la decisione sull'inseminazione degli uragani - teoria statistica delle decisioni

“THE DECISION TO SEED HURRICANES”

Corso di Laurea Magistrale in Scienze Statistiche

Esame di Teoria Statistica delle Decisioni

A.A. 2008/2009

Il caso

R.H. Simpson suggerisce di usare l’inseminazione (cloud seeding) per mitigare la forza distruttiva degli uragani.

Milioni di dollari: è l’ammontare di danni materiali causati da un uragano annualmente.

Il caso

Varata una legge sull’inseminazione degli uragani: il seeding è permesso se c’è una probabilità inferiore al 10% che, entro 18 ore, il centro dell’uragano arrivi a meno di 50 miglia da un’area territoriale abitata.

Il caso

Se un uragano inseminato causasse un grande ammontare di danni a causa di modificazioni naturali avvenute dopo l’inseminazione, potrebbe risultarne una forte reazione di disapprovazione da parte dell’ opinione pubblica, che ne attribuirebbe la responsabilità al governo in carica che ha dato l’autorizzazione ad inseminare.

Il caso

trade off tra l’accettare le responsabilità derivanti dal seeding e le più alte probabilità di danno se si decide di non inseminare

Il metodo

Approccio : considerare un uragano d’invenzione, che minaccia un’area costiera abitata, ed analizzare la decisione di inseminare o non inseminare lo stesso a 12 ore dal suo arrivo sopra l’area.

Fonti di informazione : quelle a priori, derivanti da studi sugli uragani fatti in passato e quelle sperimentali, ricavate da due esperimenti indipendenti sull’uragano Debbie.

Metodologia : analisi in forma normale (Teoria statistica bayesiana delle decisioni)

Il metodo

Azioni• Inseminare• Non inseminare

Stati di naturaVariazioni intensità dell’uragano (misurata con la massima velocità superficiale del vento)

Conseguenze• Danni materiali• Costi di responsabilità governativa

Nodo decisionale:

Seed o no seed?

Nodo aleatorio:

Variazione intensità uragano

seed

no seed

Conseguenze

• Danni materiali

• Responsabilità governativa

• Danni materiali

• Responsabilità governativa

Il metodo

Distribuzioni degli Stati di natura

%)6.15,0(Nw

solo in un caso su sei la velocità di un uragano che viaggia a 100 miglia all’ora diventerà minore di 85 o maggiore di 115 esclusivamente in base a modificazioni naturali.

A determinare la variazione della massima velocità superficiale del vento saranno solo le modificazioni naturali :

non ci sono variazioni tendenziali della velocità

utilizzando alcune ipotesi di base, senza forzature


H1: Ipotesi benefica. L’intensità dell’uragano, in media, si riduce

H2: Ipotesi nulla. L’intensità dell’uragano, in media, resta costante

H3: Ipotesi dannosa. L’intensità dell’uragano, in media, aumenta


Ipotesi nulla il trattamento non ha avuto alcun effetto

%)6.15,0(|' 2 NHw

ww '


Ipotesi benefica l’incertezza sulle fluttuazioni si combina con la presenza della variazione naturale

%)6.18%,85(|' 1 NHw

velocità tende a diminuire


Ipotesi dannosa l’incertezza sulle fluttuazioni si combina con la presenza della variazione naturale

velocità tende ad aumentare

%)6.18%,110(|' 3 NHw


3

1

)()|'()'(i

ii HpHwpwp

Dalla legge delle probabilità composte:

Bisogna assegnare le probabilità alle 3 ipotesi


Formula di Bayes

)(

)()|()|(

up

HpHupuHp ii

i

Vettore delle massime velocità superficiali del vento OSSERVATE


probabilità a priori

15.0)( 1 Hp

75.0)( 2 Hp

.10.0)( 3 Hp

assegnate considerando che gli scienziati ritenevano che l’inseminazione non sortisse alcun effetto, ma che se ci fosse stato un qualsiasi effetto, esso sarebbe stato più facilmente di riduzione piuttosto che di aumento della velocità.

)( iHp


informazioni sperimentali

Due esperimenti, condotti sull’uragano Debbie nel 1969.

