kort om linjär algebra - mathematicsmath.mit.edu/~oscarmi/kort.pdf · 2019-07-17 · (ii)ge...

Kort om linjär algebra

Lars Svensson och Oscar Mickelin

24 juli 2014

Innehåll

1 Förord 1

2 Grundläggande de�nitioner 22.1 Binära kompositioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Moduler över ringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Strukturebevarande avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Strukturella delmängder av algebror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Kärnor och bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Några exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Metriska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Normerade rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Inreproduktrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Vektorrum och linjära avbildningar 113.1 Linjärt beroende och oberoende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Bas för vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Linjära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Koordinatavbildingar med avseende på en bas . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Matrisrepresentationen av en avbildning relativt baser . . . . . . . . . . . 133.2.3 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Multilinjära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Alternerande avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Alternerande multilinjära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Adjugatet till en matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Determinanten för en linjär avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Egenvärden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7.1 Några beteckningar och konventioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.2 Invarianta delrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7.3 Triangulering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7.4 Diagonalisering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8 Annihilerande polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9 Reducerade polynomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10 Struktursatsen för ändligt genererade moduler över Euklidiska ringar . . . . . . . 25

3.10.1 Välgrundade relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.11 Strukturen hos linjära avbildningar på ändligtdimensionella vektorrum . . . . . . 263.12 Adjungerad avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

3.12.1 Dualitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.13 Normala, Hermitiska och unitära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.13.1 Spektralsatsen för normala avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.13.2 Singulärvärdesdekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Kvadratiska former 32

4.1 Kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Kanonisk bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Existens av kanonisk bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Sylvesters tröghetssats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Matrisrepresentation av kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Diverse 36

5.1 Algebrans fundamentalsats av Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kapitel 1

Förord

Detta kompendium innehåller en bearbetning av föreläsningsanteckningar som givits i sambandmed kursen i utvidgad linjär algebra vid KTH. Det är tänkt att fungera som ett självständigt, rig-oröst och kompakt komplement till den typiska kurslitteraturen inom linjär algebra och innehållerdessutom några ytterligare de�nitioner inom algebra och smått och gott inom andra grenar avmatematiken. Tanken är även att det skall kunna användas som något av ett uppslagsverk un-der de första åren på KTH då det innehåller ett �ertal nyttiga de�nitioner och satser. Dock ärdet fortfarande under uppbyggnad och rapporter om eventuella tryckfel mottages tacksamt [email protected].

1

Kapitel 2

Grundläggande de�nitioner

Detta kapitel inleds med de�nitioner av de begrepp som kommer att användas för bevisen i restenav kompendiet. Sedan följer en rad exempel för att åskådliggöra dessa.

2.1 Binära kompositioner

Låt M vara en mängd. En avbildning

M ×M ∗→M (2.1)

(x, y) 7→ x ∗ y (2.2)

kallas en binär komposition eller en binär operation. ∗ är kommutativ om x ∗ y = y ∗ x för alla xoch y i M . ∗ är associativ om x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z för alla x, y och z i M .

Låt ∗ och � vara två binära kompositioner på M . Vi säger då att ∗ är distributiv över� om

x ∗ (y�z) = (x ∗ y)� (x ∗ z) (2.3)

(y�z) ∗ x = (y ∗ x)� (z ∗ x) . (2.4)

De�nition 1 (Distributivitet).

Anmärkning 1. Den första likheten kallas vänsterdistributivitet och den andra högerdistribu-tivitet.

Ett element e ∈M kallas enhet eller identitet för ∗ om x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈M .

De�nition 2 (Enhet).

Observation 1. Om e och e′ är enheter så är e = e′, då e ∗ e′ = e = e′.

2

3 Linjär Algebra

Om x∗y = e så kallas x vänsterinvers till y och y högerinvers för x. Om x∗y = y∗x = eså kallas y invers till x och betecknas vanligen x−1.

De�nition 3 (Inverser).

Observation 2. Om y är vänsterinvers och z är högerinvers till x och om ∗ är associativ, såär y = z = x−1 inversen till x, ty (y ∗ x) ∗ z = y ∗ (x ∗ z) ⇒ e ∗ z = y ∗ e ⇒ z = y. Vi får somslutsats att om x har invers så är denna unik.

Med hjälp av dessa enkla begrepp kan ett antal matematiska strukturer de�nieras.

En monoiod är en mängd med associativ binär komposition med enhet.

De�nition 4 (Monoid).

En grupp är en monoid där varje element har invers.

De�nition 5 (Grupp).

Anmärkning 2. Axiomen för en grupp är precis de som krävs för att garantera att ekvationerav typen ax = b har en entydig lösning x för givna element a, b i gruppen.

En abelsk grupp är en grupp med kommutativ binär komposition.

De�nition 6 (Abelsk grupp).

Anmärkning 3. För abelska grupper är det vanligast att kompositionen betecknas + och kallas�addition�. Enheten betecknas 0 och kallas �nolla�. Inversen till x betecknas −x.

En ring är en mängd R med två associativa binära kompositioner kallade addition (+)och multiplikation (·), sådan att multiplikationen är distributiv över additionen och där(R,+) är en abelsk grupp. Vanligen har ringen en �etta�, dvs ett element betecknat 1som är enhet vid multiplikation.

De�nition 7 (Ring).

En kommutativ ring är en ring där multiplikation är kommutativ.

De�nition 8 (Kommutativ ring).

Lars Svensson, Oscar Mickelin 4

En skevkropp K är en ring där varje nollskilt element har multiplikativ invers och medK 6= {0}.

De�nition 9 (Skevkropp).

En kropp är en kommutativ skevkropp.

De�nition 10 (Kropp).

2.2 Moduler över ringar

Låt M vara en Abelsk grupp med operationen +, och R en ring. Vi betecknar nollan i R med 0och nollan i M med 0. Antag att vi har en avbildning

R×M →M (2.5)

(r, x) 7→ r · x (2.6)

sådan att

(i) 0 · x = 0 och 1 · x = x, ∀x ∈M

(ii) r · (x+ y) = r · x+ r · y, ∀r ∈ R, ∀x, y ∈M

(iii) (r + s) · x = r · x+ s · x, ∀s, r ∈ R, ∀x ∈M

(iv) r · (s · x) = (rs) · x, ∀s, r ∈ R, ∀x ∈M

Då kallas M en R-modul. Om R är en kropp K så kallas modulen M för ett vektorrum överkroppen K.

Anmärkning 4. Vi kommer i fortsättningen använda den vanliga konventionen för parenteserr · x+ s · y = (r · x) + (s · y). Oftast skriver vi rx istället för r · x och betecknar nollan i både Roch M med 0.

2.3 Strukturebevarande avbildningar

En avbildning ϕ : M →M ′ mellan två monoider som ∀x, y ∈M uppfyller

ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ∗′ ϕ(y) (2.7)

ϕ(e) = e′ (2.8)

kallas en monoidmor�sm.En avbildning θ : G→ G′ mellan två grupper som ∀x, y ∈ G uppfyller

θ(x ∗ y) = θ(x) ∗′ θ(y) (2.9)

θ(e) = e′ (2.10)

θ(x−1) = θ(x)−1 (2.11)

5 Linjär Algebra

kallas en grupphomomor�sm.En avbildning ρ : R→ R′ mellan två ringar sådan att ∀x, y ∈ R

ρ(x+ y) = ρ(x) +′ ρ(y) (2.12)

ρ(0) = 0′ (2.13)

ρ(x · y) = ρ(x) ·′ ρ(y) (2.14)

ρ(1) = 1′ (om ettan existerar) (2.15)

kallas en ringhomomor�sm.En avbildning T : M →M ′ mellan två R-moduler sådan att ∀x, y ∈M , ∀r ∈ R

T (x+ y) = T (x) +′ T (y) (2.16)

T (r · x) = r · T (x) (2.17)

kallas en modulhomomor�sm eller en linjär avbildning.

2.4 Strukturella delmängder av algebror

En delmonoidA av en monoidM är en delmängdA ⊆M sådan att ∀x, y ∈ A så gäller att x∗y ∈ Aoch e ∈ A. En delgrupp H av en grupp G är en delmängd H ⊆ G sådan att ∀x, y ∈ H : x−1 ∈ Hoch x ∗ y ∈ H. Det �nns också en speciellt ��n� typ av delgrupper N ⊆ G, kallade normala, somuppfyller kravet att ∀x ∈ N ∀y ∈ G : y−1 ∗ x ∗ y ∈ N .

Ett ideal J i en ring R är en delmängd J ⊆ R sådan att 0 ∈ J och

(i) ∀x, y ∈ J x+ y ∈ J

(ii) ∀x ∈ J ∀z ∈ R zx ∈ J , (vänsterideal)

(iii) ∀x ∈ J ∀z ∈ R xz ∈ J , (högerideal)

En delmodul L av en R-modul M är en delmängd L ⊆M sådan att

(i) ∀x, y ∈ L x+ y ∈ L

(ii) ∀x ∈ L ∀r ∈ R rx ∈ L

Ett delrum W till ett K-vektorrum V är en delmängd som är en delmodul av K-modulen V(ett vektorrum över K är ju också en K-modul).

2.5 Kärnor och bilder

Om ϕ : M →M ′ är en monoidmor�sm så de�nieras kärnan av ϕ av

ker(ϕ) = {x ∈M : ϕ(x) = e′}. (2.18)

Bilden Im(ϕ) de�nieras, som för funktioner i allmänhet, av

Im(ϕ) = {y ∈M ′ : ∃x ∈M ϕ(x) = y} = {ϕ(x) : x ∈M} = ϕ(M). (2.19)

Kärna och bild för grupp-, ring- och modulhomomor�smer de�nieras på samma sätt och ärdelgrupper av domän respektive codomän av mor�smen, där domänen av en avbildning f : A→B är A och codomänen är B. Domänen betecknas ibland med dom(f).


