laboratorio de simulación práctica 2: simulaciÓn del canal ... · en nuestro caso, de señales...
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Laboratorio de Simulación
Práctica 2: SIMULACIÓN DEL CANAL DE COMUNICACIONES
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
Este laboratorio se centra en la simulación de un sistema de radiocomunicaciones completo. Este no
es más que un ejemplo de la aplicación de las técnicas de simulación de sistemas complejos, que se
ha seleccionado por ser el más próximo a los alumnos que cursan el laboratorio. Como introducción
a las prácticas se suministran estas notas, que resumen la filosofía de la simulación y exponen
modelos de algunos de los elementos principales del sistema. Se asume en ellas que el alumno tiene
firmemente asentados los conocimientos de Sistemas Lineales, Teoría de la Comunicación
(Comunicaciones digitales), y tratamiento de señal Estadística.
En estas notas se abordaran el transmisor y el canal de comunicaciones. El receptor se estudiará en
la siguiente práctica, para la que se suministrarán unos apuntes adicionales.
1. Estructura básica del sistema
Un sistema de comunicaciones digital genérico puede modelarse como se describe en el siguiente
esquema de bloques:
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Figura 1: Esquema de bloques de un sistema de comunicaciones digital.
De acuerdo con lo descrito en este esquema, la información de entrada (datos digitales) se
convierte en una ristra de bits en las etapas de codificación de fuente, con la mínima redundancia
posible. A continuación, se realiza la codificación de canal que introduce redundancia para
protegerse contra errores inducidos por el canal de comunicaciones. Estas etapas, naturalmente,
tienen sus equivalentes en la recepción, encargadas de cancelar sus efectos.
El resto de etapas las veremos en los siguientes apartados, y serán las que se simularan en este
laboratorio. Así, el esquema que se estudiará en este laboratorio será el siguiente:
Figura 2: Sistema de comunicaciones que se va a simular en el laboratorio.
En concreto, el sistema que se va a estudiar, modelar y simular en este laboratorio es un sistema de
radiocomunicaciones. El alumno debe tener en cuenta que a la hora de simular otros tipos de
sistemas (comunicaciones ópticas, por cable, ...) existirán efectos distintos de los que se describen
aquí, por lo que los modelos concretos serán diferentes. Sin embargo, la metodología genérica que
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Canal
Generador de Símbolos Compresión
Codificaciónde canal
Generador de la señal muestreada
Modulador Transmisor
Canal Físico
Receptor Detector Decodificaciónde canal
Codificación de Fuente
Decodificación de Fuente
Bits Generador de la señal muestreada
Modulador en banda base Transmisor Medio Físico Receptor Detector+
Ruido
Bits
se emplea, basada en el conocimiento del sistema, su modelado estadístico, despreciando efectos
secundarios para el objetivo de la simulación, ... es de aplicación más general, no solo para sistemas
de comunicaciones sino para otros muchos.
La herramienta que se utilizará para programar los distintos modelos de los componentes del
sistema de comunicaciones completo es MATLAB®. Por esa razón, al final de este cuadernillo se
definen una serie de aspectos relacionados con la programación de los modelos. Es muy
recomendable que se lea esas notas sobre MATLAB antes de empezar a codificar cualquiera de los
modelos.
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2. Generador de la señal muestreada.
La etapa de generación convierte grupos de bits en símbolos. Dichos símbolos, en general, se
pueden representar como vectores bidimensionales en el plano IQ (fase – cuadratura),
conociendose al conjunto de todos los símbolos como constelación. Estos vectores bidimensionales
sirven para definir las amplitudes de las componentes en fase y cuadratura de la señal para cada uno
de los símbolos, que serán enviados modulando la amplitud de un pulso básico en fase y cuadratura.
En nuestro caso, de señales digitales, se deben generar muestras del pulso básico sobre el que
enviamos los simbolos. Cabe destacar aquí, que si bien gran parte de las señales que se van a definir
en nuestro sistema son continuas en el tiempo, su simulación en MATLAB se realiza a partir de una
serie de muestras (MATLAB solo puede trabajar con números, no con señales continuas). Así, el
resultado de este bloque serán muestras de la señal codificada en las componentes IQ, en banda
base.
Un esquema de bloques de este subsistema es el siguiente:
Figura 3: Generador de la señal muestreada.
El primer bloque de este esquema se encarga de agrupar la ristra de bits de entrada para sintetizar
una ristra de símbolos de salida, de acuerdo con la constelación que se esté empleando. Cada
símbolo viene definido como una pareja de amplitudes para los canales IQ. A continuación se
generan dos señales discretas modulando un pulso básico con la amplitud de los ejes IQ
correspondiente a cada uno de los símbolos. Esta señal discreta, para cada uno de los canales por
separado, se convierte en una señal continua mediante un conversor digital/analógico, y un filtro
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Agrupación en
Símbolos
bits
Pulso básico
Pulso básico
I
Q
D/A
D/A
Filtro reconstructor
Filtro reconstructor
I'
Q'
reconstructor (que sirve para quedarse con la señal en banda base, interpolando las muestras de la
señal).
La frecuencia de muestreo debe ser suficiente para reproducir efectos laterales de las bandas (2 o 3
veces el máximo ancho de banda de la señal).
