kursblogg med stikkord og læringsmålhome.hvl.no/ansatte/ahas/mat101/filer/kursblogg.pdf ·...
TRANSCRIPT
MAT101 Matematikk i Praksis
Kursblogg med stikkord og læringsmål
Det er viktig å komme i gang. Fristen for innleveringsoppgavene blir torsdagene kl. 14.00 iuke 36, 37, 39, 40, 41, 43, 44, 46 der 6 av 8 skal bli godkjente for å kunne ta eksamen ogde 2 siste må være godkjente.
Uke 34 - Kapittel 1.1-10Stikkord:1.1 Mengder, lukket og åpnet intervall1.2 Tallinjen og de reelle talleneReelle tall, gjeldende siffer, tall på standardform1.3 Regning med reelle tallRegler for potensledd1.4 Røtter1.5 Relativ økning og vekstfaktorVekstfaktor og vekstprosent (rentefot)1.6 Rasjonale og irrasjonale tall1.7 Polynomdivisjon1.8 Logiske slutninger1.9 Løsning av likninger1.10 Summetegn og geometriske rekker
Dette har vi lært i kapittel 1Generelt grunnlag
Tall og størrelser
Tall på standard form: a · 10±n
der 1≤ a < 10 og n= 0,1, 2, · · ·
MAT101 Matematikk i Praksis
Noen grunnleggende regneregler
a+ bc=
ac+
bc
−a+ b
c= −
ac−
bc
ab· c =
acbc
ab
: c =ab·
1c=
abc
a :bc= a ·
cb=
acb
abc
= a ·cb=
acb
abcd
=ab·
cd=
adbc
abc=
abc
Potensregler
am · an = am+n npam = amn
am
an= am−n a−n =
1an
(ab)n = an bn a−n = a1n
(an)m = anm a0 = 1
Vekstfaktor
En verdi endrer seg fra x0 til x1.1) Absolutt endring: x1 − x0,
2) Relativ endring:x1 − x0
x0
3) Vekstfakror:x1
x0
En verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv. ). Vekstfaktor er
da 1+p
100
Rentefot (p) Vekstfaktor
En verdi vokser med 25 % 1,25
En verdi synker med 25 % 1,58
En verdi vokser med 100 % 2
MAT101 Matematikk i Praksis
Hvis en verdi K0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsen-heter gitt ved:
K(n) = K0(1+p
100)n
Logiske slutninger
Et utsagn p kan ha sannhetsveriden 1(sann) eller 0 (usann).
Kunjuksjon p ∧ q og disjnuksjon p ∨ qp ∧ q er sann bare når både p og q er sanne.p ∨ q er usann bare når både p og q er usanne.Implikasjon p⇒ qp kalles premiss og q for konklusjon.Implikasjonen kan formuleres på mange måter:p impliserer q.p medfører q.p bare hvis q.Hvis p, så q.p er nødvendig betingelse for q ogq er tilstrekkelig betingelse for p.En implikasjon er alltid sann unntatt bare når sann premiss (sannhetsverdi 1) medførerusann konklusjon(sannhetsverdi 0).
Ekvivalens p⇔ qBiimplikasjonen p⇔ q (leses "hvis og bare hvis") er sann bare hvis begge utsagn p og q ersanne eller begge er usanne.
Andre gradsligninger
LIgning a 6= 0 Løsning
ax2 + bx + c = 0 x =−b± 3p
(b2 − 4ac)2a
ax2 + bx = 0 x = 0∨−ba
ax2 + c = 0 x = ±s
ca
MAT101 Matematikk i Praksis
Uke 35: Kapittel 1.11, 2.1-2.41.11 Plangeometri og koordinatsystem- Rette linjer (parallelle (a1 = a2 og lodrette linjer)- Avstander og litt om geometriske figurer- Trekanter og Pytagoras2.1 Funksjoner
- Definisjons- og verdimengder- Lineære funksjoner- 2degradsfunksjoner og parabler- Potensfunksjoner2.2 Invers funksjoner�Hvilke funksjoner er inverterbare og hvordan man finner inversfunksjonen?
- Monotonitet- strengt voksende/avtagende2.3 Lineær programmering2.4 Skifte av lineære skala
Funksjoner
En Funksjon f er en regel som tilordner et hvertelement, x , fra en mengde kalt definisjonsmengde,til et entydig bestemt element, y , i en mengdekalt verdimengde: y = f (x) der x ∈ Df og y ∈ Vf
Noen spesielle funksjoner
− Lineære funksjoner: y = ax + b,− Andre gradsfunksjoner funksjoner:
y = ax2 + bx + c der a 6= 0,
Polynom funksjoner:p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·+ an xn.
− Rasjonale funksjoner y =p(x)q(x)
der q(x) 6= 0,
− Eksponentialfunksjoner y = Cekx , der C 6= 0,− Logaritme funksjoner y = log x , y = ln x , · · · .
Lineære funksjoner
En punktsformel (et punkt (x0, y0) og stingsstallet, a, er kjent):
y = y0 + a(x − x0)
To punktsformel((x0, y0) og (x1, y1) er kjente):
y = y0 + a(x − x0) der a =y1 − y0
x1 − x0
MAT101 Matematikk i Praksis
Andre gradsfunksjoner
For å tegne grafen til f (x) = ax2 + bx + c ,finner man:
− Grafen smiler når a > 0 og er sur når a < 0.,
− Nullpunkt(ene): x =−b±
pb2 − 4ac
2a
− Symmetri linjen s =b
2a,
−For å bestemme bunnpunktet (a > 0 eller topppunktet (a < 0 er da: ( x= −b
2a, y =
f (−b
2a))
Inverse funksjoner
Anta f er en kontinuerlig funksjon definert på et intervall. Da har f en invers funksjon hvisog bare hvis den er en-entydig funksjon. En en-entydig funksjon er strengt voksende/avta-gende.