Övning 1. Låt ϕ : M → M ′ vara en monoidmor�sm. Veri�era att ker(ϕ) och Im(ϕ) är del-monoider.

Övning 2. Låt θ : R→ R′ vara en ringhomomor�sm.

(i) Visa att ker(θ) är ett ideal i dom(θ).

(ii) Ge exempel som visar att Im(θ) inte alltid är ideal i R′.

Övning 3. Låt F : M →M ′ vara en modulhomomor�sm. Visa att ker(F ) och Im(F ) är delmod-uler av M respektive M ′.

2.6 Några exempel

Låt A vara en mängd. Vi uppfattar A som en mängd av tecken eller symboler eller bok-stäver. Det vill säga att vi tolkar A som ett sorts alfabet. Låt nu List(A) vara mängdenav alla ändliga ordnade listor av element ur A. Vi inkluderar ovan den tomma listansom vi betecknar med (inget alls), dvs om a1, a2, a3, . . . är i A så är a2a1a1a3a2en 5−lista, a2 en 1−lista och det tomma ordet en 0−lista.Om Ln = {n-listor i L} och List(A) = L, så har vi att

L = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ . . . = ∪n∈NLn (2.20)

Vi ska nu göra L till en monoid genom att de�niera ∗ genom konkatenation av listor.Låt x ∈ L, y ∈ L, x = x1x2 . . . xn och y = y1y2 . . . ym där n,m ∈ N\{0}, xi ∈ A, yi ∈ Aså sätter vi

x ∗ y = x1x2 . . . xny1 . . . ym (2.21)

Det tomma ordet (eller listan) är identitet eller enhet. Uppenbarligen är ∗ en associativbinär komposition på L, och L blir därvid en monoid. Den kallas den fria monoiden påA. Detta är den mest naturliga monoiden.

Exempel 1.

De naturliga talen N = {0, 1, 2, . . .} är en kommutativ monoid under addition.

Exempel 2.

Mängden av icke-negativa funktioner från en mängd X är en monoid under punktvisaddition, dvs med f : X → [0,∞) och g : X → [0,∞) så de�nieras f + g : X → [0,∞)genom

(f + g)(x) = f(x) + g(x). (2.22)

De heltalsvärda funktionerna från X är en delmonoid.

Exempel 3.

7 Linjär Algebra

Zn är en Abelsk grupp under addition.

Exempel 4.

Mängden av bijektioner S(X) från X till X är en grupp under sammansättning, dvsom f och g är bijektiva X → X så är f ◦ g bijektiv X → X. Enheten i S(X) äridentitetsavbildningen idX : X → X.

Exempel 5.

Z är en kommutativ ring under vanlig addition och multiplikation.

Exempel 6.

Om R är en ring så är R[t], mängden av polynom i den formella variabeln t medkoe�cienter i R, en ring som är kommutativ om R är kommutativ.

Exempel 7.

Matn(R), mängden av matriser av format n × n med element i ringen R, är en ringunder addition och matrismultiplikation.

Exempel 8.

Mängden av kontinuerliga funktioner Rn → R är en ring med punktvis der�nieradaddition och multiplikation.

Exempel 9.

Övning 4. Beskriv hur Zn kan tolkas som en Z−modul och visa sedan på samma sätt att varjeAbelsk grupp G kan tolkas som en Z−modul.

Övning 5. Hitta på �er exempel.

2.7 Metriska rum

Låt M vara en godtycklig mängd. En avbildning

M ×M d→ [0,∞) ⊆ R (2.23)

kallas en metrik på M om


• d är symmetrisk, dvs. ∀x, y ∈M : d(x, y) = d(y, x).

• d uppfyller triangelolikheten, dvs. ∀x, y, z ∈M : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

• ∀x, y ∈M : x = y ⇔ d(x, y) = 0.

2.8 Normerade rum

Låt V vara ett vektorrum över R eller C. En avbildning

V‖·‖→ [0,∞) ⊆ R (2.24)

kallas en norm på V om

• ∀α ∈ R (eller C) och ∀x ∈ V : ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,

• ∀x, y ∈ V : ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖,

• ∀x ∈ V : ‖x‖ = 0⇔ x = 0.

En mängd M med en metrik kallas ett metriskt rum och ett vektorrum över R (eller C) meden norm kallas ett normerat rum. Varje normerat rum är också ett metriskt rum med metrikend(x, y) = ‖x− y‖.

2.9 Inreproduktrum

En inre produkt på ett vektorrum V över R är en avbildning

V × V 〈·,·〉→ R (2.25)

sådan att

• ∀y ∈ V är V 3 x 7→ 〈x, y〉 ∈ R linjär,

• ∀x, y ∈ V 〈x, y〉 = 〈y, x〉,

• ∀x ∈ V 〈x, x〉 ≥ 0,

• ∀x ∈ V 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0.

En inre produkt på ett vektorrum V över de komplexa talen C är en avbildning

V × V 〈·,·〉→ C (2.26)

sådan att

• ∀y ∈ V V 3 x 7→ 〈x, y〉 ∈ C är linjär,

• ∀x, y ∈ V 〈x, y〉 = 〈y, x〉,

• ∀x ∈ V 〈x, x〉 ≥ 0,

• ∀x ∈ V 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0.

9 Linjär Algebra

På V = Rn är 〈x, y〉 = xT y = x1y1 + . . .+ xnyn en inre produkt (reella skalärer).

Exempel 10.

På V = Cn är 〈x, y〉 = xT y = x1y1 + . . .+ xnyn en inre produkt (komplexa skalärer).

Exempel 11.

Anmärkning 5. Inre produkter på reella vektorrum kallas ibland euklidiska och på komplexavektorrum kallas inre produkter unitära.

Anmärkning 6. Vi betecknar 〈x, x〉 med ‖x‖2 och ska strax visa att ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 är en norm.

Om V är ett inreproduktrum så gäller ∀x, y ∈ V |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖ med likhet precisdå x och y är linjärt beroende.

Sats 1 (Cauchys olikhet).

Bevis. Om x eller y är noll så gäller olikheten självklart, så antag x och y är nollskilda. Om αoch β är nollskilda skalärer så gäller

|〈αx, βy〉| = |α| · |β| · |〈x, y〉| (2.27)

och‖αx‖ · ‖βy‖ = |α| · |β| · ‖x‖ · ‖y‖, (2.28)

dvs olikheten är invariant under skalning. Det räcker således att visa olikheten då ‖x‖2 = ‖y‖2 =〈x, x〉 = 〈y, y〉 = 1. Vidare kan vi utan inskränkning anta att 〈x, y〉 ≥ 0, dvs 〈x, y〉 = |〈x, y〉|. Vivisar satsen endast i det komplexa fallet. Notera att

0 ≤ 〈x− y, x− y〉 = 〈x, x〉+ 〈y, y〉 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉 = 1 + 1− 2|〈x, y〉| (2.29)

⇒ |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖. (2.30)

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. (2.31)

Sats 2 (Minkowskis olikhet, triangelolikheten).

Bevis.‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 〈x, y〉+ 〈y, x〉 = (2.32)

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 ·Re〈x, y〉 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ · ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2. (2.33)


Om V är ett inreproduktrum så de�nierar ‖x‖ = 〈x, y〉1/2 en norm på V .

Korollarium 3.

Vi har således att varje inreproduktrum är ett normerat rum, och varje normerat rum är ettmetriskt rum.

Kapitel 3

Vektorrum och linjära avbildningar

Linjär algebra studerar egenskaper av vektorrum och detta kapitel innehåller de�nitioner av ettantal fundamentala egenskaper för dessa. Vi fortsätter sedan med att jämföra två givna vektorrumV och V ′. Ett naturligt tillvägagångssätt för detta är att studera de avbildningar T : V → V ′

som bevarar strukturen av V , nämligen de linjära avbildningar som de�nierades i Ekv. (2.16),och detta görs nedan. Vid en första genomläsning kan det också vara till hjälp att tänka sig attkroppen K som ingår i de�nitionerna som följer är R eller C och att vektorrummet är Rn ellerCn.

3.1 Linjärt beroende och oberoende

En delmängd M av ett vektorrum V över K kallas linjärt beroende om det existerar v1, . . . , vmi M och α1, . . . , αm i K som ej alla är noll sådana att α1v1 + . . .+ αmvm = 0. Om M saknar ensådan delmängd säger vi att M är linjärt oberoende.

Om u1, . . . , un och v1, . . . , vm är vektorer i V sådana att m > n och varje vj är enlinjärkombination av u1, . . . , un så är v1, . . . , vm linjärt beroende.

Sats 4.

Bevis. Vi använder induktion över n. Om n = 1 är satsen trivial så �xera ett n > 1 och antagatt satsen gäller för lägre n. Då har vi alltså

v1 = α11u1 + . . .+ α1nun (3.1)

v2 = α21u1 + . . .+ α2nun (3.2)

... (3.3)

vm = αm1u1 + . . .+ αmnun (3.4)

Om αj1 = 0 för j = 1, . . . ,m så kan u1, u2, . . . , un ersättas med u2, . . . , un och induktion-santagandet ger att v1, . . . , vm är linjärt beroende, så antag, efter eventuell omnumrering, attα11 6= 0. Då följer att

vk −αk1α11

v1 ∈ linspan{u2, . . . , un}, k = 2, . . . ,m (3.5)

11


Enligt indutionsantagandet existerar då β2, . . . , βm ej alla noll sådana att

β2

(v2 −

α21

α11v1

)+ . . .+ βm

(vm −

αm1

α11v1

)= 0 (3.6)

⇒(−α21β2

α11− . . .− αm1βm

α11

)v1 + β2v2 + . . .+ βmvm = 0 (3.7)

som visar att v1, . . . , vm är linjärt beroende.

