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Matematica per attività Le regole del gioco

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LE UNITA’ DIDATTICHE della MATEMATICA


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1. MATEMATICA PER ATTIVITA’

Le unità didattiche:

1.1 Le regole del gioco

1.2 Percentuali di democrazia

1.3 Il regalo

1.4 Formule e problemi

1.5 Il peso ideale

1.6 Per difetto e per eccesso

1.7 Il prezzo da pagare

1.8 Una questione di età e opinioni


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Le regole del gioco

Al di là del contenuto matematico specifico, creare le regoledi un gioco, spiegarle, giocare in gruppo rappresentaun’opportunità divertente per mettere a fuoco attività dimeta-riflessione e comunicazione, per confrontare risultaticon le premesse, per tenere conto di eventuali limitilogistici, condividendo difficoltà e successi.

Il problemaIl gioco della rana, una variante del giocodell’oca. Si chiede di costruire una tavola con unpercorso a caselle. Il gioco deve procedere con illancio di un dado a sei facce. Le caselle coloratesono speciali perché nascondono una formulasegreta che esegue un calcolo sul numero dellacasella (con dei vincoli: sequenze di 2 operazionipossibilmente diverse) e lo traduce in un numero(intero!) di caselle di avanzamento oarretramento.

Ogni gruppo deve stabilire le proprie regolesegrete relative alle caselle colorate. Oltre arealizzare materialmente la scacchiera, ogni gruppo deve scrivere le istruzioni delgioco e registrare le “formule segrete” in modo che possano essere comunicatead altri e controllate.

Nella fase successiva gli altri gruppi devono giocare e capire “le regolenascoste”.Chi arriva per primo alla casella finale vince se “indovina” le formule nascostenelle caselle speciali, altrimenti deve ripartire da capo.

Percorso 1

Il gruppo incontra una prima difficoltà: quante caselle sono necessarie?Intuitivamente, si decide di stabilire un numero non troppo grande (per nonappesantire il gioco) né troppo piccolo (per poter giocare più a lungo). Sirimanda alla stesura materiale del tavoliere e dei calcoli una valutazione ulterioredella questione.

Una sola casella per colore? Un risultato è generato da un’unica sequenza?Si prova ad abbozzare una tavola da gioco con singole caselle per ogni colore ead assegnare un primo punteggio nascosto: un ragazzo propone di far rimbalzare

? ? ? ? ?

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard M , Livello 2Individua, descrive e valuta strategiealternative, applica in modo intituitivor a g i o n a m e n t i d i t i p opredittivo/probablistico. Livello 3Applica consapevolmente una modalitàd i r a g i o n a m e n t opredittivo/probabilistico per ottimizzarele sue scelte strategiche. Descrive erappresenta sinteticamente procedure estrategie. Interiorizza il concetto diprobabilità.

RiferimeRiferimenti agli Standard.Area scientifica, Standard LLivello 2.

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard Lo 2 Individua, descrive e valutastrategie alternative, applica in modointituitivo ragionamenti di tipopredittivo/probablistico.. Livello 3Applica consapevolmente una modalitàd i r a g i o n a m e n t opredittivo/probabilistico per ottimizzarele sue scelte strategiche. Descrive erappresenta sinteticamente procedure estrategie. Interiorizza il concetto diprobabilità.

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard M , Livello 2Individua, descrive e valuta strategiealternative, applica in modo intituitivor a g i o n a m e n t i d i t i p opredittivo/probablistico.. Livello 3Applica consapevolmente una modalitàd i r a g i o n a m e n t opredittivo/probabilistico per ottimizzare


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dalla casella “2” alla 5 con il calcolo 2x2+1. Ma altri si accorgono subito chepartendo da 2 si può arrivare a 5 in molti modi diversi: 2+2+1; 2x3-1.

Come si può permettere al giocatore di verificare l’ipotesi giusta, ovvero lasequenza “generatrice”, inequivocabilmente (ad es. 2x2+1)?Qualcuno vorrebbe aggiungere spiegazioni alla casella, ad esempio, unafilastrocca enigmatica, ma questa possibilità viene bocciata perché sembraappesantire il lavoro e facilitare l’avversario.Altri avanzano timidamente la proposta di ripetere le caselle con lo stesso colore(stesso algoritmo), in modo che il giocatore possa verificare le proprie ipotesi. Sifanno dei tentativi partendo da numeri diversi2x2+1 (casella 2 ) 8x2+1 (casella 8)Questa scelta appare appropriata e viene accettata unanimemente.

Quante caselle colorate?Vengono proposte dai ragazzi ipotesi estreme: da un minimo di due a tutte lecelle dello scacchiere. Quest’ultima possibilità viene scartata perchéparalizzerebbe il gioco, per cui viene deciso di usarne un numero inferiore (tre-quattro…). Qualcuno però osserva che basta una casella che contraddica l’ipotesiiniziale per invalidarla.1

A questo punto si concorda sul fatto che sono sufficienti due caselle, anche sequalcuno obietta che metterne di più faciliterebbe la soluzione.

Quante caselle al massimo?Appena si affronta l’assegnazione delle celle colorate, diventa chiaro che ilnumero complessivo di caselle dipende anche dal loro numero, dalla lorodistribuzione e dalle regole di punteggio sottese.Qualcuno propone sequenze con fattori elevati (es. 25 x 8 x 2) , ma ognirisultato di valore alto impone un avanzamento che deve essere sostenuto daaltrettante caselle. Il numero massimo dipende dal risultato più elevato ottenutodagli algoritmi nascosti e dall’esigenza di inserire alcune caselle neutre peralleggerire il gioco. Si terrà conto di questi vincoli per abbozzare l’interopercorso.

La bozza di tavoliere comincia a prendere forma: si posizionano alcune casellecolorate iniziali, si inventa la formula nascosta, si verifica la possibilità di metterela seconda di ogni coppia in posizione centrale o terminale, ma in modo daavere ulteriori celle per gli spostamenti conseguenti.Il primo abbozzo di tavola viene realizzato scrivendo sul retro delle varie cellel’algoritmo relativo, del tipo: “…….x 2 +1. Due allievi dialogando fra loro notanoche la formula appare incompleta ma, osservano, “non può essere integrata conil numero della cella (es. 8 x 2 +1) perché è variabile e quindi la formulasembrerebbe ogni volta diversa”.

Si può descrivere questo calcolo in generale a prescindere dal numero dellacasella di partenza? Qualcuno azzarda una formulazione incerta tra il verbale edil simbolico (ieratica direbbero gli egiziani) del tipo “il numero della casella per 2più 1”. L’insegnante suggerisce di abbreviare la frase sostituendo un’unica letteraalle parole “il numero della casella”.A molti viene in mente che “numero” di solito viene abbreviato in “n°” oppure innr …… si arriva alla scelta dell’iniziale n. 1 L’insegnante può sottolineare come la riflessione sulla falsificabilità di un’ipotesi sia un fondamento del metodo scientifico


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La formula diventa n x 2 + 1. L’insegnante fa osservare che n x 2 rappresenta ildoppio del numero e quindi si può scrivere 2n + 1.