La f og g være to funksjoner. Vi sier at f og g er inverse funksjoner dersom: f (g(x)) = xfor alle x i definisjonsmengden, x ∈ Dg , g( f (x)) = x for alle x i definisjonsmengden, ogx ∈ Df . Df = Vg , Vf = Dg . Da er g(x) = f −1(x) og f (x) = g−1(x).
Skjæringssetningen
La f være kontinuerlig i [a, b]. Dersom funksjonsverdiene i endepunktene har forskjelligefortegn, har da ligningen f (x) = 0 minst ett nullpunkt i dette intervallet. Dersom f er itillegg monoton i intervallet, har f (x) = 0 kun ett nullpunkt i intervallet .
Lineær programmering
Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode for å bestemmeen måte å oppnå det beste resultatet (for eksempel maksimal profitt eller lavest kostnad) ien gitt matematisk modell for noen liste over krav representert som lineære sammenhenger.Bestem største eller minste verdien til målfunksjonen f (x , y) = c1 x + c2 y , under betingel-sene:
x ≥ 0; y ≥ 0
a1 x + b1 y ≤ c1
a2 x + b2 y ≤ c2
· · ·an x + bn y ≤ cn
MAT101 Matematikk i Praksis
- En ønsker å minimere eller å maksimere et mål.- En kan spesifisere målet som en lineær funksjon av spesifikke variable.- En kan spesifisere de tilgjengelige ressursene som ulikheter eller likheter på disse variab-lene.Hvis et problem tilfredsstiller de tre punktene over, kan det løses ved hjelp av lineær pro-grammering.
Skifte av lineær skala
Tenk at vi har to forskjellige linære skalaer og to par samsvarende verdier:u0 u u1
——————————————→ u-aksex0 x x1
——————————————→ x-akse
Omregningsformelen kan skrives som:
u− u0
u1 − u0=
x − x0
x1 − x0
Lage en felles plattform - Mye er nok kjent for mange fra før.Du må kunne et punktsformel og topunktsformel og tegne en rett linje.Prøv å lage egne notater, og skriv detaljene som du synes det er viktig.
MAT101 Matematikk i Praksis
Uke 36: Kapittel 3.1-3.5Kap. 3 Periodiske fenomen - Trigonometriske funksjoner3.1 Periodiske funksjoner. Sinus og cosinus
Vinkelmål, sin, cosinus, tangens og enhetssirkel, kjente vinkler3.2 Trigonometriske funksjoner
Å bruke enhetssirkel til å tegne grafen til sin, cos og tanÅ forklare sin, cos og tan til vinkelene −α, π−α, π+α, 2π−α.Fra sin/cos og trekanter til trigonometriske funksjoner- Periodiske funksjoner- Grader og
radianer- Enhetssirkelen- Formler for cos/sin- Odde og jamne funksjonerInverse trigonometriske funksjoner- Trekantsetninger- FormlikhetI hvilke intervaller er sin x, cos x og tan x inverterbare?Trigonometriske formler: enhetsformel, sin, cos og tan til u± vBruke u± v -formler til å sette opp trigonometriske formler for dobbel vinkel (2x).Trigonometriske ligninger
3.3 Noen setninger om trekanterArealsetning, sinussetning, cosinussetning
3.4 Harmoniske svingningerMiddelverdi, amplitude, sirkelfrekvens (vinkelfrekvens), akrofase (fasevinkel)
f (x) = C0 + C1 sin(ω(t − t0))
t0 er avstanden fra første nullpunkt til origo.
f (x) = C0 + C1 cos(ω(t − t0))
t0 er avstanden fra første nullpunkt til origo.
π2
π 3π2
2π−1
1
2
3
4
5
0
0 x
y1
π2
π 3π2
2π−1
1
2
3
4
5
0
0 x
y2
3.5 Omskriving av harmoniske svingningerOmskriving av harmoniske funksjoner- Polarkoordinater (neste side)3.6 Addisjon av harmoniske svingninger
MAT101 Matematikk i Praksis
Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r,θ ) til kartesiske koordinater(a, b):
(1)
a = r cosθ
b = r sinθ
r =p
a2 + b2
θ = tan−1(ba)
1. Trigonometri (trekantm ling)i er læren om forholdet mellom vinkler og sider i en tre-kant. Trigonometriske funksjoner er nyttige for modellering av periodiske fenomener,
2. Vinkelmål: To kjente mål for vinkel er grader(D) og Radianerr(R). Forholdet mellom
grader og radiane(absolutt vinkelmål) er:D
180o=
Rπ
Trigonometri i grader
3. Sinussetningen:a
sin A=
bsin B
=c
sin c
4. Cosinussetningen:a2 = b2 + c2 − 2bc cos Ab2 = a2 + c2 − 2ac cos Bc2 = a2 + b2 − 2ab cos C
5. Arealsetningen:
A=12
bc sin A=12
ac sin B =12
ab sinC
Trigonometri i radianer
6. Enhetssirkel :
MAT101 Matematikk i Praksis
7. Enhetsformel sin2 x + cos2 x = 1
8. Kjente vinkler:
9. Tangens: tan x =sin xcos x
10. Kvadranter
1. kv. 2. kv. 3.kv. 4.kv.