Anmärkning 7. Den tomma mängden är linjärt oberoende.

3.1.1 Bas för vektorrum

En ordnad delmängd av ett vektorrum som är linjärt oberoende och som spänner upp vektorrum-met kallas en bas. Om basen är en ändlig mängd så kallas vektorrummet ändligtdimensionellt.

Om u1, . . . , un och v1, . . . , vm är baser för vektorrummet V så är n = m.

Sats 5.

Bevis. Enligt satsen ovan skulle v1, . . . , vm vara linjärt beroende omm > n och u1, . . . , un skullevara linjärt oberoende om n > m. Således är n = m.

Dimensionen för ett ändligtdimensionellt och icke-trivialt vektorrum är antalet elementi en bas.

De�nition 11.

Anmärkning 8. Ett vektorrum skiljer sig från moduler över endast ringar i det att man kanvisa att alla vektorrum har en bas. En modul för vilket detta inte är sant är exempelvis M = Z4

över ringen Z. Eftersom 4 ·m = 0 för alla m ∈M så �nns det ingen mängd av linjärt oberoendeelement i M och därför heller ingen bas.

3.2 Linjära avbildningar

Vi de�nierade i Ekv. (2.16) vad som menas med att en avbildning T : V → W mellan tvåvektorrum V och W över kroppen K är linjär. Utskrivet i detalj är alltså T linjär om

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y), ∀α, β ∈ K, x, y ∈ V. (3.8)

3.2.1 Koordinatavbildingar med avseende på en bas

Låt u1, . . . , un vara en bas i vektorrumet V . Då existerar för varje x i V unika x1, . . . , xn i Ksådana att

x = x1u1 + . . .+ xnun. (3.9)

13 Linjär Algebra

Skalärlistan x1, . . . , xn kallas då koordinaterna för x i basen U = {u1, . . . , un}. Om e1, . . . , enär standardbasen i Kn så kan vi de�niera den s.k. koordinatavbildningen

V 3 x = x1u1 + . . .+ xnunU7→ x1e1 + . . . xnen =

x1...xn

∈ Kn. (3.10)

Uppenbarligen är U en linjär avbildning från V till Kn som också är en bijektion.

Övning 6. Veri�era att koordinatavbildningen är en linjär bijektion.

Övning 7. Visa att en linjär bijektion har en linjär invers.

3.2.2 Matrisrepresentationen av en avbildning relativt baser

Låt T : V → W vara linjär och antag att A = {a1, . . . , an} är en bas för V samt att B ={b1, . . . , bm} är en bas för W . De�niera koordinatavbildningarna

V 3 x = x1a1 + . . .+ xnanA7−→ x1e1 + . . .+ xnen ∈ Kn (3.11)

W 3 y = y1b1 + . . .+ ymbmB7−→ y1e1 + . . .+ ymem ∈ Km (3.12)

Notera den något olämpliga notationen, då e1, . . . , en betecknar standardbasen i Kn oche1, . . . , em standardbasen i Km, men vi får vara lite toleranta och förse oss med en kontextuellspråksyn. Vi vill nu �nna en linjär avbildning S : Kn → Km så att diagrammet i Fig. 3.1kommuterar.

ak) ++

Q

��

V

A

��

T // W

B

��

T (ak)k

ek � 33Kn S // Km S(ek)

Figur 3.1: De�nition av avbildningen S i termer av T och koordinatavbildningar

Detta går, ty A och B är ju linjära och bijektioner, dvs har linjära inverser. Därför gäller attS = B ◦ T ◦ A−1 och T = B−1 ◦ S ◦ A, där A−1(x1e1 + . . . + xnen) = x1a1 + . . . + xnan ochB−1(y1e1 + . . .+ ymem) = y1b1 + . . .+ ymbm. Då ser vi att

S(ek) = (B ◦ T )(ak) = B(T (ak)) (3.13)

och om T (ak) = α1kb1 + α2kb2 + . . .+ αmkbm så får vi

S(ek) = α1ke1 + α2ke2 + . . .+ αmkek =

α1k

α2k

...αmk

. (3.14)

Men då kan S representeras med matrisen M =

α11 . . . α1n

...αm1 . . . αmn

av format m × n, i den

meningen att S(ek) = M · ek där punkten i högerledet betecknar matrismultiplikation, dvs

S(x) = Mx, (3.15)


om x ∈ Kn.

Observation 3. Mek är k-te kolumnen i matrisen M .

3.2.3 Projektioner

En linjär avbildning P : V → V från vektorrummet V till sig själv kallas en projektion omP ◦ P = P . Ibland kallas P också för en idempotent om P 2 = P .

Observation 4. Om P 2 = P så är id− P också en projektion och

Im(P ) = ker(id− P ), ker(P ) = Im(id− P ), (3.16)

ty (id − P ) ◦ (id − P ) = id − P − P + P 2 = id − P och (id − P )x = 0 ⇔ x = P (x) samtP (x) = 0⇔ x = x− Px = (id− P )x.

Följande resultat är enkelt, men användbart.

Om M är ett delrum i ett ändligtdimensionellt vektorrum V så existerar en projektionP : V → V sådan att Im(P ) = M . Vi säger att P är en projektion på M .

Sats 6.

Bevis. Låt u1, . . . , um vara en bas för M och välj um+1, . . . , un så att u1, . . . , un är en basför V (att detta är möjligt ges som en övning för läsaren). Varje x i V kan skrivas unikt somx = x1u1 + . . .+ xmum + . . .+ xnun (där x1, . . . , xn är koordinaterna för x i basen u1, . . . , un).De�niera nu P : V → V genom

P (x) = x1u1 + . . .+ xmum (3.17)

Uppenbarligen är P linjär och

P ◦ P (x) = P (x1u1 + . . .+ xmum) = x1u1 + . . .+ xmum, (3.18)

dvs P ◦ P = P Dessutom ser vi att Im(P ) = M , varför satsen är visad.

En mental bild för satsen ges i Figur 3.2. Ett av de mest centrala resultaten i linjär algebra är

Om V och W är ändligtdimensionella vektorrum över K och T : V → W är en linjäravbildning så är dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(Im(T )).

Sats 7 (Dimensionssatsen).

Bevis. Låt {a1, . . . , ak} vara en bas för ker(T ). Utvidga denna till en bas {a1, . . . , ak, ak+1, . . . , an}för hela V . Då spänner vektorerna T (ak+1), . . . , T (an) naturligtvis upp Im(T ). Vi ska nu visa attde dessutom är linjärt oberoende och därmed en bas för Im(T ).

Så antag λk+1T (ak+1) + . . .+ λnT (an) = 0

⇒ T (λk+1ak+1 + . . .+ λnan) = 0 (3.19)

⇒ λk+1ak+1 + . . .+ λnan ∈ ker(T ) (3.20)

⇒ λk+1 = . . . = λn = 0, (3.21)

15 Linjär Algebra

ker(P )=Im(id−P )

un•��

um+1 •��

��

x•

��

V

0•

u1•

u2•

Px•

um• M = Im(P )

Figur 3.2: Mental bild för Sats 6.

eftersom a1, . . . , ak ju är bas för ker(T ) och a1, . . . , an är linjärt oberoende. Således har vi visatatt

dim(ker(T )) + dim(Im(T )) = k + (n− k) = n = dim(V ) (3.22)

Observation 5. W behöver inte ha ändlig dimension.

En mental bild för satsen ges i �gur 3.3.

VT //�

�

W

an •<

<<<<<<<<<<

<<<<<<<<<... •;

;;;;;;;;;;

;;;;;;;;;

ak+1 •9

9999999999

999999999 • Tan

ak •/

////////////////

///////////////• ...

... •7

77777777777

7777777777 • Tak+1

a2 •E

EEEEEEEE

EEEEEEEa1 •R

RRRRRRRRRRRRR

0 • • 0

Figur 3.3: Mental bild för Sats 7.

Övning 8. Använd bevisidén i dimensionssatsen för att visa följande resultat: låt A : X → Yoch B : X → Z vara linjära avbildingar där X,Y och Z är ändligtdimensionella vektorrum.Antag dessutom att ker(A) ⊂ ker(B). Visa att det existerar någon linjär C : Y → Z sådan attB = C ◦A, dvs så att diagrammet i Figur 3.4 kommuterar. En ledning ges i Figur 3.5.


XA //

B @@@@@@@ Y

C

��Z

Figur 3.4: Kommuterande diagram i Övning 8.

Y XAoo B // Z•�

��

��

��0

00000000000000

0000000000000•�

��

��

��0

00000000000000

0000000000000•�

��

��

��0

00000000000000

0000000000000• •�

��

��0

00000000000000

0000000000000• •�

��

��4

444444444444

44444444444• •�

��

��;

;;;;;;;;;

;;;;;;;; •• •w

wwwwwwww

wwwwwwwG

GGGGGGGG

GGGGGGG •• •k

kkkkkkkkkkkkk S

SSSSSSSSSSSSS •

• • •0 0 0

Figur 3.5: Ledning till Övning 8.

3.3 Multilinjära avbildningar

Låt V1, V2, . . . , Vm och W vara vektorrum över K. Den kartesiska produkten V1× . . .×Vm bestårav alla listor på formen (x1, . . . , xm) där xi ∈ Vi.

En avbildning

M :V1 × . . .× Vm →W (3.23)

(x1, . . . , xm) 7→M(x1, . . . , xm) (3.24)

kallas multilinjär om för varje xj ∈ Vj , j 6= i avbildningen Vi 3 xi 7→M(x1, . . . , xi, . . . , xm) ∈Wär linjär. Om m = 2 kallas en multilinjär avbildning M för bilinjär.

