36

Lucrare de laborator

Metoda cutrii ciclice dup axele de coordonate

1. Scopul lucrrii Scopul principal al acestei lucrri este ca prin implementarea i rularea unui algoritm bazat pe metoda cutrii ciclice dup axele de coordonate s familiarizeze pe cei interesai cu problemele care apar n minimizarea funciilor de o singur de mai multe variabile. 2. Prezentarea lucrrii

Metoda pe care o prezentm n continuare este o metod rudimentar (metoda mai este cunoscut sub denumirea de metod naiv), n care se exploateaz succesiv posibilitile de minimizare pe direcia axelor de

coordonate nOxOxOx ,......., 21 , urmnd ca procedura s fie reluat ciclic pn la atingerea (eventual) a unei zone de incertitudine final admis.

n figura 3.1. este dat o reprezentarea geometric a evoluiei

procesului de cutare prin metoda propus. n planul variabilelor 21Oxx ,

curbele trasate reprezint aa numitele curbe de izonivel care sunt grafice ale locului geometric din plan ce satisfac urmtoarea condiie:

.),( 21 constxxf = (Din pcate, o astfel de reprezentare grafic este posibil numai pentru funcii de dou variabile).

Punctul de iniializare a cutrii se consider ),( 21111 xxfy = . Pstrnd neschimbat valoarea 21x , urmrim o procedur de minimizare

dup direcia 1x

O pn la atingerea minimului parial ),( 2112 xx . n

continuare, pstrm valoarea 121 xx = procednd la o minimizare pe direcia

6

37

2xO , pn la atingerea valorii ),( 22212 xxfy = . n acest moment am ncheiat procedura de cutare pe un ciclu (am epuizat direciile oferite de axele de

coordonate) i relum ciclul de cutare din punctul 2y .

Descrierea algoritmic a unei astfel de proceduri este urmtoarea:

Etapa de iniializare. Se impune 0> condiia de STOP (incertitudinea final). Se aleg direciile de cutare 11 ed = , 22 ed = , ... nn ed = , unde ei reprezint baza canonic ortogonal pentru n . Se impune iniializarea lui

1x i se consider 11 xy = i 1== jk i se trece la etapa de baz.

Etapa de baz. Pasul 1. Se determin

)(minarg1

jjj dyf +=

i se calculeaz jjjj dyy +=+ 1 . Dac nj < atunci 1+ jj i se reia pasul 1. Dac j = n, se trece la pasul 2.

Pasul 2. Considerm 11 ++ = nk yx . Dac

38

Observaii

Pentru o astfel de procedur, direciile de cutare sunt dictate de

modul de prezentare a funciei obiectiv. Oricare schimbare a axelor de

coordonate (rotaii, translaii) care nu schimb efectiv minimul funciei i

nici complexitatea, poate determina o cretere sau o scdere a eficienei

metodei propuse (acest rezultat este exploatat n metoda cutrii ciclice cu

pas accelerat ce urmeaz a fi prezentat).

Prezentm n continuare modul de utilizare a acestei proceduri pentru

minimizare funciei:

( ) .3, 21323121 xxxxxxf += pornind de la un punct de iniializare [ ] .7,70 Tx = pentru o precizie .01.0=

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x1

x2

Figura 11. Curbele de izonivel pentru funcia prezentat

39

Aplicnd algoritmul prezentat materializat n subrutina coord.m,

obinem urmtoarele rezultate: y = 1.0009 1.0005 A = Columns 1 through 11 7.0000 2.6458 2.6458 1.2754 1.2754 1.0627 1.0627 1.0153 1.0153 1.0038 1.0038 7.0000 7.0000 1.6266 1.6266 1.1293 1.1293 1.0309 1.0309 1.0076 1.0076 1.0019 Columns 12 through 13 1.0009 1.0009 1.0019 1.0005

n figura 11 este prezentat graficul de evoluie n procesul de cutare.