sin + + − −
cos + − − +
tan + − + −
11. Komplementære- og supplementvinkler
For en vinkel 0≤ θ ≤π
2gjelder det:
sin(−θ ) = − sin(θ ) cos(−θ ) = − cos(θ )
sin(π− θ ) = sin(θ ) cos(π− θ ) = − cos(θ )
12. Formler for summen og differansen mellom to vinkler:sin(α± β) = sin(α) cos(β)± cos(α) sin(β)cos(α± β) = cos(α) cos(β)∓ sin(α) sin(β)
tan(α± β) =tan(α)± tan(β)
1− tan(α) tan(β)
13. Dobbelt vinkelformler:
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
cos(2α) = 2cos2(α)− 1= 1− 2 sin2α
14. Kjente vinkler
0π
6π
4π
3π
2π
3π2
2π
sinα 012
p2
2
p3
21 0 −1 0
cosα 1
p3
2
p2
212
0 −1 0 1
tanα 0
p3
31
p3 ∞ 0 −∞ 0
MAT101 Matematikk i Praksis
15. Trigonometriske funksjoner er ikke injektiv(en-entydig) i intervallet [0,2π]. For å kun-ne definere inverse funksjoner må vi definere en del av definisjonsmengden slik atfunksjonen er injektiv(en-entydig). Her er det et oversikt over intervallet der funksjo-ner er injektive:
Injektivitet
f (x) Df
sin(x) [−π2
,π
2]
cos(x) [0,π]
tan(x) (−π2
,π
2)
cot(x) (0,π)
16. Her er det grafen til:y = sin−1(x) , y = cos−1(x),
y = tan−1(x) og y = cot−1(x), der cot x =1
tan x
MAT101 Matematikk i Praksis
17. Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r,θ ) til kartesiske koordinater(a, b):
a = r cosθ
b = r sinθ
r =p
a2 + b2
θ = tan−1(ba)
18. Omregning fra kartesiske koordinater (a, b) til polarkoordinater(r,θ ):
r =p
a2 + b2 og θ = tan−1(ba) .
19. omskriving av a cos(ωt) + bsin(ωt) på formen:C cosω(t − t0) der 0≤ t0 < 2π
C =p
a2 + b2 og tanωt0 =ba
a = 0, b > 0 t0 =1ω(π
2)
a = 0, b < 0 t0 =1ω(3π2)
a > 0, b > 0 t0 =1ω
tan−1(ba)
a < 0, b > 0 t0 =1ω(π− tan−1(
ba)
a > 0, b = 0 t0 = 0
a < 0, b = 0 t0 =1ωπ
a < 0, b < 0 t0 =1ω(π+ tan−1(
ba)
a > 0, b < 0 t0 =1ω(2π− tan−1(
ba)
20. Grafen til funksjonen y = C+Asinω(t− t0) kan tegnes ved hjelp av C (likevektslinjen:y = C) A(amplitude) , ω (vinkelfrekvens, sirkelfrekvens) og t0 (akrofase). Perioden
T er T =2πω
.
Bemerk at :• Akrofasen t0 er avstanden fra:
i) første nullpunkt til y-aksen for:
y = c + a sinω(t − t0)
ii) første topppunkt til y-aksen for:
y = c + a cosω(t − t0)
MAT101 Matematikk i Praksis
Her ser vi grafen til:
y(x) = 6+ 2 sinπ(x − 0,5) = 6− 2sin(πx)eller:
y(x) = 6+ 2 cosπ(x − 1)
• Akrofasen til y = C + Asin(ωt − t1) er t0 =t1
ω.
21. Gitt to harmoniske funksjoner: f (t) = C1cos(ωt −φ1) og g(t) = C2cos(ωt −φ2), derC1 ≥ 0 og C2 ≥ 0. Funksjonen f (t) + g(t) amplituden:
C2 = C21 + C2
2 + 2C1C2cos(φ1 −φ2)
Test deg selv:Sjekk at du klarer å tegne grafene til sin x , cos x , tan x , sin−1 x , cos−1 x , tan−1 x på egenhand ut å sjekke boken.Hvordan kan man omgjøre (a, b) til (r,θ ) polar når a, b eller begge er negative.
MAT101 Matematikk i Praksis
Uke 374. Kontinuitet og grenser
4.1 Begrepene kontinuitet og grenseEnsidige grenserKontinuitet
4.2 Beregning av grenser00 (faktorisering eller L’Hopitals’ regel)∞∞ (del telleren og nevneren med dominerende ledd)
4.3 Nullpunkter og ekstremalpunkterSkjæringssetningen (kan brukes til å undersøke om en ligning har minst en løsning på et
intervall: dersom f (a) · f (b)< 0, har ligningen f (x) = 0 minst en løsning i intervallet [a, b])Ekstremalverdisetningen4.4 Følger
Konvergens av tallfølger4.5 Rekker
Geometiske rekker og summenManipulasjon av rekker
Grenseverdi og kontinuitet
Grenseverdi beskriver en verdi funksjonærmer seg når x-verdi nærmer seg mot punktetx = a og betegnes ved lim
x→af (x) . Dersom denne verdien er et entydig bestemt tall når x
nærmer seg mot x = a fra begge sider, eksisterer grenseverdien.
limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x)
Dersom denne grenseverdien er uendelig eller ikke et bestemt tall, har funksjonen ingengrenseverdi i dette punktet. Når man skal bestemme hvordan en funksjon oppfører seg nårx går mot uendelig (horisonatal asymptote), regner man:
limx→∞
f (x)
• limx→a
f (x)g(x)
=00
Dersom limx→a
f (x)g(x) =
00 og f (x) og g(x) er polynom funksjoner, er det vanligvis telleren fakto-
riserbar med (x − a), (x −p
a) og i noen tilfeller med (p
x −p
a).Eksempel:
limx→+3
x2 − 9x − 3
=00= lim
x→+3
x2 − 9x − 3
= 0.
limx→−
p5
x2 − 5
x +p
5=
00= lim
x→+3
x2 − 9x − 3
= 0.
MAT101 Matematikk i Praksis
• limx→∞
f (x)g(x)
=∞∞
limx→∞
am xm + am−1 xm−1 + · · · a1 x + a0
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · b1 x + b0
= limx→+∞
am
bnxm−n =
0 hvis m< n,am
bnhvis m= n,
∞(ingen grense) hvis m> n
Eksempel:
limx→+∞
6x2 + 72x3 + 5x
= 0
limx→+∞
6x2 + 72x2 + 5x
= 3
limx→+∞
6x3 + 72x2 + 5x
=∞(ingen grense)
Kontinuitet
Hvis en funksjon f (x) er kontinuerlig i x = a, er grafen til funksjonen sammenhengen-de(glatt) i dette punktet. Dette innebærer at funksjonsverdi er like grenseverdien i dettepunktet:
f (a) = limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x)
Hvis funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i et intervall I, er funksjonen kontinuerlig iintervallet. Sammensetningen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige.For å undersøke om en oppdelt funksjon er kontinuerlig i et intervall, er det viktig å sjekkeom funksjonen er kontinuerlig i endepunktene i intervalllene der funksjon er definert.Asymptoter
En funksjon f (x) har en vertikal asymptote x = a når:
limx→a±
f (x) = ±∞
En rasjonalfunksjon kan ha vertikale asymptoter der nevneren har nullpunkt.
En funksjon f (x) har en horisontal asymptote y = b når:
limx→±∞
f (x) = b
Test deg selv:Definer grenseverdi- og kontinuitets-begrepetHva handler ensidige grenser om?
Kan du regne videre oppgaver med [00] [∞∞]
Formuler Skjæringssetningen (mellomverdi-setningen) og ekstremalverdisetningen.
MAT101 Matematikk i Praksis
Uke 38 - Eksponential og logaritme funksjoner
1) an · ax = ax+y
2) (ax)y = ax ·y
3) (ab)x = ax · bx
4) a−n = 1/an
5) a1/n = npa, npam = ( npa)m
Vi så på grenseverdierlim
x→+∞ax =∞ og lim
x→−∞ax = 0 der a > 1
limx→−∞
ax = 0 der a > 1 og limx→−∞
ax =∞ der a < 1
Potensfunksjoner
Potensfunksjoner kan skrives på formenf (x) = C xn der C , n er reelle tall og a > 0.
EksponentialfunksjonerEksponential funksjoner kan skrives på formenf (x) = Cax der grunntallet a > 0, eller på formen f (x) = Cekx .
Funksjonen f (x) = Cax er stigende når:C > 0 og a > 1 eller når C < 0 og 0< a < 1.
Funksjonen f (x) = Cax er synkende når:C < 0 og a > 1 eller når C > 0 og 0< a < 1.
Funksjonen f (x) = Cekx er:stigende når C og k har samme fortegn, det vil si enten k > 0 og C > 0 elller k < 0 og C < 0.synkende når C og k har motsatt fortegn, det vil si enten k < 0 og C > 0 elller k > 0 ogC < 0.
Logaritmer og logaritmiske funksjoner
Logaritmen av et tall er den eksponenten der annen fast verdi, den basen , må heves for åprodusere det tallet. For eksempel er logaritmen 1000 med basisen (grunntallet) 10 er 3,fordi 1000 er 10 opphøyd 3: 103 = 1000. Mer generelt:
y = ax ⇔ x = loga x , der a > 0.
MAT101 Matematikk i Praksis
Hvilket betyr logaritmiske funksjoner og eksponentialfunksjoner er inversfunksjoner. Somet resultat av f ( f −1(x)) = x får vi:
eln x = x ln(ex) = x
Briggiske og naturlige logaritmer
Inverse funksjonen til 10x er log10 x som kalles Briggske logaritmisk funksjonen og skrivessom log x eller lg x . Inverse funksjonen til ex er loge x som kalles den naturlige logaritmiskfunksjonen og skrives som ln x .Euler-tallet e kan defineres slikt:
e = limn→∞
(1+1n)n
Regneregler for logaritmer
log A+ log B = log AB ln A+ ln B = ln AB
log A− log B = logAB
ln A− ln B = lnAB
log An = n log A ln eA = A
log1A= − log A ln
1A= − ln A
log1= 0, log10= 1 ln 1= 0, ln e = 1
Vekstfaktor og modellering
1. Hvis en verdi endrer seg med rentefot
p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv.), er vekstfaktoren da 1+p
100Hvis en verdi K0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter ntidsenheter gitt ved: K(n) = K0(1+
p100)n
2. Hvis en verdi y endrer seg med vekstfaktor b i løpet av tiden T , kan man sette oppfunksjonen:
y(t) = y0 · btT
3. Hvis en verdi er b-doblet i løpet av T tidsenheter (T år, T mnd., · · · ), kan man setteopp funksjonen for y(t) ved tiden t.
y(t) = y0 · btT
MAT101 Matematikk i Praksis
Fordoblingstid og halveringstid
4. Gitt funksjonen y(t) = y0at .
Fordoblingstiden er da T2 =ln2ln a
.
