La Mecánica y el entornoEtapa 3

Cinemática: Movimiento circular

Presentación base de la etapa 3 de La Mecánica y el Entorno• Con el propósito de cubrir los contenidos básicos de la unidad de

aprendizaje de La Mecánica y el Entorno, se ha elaborado estapresentación, la cual esperamos le sea útil al docente para que se apoyeen ella y la pueda enriquecer con material adicional de su preferencia, queayude al estudiante a completar su aprendizaje dadas las condiciones enque nos encontramos ante esta contingencia.

• Reiteramos, es un material de apoyo que, aunado a la guía instruccionalservirá como recurso fundamental y con base en ellos, rescatar el períodoacadémico enero-junio 2020.

• Actuemos con responsabilidad desde nuestros hogares, cumpliendo conlas indicaciones, tanto docentes como estudiantes. Formemos un granequipo que nuestro país nos necesita.

MOVIMIENTO CIRCULAR

Otra parte importante del estudio de la cinemática es

el movimiento circular, ya que existe gran una

diversidad de este tipo de movimiento en nuestro

entorno cotidiano y en el universo en general.

El movimiento circular es el que describe un cuerpo

cuando se mueve alrededor de un centro de rotación.

Éste se considera un movimiento en dos

dimensiones puesto que sus posiciones tanto en el

eje “x” como en el eje “y” van cambiando de tal formaque su posición con respecto al origen del sistema de

coordenadas (eje de rotación) siempre tendrá la

misma distancia.

Nuestro estudio se centrará en el caso delmovimiento circular uniforme, es decir, aquél

movimiento circular que presenta desplazamientos

iguales en intervalos iguales de tiempo.

MOVIMIENTO CIRCULARDesplazamiento lineal y desplazamiento angular.

Cuando un cuerpo sigue una trayectoria circular, éste va pasando por diferentes posiciones por lo cual

decimos que se está desplazando y está recorriendo cierta distancia, la que medimos comúnmente en

unidades de longitud, ya sean metros, centímetros o cualquier otra.Sin embargo, si su trayectoria es circular, la distancia que existe entre la posición del cuerpo con respecto al

centro de rotación, siempre es igual. A esta distancia le llamaremos radio y la representamos con la letra “r”.

Para describir el movimiento circular es mas conveniente hacerlo en términos de magnitudes angulares una

de las cuales es el desplazamiento angular.

Desplazamiento angular es el ángulo recorrido por un cuerpo cuando se encuentra en movimiento circular.

El desplazamiento angular se mide en grados, revoluciones y radianes.

Un radián es el ángulo formado por un arco de circunferencia que mide lo mismo que el radio.

1 𝑟𝑎𝑑 = 57.3°1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 360°

1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 6.28 𝑟𝑎𝑑

Cuando la longitud del arco de circunferencia “s” es igual al radio

“r” de círculo, entonces el ángulo q formado como el de la figura,

es igual a 1 radián.

Desplazamiento lineal y desplazamiento angular.

𝜃 =𝑠

𝑟

Donde:

q = desplazamiento angular expresado en radianes

Esta expresión relaciona el desplazamiento angular con el

desplazamiento lineal y se puede expresar de la siguiente forma:

𝑠 = 𝜃 ∙ 𝑟

Es muy importante tener en mente que para utilizar estas

fórmulas, el desplazamiento angular debe estar expresado en

radianes.

Veamos el siguiente ejemplo:

Un automóvil se mueve alrededor de una pista circular que mide 60 metros de radio. El auto completa 25 vueltas a la pista. ¿Cuál fue la distancia recorrida por el automóvil?

Resolveremos el problema identificando los datos que tenemos:

Datos:r = 60 mNúm de vueltas = 25

s = ?

Necesitamos el desplazamiento

angular en radianes, entonces

transformamos el número de

vueltas (o revoluciones) a

radianes con la equivalencia:

1 𝑟𝑒𝑣 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

25 𝑟𝑒𝑣2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 𝑟𝑒𝑣= 157.08 𝑟𝑎𝑑

Luego aplicamos la

fórmula:

𝑠 = 𝜃 ∙ 𝑟

𝑠 = (157.08 𝑟𝑎𝑑)(60 𝑚)

𝑠 = 9,424.78 𝑚

Es decir, que el auto recorrió

9,424.78 m al dar 25 vueltas a la

pista circular.

