konsep peubah acak dan sebaran peuubah acak
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
1/30
Metode Statistika (STK211)
Peubah Acak dan Sebaran Peluang
Distribution )
Dr. Kusman Sadik dan Yenni Angraini, M.Si
Dept. Statistika IPB, 2012
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
2/30
Konsep Peubah Acak (Random Variable)
PeubahPeubah acakacak merupakanmerupakan suatusuatu fungsifungsi yangyangmemetakanmemetakan ruangruang kejadiankejadian ( (daerahdaerah fungsifungsi)) kekeruangruang bilanganbilangan riilriil ((wilayahwilayah fungsifungsi).).
dalamdalam statistikastatistika untukuntuk mengkuantifikasikanmengkuantifikasikankejadiankejadian- -kejadiankejadian alamalam..
PendefinisianPendefinisian fungsifungsi peubahpeubah acakacak harusharus mampumampumemetakanmemetakan SETIAP KEJADIAN DALAMSETIAP KEJADIAN DALAMRUANG CONTOHRUANG CONTOH dengandengan TEPATTEPAT keke SATUSATUBILANGANBILANGAN padapada bilanganbilangan riilriil..
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
3/30
Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuahSebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuahdadu bersisi enam yang seimbang.dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnyaRuang contohnyadapat disenaraikan sebagai berikut:dapat disenaraikan sebagai berikut:
a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:
X = munculnya sisi dadu yang bermata genapX = munculnya sisi dadu yang bermata genap
= {0, 1}= {0, 1}
eme aan ungs apa gam ar an se aga er u :eme aan ungs apa gam ar an se aga er u :Daerah fungsiDaerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi
S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.
X(ei)
. 0
. 1
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
4/30
Tipe Peubah Acak
DiskretSegugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A
KontinuNilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval Misalkan X = tinggi badan (cm)Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam,menit, dsb)
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
5/30
Peubah Acak Diskret
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
6/30
Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret
Fungsi peluang dari peubah acak diskretmenampilkan nilai dan peluang dari peubahacak tersebut
Jumlah total nilai peluang dari semuakemungkinan nilai peubah acak tersebut sama
Peluang dari sembarang kejadian dapatdibentuk dengan menambahkan peluang darikejadian-kejadian yang membentuk sembarangkejadian tersebut
Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantungSebaran Peluang Peubah Acak X tergantungdari sebaran peluang kejadiannya.dari sebaran peluang kejadiannya.
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
7/30
KembaliKembali keke IlustrasiIlustrasi PelemparanPelemparan sebutir sebutir dadudadu yangyangsetimbangsetimbang
SEBARAN PELUANG (probability distribution)SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalahadalahpemetaanpemetaan peubahpeubah acakacak dengandengan nilainilai peluangnyapeluangnya. . UntukUntukkasuskasus pelemparanpelemparan sebutir sebutir dadudadu didi atasatas dapatdapat dijabarkandijabarkansebagaisebagai berikutberikut::
p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6
p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Sisi yang munculSisi yang muncul
Kejadian SS 11 SS 22 SS 33 SS 44 SS 55 SS 66PeluangPeluangkejadiankejadian
1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6
XX 00 11 00 11 00 11
x 00 11P(X=x)P(X=x) 1/21/2 1/21/2
XX 00 11
Tabel Sebaran Peluang bagi X:
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
8/30
Latihan (1)Latihan (1)
TigaTiga buahbuah matamata uanguang dilempar dilempar bersamabersama- -samasama. . JikaJika masingmasing- -masingmasing memilikimemiliki sisisisiyangyang seimbangseimbang, , senaraikanlahsenaraikanlah ruangruangcontohnyacontohnya. . JikaJika kitakita inginingin melihatmelihatbanyaknyabanyaknya sisisisi mukamuka yangyang munculmuncul padapada
e gae ga ma ama a uanguang, , ma ama a e n s ane n s anpeubahpeubah acakacak tersebuttersebut. . LengkapiLengkapi dengandengansebaransebaran peluangpeluang daridari peubahpeubah acakacaktersebuttersebut dandan tentukantentukan E(X)E(X) dandan V(X).V(X).