Halveringstiden er da T(1/2) = −ln2ln a
.
b-doblingstiden er T(b) =ln bln a
5. Gitt funksjonen y(t) = y0eλt .
Fordoblingstiden er da T2 =ln2λ
.
Halveringstiden er da T(1/2) = −ln2λ
.
b-doblingstiden er T(b) =ln bλ
6. En eksponential funksjon med grunntall a kan skrives som en eksponentialfunksjonmed grunntall e: y(t) = y0at = y0e(ln a)t .
Nyttig å huske
7. Ved t = 0 , har y verdien y0 . Verdien er halvert i løpet av T tidsenheter Man kan setteopp en funksjon ved tiden t:
y = y012
tT
8. Ved t = 0 , har y verdien y0 . Verdien er fordoblet i løpet av år. Man kan sette opp enfunksjon ved tiden t:
y = y02
tT
9. Vekstfaktor (b) for en verdi som vokser eksponentielt med rentefot p% pr. tidsenhet er;
b = (1+p
100)
og dermed rentefoten uttrykt ved vekstfaktor b er p = (b− 1) · 100) .
10. En verdi y vokser eksponentielt med p% pr. år.
Hvor mange prosent vokser den med:
i) pr. mnd? ii) pr. 10 år? iii) pr. dag?
i) (1+p
100)
112 angir vekstfaktor pr. mnd og
verdien vokser da med: [(1+p
100)
112 − 1] · 100.
MAT101 Matematikk i Praksis
ii) (1+p
100)10 angir vekstfaktor pr. 10 år og
verdien vokser da med: [(1+p
100)10 − 1] · 100.
iii) (1+p
100)
1365 angir vekstfaktor pr. dag og
verdien vokser da med: [(1+p
100)
1365 − 1] · 100.
Aktuell for kapittel 9.4Vi så nærmerer på grafen til y = Cekx og nevnte at:
Hvis C · k > 0, er funksjonen stigendeHvis C · k < 0, er funksjonen stigende
Her er det tegneta) y = 2ex og y = 2e−x
b) y = −2ex og y = −2e−x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
4
0
0 x
y
Aktuell for kapittel 9.5Her er det tegnet
a) y = 1+ 2ex og y = 1+ 2e−x
b) y = 1− 2ex og y = 1− 2e−x
MAT101 Matematikk i Praksis
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
4
0
0 x
y
Grafen til eksponential funksjonerGrafen til funksjoner med negative eksponenter er tegnet stiplede.
a) y = 3ex og y = 3e−x
b) y = −3ex og y = −3e−x
c) y = 4− 3ex og y = 4− 3e−x
c) y = 3− 4ex og y = 3− 4e−x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
0
0 x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
0
0 x
y
MAT101 Matematikk i Praksis
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
4
0
0 x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
−3
−1
1
3
4
0
0 x
y
Aktuell for kapittel 9.6
a) f (x) =3
1+ 2e−x
b) f (x) =3
1+ 2ex
Bemek at begge har skjæringspunkt med y-aksen i f (0) = 1:
I del a) er nevneren synkende (negativ eksponent og positiv koeffisient(2)) dermed funk-sjonen stiger.I del b) er nevneren stigende (positiv eksponent og og positiv koeffisient(2)) dermed funk-sjonen synker.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
0
0 x
y
MAT101 Matematikk i Praksis
Uke 39/40 Det har vi lært i kapittel 6Derivasjon og anvendelser
6.1 Introduksjon6.2 Infinitesimal-notasjon6.3 Betydningen av den deriverte6.4 Høyere ordens deriverte6.5 Derivasjon av inverse funksjoner6.6 Funksjonsdrøfting6.7 Fysisk tolkning av derivasjon6.8 L’Hopitals regel6.9 Taylorpolynomer og Taylorrekker
Definisjon og formler
Derivasjon kan fortelle oss hvor raskt en størrelse er i ferd med å endre seg ved et bestemtpunkt:
d fd x= f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
Ved å finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner man stigningstalletakkurat der, og denne kan kalles vekstraten for dette punktet eller momentan hastighet.En kontinuerlig funksjon er deriverbar i et punkt dersom man kan tegne bare og bare entangent i dette punktet. En funksjon er ikke deriverbar der den er diskontinuerlig. Den erheller ikke deriverbar i et knekkpunkt eller i endepunkt.Regler