Si osservano riduzioni della velocità massima superficiale del vento successive ad un’inseminazione pari al 31% ed al 15% .


funzione di densità di probabilità per i risultati dell’esperimento

)|( iHup

p(69%,85%| H1)=p(69%| H1) p(85%| H1)= 3.21

p(69%,85%| H1)=p(69%| H1) p(85%| H1)= 3.21

p(69%,85%| H2)=0.61 p(69%,85%| H2)=0.61

p(69%,85%| H3)=0.173 p(69%,85%| H3)=0.173

Ottenute confrontando i risultati dell’esperimento con le distribuzioni delle 3 ipotesi precedentemente calcolate


probabilità a posteriori )|( uHp i

49.0956.0

15.0*21.3)|( 1 uHp

49.0956.0

75.0*61.0)|( 2 uHp

02.0956.0

10.0*173.0)|( 3 uHp

w’: intensità

uragano inseminato

w: intensità uragano non inseminato

P(W>w)

w= intensità dell’uragano a 12 ore dalla decisione sull’inseminazione (%)


dominanza stocastica dell’alternativa seeding

Inserimento delle conseguenze nel modello

21

cwcd danni in milioni di dollari costanti empiriche

determinate utilizzando i dati a disposizione

distribuzione di probabilità dei danni: anche in questo caso l’alternativa seeding domina l’altra: un uragano inseminato causa meno danni di uno non inseminato


Intervallo di variazione della

velocità del vento

Valore rappresentativo

nell’approssimazione discreta (%)

Probabilità che la variazione del vento sarà nell’intervallo

se inseminato se non inseminato

più del 25% +32 0.038 0.054

dal 10% al 25% +16 0.143 0.206

dal -10% al 10% 0 0.392 0.480

dal 10% al 25% -16 0.255 0.206

meno del 25% -34 0.172 0.054


PERDITA ATTESA (seeding)

PERDITA ATTESA

(no seeding)

Costo del seeding

valore atteso

in milioni di dollari

PROBABILITA’ ASSEGNATE

AI RISULTATI

VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO DANNI


Inserimento responsabilità governativa come possibile conseguenza negativa dell’intensificazione di un uragano inseminato

Come quantificare una grandezza astratta?

PROBLEMA!!


OBIETTIVO:

stabilire la desiderabilità relativa della riduzione del danno materiale di un uragano, quando viene inseminato, rispetto all’assunzione della responsabilità di inseminazione:

percentuale dei danni materiali causati dall’uragano nel caso in cui questo aumenti la sua intensità dopo un’operazione di seeding


PROBABILITA’ ASSEGNATE

AI RISULTATI

VARIAZIONE DELL’INTENSITA’ DELL’URAGANO

DANNI

COSTO DELLA RESPONSABILITA’

GOVERNATIVACOSTO TOTALE

PERDITA ATTESA (seeding)

PERDITA ATTESA

(no seeding)

Costo del seeding

valore atteso


Il valore dell’informazione


N.B. nel computo delle perdite attese si considerano, per il momento, i soli danni materiali ed il costo del seeding, trascurando i costi di responsabilità governativa.


SCELTA TRA ACQUIZIONE O NON ACQUISIZIONE DI

INFORMAZIONI

SCELTA TRA SEEDING O NO

SEEDING

DANNI

ottenere informazioni

non ottenere informazioni


seeding

seeding

seeding

seeding

No seeding

No seeding

No seeding

No seeding

RISULTATI DELL’INFORMAZIONE

valore atteso



Poiché il governo non sa quale sarà il risultato dell’esperimento, per calcolare le perdite attese si utilizzano le probabilità precedentemente assegnate alle tre ipotesi.

0.49*69.42 $ +0.49*116.00 $ +0.02*116.00 $= 93.17 milioni di dollari 0.49*69.42 $ +0.49*116.00 $ +0.02*116.00 $= 93.17 milioni di dollari

Perdita attesa se si sceglie di acquisire informazione perfettaPerdita attesa se si sceglie di acquisire informazione perfetta

Perdita attesa per la scelta ottimale se non si acquisiscono informazioni Perdita attesa per la scelta ottimale se non si acquisiscono informazioni

94.33 milioni di dollari 94.33 milioni di dollari


94.33 $ - 93.17 $ = 1.16 milioni di dollari 94.33 $ - 93.17 $ = 1.16 milioni di dollari

Differenza tra le perdite atteseDifferenza tra le perdite attese

valore atteso dell’informazione perfetta

• 1.16 > 0 conviene acquisire l’informazione• valore relativamente basso rispetto alle

perdite attese


includendo anche i costi della responsabilità governativa

13.63 milioni di dollari 13.63 milioni di dollari

valore atteso dell’informazione perfetta

• aumento sensibile


L’informazione perfetta è un caso idealeL’informazione perfetta è un caso ideale


Si supponga che la decisione riguardi l’acquisizione o no delle informazioni per via sperimentale, tali che il risultato sia una stima migliore delle probabilità delle tre ipotesi nulla, benefica, dannosa.

