Institución educativa comercial del norte

PRESENTADO A :

ARIEL PINO

PRESENTADO POR : Ricardo farinango

Francisco Andrade

Diego gurrute

Santiago López

GRADO 10 B

INDICE • Presentación• Introducción• índice• Objetivos• Justificación• Marco teórico • Contenido• Conclusiones• Bibliografía

En esta unidad, el alumno desarrollará los En esta unidad, el alumno desarrollará los conocimientos sobre la recta, utilizando una conocimientos sobre la recta, utilizando una metodología y un entorno de trabajo diferente metodología y un entorno de trabajo diferente al del aula. al del aula.

Para llevar a cabo esta unidad, el alumno tiene Para llevar a cabo esta unidad, el alumno tiene pues que haber  realizado el estudio teórico de pues que haber  realizado el estudio teórico de la recta. Conocerá, por tanto su definición, la recta. Conocerá, por tanto su definición, ecuación, elementos, parámetros y ecuación, elementos, parámetros y propiedades elementalespropiedades elementales

¿ Que es la correlación?

¿ Que es la asíntota ?

¿ Que es perpendicularidad?

¿ Que es paralelismo ?

¿ Que es pendiente ?

¿ Que es la recta ?

La recta en el espacio.

La recta en el plano.

Funciones.

Ecuación general de una recta

Representación de una ecuación lineal con dos incógnitas.

Identificar los diferentes tipos de rectas

Analizar las situaciones en que es conveniente utilizar cada una de sus aplicaciones.

Conocer las diferentes ecuaciones para la recta dada al problema expuesto

El trabajo que se presentara a continuación sobre la recta, brindara un gran apoyo tanto a los alumnos como al docente, permitiendo así mejorar los aspectos mas revelantes e importantes que se pueden presentar en nuestro estudio sobre la Geometría Analítica

Por medio de estos trabajos, queremos impulsar a los estudiantes a idear nuevos métodos de estudio, para así facilitar el aprendizaje

La recta, se constituye en el principal tema de la Geometría Analítica, por esto queremos dar a conocer las diferentes formas de solución para cada forma de ellas, ya sea una recta positiva o negativa

La recta de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

Perpendicularidad, posición que ocupan dos rectas que, al cortarse, forman cuatro ángulos iguales. También se habla de perpendicularidad de recta y plano y de perpendicularidad de planos. Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º (recto). Dos rectas que se cortan y que no son perpendiculares se llaman oblicuas.

1 PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO

En el espacio, una recta se dice que es perpendicular a un plano cuando lo corta de modo que es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de corte. El segmento de perpendicular desde un punto a un plano es menor que cualquier otro segmento trazado desde el punto al plano. Por eso, a la longitud de ese segmento se le llama distancia del punto al plano.

2 PERPENDICULARIDAD DE PLANOS

Dos planos son perpendiculares si determinan cuatro diedros iguales. Dos planos que se cortan y que no son perpendiculares se llaman oblicuos.

Paralelismo, posición de dos líneas rectas que, aun estando en el mismo plano, no tienen ningún punto en común

En el plano, dos rectas distintas pueden cortarse en un punto (se llaman secantes) o ser paralelas, si no tienen ningún punto común.

2 PARALELISMO EN EL ESPACIO

Dos rectas en el espacio que no se cortan, es decir, que no tienen ningún punto común, pueden cruzarse o ser paralelas. Es decir, dos rectas distintas en el espacio pueden estar en una de las siguientes posiciones:

• Se cortan, si tienen un punto común (en tal caso hay un plano que las contiene a las dos).

• Son paralelas, si están sobre un mismo plano pero no tienen ningún punto común.

• Se cruzan, si no hay ningún plano que contenga a ambas.

Una recta y un plano en el espacio pueden ocupar una de estas tres posiciones relativas:

• La recta está contenida en el plano (todos los puntos de la recta están en el plano).

• La recta corta al plano en un único punto.

• La recta es paralela al plano (no tienen ningún punto común).

Dos planos distintos en el espacio pueden ocupar una de estas posiciones:

• Se cortan, si tienen una recta común.

• Son paralelos, si no tienen ningún punto común.