1. Linearitet regelen: (au+ bv)′ = au′ + bv′,der a, b er konstanter, u og v er funksjoner.
2. Produktregelen: (u · v)′ = u′v + uv′
3. Kvotientregelen: (uv)′ =
u′v − uv′
v2
4. Kjerneregelen: f ′(u(x)) =d fdu· u′
ellerd
d xf (u(x)) =
d fdu·
dud x
For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endrings-hastigheten til radien til kulen:
dd t
V (r(t)) =dVdr
drd t=
ddr(4π3
r3)drd t= 4πr2 dr
d t
MAT101 Matematikk i Praksis
Formler
f (x) f ′(x) Kjerneregelen
k 0
xn nxn−1 (un)′ = nun−1 · u′
ex ex (eu)′ = eu · u′
(ekx)′ = kekx
ax ax ln a (au)′ = au ln a · u′
sin x cos x (sin u)′ = cos u · u′
(sin kx)′ = k cos kx
cos x − sin x (cos u)′ = − sin u · u′
(cos kx)′ = −k sin kx
tan x 1+ tan2 x (tan u)′ = (1+ tan2 u) · u′
=1
cos2 x(tan kx)′ = k(1+ tan2 kx)
ln x1x
(ln u)′ = −1u· u′
sin−1 x1
p1− x2
(sin−1 u)′ =1
p1− u2
· u′
cos−1 x1
p1− x2
(cos−1 u)′ =1
p1− u2
· u′
tan−1 x1
1+ x2(tan−1 u)′ =
11+ u2
· u′
Anvendelser
5. Vekstraten til funksjonen y = f (x) i punktetx = x0: f ′(x0).
6. Ligningen til tangentlinjen i et punkt x = a er da:
y = f (a) + f ′(a)(x − a)
7. Lineær approksimasjonf (x)' f (a) + f ′(a)(x − a)
Denne formelen gir en god tilnærming for f (x) hvis x er nær nok til a.
MAT101 Matematikk i Praksis
8. L’Hopitals regel: La f (x) og g(x) være to deriverbare funksjoner i x = a. Dersom
limx→a
f (x) = 0 og limx→a
g(x) = 0,
gjelder det:
limx→a
f (x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g ′(x)
9. Test for lokale ekstremalpunkter:
Anta at Df er et åpent intervall, og at f er deriverbar i a.
Hvis x = a er et lokalt ekstremalpunkt for f , så er f ′(a) = 0. (legg merke til at detgjelder ikke omvendt at hvis f ′(a) = 0, så x = a er en ekstremalpunkt , for eksempelf (x) = x3).
10. Å bestemme største eller minste verdien til y = f (x) begrenset i intervallet [a, b] :1) Finn funksjonsverdiene for indre punktene i I der f ′(x) = 0 og der f ′(x) ikkeeksisterer.2) Finn funksjonsverdiene i endepunktene.3) Sammenlign disse og besteme Globale/Lokale maksimums- og minimumspunkt.
11. Optimeringsproblemer: I slike oppgaver skal man sette opp en funksjon f (x) ogbestemme hvor f ′(x) = 0.
12. Hastighetskoblede oppgaver: Kjerneregelen kan ofte anvendes i slike oppgaver. Foreksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshas-
tigheten til radien til kulen.dd t
V (r(t)) =dVdr
drd t
Nyttig å huske
• ′ ogd
d xrepresenterer Lagrange og Leibniz notasjonen henholdsvis. d x er en infinitesimal
endring for x .• Det er ikke alle funksjoner som er deriverbare. Dersom funksjonen er diskontinuerlig ellerhar et loddrett tangent i et punkt, er funksjonen ikke deriverbar.• Et kritisk punkt er der f ′(x) = 0.• Lokalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste ver-diene innenfor et avgrenset definisjonsområde.• Globalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdi-ene, for alle definerbare verdier. Globale maks/min punkt kan i mange tilfeller ikke eksisterei det hele tatt.
Rolles teorem
nta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på ⟨a, b⟩. Hvis f (a) = f (b), så fins minst ettpunkt c ∈ ⟨a, b⟩ slik at f ′(c) = 0 (det vil si funksjonen kan ha minst et ekstremalpunkt).
MAT101 Matematikk i Praksis
Middelverditeoremet
La f være kontinuerlig på [a, b] deriverbar på ⟨a, b⟩. Da fins c ∈ ⟨a, b⟩ slik at
f (b)− f (a)b− a
= f ′(c).
Uke 40/41 Det har vi lært i kapittel 7Integrasjon og anvendelser
Oversikt:
7.1 Ubestemte integraler7.2 Bestemte integraler7.3 Anvendelser av det bestemte integralet7.4 Integrasjon ved substitusjon7.5 Delvis integrasjon7.6 Alternativ teori for eksponensialfunksjoner og logaritmer
Integrasjon og formler
Det å integrere handler om å finne anti-deriverte til funksjoenen. En anti-derivert til enfunksjon f (x) er en deriverbar funksjon F(x) slik at F ′(x) = f (x).
∫
f (x)d x = F(x) + C , der F ′(x) = f (x)
f (x) kalles integrand. F(x) er antideriverte til f (x), d x er infinitesimalt lengde element ogx er integrasjonsvariabel. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Hvis f er begrenseti [a, b] og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er f integrerbar i intervallet.