Velocidad angular

En etapas anteriores y en el curso de La Ciencia del Movimiento, definimos el concepto de velocidad como la

relación que existe entre el desplazamiento recorrido y el tiempo transcurrido.

De manera análoga, vamos a definir la velocidad angular.

Velocidad angular. Es la relación que hay entre el desplazamiento angular y el tiempo que transcurre al recorrerlo.

La velocidad angular se representa con la letra griega omega minúscula (w) y su expresión matemática es:

𝝎 =𝜽

𝒕

Donde:

w = velocidad angular expresada en rad/s

q = desplazamiento angular en radianes

t = tiempo expresado en segundos

Veamos un ejemplo para aplicar este concepto.

Un rehilete se coloca frente al viento y efectúa 100 giros

en 20 segundos. ¿Cuál es la velocidad angular del

rehilete?Datos:

Núm de vueltas = 100

t = 20 s

w = ?

De nuevo transformamos el

número de revoluciones a radianes

con la equivalencia:

100 𝑟𝑒𝑣2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 𝑟𝑒𝑣= 628.32 𝑟𝑎𝑑

Y aplicamos la fórmula

sustituyendo los datos:

𝝎 =𝜽

𝒕𝝎 =

𝟔𝟐𝟖. 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅

𝟐𝟎 𝒔𝝎 = 𝟑𝟏. 𝟏𝟒

𝒓𝒂𝒅

𝒔

Relación entre velocidad angular y velocidad lineal o tangencial.

Así como tenemos una relación entre el desplazamiento angular y el lineal, también podemos encontrar la relación que existe entre la velocidad angular y la velocidad lineal, también conocida como tangencial.

Veamos el siguiente desarrollo:

Recordemos la definición de la velocidad lineal:

𝑣 =𝑠

𝑡

Y escribimos la relación entre el desplazamiento

lineal y angular:

𝑠 = 𝜃 ∙ 𝑟

Por otro lado, despejando q de la fórmula de la

velocidad angular, tenemos:

𝜃 = 𝜔 ∙ 𝑡

Sustituyendo:

𝑠 = 𝜔 ∙ 𝑡 ∙ 𝑟

Trasponiendo t al miembro izquierdo de la igualdad,

tenemos:𝑠

𝑡= 𝜔 ∙ 𝑟

Por lo que podemos calcular la velocidad lineal o tangencial

a partir de la velocidad angular con la siguiente ecuación:

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟

Ejemplo:

Un disco de vinilo ejecuta 33 vueltas en 1 minuto. Sobre el disco se colocan dos monedas: una

moneda 1 a 5 cm del centro del disco y otra moneda 2 a 15 cm del centro. Calcula lo siguiente:

a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco?

b) ¿Cuál es la velocidad tangencial de la moneda 1?c) ¿Cuál es la velocidad tangencial de la moneda 2?

Datos:

Núm. de rev. = 33

t = 1 min = 60 sr1 = 5 cm = 0.05 m

r2 = 15 cm = 0.15 m

a) w = ?

De la misma forma

transformamos el número de

revoluciones a radianes:

33 𝑟𝑒𝑣2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 𝑟𝑒𝑣= 207.34 𝑟𝑎𝑑

Y aplicamos la fórmula

sustituyendo los datos:

𝝎 =𝜽

𝒕𝝎 =

𝟐𝟎𝟕. 𝟑𝟒 𝒓𝒂𝒅

𝟔𝟎 𝒔

𝝎 = 𝟑. 𝟒𝟔𝒓𝒂𝒅

𝒔

b) v1 = ?

Para este inciso aplicamos la

formula y sustituimos datos:

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟

𝑣1 = (3.46𝑟𝑎𝑑𝑠 )(0.05𝑚)

𝑣1 = 0.17 𝑚𝑠

c) v2 = ?

