F ( s) =K1+K2+K3

( s +1)(s + 5)(s + 8)

K 1 = ( s + 1)F(s)s=1 =3s 2 + 4 s + 7=3

( s + 5)(s + 8)14

s=1

K 2 = ( s + 5)F(s)s=5 =3s 2 + 4 s + 731

=

( s + 1)(s + 8)6

s=5

K 3 = ( s + 8)F(s)s=8 =3s 2 + 4 s + 7167

=

( s + 1)(s + 5)21

s=8

F ( s) =31311+1671

14 ( s + 1)6 (s +5)21 (s + 8)

f ( t ) =3et31e5t+167e8t.

14621

Primer:

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

Reenje:

F ( s) =K1+K2+K3

s( s 3)( s + 3)

K 1 = sF( s)s=0=4 s + 9= 1

( s 3)(s + 3)s=0

K 2 = ( s 3)F(s)s=3=4 s + 9=7

s( s + 3)s=36

K 3 = ( s + 3)F(s)s=3 =4 s + 9= 1

s( s 3)s=36

F ( s) = 1+7 11 1

6 ( s 3)6 ( s + 3)

s

f ( t ) = h( t ) +7e3t1e3t.

66

= 4 s + 9 F ( s) s( s 3)(s + 3) .

2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a realni su ako postoje prosti

Pretpostavka je da jednaina Q(s)=0 ima samo jedan par konjugovano kompleksnih polova (s1 i s2=s*1) a da su svi ostali (s3, s 4, ...,sn) realni i prosti:P ( s)bmsm + bsm1+ ...+b s + b0K1KK2Kn

F ( s) ==m11=+1++ +

Q ( s)( s s )))

(s s1 )(s( s s2( s sn

s1 )(s s 3 )... (s sn )1( s s1 )

= a jb .

Ako je: s1 = + j i s1 = j , Tada je:K1 = a + jb i K1

a + jba jbnKk2 a ( s + ) 2bnKk

F ( s) =++ =+

( s + ) j( s + ) + jk =3 s sk( s + ) 2 + 2k =3 s sk

9

( s + )nKk

F ( s) = 2a 2b+

( s + ) 2 + 2( s + ) 2 + 2

k =3 s sk

Inverzna Laplasova transformacija je:f ( t ) = 2 aetcos(t ) 2betn

sin(t) + Kk esk t .

k =3

Koeficijent K1=a+jb se izraunava prema obrascu:P ( s).

Kk= a + jb =( s + j)= + j

Q ( s) s

Primer:

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:F ( s) =3s + 7.

( s 2 + 2 s + 2)(s 3)(s + 3)

Reenje:

K1K3K4

F ( s) =+K1++

( s + 1 j)( s+ 1 j)(s + 3)(s 3)

K 1= ( s + 1 j)3s + 7= 19 + j42

(s + 1 j)(s + 1 + j)( s 3)( s + 3)170

s =1+ j

= 19 j42

K1170

K 3 = ( s + 3)F(s)s=3=3s + 7=1

( s 2 + 2 s + 2)(s 3)15

s=3

K 4 = ( s 3)F(s)s=3=3s + 7=8

( s2+ 2 s + 2)(s + 3)51

s=3

F( s) = 19 + j421+19 j421+11+81=

170s + 1 j170s + 1 + j3)51 ( s 3)

15 ( s +

= 19s + 61+11+81=

85((s + 1)2+2)15 ( s +3)51 ( s 3)

1

= 19s + 1421+11+81

85 ( s + 1)2 + 1285 ( s + 1)2 + 1215 ( s +3)51 (s 3)

f ( t ) = 19etcos t 42etsin t+1e3t+8e3t.

