yon H , , i = 1, 2 . Dann sind

a) Die Fcunilie der S I ~ ? L ~ U A , x A 1 . zcobci A, die N e n g e nller p,-Klassen

b) p l * o2 c) 9 , x c2 is f c ine Ko?agricenz Ton H , x Hi gpnnu clann, wenn Q, eine Kon-

d i p folgenden Aussagen richtiq:

tli~rclilauft, atimmt w i t d P r Frrntilie ciller gl * pl-Iilassen uberein. cr l * g1 gilt g m a u dann. w ~ n n 9, & gt , i - I , 2 .

gruenz tvn H , . i = 1. 2 . i s t .

i = 1. 2 . riclitig ist. Es folgt am b), claD I,, .!: = crI + u2 genau dann gilt, wenn pt = cr a )

Definition 1. Eine i i ' yu i ccc l e?~ ? einer lialbqruppe II wircl O-beschrankt (2.91. [ i ] , S. 155) gencinnt fcills enticeder H keine Sull hat oder (0) eine e- Klasse ist.

\Venn niindestens e k e der Halbgrupgen $1, eiiie Null hat und el eiiie 0-beschrankte Xquivalenz 3-011 H , ist, i = i, 2, so bezeichne man mit er * ,gZ die O-beschrankte Xqnivnleiiz von H , x , ,H2, \\ elche mit el eL in der Menge (HI x &l,)'\(O} ubereinstimnit.

Petrich, Kongruenzen einiger spezieller Halbgruppen 7 5

Der folgende Satz ist leicht einzusehen.

Satz 2 . Es seien e, und cri zwei 0-beschrankte Bquivalenzen von H , , i = 1, 2 , wobei mindestens eine der Iialbgrzcppen H , eine Null hat. Dann sind die folgen- den Aussagen r i c h t i g :

a) Die Familie von Mengen, bestehend aus ( 0 ) und allen Mengen der Form At x A , , wobei Ai die Menge aller e,-Klassen durchlauft und Ai $. ( 0 ) ist, falls H a eine Null hat, stimmt mit der Familie abler el 4 ,~~-Klussen uberein.

b) el * opz 5 crl * ocr2 gilt genau dann, wenn pi 5 o,, i = 1, 2.

c) pi 4 ,e2 i s t e ine Kongruenz won H , x fa l l s ei eine Kongruenz von Hi ist, i = 1, 2.

Es folgt aus b), daS el * ,,en = crl * ,g2 genau d a m gilt, wenn e, = oa , i = 1, 2 , ist. Die Umkehrung von c) gilt iin allgemeinen nicht; wir werden aber Bedingungen finden, die notwendig und hinreichend dafur sind, daS die Umkehrung fur alle Paare el und e2 gilt.

Man betrachte die folgenden Typen von Halbgruppen :

1. Nullhalbgruppen (fur alle x, y € H , x y = 0); 2 . Linlcsnullhalbgruppen (fur alle x, y E H , x y = x) ; 3. Rechtsnullhalbgruppen (fur alle x, y E H , x y = y) ; 4. Halbgruppen vom Typ 1-3 mit einer zugefugten Null.

Hilfssatz 1. Die Halbgruppen vom T y p 1-4 sind charakterisiert durch die Eigenschaft, dn/3 jede 0-beschrunkte A’quivalenx xugleich eine Kongruenz i s t .

Be w ei s. Es sei H eine Halbgruppe, deren 0-beschrankte Aquivalenzen zugleich Hongruenzen sind. Wenn H keine Null hat, ist H entweder vom Typ 2 oder vom Typ 3 nach einem Satz von SASAKI [13]. Es sei also voraus- gesetzt, da13 H eine Null besitzt (und, naturlich, daIj H mindestens zwei Elemente enthalt). Es sind zwei Fille moglich : entweder a) fur alle x, y E H , die von Null verschieden sind, gilt x y =# 0, oder b) es existiereri x, y E H , dif. von Nu11 verschieden sind, fur welche x y = 0 gilt.

Im Falle a) ist H\(O) eine Halbgruppe. Offenbar stimmt die Familie aller O-beschrankten Aquivalenzen von H , auf H\(O} beschrankt, mit der Familie aller Aquivalenzen von H\{O} iiberein. Nach dem Satz von SASAKI [ I31 ist H\(O) von einer der Halbgruppentypen 1-3, also H vom Typ 4.