3.4 Alternerande avbildningar

En avbildningA : V × V × . . .× V →W (3.25)

som byter tecken då två variabler xi och xj (i 6= j) byter plats kallas alternerande, dvs omA(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xm) = −A(x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xm).

Övning 9. Visa att om A : V m → W är multilinjär så är A alternerande precis om den blirnoll då två variabler är lika.

17 Linjär Algebra

Övning 10. Låt A : V m → W vara alternerande och π en permutation av {1, 2, . . . ,m}. Visaatt A(xπ(1), . . . , xπ(m)) = (sgn π)A(x1, . . . , xm), där π:s signatur, sgn π, är −1 om π är uddaoch +1 om π är jämn.

3.4.1 Alternerande multilinjära avbildningar

Låt V vara ett n-dimensionellt vektorrum över K och låt

V n 3 (x1, . . . , xn) 7→ D(x1, . . . , xn) ∈W (3.26)

vara en multilinjär alternerande avbildning. Tag e1, e2, . . . , en som en bas för V . Varje xj ∈ Vkan då skrivas som en linjärkombination av basvektorerna

xj = α1je1 + . . .+ αnjen =

n∑kj=1

αkjjekj (3.27)

Låt A beteckna n× n-matrisen [αij ]. Av multilinjariteten följer att

D(x1, . . . , xn) =

n∑k1=1

. . .

n∑kn=1

αk11 · . . . · αknnD(ek1 , . . . , ekn) (3.28)

Men D(ek1 , . . . , ekn) = 0 om två av eki :na är lika. Således behöver vi endast summera över de(k1, . . . , kn) som är en permutation π av (1, 2, . . . , n). Därav följer att

D(x1, . . . , xn) =∑π∈Sn

(sgn π)απ(1)1 · . . . · απ(n)nD(e1, . . . , en), (3.29)

där Sn betecknar mängden av alla permutationer av 1, . . . , n. Således är

D(x1, . . . , xn) = det(A)D(e1, . . . , en) (3.30)

om vi de�nierar determinanten, det(A) , av matrisen A genom

det(A) =∑π∈Sn

(sgn π)απ(1)1 · . . . · απ(n)n (3.31)

En alternerande multilinjär avbildning som ovan är alltså helt bestämd av dess värde på(e1, . . . , en). Vi får nu ett enkelt bevis för att determinanten av en produkt är produkten avdeterminanterna.

Om A och B är n× n-matriser så är det(AB) = (det(A)) · (det(B)).

Sats 8.

Bevis. Låt b1, b2, . . . , bn beteckna kolonnerna i B. Då ser vi att det(AB) = det([Ab1, . . . , Abn])är en alternerande multilinjär avbildning av b1, . . . , bn. På samma sätt är det(A)· det(B) al-ternerande och multilinjär i b1, . . . , bn. Men alternerande multilinjära avbildningar visades juvara unikt bestämda av deras värden på baslistan e1, . . . , en, som vi låter vara standardbasen iKn. Således räcker det att visa satsen i fallet B = [e1, . . . , en] = I, då den ju är trivial.


3.4.2 Cramers regel

Låt A vara en n × n-matris med kolonnerna a1, a2, . . . , an och låt b ∈ Kn. Antag vi vill lösaekvationssystemet

Ax = b, för x i Kn (3.32)

Men Ax = A(x1e1 + . . .+ xnen) = x1A(e1) + . . .+ xnA(en) = x1a1 + . . .+ xnan = b medför att

det[x1a1 + . . .+ xnan, a2, a3, . . . , an] = det[b, a2, a3, . . . , an] (3.33)

Den alternerande multilinjariteten ger då att

x1det[a1, a2, . . . , an] = det[b, a2, . . . , an] (3.34)

På samma sätt behandlas x2, . . . , xn, så vi ser att vi får formler för x1, . . . , xn om det(A) 6= 0.Detta kallas Cramers regel.

3.5 Adjugatet till en matris

Låt A vara en n×n-matris med element i en kropp K (R eller Q eller C tex.). Om elementet pårad i, kolonn j är aij så är

det(A) =∑π∈Sn

(sgnπ)aπ(1),1 . . . aπ(n),n. (3.35)

Fixera ett t ∈ {1, 2, . . . , n}. Då är

det(A) =

n∑s=1

∑π∈Sn, π(t)=s

(sgnπ)aπ(1),1 . . . as,t . . . aπ(n),n

(3.36)

=

n∑s=1

as,t

∑π∈Sn, π(t)=s

(sgnπ)aπ(1),1 . . . as,t . . . aπ(n),n

, (3.37)

där as,t betyder att faktorn as,t strukits. Sätt nu

Ct,s =∑

π∈Sn, π(t)=s

(sgnπ)aπ(1),1 . . . as,t . . . aπ(n),n, (3.38)

så har vi att

det(A) =

n∑s=1

Ct,sas,t (3.39)

Vi noterar att Ct,s endast beror av matrisen A:s element utanför kolonn t och utanför rad s.De�niera nu adjugatet Aadj till A genom

(Aadj

)ij

= Cij . Låt nu t′ 6= t och beteckna med A′

den matris vi får om den t:te kolonnen i A ersätts med den t′:te kolonen i A så att två kolonneri A blir lika och följdaktligen det(A′) = 0. Om a′ij betecknar elementet på rad i och kolonn j iA′, så har vi alltså att aij = a′ij om j 6= t och a′i,t = ai,t′ = a′i,t′ . Således får vi att C

′t,s = Ct,s∀s,

och attn∑s=1

Ct,sas,t′ =

n∑s=1

C ′t,sa′s,t = det(A′) = 0 (3.40)

19 Linjär Algebra

Vi har alltså visat att AadjA = (det(A))I. Vi lämnar som övning att veri�era att även AAadj =(det(A))I. Vi observerar också att elementen i Aadj är summor av (n− 1)-ställiga produkter avelementen i A.

Vi har således visat

Till varje kvadratisk matris A över en kommutativ ring R existerar en kvadratisk matrisAadj av samma format som A och vars element är summor av (n−1)-ställiga produkterav elementen i A och som uppfyller

AAadj = AadjA = (det(A))I, (3.41)

där I betecknar enhetsmatrisen.

Sats 9.

Vi får nu ett elegant bevis av den berömda

Låt A vara en n×n-matris över en kommutativ ring R och de�niera dess karaktäristiskapolynom

PA(t) = det(A− tI) = p0 + p1t+ p2t2 + . . .+ pnt

n, (3.42)

där pi ∈ R och pn = (−1)n. Då är

PA(A) = p0I + p1A+ p2A2 + . . .+ pnA

n = 0. (3.43)

Sats 10 (Cayley-Hamiltons sats).

Bevis. (A − tI)adj är en n × n-matris vars element är polynom i t av grad högst n − 1 medkoe�cienter som är summor av (n− 1)-ställiga produkter av elementen i A och som uppfyller

(A− tI)adj(A− tI) = PA(t)I. (3.44)

Men då existerar n× n-matriser A0, . . . , An−1 sådana att

(A− tI)adj = A0 + tA1 + t2A2 + . . .+ tn−1An−1 (3.45)

Alltså har vi

(A0 + tA1 + t2A2 + . . .+ tn−1An−1)(A− tI) = p0I + p1tI + . . .+ pntnI (3.46)

Vi identi�erar koe�cienter och får då

t0 : A0A = p0I ⇒ p0I = A0At1 : −A0 +A1A = p1I ⇒ p1A = −A0A+A1A

2

t2 : −A1 +A2A = p2I ⇒ p2A2 = −A1A

2 +A2A3

...tn−1 : −An−2 +An−1A = pn−1I ⇒ pn−1A

n−1 = −An−2An−1 +An−1An

tn : −An−1 = pnI ⇒ pnAn = −An−1An

Genom att addera ekvationerna till höger och beakta kancellationen fås p0I+p1A+. . .+pnAn = 0

som visar satsen.


KnTA // Kn

V

A

OO

B

��

T // V

A

OO

B

��Kn

TB //

C=A◦B−1

>>

Kn

A◦B−1=C

``

Figur 3.6: Koordinatavbildningar för Kap. 3.6.

3.6 Determinanten för en linjär avbildning

Låt T : V → V vara en linjär avbildning där V är ett ändligtdimensionellt vektorrum överkroppen K. Vi ska nu visa att det är möjligt att de�niera determinanten av T trots att T inteär en matris.

Låt A = {a1, . . . , an} och B = {b1, . . . , bn} vara två baser för V med motsvarande koordi-natavbildningar

V 3 x = x1a1 + . . .+ xnanA7−→ x1e1 + . . .+ xnen ∈ Kn (3.47)

ochV 3 y = y1b1 + . . .+ ynbn

B7−→ y1e1 + . . .+ ynen ∈ Kn (3.48)

där e1, . . . , en är standardbasen i Kn. Låt [TA], [TB ] och [C] vara de n×n-matriser som uppfyllerTA(x) = [TA]x, TB(x) = [TB ]x, C(x) = [C]x, som i Fig. 3.6. Då har vi att

[TB ] = [C]−1[TA][C] (3.49)

och således

det([TB ]) = det([C])−1det([TA])det([C]) = det([C])−1det([C])det([TA]) (3.50)

= det([C]−1[C]

)det([TA]) = det(I) · det([TA]) = det([TA]). (3.51)

Det betyder att matrisrepresentationerna [TA] och [TB ] för avbildningen T i baserna A och Brespektive har samma determinant. Detta gemensamma värde de�nierar vi som determinantenför T , dvs

det(T )def= det([TA]) (3.52)

Vi får då också att en linjär avbildning T : V → V har ett karakteristiskt polynom PT (t) =det(T − t · id). Om dim(V ) = n så är deg(PT (t)) = n.

