l oggetto o entità definito da un nome: p.es. un neo, un volto, un sintomo, un segnale biomedico,...

Oggetto o entità definito da un nome: p.es. un neo, un volto, un sintomo, un segnale biomedico, un paziente, un esame clinico, …

Rappresenta l’unità statistica oggetto dell’analisi ed è definito attraverso un insieme di attributi (variabili statistiche)

Pattern

Variabile multimensionale insieme delle variabili statistiche qualitative e quantitative che descrivono i pattern

Spazio multimensionale ha dimensione pari al numero di variabili e contiene i pattern rappresentabili come punti

Fenomeni multidimensionali

Pattern recognition Si traduce in italiano con

“Riconoscimento di configurazioni”, ma è preferibile non tradurre “Pattern”

Individuazione (classificazione) di insiemi o gruppi di pattern con caratteristiche omogenee cluster

Riguarda metodi di apprendimento supervisionato e non supervisionato

Riconoscimento e classificazione

Riconoscimento del pattern e suo assegnamento a una classe o cluster

Classe o cluster insieme di oggetti (unità statistiche) aventi proprietà comuni, descritte dai loro pattern: p.es. classe dei pazienti malati, cluster dei segnali cardiaci, classe delle auto d’epoca, cluster dei denti cariati, …

Valutazione del valore prognostico di test clinici

Scelta di opportune strategie sanitarie

Valutazione del significato diagnostico di un insieme di variabili cliniche

Individuazione di aspetti patologici …

Applicazioni biomediche e sanitarie

Cluster analysis La cluster analisi è il nome generico

attribuito a un largo insieme di metodi statistici orientati ad individuare gruppi in un campione di oggetti. Di solito i gruppi sono chiamati cluster.

Nella cluster analysis non è necessario conoscere a priori la struttura dei gruppi, cosicché essa rappresenta un attrattivo strumento esplorativo

Metodi di cluster analysis

Supervisionati il tipo dei cluster e il loro numero è definito dall’analista o progettista del modello

Non Supervisionati i cluster sono identificati nello spazio delle variabili con procedure statistiche e/o algoritmi di raggruppamento basati sull’apprendimento da campioni

Problemi da affrontare

I. Definizione delle classi Imporre uno schema di classificazione agli oggetti

II. Classificazione Trovare una regola di classificazione sulla base di campioni di oggetti precedentemente classificati

Soluzione del I problemaDEFINIZIONE DELLE CLASSI

• Il problema è immediatamente risolto se è disponibile una divisione degli oggetti in classi o le classi sono determinabili in modo empirico

• Viceversa, si possono usare tecniche di cluster analysis non supervisionata: consentono di raggruppare oggetti in classi basandosi su misure di distanza o di similarità

Soluzione del II problema

CLASSIFICAZIONE

• L’esistenza di campioni classificati implica che esiste un possibile schema di classificazione

• E’ quindi necessario estrarre questo schema e trasformarlo in una regola pratica di classificazione; giocano un ruolo fondamentale la scelta delle variabili in base al loro potere discriminante

Obiettivo matematico

Per alcuni problemi di classificazione la percezione umana può essere migliore dei classificatori quantitativi: p.es. riconoscimento del sesso dal volto

o diagnosi di malignità di un neo In generale i classificatori quantitativi sono superiori all’uomo, specialmente quando gli oggetti non possono essere percepiti direttamente e sono rappresentati da dati numerici in forma tabellare

Trovare una funzione o una regola che rappresenti gli oggetti in un insieme di indici

identificativi delle diverse classi

Pre-processing e

feature extraction

Classificazione

Assegnazionealla classe

Informazioni: variabili, classi e dati empirici

(campione di progetto)

Decisione

Schema di un sistema di classificazione

PATTERN

Metodi statistici e regole di classificazione

VANTAGGI

1. Sono oggettivi e possono essere ripetuti da altri

2. Permettono di valutare le performance della regola di classificazione

3. Permettono di misurare formalmente la dimensione relativa di ogni singola classe


VANTAGGI

4. Permettono di determinare quanto un particolare esempio sia rappresentativo della sua classe

5. Permettono di stabilire quali sono gli aspetti di un oggetto che risultano più importanti per la sua classificazione

6. Permettono di descrivere e testare le differenze fra le classi


PROBLEMATICHE1. Scelta delle variabili (feature selection):

standardizzazione, componenti principali, ...