Im Falle b) ist die O-beschrankte Aquivalenz e, deren Klassen (0) und H\{O) sind, eine Kongruenz. Folglich hat man fur z , w E H , z =+ 0, w =# 0, wegen x p z und y p w, die Relation 0 e z w, so daS z w = 0. Also ist H vom

Die Umkehrung ist leicht zu verifizieren (ein Teil der Umkehrung folgt TYP 1.

auch aus dem Satz von SASAKI).

76 Petrich, Iiongruenzeii einiger spe7ielle.r Halbgruppen

Hilfssatz 2. Es besitze niinclestens eine der Halbgruppen H , eine Null. HI x uH, ist genasc dann eine Sullhntbgruppe, wenn mindestens eine der Halb- gruppen H , eine Xdlha~bgr~cppe ist.

Bcw-c~is. Hiiil&nglichkeit ist klar. Sehnieri wir also an, daI3 H , x ,H, eine Nullhalbgruppe ist. Wenn nur eine cler Hdbgruppen H , eine Null hat, folgt es unmittelbar. daB die aiidere eine S'ullhalbgr~ippe ist. Wenn beide Halb- gruppeii H , eiiie Xu11 haben uiid z. B. si t i + 0 fiir gewisse Elemente s l , tl E H , gilt. hat man (s, t , , s2 t 2 ) = (sI. s l ) (t i , t 2 ) = O fiir alle s 2 , t2 E: H,, woraus folgt , daI3 H , eine Nullhalbgruppe ist .

Satz 3. Es seien H , Halbgruppen, eon denen mindestens eine eilze Null hat. ferner sei cl. eine 0-heschrankte , ~ q u i c c i l m = von H , , i = 1, 2 , und el * 0 ~ 2

eine Kongruenz von H , x ( ,H , . Dunn i s t 0, eine Kongruenz von H , , i = 1, 2, fcrlls einer der folgenden Falle yegebeii ist:

a) ?ceder HI noch H 1 ist e i n e SzcllRcilbgrzLppe, h) p i n p der Hnlbgrwppen H , i s f c inc Sicllhnlhgrmppe und die nndcre id von

einem der Typen 1-4. Umgekehrt: Tl'enn H , eine Sullhnlbgruppe ist send H , ist nicht von einem

rlpr Typen 1-4. clunn existiert eine O-besc?mmkfe Aquivalenz pa von H L , die k i n e Kongrumz ist und f u r scelche ?, * ,,c2 eine Kongruenz von H , x ,H, ist, wenn nur ?, pinp O-beschrankte cJqzLivnlenz eon H I ist.

Beweis. a) sei vorausgesetzt, und 13, habe eine Null. Dann existieren s l , t , E H I , fiir nelche sI t l =/= 0. Fur s l . t z , uL E: H 2 folgt aus s, e2 t2 die Relation (s,, s2) 0, * up, (s,, t l ) , und daraiis (s, f , , s j u?) el * 0 ~ 2 (sl t , , t , u2). Es ergibt sich s2 u2 ,ol t 2 u2 , da s, t , =+ 0. Entsprechend zeigt man, daB e2 auch eine Linkskongruenz ist. Die restlichen Falle von a) werden ent- sprechend behandelt. Der Fall b) folgt aus den Hilfssatzen 1 und 2.

Xehmen wir an, dal3 H , eine Kullhalbgruppe ist und H , keinem der T-ypen 1-4 angehort. Nach Hilfssatz 1 existiert eine O-beschrankte k p i - valeiiz p2 von H L , die keinc Kongrnenz ist. Nach Hilfssatz 2 ist Hi x OWz eine Nullhalbgruppe, so daB iiach Hilfssatz 1 9 * ,lp7 fur jede O-beschrankte Aquivalenz el von H , eine Koiigrueiiz ist .

11.