3.7 Egenvärden och egenvektorer

3.7.1 Några beteckningar och konventioner

Om inget annat anges så avses med notationen T : V →W eller V 3 x 7→ T (x) ∈W alltid att Tär linjär och att V och W är ändligtdimensionella vektorrum över någon kropp K, som typisktär R eller C.

Om M ⊆ V så de�nierar viT (M) = {T (x) : x ∈M} (3.53)

21 Linjär Algebra

Vi kommer också ibland att identi�era en linjär avbilding T : Kn → Km med matrisrepresenta-tionen för T i standardbaserna, om ingen risk för missförstånd uppstår. Om E och F är delrumi ett vektorrum V så inför vi också notationen E + F enligt

E + F = {x+ y : x ∈ E, y ∈ F}. (3.54)

3.7.2 Invarianta delrum

Ett delrum E i V säges vara invariant under T : V → V om T (E) ⊆ E.

De�nition 12.

En nollskild vektor e ∈ V kallas en egenvektor till T : V → V om det existerar ett λ ∈ K sådantatt Te = λe. Talet λ kallas för ett egenvärde till T hörande till egenvektorn e. Då har vi alltsåatt 0 6= e ∈ ker(T −λ · id) som ger att det(T −λ · id) = PT (λ) = 0. Omvänt, om λ är nollställe tillT :s karakteristiska polynom PT (t) så existerar 0 6= e ∈ ker(T − λ · id) som innebär att Te = λe.

Spektrum för en avbildning T : V → V de�nieras av spec(T ) = {λ ∈ K : PT (λ) = 0}och egenrummet Eλ hörande till λ ∈ spec(T ) : Eλ = ker(T − λid)

De�nition 13.

3.7.3 Triangulering av avbildningar

Om T : V → V och K = C så existerar en följd delrum 0 = M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mn−1 ⊂Mn = V sådana att dim(Mj) = j och T (Mj) ⊂Mj för j = 0, 1, . . . , n.

Sats 11.

Bevis. Av algebrans fundamentalsats existerar λ1 ∈ C sådan att PT (λ1) = det(T − λ1id) = 0och nollskild e1 i V sådan att Te1 = λ1e1. Låt P1 vara någon projektion på E1 = Ce1 och sättF1 = ker(P1) = Im(id− P1).

Betrakta nu avbildningen T1 de�nierad av F1 3 x 7→ Tx − P1Tx = T1x ∈ F1. Då existerarλ2 ∈ C och 0 6= e2 ∈ F1 sådana att T1e2 = λ2e2. Men då får vi Te2 = P1Te2 + λ2e2 ∈ E2 =Ce1 + Ce2. Vi har alltså att dim(E2) = 2, T (E2) ⊆ E2.

Vi går nu fram induktivt och antar att vi funnit nollskilda E1 ⊂ E2 ⊂ . . . ⊂ Ek sådanaatt T (ej) ⊆ Ej och dim(Ej) = j för j = 1, 2, . . . , k. Låt Pk vara en projektion på Ek och låtFk = ker(Pk) = Im(id − Pk). De�niera Tk genom Fk 3 x 7→ Tx − PkTx ∈ Fk. Som ovan får viatt det existerar λk+1 i C och nollskild ek+1 ∈ V sådan att Tkek+1 = λk+1ek+1 som innebär att

Tek+1 = PkTek+1 + λk+1ek+1 ∈ Ek + Cek+1 = Ek+1. (3.55)

Men då är Ek ⊂ Ek+1 och dim(Ek+1) = k+ 1. Vidare är T (Ek+1) ⊆ Ek+1 som visar satsen.

Övning 11. Visa att matrisrepresentationen för T i basen e1, . . . , en i beviset ovan ges av enuppåttriangulär matris.


3.7.4 Diagonalisering av avbildningar

En linjär avbildning med en bas av egenvektorer kallas diagonaliserbar. Namnet kommer avatt om u1, . . . , un är en bas för V sådan att Tuj = λjuj för λj ∈ K och T : V → V så harmatrisrepresentationen för T i denna bas formen

D =

λ1

λ2. . .

λn

(3.56)

med nollor utanför diagonalen. Detta ser vi i Fig. 3.7.

uj1 ''

R

��

V

��

T // V

��

T (uj) = λjujj

ej 77Kn D // Kn λjej

Figur 3.7: Diagonaliseringsavbildning.

Som ett första resultat har vi

Om T : V → V har egenvektorer u1, . . . , un hörande till de distinkta egenvärdenaλ1, . . . , λn respektive, så är u1, . . . , un linjärt oberoende.

Sats 12.

Bevis. Antag motsatsen. Av alla linjärkombinationer µ1u1 + . . .+µnun = 0 där inte alla µ:na ärnoll måste det �nnas en som har ett minimalt antal nollskilda µi:n. Genom eventuell omnumreringav u1, . . . , un kan vi anta att

µ1u1 + . . .+ µmum = 0 (3.57)

är en sådan. Då följer att 2 ≤ m ≤ n och att alla µ:na är nollskilda.Om (3.57) multipliceras med λ1 får vi

µ1λ1u1 + . . .+ µmλ1um = 0. (3.58)

Om T verkar på (3.57) får vi dessutom, eftersom Tuj = λjuj , att

µ1λ1u1 + . . .+ µmλmum = 0. (3.59)

Om nu (3.59) subtraheras från (3.58) fås

µ2(λ1 − λ2)u2 + . . .+ µm(λ1 − λm)um = 0. (3.60)

Detta är en linjärkombination med färre än m nollskilda koe�cienter, varför minimaliteten hosm ger att

µ2(λ1 − λ2) = . . . = µm(λ1 − λm) = 0. (3.61)

Men λ1 − λj 6= 0 för j 6= 1, enligt hypotesen, så vi har att µ2 = . . . = µm = 0. Detta är enmotsägelse som visar satsen.

23 Linjär Algebra

3.8 Annihilerande polynom

Låt K[t] beteckna mängden av polynom i symbolen t med koe�cienter i K.

Till varje ideal J i K[t] hör ett polynom p(t) i J sådant att J = {p(t)r(t) : r(t) ∈ K[t]}

Lemma 13.

Bevis. Låt p(t) vara ett nollskillt polynom i J av minimal grad. Om f(t) ∈ J så existerar avEuklides divisionsalgoritm q(t) och r(t) i K[t] sådana att f(t) = q(t)p(t) + r(t), där r(t) = 0eller deg(r(t)) < deg(p(t)). Men r(t) = f(t)− q(t)p(t) ∈ J och p(t) hade ju minimal grad i J , sår(t) = 0 som visar lemmat.

Låt nu T : V → V och bilda

J(T ) = {p(t) ∈ K[t] : p(T ) = 0} (3.62)

Man veri�erar lätt att J(T ) är ett ideal som bland annat, enligt Cayley-Hamiltons sats, innehållerkarakteristiska polynomet PT (t) = det(T − t id) för T .

Enligt lemmat existerar p0(t) ∈ K[t] sådant att varje polynom i J(T ) är en multipel av p0(t).Speciellt är p0(t) en faktor i PT (t). Polynomet p0(t) kallas för ett minimalpolynom till T .

Låt p(t) och q(t) vara icke-konstanta polynom i K[t] utan gemensam faktor (av positivgrad) sådana att p(T )q(T ) = 0, där T : V → V . Om L = ker(P (T )) ochM = ker(q(T ))så gäller att

(i) L+M = V ,

(ii) L ∩M = 0,

(iii) T (L) ⊆ L och T (M) ⊆M .

Sats 14.

Bevis. Av Euklides algoritm vet vi att det existerar f(t) och g(t) i K[t] sådana att 1 = f(t)p(t)+g(t)q(t) som ger I = f(T )p(T ) + g(T )q(T ).

(i) Tag x ∈ V ⇒ x = P (T )f(T )x + q(T )g(T )x. Sätt y = q(T )g(T )x och z = p(T )f(T )x. Dåhar vi att p(T )y = p(T )q(T )g(T )x = 0 och att q(T )z = q(T )p(T )f(T )x = 0 som visar atty ∈ ker(P (T )) = L och att z ∈ ker(q(T )) = M . Detta visar att L+M = V , dvs (i).

(ii) Antag x ∈ L∩M = ker(p(T ))∩ker(q(T )). Då har vi x = f(T )p(T )x+g(T )q(T )x = 0+0 = 0som visar att L ∩M = 0, dvs (ii).

(iii) Om x ∈ L så är p(T )x = 0. Men då gäller att T (P (T )x) = P (T )(Tx) = 0, dvs Tx ∈ L sominnebär att T (L) ⊆ L. Att T (M) ⊂M visas på samma sätt.


Övning 12. Låt med notationen från ovanstående sats TL och TM de�nieras enligt

L 3 x 7→ TL(x) = Tx ∈ L, (3.63)

M 3 x 7→ TM (x) = Tx ∈M. (3.64)

Visa attPT (t) = PTL

(t) · PTM(t), (3.65)

dvs att det(T − tidV ) = det(TL − tidL) · det(TM − tidM ).

3.9 Reducerade polynomet

Om p(t) ∈ K[t] och p′(t) är derivatan till p(t) så låter vi g(t) = gcd((p(t), p′(t)) beteckna störstagemensamma delaren till p(t) och p′(t). Vi minns att g(t) kan beräknas genom Euklides algoritmoch att det existerar polynom a(t) och b(t) i K[t] sådana att

g(t) = a(t)p(t) + b(t)p′(t). (3.66)

Vi de�nierar nu pred(t) som reduktionen av p(t), genom

pred(t) =p(t)

g(t), (3.67)

som är ett polynom då ju g(t) | p(t).

Övning 13. Visa att om K = C så har pred(t) samma nollställen som p(t), fast alla med enkelmultiplicitet.

