INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOINSTITUCIÓN UNIVERSITARIA

FACULTAD DE CIENCIASUNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS – FÍSICA

PorHERNÁN SALAZAR, LUIS FERNANDO DUQUE, SANTIAGO PÉREZ, CAMILO VALENCIA.

GUÍA PRÁCTICA DE VECTORES.

COMPETENCIAS: Identificar y manipular cantidades vectoriales.

MATERIAL: Papel milimetrado (2)

Regla milimetrada

Transportador

MARCO TEÓRICO: En la vida diaria estamos enfrentados con dos tipos de cantidades: Las cantidades escalares y las cantidades vectoriales. Las primeras tienen la característica de que quedan completamente determinadas mediante un número y una unidad de medida apropiada; un ejemplo de cantidades escalares son el volumen, la altura, el tiempo, la rapidez, la energía, etc. Las cantidades vectoriales son aquellas que quedan totalmente determinadas asignándole a la cantidad escalar una dirección; son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, etc.

Las cantidades vectoriales suelen representarse, en forma algebraica, por una letra mayúscula (o

minúscula) acompañada de una “flechita” encima de ella, por ejemplo ( ); o en el caso de vectores unitarios (aquellos cuya magnitud es uno) estos se acostumbra a representarlos por una letra minúscula y un “gorro” encima de ella, por ejemplo representa el vector unitario i. En forma geométrica, los vectores se representan por un segmento orientado, en palabras más sencillas por una flecha, es decir:

La longitud del segmento orientado es la magnitud del vector, que se representa como o

simplemente A.

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Los vectores se clasifican en vectores libres y vectores de posición. Los primeros tienen la característica de que se pueden mover por todo el plano (o el espacio) sin cambiar la magnitud y dirección y los segundos se caracterizan por que su origen está fijo a un sistema de coordenadas.

OPERACIONES CON VECTORES: Las operaciones que se pueden realizar con vectores son:Suma, producto escalar y producto vectorial; aquí solo se discutirá la primera de estas operaciones

SUMA DE VECTORES: los vectores se pueden sumar geométricamente o algebraicamente. Geométricamente, la suma de vectores se puede realizar de dos formas: Por el método de “cola y cabeza” y por el método del paralelogramo. Los vectores libres se pueden sumar por ambos métodos, mientras que los vectores de posición solo se suman por el método del paralelogramo.

1. MÉTODO DE “COLA Y CABEZA” el método funciona así: se ubica el primer vector y a partir de su cabeza se coloca el segundo vector, a partir de la cabeza del segundo vector se coloca el tercer vector y así sucesivamente; el vector resultante se obtiene uniendo la “cola” (u origen del primer vector) con la “cabeza” (o punto final del último vector). Veamos el siguiente ejemplo: considere los siguientes vectores:

Realice las siguientes operaciones:

(a) Determine = +

(b) Determine = -

(c) Determine = + +

Se mostrará la forma de resolver el inciso (a) y se deja como ejercicio la realización de los incisos restantes.

De acuerdo a lo explicado anteriormente, se traza el vector ; a partir del punto final de se traza

el vector . El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector, en este caso ,

con el punto final, o cabeza, del segundo vector, en este caso .

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Surge la siguiente pregunta: En este caso, ¿cómo se determina la magnitud del vector resultante?Aplicando el teorema del coseno:

Donde θ es el ángulo que forma el vector , o su prolongación, con el vector .Ahora, si se quiere determinar el ángulo que forma la resultante con cualquiera de los vectores, se puede emplear el teorema del seno:

Donde α y β son los ángulos que forma el vector resultante con los vectores y .

2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO: El método consiste en hacer coincidir el origen de ambos vectores en un punto común; a continuación, se traza desde la cabeza del primer vector una paralela al segundo vector y de la cabeza del segundo vector una paralela al primer vector; la resultante es el vector cuyo origen es el origen de los dos vectores y cuyo punto final, o cabeza, es el punto donde se cortan las paralelas. Por ejemplo, considere los siguientes vectores:

Si se quiere hallar la resultante utilizando el método del paralelogramo, la forma sería:

COMPONENTES RECTÁNGULARES DE UN VECTOR: Considere el vector que se ve en la figura

Ax

Ay

Y

Xθ

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Observando la figura, y recordando el método del paralelogramo, se ve que el vector se puede escribir como:

Donde y son las componentes rectangulares del vector .

