peubah acak terdistribusi bersama
DESCRIPTION
Peubah acak terdistribusi bersamaTRANSCRIPT
PEUBAH ACAK TERDISTRIBUSI BERSAMA
SEBARAN PELUANG BERSAMA• X DAN Y ADALAH PEUBAH ACAK YANG MEMPUNYAI FUNGSI
SEBARAN PELUANG KUMULATIF BERSAMA
• F(a, b) = P{X≤a, Y≤b}, -∞< a,b <∞
• Sebaran Peluang Kumulatif X bisa didapatkan dari Sebaran Peluang Kumulatif bersama X dan Y, yakni
• Fx(a) = P{X ≤a} = P{X ≤a, Y< ∞}• = P ( Limb ∞ { X ≤a, Y< b})• = Limb ∞P{ X ≤a, Y< b}• = Limb ∞ F(a, b)•
=F(a, ∞)
• Denagn cara yang sama Sebaran Peluang Kumulatif Y dituliskan sebagai
• F(b) = P {Y ≤b} = Lima ∞F(a,b) = F(∞,b)
• P{X>a, Y>b}= 1-P({X>a, Y>b}c)• = 1 – P({X>a}c U {Y>b}c)• = 1 – P({X≤a} U {Y ≤b})• = 1- [P{X≤a} + P{Y ≤b}- P{X≤a, Y≤b}]• = 1- Fx(a)-Fy(b) + F(a, b)
• X, Y peubah acak diskret, maka fungsi kepekatan peluang bersama adalah
p(x, y) = P{X=x, Y=y}
• Fungsi kepekatan peluang X yang didapatkan dari p(x,y) adalah
px(x) = P{X=x) =∑y;p(x,y)>0p(x,y)
• Dengan cara sama
py(y) = P{Y=y) =∑x;p(x,y)>0p(x,y)
• 3 bola diambil secara acak dari kotak yang berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 5 bola biru. Jika X dan Y menunjukkan masing-masing adalah bola merah dan bola putih yang terambil maka fungsi kepekatan peeluang bersama dari X dan Y, p(i,j)= P{X=i, Y=j} ditunjukkan sebagai
220
60
3
121
5
1
4
1
3
)1,1(
220
30
3
122
5
1
3
)0,1(
220
4
3
123
4
)3,0(
220
30
3
121
5
2
4
)2,0(
220
40
3
122
5
1
4
)1,0(
220
10
3
123
5
)0,0(
p
p
p
p
p
p
220
1
3
12
3
3
)0,3(
220
12
3
12
1
4
2
3
)1,2(
220
15
3
12
1
5
2
3
)0,2(
220
18
3
12
2
4
1
3
)2,1(
220
18
3
12
2
4
1
3
)2,1(
p
p
p
p
p
j
i
0 1 2 3 P{X=i}
0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220
1 30/220 60/220 18/220 0 108/220
2 15/220 12/220 0 0 27/220
3 1/220 0 0 0 1/220
P{Y=j} 56/220 112/220 48/220 4/220 1
• X, Y adalah peubah acak kontinyu bersama bila ada suatu fungsi f(x,y) yang didefinisikan untuk semua bilangan riel x dan y, mempunyai sifat untuk setiap himpunan C dari pasangan bilangan real tersebut (C berarti dua dimensi) berlaku
• P{(X, Y) ε C) = ∫∫(x, y) ε c f(x,y) dx dy• f(x,y) disebut fungsi kepekatan peluang bersama
dari X dan Y.• Jika A dan B adalah bilangan real, kemudian
didefinisikan C={(x, y); x ε A, y ε B}, maka• P{X ε A, Y ε B}=∫B∫Af (x,y) dx dy
),(),(
),(
]},(],,({),(
2
baFba
baf
maka
dxdyyxf
bYaXPbaFb a
• Peluang dengan batasan nilai X dan Y
• Dimana da dan db adalah kecil dan f(x, y) adalah kontinu pada a, b.
