le funzioni prof. antonelli roberto prof. antonelli r
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Le Funzioni Prof. Antonelli Roberto
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Una FUNZIONE è una RELAZIONE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un altro insieme B, detto CODOMINIO
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Si dice che y1 è IMMAGINE di x1 tramite la funzione f, e così per gli altri elementi
Si dice che x1 è CONTROIMMAGINE di y1 tramite f
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Questa è una funzione Questa non lo èA
B
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: Rappresentazione
Una funzione può essere rappresentata in modo insiemistico coi diagrammi di Wenn: in questo caso la freccia indica la relazione
Molto intuitivo ma poco pratico
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: Rappresentazione
Una funzione può essere rappresentata tramite il suo grafico, se sia A che B sono sottoinsiemi dei numeri reali: la x di un punto del grafico è un elemento del dominio, la y è la sua immagine
x1
y1
x2
y2
P
Q
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: Rappresentazione
Una funzione può essere rappresentata tramite un’equazione, in cui x è un elemento del dominio, y la sua immagine.
23xy senxy
xy
QUESTE SONOFUNZIONI
QUESTA NON E’ UNA FUNZIONE PERCHE’ NON E’ UNIVOCA: AD OGNI VALORE DI XCORRISPONDONO DUE VALORI DI Y
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: Rappresentazione
L’equazione di una funzione può essere data sia in forma ESPLICITA
y=f(x)
Che in forma IMPLICITA
F(x,y)=0
xy
2
02xy
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: Rappresentazione
Una funzione può anche essere definita PER CASI, ovvero può avere formule diverse a seconda del valore di x
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: valore assoluto
Un esempio è la funzione VALORE ASSOLUTO
y=|x|
0
0||
xx
xxx
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FUNZIONE: Heaviside
Un altro è la funzione di Heaviside o funzione a gradino
00
01)(
x
xxH
1
0Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: parte intera
La funzione “parte intera di x”, che ad ogni numero associa la sua parte intera
ZnnxnnxINT 1)(
1
0
2
3
1 2 3 4Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: iniettiva
Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento di B ha al più una controimmagine in A
f non è iniettiva perché y3 ha due controimmagini, x3 e x4
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
x4
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FUNZIONE: suriettiva
Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A
f non è suriettiva perché y4 non ha controimmagine
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
x4
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FUNZIONE: biunivoca
Una funzione si dice BIUNIVOCA se è iniettiva e suriettiva
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
x4
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FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI ALGEBRICHE: sono quelle nella cui espressione si trovano solo le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, l’estrazione di radice
FUNZIONI TRASCENDENTI: funzione esponenziale e logaritmica, le funzioni goniometriche e tutte le loro combinazioni
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI RAZIONALI: sono quelle in cui l’incognita x non compare sotto segno di radice
FUNZIONI IRRAZIONALI: sono quelle in cui la x compare sotto segno di radice
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: classificazione
FUNZIONI INTERE: sono quelle in cui la x compare solo al numeratore
FUNZIONI FRATTE: sono quelle in cui la x compare al denominatore
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: ricerca del dominio
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti quei valori di x per cui l’espressione che definisce la funzione ha significato.
La ricerca del dominio dipende dal tipo di funzione
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: ricerca del dominio
• in una funzione FRATTA bisogna porre il denominatore diverso da zero• in una funzione IRRAZIONALE con indice pari bisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero• in una funzione logaritmica bisogna porre l’argomento maggiore di zero• nella funzione tangente l’argomento deve essere diverso da /2+k
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FUNZIONE: positività
Lo studio del segno (o POSITIVITA’) di una funzione è uno degli elementi fondamentali per la determinazione del grafico della funzione.La ricerca della positività della funzione di equazione y=f(x) equivale alla soluzione della disequazione:
f(x)≥0
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: positività
Ad esempio, la funzione di equazione:
È positiva in -2 ≤ x ≤ 0 e x ≥ 2
xxy 43
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: positività
Graficamente la positività corrisponde a quegli intervalli dell’asse x in cui la curva sta al di sopra dell’asse.
Analogamente, la negatività corrisponde ai valori di x in cui la curva sta sotto l’asse
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: positività
La cosa può essere rappresentata cancellando con un tratteggio la parte di piano sotto l’asse x in corrispondenza della positività e sopra l’asse x in corrispondenza della negatività, a indicare che in quelle zone la curva non può esistere
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: positività
La positività della funzione di esempio -2 ≤ x ≤ 0 x ≥ 2Può essere così rappresentata
-2 0 2
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: positività
Questa rappresentazione rende spesso molto facile tracciare il grafico
-2 0 2
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: crescente
Intuitivamente, una funzione è CRESCENTE quando, all’aumentare del valore di x, aumenta anche il valore di y
x1
f(x1)
x2
f(x2)
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: crescente
Rigorosamente, una funzione si dice CRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che:
Allora risulta:
12 xx
)()( 12 xfxf Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: decrescente
Analogamente, una funzione si dice DECRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che:
Allora risulta:
12 xx
)()( 12 xfxf Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: monotonia
Una funzione che, in un intervallo, risulti o crescente o decrescente, si dice MONOTONA in tale intervallo.