2. Scelta della misura di distanza o di similarità: distanza Euclidea, distanza di Mahalanobis, coefficiente di similarità di Gower, …

3. Scelta del metodo di cluster: gerarchico o non gerarchico


PROBLEMATICHE4. Analisi del potere di separazione della

scelta finale delle variabili

5. Scelta del metodo di classificazione: classificatore bayesiano, parametrico, non parametrico, logistico, rete neurale …

6. Valutazione del classificatore: scelta del testing set, scelta del metodo di valutazione.

Misure di associazione tra oggettiMETRICHE

Possono essere adottate diverse misure di distanza o coefficienti di similarità dipendentemente dal tipo di

variabili con cui i pattern sono definiti

Le funzioni distanza più sofisticate dal punto di vista matematico sono chiamate metriche. Le proprietà formali di una metrica sono:Sia Sia EE una rappresentazione simbolica di uno una rappresentazione simbolica di uno spazio di misura e siano spazio di misura e siano XX, , YY e e ZZ tre punti tre punti qualsiasi in qualsiasi in EE. Allora la funzione distanza . Allora la funzione distanza DD è è una metrica se e solo se soddisfa le seguenti una metrica se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:condizioni:

1.1.D(X,Y) = 0D(X,Y) = 0 se e solo se X=Yse e solo se X=Y2.2.DD((XX,,YY) ) 0 0 per tutti gli per tutti gli XX e e YY in in EE3.3.DD((XX,,YY) = D() = D(YY,,XX)) per tutti gli per tutti gli XX e e YY in in EE4.4.DD((XX,,YY) ) D( D(XX,,ZZ)+D()+D(YY,,ZZ)) per tutti gli per tutti gli XX, , YY e e ZZ in in EE

Distanze euclidea e di Mahalanobis

][][=

][][=

)()(1T)()(M

)()(T)()(E

kiki

kiki

D

D

x-xΣx-x

x-xx-x

-

Le metriche più utilizzate sono la distanza euclidea DE

e la distanza di Mahalanobis DM

x(i), x(k) = vettori delle osservazioni i e k = matrice di covarianza delle osservazioniT = operazione di trasposizione

N.B. DM tiene conto delle mutue correlazioni tra variabili

Altre distanze o metricheLa norma-p o distanza-p, Dp, tra due

punti x(i) e x(k), detta anche distanza di Minkowski, è:

N.B. La norma-2 coincide con la distanza euclidea D2=DE

∑1

)()(1 -

d

j

kj

ij xxD

Norma-1, detta di

Manhattan

Norma-, detta di Chebyshev

pd

j

pkj

ijp

xxD ∑1

)()(

∞→∞ -lim

pd

j

pkj

ijp xxD ∑

1

)()( -

Coefficiente di similarità di Gower

∑∑

)(

)(

)(

)(=

)(

jki

j

jki

j

xw

xcG

ki

,

,,

È una misura generale di associazione valida per variabili qualitative e

quantitative

G(i,k) = coefficiente di similarità di Gower tra i pattern i e k

c(xj)(i,k) = misura di somiglianza tra i e k per la variabile xj

w(xj)(i,k) = peso dicotomico: 0/1 = confronto insensato/sensato

Coefficiente di similarità di Gower

TIPI DI VARIABILI

xj dicotomica

xj(i) xj

(k) c w

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0/1 0/1

xj politomica

xj(i) xj

(k) c w

a a 1 1

b 0 0

c a 0 1

b b 1 1se xj

(i) = 0 e xj(k) = 0,

c e w possono essere posti a 0 o a 1 w=0, solo se xj(i) o xj

(k) mancante

j

kj

ijki

j R

xxxc

)()()(

1=)(

--,

G(i,k) = coefficiente di similarità di Gower tra i pattern i e kRj = campo di variazione

