konstantin tretjakov ([email protected]) · 1. matemaatika on teadmiste kogum 24.09.2015 algebra milleks...

Konstantin Tretjakov ([email protected])

24.09.2015

Mis on “Matemaatika”

Milleks mulle matemaatika

24.09.2015

Milleks seda õpetatakse?


1. Matemaatika on teadmiste kogum

24.09.2015

Algebra


Analüüs Disk.mat

Hulgateooria Mat. loogika

Fn. analüüs, Tõenäosusteooria ja statistika,

Optimiseerimine, Geomeetria, Krüptograafia, …

Omadused, algoritmid, rakendused.

2. Matemaatika on abstraktsiooni oskus

24.09.2015

𝟐 + 𝟑 ⋅ 𝟒

Rühm/Ring/Korpus/Ruum

(ℝ,+,×): 𝒂 + 𝒄 × 𝒃

Algebrad

Algebralised struktuurid


2. Abstraktsiooni oskus

class RealNumber {

operator + (RealNumber a, RealNumber b);

operator * (RealNumber a, RealNumber b);

}

24.09.2015Milleks mulle matemaatika


class RealNumber implements FieldElement {

operator + (RealNumber a, RealNumber b);

operator * (RealNumber a, RealNumber b);

}

interface FieldElement {

operator + (FieldElement a, FieldElement b);

operator * (FieldElement a, FieldElement b);

constraint

[FieldElement a,b,c => a*(b+c) = a*b + a*c]

}



24.09.2015

BigDecimal?

Fractional?

Complex?

Interval?

Vector?

Matrix?

Polynomial?


Keel


Keel

“Keeleline relativism”



24.09.2015

Algebra


Analüüs Disk.mat





Füüsika


Tõenäosusteooria


Optimiseerimine



24.09.2015

Algebra


Analüüs Disk.mat





Algebralised teisendused

𝑎 × 𝑏 + 𝑎 → 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑎 → 𝑎 × 𝑏 + 𝑎



𝑎 × 𝑏 + 𝑎 → 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑎 → 𝑎 × 𝑏 + 𝑎

Näiteks, optimiseeriv kompileerimine



24.09.2015

select id from users, permissions, page

where users.id = permissions.user_id and

permissions.page_id = page.id and

permissions.type = ‘read’



24.09.2015





𝜋𝑈.𝑖𝑑 ⋅ 𝜎𝑃 ⋅ 𝜎𝑃,Π ⋅ 𝜎𝑈,𝑃(𝑈 × 𝑃 × Π)



24.09.2015





𝜋𝑈.𝑖𝑑 ⋅ 𝜎𝑃 ⋅ 𝜎𝑃,Π ⋅ 𝜎𝑈,𝑃 𝑈 × 𝑃 × Π →

𝜋𝑈.𝑖𝑑 ⋅ 𝜎𝑃,Π ⋅ 𝜎𝑈,𝑃 ⋅ 𝜎𝑃 𝑈 × 𝑃 × Π →

𝜎𝑃,Π(𝜎𝑈,𝑃 𝜋𝑈.𝑖𝑑(𝑈) × 𝜎𝑃(𝑃)) × Π

or

𝜎𝑈,𝑃(𝜋𝑈.𝑖𝑑(𝑈) × 𝜎𝑃,Π 𝜎𝑃 𝑃 × Π )


Enimkasutatavad algebralised

struktuurid

Vektorruum ℝ𝑛 või ℂ𝑛

Lineaarteisenduste/Maatriksite ring ℝ𝑚×𝑛

Ring/Korpus ℤ𝑛 Ring 𝔽[𝑥]


Lineaaralgebra




Lineaaralgebra

ℝ𝑛 või ℂ𝑛


Lineaaralgebra

ℝ𝑛 või ℂ𝑛

Punkt või suund kahe- või kolmemõõtmelises ruumis

Objekti karakteristikute komplekt

Signaal (heli, pilt, video)

Objekti “kood”

ℝ𝑚×𝑛

Graafi seosed

Tõenäosusjaotus(ed)


Diskreetne matemaatika



Ring/Korpus ℤ𝑛 Ring 𝔽[𝑥]



Arvuti jaoks kõige tähtsam korpus?




(ℤ2, +,×)




ℤ2, +,×

ℤ2𝑛 , +,×




ℤ2, +,×

ℤ2𝑛 , +,×

ℤ2𝑛 , +𝐹 ,×𝐹




ℤ2, +,×

ℤ2𝑛 , +,×

ℤ2𝑛 , +𝐹 ,×𝐹 ∼? (ℝ,+,×)



Krüptograafia

ℤ𝑛,×

Olgu 𝑔 ∈ ℤ𝑛, siis G = {𝑔𝑎 ∶ 𝑎 ∈ ℤ𝑛} on ℤ𝑛,×alamrühm.

Diskreetne logarithm, Diffie-Hellman

G suurus, RSA


Kokkuvõte

Matemaatika on abstraktsioonivõime.

Seda on ka praktikas vaja

Igal pool

Võtke seda tõsiselt


konstantin tretjakov ([email protected]) · 1. matemaatika on teadmiste kogum 24.09.2015 algebra milleks...

Documents