dbb
b
daa
a
dbdabafdxdyyxf
dbbYbdaaXaP
),(),(
},{
Jika X dan Y kontinu bersama, maka mereka akan kontinu pada masing-masing dan mempunyai kepekatan peluang sebagai berikut :
dxyxfyf
Yuntuksamacaradengan
dyyxfxf
dxxf
dxdyyxf
YAXPAXP
Y
X
Ax
A
),()(
),()(
)(
),(
)},(,{}{
Latihan
}{)};{)};1,1{)
0
0,02),(
2
aXPcYXPbYXPa
hitung
selainnya
yxeeyxf
yx
)1(2
)(2
2}1,1{)1
211
0
21
1
1
0
2
1
0
2
1
eedyee
dyee
dxdyeeYXP
y
xy
yx
0
32
0
0
2
0 0
2
),,(
2
3/13/2122
)1(22
2}{)2
dyee
dyeedxdyee
dxdyeeYXP
yy
yyy
yx
yxyx
yx
aax
axy
edxe
dydxeeaXP
0
0 0
2
1
2}{)3
• Fungsi kepekatan peluang bersama X dan Y adalah
2/
0
)1(
0 00
)(
/
)(
/
)(
)1(
1)(
1
11
1
)1(
}{)(
0:
/
0
0,0),(
xxf
aa
ee
dyeedxdye
dxdyeaY
XPaF
ajawab
YXfkptentukan
selainnya
yxeyxf
YX
yay
yayay
yx
aYX
yx
YX
yx
N Peubah Acak
• Sebaran peluang kumulatif bersama dari n peubah acak adalah
F(a1, a2,…,an)=P{X1≤a1, X2 ≤a2,…,Xn ≤an}
• Lebih jauh Sebaran peluang kumulatif, bila diketahui ada fkp bersama f(x1,x2,….,xn) pada sembarang himpunan C dalam ruang dimensi n adalah
• P{(X1,X2,…,Xn)εA}=
• Lebih khusus, untuk sembarang n himpunan bilangan riel A1,A2,….An maka
• P{X1 εA1,X2 εA2,...,Xn εAn}=
nCxxx
n dxxddxxxfn
...),...,(... 2),...,(
11
21
n nA A
nnA
dxdxdxxxf1 1
...),...,(.... 211
Peubah Acak Independen
• Peubah acak X dan Y disebut sebagai independen bila untuk sembarang himpunan bilangan real A dan B berlaku
• P{XεA, Yε B}= P{XεA} P{Y εB}• Dengan kata lain X dan Y independen, jika untuk
semua A dan B; maka kejadian EA={X εA} dan EB={Y εB} juga independen
• MakaP{X≤a, Y≤b}=P{X≤a}P{Y≤b} dan
F(a,b) =Fx(a) Fy(b) untuk semua a, b
Independen
• X dan Y peubah acak diskrete, X dan Y independen bilap(x,y)=px(x) py(y) untuk semua x, y
• Selanjutnya• Untuk sembarang himpunan A dan B
P{X εA, Y ε B) =
}{}{)()(
)()(),(
AXPBYPypxp
ypxpyxp
Ax By
By AxBy Ax
Contoh
• JIka X, Y, Z adalah independen dan sebaran seragam pada (0,1). Hitung P{X>=YZ}.
• Jawab :• fX,Y,Z(x,y,z)=fX(x)fY(y)fZ(z) =1, 0≤x≤1,0≤y ≤1,0 ≤z ≤1
• Maka
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
,,
4
3)2
1(
)1(1
),,(}{
dzz
dydzyzdxdydz
dxdydzzyxfYZXP
yz
yzxZYX
Penjumlahan dari Peubah Acak Independen
• Penjumlahan dari 2 peubah acak kontinu independen X, Y adalah X+Y, dimana mempunyai fkp fX dan fY. Maka fungsi sebaran peluang kumulatif dari X+Y adalah :
dyyfyaF
dyyfdxxfdxdyyfxf
dxdyyfxfaYXPaF
YX
ya
YX
ya
YX
ayxYXYX
)()(
)()()()(
)()(}{)(
Fx+Y disebut convolution dari FX dan Fy
• Dengan turunan dari FX+Y akan didapatkan fX+Y dari X+Y, yakni
dyyfyaf
dyyfyaFda
d
dyyfyaFda
daf
YX
YX
YXYX
)()(
)()(
)()()(
Contoh
• X dan Y peubah acak independen, yang masing-masing mempunyai sebaran peluang seragam. Carilah fungsi kepekatan peluang X+Y (Pending)
selainnya
aa
aa
af
maka
adyaf
makaauntuk
adyaf
makaauntuk
dyyafaf
YX
aYX
YX
XYX
0
212
10
)(
2)(
,21
)(
,10
)()(
1
1
1
0
1
0
Preposisi 3.1• X dan Y adalah mempunyai sebaran peluang gamma dan independen
masing-masing mempunyai parameter (s,λ) dan (t, λ). Maka X+Y adalah peubah acak sebar an gamma dengan parameter (s+t, λ).
• Bukti dengan menggunakan persamaan sebelumnya
1
1
0
111
0
11
11
0
)(
;)1(
)(
)()]([)()(
1)(
tsa
tstsa
atsa
tysa
ya
YX
aCea
yxdgndxxxaKe
dyyyaKe
dyyeyaets
af
Dimana C adalah konstanta yang tidak tergantung a. Tetapi fkp bila Diintegralkan akan menghasilkan 1 shg C akan didapatkan, maka :
)(
)()(
1
ts
aeaf
tsa
YX
Preposisi 3.2
• Jika Xi, i=1, 2, …, n adalah peubah acak independen dan menyebar secara normal dengan masing-masing mempunyai nilai parameter μi, σi
2, i=1,…,n; maka ∑i=1n Xi
juga menyebar normal dengan parameter
∑i=1n μi dan ∑i=1
n σi2.