3. Chestiuni de studiat

Se consider funcia (forma funciei va fi impus de conductorul lucrrii) a

crei form este prezentat n tabelul de mai jos:

Nr. Crt Funcia Punct

de iniializare

Punct deminim

Valoare de minim

1. 2 21 1 1 2 26 2 2 2x x x x x + + [ ]1, 1 [ ]2, 1 -6 2. ( )221 2 1 21 109x x x x+ + + [ ]1, 1 [ ]5,0.5 7.5 3. ( ) ( )2 21 1 21 100x x x + [ ]3, 4 [ ]1,1 0 4. ( ) ( )2 21 25 3 5x x + [ ]0,0 [ ]3,5 0 5. 2 21 1 2 2x x x x + [ ]1,2 [ ]0,0 0

40

6. 2 21 2 1 29 16 90 128x x x x + [ ]0,3 [ ]5, 4 -481 7. 2 21 2 1 2 1 22 2 2 4 6+ + x x x x x x [ ]1,1 1 4,3 3

143

8. 2 21 1 2 2 1 22x x x x x x + + [ ]3,5 [ ]1,0 -1 9. 21 1 2 2 1 25 4 16 12+ + x x x x x x [ ]1,1 [ ]4,14 -152 10. 2 21 2 1 2 1 22 2 11 8+ + x x x x x x [ ]3, 5 [ ]2,3 -23 11. 2 21 2 1 1 2 22 2x x x x x x + + + [ ]1,1 31, 2 -1.25 12. 2 21 2 1 2x x x x+ + [ ]1,1 [ ]0,0 0 13. 2 21 216x x+ [ ]2, 2 [ ]0,0 0 14. ( ) ( )2 21 1 21 x x x + [ ]5, 8 [ ]1,1 0

a) S se traseze graficul funciei considerate mpreun cu curbele de

izonivel.

b) S se evalueze eventualul punct de minim utiliznd algoritmul propus.

c) S se reprezinte grafic evoluia n procesul de cutare.

41

Lucrare de laborator

Metoda cutrii ciclice cu pas accelerat

1. Scopul lucrrii Scopul principal al acestei lucrri este ca prin implementarea i rularea unui algoritm bazat pe metoda cutrii ciclice dup axele de coordonate cu pas accelerat s familiarizeze pe cei interesai cu problemele care apar n minimizarea funciilor de o singur de mai multe variabile. 2. Prezentarea lucrrii

mbuntirea procesului de cutare poate fi fcut intercalnd ntre dou etape de cutare ciclic dup axele de coordonate, un proces de cutare

pe o direcie impus de soluiile finale n cadrul ciclurilor amintite: kx i

1+kx cu forma kkk xxd = +1 .

n figura 12, pentru o funcie obiectiv ipotetic, sunt prezentate primele dou cicluri de cutare ntr-un algoritm cu pas accelerat.

Cutarea se lanseaz n

1x i dup evalurile minimului n lungul direciilor 1Ox i 2Ox , obinem

punctul 2x . Urmeaz un pas accelerat; n fapt, un proces de minimizare pe

direcia 121 xxd = care ofer ca soluie un punct y. Acest punct constituie punctul de reiniializare a unui nou procedeu de cutare ciclic dup axele

x1

x2

x1

x2

x3

y y|

Figura 12. Un ciclu de cutare 0

7

42

de coordonate care stabilete soluia 3x . n continuare, intercalm un nou

pas accelerat pe direcia 232 xxd = i procedura continu pn la atingerea condiiei de STOP: condiia de ncheiere a procesului de cutare i nx 1 punctul de iniializare a cutrii. Considerm 11 xy = i 1== jk i se trece la etapa de baz. Etapa de baz. Pasul 1. Calculm

)(minarg1

jjj dyf +=

i construim jjjj dyy +=+ 1 . Dac nj < , atunci 1+ jj i se reia pasul 1.

Dac j = n, facem 11 ++ = nk yx . n condiia

43

Considerm funcia obiectiv ce urmeaz a fi modificat de forma:

221

4121 )3()3(),( xxxxxf += .

Pentru minimizarea funciei utilizm metoda cutrii ciclice cu pas

accelerat implementat prin subrutina Matlab sub denumirea coord_acc.

Pentru condiia iniial 10,10 21 == xx i o precizie 001.0=e obinem soluia de minim:

0011.1,0032.3 21 == xx . Rezultatele comparative sunt prezentate n tabelul 7.1:

Cond

iniiale Ctare ciclic Cutare ciclic

Pas

accelerat Cutare ciclic

10 5.3111 5.3111 3.8921 3.8921 3.0036 3.0032 3.0032

10 10 1.7704 1.7704 1.2973 1.0011 1.0011 1.0011

Atingerea soluiei de minim se obine n opt iteraii n condiiile

realizrii preciziei de calcul impuse.

De remarcat este c n cazul unor condiii iniiale identice i pentru o

aceeai precizie, convergena n punctul de minim se realizeaz n 113

iteraii n cazul n care utilizm metoda cutrii ciclice dup axele de

coordonate.

n figura 13 sunt prezentate evoluiile procesului de cutare pentru

metoda cutrii ciclice cu pas accelerat (vezi figura a) i prin metoda

cutrii ciclice dup axele de coordonate (vezi figura b).

n continuare, vom analiza pe un exemplu concret modul n care

precizia de calcul impus afecteaz timpii de calcul necesari asigurrii unei

precizii impuse n cazul algoritmului de cutare ciclic cu pas accelerat.