MAT101 Matematikk i Praksis
Formler∫
f (x)d x = F(x) + C
f (x) F(x) + C
k kx + C
xn 1n+ 1
xn+1 + C
der n 6= −11x
ln |x |+ C
ex ex + C
ax 1ln a
ax + C
sin x − cos x + C
cos x sin x + C
tan x − ln | cos x |+ C1
p1− x2
sin−1 x + C
1p
1− x2cos−1 x + C
11+ x2
tan−1 x + C
Det kan lett vises ved help av substitusjon :∫
ekx d x =1k
ekx + C∫
akx d x =1
k ln aakx + C
∫
cos(kx)d x =1k
sin(kx) + C∫
sin(kx)d x = −1k
cos(kx) + C
Regler og integrasjonsmetoder
1) Linearitet regelen:∫
(a f (x) + bg(x))d x = a
∫
f (x)d x + b
∫
g(x)d x
der a, b er konstanter, f og g er to funksjoner.2) Substitusjon metoden bygger på kjerneregelen:
∫
h(u(x))u′(x)d x
MAT101 Matematikk i Praksis
Denne metoden benyttes når begge u og u′ dukker opp i integralet. Her velger man en hjelpe-
variabel u= u(x), som kan hjelpe oss å få forenkle integralet og husk å erstatte d x =1u′
du.
Her er det noen eksempler som kan vise hvordan man velger u:
Integral u d x =1u′
du∫
x cos(x2)d x u= x2 d x =1
2xdu
∫
xex2d x u= x2 d x =
12x
du∫ (ln x)n
xd x u= ln x d x = xdu
der n= 1.2, 3, · · ·
3) Delvis integrasjon:∫
uv′d x = uv −∫
u′vd x
Delvis integrasjon benyttes blant anne når:
Integral u v′∫
(ax + b) sin(kx)d x ax + b sin(kx)∫
(ax + b) cos(kx)d x ax + b cos(kx)∫
(ax + b)ekx d x ax + b ekx
∫
(ax + b) ln xd x ln x ax + b∫
xn ln xd x ln x xn
∫
xnekx d x ? xn ekx
∫
ekx cos(αx)d x ?? xn ekx
? Her kreves n ganger delvis integrasjon.?? Her kreves 2 ganger delvis integrasjon.
Regler for bestemt integral
1)
∫ b
a
f (x)d x = −∫ a
b
f (x)d x
2)
∫ b
a
f (x)d x =
∫ c
a
f (x)d x +
∫ b
c
f (x)d x , der a < c < b
Anvendelser
1. Arealregning:Arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a ≤ x ≤ b kan bestem-mes ved:
MAT101 Matematikk i Praksis
A=
∫ b
a
f (x)d x
2. Arealet mellom to grafene til y = f (x) og y = g(x) kan regnes ved:
A=|∫ x2
x1
[ f (x)− g(x)]d x |
der x1 og x2 er skjæringspunktene mellom to grafene.
3. Volumregning:Når arealet avgrenset av kurven til y = f (x),x-aksen i intervallet a ≤ x ≤ b roterer en gang om x-aksen, er voulmet til omdrei-ningslegemet gitt ved
V = π
∫ b
a
[ f (x)]2d x
4. Samlet verdiLa en funksjon l y = f (x) værre definert i intervallet a ≤ x ≤ b. Samletverdi tilfunksjonen i intervallet kan beregnes ved:
S =
∫ b
a
f (x)d x
5. Middelverdi:La en funksjon y = f (x) være definert i intervallet a ≤ x ≤ b. Middelverdien tilfunksjonen i intervallet kan beregnes ved:
f (x) =1
b− a
∫ b
a
f (x)d x
6. En tank fylles med vann med en netto tilstrømningshastighet på v = v(t) volum en-het/tidsenhet. Endringen i vannvolumet i tanken i løpet av tidsintervallet [t0, t1] kanbestemmes slik:
V =
∫ t1
t0
v(t)d t
Hvis vannmengden i tanken ved t0 er V (t0), er vannvolumet ved tiden t (tidsenheter)gitt ved:
V (t) = V (t0) +
∫ t
t0
v(τ)dτ
MAT101 Matematikk i Praksis
Nytt å huske
• For en kontinuerlig funksjon y = f (t) gjelder det:
F(t) = F(0) +
∫ t
0
f (τ)dτ
der F er anti-deriverte til f .
Uke 41/42 Det har vi lært i kapittel 9Differensialligninger og anvendelser
Differensiallikninger9.1 Hva er en differensiallikning?9.2 Differensiallikningsmodeller for populasjoner9.3 Retningsdiagrammer og integralkurver9.4 Differensiallikningen y’=ay9.5 Lineære første ordens likninger y ′
9.6 Differensiallikningen y ′ = a y2 + b y + c9.7 Separable differensiallikningerEn differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.
Klassifisering(type)
En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funk-sjonen og dens deriverte.
Lineær Ikke lineær
y ′′ + y cos x = ex y ′′ + x cos y = ex
y ′ + x2 y = ln x y ′′ + y2 x = ln x
Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensiallig-ningen inhomogen ellers den er homogen.
Homogen Ikke homogen
y ′′ + y cos x = 0 y ′′ + x cos y = ex
y ′ + x2 y = ln x y ′′ + y2 x = ln y
I læreboken vektlegges følgendedifferensialligninger:
MAT101 Matematikk i Praksis
1) Separable differensialligninger
y ′ = f (x)g(y)
2) Første orden av typen:y ′ = a y + b
3) Første orden av typen:y ′ = a y2 + b y + c
der a y2 + b y + c har to ulike reelle løsninger.(se oppgave 9.7.2 for dobbelløsning)
Separable diff. ligninger på formen:d yd x= f (x)g(y)
Ligningen kan løses ved separasjon:∫
1g(y)d y
=
∫
f (x)d x
Løs integralet og bestem y = y(x).