85851551

Ovaj pristup je komplikovan jer zahteva puno rauna sa kompleksnim brojevima, pa se da primeniti jednostavniji nain:

F ( s) =3s + 7=As + B+C+D=

(s2+ 2 s + 2)( s 3)( s + 3)(s2+ 2 s + 2)( s+3)( s 3)

=( A + C + D ) s3+ (B C + 5D ) s2 + (8D 9A 4C)s+ (6D 9B 6C)

( s 2 + 2 s + 2)(s 3)(s+ 3)

Sada se formira sistem jednaina:A+C+D=0

B-C+5D=0 -9A-4C+8D=3 -9B-6C+6D=7

Reenja su: A = 1985 ; B = 8561; C = 151 ; D = 518 . Sada je:

F(s) = 1 19s + 61+1 1+8 1

85 (s + 1) 2 + 1215 (s + 3)51 (s 3)

Za original f(t) se dobija isto reenje:

f ( t ) = 1985 et cos t 4285 et sin t + 151 e3t + 518 e3t .

3. Funkcija F(s) ima viestruke realne korene

Pretpostavka je da jednaina Q(s)=0 ima jedna viestruko (trostruko) reenje s1, a da su ostali polovi fukcije F(s) realni i prosti.P ( s)bmsm + bsm1+ ...+bs + b0

F ( s) ==m11

Q ( s)

(s s1)3(s s4 )... (s sn )

Dalje se F(s) razvija u parcijalne razlomke:F ( s) =P ( s)=K11+K12+K13+K4+ +Kn

Q ( s)( s s1)3( s s1)2( s s1)(s s4 )(s sn )

Koeficijenti se izraunavaju prema izrazu:K11=( s s)3P ( s)

1

Q ( s) s = s

1

K=d( s s )3P ( s)

12

1Q ( s)

dss = s

1

1d 23P ( s)

K13=( s s)

221Q ( s)

dss = s

1

Opti obrazac za koeficijente Krm; m=1,2,...,p viestrukog pola s=sr, viestrukosti p jeste:1d m1pP ( s)

Krm =( s sr )

( m 1)!m1

Q ( s)

dss = sr

Inverzna Laplasova transformacija polazne funkcije je:

1n

f ( t ) =K11t 2es1 t + K 12tes1 t+ K 13es1 t+ Ki es i t

2i=4

Primer:4 s + 9

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:F ( s) =.

( s + 2)3(s + 3)

Reenje:

11

F ( s) =K11+K12+K13+K4

( s +2)3( s+2)2( s + 2)(s + 3)

K 11 =( s + 2)3 F(s)=4 s + 9= 1

s = 2s + 3s=2

d3d 4 s + 93

K12 =( s+ 2)=== 3

F(s)2

dss = 2ds s + 3s=2( s + 3)s=2

1d 23

= 3

K13 = 22( s +2)

F(s)

dss= 2

K 4 = ( s + 3)F(s)s=3=4 s + 9= 3

( s + 2)3

s=3

F ( s) =1+33+3

( s +2)3( s+2)2( s + 2)(s + 3)

f ( t ) =1t2e2t+ 3te2t 3e2t+ 3e3t.

2

Mogu je i drugaiji pristup:

F ( s) =A+B+C+D=

( s +2)3( s+2)2( s + 2 )(s +3)

=( C + D)s3+ (B + 7 C + 6D)s2 + (A + 5B + 16C + 12D)s + 3A + 6B + 12C + 8D=

( s + 2)3 (s + 3)

4 s + 9

( s + 2)3 (s + 3)

Dobija se sistem jednaina: C+D=0B+7C+6D=0A+5B+16C+12D=43A+6B+12C+8D=9ija su reenja: A=1; B=3; C=-3; D=3. Sada je postupak do kraja isti kao kod prethodnog naina.

4. Funkcija F(s) ima viestruke konjugovano kompleksne polove.

Ovaj sluaj se reava primenom konvolucije.

Primer:

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:F( s) =1.

( s 2 +2 )2

Reenje:Polovi funkcije F(s) su s1,2 = s3,4 = j . F(s) poseduje dvostruki par konjugovano kompleksnih polova.f(t) = L111=1L1=1[sin(t) sin(t)]

s2 + 22s2 + 22

s2 + 2s2 + 2

12

f (t) =1tsin() sin((t ))d = 1t[cos(t ) cos((t 2)) d

22

2]

100

f ( t) =[ sin(t ) t cos(t)].

23