Dos planos paralelos se mantienen siempre a la misma distancia.

Correlación,relación entre las dos variables de una distribución bidimensional. Se mide mediante el coeficiente de correlación, r

.

El valor del coeficiente de correlación oscila entre –1 y 1 (-1 ≤ r ≤ 1). En cada caso concreto, el valor de r indica el tipo de relación entre las variables x e y.

Cuando |r|es próximo a 1, la correlación es fuerte, lo que significa que las variaciones de una de las variables repercuten fuertemente en la otra. Mientras que si |r|es próximo a 0, la correlación es muy débil y las variables están muy poco relacionadas.

Asíntota, línea recta asociada con una curva, que tiene la propiedad de que si un punto se mueve a lo largo de la curva hacia infinito, la distancia del punto a la recta tiende hacia cero.

Las asíntotas pueden ser definidas formalmente usando el concepto de límite. Se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal a la curva de la función y = f(x) si el límite de f(x) cuando x tiende a infinito o menos infinito es igual a L. Se dice que la recta x = L es una asíntota vertical si el límite de f(x) cuando x tiende hacia L (sea por la derecha o por la izquierda de L) es igual a infinito o menos infinito

Superficie cónica, la que se genera al girar una recta alrededor de otra a la cual corta. Si se tienen dos rectas, e y g, que se cortan en un punto V (figura 1) y hacemos girar la recta g alrededor de e, se obtiene una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice (figura 2).

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. Ax + By + C = 0 Ax + By = -C By = -Ax - C

y =

y =

donde se demuestran los valores de m y n antes dado.

RECTApunto - pendiente

Si se elige un punto cualquiera del plano y una determinada inclinación (pendiente) sólo hay una recta que satisface esas condiciones Al conjunto de rectas que pasan por un mismo punto se le denomina haz de rectas concurrentes.Al conjunto de rectas paralelas, con la misma pendiente se le denomina haz de rectas paralelas.

 II Vectores de dirección de la recta definida por un punto y su

pendiente

Los vectores de dirección de la recta estarán determinados por el punto P y un punto cualquiera de la recta (x,y) . Se puede considerar al punto P como origen del vector y al punto (x,y) como extremo.4.- Observa el vector de dirección en distintos casos. Fijado el punto P y la pendiente, queda determinada una recta. Al cambiar el valor de la abscisa se van obteniendo los distintos puntos de la recta.III Relación entre las coordenadas del vector director y las coordenadas

de los puntos P y (x,y)

Las coordenadas del vector director son los números que hay que sumar a las coordenadas del origen para obtener las del extremo.5.- Comprueba que las coordenadas del extremo menos las del origen dan las coordenadas del vector director, sean cuales sean los puntos y la pendiente que elijas.

IV Relación entre cualquier vector director de una recta y su pendiente (m)El cociente de la ordenada entre la abscisa de cualquier vector director de una recta concreta siempre da el mismo resultado.6.- Observa las coordenadas del vector de dirección e intenta encontrar una relación entre esas coordenadas y la pendiente de la recta. V Ecuación de la recta que pasa por P y tiene de pendiente mEn la actividad anterior habrás obtenido que el cociente de la ordenada entre la abscisa de cualquier vector director es precisamente la pendiente de esa recta. Por lo tanto si (p1,p2) son las coordenadas de P, (x,y) es un punto cualquiera de la recta y m su pendiente se verifica que:

VI Relación entre el ángulo de una recta y su pendiente

Se llama ángulo de una recta al que forma esa recta y el semieje OX positivo.

. Pendiente es la medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejes cartesianos

La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando abscisa, x, aumenta una unidad. Si (x0,y0), (x1,y1) son dos puntos de la recta, la pendiente se obtiene del siguiente modo:

m = (y1 – y0)/(x1 – x0)

Por ejemplo, si una recta pasa por los puntos (0,4) y (5,7) su pendiente es

m = (7 – 4)/(5 – 0) = 3/5

Por tanto, su ecuación será: y = 4 + (3/5)x

y = 4 + (3/5)x

Recta, en geometría, una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de rayo de luz

La recta, al igual que el punto o el plano, es un concepto primitivo, que no pueden definir recurriendo a otros conceptos que, a su vez, para ser definidos requieren de la recta.