Il lavoro procede: si accumulano varie proposte fino ad una improvvisa battutad’arresto quando una ragazza propone una sequenza su cui ha risultaticontrastanti. Prova a spiegarli a parole: è partita con l’idea di sommare 3 e 20.Poi ha cercato di ricavare una seconda operazione dal 20 trovando 5 x 4.A mente, eseguendo ciascuna delle operazioni separatamente, ottiene 23 mapoi, al momento di registrare il calcolo, scrive la sequenza 3 + 5 x 4 e arriva adun risultato diverso (8 x 4 = 32)!L’insegnante propone un contro-esempio per chiarire dove si trovi l’errore.

Che cosa c’è di diverso fra le due espressioni?3+ 5 x 4 e (3 + 5) x 4Si tratta di regole di precedenza ma quali? Qualcuno ricorda vagamente che leparentesi introducono una priorità: (3+5) va risolto prima di moltiplicare.E allora il risultato diventa (8) x 4 = 32.La ragazza inizia a capire… Per contrapposizione, la prima espressione deveessere risolta diversamente…… “va risolta al contrario…. “come nella scritturaaraba!”: 4 x 5 + 3= 20+3=23 (i ragazzi maghrebini esultano! Si è arrivati allasoluzione voluta, con il loro supporto). L’insegnante fa osservare però che nonnecessariamente occorre invertire la rotta, basta “accantonare” il 3 ed eseguiresubito 5x4. Si arriva alla conclusione che esiste un ordine che può essere diversoda quello della scrittura occidentale da sinistra a destra: il calcolo dellamoltiplicazione ha la precedenza a meno che l’addizione sia fra parentesi e aprescindere da dove sia scritta.L’insegnante ricorda le precedenze: parentesi, potenze, moltiplicazioni e divisioni,addizioni e sottrazioni. Qualcuno osserva che le parentesi, insomma, alteranol’ordine pre-esistente, un po’ come la punteggiatura. Si ricorda un esempio trattoda un testo di matematica: le ragazze vanno a comperare occhiali da sole.

Lo studente: Costruisce regole del gioco? Individua criteri e vincoli ed enunciarli? Descriveprocedimenti, riconosce, variabili? Verifica la non biunivocità fra operazioni e risultati? Riconoscele regole di precedenza delle espressioni? Calcola sequenze di operazioni con variabili, controlla

risultati?

Percorso 2 azioni di rinforzoCome si possono “congelare temporaneamente” le operazioni che non hannoprecedenza, senza alterare l’ordine di scrittura?Questo punto riesce difficile ai più adulti: una volta compreso l’ordine diprecedenza, si tende a risolvere solo quelle operazioni e a perdere le altre…Una studentessa suggerisce verbalmente al gruppo la sua tecnica basata susottolineature, ordini mentali e incolonnamenti dei passaggi.

Si fa notare come una frase del tipo “prima moltiplichi e poi addizioni” conserval’ordine di precedenza ma non quello di scrittura.

Sono in molti a pensare che la calcolatrice tascabile possa risolvere questogenere di problemi automaticamente.

3 + 4 x 5riscrivi calcola3 + 20


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L’insegnante invita a sperimentare i due calcoli precedenti su una comunecalcolatrice (senza tasti di parentesi).

Appare evidente che i dati da “congelare” devono essere archiviati in qualchemodo. Per associazione di idee con i PC, si identificano presto i tasti di memoria.Come si calcolano le espressioni con la calcolatrice tascabile?

Molti sono abituati ad accendere e spegnere la calcolatrice ad ogni operazione.Si presentano le due sequenze diverse chiedendo di associarle opportunamentealle due espressioni precedenti. Alcuni pensano che l’espressione senza parentesicorrisponda alla sequenza senza tasti di memoria, perché più semplice. Siritorna a vedere quale dato doveva essere “archiviato”. Si fa notare che sel’ordine di precedenza delle operazioni è diverso da quella della scrittura sideve ricorrere ai tasti di memoria “M+; M-“ e richiamare e/o cancellare con iltasto RCM che richiama e cancella la memoria. A questo punto, nonostante lenumerose divagazioni, il tavoliere è pronto e le squadre avversarie sonochiamate a giocare.

3 M+ 5 X 4 M+

+ RCM CM

3 + 5 X 4


7

- 35 -


8

1 3

4 2 vai a 5

5

7 vai a

10

8

vai

a 17

9

10

9

vai a 3

10

fermati un turno

11

12 vai a 20

13

14 15 vai a 6

16 17 vai a 18

18

19

20 vai a 41

21 vai a 22

22

23 vai a 42

24

25

26 vai a 39

27 vai a 50

28 29 30 fermati 1 t.

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32 vai a 48

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35

36

37 vai alla 17

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39 40 41

42

43 vai a 20

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48 49

50 ferma un turno

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Matematica per attività: Una questione di età e di opinioni

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1.2 Percentuali di democrazia

Importante è la saldatura fra indicatori statistici,percentuali e aspetti di interesse storico, sociale ecivico, che rappresentano un terreno difficile perla gran parte delle persone in formazione. Inparticolare il linguaggio dell’educazione civica èmolto denso e rischia di essere imparatopedestremente o non essere pienamente compresoin raccordo con la realtà vissuta. Così pure, vi èun uso acritico e molto approssimativo di datistatistici, economici, ecc. spesso ripetuti sullafalsariga di slogan (“sette donne per ogni uomo”, ..). Questa unità rappresenta appunto unasaldatura fra l’esigenza di sperimentare procedure democratiche, di farne strumento per l’analisi diavvenimenti reali e la necessità di sfatare un errore matematico di senso comune, di solito connessoai meccanismi elettorali, ma in verità di più ampia estensione.

ProblemaCome individuare i vincitoridi un’elezione?

Fase 1Esistono degli operatorimatematici, che esprimanol a c o n d i z i o n e d imaggioranza a prescinderedal la consistenza delgruppo?Si parla di maggioranza,qualcuno prevede che i futuri delegati dovranno raggiungere la maggioranzasuperando la metà dei voti.Si chiede quale indicatore matematico può rappresentare la maggioranza;qualcuno propone un numero assoluto (ad esempio 14 su 26), ma questo valesolo per il gruppo specifico e non permette di confrontare gli esiti con altre classi.

Si fa un lavoro di traduzione dall’espressione linguistica a quella simbolica.“metà” = _ = 50% = 50/100 quindi bisogna ottenere un valore maggiore dellametà: voti > metà = _ = 50 % = 50/100

Lo studente: Converte espressioni verbali in notazioni matematiche? Scompone percentuali?Calcola percentuali per partizioni successive? Comprende la “dipendenza” delle percentuali dal

totale a cui sono applicate? Esprime le proprie procedure mentali?

