LA

CIRCUNFERENCIA

SUS ELEMENTOS

Y

ÁNGULOS

Otros elementos de la circunferencia

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

T

Punto de tangencia

Q

P

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR LR

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R MQ PM PQ R

Si : AB // CD m AC = m DC

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

A B

C D

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

mCD mAB CD AB : Si mCD mAB CD AB : Si

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

r

r

A

B

C

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

2

mBA

2

mBA

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

A

B

2

mBA

2

mBA

A

BC

2

mCBA

2

mCBA

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

A

C

B

D

5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2

mCDmAB

2

mCDmAB

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

+ mBA = 180° + mBA = 180°

2

mBA - mACB

2

mBA - mACB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

2

mCD-mAB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

2

mCB -mBA

2

mCB -mBA

7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

Algunas propiedades importantes……..

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2

mSRQPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

H

En el triángulo rectángulo RHS

140°

Se sabe que:

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

2

mQRº70

mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

mQsR = 220°

º402

140º - 220º x º40

2

140º - 220º x

x130°

A

C

B

DX = 40°X = 40°

2

50 130X

50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

130 mBCmBC = 50°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

x

X = 18°X = 18°

2

X 54X

M

N

54°

xx

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

PAB

APN = xSe traza el radio OM:

o

Dato: OM(radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN.

x

70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°X = 55°

2

110X

A

B

C

PQ

R

110°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70° + mPQ = 180° mQP = 110°

En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Resolución

RESOLUCIÓN

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Medida del ángulo inscrito:

70°

B

A

X PC

140º

220º- 140º = x

2Resolviendo: X = 40º

2º70mBA

mBA=140º

220º

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 180º

260º + mACB = 360º

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 08

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos QS y SR sean congruentes. Si el arco RQ mide 80º, calcular mQPR .

Resolución

2a + 80º = 360º a = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a