In tliesem Xbschnitt betrachten wir Kongruenzen von direkten bzw. O-direkten Yrodukten zweier Halbgruppen, wobei n-ir uber diese Produkte voraussetzen, daW sie zii eiiier speziellen Klasse von vollstandig einfachen bzw. O-einfschen Halbguppen gelioren. Fur diese Halbgruppenklasse werden wir alle Kongruenzen cles Produlites durcli die Kongrnenzen von

Petrich, Kongruenzeri einiger spezieller Halhgruppen 77

einzelnen Faktorhalbgruppen ausdriicken. Eine von der Allrelation ver- schiedene Aquivaleiiz wird echt genannt. Die folgenden Hilfssatze sind leicht zu beweisen.

Hilfssatz 3. Es sei H eine Halbgruppe mit Null und p e i n e Kongruenx von H . Dann ist die nullenthaltende e-Klasse ein Ideal von H . Polglich, wenn H O-einfach ist, ist j t d e echte Kongruenx von H O-beschrankt.

Hilfssatz 4. Es sei H ein rechtwinkliges O-Band. Fur von Null ver- schiedene e , f c H hat m a n eufue f 0 fur gewisse Elemente u, v c H . Ferner gilt e = exfye, falls exfye + 0.

Satz 4. Es sei E ein rechtwinkliges O-Band, G eine Gruppe und cr e ine echte Kongruenx von E x ,G. Dann kann cr eindeutig in der Form q * (,y geschrieben werden, wo 7 eine echte Kongruenz von E und y eine Kongruenz von G ist.

Be w e i s. Da E x ,G eine vollstiindig 0-einfache Halbgruppe und cr eine echte Kongruenz ist, ist G nach Hilfssatz 3 O-beschrankt. Es sei eo ein von Null verschiedenes Idempotent von E , und 1 bezeichne das Einselenient von G, In E definiere man die Relation q folgendermal3en:

eqf gilt genau dann, wenn e = f = 0 oder e f 0 und ( e , 1) cr (f, 1). Fernerhin definiere man in G die Relation y wie folgt : ayb gilt genau dann, wenn ( e , , , a ) cr (e,, b). Es ist klar, da13 q und y Aquivalenzen von E bzw. von G sind und daB q

0-bcschrankt ist. Also ist (die Aquivalenz von E x ,G) 21 * oy definiert. Um den Satz zu beweisen, genugt es zu zeigen, daIJ cr = q I ,y, wcil dann nach Satz 3 folgt, da13 7 und y Kongruenzen sind. Es ist klar, daB q und y die einzigen Aquivalenzen von E bzw. G sind, die der Gleichung G = 7 ,y geniigen.

Es gelte ( e , a ) G ( f , b ) , wo e + 0 ; dann gilt auch f f 0, weil 0 0-beschranlst ist. Nach Hilfssatz 4 folgt e , = eoueweo fur gewisse Elemente u, v von E. Es ergibt sich

(go, 1) (u, 1) ( e , a ) (v, 1) ( e o , 1) 0 ( g o , 1) (u, 1) ( f , b ) (v, 1) ( e o , 1)

uiid daraus

(eoueveo, a ) 0 (eoufve,, 6) I

wobei eoueveO f 0 und deswegen eoufueo + O . Im Hinblick auf Hilfssatz 4 erhalt man

(1) (e3 , a ) 0- (eo I b ) 3

d. h. u y b. Aus (1) folgt

(go, a ) (e, , (eu, a ) 0 ( e o , F) (eo, a-Y (go, 6)

n oraiis Rich folgende Relation ergibt :

( 2 )

sich nach ( 2 ) :

(f,]. 1) 0 (e l l , JJCL-2 b ) . t z 1 folgt e = P ~ P , , ~ c fiir gemisse Eleniente 9 % h von E. Es ergibt

(P, 1) G ( P . C() (9 . 1) (go, CL ') (h, 1) ( e . CC)

(7 (f. 0) (8. 1) (ell. c4-9 O h . 1) (S, JJ)

(7 (f. 1) (9 . 1)

fJ ( f Y P l l V . 1)

(3 (f. 1).

DCC'b) ( l h . 1 ) ( f , I )

0 (f . 1) (9 . 1) ( C o * 1) ( / I . . 1) ( f , 1)

cia, iin Hiliblick anf e I- 0.fqeJif + 0 tolgt. so daB iinch Hilfssatz 4f = fqe,,hf richtig ist. Daher folgt eq f . Infolgcdessen hat nian G & * (,y, weil 070 und O d gilt.