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: pari
Una funzione si dice PARI se:
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y
)()( xfxf
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: dispari
Una funzione si dice DISPARI se:
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine
)()( xfxf
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: periodica
Una funzione si dice PERIODICA se esiste un numero T>0 tale che
Per ogni x del dominio.Il minore dei valori di T si dice PERIODO
)()( xfTxf
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FUNZIONE: inversa
Data una funzione f definita sul dominio A e codominio B, si dice RELAZIONE INVERSA la relazione che ad ogni immagine y di B associa la sua controimmagine x in A
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f-1
x4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: inversa
Non e’ detto che l’inversa sia una funzione: infatti ad esempio in questo caso non lo è perché non è univoca: a y3 sono associati due elementi, x3 e x4
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f-1
x4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: inversa
In questo caso invece anche l’inversa è una funzione, infatti è univoca.
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f-1
x4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: funzione invertibile
Quando la relazione inversa è una funzione allora la funzione si dice INVERTIBILE e la sua inversa si dice FUNZIONE INVERSA
Si usa il simbolo f-1
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f-1
x4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: funzione invertibile
Se una funzione è invertibile allora è univoca da B ad A; ma siccome lo è da A a B per definizione di funzione, allora:UNA FUNZIONE E’ INVERTIBILE SE E SOLO SE E’ BIUNIVOCA
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f-1
x4
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: invertibilità e monotonia
Una funzione crescente sarà anche biunivoca; infatti se x1>x2 allora f(x1)>f(x2), quindi non si verifica mai che assuma due volte lo stesso valorex1
f(x1)
x2
f(x2)
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: invertibilità e monotonia
Lo stesso se la funzione è decrescente.Quindi:
SE UNA FUNZIONE E’ MONOTONA ALLORA E’ INVERTIBILEx1
f(x1)
x2
f(x2)
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: invertibilità e monotonia
Non vale il viceversa; la funzione nel grafico non è monotona ma è invertibile; infatti non assume mai due volte lo stesso valore
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: funzione invertibile
Anche se una funzione non è invertibile su tutto il dominio lo può diventare se il dominio viene ristretto.
Ad esempio, la funzione y=senx non è invertibile perché assume più volte lo stesso valore, però se ristretta all’intervallo [-/2,/2] lo diventa e la sua inversa si chiama arcoseno
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: funzioni inverse
Funzione Dominio* Inversa Dominio
y=x2 x≥0 y=√x x≥0
y=x3 R y=3√x R
y=lnx x>0 y=ex R
y=senx -/2≤x≤/2 y=arcsenx -1≤x≤1
y=cosx 0≤x≤ y=arccos -1≤x≤1
y=tgx -/2≤x≤/2 y=arctgx R
*Dominio su cui la funzione è invertibileProf. Antonelli R.
FUNZIONE: ricerca dell’inversa
La funzione inversa si trova risolvendo l’equazione della funzione:
y=f(x)
Ovvero trovando x in funzione di y.Se il risultato è univoco allora la funzione è invertibile.
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: ricerca del codominio
Il codominio di una funzione coincide col dominio dell’inversa. Quindi, per determinare il codominio, si può procedere in questo modo:
• Trovare la relazione inversa• Determinarne il dominio
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: composte
Sia f una funzione definita su A a valori in B tale che:
y1=f(x1)E sia g una funzione definita su B a valori in C tale che:
z1=g(y1)Allora la funzione definita su A a valori in C che all’elemento x1 di A associa l’elemento z1 di c si dice FUNZIONE COMPOSTA di f e g
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: composte
La composta si può così indicare
z=g(f(x)) oppure z=g◦f(x)
Prof. Antonelli R.
Grafici: esponenziale
Prof. Antonelli R.
Grafici: logaritmo naturale
Prof. Antonelli R.
Grafici: seno
Prof. Antonelli R.
Grafici: arcoseno
Prof. Antonelli R.
Grafici: coseno
Prof. Antonelli R.
Grafici: arcocoseno
Prof. Antonelli R.
Grafici: tangente
Prof. Antonelli R.
Grafici: arcotangente
Prof. Antonelli R.
Grafici: quadratica
Prof. Antonelli R.
Grafici: cubica
Prof. Antonelli R.
Grafici: radice quadrata
Prof. Antonelli R.
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Per dare una definizione rigorosa di relazione è necessario ricorrere all’operazione di prodotto di insiemi
Dati due insiemi A, B si dice PRODOTTO CARTESIANO di A e B l’insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
Il simbolo è AXBProf. Antonelli R.
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Esempio:
A={x1,x2,x3}
B= {y1,y2,y3,y4}
AXB= {(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3)…ecc…}
Prof. Antonelli R.
RELAZIONI: prodotto cartesiano
Si dice RELAZIONE tra due insiemi A e B un qualunque sottoinsieme del loro prodotto cartesiano.
Si dice che la relazione associa al primo elemento della coppia il secondo elemento
Prof. Antonelli R.
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Ad esempio, questa funzione è formata dalle coppie:
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
AB
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
f
Prof. Antonelli R.