la forma general de la ecuación es - bienvenidos · planos paralelos a los planos coordenados es...
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Una superficie cuadrática (o cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z.
La forma general de la ecuación es:
0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx
Cuando una de las variables x, y ó z no aparece en la ecuación de la superficie, entonces la superficie es un cilindro.
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Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z.
222 ayx
a
x
y
En el plano: En el espacio:
x
y
z
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Cilindro circular recto paralelo al eje y :
222 azx
x
z
a
x
y
z En el plano: En el espacio:
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Cilindro circular recto paralelo al eje x : 222 azy
y
z
a
x
y
z
En el plano: En el espacio:
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Es la ecuación que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la siguiente superficie:
2 0x y
En el plano: En el espacio:
x y
z
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Es la ecuación que corresponde a una elipse en el plano yz, al variar x se obtiene la siguiente superficie:
12
2
2
2
b
z
a
y
En el plano: En el espacio:
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Es la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el (0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie:
122 zy
En el plano: En el espacio:
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Tiene por ecuación: 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse.
Elipse 12
2
2
2 0 Si
b
y
a
xz
Elipse 12
2
2
2 0 Si
c
z
b
yx
Elipse 12
2
2
2 0 Si
c
z
a
xy
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Para calcular donde corta el elipsoide a un eje dado, hacer igual a cero las variables correspondientes a los otros dos ejes.
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Existen dos tipos de hiperboloides: Los de una hoja y los de dos hojas.
Tiene por ecuación: 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
La variable con signo negativo determina el eje de
simetría del hiperboloide
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Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al plano xz y al yz, mientras que en planos paralelos al xy las trazas son elipses.
Hipérbola 12
2
2
2 0 Si
c
z
b
yx
Hipérbola 12
2
2
2 0 Si
c
z
a
xy
Elipse 12
2
2
2 0 Si
b
y
a
xz
Observación: La diferencia fundamental entre el hiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.
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La variable con signo positivo determina el eje de
simetría del hiperboloide
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xTiene por ecuación:
Las trazas de esta superficie son: para planos paralelos a xz son hipérbolas al igual que para planos paralelos a yz.
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Hipérbola 12
2
2
2 0 Si
b
y
c
zx
Hipérbola 12
2
2
2 0 Si
a
x
c
zy
gráficahay No Imposible!
12
2
2
2 0 Si
b
y
a
xz
Observación: Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas.
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La variable a la primera potencia indica el eje del
paraboloide
Tiene por ecuación: c
z
b
y
a
x2
2
2
2
Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos a xy son elipses, para planos paralelos a xz o a yz son parábolas.
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Parábola 2
2 2
2 0 Si
c
zby
c
z
b
yx
Parábola 2
2 2
2 0 Si
c
zax
c
z
a
xy
Círculo Si
Elipse 2
2
2
2 Si
ba
c
k
b
y
a
xkz
Observación: Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
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Tiene por ecuación:
c
z
b
y
a
x2
2
2
2
Las trazas del paraboloide son: para planos paralelos a xy son rectas, para planos paralelos a xz o a yz son parábolas.
Parábola 2
2 0 Si
c
z
b
yx
Parábola 2
2 0 Si
c
z
a
xy
rectas Dos 02
2
2
2 0 Si y
b
ax
b
y
a
xz
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Observación: Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen signos contrarios.
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Tiene por ecuación: 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Las trazas del cono son: Para planos paralelos a xy son elipses, para planos paralelos a xz o a yz son rectas.
rectas Dos 2
2
2
2 0 Si z
c
by
c
z
b
yx
rectas Dos 2
2
2
2 0 Si z
c
ax
c
z
a
xy
Elipse 2
2
2
2
2
2 Si
b
k
b
y
a
xkz
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x
y
z
Observación: Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen signos contrarios.