Es gelte uingekrhrt ( e . (1) 71 * Il./(f. b ) . n-obei e f 0 (und daher auch f =L 0) ist. Hisiiach erhalt iiiaii qf und r c ; ~ D . uiid hieraus

(e , 1) G (f. 1). ( e , , , CI) G ( e " . b ) .

( P . a) 0 ( e . 1) (9 . 1) (e , , , a ) ( h , 1) ( p , 1) 0 LL 1 ) (9 . 1) (e l , > 0) (h; 1) ( f . 1) 0 (f. b ) .

\\'k oheii hxt man e = ege,,he iuid deshalb

weil f = fgr,,ltj. Da auch 000 iind 0110, folgt 71 * ,,y & O. Damit haben wir be- wieseii, dalj (T = 77 * ,ly.

Es liaben E und G in folgcndeii Folgeruiigeii dieselbe Bedeutung wie in Satz 4. Iin Hiiiblicli auf Satz 2 c ) ergiht sich

Folgeriing 1 . Die X e n g e nller 77 * f,y, wob& 71 eine echte K o n g r u e n z von E z ~ n d y e ine I~ongr.rcrn2 ?on G i s f . stimmt w i t der ilIenge aller echten Kon- g r z i e w e n cox E x ,)C: i ibrrein.

Jeder echteri Bongrneiiz von E entslriclit eine uiid nur eine Kontraktion der Matrix von E wid uingelielirt ( [GI . Prop. 1.3). Wir schreiben cf & cZt ~ e n i i 71, wobei die Koiitraktioii c, der Kongruenz qt entspricht, i = I . 2 . Ferner setze niaii fiir normale Untcrgruppen Hi, i = 1, 2 :

( c , , N , ) 5 (c? . H,) gelte gti iau daii~i. n-enii c , E cL ixnd Hi & H , gilt. Es folgt titimittelbar. cla13 5 ciiie Tcilorctiiung in der Nenge aller (c , H )

ist. A m der Beziehniiy zu ischeii riorinalrti Tiitergrul)pen und Kongruenzen eirier Grupl)e uiid Folgerung 1 erpiht sich

Folgeruiig 2 . Es besteht piiw iinikelirbcire isotone l iorrespondenz zwischen dcr ,lIenge nller eehten Kongrwiixi~ con E: x (,G und der 3Ienge aller Paare

Petrich, Kongruenzen einiger speziellrr Halbgruppen 79

(c, H ) (?nit Teilorclnung s), wobei c die Menge aller Kontraktionen der Natr ix von E und H die JIenge aller normalen Untergruppen von C: durchtauft.

IVir fuhren die folgende Definition ein.

Definition 2. Die Halbgruppe H = E x "G wird eine rechtwinklige 0- Gruppe gmannt. E heist die Strukturhalbgruppe und G dip Basisgruppe con I I .

E , und E x oG ist cin rechtwinkliges O-Band. Wenn E eine inversc Halbgruppe ist (und nur dam) . icjt E x ,,G eine Brandtsche Halbgruppe ([6], Cor. 4.11). Die olnen eingetulirte Termiiiologie stimnit fur Brandtsche Halbgruppen mit der Termjnologie ~ 7 0 1 7

PRESTON [Ill uberein. Da eiri echtes homorphes Bild (d. 1.1. ciii Bild, das eine echte Iiongrnrnz

induziert) eines reehtwirikligen 0-Bandes wieder ein rechta irikliges O-Band ist ([Ci], Prop. 1.3), und die entsprechende Aussage fur inverse Halbgruppen 1 ichtig ist, folgt ails Folgerung 1 :

Folgerung 3. Ein whtes homoniorphes Kild einer rechtwinkligen O-Qruppe ist wieder eine rechtwinklige O-GruppP. Insbpsondere ist ein echtes homomorphes Bild Piner Brandtschen Halbgruppe wieder eine Brandtschp Halbgruppe.