Første orden differensialligninger, y ′ = a y , y ′ = a y + b ogy ′ = a y2 + b y + c
Hvis vekstratend yd x
er proporsjonal med y , kan man få differensialligningen:d yd x= a y . Her
er det løsning til noen differensialligninger av første orden:
Differensialligning Løsning
y ′ = a y y = Ceat
y ′ = a y + b y = Ceat −ba
y ′ = a y2 + b y + c♣ y = A+B − A
1+ Cea(B−A)t
♣ Denne formelen kan brukes når a y2+ b y + c = a(y −A)(y − B), det vil si andregradslig-ningen har 2 distinkte røtter.
Start betingelser (initial krav)
Som oftest studeres differensialligninger der det er gitt initial- eller randbetingelser. Intial-betingelser(startkrav) gir informasjon om den avhengige variabelen ved start: y(x0) = y0.For 1. orden differensialligning kan startkravet hjelper å bestemme konstanten C eller k.
MAT101 Matematikk i Praksis
Noen Eksempler (Startverdi problem)
Løs følgende initalverdi problem:
1.dyd t= −2y , gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = y0eat = 3e−2t
2.dyd t= 2− y , gitt y(0) = 3
gir løsningen: y = −ba+ C = 2+ Ce−t , og y(0) = 3 gir y = 2+ e−t .
3.dyd t= y(3− y), gitt y(0) = 1
dyd t= −y(y −3) = a(y −A)(y − B) gir løsningen: y = A+
B − A1+ Cea(B−A)t
=3
1+ Ce−3t,
og y(0) = 1 gir y(t) =3
1+ 2e−3t.
4.dyd t= 2(5− y), gitt y(0) = 2
gir løsningen: y = −ba+ C = 5+ Ce−2t , og y(0) = 3 gir y = 5− 3e−t .
5.dyd t= 2y(5− y), gitt y(0) = 1
dyd t= −2y(y−5) = a(y−A)(y−B) gir løsningen: y = A+
B − A1+ Cea(B−A)t
=5
1+ Ce−10t,
og y(0) = 1 gir y(t) =5
1+ 4e−10t.
Gitt differensiallignignene
a)d yd t= 3(10− y) b)
1y
d yd t= 0.05 (10− y)
Gitt y(0) = 5. Løs differensialligningene og skisser integralkurvene (tegn en grov skisseav grafen til løsningskurvene).
d yd t= 3(10− y) = 30− 3y
d yd t= a y + b gir y = Ceat −
ba
. Dermed: y(t) = Ce−3t −30−3= Ce−3t + 10.
S(0) = 5 gir C = −5 og dermed: y(t) = −5e−3t + 10 .
b)d yd t= −0.05 y(10− y)
d yd t= a(y − A)(y − B). Løsning: y(t) = A+
B − A1+ Cea(B−A)t
MAT101 Matematikk i Praksis
S =10
1+ Ce−0.5t.
S(0) = 5 gir C = 1 og dermed y =10
1+ e−0.5t.
-2 -1 1 2
2
4
6
8
10
0
0 t
y
-5 -2.5 2.5 5
2
4
6
8
10
0
0 t
S
MAT101 Matematikk i Praksis
Noen anvendelser (Startverdi problem)
Hvis vi i tillegg til en likning F(x , y, y ′) = 0 har gitt at y0 = y(x0), så sier vi at vi har gittet startverdi problem. Når vi løser likningen, vil det dukke opp en konstant C eller k (denkommer fra integrasjonen). Ved å bruke y0 = y(x0), finner en verdi for C eller k .
Differensialligning Løsning
Radioaktiv stråling
N ′ = −λN N(t) = N0e−λt
(gitt N(0) = N0) (gir C = N0)
Sykdomsspredning
N ′ = λ(B − N) N = eλt + B
(gitt N(0) = N0) (gir C = N0 − B)
Logistisk vekst
N ′ = −λN(B − N) N(t) =B
1+ Ce−λBt
(gitt N(0) = N0) (gir C =BN0− 1)
MAT101 Matematikk i Praksis
Noen anvendelser (modellering)
- Radioaktivstrålingdydt= −k y
- Vekstmodeller
dNdt= k(B − N)
dNdt= kN(B − N)
- Newtonsavkjølingslov
dTdt= k(T − T0)
Flere Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve
Temperaturendringdtdt= −k(T − T1) , k > 0
gitt T (0) = T0
Løsning T (t) = T1 + (T0 − T1)e−kt
-1 1 2 3 t
T0
T1
T0
T0 > T1
T0 < T1
0
0
MAT101 Matematikk i Praksis
Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve
Radioaktiv strålingdydt= −k y
gitt y(0) = y0
Løsning y(t) = y0e−kt
Løsningskurven tildydt= −3y,
gitty(0) = 2er tegnet her
y(t) = 2e−3t
-1 1 2 3 t
1
y0
y
0
0
Sykdomsspredning
(vekstmodell)dydt= k(B − y) , k > 0
gitt y(0) = y0
Løsning y(t) = B + (y0 − B)e−kt
Løsningskurven tildydt= 2− y,
gitty(0) = 2er tegnet her
Grafen viser y(t) = 2+ e−t
-1 1 2 3 t
y0
B
y0
y
y0 > B
y0 < B
0
0
Sykdomsspredning
(vekstmodell)dydt= k y(B − y) , k > 0
gitt y(0) = y0
Løsning y(t) =B
1+ Ce−kt
Grafen viser y(t) =3
1+ 2e−3t
-3 -2 -1 1 2 3
y0
B
0
0
MAT101 Matematikk i Praksis