Vi har nu följande karakterisering av diagonaliserbara avbildningar.

Låt V vara ett ändligtdimensionellt vektorrum över C (eller någon annan algebraisktsluten kropp). Då är T : V → V diagonaliserbar, dvs har bas av egenvektorer, precisom pTred

(T ) = 0, där pTred(t) betecknar reduktionen av det karakteristiska polynomet

pT till T .

Sats 15.

Bevis. Antag PT (t) = (λ1− t)m1 . . . (λk− t)mk , mi > 0 där λi 6= λj om i 6= j. Då ger föregåendeövning att

pTred(t) = (λ1 − t) . . . (λk − t). (3.68)

Vi antar först att T är diagonaliserbar med basen u1, . . . , un av egenvektorer. Låt u vara en avdessa. Då kan vi anta att Tu = λku och vi får

pTred(T )u = (λ1id− T ) . . . (λku− Tu) = 0, (3.69)

som visar att pTred(T ) = 0, då ju u1, . . . , un bildar bas för V .

Vi antar nu, för att visa satsens andra riktning, att pTred= 0, dvs att

(λ1id− T ) . . . (λkid− T ) = 0. (3.70)

Låt nu Lj = ker(λj id − T ). Då ser vi, med en enkel itererad variant av ovanstående sats (14),att L1 +L2 + . . .+Lk = V och att om vj ∈ Lj och v1 + . . .+ vk = 0, så måste v1 = . . . = vk = 0(övning). Men detta innebär precis att T har en bas av egenvektorer.

25 Linjär Algebra

3.10 Struktursatsen för ändligt genererade moduler över

Euklidiska ringar

3.10.1 Välgrundade relationer

Låt ≺ vara en relation på en mängd X sådan att för varje icke-tom delmängd S av X existerarett s∗ ∈ S sådant att ∀x x ≺ s∗ ⇒ x 6∈ S. Vi säger att s∗ är ett minimalt element i S. Enrelation som har denna egenskap kallas välgrundad.

Om X = N och om x ≺ y är den vanliga ordningsrelationen x < y på N så vet vi att≺ är välgrundad. Detta brukar kallas induktionsaxiomet.

Exempel 12.

LåtX = K[x]r{0}, dvs. mängden av nollskilda polynom i variabeln xmed koe�cienteri kroppen K. Om f(x) och g(x) är två nollskilda polynom med graderna n och mrespektive, så de�nieras f(x) ≺ g(x) genom n < m. Detta är också en välgrundadrelation.

Exempel 13.

En ring R kallas euklidisk om det existerar en välgrundad relation ≺ på R r {0} sådan att∀s ∈ R r {0} ∀t ∈ R ∃q, q′, r, r′ ∈ R sådana att t = qs+ r = sq′ + r′, där r 6= 0⇒ r ≺ s ochr′ 6= 0⇒ r′ ≺ s.

Z och K[x] är euklidiska ringar.

Exempel 14.

Anmärkning 9. Vi kräver alltså inte att R ska vara kommutativ.

Låt nu M vara en R-modul. M kallas ändligt genererad om det existerar x1, x2, . . . , xm i Msådana att M = Rx1 + Rx2 + . . . + Rxm = {r1x1 + . . . + rmxm : ri ∈ R}. x1, . . . , xm kallas enminimal generator om m är minimalt. Vi säger då att M har rangen m.

Om M har rangen m och om R är en euklidisk ring så existerar x∗1, x∗2, . . . , x

∗m sådana

att

(i) M = Rx∗1 + . . .+Rx∗m.

(ii) Om r1x∗1 + . . .+ rmx

∗m = 0 så är r1x∗1 = . . . = rmx

∗m = 0.

Villkoren (1) och (2) brukar skrivas M = Rx∗1⊕. . .⊕Rx∗m.

Sats 16.


Bevis. Om m = 1 är satsen trivial så antag att satsen gäller för moduler över R med lägre rangänm. Låt S = {s ∈ Rr{0} : ∃s2, . . . , sm ∈ R och minimal generator x1, . . . , xm sådan att sx1+s2x2 + . . .+ smxm = 0}.

Om S = ∅ så gäller naturligtvis attM = Rx1⊕. . .⊕Rxm och vi är klara. Om däremot S 6=

∅ så väljer vi ett minimalt s∗ i S och s2, . . . , sm, x1 . . . , xm sådana att s∗x1+s2x2+. . .+smxm = 0.Vi har nu att

sj = s∗qj + rj , där rj 6= 0⇒ rj ≺ s∗, 2 ≤ j ≤ m (3.71)

⇒ s∗x1 + (s∗q2 + r2)x2 + . . .+ (s∗qm + rm)xm = 0 (3.72)

⇒ s∗(x1 + q2x2 + . . .+ qmxm) + r2x2 + . . . rmxm = 0. (3.73)

De�niera x∗1 = x1 + q2x2 + . . . qmxm. Eftersom x1 = x∗1 − q2x2 − . . . − qmxm så ser vi attx∗1, x2 . . . , xm också är en minimal generator. Av minimaliteten hos s∗ följer då att r2 = . . . rm =0, dvs. att s∗x∗1 = 0. Vi ska nu visa att M = Rx∗1

⊕M ′, där M ′ = Rx2 + . . .+Rxm. Antag att

t1x∗1 + t2x2 + . . . tmxm = 0. Vi måste alltså veri�era att t1x∗1 = 0, men t1 kan skrivas som

t1 = qs∗ + r, där r 6= 0⇒ r ≺ s∗ (3.74)

⇒ (qs∗ + r)x∗1 + t2x2 + . . . tmxm = 0 (3.75)

⇒ rx∗1 + t2x2 + . . .+ tmxm = 0 eftersom s∗x∗1 = 0 (3.76)

⇒ r = 0⇒ t1x∗1 = qs∗x∗1 = 0. (3.77)

Således har vi visat att M = Rx∗1⊕M ′, men av induktionsantagandet kan M ′, som ju har

rangen m − 1, skrivas som M ′ = Rx2⊕. . .⊕Rx∗m, för lämpliga x∗2, . . . , x

∗m i M . Detta visar

satsen.

3.11 Strukturen hos linjära avbildningar på ändligtdimen-

sionella vektorrum

Låt T : V → V vara en linjär avbildning där V är ett d-dimensionellt vektorrum över kroppenK. Vi ska nu göra V till en modul över polynomringen K[x] genom att de�niera

K[x]× V → V (3.78)

(p(x), v) 7→ p(x)V = p(T )v, (3.79)

dvs. om p(x) = p0 + p1x + . . . + pnxn, pi ∈ K så är p(T )v = p0v + p1Tv + . . . + pnT

nv. Manveri�erar omedelbart att (p(x) + q(x))v = (p(T ) + q(T ))v = p(T )v + q(T )v = p(x)v + q(x)v ochatt p(x)(v + w) = p(T )(v + W ) = p(T )v + p(T )w = p(x)v + p(x)w. Detta visar att V kan sessom en modul över K[x].

Låt nu e1, e2 . . . ed vara en bas för V över kroppen K. Om v ∈ V kan vi alltså skriva v =λ1e1 + . . . λded för lämpliga λi ∈ K. Vi kan nu uppfatta λi som ett polynom i K[x] av grad nollsom pi(x) = λi. Då har vi att pi(x)ei = λiei, dvs. p1(x)e1 + . . . pd(x)ed = v. Detta visar attK[x]e1 + . . .K[x]ed = V , dvs. att V är ändligt genererad som K[x]-modul och har rang ≤ d. Vifår nu från struktursatsen ovan följande slutsats.

Det existerar v1, v2 . . . , vm ∈ V sådana att V = K[x]v1⊕. . .⊕K[x]vm.

Sats 17.

27 Linjär Algebra

Vi påminner om att ett delrum W av V kallas invariant under T om TW ⊆W .

Vj = K[x]vj är ett invariant delrum till V under T .

Lemma 18.

Bevis. Att Vj är ett delrum är uppenbart. Låt w ∈ Vj = K[x]vj . Då existerar polynom p(x)i K[x] sådant att w = p(x)vj = p(T )vj , men då har vi att Tw = Tp(T )vj = (xp(x))vj ∈ Vj .Således är Vj invariant under T ∀j = 1, 2 . . . ,m.

Det existerar ett dj < d sådan att vj , T vj , . . . T dj−1vj är en bas för Vj som vektorrumöver K.

Lemma 19.

Bevis. vj , T vj , . . . Tdvj är linjärt beroende. Låt dj vara det minsta positiva heltal sådant att

vj , . . . , Tdjvj är linjärt beroende. Detta ger T djvj = −λ0vj − λ1Tvj − . . . − λdj−1T dj−1vj , för

lämpliga λi ∈ K. Detta betyder att vj , T vj , . . . , T dj−1vj är en bas för Vj , j = 1, 2 . . . ,m.

Anmärkning 10. {T ivj : 0 ≤ i < dj , 0 < j ≤ m} är en bas för V .

Matrisrepresentationen för T på Vj i denna bas ser ut som

Aj =

0 0 0 . . . 0 −λ01 0 0 . . . 0 −λ10 1 0 . . . 0 −λ20 0 1 . . . 0 −λ3...

......

0 0 0 . . . 0 −λdj−20 0 0 . . . 1 −λdj−1

, (3.80)

där T djvj = −λ0vj − λ1vj − λdj−1T dj−vj . Matrisrepresentationen för T på hela V blir dåA1

A2

. . .Am

. (3.81)

Detta är så långt vi kan komma för godtyckliga korppar K.

Övning 14. Veri�era att det(kI −A) = tn − tn−1λn−1 − tn−2λn−2 − . . .− tλ− 1− λ0, om

Aj =

0 0 0 . . . 0 −λ01 0 0 . . . 0 −λ10 1 0 . . . 0 −λ2...