Una recta es ilimitada ,o sea ,puede prolongarse indefinidamente en cualquiera de sus dos sentidos y,por lo tanto ,no tiene ni origen ni final.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa. La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, representación gráfica de las funciones por tanto, de la geometría analítica y de la representación grafica de las funciones.

RECTAS DE REGRESIÓN Se llama recta de regresión a una recta que marca la tendencia de la nube de puntos. Si la correlación es fuerte (tanto positiva como negativa) y, por tanto, los puntos de la nube están próximos a una recta, ésta es la recta de regresión. Matemáticamente hay dos rectas de regresión, la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y. La recta de regresión de Y sobre X es aquella y = ax + b para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones en el sentido de las ordenadas de cada punto a ella es mínima.

Recta de regresión de Y sobre X, cuya ecuación es

Recta de regresión de X sobre Y, de ecuación

Si la correlación es fuerte (|r| próximo a 1), ambas rectas casi se confunden. Si la correlación es débil (|r| próximo a 0), las dos rectas forman un ángulo muy abierto.

Ambas rectas de regresión pasan por el punto (x, y), que se llama centro de gravedad de la distribución.

3.1 Recta en el espacio

La ecuación de una recta que pasa por el punto (x0, y0, z0) y es paralela a la dirección dada por el vector a1i + a2j + a3k es Esta ecuación se puede descomponer en:

a2(x - x0) = a1(y - y0)a3(y - y0) = a2(z - z0)a3(x - x0) = a1(z - z0)

Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de un plano. Podemos definir una recta como la intersección de dos (cualesquiera) de estos planos.Los cósenos directores de la recta son:  

Posición relativa de dos rectasDos rectas pueden:1 Cortarse en un punto.Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.

Sean las rectas y = 2x e y = x - 5. Para calcular el punto donde se cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos: 2x = x - 5. Luego x = - 5 e y = -10. 

Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar unos valores de x e y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente, que es la condición que tiene el punto de corte: pertenece a las dos rectas.

2 Ser paralelas.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

3 Cruzarse.

Dos rectas sólo se pueden cruzar si no están en el mismo plano. Si estén en el mimos plano, solo pueden cortarse o ser paralelas.

4 Ser coincidentes.

Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta.

Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente de la recta (la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1

3.2Recta en el plano

Si en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la ecuación, y representamos estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una recta.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m·1 + n5 = m·2 + n

Las funciones que se representan mediante rectas son las líneas. Su expresión general es:

y = mx + n

Donde m es la pendiente de la recta; es decir, un valor que indica la variación de la y por cada unidad que aumenta la x.

También se representan mediante rectas las funciones constantes, y = k, son funciones lineales con pendiente cero.(Fig.3)

La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. 

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema: TEOREMA: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

Demostración

  Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

       En este caso, la ecuación (1) se transforma en

By + C = 0, 0de donde 0

La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es: _ C B

(fig. 4.11)

A _ 0, B _ 0 En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde 

La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es: _ C

A

Ecuación implícitaEliminando los denominadores en la ecuación continua se obtiene Ax + By + C = 0

Ecuación explícitaSi despejamos de la ecuación implícita obtenemos:

y = mx + n

Ecuación canónicaSi r es la recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0,b), la ecuación la podemos escribir:

.(Fig.3)

Representación de un ecuación lineal con dos incógnitas ax + by = c, se representa mediante una recta. La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas. Si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son los puntos de la recta. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:3X + 4Y = 10}2X + 4Y = 5 }

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1. Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa mediante un plano. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado y si se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.

Con este trabajo lo que se buscaba es dar a conocer las diferentas clases de la rectas y las soluciones que se le deben dar a cada una de ellas según sea la forma en que se encuentre planteada

Los medios que utilizamos fueron google, libros de geometría y matemáticas como también utilizamos los conocimientos de algunos familiares y amigos

Los medios que utilizamos fueron google, libros de geometría y matemáticas como también utilizamos los conocimientos de algunos familiares y amigos

GRACIAS POR SU ATENCION