La duda ahora es como debe ser el pulso básico que se transmita de manera que se consiga un
sistema de comunicaciones digital que funcione correctamente. Básicamente, en los sistemas de
comunicaciones existen dos efectos principales que tienen un impacto directo sobre las prestaciones
del sistema, en términos de probabilidad de error. Estos efectos son:
. La interferencia intersimbólica (ISI), o interferencia que la señal que codifica un símbolo
induce sobre los símbolos adyacentes (que le anteceden o siguen).
. El ruido presente en el canal, especialmente en las etapas de recepción.
Para cancelar prácticamente el primero de los efectos se precisa transmitir una señal que, cuando se
muestree (en recepción) al ritmo de una muestra por símbolo, la señal que se obtenga únicamente
dependa del símbolo correspondiente, y no de los adyacentes. Si la señal que sale del canal al
introducir un símbolo en el instante 0 es de la forma descrita en la figura 4, y se puede asumir que el
canal es lineal e invariante (por lo menos aproximadamente) cada muestra únicamente dependerá
del símbolo de entrada (en concreto, del valor de la amplitud de los valores IQ correspondientes).
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Figura 4: Señal que se recibe antes de muestrear, con amplitud y tiempos normalizados (los
tiempos al periodo de símbolo).
En esta figura se asume que el detector tomara una muestra para el instante de tiempo 0
(correspondiente al símbolo transmitido en el instante 0), otra en el instante 1 (correspondiente al
símbolo siguiente), ... El símbolo transmitido en el instante actual (instante 0), si la señal es de esta
forma, no tiene ningún impacto sobre la detección del resto de símbolos, dado que la señal se anula
para los instantes en los que se toman las muestras correspondientes a dichos símbolos. Si el canal
es lineal e invariante, esto pasará no solo para el primer símbolo que se transmite, sino en general
para todos. Por esta razón, este tipo de señales son las que deben utilizarse para garantizar que no
hay ISI.
En el canal (tanto en la componente en fase como en la componente en cuadratura) se asume que se
introduce un tren de deltas con separación el intervalo entre símbolos, cada una de ellas pesada con
el valor de la amplitud que se define en la constelación sobre el plano IQ. Por lo tanto, la salida del
canal (si este es lineal e invariante), previa al muestreo, consistirá en la suma de réplicas de la
respuesta al impulso del canal completo, desplazadas y pesadas por el peso de las deltas. Por lo
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tanto, lo que se debe buscar es tener canales cuya respuesta al impulso completa sea de la forma
descrita en la figura 4. A modo de ejemplo, veamos como sería la señal de salida de un canal en el
que la respuesta fuese como la que se describió anteriormente, y al que se introduce una secuencia
de amplitudes que se representa en forma de señal discreta como sigue:
x [n]={0 si n01 si n=00,5 si n=1−0,5 si n=20 si n2
La señal de salida, en este caso, será como se representa en la siguiente figura.
Figura 5: Señal de salida del canal al ser excitado con un tren de deltas con los pesos definidos
por x[n]. En trazo discontinuo, la respuesta a cada una de las deltas.
Como puede verse, tomando muestras de las señal completa en los instantes t=0, 1 y 2, se pueden
recuperar las amplitudes iniciales sin ISI, dado que las respuestas a las deltas distintas de la de
interés en cada instante se anulan.
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Como se recordará de Teoría de la Comunicación, un tipo de canales que consiguen este efecto son
los canales con respuesta en frecuencia en coseno alzado. Estos canales tienen una respuesta en
frecuencia de la forma:
H f ={T si ∣ f ∣1−
2T
T2 [1−senT f − 1
2T ] si
1−2T
∣ f ∣1
2T
0 si ∣ f ∣1
2T
donde T es la duración del símbolo, y es el factor de redondeo del filtro (si vale 0, el filtro
degenera a un filtro paso bajo ideal con ancho de banda 1/2T, si vale 1, el filtro tiene un ancho de
banda 1/T, y en ninguna parte de la banda tiene una respuesta plana).
De este tipo debe ser la respuesta del canal completo para no tener interferencia entre símbolos.
Esta respuesta puede distribuirse de muchas maneras distintas en toda la cadena de transmisión
recepción. Por ejemplo, los tres sistemas de la figura siguiente son equivalentes desde el punto de
vista de la interferencia intersimbólica.
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H(f)
H(f)
1
1
Tren de deltas
Tren de deltas
A/D
A/D
Tren de deltas A/DH f H f
Transmisor Receptor
En estos sistemas ejemplo, los filtros marcados como un 1 equivalen a la ausencia de un filtro, es
decir, suponen que no haya ninguna modificación de la señal a la entrada, ni en amplitud ni en fase.
Por su parte, los marcados con H(f) sintetizan la función de transferencia en coseno alzado anterior.
Por último, los denominados H f sintetizan una función de transferencia igual a la raíz
cuadrada de la función de transferencia en coseno alzado. Desde el punto de vista de la ISI, los tres
sistemas son equivalentes, pero existen una serie de condicionantes adicionales que hacen que unos
sean más interesantes que otros:
. En primer lugar, el segundo de los filtros anteriores supondría transmitir por el canal físico
un tren de deltas, lo que, al no ser la función delta realizable físicamente, hace que ese
sistema no se pueda utilizar.