Rj = xj(max) - xj

(min)

xj quantitativa

Cluster analysis senza supervisore

Tecniche gerarchiche Si suddividono in agglomerative o divisive: la fusione/divisione tra gruppi avviene a diversi livelli dando luogo a una struttura ad albero

Tecniche non gerarchiche Il numero di gruppi è deciso a priori

Dendogramma Rappresentazione grafica ad albero

dei raggruppamenti gerarchici

Metodi gerarchici agglomerativiData una misura di distanza D(i-j) tra due punti generici i e j,

due cluster, p e q, sono aggregati considerando la loro distanza D(p-q), valutata con diversi metodi:

)-()( min pp jiq-p DD Metodo single-link

)-()( max pp jiq-p DD Metodo complete-link

∑ ∑1 1

)()( min

p

p

q

q

n

i

n

j qp

j-iq-p

nn

DDMetodo average-link

Metodo Ward (m = punto medio) (minimo incremento degli scarti

quadratici entro gruppi)

∑

,

)(2

)( minqp

qp

nn

i

m-iq-p DD

)-()( min qp mmq-p DD Metodo del baricentro o centroide

(mp,mq = baricentri dei due cluster)

Metodo gerarchico del legame singolo

1. Ordinamento delle osservazioni in ordine crescente: ogni osservazione è trattata come un gruppo con un solo membro

2. Esame di tutte le coppie di gruppi adiacenti per trovare i due più vicini tra loro, considerando la distanza tra i loro membri più vicini

3. Ripetizione del passo 2 fino a quando non vi è un solo gruppo

In un contesto unidimensionale il metodo agglomerativo del single-link è molto semplice e

può essere descritto come segue:

Metodo gerarchico del legame singolo

3125467 Nodi terminali

Distanza tra gruppi

31

2

5

4

6

7

* *

*

**

*

*Dendrogramma

x1

x2

ESEMPIO IN 2 DIMENSIONI

Metodo non gerarchico k-means

Il numero k di gruppi deve essere noto a prioriI cluster si formano con la seguente procedura

iterativa, non lineare:

1. Scelta di un punto iniziale per ognuno dei k cluster

2. Attribuzione di ogni caso al cluster più vicino

3. Calcolo del vettore delle medie (centroide) per ciascuno dei cluster formati al passo 2

4. Ripetizione dei passi 2 e 3 finché i centroidi non cambiano più

N.B. Il metodo è influenzato dalla scelta dei punti iniziali


∑ ∑ T-k

1j

n

1ijijjij

j

mxmxE

-

Scegliendo una metrica euclidea il metodo converge Minimizza la seguente funzione (errore entro-cluster):

xij = caso i-mo del j-mo clustermj, nj = media, numerosità del j-mo cluster

N.B. Sebbene I non possa essere stabilito a priori, in pratica

l’algoritmo converge dopo pochissimi passi, tipicamente < 5-6

L’algoritmo ha complessità O(n*k*I*d)n = numero dei punti I = numero iterazionid = numero variabili (dimensione)


Esempio con n = 10, d = 2 e k = 2

Passo 1.Gruppo A

Gruppo B

*

*

Passo 2.Passo 4.Passo 3.

Tecniche di partizioneSiano W e B le matrici di covarianza, rispettivamente, entro e tra gruppi e sia T la loro somma:

BWT +=

La maggioranza delle tecniche di partizione individua gruppi che minimizzano varie funzioni di tali matrici.I tre criteri più usati sono:

1. Minimizzazione determinante |W|, equivalente alla massimizzazione del rapporto |T|/|W|

2. Minimizzazione della traccia (varianza totale) di W, equivalente alla massimizzazione della traccia di B

3. Massimizzazione della traccia di BW-1

Metodi non supervisionatiCONSIDERAZIONI FINALI

La prima tecnica di partizione (minimo di |W|) isola gruppi con variabili molto correlate al loro interno autovalori bassi

I metodi basati sulla traccia di W dipendono dall’unità di misura delle variabili.