SEBARAN PELUANG BERSYARAT (diskret)
Dua kejadian E dan F, peluang bersyarat kejadian E setelah F diketahui (given F), dengan syarat P(F)>0, adalahP(E|F) = P(EF)/P(F)
Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka peluang bersyarat X setelah diketahui Y=y, adalah :
0)(;)(
),(
}{
},{
}|{)|(|
ypyp
yxp
yYP
yYxXP
yYxXPyxp
Y
Y
YX
• Dengan cara yang sama, fungsi sebaran peluang bersyarat dari X dimana diketahui Y=y, untuk semua y sedemikian sehingga pY(y)>0
xaYX
YX
yap
yYxXPyxF
)|(
}|{)|(
|
|
Jika diketahui p(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang X dan Y yang diberikan sebagai berikut ;p(0,0)=0.4, p(0,1)= 0.2, p(1,0)=0.1, dan p(1,1)=0.3Tentukan peluang bersyarat X dimana diketahui Y=1Jawab :pY(1)=∑Xp(x,1)=p(0,1)+p(1,1)= 0.2+0.3=0.5Dengan demikianpX|Y(0|1)=p(0,1)/pY(1) = 2/5pX|Y(1|1)=p(1,1)/pY(1) = 3/5
SEBARAN PELUANG BERSYARAT (Kontinyu)
• Jika X dan Y mempunyai fkp bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dimana diketahui Y=y yang didefisinikan untuk semua y sehingga fY(y)>0 adalah
• fX|Y(x,y)=f(x,y)/fY(y)
Contoh• Fungsi kepekatan peluang bersama X
dan Y adalah
selainnya
yxyxxyxf0
10,10)2(12
1),(
Hitung fungsi kepekatan bersyarat peluang X dimana diketahui Y=y, 0<y<1
y
yxx
y
yxx
dxyxx
yxx
dxyxf
yxf
yf
yxfyxf
yxUntuk
Y
YX
34
)2(6
2/3/2
)2(
)2(
)2(
),(
),(
)(
),()|(
10,10
1
0
|
Fungsi Distribusi Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak
• Katakan X1dan X2 adalah peubah acak kontinyu yang mempunyai fungsi kepekatan peluang bersama fX1,X2. Kadang-kadang kita memerlukan fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1 dan Y2 dimana merupakan fungsi dari X1 dan X2. Katakan Y1=g1(X1, X2), dan Y2=g2(X1,X2) untuk beberapa fungsi g1 dan g2
Asumsi bahwa g1dan g2 adalah
1) Persamaan y1=g1(x1,x2) dan y2=g2(x1,x2) akan mendapatkan penyelesaian yang khas (unik) untuk x1 dan x2 dalam y1 dan y2 katakan solusinya adalah
x1=h1(y1,y2) dan x2=h2(y1, y2).
2) Fungsi g1dan g2 adalah kontinyu dan dapat diturunkan pada setiap titik (x1,x2) dan mengikuti determinan dari 2 x 2
),(
0),(
21
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
21
xxtitiksemuauntuk
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
gx
g
x
g
xxJ
Dengan dua kondisi diatas, maka dapat dibuktikan bahwa peubah acakY1 dan Y2 adalah kontinyu bersama dengan fungsi kepekatan bersama
),(),,(
dim
|),(|),(),(
21222111
1
2121,21, 2121
yyhxyyhx
ana
xxJxxfyyf XXYY
CONTOH
• Katakan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan fungsi kepakatan peluang bersama fX1,X2. Katakan Y1=X1+X2, Y2=X1-X2. Tentukan fungsi kepekatan peluang bersama Y1 dan Y2 ?
Jawab : Katakan g1(x1,x2)=x1+x2 dan g2(x1,x2)=x1-x2. Maka
211
11),( 21
xxJ
Juga dari y1=x1+x2 dan y2=x1-x2 kita akan mendapatkan solusix1=(y1+y2)/2, dan x2=(y1-y2)/2. Dengan demikian fungsi kepekatan Peluangnya adalah
fY1,Y2(y1,y2) = ½ fX1,x2((y1+y2)/2, (y1-y2)/2)
• Jika X1 dan X2 adalah independen, dengan sebaran peluang seragam, maka
selainnya
yyyyyyf YY 0
20,202/1),( 2121
21, 21
selainnya
yyyyyyyy
yyf YY
0
0,022
exp2),( 2121
212
211
21
21, 21
• Jika X1 dan X2 adalah independen, dengan sebaran peluang eksponensial dengan parameter λ1 λ2, maka