. Por su parte, el tercer sistema tiene una particularidad muy interesante, que es la siguiente:
De la teoría del filtro adaptado sabemos que la respuesta en frecuencia del filtro adaptado
tiene que ser igual a la compleja conjugada de la transformada de Fourier de la señal a la
entrada del receptor (sin ruido). Por lo tanto, si la transformada de Fourier de la señal
respuesta que llega a partir de la transmisión de un símbolo es igual a una constante por
H f , para detectar ese símbolo el filtro adaptado tendrá que tener respuesta en
frecuencia H f , dado que esa función, en nuestro caso, es real. De esta manera, el
tercer esquema descrito tiene dos características interesantes:
. No sufre, en principio, ISI.
. Consigue, en el receptor, sintetizar el filtro adaptado a la señal, lo que permite unas
características de detección con ruido blanco y gaussiano óptimas.
De la anterior idea, y si podemos suponer que el canal prácticamente no distorsiona las formas de
las señales que lo atraviesan, se puede realizar un conformado del pulso básico basado en la
respuesta al impulso del filtro en raíz de coseno alzado, y utilizar el mismo filtro como filtro
adaptado en detección. Cabe destacar que estos filtros no son realizables físicamente (no son
causales, ni siquiera de respuesta limitada en el tiempo), por lo que se utilizarán en realidad
aproximaciones a los mismos.
En concreto, la aproximación empleada en esta parte del sistema consiste en utilizar un sistema
digital que sintetiza una señal muestreada cuya transformada de Fourier es la correspondiente al
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canal en coseno alzado, y convertirla en una señal analógica mediante un conversor D/A seguido de
un filtro reconstructor, que elimine las réplicas de alta frecuencia de la señal. De esta manera, se
sintetiza una señal analógica que se aproxima mucho a la respuesta al impulso del filtro con
respuesta en frecuencia H f , para cada símbolo. La respuesta al impulso de este filtro es:
ht =4T
cos 1 t /T T4 t
sen 1− t /T
1−4 t /T 2
En la práctica se describe más en profundidad el método que se emplea para generar esta señal.
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3. Nota sobre los filtrados.
En general, los filtrados de las señales continuas se simulan mediante filtrado digital. En Matlab
esto se puede hacer de varias maneras:
. Convolución directa con la respuesta impulsiva: Si conocemos la respuesta impulsiva del
sistema digital equivalente, el filtrado se puede simular mediante la función “conv ” de
MATLAB, si bien este es un procedimiento bastante costoso computacionalmente. Solo se
debe utilizar con filtros FIR con respuesta al impulso muy corta.
. Convolución rápida en el dominio de la frecuencia, usando DFT: Este algoritmo es
bastante más adecuado. Se debe utilizar en conjunción con técnicas “ overlap add” o
“ overlap save” . Este algoritmo es el más adecuado con filtros FIR de longitud media y alta.
Se puede implementar con la rutina “f ftfilt”.
. Utilizar una ecuación en diferencias que defina el filtro: Este método es el más adecuado
para filtros IIR, como son los basados en los modelos de Butterworth, Chebycheff, o
elípticos. Este método es bastante eficaz desde el punto de vista del tiempo consumido. En
MATLAB se realiza a traves de la sentencia “ filter” . Existen, además, funciones para el
diseño de filtros de los tipos anteriores (“ butter”, ” cheby1”, “che by2”, “ell ip” , ...), que
proporcionan los coeficientes de las ecuaciones de diferencias de forma que puedan ser
utilizados de forma inmediata por la función “ filter” .
Utilice la función “help” c uando precise más información de las distintas funciones sugeridas en
este apartado.
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4. El modulador.
El modulador que se simulará será un sistema en cuadratura, por ser el más general. El esquema de
bloques de un sistema como el que se define es el siguiente:
Figura 7: Esquema de bloques del modulador.
Este es un sistema que realiza la modulación en dos etapas, una de frecuencia intermedia y otra de
traslación de frecuencias. Se precisan filtros para seleccionar las bandas de frecuencia en las que se
transmite la señal, evitando transmitir señales en frecuencias que estén fuera de la banda deseada.
La simulación de este bloque, y por consiguiente del resto de la cadena de transmisión/recepción, se
realiza utilizando el concepto de señal paso bajo equivalente. De esta manera, en vez de trabajarse
con muestras de la señal x(t), se trabaja con muestras de su envolvente compleja, definida como la
señal compleja x t que cumple:
x t =Re {x t e j0 t}
Si el modulador funcionase de forma perfecta, x t se puede definir directamente a partir de las
señales de entrada como:
x t =I t j Q t
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Filtro
I(t)
+
X
Q(t) X
-/2
Oscilador en frecuencia intermedia f
i
cos it
sen it
Oscilador para trasladar a portadora de radiofrecuencia f
0 - f
i
Xcos ( - i
)tFiltro
x(t)
-
Sin embargo, existen una serie de efectos no ideales en cualquier modulador, de entre los que
destacan:
– Diferencia de ganancias entre los canales en fase y cuadratura (desequilibrio de amplitud).
– Diferencia de fase entre las dos ramas del oscilador (desequilibrio de fase).
– Retardo entre ambas ramas.
De esta manera, un posible método para simular este elemento es el que se describe en el esquema
siguiente:
x t
Figura 8: Modelo del modulador.