......

0 0 0 . . . 0 −λn−20 0 0 . . . 1 −λn−1

. (3.82)


3.12 Adjungerad avbildning

I detta avsnitt betecknar V ochW alltid ändligtdimensionella unitära rum. Inre produkter skrivsalltid ·, dvs x · y = 〈x, y〉.

För varje linjär L : V → C existerar en unik u i V sådan att ∀x ∈ V L(x) = x · u

Lemma 20.

Bevis. Sätt u = L(e1)e1 + . . . + L(en)en där e1, e2, . . . , en är en ON-bas för V . Då har viL(ej) = ej · u ∀j, så lemmat följer av linjäriteten.

För varje linjär T : V → W existerar en unik linjär T ∗ : W → V sådan att ∀x ∈V ∀y ∈W Tx · y = x · T ∗y

Sats 21.

Bevis. Fixera först ett y i W och de�niera den linjära avbildningen

V 3 x 7→ Tx · y ∈ C. (3.83)

Av lemmat ovan existerar en unik vektor S(y) ∈ V sådan att Tx ·y = x ·S(y) ∀x ∈ V . Om λ ∈ Cså har vi Tx · (λy) = x · S(λy) ∀x ∈ V , men Tx · (λy) = λTx · y = λx · S(y) = x · λS(y). Såledeshar vi att S(λy) = λS(y). Vidare, om z ∈W och Tx ·z = x ·S(z), så fås Tx · (y+z) = x ·S(y+z)och Tx · (y+ z) = Tx · y+ Tx · z = x ·S(y) + x ·S(z). Detta ger att S(y+ z) = S(y) +S(z), somvisar att S är linjär. Vi betecknar S med T ∗ och inser att den även är unik, enligt lemmat.

Anmärkning 11. T ∗ kallas adjunkten till T .

Övning 15. Låt λ ∈ C och antag att T1 och T2 tillhör Hom(V,W ). Veri�era att (λT1)∗ = λT ∗1och att (T1 + T2)∗ = T ∗1 + T ∗2

Övning 16. Låt den komplexa matrisen A vara matrisrepresentationen för T ∈ Hom(V,W )

relativt två ortonormala baser för V och W . Låt Atbeteckna den matris vi får genom att kom-

plexkonjugera alla elementen i A och därefter transponera resultatet. Visa att Atär matrisrep-

resentationen för T ∗ i de givna ON-baserna.

3.12.1 Dualitetsteori

Ortogonala komplementet A⊥ till en delmängd A av ett unitärt rum V de�nieras av

A⊥ = {x ∈ V : x · y = 0 ∀y ∈ A} (3.84)

Övning 17. Visa att V ⊥ = 0 = {0} och att(A⊥)⊥

= A, där A betecknar linjära höljet av A.

Följande resultat är centralt

29 Linjär Algebra

Om T ∈ Hom(V,W ) så gäller

i) ker(T ) = (Im(T ∗))⊥

ii) ker(T ∗) = (Im(T ))⊥

Sats 22.

Bevis. Vi veri�erar bara i) eftersom ii) visas på samma sätt. För varje x i V gäller att

x ∈ ker(T )⇔ Tx = 0⇔ Tx · y = 0 ∀y ∈W (3.85)

⇔ x · T ∗y = 0 ∀y ∈W ⇔ x ∈ (Im(T ∗))⊥. (3.86)

Övning 18. Låt T ∈ End(V ) och antag att Tx ·x = 0 ∀x ∈ V . Visa att T = 0. Ledning: noteraatt ∀x, y ∈ V gäller T (x+ y) · (x+ y) = T (x+ iy) · (x+ iy) = 0.

Övning 19. Visa att en linjär projektion P : V → V är ortogonal precis om endera av följandepåståenden stämmer.

(i) P = P ∗

(ii) ∀x ∈ V : Px · x = ‖Px‖2

Övning 20 (Shur). Visa att om T ∈ End(V ) så existerar en ON-bas e1, e2, . . . , en för V sådanatt TMk ⊆Mk, där Mk = Ce1 + . . .+ Cek, k = 1, 2, . . . ,m.

3.13 Normala, Hermitiska och unitära avbildningar

En avbildning T ∈ End(V ) kallas

• normal om TT ∗ = T ∗T .

• hermitisk om T = T ∗.

• unitär om TT ∗ = T ∗T = I.

De�nition 14.

Övning 21. Visa följande påståenden.

(i) T normal ⇔ ∀x ∈ V ‖Tx‖ = ‖T ∗x‖.

(ii) T normal ⇔ ker(T ) = ker(T ∗).

(iii) T normal och Tx = λx⇒ T ∗x = λx.

(iv) T normal, Tx = λx, Ty = µy & λ 6= µ⇒ x · y = 0.

(v) T unitär ⇔ ∀x ∈ V ‖Tx‖ = ‖x‖.

(vi) T unitär ⇔ ∀x, y ∈ V Tx · Ty = x · y.Vi är nu redo att visa


3.13.1 Spektralsatsen för normala avbildningar

En normal avbildning har en ortonormal bas av egenvektorer.

Sats 23.

Bevis. Låt T : V → V vara normal, dvs TT ∗ = T ∗T . Vi visar satsen med induktion överdimensionen hos V .

Om dim(V ) = 1 är satsen trivial eftersom varje bas för V duger. Antag satsen gäller för allanormala avbildningar på vektorrum av lägre dimension än n och antag att V är unitärt rum avdimension n > 1. Av algebrans fundamentalsats existerar λ i C och nollskild e i V sådana attTe = λe. Då följer att T ∗e = λe, ty |Te − λe| = |T ∗e − λe|, enligt observation 3 tidigare. OmE = Ce så har vi således att T (E) ⊆ E och T ∗(E) ⊆ E.

Vi påstår nu att även E⊥ är invariant under både T och T ∗. Ty om x ∈ E⊥ så är Tx · e =x · T ∗e = x · λe = 0, som visar att Tx ∈ E⊥. Vidare har vi att e · T ∗x = Te · x = λe · x = 0, somvisar att T ∗(E) ⊆ E.

Genom en smula eftertanke ser vi nu att T är en normal avbildning på E⊥ med den ärvda inreprodukten. Av induktionsantagandet existerar en ON-bas e1, . . . , en−1 för E⊥ av egenvektorer tillT . Tillsammans med e bildar dessa en ON-bas för V av egenvektorer till T , som visar satsen.

3.13.2 Singulärvärdesdekomposition

En praktiskt mycket användbar följd av spektralsatsen är den följande.

Antag T : V →W är linjär och antag att V ochW är unitära rum. Antag dessutom attk = dim(Im(T )). Då existerar en ON-bas e1, . . . , en i V och en ON-bas f1, . . . , fm i Wsamt strikt positiva tal p1, . . . , pk sådana att Tej = pjfj om j = 1, . . . , k och Tei = 0om i > k.

Sats 24.

Bevis. Betrakta diagrammet

VT //

S=T∗T AAAAAAAA W

T∗

��V

Då är S∗ = T ∗T ∗∗ = S, dvs symmetrisk och därmed normal.Spektralsatsen tillhandahåller sålunda en ON-bas e1, . . . , en av egenvektorer till S och λ1, . . . , λn

i C sådana att Sej = λjej . Men

|Tej |2 = Tej · Tej = Sej · ej = λj ≥ 0, ∀j = 1, . . . , n (3.87)

Låt oss numrera e:na så att λ1, . . . , λk > 0 och λi = 0 om i > k (Vi ska strax se att k =dim(Im(T ))). Vidare gäller också att

Tej · Tei = Sej · ei = λjej · ei = 0, om i 6= j (3.88)

31 Linjär Algebra

Införs nu

fj =Tej|Tej |

=Tej√λj, om 1 ≤ j ≤ k, (3.89)

så ser vi att f1, . . . , fk är ett ON-system. Detta kan utvidgas till en ON-bas f1, . . . , fk, . . . , fm förhelaW . Om vi sätter pj =

√λj då 1 ≤ j ≤ k ser vi att Tej = pjfj om 1 ≤ j ≤ k, och att Tei = 0

om i > k. Uppenbarligen gäller att f1, . . . , fk är en bas för Im(T ), varför k = dim(Im(T )). Dettafullbordar beviset.

Kapitel 4

Kvadratiska former

4.1 Kvadratiska former

Låt B : V ×V → K vara en symmetrisk bilinjär avbildning, där dim(V ) <∞ och K är en kroppsådan att 1 + 1 6= 0 (K får t.ex. inte vara Z2 = {0, 1}). Avbildningen Q : V → K de�nierad avQ(x) = B(x, x) kallas en kvadratisk form på V .

4.2 Kanonisk bas

En bas e1, . . . , en för V kallas kanonisk om Q(ei+ej) = q(ei)+ q(ej), ∀i 6= j. Detta är ekvivalentmed att

0 = B(ei + ej , ei + ej)−B(ei, ei)−B(ej , ej) (4.1)

= B(ei, ei) +B(ei, ej) +B(ej , ei) +B(ej , ej)−B(ei, ei)−B(ej , ej) (4.2)

= 2B(ei, ej)⇔ B(ei, ej) = 0, ∀i 6= j, (4.3)

eftersom B är symmetrisk och bilinjär.

4.2.1 Existens av kanonisk bas

En symmetrisk bilinjär B : V × V → K har en kanonisk bas.

Sats 25.

Bevis. Om B(x, x) = 0, ∀x ∈ V så följer att B(x + y, x + y) = B(x, x) + B(y, y) + 2B(x, y) =0 ⇒ B(x, y) = 0, ∀x, y ∈ V . Men då är alla baser för V kanoniska. Så antag ∃e 6= 0 i V så attB(e, e) 6= 0. De�niera W = {x ∈ V : B(x, e) = 0}. W är ett underrum i V . Om x ∈ W ∩Ke såär x = te, t ∈ K och B(te, e) = tB(e, e) = 0. Men då måste t = 0. Alltså har vi att W ∩Ke = 0.Speciellt följer då att dim(W ) < dim(V ).