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
9/30
Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak DiskretDiskret Nilai harapan dari peubah acak adalahNilai harapan dari peubah acak adalah
pemusatan dari nilai peubah acak jikapemusatan dari nilai peubah acak jikapercobaannya dilakukan secara berulangpercobaannya dilakukan secara berulang- -ulangulangsampai tak berhingga kali.sampai tak berhingga kali.
Secara matematis nilai hara an da atSecara matematis nilai hara an da atdirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:
n
ii x x p x X
1
diskret p.aX jika),()(
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
10/30
Sifat-sifat nilai harapan:
Jika c konstanta maka E(c ) = cJika c konstanta maka E(c ) = c
Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta cJika p.a. X dikalikan dengan konstanta cmaka E(cX) = c E(X)maka E(cX) = c E(X)
maka E(Xmaka E(X Y) = E(X)Y) = E(X) E(Y)E(Y)
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
11/30
Ragam Peubah Acak Ragam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(XV(X) = E(X--E(X))E(X)) 22
= E(X= E(X 22)) [E(X)][E(X)] 22 tunjukkan !tunjukkan !
SifatSifat--sifat dari ragamsifat dari ragam
JikaJika c c konstantakonstanta makamaka V c = 0 V c = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =c c 2 2 V(X)V(X)
JikaJika X dan Y X dan Y peubah peubah acak acak makamaka, ,V(X V(X Y) = V(X) + V(Y)Y) = V(X) + V(Y) Cov Cov(X,Y)(X,Y)Dimana:Dimana: Cov Cov(X,Y) = E(X (X,Y) = E(X--E(X))E(Y E(X))E(Y--E(Y)),E(Y)), JikaJika X dan Y X dan Y saling saling bebasbebas makamaka Cov Cov(X,Y) = 0 (X,Y) = 0
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
12/30
ContohContoh:: JikaJika diketahuidiketahui distribusidistribusi peluangpeluang daridari peubahpeubah
acakacak XX sepertiseperti tabeltabel didi bawahbawah iniini::NilaiNilai peubahpeubah Acak Acak XX
XX 00 11 22 33 44 55
P(X=xP(X=x II)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6
XXiip(xp(x ii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6
DenganDengan demikiandemikian nilainilai harapanharapan p.ap.a XX adalahadalah: :
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6E(3X) = 3 E(X) = 45/6
RagamRagam p.ap.a XX adalahadalah: :V(X)V(X) == E(XE(X 22)) [E(X)][E(X)]22
= (= (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6)0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - - (15/6)(15/6) 22
= 55/6= 55/6 -- 225/36 = 105/36225/36 = 105/36
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
13/30
BerdasarkanBerdasarkan E(X)E(X) dandan V(X)V(X) tersebuttersebuttentukantentukan: :
a.a. E(2X)E(2X)
b.b. E 4E 4 -- 3X3Xc.c. V(2X)V(2X)d.d. V(4V(4 3X)3X)
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
14/30
Beberapa sebaran peluangdiskret yang banyak digunakan:
Bernoulli
Binomial
Poisson
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
15/30
Sebaran Peluang Bernoulli
Kejadian yang diamati merupakankejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika
kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang
gaga , ma a ungs pe uang ernoudapat dituliskan sebagai:
P(x,p) = p xq (1-x) ; x=0,1dimana q = 1-p
E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
16/30
Seseorang pemain akan melakukanlemparan bebas. Misalkan peluang bolatersebut masuk ring sebesar 80%,maka peluang bola tidak masuk ringadalah 20%
Akan melakukan tendangan pinalti.Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidakmasuk sebear 5%.