Donde a modela el desequilibrio en amplitud (típicamente estará en torno a 0,2 – 0,4 dB), θ el
desequilibrio en fase (que puede estar en torno a 1º - 5º), y hay un retardo arbitrario entre ambos
canales de tamaño τ.
La forma de simular el retardo es mediante un filtro discreto de fase lineal y amplitud constante en el
dominio de la frecuencia: hallar la respuesta temporal aproximada del filtro interpolador (de banda
limitada) de retardo y filtrar la componente en cuadratura con él. Obtener esa respuesta es sencillo:
sabemos que el filtro de retardo óptimo tiene una respuesta impulsiva en forma de función sinc
cuyo máximo está desplazado al punto donde se retardó la señal. El ancho del lóbulo principal,
entre nulos, de la función sinc corresponde al doble del inverso del ancho de banda de simulación.
De esta manera, el ancho de banda del filtro paso bajo que sintetiza esta limitado a la mitad de la
frecuencia de muestreo de simulación, de forma que cualquier señal que cumpla el criterio de
Nyquist no será distorsionada por el filtro, y solo sufrirá el retardo que se desea.
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Filtro
I(t)
+
Q(t) X
a
X
ej
Retardo arbitrario
X
j
Existe un problema con este método de simulación de retardos, que es que la duración de la
respuesta al impulso del filtro interpolador es infinita, por lo que el método no puede realizarse de
forma exacta. Por esa razón, se utilizarán métodos de interpolación aproximados. En concreto, el
que se propone es el siguiente:
• Restringir a los lóbulos centrales del sinc la respuesta significativa del filtro (por ejemplo, tres).
• Crear un eje de tiempos donde aparezcan los tiempos de las muestras desde cero hasta el de la
muestra más a la derecha del sinc truncado centrado en el retardo deseado.
• Calcular los valores del sinc en el eje de tiempos del punto anterior mediante la función "sinc"
de MATLAB.
• Filtrar la componente en cuadratura con esta respuesta impulsiva teniendo cuidado de eliminar el
transitorio inicial para tener correctamente alineadas las dos componentes. La componente en
fase no se retarda, como se puede ver en el modelo descrito en la figura 5.
El conjunto de filtros paso banda y modulador para trasladar la frecuencia intermedia a frecuencia
de portadora se simulan únicamente como un filtro paso bajo que modela el impacto de los filtros
paso banda sobre la equivalente paso bajo. La traslación de frecuencia no supone ninguna variación
de la señal paso bajo equivalente.
En la práctica 2 se detallan los valores exactos de los parámetros que se deben emplear para la
simulación.
5. No linealidades en la cadena de transmisión.
Tanto en los transmisores como en los receptores existen elementos cuyo comportamiento no es
totalmente lineal. Un caso típico en el caso de los sistemas de comunicación por radio son los
amplificadores de potencia, que suelen tener un comportamiento cuasilineal para un margen de
niveles de la señal de entrada, pero que al aumentar dicho nivel suelen saturar y “r ecortar” l as
señales.
La forma más general de simular estos sistemas es resolviendo el sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales que los rige. El problema es que resolver ecuaciones diferenciales no
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lineales, con unas ciertas condiciones de contorno, puede ser, en general, sumamente complicado, y
llevar a aproximaciones de integración numérica que consumen mucho tiempo. Por ello, suelen
emplearse modelos no lineales de entradasalida (mediante funciones no lineales que aproximan la
respuesta del sistema a una entrada genérica).
En principio, pueden distinguirse dos tipos de sistemas no lineales:
. Sistema no lineales con memoria. Su salida en el instante actual depende de la señal en
instantes distintos del actual.
. Sistemas no lineales sin memoria. La salida únicamente depende de la entrada en el
instante correspondiente.
Los sistemas no lineales con memoria son normalmente muy difíciles de simular con una única
función entradasalida, y muchas veces se ha de recurrir a la integración de las ecuaciones
diferenciales que definen al sistema. Por su parte, las no linealidades sin memoria suelen ser
bastante más sencillas de simular.
Por ejemplo, un amplificador, excitado por una señal cuya banda esta contenida en aquella para la
que fue diseñado, se comporta básicamente como un sistema no lineal sin memoria. En ese caso, se
puede asumir que las características de transmisión/amplificación de la señal son iguales dentro de
toda la banda, y que todas las componentes de frecuencia de la señal sufren los mismos efectos por
la no linealidad.
El modelo típico para este tipo de sistemas es el modelo de conversión AM/AM y AM/PM, que se
muestra en la siguiente figura.
Figura 9: Modelos AM/AM y AM/PM.
En esta figura f(A(t)) modela la conversión AM/AM (define como la modulación de amplitud se ve
modificada al atravesar el sistema), mientras g(A(t)) modela la conversión AM/PM (define la
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x t =At cos 0 tt Amplificador y t = f At cos 0 tt g At
distorsión que la amplitud de la señal introduce sobre su fase). A este modelo se le denomina
modelo de no linealidad de la envolvente. Se suele medir con un tono cuya amplitud se varía. En las
siguientes figuras puede verse ejemplos de curvas de conversión AM/AM y AM/PM.
f(A(t)) vs A(t) g(A(t)) en radianes vs A(t)
Figura 10: Conversión AM/AM y AM/PM.