Om x är godtycklig vektor i V så kan vi bilda

x = x−B(x, e)B(e, e)−1e. (4.4)

32

33 Linjär Algebra

Då har vi att x ∈ W eftersom B(x, e) = B(x, e) − B(x, e)B(e, e)−1B(e, e) = 0. Detta visar attx ∈W +Ke, dvs att V = W +Ke.

Vi använder nu induktion över dim(V ). Om dim(V ) = 1 är satsen trivial, så antag satsengäller för alla vektorrum av strikt lägre dimension än dim(V ) > 1. Men restriktionen av B påW ×W är ju också en bilinjär symmetrisk form, varför det existerar e1, . . . , en−1 som är kanoniskbas för W . Men då är e, e1, . . . , en−1 en kanonisk bas för V .

4.2.2 Sylvesters tröghetssats

Låt E och F vara kanoniska baser för det reella vektorrummet V , relativt den sym-metriska bilinjära formen B : V × V → R och anta att dim(V ) <∞. De�niera

E0 = {e ∈ E : B(e, e) = 0}, F 0 = {f ∈ F : B(f, f) = 0} (4.5)

E+ = {e ∈ E : B(e, e) > 0}, F+ = {f ∈ F : B(f, f) > 0} (4.6)

E− = {e ∈ E : B(e, e) < 0}, F− = {f ∈ F : B(f, f) < 0}. (4.7)

Då gäller att E0 och F 0 spänner upp samma underrum i V och att |E+| = |F+|,|E−| = |F−| (|A| betecknar antalet element i den ändliga mängden A).

Sats 26.

Bevis. Låt V ⊥ = {x ∈ V : B(x, y) = 0,∀y ∈ V }. Då måste linspan(E0) ⊂ V ⊥, eftersom E ären kanonisk bas. För att visa att V ⊥ ⊂ linspan(E0) tar vi ett godtyckligt x i V ⊥ och skriverx = x0 + x+ + x−, där x0,+,− ∈ linspan(E0,+,−). Men B(x, x+) = B(x+, x+) = 0⇒ x+ = 0 ochB(x, x−) = B(x−, x−) = 0 ⇒ x− = 0, så x = x0 som visar att V ⊥ = linspan(E0). På sammasätt fås att V ⊥ = linspan(F 0).

För att visa att |E+| = |F+| antar vi att |E+| < |F+|. Men då måste mängden E0 ∪ F+ ∪E− vara linjärt beroende. Då existerar således x0 ∈ linspan(E0), y+ ∈ linspan(F+), x− ∈linspan(E−), ej alla noll, sådana att x0 +y+ +x− = 0⇒ B(x0 +x−, x0 +x−) = B(−y+,−y+)⇒B(x−, x−) = B(y+, y+)⇒ x− = y+ = 0⇒ x0 = 0. Denna motsägelse visar att |E+| ≥ |F+|. Påmotsvarande sätt visas att |E+| ≤ |F+| som visar satsen.

4.3 Matrisrepresentation av kvadratiska former

En kvadratisk form på Rn kan uppfattas som ett homogent polynom i x1, . . . , xn av grad två.

q(x) = q(x1, . . . , xn) =∑i,j

qijxixj , (4.8)

där vi alltid kan välja qij = qji ∈ R. Om Q betecknar matrisen med element qij på rad i ochkolonn j så är QT = Q och

q(x) = xTQx = x ·Qx. (4.9)

Enligt spektralsatsen existerar då en ON-bas u1, . . . , un i Rn av egenvektorer till Q med egen-värden λ1, . . . , λn respektive, som alla är reella. Låt U = [u1, . . . , un] vara den ortogonala matris


vars j:te kolonn är uj . Då har vi, om x = x1e1 + . . .+ xnen = y1u1 + . . .+ ynun = Uy, att

q(x) = xTQx = (y1uT1 + . . .+ ynu

Tn )(y1λ1u1 + . . .+ ynλnun) = λ1y

21 + . . .+ λny

2n (4.10)

= yTDy = yTUTQUx, (4.11)

där D =

λ1 . . .λn

= UTQU eller Q = UDUT .

Vi säger att q är

• Positiv de�nit om q(x) ≥ 0,∀x ∈ Rn och om q(x) = 0⇒ x = 0.

• Negativ de�nit om q(x) ≤ 0,∀x ∈ Rn och om q(x) = 0⇒ x = 0.

• Positiv semide�nit om q(x) ≥ 0,∀x ∈ Rn och om ∃x 6= 0 : q(x) = 0.

• Negativ semide�nit om q(x) ≤ 0,∀x ∈ Rn och om ∃x 6= 0 : q(x) = 0.

• Inde�nit om ∃x och y i Rn sådana att q(x) > 0 och q(y) < 0.

Om vi har egenvärdena λ1, . . . , λn till Q så ser vi på formen

q(x) = xTQx = yTDy = λ1y21 + . . .+ λny

2n (4.12)

att q är

• Positiv de�nit om λi > 0,∀i.

• Negativ de�nit om λi < 0,∀i.

• Positiv semide�nit om λi ≥ 0,∀i och ∃j : λj = 0.

• Negativ semide�nit om λi ≤ 0,∀i och ∃j : λj = 0.

• Inde�nit om ∃i, j : λi > 0 och λj < 0.

Följande resultat är ofta användbart då en kvadratisk form ska karakteriseras då man inte klararav att �nna egenvärdena, som kan vara svårt om n ≥ 5.

Om Q är en reell symmetrisk n × n-matris och om Dk de�nieras som determinantenav matrisen [qij ]i,j≤k så är Q positiv de�nit precis om Dk > 0,∀k = 1, . . . , n.

Sats 27.

Bevis. Vi påminner om att en matris är positiv de�nit precis om hTQh > 0 för alla nollskildah i Rn. Detta är också ekvivalent med att alla egenvärden till Q är strikt positiva.

Antag först att Q är positivt de�nit. Betrakta delrummet Ek = linspan(e1, . . . , ek). Om0 6= h = h1e1 + . . . + hkek ∈ Ek så har vi hTQh =

∑ki,j=1 hiqijhj > 0. Detta betyder att den

matris vi får om vi stryker alla rader och kolonner i Q utom de k första är positiv de�nit. Mendå är alla egenvärden hos denna positiva och därmed dess determinant som ju är Dk.

Antag nu omvänt att Dk > 0,∀k ≤ n. Vi använder nu induktion över n och antar att satsenär visad för matriser av mindre format än n × n (trivialt för 1 × 1). Då är alltså Q positiv

35 Linjär Algebra

de�nit på En−1. Om Q inte är positiv de�nit måste minst två egenvärden till Q vara negativa(eller ett med algebraisk multiplicitet minst 2). Låt L vara ett två-dimensionellt delrum av Rnsom spänns upp av motsvarande egenvektorer. Eftersom dim(L) + dim(En−1) > n så existeraren nollskild h ∈ L ∩ En−1. Men då har vi en motsägelse eftersom h ∈ L ⇒ hTQh < 0 ochh ∈ En−1 ⇒ hTQh > 0.

Observation 6. Om D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, . . . så är Q negativ de�nit, ty då är ju −Q positivde�nit. I övriga fall, då Dn = det(Q) 6= 0, är Q inde�nit.

Kapitel 5

Diverse

5.1 Algebrans fundamentalsats av Gauss

Om f(z) = a0 + a1z + . . .+ anzn, ai ∈ C och an 6= 0, n > 0, så existerar z0 ∈ C sådant

att f(z0) = 0.

Sats 28.

Bevis. Antag motsatsen. Vi börjar med att observera att |f(z)| → ∞ då |z| → ∞. Då existerarett R > 0 sådant att |f(z)| ≥ |f(0)| om |z| > R. Vi noterar nu att z 7→ |f(z)| är kontinuerligoch således antar ett minimum på |z| ≤ R (ty {z ∈ C : |z| ≤ R} är sluten och begränsad och|f | är kontinuerlig där). Alltså existerar z0 sådant att |z0| ≤ R och |f(z0)| ≤ |f(z)| om |z| ≤ R.Eftersom vidare |f(z0)| ≤ |f(0)| ≤ |f(z)| om |z| ≥ R, så följer att

0 < |f(z0)| ≤ |f(z)|, ∀z ∈ C (5.1)

Detta var den analytiska delen av beviset. Genom att byta ut f(z) mot

g(z) = ((f(z0))−1f(z0 + z) (5.2)

kan vi utan inskränkning anta att z0 = 0 och f(0) = 1. Då kan vi skriva

f(z) = 1 + akzk + . . .+ anz

n, (5.3)

där k ≥ 1 och ak 6= 0. Välj nu ω ∈ C sådant att |ω| = 1 och så att akωk = −|ak|. Välj vidare εsådant att ε < 1 och εk|ak| < 1. Då har vi

1 ≤ |f(εω)| = |1− εk|ak|+ ak+1ωk+1εk+1 + . . .+ anω

nεn| (5.4)

≤ |1− εk|ak||+ εk+1(|ak+1|+ . . .+ |an|) (5.5)

= 1− εk|ak|+ εk+1(|ak+1|+ . . .+ |an|). (5.6)

⇒ |ak| ≤ ε(|ak+1|+ . . .+ |an|). (5.7)

Om vi låter ε→ 0 får vi motsägelsen att ak = 0.

36

kort om linjär algebra - mathematicsmath.mit.edu/~oscarmi/kort.pdf · 2019-07-17 · (ii)ge...

Documents