Il governo deve valutare a priori se queste nuove informazioni faranno diminuire le perdite attese.


SCELTA TRA FARE O NON FARE L’ESPERIMENTO

SCELTA TRA SEEDING O NO

SEEDINGCOSTO TOTALE in milioni di dollari


RISULTATI DELL’INFORMAZIONE

valore atteso


esperimento

no esperimento

seeding

no seeding

no seeding

seeding


110.92 $ - 107.96 $ = 2.96 milioni di dollari 110.92 $ - 107.96 $ = 2.96 milioni di dollari

Differenza tra le perdite atteseDifferenza tra le perdite attese

valore atteso dell’informazione sperimentale• 2.96 > 0 conviene acquisire l’informazione• valore relativamente basso rispetto alle

perdite attese

N.B. i costi della responsabilità governativa sono inclusi


2.96 $ - 13.63 $ = -10.67 milioni di dollari 2.96 $ - 13.63 $ = -10.67 milioni di dollari

L’esperimento da un’informazione che riduce l’incertezza sulle ipotesi ma non da una risposta certa, come invece succede quando si ha a disposizione un’informazione perfetta


Urgano d’invenzioneutilizzato nell’analisi

Singola stagione di uragani

(in milioni di dollari)

Tutte le future stagioni di

uragani scontate al 7%

(in milioni di dollari)

Milioni di dollari

Percentuali

Danno materiale atteso senza il seeding

116.0 100 220.0 3142

Valore atteso dell’informazione perfetta

13.6 11.8 26.0 370

Valore atteso dell’ esperimento su Debbie

5.4 4.7 10.2 146

Valore atteso di esperimenti generici (con costi di responsabilità governativa)

8.8 7.6 16.6 238

Valore atteso di esperimenti generici (senza costi di responsabilità governativa)

12.4 10.7 23.5 33.5

Conclusioni

Ipotesi benefica ed ipotesi nulla equiprobabilili, ipotesi dannosa altamente improbabile.

Dominanza stocastica dell’alternativa seeding rispetto all’alternativa non seeding.

Considerando esclusivamente la conseguenza danni materiali, decisione ottimale di procedere al seeding è sempre e di gran lunga migliore rispetto all’alternativa

Includendo i costi della responsabilità governativa, alternativa migliore è ancora procedere al seeding, nonostante il divario tra le perdite attese diminuisca sensibilmente

Conclusioni

Valore atteso dell’informazione perfetta includendo solo la conseguenza danni materiali positivo, anche se relativamente basso rispetto alle perdite attese

Lo stesso aumenta sensibilmente se si introducono costi di responsabilità governativa

Valore atteso dell’informazione sperimentale positivo Differenza tra i valori attesi riferiti alle due modalità di acquisizione

delle informazioni: è più alto quello dell’informazione perfetta Generalizzazione a singola stagione di uragani e a tutte le stagioni a

venire dei risultati ottenuti sul valore dell’informazione riferiti all’uragano di invenzione: il valore atteso aumenta in entrambi i casi, perché aumentano le perdite attese

Conclusioni

Per ogni decisione complessa che potrebbe avere conseguenze sulla vita di milioni di persone, come quella sull’inseminazione degli uragani, è necessario fare un’analisi formale della stessa, che mostri esplicitamente le incertezze sugli esiti ed i criteri decisionali

Soluzione proposta applica al caso metodi tipici della Teoria Statistica Bayesiana delle Decisioni:

SOLUZIONE = informazioni a priori + informazione sperimentaleSOLUZIONE = informazioni a priori + informazione sperimentale

quella a disposizione era scarsa

Conclusioni

Nonostante ciò, la soluzione proposta è corretta, in quanto lo è il ragionamento formale di base

CORRETTEZZA = ASSIOMI DI COMPORTAMENTO GENERALIZZABILICORRETTEZZA = ASSIOMI DI COMPORTAMENTO GENERALIZZABILI?Perché c’è sempre la possibilità di revisionare, tramite la formula di Bayes, i risultati ottenuti da uno studio precedente, qualora nuove informazioni si rendano disponibili. Una revisione che non invalida il lavoro precedente, ma anzi innesca un “procedimento virtuoso” che conduce passo dopo passo verso la verità.

NO

la decisione sull'inseminazione degli uragani - teoria statistica delle decisioni

Education