Il numero di cluster può essere scelto a priori o cambiato durante l’analisi

Tecniche iterative non lineari molti minimi, la soluzione dipende dalla condizione iniziale

Si arriva a una partizione in gruppi del set iniziale anche se esso ha una distribuzione multinormale

Metodi non supervisionatiCONSIDERAZIONI FINALI

La forma dei cluster dipende dalla tecnica usata: p.es. il La forma dei cluster dipende dalla tecnica usata: p.es. il single-link trova cluster a catena, i metodi di partizione single-link trova cluster a catena, i metodi di partizione basati sulla traccia di W formano cluster ipersferici, basati sulla traccia di W formano cluster ipersferici, quelli basati sul determinante formano cluster tutti della quelli basati sul determinante formano cluster tutti della stessa forma stessa forma esistono perciò molti aggiustamenti esistono perciò molti aggiustamenti

È bene eseguire più tipi di cluster analisi, studiarne la È bene eseguire più tipi di cluster analisi, studiarne la stabilità, confrontare i risultati, decidere quali stabilità, confrontare i risultati, decidere quali scartare/conservare scartare/conservare analisi esplorativa analisi esplorativa

In generale, le tecniche di cluster devono essere In generale, le tecniche di cluster devono essere accompagnate da un’analisi esperta in grado di giudicare accompagnate da un’analisi esperta in grado di giudicare criticamente i risultati alla luce della competenza ed criticamente i risultati alla luce della competenza ed esperienza nel campo in cui l’analisi è condotta. esperienza nel campo in cui l’analisi è condotta.

È utile studiare statisticamente i gruppi formati per È utile studiare statisticamente i gruppi formati per esempio tramite analisi descrittive esempio tramite analisi descrittive

Classificatori supervisionati

Metodi statistici, modelli matematici, algoritmi, alberi decisionali, ecc., che assegnano pattern a classi predeterminate, cioè definite a priori

Effettuano pattern recognition ed eventualmente prendono una decisione

Il problema centrale è quello di assegnare un oggetto (caratterizzato da un insieme di n variabili) in una classe nota

Classificazione di lesioni cutanee attraverso dermoscopia digitale

Neo benigno

Melanoma

Lo scopo è quello di diagnosticare le

lesioni cutanee come nei o melanomi

Classificazione con supervisore: 2 classi

Scelta variabili e acquisizione dati

Geometria: area, perimetro, diametri massimo e minimo, circolarità, frattalità dei bordi …

Colore: quantità di rosso/blu/verde lesione e cute … Tessitura: contrasto, entropia … Isole di colore: disomogeneità, sbilanciamenti

e concentrazioni locali o periferiche di colore …

nkxxxk

dkkk ,...,2,1=],...,,[=

)()(2

)(1

)(x

Informazioni a priori: scelta di d variabili utili a fini diagnostici Dati empirici: campione di n esempi utilizzato per costruire il classificatore

Pre-processing e feature extraction

Invece di utilizzare le variabili nella loro forma originale, esse possono essere convenientemente trasformate per:

introdurre importanti informazioni a priori;codificare variabili qualitative e discrete;rendere adimensionali le variabili quantitative per poterle confrontare tra loro;trattare i dati parzialmente mancanti;sceglierne un sottinsieme ottimale per ridurre la dimensionalità del fenomeno e filtrare gli errori statistici.

Codifica variabili qualitativeIn generale, la codifica di variabili qualitative deve tener conto del

problema in esame, ma ricorrendo a una codifica di tipo binario si risolvono

molti dei problemi connessi con la natura delle variabili

Codifica dummy: n categorie n-1 bit Es.: variabile = gruppo sanguigno (n=4)

Categorie della variabile b1 b2 b3

A 1 0 0

B 0 1 0

AB 0 0 1

ZERO 0 0 0

Standardizzazione

Njx

zi

ij

iji ..., 1,2,per

-)()(

Rende le variabili quantitative adimensionali in modo da poterle gestire nell’ambito multivariato