Die Strukturhalbgruppe und die Bitsislialbgruppe der in Folgerung 3 er- wahnten homomorphen Bilder sind ihrerseits homorphe Bilder der Struktur- halbgruppe bzw. der Basisgruppc der ursprunglichen rechtwinkligen 0- Gruppe. Da die Matrix eines inverseri rechtwinkligen O-Bandes B (.,Brandt- sches O-Band'' in [S], ohne Nullelement ,,schlichtes Gruppoid" in [3] ge- nannt) keine nichttrivialen Kontraktionen hat, erhalt man

Folgerung 4. (Ill], Thporem 2.) Es besteht eine umkehrbare (isotone) Korre- spond~nz zwischen der Menge aller echten Kongruenzen einer Brandtschen Halbgruppe und der Menge aller normalen Untergrupppn ihrw Basisgruppe. Ferner sind die Xtrukturhalbgruppen von H und Hie isomorph, wenn p eine mhte Kongruenz einer Brandtschen Halbgruppe H ist .

Folgerung 5. Es sei E ein recht~)inkliges Band und G eine Gruppe. Die Menge aller Kongruenzen von E x C: stimmt mit der Menge aller Kongruenzen rlpr Form 7 y uberein, wobei 7 und y alle Kongruenzen von E bzw. G durch- laufen.

Falls G die eineleinentige Grappe ist, gilt E x oG

111.

Schlieljlich befassen wir uiis mit den Kongruenzen rechtwinkliger Gruppen (s. [lo]), d. h. Halbgruppen, die in der Form E x G darstellbar sind, wobei E ein reclitwinkliges Band und G eine Gruppe is$. Im Hinblick auf Folgerung 5 zu Satz 4 habeii wir schon eine Charakterisierung der Kon-

80 Petrich. Kongrueruen riniger sprzirller Halhgrupprn

gruenzen einer rechtwinkligen Gruppe mittels der Kongruenzen eines recht- winkligen Bandes unci einer Gruppe.

Satz .i. Es sei L Pine Links- und R eine Rechtsnullhalbgruppe. Jede Kon- gruen; TI von L x R kann eincleutig in cler Form I> 8 p geschrieben werden, wo il und p Aquizwlen:en von L bzzr. R sind.

Beweis Es sei 11 eine Kongruenz \-on L x R. In L mid R definiere man die Relationcn I. l~zit- . p folgendermal3en :

x1,y gilt genau dann, ~venn ein c1 E R existiert, fur melches (x, a ) 11 (y, a) . upv gilt genau ciann, wenn ein b E L esistiert, fur welches ( b , u) 11 ( b , v). \Venn xi.y gilt, esistiert eiri a E R, fur wclclies (x, a) q (y, a) richtig ist.

Fur eiii beliebiges Element ( e , f ) von L x R crgibt sich

( .I . , c o (e . f ) 71 (Y. ( e , f ) und soinit (x, f) ri (y, f). Also gilt (x, f ) 11 (y, f ) fur jedes f E R, falls xily. Es folgt, da13 i. transitiv ist. \Veil 1. offenbar reflexiv und symmetrisch ist , ist 1, eine Xquivalenz von L. Eine eiitsprechende Uberlegung zeigt, daB p eine Aquivalenz von R ist

JYir wollen zeigen, daB 71 = 7. I e ist. Es gelte (x, u) 7 (y, v), woraus sich

(x, ?&) (!/I v) q (Y. v) (Y, 2,)

ergibt. Es folgt (x, v) (y. v) und daniit x h ~ ; entsprechend sieht man auch die Richtigkeit von uev ein. Folglich gilt 11 & 1, * p. Umgeliehrt sei (x, u) 3. * p (y, v) richtig. Es folgt die Gultigkeit von aly und up. Daher erhiilt man (x, a ) r) (y, a ) und (b , u) 71 ( b , v ) fur alle n E R, b E L. Soniit wissen wir, da13

( ~ C . n ) (b , 26) 7 (Y, a) ( h , v) und dainit (x, u) q (y, v). Es ergibt sich d * p

Jedes reclitwinklige Band ist in der Form L x R darstellbar, wobei L uiid R Liiiks- bzw. Rechtsnullhalbgruppen sind, und umgekehrt. Ferner ist jede Aquivalenz einer Links- oder Rechtsnullhalbgruppe gleichfalls eine Kongruenz. Iin Hinblick auf Satz 1 c) erlialten wir also fur ein rechtwinkliges Band E = L x R:

Folgerung 1. Die i l l e i i g e aller i. I ,o, u-0 i. p alle Aquivalenzen von L bzzc. R durchlaufen, etirnmt In i t rler X e n g e aller Kongruenzen uon E iiberein.