El modelo anterior se puede implementar de forma sencilla utilizando la envolvente compleja. En
formulación compleja, el anterior modelo queda:
x t =Re {At e j 0 tt } ⇒ y t =Re { f At e j 0 tt g At }Es decir, la amplitud de la envolvente compleja de la señal de salida se puede obtener sin más que
aplicar la conversión AM/AM sobre la amplitud de la señal de entrada, y la fase de la señal de
salida se puede obtener sumando a la de la señal de entrada el giro resultado de la conversión
AM/PM. Extrayendo las componentes en fase y cuadratura, queda que la señal de salida puede
obtenerse a partir de la de entrada de acuerdo con el modelo de la siguiente figura.
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Figura 11: Modelo para la simulación del efecto de la no linealidad sobre la envolvente
compleja.
Las funciones f(.) y g(.) pueden extraerse interpolando (o ajustando mediante un esquema mínimo
cuadrático) medidas del amplificador con sinusoides con distintas amplitudes.
Existe un problema adicional en la simulación de las no linealidades. Al atravesar la señal un
dispositivo no lineal, la banda en la que aparece señal no se mantiene, en general. Estas no
linealidades sin memoria sobre las componentes en fase y cuadratura pueden aproximarse mediante
polinomios de un orden determinado mayor que uno, de forma que la señal de salida es de la forma:
y(t)=a1 x(t)+ a2 x2(t)+a3 x3(t) + ... + aN xN(t)
La potencia Nesima de una señal equivale a N productos consecutivos en el dominio del tiempo, lo
que en el dominio de la frecuencia lleva a la convolución de la señal consigo misma. Esta
convolución supone que por una parte aparecen armónicos centrados en las frecuencias Nf0 (si f0 es
la frecuencia de portadora), pero adicionalmente aparecen, en la misma banda, cuando N es impar,
nuevos términos. Para comprobarlo, no tiene más que analizar gráficamente el caso de N=3 para
una señal paso banda, pero recordando que la señal original, real, tiene una transformada de Fourier
hermítica, y por lo tanto, existen componentes de la señal para frecuencias negativas, centradas en
f0. Adicionalmente, se asume aquí que la frecuencia f0 es mucho mayor que la banda del filtro, pues
sino términos adicionales se pueden solapar.
Como conclusión, para poder simular correctamente la señal y(t) (mediante su envolvente
compleja), utilizando los modelos no lineales anteriores, no se debe utilizar la frecuencia de
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x t ∣x∣
AM/AMf( )
AM/PMg( )
ej( .)
f(A(t))
ejg(A(t))
Fase(.)
ej( .)
ej(t)
(t)
A(t)
y t
muestreo calculada según el criterio de Nyquist para x(t), dado que en realidad la banda de la señal
equivalente paso bajo va a aumentar. Para definir dicha velocidad de muestreo se debería utilizar el
criterio de Nyquist sobre la señal de salida y(t) directamente, pero en realidad saber donde cortar
ese espectro es difícil, debido a que la magnitud de la dispersión en frecuencias depende
drásticamente de la amplitud de la señal de entrada.
Como caso peor, se puede asumir que el amplificador, si actúa como un sistema que satura
totalmente la señal, va a generar pulsos rectangulares (con valor 0 solo si la entrada vale cero, valor
+A si la entrada es positiva, y valor A si la entrada es negativa). Estos pulsos rectangulares tienen
un espectro que puede asumirse despreciable a partir de 3 o cuatro veces el ancho del lóbulo
principal de la transformada de Fourier (que se corresponde con la inversa de la duración del
símbolo), con lo que muestreando a una frecuencia que sea unas 6 u 8 veces (hay un factor de 2 por
aplicar el criterio de Nyquist) la frecuencia del símbolo, se podría simular correctamente el sistema
con esta fuerte no linealidad.
A la salida del amplificador es normal que exista un filtro para reducir el ancho de banda de la
señal, eliminando principalmente los armónicos debidos a la no linealidad y reduciendo el impacto
de la dispersión del espectro anteriormente descrita.
6. Antena transmisora.
En un sistema de radiocomunicaciones, antes de que la señal pase al medio físico, debe ser
enfocada por la antena. El modelo más sencillo de antena que se puede emplear es el de que
únicamente supone una ganancia direccional, dependiente de la dirección por la que la señal sale al
medio para llegar a al antena receptora. En definitiva, tendremos la siguiente transformación para la
señal:
y t =g , x t
donde g , se corresponde con el diagrama de radiación de la antena en unidades naturales
(no en potencia, sino en amplitud), para el azimut y la elevación , correspondientes a la linea de
visión hacia el receptor medida en las coordenadas de la antena.
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7. Modelos de canales de comunicaciones.
En este apartado estudiaremos modelos matemáticos que permiten simular las alteraciones de la
señal al propagarse por un medio físico. En concreto, dado que el nuestro es un sistema de
radiocomunicaciones, asumiremos que el medio físico es la atmósfera, si bien también existen
modelos para simular otros tipos de canales (cable, guías de onda, fibras ópticas, ...), que no
analizaremos.
En general, los modelos que se emplean para simular los canales físicos suelen ser de tipo filtrado
lineal, si bien existen también modelos para canales variantes (con desvanecimiento variable,
dispersivos), que no trataremos aquí en profundidad dada su complejidad.
A continuación se expondrán varios ejemplos de modelos de canales.