𝑣2 = (3.46𝑟𝑎𝑑𝑠 )(0.15𝑚)

𝑣1 = 0.52 𝑚𝑠

Como conclusión tenemos

que la velocidad angular es

igual para las dos monedas

pero la velocidad tangencial

no, pues depende del radio del círculo descrito.

Frecuencia y período del movimiento circular.

El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, es decir, repite sus condiciones cada determinado tiempo que es constante. Esto permite definir dos conceptos importantes del movimiento periódico: la

frecuencia y el período.

Frecuencia. Es el número de vueltas, revoluciones o ciclos realizados por unidad de tiempo.

En forma matemática tenemos que la frecuencia es:

𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑓 =𝑁° 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Por otra parte tenemos que el período (T), es el tiempo que tarda un cuerpo en completar una revolución.

De esta manera encontramos que ambos, frecuencia y período son recíprocos, esto es:

𝑇 =1

𝑓O bien 𝑓 =

1

𝑇

Frecuencia y período del movimiento circular.

¿Cómo se relaciona la frecuencia con la velocidad angular?

Ya definimos la velocidad angular como una relación entre desplazamiento

angular y tiempo, expresándose siempre en unidades de rad/s.

Por su parte la frecuencia es el número de revoluciones por unidad de tiempo. Pero el número de revoluciones de hecho también es un

desplazamiento angular, por lo que la única diferencia entre velocidad

angular y frecuencia son las unidades en que se mide cada una.

La velocidad angular siempre se mide en rad/s

La frecuencia se puede medir en revoluciones/minuto (RPM) o

revoluciones/segundo (rps = Hz)

¿Cómo se relacionan en una expresión matemática? Si la frecuencia está dada en revoluciones/segundo, las revoluciones se convierten a radianes

multiplicando por 2p, entonces:

(2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 𝑟𝑒𝑣)(𝑁° 𝑟𝑒𝑣

1 𝑠) =

𝑟𝑎𝑑

𝑠= 𝜔

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

por lo tanto:

Ejemplo:

Un ventilador ejecuta 800 revoluciones cada 40 segundos.

Calcular:

a) La frecuencia de giro en RPM y rps

b) El período

c) La velocidad angular

Datos:

N° rev = 800

T = 40 s

a) f = ?

Para hallar la frecuencia en

RPM convertimos el tiempo a

minutos y luego aplicamos la

fórmula de frecuencia

𝑓 =𝑁° 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

40𝑠1𝑚𝑖𝑛

60𝑠= 0.67 𝑚𝑖𝑛

𝑓 =800 𝑟𝑒𝑣

0.67 𝑚𝑖𝑛𝑓 = 1,194.03

𝑟𝑒𝑣

𝑚𝑖𝑛= 20𝑟𝑒𝑣𝑠

b) T = ?

El período es el recíproco de

la frecuencia es decir:

𝑇 =1

𝑓

𝑇 =1

20𝑟𝑒𝑣𝑠

𝑇 = 0.05 𝑠

c) w = ?

Aplicamos la fórmula:

𝜔 = 2𝜋𝑓

𝜔 = 2𝜋(20𝑟𝑒𝑣𝑠 )

𝜔 = 125.66𝑟𝑎𝑑𝑠

Fuerza y aceleración centrípeta.

El movimiento circular se puede explicar desde el punto de vista de la primera y segunda leyes de Newton.

La primera ley de Newton establece que el movimiento natural de un cuerpo debe ser en línea recta y con

velocidad constante, esto quiere decir que la velocidad no debe cambiar de magnitud ni de dirección; sin embargo, en el movimiento circular, el objeto que gira cambia de dirección constantemente, por lo que debe

haber algo que provoque ese cambio.

Por otra parte, la segunda ley de Newton establece que, cuando un cuerpo no está en equilibrio, entonces

está acelerado.

En una trayectoria circular, la aceleración apunta directamente hacia el centro del círculo; a esta se le llama aceleración centrípeta, la cual se dirige radialmente hacia el centro de rotación y es la que provoca el

movimiento en una trayectoria circular y no en forma recta.

La aceleración centrípeta está dada por las siguientes expresiones:

• En función de la velocidad tangencial y el radio de la circunferencia:

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

• En función de la velocidad angular y el radio de la circunferencia:

𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟

Fuerza y aceleración centrípeta.