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
17/30
Sebaran Peluang Binomial
Terdiri dari n kejadian Bernoulli yangsaling bebas
Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses,
X=0 1 2 . n Fungsi peluang dari kejadian Binomialdapat dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)p xq (n-x) ; x=0,1,2,,n
dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)q = 1-p
E(X) =np var(X)=np(1-p)
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
18/30
Jika peubah acak X didefinisikansebagai banyaknya lemparan bebasyang sukses dari 3 lemparan
p= peluang sukses untuk sekalimelakukan lemparan bebas
S S G
G S S
S S S x=3
x=2 2323
333 )1(3
3)3(
p p X P
G S GS G G
G G S
S G S
x=1
2
G G G x=0 030 )1(0
3)0(
p p X P
131 )1(1
3)1(
p p X P
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
19/30
Latihan
Peluang turun hujan per hari diketahuip=0,6. Jika pengamatan dilakukandalam satu minggu (7 hari), hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujandalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turunhujan satu hari dalam satu minggu?
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
20/30
Peubah Acak Kontinu
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
21/30
Misalkan X adalah suatu peubah acakkontinu
Fungsi peluang dari peubah acak kontinumerupakan fungsi kepekatan peluang
Integral fungsi kepekatan peluang dari
Peluang dari suatu selang nilai dapatdibentuk dengan mengintegralkan fungsikepekatan peluang dalam selang nilaitersebut
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
22/30
Beberapa sebaran peluangkontinu yang banyak digunakan
Normal
Weibull
amma Beta
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
23/30
Sebaran Normal
Bentuk sebaran simetrik Mean, median dan modus berada dalam satu titik Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagaiberikut: 2
21
2 1),,(
x
e x f
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
X
Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatannormal:
P ( - < x < + ) = 0.683
P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954
Peubah acak (X) dengan mean ( ) dan ragam ( 2)menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N ( , 2)
b
a
a F b F dx x f b xa p )()()()(
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
24/30
Bentuk sebaran normal denganberbagai nilai ragam
r c e n t
60
50
40
30
Variableragam 1ragam 3ragam - 5ragam -10
Data
P
3624120-12-24-36
20
10
0
Semakin besar ragam dari sebaran normalmaka semakin landai bentuk sebarannya
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
25/30
Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak KontinuKontinu
Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalamNilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang jangka panjang
Secara matematis nilai harapan dapatSecara matematis nilai harapan dapatdirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:
kontinu p.aX jika,)()( dx x f x X ii
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
26/30
Setiap peubah acak normal memilikiSetiap peubah acak normal memilikikarakteristik yang berbedakarakteristik yang berbeda- -bedabeda perhitunganperhitungan
peluang akan sulitpeluang akan sulit Lakukan transformasi dari XLakukan transformasi dari X N(N( ,, 22))
menjadi peubah acak normal baku Zmenjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1)N(0 , 1)dengan menggunakan fungsi transformasidengan menggunakan fungsi transformasi
Distribusi peluang dari peubah acak normalpeubah acak normalbaku Zbaku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentukN(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuktabel peluang normal bakutabel peluang normal baku
X Z
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
27/30
Cara penggunaan tabel normal baku
Nilai z, disajikan padakolom pertama (nilai zsampai desimalpertama) dan barispertama (nilai zdesimal kedua)
Nilai eluan didalam
Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03
-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004
-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006
tabel normal bakuadalah peluangpeubah acak Z kurangdari nilai k (P(Z
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
28/30
Latihan
Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan25 mm dan ragam 25 mm 2. Hitunglah,
1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15mm?
. ura u an o a ogor an ara mmsampai 20 mm?
3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang
10% curah hujan tertinggi, berapa batascurah hujan tersebut!
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
29/30
Contoh Soal
Dalam suatu bagian terdapat tiga orangkaryawan laki-laki dan dua orangkaryawan wanita. Manajer ingin memutasidua orang karyawan dari bagian tersebut.Jika didefinisikan peubah acak X sebagai
anya nya aryawan wan a yg mu as :
a. Tentukan sebaran peluang dari peubahacak X tersebut!
b. Tentukan E(X)!c. Tentukan V(X)!
-
7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak
30/30
Latihan Soal
Diketahui bahwa gaji menyebar normaldengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secaraacak:
juta?
b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 jutasampai 3,2 juta?
c. Jika 23% orang mempunyai gajitertinggi, tentukan batas bawah darirange tersebut!