La maggioranza assoluta si raggiunge con il 51% o con il 50 % + 1? 51% e50%+1 sono la stessa cosa? A questo punto dal gruppo emergono due posizioni:chi sostiene che la maggioranza si ottiene raggiungendo almeno il 51%, chiinvece parla di una persona in più, oltre alla metà.Si fa uno sforzo per trovare la formulazione adatta a questa seconda espressionefino ad arrivare a 50% + 1. In un primo momento le due percentuali sembrano lastessa cosa. Qualcuno azzarda: “se si considera la metà + 1 di 100 si ottiene 51.Sono la stessa cosa!” Rimangono delle perplessità. Nessuno si era mai posto ilproblema.Che cosa accade se si considera come valore di partenza il numero 200 invece di100?

Riferimenti agli Standard. Area scientifica, Standard LLivello 2. Seleziona informazioni riguardanticaratteristiche di gruppi ristretti di persone in funzione diuno scopo. Decifra le rappresentazioni grafiche e isimboli più ricorrenti per rappresentare dati dipopolazione. Elabora informazioni in base a schemiprefissati. Coglie analogie tra esperienze, fatti, fenomeni,procedure. Comunica in forma orale e scritta usando illinguaggio specifico di uso corrente. Condivide e affrontacon altri procedure e punti problematici.


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Tutti riescono agilmente a trovare la metà di 200, ma comincia ad insinuarsi unacerta insicurezza sul valore eccedente: 100 + 1 persona fa certamente 101, ma,nel caso del 51%, non si sa come manipolare l’1.Si ragiona sui metodi con cui comunemente vengono calcolate le percentuali amente, per partizioni successive di numeri semplici: ad esempio per calcolarepercentuali come 60 % o 75% di 200.L’insegnante chiede di eseguire il calcolo e di spiegare i ragionamenti che sonostati fatti per arrivare al risultato. Per il 60% molti dichiarano di giungere all’esitocalcolando prima il 50 % e poi il 10%. Con il 75% si calcola il 50% e poi la metà.Viene proposto di effettuare analoga scomposizione sul 51%.

In che modo viene scomposto 51%? 1% e 1 sono la stessa cosa?Il primo passaggio è rapido: 51% = 50 % + 1 % L’insegnante ripropone i motividella discussione iniziale, con la variante appena introdotta:51% = 50% + 1% e 50% + 1 sono la stessa cosa?

Non si riesce ancora ad intravedere la differenza fra i due operatori.Si chiede allora di eseguire il calcolo mentale dell’1% prima su 100 e poi su 200.I più veloci ad eseguire il calcolo sono spesso coloro che lo praticano ogni giorno,ma che non lo sanno scrivere; arrivano subito a trovare la risposta: “1% è 1 ogni100” “se l’1% di 100 è 1, allora l’1% di 200 è 2”.Questa frase traduce il concetto di proporzionalità diretta; è lontanadall’acquisizione formale del calcolo proporzionale, ma efficace per i casiquotidiani più semplici. “1% rappresenta 1 persona su 100, ma diventa 2persone su 200, 3 persone su 300. Insomma l’1% varia al variare del valore sucui viene applicato, mentre 1 persona rimane tale su 100, 200, 300…qualsiasi siail numero di partenza”.

Quale dei due indicatori è sufficiente per rappresentare la maggioranza assoluta?Tutti concordano che non appena si superi la metà, la vittoria sia garantita,quindi è sufficiente una sola persona, anche se qualcuno borbotta che sarebbemeglio adeguare l’eccedenza al crescere del numero di elettori (e quindi usare il51%). Si osserva che l’obiezione ha un senso ma che la scelta sociale è stata di“ridurre” al minimo lo sparti-acque per ottenere la maggioranza assoluta,conteggiando persone “intere”.Si procede quindi a calcolare tale valore rispetto ai numeri della classe (13 + 1 =14 su 26 persone) facendo vedere, per contrasto che il 51 % (50% + 1%)sarebbe stato 13 + 0,26 = 13,26.La presenza di cifre decimali strappa sorrisi ironici e convince anche i fautori del51% a convenire sulla comodità dell’altra ipotesi.L’insegnante ribadisce la “relatività” delle percentuali ed il loro valore comeparametro di confronto, chiedendo di eseguire il calcolo della maggioranzaassoluta con i dati di altre classi. Si suggerisce, invece, che saper ricavare l’1%ovvero 1/100 di un numero consente di calcolare qualsiasi altra percentuale,permettendo di chiarirne il meccanismo, ad esempio il 15% di 300 1% cioè1/100 di 300 è 3 ; 15% è allora 3 x 15 = 45.Questo modo di procedere si avvicina alle rappresentazioni mentali di gran partedegli adulti con scarsi o lontani ricordi scolastici e dà un senso ad automatismipiù complessi, che spesso tendono a dimenticare proprio perché non se necapisce la logica.Per chi incontra difficoltà a seguire i passaggi mentali si propongonorappresentazioni grafiche: aree quadrettate divise in 100, 200, 300 … partiuguali, in cui si possano evidenziare 1%; 50% + 1; 51% ecc.


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I più giovani della classe, timorosi di non aver rappresentanti della “propriacategoria” insinuano il sospetto che raggiungere la maggioranza assoluta,comunque, sia un’impresa ardua e chiedono se non ci siano altri sistemi.

Fase 2Che cos’è la maggioranza relativa?Si chiede proprio a questo gruppo (minoritario) di spiegare come prendono unadecisione (quale film, quale discoteca, quanti per la pizzeria…) quando sono inun gruppo numeroso. Rispondono con una serie di frasi, che suonano più o menocosì: “Seguendo la persona più convincente”, “votando per alzata di mano”, “raggiungendo il numero maggiore di consensi”.L’insegnante fa notare che, negli esempi riportati, prendono decisioni permaggioranza relativa, cioè è determinante chi riceve il maggior numero diadesioni rispetto agli altri (non necessariamente chi supera la metà deiconsensi). Nasce un breve confronto/scontro fra i minorenni ed i maggiorenni suche cosa comportino i due diversi casi di maggioranza assoluta e relativa, intermini di pre-accordi, rappresentatività, stabilità, probabilità di dissensi.

Come si vota per i delegati di classe?Dato che si devono scegliere due delegati, ha senso optare per una maggioranzarelativa. Si dispongono le schede di voto; su ciascuna vanno scritti due nomi. Sifa il conteggio dei risultati attraverso una griglia nominativa. Nasce il problema dicontrollare i risultati.Uno dei futuri eletti prende in mano la situazione: basta considerare il massimonumero di voti possibili (2 x 26=42) se tutti votano due nomi o eliminare votibianchi e nulli da tale numero.Si conta e si riconta, ma nasce una situazione imprevista: la maggioranzarelativa viene raggiunta da tre persone, due delle quali con uguale numero divoti. In questo caso ci sarebbero non più due, ma tre idonei ad essere eletti.