Tabelul 7.1. Rezultatele pentru exemplul considerat

44

0 5 102

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x1

x2

0 5 102

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x1

x2

Pas accelerat

Considerm funcia (funcia Rosenbrock):

21

221221 )1()(100),( xxxxxf += .

i un punct de iniializare 10,10 21 == xx .

Aplicm procedura de minimizare utiliznd metoda cutrii ciclice cu

pas accelerat pentru o precizie de evaluare a punctului de minim de forma

3,2,1,10 = kk i vom stabili timpii de calcul necesari pentru a asigura precizia impus.

Precizia 1.0= 01.0= 001.0= Cutare ciclic 0.07sec. 0.451sec. 47.067sec.

Cutare cu pas accelerat 0.12sec. 0.311sec. 4.36sec

a) cutare ciclic cu pas accelerat b) cutare ciclic dup axele de coordonate

Figura 13. Rezultatele metodei dihotomice

Tabelul 7.2. Rezultatele pentru exemplu

45

Rezultatele sunt prezentate n tabelul 7.2, n care au fost incluse i

datele referitoare la durata de calcul necesar asigurrii aceleai precizii

utiliznd metoda cutrii ciclice dup axele de coordonate.

1 2 30

10

20

30

40

50

Precizia impusa prin k.

Tim

pi d

e ca

lcul [s

ec.]

n figura de mai sus sunt prezentate dependenele timpilor de calcul necesari

asigurrii unei precizii impuse pentru cele dou metode de cutare analizate.

Observaii. O prim observaie care trebuie fcut este legat de

posibilitile de comparare a mai multor proceduri de cutare a minimului.

n principiu metodele pot fi comparate pe baza a trei criterii:

1. Precizia metodei evaluat prin distana dintre valoarea minim a

funciei obiectiv obinut prin aplicarea procedurii de cutare i

valoarea de minim real sau prin distana dintre vectorul ce

caracterizeaz punctul de minim obinut i vectorul ce caracterizeaz

minimul real.

2. Numrul de evaluri numerice a funciei obiectiv (i a derivatei

funciei obiectiv) necesar stabilirii punctului de minim.

3. Timpul de calcul necesar obinerii soluiei finale.

Figura 14. Dependena timpului de calcul - precizie

46

3. Chestiuni de studiat

Se consider funcia (forma funciei va fi impus de conductorul lucrrii) a

crei form este prezentat n tabelul de mai jos:

Nr. Crt Funcia

Punct de iniializare

Punct deminim

Valoare de minim

1. 2 21 1 1 2 26 2 2 2x x x x x + + [ ]1, 1 [ ]2, 1 -6 2. ( )221 2 1 21 109x x x x+ + + [ ]1, 1 [ ]5,0.5 7.5 3. ( ) ( )2 21 1 21 100x x x + [ ]3, 4 [ ]1,1 0 4. ( ) ( )2 21 25 3 5x x + [ ]0,0 [ ]3,5 0 5. 2 21 1 2 2x x x x + [ ]1, 2 [ ]0,0 0 6. 2 21 2 1 29 16 90 128x x x x + [ ]0,3 [ ]5,4 -481 7. 2 21 2 1 2 1 22 2 2 4 6+ + x x x x x x [ ]1,1 1 4,3 3

143

8. 2 21 1 2 2 1 22x x x x x x + + [ ]3,5 [ ]1,0 -1 9. 21 1 2 2 1 25 4 16 12+ + x x x x x x [ ]1,1 [ ]4,14 -152 10. 2 21 2 1 2 1 22 2 11 8+ + x x x x x x [ ]3, 5 [ ]2,3 -23 11. 2 21 2 1 1 2 22 2x x x x x x + + + [ ]1,1 31, 2 -1.25 12. 2 21 2 1 2x x x x+ + [ ]1,1 [ ]0,0 0 13. 2 21 216x x+ [ ]2, 2 [ ]0,0 0 14. ( ) ( )2 21 1 21 x x x + [ ]5, 8 [ ]1,1 0

a) S se traseze graficul funciei considerate mpreun cu curbele de izonivel.

b) S se evalueze eventualul punct de minim utiliznd algoritmul propus.

c) S se reprezinte grafic evoluia n procesul de cutare.