7.1. Modelos de casi espacio libre
En este tipo de canales se asume que la señal únicamente viene afectada por una distorsión lineal.
Normalmente:
. Para canales de banda estrecha, el modelo se resume en una atenuación que afecta a la
señal.
. Para canales de banda ancha, la diferente absorción atmosférica para las distintas
frecuencias hace que sea más correcto simular el canal mediante un filtrado lineal. En
realidad estas condiciones de absorción varían lentamente en el tiempo (por variaciones de
las condiciones atmosféricas, básicamente). Por ello, en nuestras simulaciones del canal
despreciaremos este efecto. En algunos casos también se deben tener en cuenta efectos sobre
la polarización de la señal.
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7.2. Modelos para medios conductores, guías de onda y fibra óptica.
Las guías de onda y líneas de transmisión se simulan mediante filtros lineales con determinadas
características de la respuesta en fase y amplitud. Estas son dependientes de la longitud del canal,
de sus dimensiones físicas, del tipo de material de que estén hechas, ...
En el caso de las comunicaciones ópticas, las aproximaciones utilizadas dependen de la relación
entre los anchos de banda de la señal que se quiere transmitir y de las fuentes de luz (diodos LED,
laser) que se utilicen.
7.3. Modelos de canales con multitrayecto
Existen múltiples modelos para tratar con este tipo de canales, que están entre los más habituales en
radiocomunicaciones. Aquí se tratarán únicamente dos de estos modelos:
7.3.1. Multitrayecto discreto.
El modelo que se expone a continuación sirve para simular reflexiones especulares en un conjunto
finito de posiciones discretas. La relación entre la entrada (x(t)) y la salida (y(t)) tiene la siguiente
forma:
y t =∑n
n t x t−nt
donde n(t) es la inversa de la atenuación (en amplitud) que sufre el rayo nésimo (normalmente,
habrá uno directo y varios reflejados, aunque en algunas ocasiones puede no haber rayo directo), y
n(t) el retardo de la señal que se transmite por ese camino.
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Figura 12: Modelo de multitrayecto discreto, con cuatro caminos.
Si en un canal de este tipo las diferencias entre los retardos máximos y mínimos son del orden del
inverso del ancho de banda, el multitrayecto puede tener efectos considerables de selectividad en
frecuencia. Diferencias de retardo pequeñas llevan únicamente a cambios de amplitud y fase de la
señal (rotaciones y escalado de la constelación), diferencias intermedias a distorsión por la selección
de unas frecuencias frente a otras, y diferencias de retardo muy grandes (mayores a la duración del
símbolo) pueden llevar a la aparición de interferencias intersimbólicas considerables.
A continuación trasladaremos el modelo anterior a su equivalente paso bajo (mediante la definición
de envolvente compleja). Para ello, recordemos como se puede poner la señal de entrada en función
de su envolvente compleja:
x t =Re {x t e j0 t}
Por lo tanto, aplicando el modelo anterior, queda:
y t =∑n
n t x t−nt =∑n
nt Re { x t−nt ej0t−nt }=
Re {∑n nt e− j0nt x t−nt e j0 t}=Re {∑n nt x t−n t e j0 t}
donde se ha definido la envolvente compleja de los coeficientes( nt )como:
nt =n t e− j0nt
Por lo tanto, la envolvente compleja de la señal de salida queda:
y t =∑n
nt x t−nt
La salida queda, por lo tanto, como una superposición de réplicas de la señal retardadas de acuerdo
con su retardo variante respectivo n(t), y cuya amplitud y fase se ven moduladas, cada una de ellas,
por la señal nt .
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Transmisor Receptor
Una simplificación del modelo descrito anteriormente es el de asumir que cada uno de los caminos
del canal no varía, es decir, que tanto n como n no varían en el tiempo, sino que son constantes. De
esta manera, quedaría que la señal de salida es:
y t =∑n
n x t−n
donde
n=n e− j0n
Esta señal de salida puede verse como la respuesta a la señal de entrada de un filtro cuya respuesta al
impulso fuese:
h t =∑n
nt−n
Es decir:
y t =h t ∗x t
Canales lentamente cambiantes (en los que h t se puede suponer constante durante una larga
cadena de bits) se pueden simular utilizando esta misma idea, y variando lentamente los valores de
h t de acuerdo con la variación de las ganancias y retardos del multitrayecto.
7.3.2. Multitrayecto difuso.
Otro modelo de multitrayecto trata de representar que en vez de tener una suma finita de rayos
discretos tenemos reflexiones difusas sobre cuerpos que ocupan ciertas áreas, de manera que se tiene
una especie de continuo de canales multitrayecto. Esto hace que la suma que definía el multitrayecto
anterior se convierta ahora en una integral, de la forma:
y t =∫−∞
∞
, t x t− d
No seguiremos desarrollando el modelo, dado que excede los objetivos de este laboratorio.
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8. Señales a la entrada del equipo receptor.
El receptor, aparte de la señal deseada, recibe gran cantidad de señales provenientes de otros
sistemas, que filtra espacialmente (a través de la directividad de la antena) o en frecuencia (a través
de un filtro que se queda únicamente con las señales en el canal). De todas maneras, en muchos
sistemas pueden aparecer señales interferentes, cuyo nivel de potencia sea suficiente para deteriorar
las prestaciones del sistema. Adicionalmente, tanto la antena como las primeras etapas del equipo
receptor (especialmente las previas a la amplificación) introducen un ruido de origen térmico en el
sistema, que se suma a la señal.