Come scegliere candidati con risultati ex-aequo?L’insegnante chiede in quali occasioni si sia dovuto scegliere fra due solicandidati. Un allievo migrante ricorda improvvisamente l’elezione del sindaco.Emergono alcune parole chiave: “elezioni amministrative”, “enti locali”,“ballottaggio”.Si prova a ricostruire i meccanismi di elezione del sindaco, in base ai ricordi dellevotazioni cittadine passate.Qualcuno ricorda di avere votato due volte per il sindaco.“E’ una situazione un po’ diversa da quella dell’elezione dei delegati di classeperché in quel caso bisognava scegliere un’unica persona, ma il problema èsimile”. “Bisogna ripetere il voto fra chi ha raggiunto pari risultato!”.“E già, dovendo scegliere un solo sindaco, si prendono i primi due votati e siripete il voto solo per loro!.” “ Così molti che hanno votato per altri possonoconcentrare la loro scelta sul “ minore fra i mali”. “ “Un solo eletto fra due solicandidati in questo modo riceve per forza il 51% ….oops il 50%+1 dei voti!”.L’insegnante insiste per verificare se si riesce a trasferire il meccanismo di calcolopercentuale anche ad altre frazioni.E se si vogliono maggiori garanzie di unità e stabilità degli schieramenti?La maggioranza assoluta sembra già una buona garanzia, ma l’ipotesi di alzare laposta soddisfa chi ama la rappresentatività diretta.Si immaginano valori di maggioranza più alti: 100%, l’unanimità sembra la cartavincente ma fa sorgere il dubbio di essere un traguardo irraggiungibile e tuttosommato non così auspicabile perché sintomo di un appiattimento interno.


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Qualcuno propone il 75% perché facile da calcolare.

Non si è molto lontani dalla pratica reale; l’insegnante parla della maggioranzaqualificata dei 2/3 dei voti di Camera e Senato, per eleggere il Presidente dellaRepubblica. Ci si interroga se sia maggiore 75% o 2/3. Non tutti riescono atrasferire il calcolo dalle percentuali alle frazioni. Si ricostruiscono i ragionamentirelativi alle percentuali, per affinità. “Prima si calcolava l’1% quindi qui bisognacalcolare 1/3 e poi 2/3!”. Dapprima si sperimenta sulla classe, poi se deputati esenatori sono in tutto 1050……e la storia continua.

Lo studente: Riconosce la differenza fra maggioranza assoluta e relativa? Collega esperienzepersonali con parametri convenzionali? Confronta e trasferisce il calcolo percentuale a frazioni?


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1.3 Il regalo

Si sviluppa qui l’evoluzione dal linguaggio familiare aquello sintetico e simbolico attraverso il dispiegarsi di treattività che affrontano lo stesso problema consentendol’attivazione di operazioni mentali diverse. Per ciascunaattività l’insegnante propone processi di riflessione e diconsapevolezza connesse ad atti concreti agiti daglistudenti.

Il problemaCome è possibile ridurre lo spreco di carta quando si fanno pacchetti?Come ottimizzare ulteriormente il consumo di carta per fare o rivestire scatole?

Attività 1

Lo studente: Prevede e provvede l’occorrente(materiali)? Progetta il lavoro e divide icompiti ? Effettua misurazioni dirette

informali? Comunica (da termini correnti atermini convenzionali), dà e riceve istruzioni?Esegue il lavoro manualmente, registra dati,numeri e disegni? Riconosce in un manufatto3 d le figure geometriche componenti 2 d?

Si decide di sfruttare le competenzedelle commesse per affrontare ilproblema: devono mostrare edescrivere come preparare pacchettiregalo.Si formano gruppi di lavoro condivisione e condivisione dei compiti,tutto il gruppo deve realizzare azionidi confronto, revisione e controllo.

All’interno di ogni gruppo chi haabitudine a lavori di questo tipo esegue concretamente il compito, lo descrive“avvolgere grossolanamente ogni scatola, ritagliare approssimativamente il pezzodi carta complessivo adatto ad ogni scatola”.L’insegnante chiede che sia sintetizzata la descrizione in modo schematico.Si lavora sul linguaggio con la consegna di usare il minor numero di parolepossibili, scegliendo termini che non siano equivocabili.2 Si cerca unarappresentazione grafica che dia il senso di una successione di azioni fino adarrivare alla definizione di un diagramma di flusso informale.

2 Suggerimento:insistere sul linguaggio, inteso come sintassi, glossario, semantica permette non solo di motivare e farinteragire italiani e migranti, ma è un elemento forte di meta-riflessione.

Riferimenti agli Standard. Area scientifica,Standard B, Livello 2 Analizza e risolve sempliciproblemi di contabilità, amministrazione e arredoricorrenti nella vita quotidiana, utilizzandoconoscenze ridotte ma strutturate di aritmetica,misure, geometria. Applica procedure guidateconvenzionali di soluzione. Utilizza un minimolessico specifico e rappresentazioni grafiche percomunicare con altri e usufruire di servizi.Standard F, Livello 2, Amplia e sistematizzaconoscenze su numeri (decimali), operazioni,misure e geometria, in supporto a possibilitàoperative, di gestione e valutazione rispettoproblemi del lavoro. Generalizza alcuni concetti eprocedure; costruisce un l inguaggiomultifunzionale del lavoro. Coglie aspetti eprocedure matematiche inerenti a mansionilavorative.


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Quali termini spaziali? Quali termini geometrici? Quante facce?

Dal dialogo con gli allievi, emerge che “la carta necessaria” per scatole a formadi cubo o parallelepipedo può essere vista come figura bi-dimensionale(quadrato o rettangolo), stendendo la carta.

Quanta carta?“Il rettangolo ha larghezza e lunghezza che sono la somma degli spigoli dellesingole facce, più la carta da sovrapporre”.Per chiarire la rappresentazione si ricorre al disegno e all’uso di simboliconvenzionali (es. larghezza = a+b+c).

e se aprissimo la scatola e la sovrapponessimo alla carta?

Qual è la minima estensione?

Attività 2

Se invece di fare pacchetti si volessero rivestire o costruire delle scatole, comeprevedere con precisione quanta carta/cartone serve? ad esempio per farle inserie?L’insegnante chiede di misurare l’oggetto reale con l’uso di strumenti e registrarele misure con notazioni numeriche (anche decimali) per poi trasferirle sulla figurasviluppata o ricostruire la figura.

a b c

d

e

f

g

La ripiegatura ed il disegno facilitano larisposta: la minima estensione è quellache si può ricavare da una figurab i d i m e n s i o n a l e , o t t e n i b i l esottolineando le ripiegaturecorrispondenti agli spigoli.