El ángulo θ medido en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, determina la

dirección del vector .

La magnitud del vector se puede determinar, si se conocen las componentes rectangulares y

, mediante:

Y la dirección del vector se determina:

Ahora, si se conoce la magnitud y dirección del vector , las componentes rectangulares se pueden calcular mediante:

Si se conocen las componentes rectangulares de dos o más vectores, la adición se lleva a cabo

sumando algebraicamente las componentes entre sí; esto es, si y

, entonces:

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Aquí, y son las componentes rectangulares del vector resultante

. La magnitud y dirección del vector resultante se determinan por:

PROCEDIMIENTO: En una de las hojas de papel milimetrado, trace los vectores y de tal forma que el ángulo entre ellos sea de 30°. Recuerde que el ángulo se mide con el transportador. La

magnitud de los vectores es de = 8.0 cm y = 6.0 cm respectivamente. Recuerde que la

magnitud del vector es la longitud del segmento dirigido y la debe medir con la regla.

1. Por el método de “cola y cabeza” determine gráficamente el vector resultante .

2. Con la regla, mida la magnitud del vector resultante .

3. Con el transportador, mida el ángulo que forma el vector resultante con los vectores y

.

4. Mediante el teorema del coseno, determine la magnitud del vector resultante . Compare este resultado con el obtenido en el inciso ( 2 ) y obtenga el porcentaje de error.

5. Mediante el teorema del seno, determine los ángulos que forma el vector resultante

con los vectores y respectivamente. Compare los resultados con los obtenidos en el inciso ( 3 ) y obtenga el porcentaje de error.

Tome la hoja de papel milimetrado que le queda y trace un plano coordenado, teniendo cuidado

que el origen del mismo quede en el centro de la hoja. A continuación trace los vectores y

teniendo en cuenta las siguientes condiciones: en la dirección 30° al norte del este

y en la dirección 30° al oeste del norte.

1. Proyectando los vectores y , sobre los ejes coordenados, determine las componentes rectangulares de cada vector midiendo con la regla.

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2. Encuentre el vector ; con la regla mida la magnitud de .

3. Mida la dirección del vector , utilizando el transportador.

4. Determine analíticamente las componentes de los vectores y , compárelas con lo obtenido en el incido (1) y halle el porcentaje de error en cada caso.

5. Calcule analíticamente la magnitud del vector , compárela con lo que obtuvo en el inciso (2) y halle el porcentaje de error.

6. Calcule analíticamente la dirección del vector , compárela con el valor obtenido en el inciso (3) y halle el porcentaje de error.

EJERCICIOS

1. Dos vectores de 10 y 15 centímetros de magnitud, forman un ángulo de 60°. Determine la magnitud del vector resultante y los ángulos que forma la resultante con cada uno de los vectores.

2. La magnitud del vector resultante de dos vectores es de 18.00 cm y forma un ángulo de 30° con el vector mayor. Si el ángulo entre los vectores es de 45°, determine la magnitud de los dos vectores y el ángulo que forma la resultante con el vector menor.

3. Un perro que busca un hueso camina 3.50 m al sur, luego corre 8.20 m a un ángulo de 30.0° al norte del este, y finalmente camina 15.0 m al oeste. Determine la magnitud del desplazamiento del perro.

Considere los siguientes vectores: , y .

4. Determine gráficamente .

5. Determine gráficamente

6. Halle la magnitud y dirección del vector del inciso (4).

7. Halle la magnitud y dirección del vector del inciso (5).

8. Halle la magnitud y dirección de un vector

9. Halle la magnitud y dirección de un vector , donde el vector es el determinado en el inciso (8).

10. Determine la magnitud y dirección de un vector tal que

Considere los vectores de la siguiente figura:

Y

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En donde y , determine:

11. Las componentes rectangulares de los vectores y

12. El vector . Su magnitud y dirección.

13. El vector . Su magnitud y dirección

14. Un vector , tal que . Halle su magnitud y dirección.

30°

30°

X