Todos los cuerpos que giran en torno a un eje de rotación se encuentran en movimiento acelerado, aún en el

movimiento circular uniforme, debido a que siempre están cambiando de dirección. Ese hecho es la evidencia

que el cuerpo no está en equilibrio. Luego la 2ª ley de Newton establece la fuerza que actúa sobre los cuerpos no equilibrados. En el caso del movimiento circular esa fuerza se denomina fuerza centrípeta y se puede

escribir en dos formas

• En función de la velocidad tangencial y el radio de la circunferencia:

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐

𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2

𝑟

• En función de la velocidad angular y el radio de la circunferencia:

𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟

𝐹𝑐 = 𝑚𝜔2𝑟

Aplicación de aceleración y fuerza centrípeta.

Ejemplo:Un automóvil de 1200 kg avanza por una carretera curva de 60 m de radio, con una velocidad de 90 km/h.

a) ¿Cuál es la velocidad angular del auto en la curva?

b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta del auto?

c) ¿Cuál es la fuerza centrípeta que actúa sobre él en la curva?

Datos:

m = 1200 kg

r = 60 m

v = 90 km/h = 25 m/s

a) w = ?

Al conocer la velocidad lineal

del auto y el radio de la

trayectoria, podemos calcular

su velocidad angular:

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟

𝜔 =𝑣

𝑟=

25𝑚𝑠60𝑚

𝜔 = 0.42𝑟𝑎𝑑𝑠

b) ac = ?

Podemos obtener la

aceleración centrípeta

con cualquiera de las

dos ecuaciones que vimos anteriormente:

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟𝑎𝑐 = 𝜔2𝑟

𝑎𝑐 = 0.42𝑟𝑎𝑑𝑠260𝑚

𝑎𝑐 = 10.58𝑚𝑠2

c) Fc = ?

Podemos obtener la

fuerza centrípeta con

cualquiera de las dos

ecuaciones que vimos anteriormente:

𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2

𝑟𝐹𝑐 = 𝑚𝜔2𝑟

𝐹𝑐 = 1200𝑘𝑔(25𝑚𝑠 )

2

60𝑚

𝐹𝑐 = 12,500𝑁

REFERENCIAS:

Diapositiva 3

Desconocido. (4/11/2017). Composición de movimientos planos. 8/04/2020, de Universidad de Sevilla Sitio web: Wiki. Departamento de Física Aplicada III.

Universidad de Sevilla http://laplace.us.es/wiki/index.php/Movimiento_plano_de_una_part%C3%ADcula_(CMR)

Diapositiva 5

Varsity Tutors. (2007). Medida radián de un ángulo. 8/04/2020, de Varsity Tutors Sitio web:

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/radian-measure-of-an-angle

Diapositiva 6

Khan Academy. (2008). ¿Qué es la aceleración centrípeta?. 8/04/2020, de Khan Academy Sitio web: Khan Academy https://es.khanacademy.org/

Diapositiva 7

REYGIF. (2018). Rehilete Gif animado. 8/04/2020, de REYGIF Sitio web: https://reygif.com/gif/rehilete-64308

Diapositiva 9

La villegiature. (2016). Identité visuelle. 8/04/2020, de La villegiature Sitio web: La villegiature http://lavillegiature.be/identite-visuelle/

Diapositiva 11

puntoyseguido. (2014). MakerLab, impresión 3D al servicio de todos. 8/04/2020, de TARINGA! Sitio web: https://www.taringa.net/+info/makerlab-impresion-

3d-al-servicio-de-todos_ga7sl

Diapositiva 12

rbalzan79. (2020). Crea tu propia imagen gif // Con efecto doble movimiento circular. 8/04/2020, de STEEMPEAK Sitio web:

https://steempeak.com/steemstem/@rbalzan79/crea-tu-propia-image-157955454

Diapositiva 17

Marta Lentijo. (2018). Las llaves del éxito ¿Conoces las técnicas para conseguirlas?. 8/04/2020, de cocolisto Sitio web: https://www.cocolisto.com/las-llaves-del-

exito/