Xus obiger Bernerlwng folgt, daB jede rechtwinklige Gruppe in der Ge- stalt L x R x G geschrieben werden kann, wobei L und R Links- bzw. RechtsnulIhaIbgl.upperi sind und C: eine Gruppe ist. Aus Folgerung 5 zu Satz 4 und Folgerung 1 zu Satz 5 folgt also, daS die Menge der Kongruenzen einer solchen Halbgruppe mit der Nenge aller (l * e) * y ubereinstimmt, wo 2 , p mid y die entsprechenden Kongruenzen sind. Definiert man eine Teil-

TI und 7 = A* p.

ordnung durch :

Petrich, Kongruenzen einiger spczieller Halbgruppen 81

wobei li und pi Aquivalenzen von L bzw. R und Hi normale Untergruppen sind, i = 1, 2, so erhalt man:

Folgerung 2. Es besteht eine umkehrbare isotone Korrespondenx zwischen der Merbge aller Kongruenxen von H = L x R x G und der Lllenge der Tripe1 (A7 Q, H ) (mit Teilorclnung s), wo A und Q die Aquivalenxen von L bzw. R und H alle normale Untergruppen von G durchlauft.

Der Folgerung 3 zu Satz 4 entsprechend hat man hier

Folgerung 3. Jedes homomorphe Bild einer rechtwinkligen Gruppe i s t wiecler eine rechtwinklige Gruppe.

Man definiert fur eine rechtwinklige Gruppe die Strukturhalbgruppe und die Basisgruppe wie fur rechtwinklige O-Gruppen. Eine zur ersten Be- hauptung nach Folgerung 3 zu Satz 4 korrespondierende Bemerkung gilt auch fur rechtwinklige Gruppen.

Literntur

[I] G. BIRKHOFF, Lattice theory, Amer. Math. Soc., New York, 1948. 121 A. H. CLIFFORD and G. B. PRESTON, The algebraic theory of semigroups, Vol. I ,

[3] H.-J. HOEHNKE, Zur Theorie der Gruppoide. I, diese Nachr. 24, 137-168 (1962). 141 -, Uber direkte Produkte vollstandig einfacher Halbgruppen, Monatsberichte Dt.

r.51 L. M. GLUSKIN, Vollstandig einfaclie Halbgruppen, Utsch. zap. Harkovskovo ped.

[61 G. LALLEMBNT ct M. PETRICH, Decompositions I-matncielles d'un demi-groupe, J .

[7] D. W. MUNN, Brandt congruences on inverse semigroups, Proc. London Math. Soc.

[8] -, Semigroups and their algebras, Dissertation, Cambridge University, 1956. [9] M. PETRIOH, Uber Homomorphismen des direkten Produktes zwcier Halbgruppen,

1101 -, Sur certaines classes de demi-groupes, 111, Acad. Roy. Belg., Bull., Cl. Sc. (Im

[Ill G. B. PRESTON, Congruences on Brandt semigroups, Math. Ann. 139, 91-94 (1959). [ I21 -, C'ongruences on compictcIy O-simple semigroups, Proc. London M,Ltli. Soc. (3) 11,

[I31 M. SASAKI, Semigroups in which any partition is decomposition, Ann. Rep. Gakugei

[I41 T. TAMURA, Decompositions of a completely simplc somigroup, Osaka Math. J. 12,

[I51 W. W. WAGNER, Darstellung geordneter Halbgruppen, Mat. Sbornik 41, 203-240

Math. Surveys No. 7, Providence, R. I., 1961.

Akad. Wiss. 4, 695-698 (1962).

in-ta 18, 41-35 (1956) (Russisch).

Math. Purrs Sppl. 45, 67-117 (1966).

14, 154-164 (1964).

diese Nachr. 30, 230-235 (1965).

Erscheinen.)

557-576 (1961).

F i n Iwate Univ. 19, 7-9 (1961).

269-275 (1960).

(1956) (Russisch).

Pennsylvania State University i l Y.it l i . S.ivhr. 1C)tiB. Ud. 3 2 , €1. 1 ' 2