Teniendo en cuenta estos dos aspectos, las señales que se reciben en la entrada del receptor se
pueden modelar de acuerdo con el esquema siguiente:
Figura 13: Señales a la entrada del receptor.
Existen varias formas típicas de modelar señales interferentes:
. Como señales deterministas (por ejemplo, tonos).
. Como ruidos impulsivos. Pueden simularse generando procesos aleatorios con correlación
o con distribuciones distintas de la gaussiana, de acuerdo con los métodos utilizados en la
primera práctica.
El efecto de la antena es distinto para cada una de las señales que la atraviesan, dependiendo de la
dirección por la que llegue la señal, y de su ganancia asociada.
T223
x(t) Canal
x2(t)
x1(t)
Señales interferentes
n(t)
Ruido térmico
y(t) Antena
A continuación veremos métodos concretos para generar cada una de las señales anteriores.
8.2. Generación de ruido térmico
El ruido térmico que aparece a la entrada del receptor en principio es blanco dentro de la banda que
utiliza nuestro sistema de comunicaciones, y tiene una distribución gaussiana y media nula. Es
importante notar que, al estar nosotros modelando el sistema a través de su equivalente paso bajo, el
ruido que se debe generar debe tener dos componentes, una en fase y otra en cuadratura. Ambas
componentes de ruido, además, son independientes.
Si el ancho de banda de la señal transmitida es B, y se utiliza antes de la detección un filtro que
limita la banda recibida a la de la señal transmitida (también con un ancho de banda B), la potencia
total de ruido previa a la detección queda:
N=K T B F
donde F es el factor de ruido, T la temperatura de referencia, y K la constante de Boltzman.
El método que se esta utilizando para simular la señal paso banda es utilizar su equivalente paso
bajo. Se puede demostrar que la señal equivalente paso bajo tiene el doble de potencia que la señal
paso banda que describe. A nuestros efectos, esto supone que las componentes en fase y cuadratura
del ruido paso bajo equivalente tiene la misma potencia que la señal original. Estos son ruidos paso
bajo, con su banda limitada a B/2 (la mitad del ancho de banda original).De hecho, su espectro es el
resultado de pasar un ruido blanco por toda la cadena de recepción.
Para conseguir una buena reproducción de dicho espectro, se puede generar un ruido “bl anco”
dentro de toda a banda de simulación, y hacer que atraviese toda la cadena. Debido a que estamos
realizando nuestra simulación con señales muestreadas, para las que la integral que sirve para
calcular la potencia solo tiene sentido para frecuencias – fS/2 y fS/2 (el espectro fuera de esta banda
se corresponde con réplicas del espectro original), una posibilidad sería generar muestras gaussianas
independientes, con potencia (varianza):
T224
N I=N Q=K T f S F
Al ser las muestras independientes, su espectro será blanco dentro de la banda (– fS/2 – fS/2)
Estas muestras, cuando pasen por los filtros del detector, cuyo ancho de banda equivalente para el
ruido será aproximadamente B/2, tendrán una potencia final aproximada de:
N I filtrada=N Q filtrada=N IBf S
=K T B F=N
según se deseaba.
Como puede verse en la anterior ecuación, existe una ganancia frente al ruido (ficticia) debida a la
presencia de los filtros adaptados a la banda en que se transmite la señal, de forma que para generar
el ruido blanco equivalente para una frecuencia de muestreo determinada hay que ponderar aquel
que se calcula al analizar la relación señal a ruido del sistema por el término fS/B (donde B es el
ancho de banda del sistema receptor, o mejor, el ancho de banda equivalente de ruido del mismo).
En la mayoría de simulaciones de sistemas de comunicaciones las amplitudes o potencias se
normalizan, de forma que no se usan los valores reales del sistema. Lo importante es mantener los
valores relativos, las relaciones entre las potencias de las distintas señales.
Por ejemplo, de análisis teóricos del sistema (sin multitrayectos) y del receptor suele determinarse
el valor de la relación señal a ruido del sistema, que suele ser un dato en la simulación. A partir de
este dato, realizando un análisis sencillo, puede obtenerse la varianza de las muestras de ruido.
Realizando, en primer lugar, una simulación sin ruido, puede obtenerse una estimación de la
potencia de señal, a partir de N muestras de las señales en fase (xI) y cuadratura (xQ) como sigue:
P S=1N∑n=1
N
x I2[n]xQ2 [n]
Naturalmente para obtener buenos resultados en esta estimación, N tiene que ser muy grande, de
forma que las muestras deben comprender las señales provenientes de muchos símbolos, que se
T225
hayan generado independientemente. Esta potencia es la de la señal paso bajo equivalente, doble de
la de la señal paso banda original. Por lo tanto, para calcular la potencia de ruido paso banda se
deberá calcular:
N=PS
2SNR
Para calcular la varianza de cada muestra del ruido blanco habrá que aplicar la ganancia ficticia
anterior, de forma que queda que la varianza de las muestras de ruido es:
N I=N Q=f SB
PS2SNR
Finalmente, el esquema de bloques del generador de ruido blanco será de la forma indicada en el
siguiente esquema de bloques.