I più esperti esplicitano quantonell’attività concreta erainespresso e cioè che non solo lacarta ma anche la scatolatridimensionale può essere vistacome figura bidimensionale.


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Lo studente: Prevede le misurazioni necessarie per un solido? Effettua misurazioni con strumenti,rappresenta le misure con notazioni convenzionali, verifica lo sviluppo su un piano di una figura

solida, trasferisce le misure su disegno o ricostruire la figura bi-dimensionale composta, verifica lacorrettezza delle previsioni costruendo il solido? Calcola dimensioni, aree, perimetri di figure

composte, scegliere le grandezze) funzionali allo scopo (dimensioni, perimetri, aree)?

Quali elementi devono essere considerati per ricoprire/costruire la scatola?

.

Quali elementi sono importanti per decidere quanta carta sia necessaria?

Si arriva a vedere la figura come somma di tanti rettangoli, ma alla fine se nescelgono due (R1 orizzontale;R2 verticale) e dal gruppo emerge la proposta ditenere conto della superficie totale.Altri suggeriscono invece di considerare la lunghezza complessiva del profilo dellafigura (perimetro). Si individuano le dimensioni (composte) di ogni rettangolo(R1, R2) necessarie per ricavare sia l’area che il perimetro.3

Quali procedure per calcolare le due grandezze? Si trova qualche difficoltà arichiamare i singoli segmenti. Qualcuno, guardando le prime rappresentazioni,usa le lettere lì riportate per indicare i singoli lati. “si devono sommare i singolipezzi (a + b + c) e poi considerare d…. così pure sommare (e+f+g) e poi b…. ”4

Con questa modalità verbale e informale, si ritorna ai valori numerici e si enunciala procedura per il calcolo dell’area.A R1 = (15+20+15) . 15= 600 cm2 A R2 = (10+15+10) . 20= 700 cm2AT = 1300 cm2. Anche per il perimetro si considera la via più veloceAlcuni disaggregano i calcoli, altri usano sequenze di operazioniP T = (10 + 20 + 10) . 2 + (10+15+10) . 2 = 8 + 70 = 150 cmRimane qualche imbarazzo nel considerare il lato orizzontale di 20 cm (interno),ma si conclude che rispetto al calcolo lo si può utilizzare indifferentemente alposto di quello esterno in basso.

Sorge un dubbio: scatole con dimensioni diverse possano portare allo stessorisultato? Per verificare l’ipotesi, l’insegnante propone come contro-esempio, di

3 Suggerimento: una possibile fonte di errore nel calcolo del perimetro è la considerazione dei lati interni comuni.4 Suggerimento: il riferimento a lettere potrebbe essere utilizzato per introdurre una formula

15cm

2 cm

10cm 20 cm 10 cm

10 cm R2 15 cm 10 cm

R1 Si individuano le tredimensioni rappresentatedagli spigoli delle tre facceopposte. Trasferendole conqualche difficoltà sullafigura disegnata appaionoevidenti le parti utili.


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trovare figure con dimensioni diverse a partire dalla stessa area oppure dallostesso perimetro, utilizzando disegno o calcolo.5

Per l’area, si suggerisce di iniziare cercando coppie moltiplicative che diano comerisultato il valore calcolato per la scatola (totale e dei singoli rettangoli). Siscopre che in questo caso area e perimetro non sono adeguati allo scopo diprevedere con precisione la quantità di carta necessaria, perché valoriequivalenti possono corrispondere a figure diverse. Si ridiscute il problemaosservando nuovamente la figura, fino a concludere che gli elementifondamentali sono le due dimensioni composte dei rettangoli.6

Attività 3Quante scatole al massimo si possono rivestire/ costruire con un foglio didimensioni prefissate (es. 90 cm x 90 cm)?

Lo studente: Suddivide “modularmente” lo spazio, ottimizza? Confronta misure di singoli “moduli”e complessive? Disegna figure piane?

5 Suggerimento: una possibile fonte di errore nel calcolo del perimetro è la considerazione dei lati interni comuni,:ragionare tenendo conto di vincoli allena ad affrontare problemi complessi6 Possibile estensione: come ulteriore esercizio si può proporre di prevedere quanto spago sia necessario a chiudere unascatola.

ciascun gruppo prova adisegnare composizionidiverse a partire dalmodello sviluppato e poi leconfronta


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1.4 Formule e problemi

Si cerca di smitizzare l’ossessione del numero, delcalcolo, del risultato, insistendo invecesull’esplicitazione e la sintesi dell’algoritmo fino adarrivare alla rappresentazione sintetica, attraversoformule letterali, della struttura di una procedura.

Percorso 1L’insegnante inizia proponendo un problema: una guida turistica che accompagnagruppi a visitare Pompei chiede, per il giro, unacerta quota a persona. A ferragosto accompagnaun gruppo, composto da un certo numero dituristi, al mattino, e un altro, più numeroso, alpomeriggio. Alla fine della giornata quanto avràincassato?

Lo studente: Analizza in astratto una situazioneproblematica, senza l’ausilio della concretezza di dati

numerici? Coglie relazioni, verbalizza procedure mentali?Sceglie una strategia facendo riferimento ad un criterioesplicito? Usa simboli per effettuare sintesi, utilizzare

procedure di controllo?

Step 1Come si può risolvere?Immediata obiezione del gruppo: non ci sono numeri, non si può risolvere!!!L’insegnante fa notare che la richiesta che è stata fatta è come risolvere ilproblema, non il risultato.Propone quindi di provare a descrivere la procedura di soluzione senzapreoccuparsi, per una volta, dei numeri.C’è una piccola discussione ed emergono due possibili strategie di soluzione. Sidiscute sulla formulazione migliore e infine vengono trascritte alla lavagna: pertrovare il risultato si moltiplica la quota individuale per la somma del numero dituristi del gruppo del mattino con il numero di turisti del gruppo del pomeriggio;per trovare il risultato si moltiplica la quota individuale per il numero di turisti delmattino, poi si moltiplica la quota per il numero di turisti del pomeriggio e infinesi sommano i due risultati.

Step 2Quale delle due?Bisogna scegliere una delle due strategie: l’insegnante chiede quale criterio discelta potrebbe essere adottato. La risposta è praticamente unanime: quello delminor numero di calcoli. Si analizzano quindi le due alternative, sottolineando leparole che indicano operatori, e si sceglie la prima.L’insegnante poi, prendendo spunto dal criterio “economicista” espresso dalgruppo nella scelta della soluzione e dal fatto che la frase appare piuttostofarraginosa (“è una complicazione, meglio i numeri…”) propone un “risparmio”ulteriore: provare a descrivere la stessa procedura usando meno parole possibili:risultato = quota x turisti mattino + turisti pomeriggio.

A questo punto viene proposta una verifica: si sostituiscano alle parole datinumerici e si veda se tutto torna.

