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Le calcul scientifique et la modélisation Exemple : les eaux souterraines
Jocelyne Erhel
Equipe SAGE de l’INRIA Rennes
Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1
Travail en collaboration avec Géosciences Rennes
(CNRS et université de Rennes 1)
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©Yves Chaux
L’eau sur terre et sous terre
L’eau potable en Bretagne:
70% eaux de surface
Quelques captages profonds
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©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
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Comprendre les phénomènes en jeu Gérer les ressources en eau Prédire les risques de pollution Aider à la dépollution
Modélisation des eaux souterraines
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Charge hydraulique H
Puits artésien : l'eau jaillit par pression.Cascade: l’eau tombe par gravité
H = P/ρg + zP pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur
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Gradient de charge hydraulique
© http://www.u-picardie.fr/~beaucham/cours.qge/du-7.htm
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Gradient de charge hydraulique
• En dimension 1: position x et fonction H(x)
Points x et x+l
H’(x) est le gradient de H au point x
• En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y)
Grad(H) est un vecteur avec 2 composantes
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Vitesse de l’eau
Loi de la conservation de la masse :
La somme des flux d’eau dans un volume élémentaire est nulle
La variation de la vitesse de l’eau est égale à la source d’eau
En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x)
Conservation de la masse: V’(x)=Q(x) En dimension 2 : vecteur V avec 2 composantes
div(V) = Q
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Loi de DarcyV = -K * grad(H)
La vitesse est proportionnelle au gradient de charge
Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère
HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D.
Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable.
HENRY DARCY
INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES.
1856
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Modèle de l’écoulement
Flux nul
Flux nul
H=
1
H=
0
Conservation de la masse
div(V) = Q
Loi de Darcy
V = -K * grad(H)
Conditions aux limites
Il existe une solution H
et elle est unique
En général, on ne sait pas calculer la solution H
H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité
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On sait calculer une
solution approchée
Simulation numérique sur ordinateur
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Solution approchée :discrétisation spatiale
On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique
Plus la grille est fine,
plus la solution approchée
est précise
Et plus le volume de
données et le temps de
calcul augmentent
div(V) = Q
V = -K * grad(H)
Conditions aux limites
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Modélisation de l’écoulement :système d’équations approché
On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille
On obtient un système d’équations linéaire
H1 H2
H3 H4
Les inconnues sont H1,H2,H3,H4
4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
Z
Z
Z
Z
H
H
H
H
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
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Simulation numérique
• On définit l’approximation avec une grille
• On définit un algorithme de résolution
• On écrit un logiciel
• On vérifie la solution calculée
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Charge H et vitesse V dans un milieu homogène
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Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène
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http://www.eaubretagne.fr/article/les-eaux-souterraines
http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/decouv/rubrique.html
http://www.brgm.fr/divers/nappes.htm
http://www.u-picardie.fr/~beaucham/
http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
http://ga.water.usgs.gov/edu/watercyclefrench.html
http://www.irisa.fr/sage
http://www.geosciences.univ-rennes1.fr/
Pour en savoir plus
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L’INRIA
• Découvrir la rercherche en informatique
http://interstices.info/jcms/jalios_5127/accueil
• Le site officiel de l’EPST
http://www.inria.fr/