N.B. Le nuove variabili zi (i=1,2,…,d) hanno media nulla

e varianza (deviazione standard) unitaria

i = media campionaria della variabile xi i = deviazione standard campionaria della variabile xi N = numerosità campionaria

Feature extraction

Scelta sottinsieme ottimo di variabili Riduzione della dimensionalità

Aumento della generalizzazione

)](),...,(),([~21 zzzy hfff

d

j

kjiji

ki zafy )()( )(z

Trasformazione e scelta delle variabili più informative

Tecniche per la riduzione della varianza Componenti principali

dhzzz h <],...,,[=~21z

Tecniche stepwise

Criteri statistici di scelta delle variabili più discriminanti: F di Fisher, lambda di Wilks, divergenza di Kullback, area sotto la curva ROC, …

Criteri di ingresso/uscita e fermata: livello di significatività, decremento non significativo dell’errore, …

Tecniche con controllo del potere discriminante Fukunaga-Koontz

La sciagura della dimensionalità

La dimensione dello spazio delle variabili influenza fortemente le prestazioni del classificatore poiché:

i dati di addestramento sono campioni di dimensione N finita;N è spesso limitato da ragioni pratiche, economiche o connaturate col fenomeno studiato (p.es. numero di melanomi);l’aumento di dimensione comporta un aumento anche cospicuo del numero di parametri Np del modello;

Se il rapporto N/Np è troppo basso le stime di alcuni parametri sono molto incerte e perdono di significato, compromettendo le prestazioni del classificatore.

Progetto del modello di classificazione

)z~/(MP

Stima del rischio sanitarioProbabilità di evento sanitario sfavorevole (p.es. diagnosi di

melanoma, M) condizionata alle informazioni contenute nelle variabili scelte e nei dati

campionari

Metodi non bayesiani

Stima diretta della probabilità diagnostica

Regressione logisticaReti neurali artificialiK-nearest-neighbour

Algoritmi genetici

Uso del teorema di Bayes

Metodi bayesiani

)~(

)/~()(~/(z

z)z

p

MpMPMP

Classificatori a punteggio intero Scoring model

Invece di stimare la probabilità dell’evento sanitario sfavorevole valutano il rischio attraverso una scala discreta di n valori interi positivi si (i = 0, 1, 2, ..., n) che includono lo zero per rappresentare il rischio nullo

Utili in ambiente clinico: pratici, non richiedono computer; non distolgono medici e operatori sanitari da diagnosi e cura.

d

iii ss

1

d = numero di variabilisi = punteggio intero associato all’i-ma

variabile xi

λi = coefficiente binario 0/1 rischio

basso/alto (cut-off su xi)

Alcuni derivano dalla semplificazione di modelli probabilistici arrotondando i loro parametri all’intero più vicino

Addestramento classificatore

DATI CLINICI

MELANOMINEI LEARNING

SET

TESTING SET

Bias e varianzaERRORE DI MODELLO ERRORE STATISTICO

Learning setTesting setBias elevato Varianza elevataBias e varianza minimizzate

x2

x1

Complessità e Generalizzazione

Generalizzazione: capacità del classificatore di mantenere le stesse prestazioni anche su nuovi dati

Compromesso ottimo tra bias e varianza Modello né troppo semplice, né troppo

complesso Principio del rasoio di Occam

(William of Occam, XIV sec.): la metafora del rasoio esprime l’idea dell’opportunità metodologica di eliminare con tagli di lama e mediante approssimazioni successive le ipotesi troppo complesse ed inutili per la spiegazione del fenomeno

melanomi neiBlue

content

Area (mm2)

x

Tipi di modelli e generalizzazione

overfitting

underfitting

good fit

Underfitting e Overfitting

Underfitting: l’errore di modello (bias) può essere ridotto, utilizzando modelli di tipo più sofisticato o aumentando la complessità degli stessi, p.es. con un aumento del numero di parametri

Overfitting: il modello è troppo complesso, stima anche gli errori campionari, memorizza i dati del learning set invece di apprendere le regole sottostanti, perde capacità predittiva, aumenta la varianza