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard M Livello 3Applica consapevolmente unamodalità di ragionamentopredittivo/probabilistico perottimizzare le sue sceltes t ra t eg iche . Descr i ve erappresenta sintet icamenteprocedure e strategie. Interiorizzail concetto di probabilità.




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Il gruppo discute, a partire anche da esperienze personali, sui valori numerici daattribuire ai dati del problema e alcuni già calcolano a mente il risultato finale.Emerge un fatto sconcertante: il risultato calcolato a mente non corrisponde alvalore che risulta dall’esecuzione dei calcoli secondo la sequenza scritta prima.L’insegnante chiede a qualcuno di ricostruire l’ordine dei calcoli fattimentalmente, di ragionare a voce alta: appare chiaro che la prima operazioneche viene svolta è la somma: bisogna quindi trovare il modo di segnalare inmodo inequivocabile nella descrizione della procedura il fatto che prima vaeseguita la somma e successivamente il prodotto.

Step 3Come indicare la priorità?Si ragiona su quale possibile segno o simbolo possa essere utilizzato e vengonofatte varie proposte: sottolineature, asterischi, frecce…., finché si arriva allacerchiatura dell’operazione che ha la priorità.Da lì alla parentesi, che riecheggia lontani ricordi scolastici, il passo è breve.risultato = quota x (turisti mattino + turisti pomeriggio).

Step 4Come sintetizzare ulteriormente?L’insegnante osserva che la frase è ancora piuttosto “pesante” e propone diprocedere ad una sintesi ancora più estrema: sostituire alle parole dei simboli,che possono essere le iniziali delle parole stesse.Viene concordato che risultato diventa r, quota q, turisti del mattino m, turisti delpomeriggio p.r = q x (m + p)

A questo punto l’insegnante fa notare come i numeri siano diventati, tuttosommato, irrilevanti: la guida può essere più a buon mercato o più cara, i gruppipiù o meno consistenti, ma una volta individuata la formula che descrive laprocedura di soluzione di un problema il gioco è fatto.

Un’ultima osservazione: viene fatto notare che la r di risultato, dato cherappresenta l'incognita, cioè il numero che non si conosce in partenza e che sivuole calcolare, può essere sostituito dalla lettera x, che tradizionalmente haquesto significato (x era la lettera iniziale della parola araba “cosa”).Prima di chiudere questa attività, l’insegnante propone un’operazione difeedback. Per accertarsi che strada facendo non si sia perso il significato inizialedella richiesta del problema, chiede di ricordare che cosa rappresenti la x. Alcuneincertezze indicano ancora difficoltà a collegare il testo del problema alla suaespressione sintetica.Mettendoli a confronto si arriva a mettere in corrispondenza la x e la domandafinale del testo, e si nota come la sequenzialità sia invertita. Da lì si arriva allaesplicitazione dell’incognita.Percorso 2L’insegnante propone un altro problema, caratterizzato dal fatto di presentaremolti dati, di cui alcuni ridondanti.L’intenzione è di stimolare l’operazione della sintesi, attraverso lo studio di unasituazione banale, ma che necessariamente va ridotta agli elementi essenziali perpoter essere decifrata. Si insiste sul resoconto verbale, da parte degli allievi,

delle riflessioni e dei ragionamenti fatti, nel tentativo di favorire una praticametacognitiva.


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Lo studente: Seleziona gli elementi e le relazioni significative nella descrizione di una situazioneproblematica? Verbalizza strategie mentali? Seleziona dati, individuando distrattori e informazioniininfluenti? Elabora una strategia e utilizza simboli per rappresentarla, metariflette su questioni di

metodo?

Luigi è andato in vacanza: dapprima si è recato a visitare una città d'arte lontana300 km da casa, poi ha raggiunto una città di mare, lontana 200 km dallaprima. In tutto il viaggio è durato 6 giorni. I viaggi in treno gli sono costati 34euro (primo spostamento), 20 euro (secondo spostamento) e 48 euro (viaggio diritorno). Per gli alberghi e i ristoranti ha speso 450 euro, di cui 50 in colazioni albar, per tutte le altre spese 110 euro. Quanto ha speso in media al giorno?

Step 1Qual è la formula di soluzione?Tutti cominciano col dare diligentemente una lettera ad ogni dato elencato neltesto ma ben presto ci si accorge che c'è “qualcosa che non va”: i dati sonomolti, alcuni non si sa dove metterli (le distanze tra le città…) altri suscitanoperplessità (i 50 euro delle colazioni..).L’insegnante suggerisce di tralasciare i dati specifici e di provare invece ariassumere il senso ultimo del problema e invita il gruppo a provare insieme, conla modalità del ragionamento a voce alta, dell’espressione verbale del propriopensiero, a ricostruire e precisare l’immagine mentale della situazione cheognuno si era fatto nel momento in cui aveva iniziato a stendere la descrizionedella strategia.

Step 2Quali sono gli elementi essenziali? In sintesi quale situazione descrive ilproblema?Alla fine del confronto il gruppo concorda che il problema “ridotto all’osso” siconfiguri in questo modo. un viaggio di un certo numero di giorni, una serie dispese, l'incognita è la media al giorno, e lo rappresenta attraverso la formula: x= spesa totale: numero giorni che diventa x = s : g.L’insegnante a questo punto, invita gli allievi a verificare quali dati includerenella spesa totale. Si prende nuovamente in esame il testo e, analizzando i datialla luce della formula definita prima, si scopre che vengono elencati anche datiirrilevanti (le distanze tra le città) e superflui (il costo delle colazioni, riportato inmodo un po’ ambiguo), di cui non va tenuto conto.

Step 3

Ripensando all’attività appena svolta, come deve essere, quindi, l’approccio adun problema?L’insegnante chiede di ripercorrere e descrivere verbalmente le fasi dell’ultimolavoro. Fatto questo, si ragiona sull’utilità, davanti ad un problema, di nonaffrontare subito i dati specifici, ma, in prima battuta, di sintetizzare la situazioneenucleando gli elementi essenziali e costruire su questi la strategia di soluzione;solo in seguito si sceglieranno i dati e si applicherà la strategia.

Lo studente: Interpreta una semplice formula? Coglie relazioni ed individuare risultati parzialiimpliciti? Traduce l’incognita in una domanda?