Figura 14: Generación de Ruido Térmico.
En esta figura, el bloque generador gaussiano consiste en un generador de muestras de una variable
aleatoria gaussiana de media nula y varianza la determinada por un parámetro de entrada, que es el
que se muestra en la figura. Este generador podría ser el que se realizó en la primera práctica del
laboratorio, o alguno basado en funciones incluidas en MATLAB (vea la función “ randn” ).
8.2. Generación de ruido impulsivo.
En nuestro caso, este ruido se utiliza para simular interferencias de otros sistemas, que no ocurren
de forma continua sino de forma aleatoria en el tiempo, durante intervalos muy cortos, pero con una
intensidad muy grande. El método que se expone en la figura siguiente podría utilizarse para
modelar una interferencia con ese tipo de comportamiento.
T226
Generador gaussiano
Generador gaussiano
NI
NQ
nI[n]
nQ[n]
j
nI[n]+ j n
Q[n]
Figura 15: Generador de interferencias impulsivas.
En esta figura cabe destacar varios aspectos:
. La generación se hace en formato modulo – fase. Esta última sigue una distribución
uniforme entre 0 y 2. Por su parte, el módulo sigue la distribución determinada por el
generador de ruido impulsivo, con una varianza determinada por la potencia de las
componentes en fase y cuadratura.
-. La potencia es la de la envolvente compleja, es decir, el doble de la determinada para la
interferencia paso banda. También aquí, al igual que en el caso del ruido térmico, se deben
utilizar valores relativos entre la señal y la interferencia para generar el ruido impulsivo, para
lo que se deberá seguir un proceso de análisis de las potencias muy similar.
-. El ruido que se genera es blanco (independiente de muestra a muestra) y de media nula. El
filtrado por la cadena receptora introducirá una correlación sobre el ruido que induce este
efecto, y además se distorsionará la distribución de las variables aleatorias originales.
T227
Generador ruido
impulsivo
Potencia Componentes Fase + Cuadratura
II[n]+ j I
Q[n]
exp(j 2 U(0,1))
9. Comentarios sobre la programación de los
modelos.
La herramienta que se utilizará para programar los distintos modelos de los componentes del
sistema de comunicaciones completo es MATLAB®. Esta herramienta ya se ha utilizado en varios
de los laboratorios de la carrera, pero destacaremos aquí una serie de aspectos de vital importancia
para su correcta utilización en este laboratorio:
. Se debe dividir el programa en funciones, pues de lo contrario el MFile resultante será muy
grande y difícil de manejar. Además, la practica final se basa en reutilizar el código definido en las
prácticas iniciales. Se sugiere utilizar funciones cuyas entradas y salidas sigan el siguiente formato :
Entradas: Señal de salida de la función (bloque) anterior.
Parámetros del subsistema.
Salidas: Señal de salida de la función (bloque), que servirá para alimentar al
siguiente bloque.
En principio, la división en funciones del sistema es arbitraria (queda a su elección), pero debe
poderse acceder a las entradas y salidas para representarlas. Se le recomienda utilizar funciones que
aislen las distintas partes del sistema, para poder comprobar su comportamiento de forma sencilla.
. El uso de bucles debe restringirse al mínimo. Dentro de los mismos (en el caso en que sea
imprescindible utilizarlos) nunca se deben asignar valores a variables no inicializadas previamente.
La razon esta en el manejo de la memoria de MATLAB, que hace que si no se tiene cuidado con
este tipo de sentencias, el programa sea muy lento. A modo de ejemplo, veamos tres formas de
inicializar un array:
Método 1: Método 2: Método 3:
>> for i1=1:100 >>a= zeros(1:100); a=1:100;
>> a(i1)=i1; >> for i1=1:100
>> end >> a(i1)=i1;
>> end
T228
El resultado de los tres métodos es el mismo, un vector con valores entre 1 y 100. Pero la primera
implementación es muchísimo más costosa que cualquiera de las otras dos, pues para cada indice
del bucle tiene que reservar nueva memoria, ... El más eficiente es el método 3, por lo que se
sugiere intentar una implementación matricial de todo aquello que se pueda. En ocasiones, no
seremos capaces de obtener un método matricial para definir nuestros algoritmos, por lo que se
sugiere, al menos, hacer como en el método 2, inicializando todas las variables que se vayan a
utilizar en el bucle (con sus tamaño máximos). El usar unos métodos u otros puede hacer que el
programa que definan en práctica final tarde en ejecutarse unos dos minutos o unas dos horas. Así
que, si aprecia su tiempo, preste especial atención a este problema.
. Para depurar los programas existen dos métodos básicos:
– Utilizar el depurador de MATLAB (similar a los de otros lenguajes a los que esten
habituados). Para obtener información sobre el, utilice >> help debug.
– Utilizar la sentencia “keyboa rd”. En cua lquier punto de un Mfile o función, esta
sentencia detiene la ejecución y permite obtener los valores de las distintas variables del
entorno de trabajo en que se esté (variables locales a la función en que se esté y globales
del sistema), y procesarlos a su gusto (aparece la consola Matlab, con lo que puede
utilizar funciones como plot para representar señales, ...). Para obtener más información
sobre esta instrucción, teclee en la consola de MATLAB >>help keyboard.
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