Minimizzazione errore

NM

n

i

in

i

i

nn

NPMP

RMSE

NM

∑∑1

2)(

1

2)( ]/([1]-/([ )z)z

Funzioni erroreLe principali funzioni errore sono il root mean

square error (RMSE) e la probabilità media di errata

classificazione Pmec

NM

n

i

in

i

i

ec nn

NPMP

Pm

NM

∑∑1

)(

1

)( ]/([]/(-1[ )z)z

Controllo dell’overfitting

Tecniche di cross-validazioneUna parte dei dati viene efficientemente usata per

controllare il potere di generalizzazione del modello

Testing set

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Trainingsetk=

5

Testing set

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Testing set

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Testing set

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Testing set

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Trainingset

Metodo di rotazione k-fold

Metodo leave-one-out

Training = N-1k=N

Testing = 1Testing = 1

Il miglior modello è quello che minimizza l’errore sui dati di learning, mantenendo lo stesso errore sui dati di testing

Regolarizzazione Un diverso tipo di approccio per controllare complessità e generalizzazione è quello di introdurre un termine

di penalizzazione all’errore da minimizzare

Ω+=~

νEE

dx

dx

yd2

2

2

Ω

= parametro di controllo del termine di regolarizzazione

L’overfitting introduce forti oscillazioni, con regioni di ampia curvatura. Conviene allora introdurre una penalizzazione sulla derivata seconda (smoothing). P.es., nel caso semplice dellafunzione di regressione y(x) si ha:

0 25 50 75-1

0

1

2

3

4

x

y

Early stopping Un approccio per limitare l’overfitting utilizzato con

modelli a molti parametri, stimati con tecniche iterative, è quello di arrestare l’addestramento del classificatore quando comincia a perdere in generalizzazione

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

training setvalidation set

Iterazioni

Errore

Learning Stop

Overfitting

Divergenza di Kullback-LeiblerPer valutare la bontà di un classificatore

è utile avere una misura della separazione tra le classi

zz

zz ~

)/~(

)/~(ln)/~()→( d

Cp

CpCpCCD

i

jiijKL

N.B. N.B. La DKL non è simmetrica quindi a rigore non può essere considerata una metrica

)→(≠)→( jiKLijKL CCDCCD

Divergenza di Kullback-LeiblerDISTRIBUZIONI GAUSSIANE

Nel caso in cui le distribuzioni delle classi siano gaussiane, la DKL simmetrica e diventa quindi una metrica, semplificandosi in:

)2(2

1

))(()(2

1)↔(

11

11T

I-ΣΣΣΣ

μ-μΣΣμ-μ

--

--

ijji

jijijiijKL

tr

CCD

i = vettore delle medie associato alla classe i i = matrice di covarianza associato alla classe i

Valutazione delle prestazioni del classificatore

MELANOMACon due sole classi possiamo concepire la probabilità a posteriori di melanoma Pm stimata dal classificatore come un test diagnostico la cui soglia decisionale Pd individua la seguente matrice di classificazione:

VERI

POSITIVI

FALSI

POSITIVI

FALSI

NEGATIVI

VERI

NEGATIVI

NeiMelanomi

Pm > Pd

Pm Pd

Ad ogni soglia Pd corrisponde una coppia (SE, SP)

Riportando in ascisse 1-SP e in ordinate SE si traccia una curva i cui punti rappresentano le prestazioni del classificatore per ogni Pd

Curva ROCReceiver Operating Characteristic

0

)()/~( NPNP z

0.6 0.80.4 10.2 dP

SE

1-SP

*

)()/~( MPMP z

Area di errore

AUC Area

Under ROC Curve

SE

SP

Pd

SE

=0.

9 S

P=

0.5

SE

=0.

75 S

P=

0.75

SE

=0.

5 S

P=

0.89

SENSIBILITÀ TROPPO BASSA

SPECIFICITÀ TROPPOBASSA

SPSE

Sensibilità, specificità e soglia di decisione

P1 P2 P3

SE

Pd

l oggetto o entità definito da un nome: p.es. un neo, un volto, un sintomo, un segnale biomedico,...

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