Percorso 3L’insegnante a questo punto propone un quesito connotato dall’operazionecognitiva inversa: si parte dalla formula risolutiva di una situazione problematica


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per decifrare il significato dell’incognita, effettuando quindi un’operazione di tipoanalitico.In una fabbrica lavorano 35 operai, e i pezzi fatti in una giornata sono 4250. Peruna settimana (5 giorni lavorativi) 6 operai sono in mutua.La formula risolutiva è: x = p : O x o x gper p = pezzi prodotti O = numero totale operai o = operai malati g =giorni di mutua.Qual è la domanda del problema?Inizialmente un po’ di sconcerto: la formula appare incomprensibile.Qualcuno propone di sostituire direttamente i dati numerici “perché così magariè più chiaro, anche dal tipo di numero che risulta alla fine…”. Gli altri non sonoconvinti :“…sembra un po’ di tirare ad indovinare…”

Step 1

Come iniziare?L’insegnante suggerisce di non guardare la formula nel suo insieme ma dianalizzare ogni singolo passaggio, attribuendo in modo esplicito ad ogni simboloil suo significato in modo da capire quale risultato parziale viene ottenuto.Per esempio, la prima operazione: se si divide il numero di pezzi prodotti in unagiornata per il numero totale di operai che cosa si ottiene?La domanda così espressa non appare difficile e tutti sono in grado di rispondere.Chiarito quindi che “p : o” corrisponde al numero dei pezzi prodotti da ognioperaio in un giorno, l’insegnante chiede che ognuno provi ad analizzare i duepassaggi successivi, esplicitando in parole il risultato parziale e poi quello finale.

Step 2

Come continuare?Dopo una fase di lavoro individuale, che lascia ancora nell’incertezza diversepersone, si ritorna alla dimensione collettiva e l’insegnante invita a “raccontare”le riflessioni fatte, sia quelle che sono state “produttive”, sia quelle che si sonoarenate, e a provare a rappresentarle anche attraverso schemi e disegni allalavagna.La verbalizzazione e descrizione dei propri ragionamenti appare difficile per tutti,soprattutto per chi, ed è ovvio, non è riuscito ad arrivare alla conclusione: glischemi grafici, però, e l’analisi e la confutazione degli errori, che è molto vivace epuntuale, aiutano a dissipare le ombre rimaste.Alla fine del confronto, una volta che il gruppo concorda sulla descrizionedell’incognita, la si traduce nella domanda finale del problema.

Percorso 4Si ritorna al discorso delle formule e dopo aver velocemente ricordato quelle peril calcolo dell'area di rettangolo e triangolo, viene proposto un esercizio perverificare ed esercitare la comprensione di formule e riflettere sulle modalità dicomunicazione di procedure e concetti.

Lo studente: Compie operazioni di scomposizione e ricomposizione di figure regolari? Analizza edillustra formule collegandole a concetti geometrici? Usa un lessico preciso ed un linguaggio

sintetico?

Quali sono le formule giuste per calcolare l'area della figura ?Prima di dare la risposta descrivi a parole il significato della formula


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1) A = a x b

2) A = 2 x a x b

3) A = 4 x (a x b : 2)

4) A = a + b + a + b

5) A = (a x b : 2) + (a x b : 2)

Step 1Come può essere “vista” la figura?Prima che gli allievi affrontino il problema sistudia insieme la figura, che vieneidealmente scomposta e ricomposta (può essere vista come quattro triangoli,due dei quali, ribaltandosi, creano un rettangolo, oppure come due triangoli).

Step 2Come spiegare le formule?Dopo questa riflessione gli allievi affrontano il problema di riuscire ad esprimerecon frasi, il più possibile sintetiche, ma chiare, il significato delle formule tra cuiva effettuata la scelta.Proprio analizzando le frasi esplicative proposte dal gruppo viene introdotta unapiccola ricerca sul linguaggio, ed evidenziata l’opportunità di un certo rigore, lanecessità di utilizzare termini precisi e significativi ( es. come si possonodescrivere a e b?).In prima istanza la tendenza è di tradurre pedissequamente la formula; peresempio la seconda formula diventa: 2 moltiplica la semidiagonale maggiore chemoltiplica la semidiagonale minore, ma nell’obiettivo, ribadito dall’insegnante diraggiungere una sintesi ed un’eleganza maggiori, il “2 moltiplica” può diventare“il doppio” e “la semidiagonale maggiore che moltiplica la semidiagonale minore”può diventare “il prodotto delle semidiagonali” e così via. Si fa anche notarecome i termini “il prodotto di” rimandi in questo caso direttamente al concetto diarea. L’area di che cosa?

Step 3Quale significato geometrico hanno?Accanto a questo lavoro sul linguaggio, infatti, va affrontato l’obiettivodell’esercitazione.Per ogni frase si analizza quindi anche l’aspetto geometrico.Alla fine, dopo aver studiato da entrambi i versanti ogni formula, il gruppo decidequali sono adeguate a risolvere il problema.


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1.5 Il peso ideale

Il contesto genera il problema. L’insegnanteaiuta a riorganizzare i pensieri liberi in unpercorso razionale. Il senso della propostache segue non è tanto quello di arrivare ad unrisultato definito, quanto di abituare adarticolare ipotesi, ragionamenti, relazioni cheabbiano coerenza e ad esplicitarle con unaspirale di azioni di rinforzo reciproco delleidee, con compagni ed insegnanti.

Problema

Qual è il peso ideale? Come determinarlo?

(P. Marmocchi, L. Raffuzzi, Le parole giuste; La Nuova Italia Scientifica, Roma 1993, pag 83)

Percorso 1Relazioni pericolose: quali fattori sono correlati al peso? L’insegnante chiede dipassare rapidamente in rassegna tutti gli elementi che potrebbero influire sulpeso di una persona.Inizialmente si confonde la questione con la ricerca delle cause (cioccolatini,pasta, sedentarietà..).

Si cambia il tipo di domanda: a parità di peso, che cosa determina un aspettodiverso? quali elementi sono correlati al peso?Subito emergono una miscela di caratteristiche qualitative e quantitative: sesso,statura, proporzioni, distribuzione del grasso, tipo di ossatura, età, mansioni dilavoro, gusti culturali, auto-stima, accettazione di sé, benessere, il numero dipasticcerie sotto casa, il gradiente nord-sud…


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Non si sottovalutano le osservazioni apparentemente “impertinenti”, perchéavvicinano ad un concetto di salute che tiene in considerazione anche parametripsicologici, sociali, culturali.

Prima di passare a determinare dei parametri quantitativi, si cerca di trovare “lerelazioni” fra gli elementi individuati. Lagamma viene poi ristretta ai soli fattori fisiciper la difficoltà a trovare criteri comuni suglialtri.“le proporzioni fisiche sono molto variabili edifficili da collegare al peso; gentemagrissima può avere la pancetta..”sostiene Franca, una baby sitter.“Si potrebbe misurare l’adipe …ma, ohimè,varia nei vari punti del corpo”Delia, una aspirante Os: “Più si è alti e piùsi può pesare”, “il peso deve crescere inbase alla statura”Ci si avvicina al concetto di funzione.Per Anka, una badante romena:“Chi ha unastruttura ossea forte, appare grossa anchese non ha adipe, quindi……Dovrebbe pesaredi meno.”Come rappresentare variabili e relazioni?Si cerca di condensare i termini della questione in modo da poterli rappresentaresimbolicamente.Percy (meccanico in Perù e badante in Italia): “E’ facile: statura= altezza=fattore A (oppure h)”. “In metri? In centimetri?”. Tutti concordano sul fatto chesia meglio evitare la virgola. Delia azzarda uno schema affiancando peso estatura:

P A P A

Percy: “Il peso deve dipendere dalla statura, ma non può essere uguale, bisognatogliere qualche cosa..”Anka: “ togliendo un metro dall’altezza si ha un valore vicino al peso…” (stessoordine di grandezza).Molte si interrogano, lasciando ad altri la possibilità di intervenire e poireplicando.“Ossatura? Come tener conto di un ossatura più o meno consistente?”Pesare le ossa appare difficile, qualcuno parla di dimensioni. Si chiede soccorsoalla geometria per individuare le dimensioni adatte a definire la consistenzaossea; la lunghezza delle ossa viene scartata perché già implicitamente presentecon la statura. Maria, un’aspirante operatrice sanitaria di origine ecuadoriana, hain mente una parola, cerca nel dizionario e ne trae il termine “spessore”.Una sua compagna pensa alle ossa più adatte e alla loro forma per ricavarne laconsistenza.Inizialmente la scelta cade su cranio, bacino, torace, ma poi si scartano perchésembrano troppo complessi.Qualcuno ricorda episodi in cui la polizia migratoria ha rilevato l’età di unapersona in base alla radiografia delle ossa del braccio.Si converge sul “polso”.L’insegnante chiede di immaginare la sezione perpendicolare di un polso.Si stenta a trovare la parola giusta. Franca propone: “cerchio, ovale”.

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard E Livello 3, Opera sunumeri e misure usando formalismimatematici, adattati a specifiche esigenze dicomunicazione in campo sanitario. Reperiscedati ed informazioni attinenti al tema dellasalute. Comunica utilizzando terminispecifici di uso corrente. Livello 4.Trasferisce, contestualizzandoli, gli strumentimatematici necessari ad analizzare, valutare,risolvere problemi generali relativi allasalute; descrive casi e situazioni usandotermini qualitativi e quantitativi. Analizza evaluta questioni controverse avvalendosi dida t i soc io - s ta t i s t i c i , economic i ,epidemiologici.


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Trovare un valore che rappresenti le dimensioni diventa relativamente facile,anche se si stenta a focalizzare i termini precisi, ma alla fine si arriva a parlaredi “diametro e di circonferenza” (Percy).

Viene scelta quest’ultima perché è difficile misurare il diametro del polso che hamisure diverse nelle due direzioni.Qualcuno dubita che la circonferenza si misuri in cm, ma viene convintosrotolando un cinturino.Comincia a nascere un’idea di proporzionalità: “il peso ideale deve essere legatoalla statura e, in modo diverso, alle dimensioni dell’ossatura”.

Lo studente: Costruisce congetture, verbalizza ragionamenti? Individua dati critici?Individuarelazioni e funzioni? Sintetizza relazioni?

Percorso 2Come interpretare la formula del peso ideale?L’insegnante si congratula per l’ingegnoso flusso di idee e, per far vedere chenon si è molto lontani da criteri convenzionali, propone di analizzare due formuleutilizzate in campo medico per calcolare il peso ideale.

Lo studente: Ragiona con variabili, interpreta formule? Prevede gli esiti di una relazione in astratto?Riconosce simboli, ordina numeri decimali?

Peso ideale. Formula di Lorenz

Peso ideale. Formula di Lorenz corretta (correzione sulla dimensione scheletrica)

(da C. Rescigno, Elementi di Educazione Sanitaria” La Nuova Italia Ed., Scandicci Fi 1991, pag34)

Che cosa significano le lettere?L’interpretazione di lettere e simboli richiede un po’ di tempo. In particolare, laseconda tabella risulta piuttosto laboriosa, tanto da richiedere la scrittura dialcune frasi come promemoria: “r è il rapporto fra altezza e la circonferenza delpolso, deve essere maggiore o uguale o minore di alcuni numeri…”. Qualcuno


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osserva le differenze fra i due sessi, altre vogliono provare a calcolare il pesoideale con i propri dati.

Come variano le relazioni? Come prevederne gli esiti senza calcoli?L’insegnante chiede di pazientare e di provare invece a prevedere variazioni delpeso e del fattore di correzione (crescite e cali), in astratto, senza ricorrere adesempi numerici. Inizialmente, dalla prima tabella, si coglie la relazione direttacon l’altezza, ma è forte la tentazione di provare con numeri. (Franca)Per vincerla, si prendono in esame le operazioni in gioco, disaggregando la primasottrazione ed il rapporto e poi immaginando la variazione di ciascun algoritmo alcrescere e calare degli “operandi”.Si soppesano le sottrazioni (viene tolto 1 metro! E poi un altro valorecomplesso); quindi l’altezza viene corretta per difetto…Un’ostetrica peruviana nota che il numeratore della frazione potrebbe diventarenegativo per basse stature. “In tal caso la frazione dovrebbe essere…. Ed il pesodovrebbe essere…” .Riesce a condurre in porto il ragionamento, fra l’incomprensione generale. Lorispiega: “Togliere una cosa negativa è come aggiungerne una positiva … togliereuna bassezza (un’altezza negativa) è come aggiungere un’altezza!”.L’insegnante conferma il paradosso e mostra uno schema grafico di ascensori chesalgono e scendono per illustrare la situazione, insinuando il sospetto di unasituazione ancor più paradossale nel caso di un bambino che abbia una staturainferiore al metro.Il fattore “r “ sembra più astruso; si ritorna a verbalizzare in modo informale: seil polso è piccolo, r cresce…ad un valore elevato, consultando la seconda tabella,corrisponde una correzione percentuale piccola per difetto..

Percorso 3Qual è il mio peso ideale?Si passa poi al “particolare”, consentendo a ciascuno di applicare la formula a sestessi.

Lo studente: Sostituisce numeri a lettere?Esegue operazioni?Risolve rapporti, confronta dati,calcola percentuali, calcola scarti?

Ci sono alcune sorprese, anche rispetto ai procedimenti. La prima formula apparerelativamente semplice. Le più inesperte vengono seguite nella sostituzioneletterale (Maria), qualcuno riesce a risolvere l’equazione scorporando le singoleoperazioni, altri cercano il denominatore comune, ostentando una sicurezza chein questo caso non è strettamente necessaria. (Jessica)L’intervento del fattore di correzione appare più complesso, anche se iragionamenti svolti in precedenza, ne hanno chiarito il senso, ed il ragionamentoviene suddiviso in tappe: misurazione della circonferenza del polso, poi calcolo dir, confronto con i parametri in tabella, calcolo delle percentuali relative,correzione della formula.

Percorso 4Fotografia della classe? quali strumenti per rappresentare la situazione collettiva?Iniziano i lamenti di chi trova scarti consistenti fra il proprio peso e quello idealee poi i confronti fra i diversi esiti.L’insegnante chiede di trovare un modo di rappresentare la situazione dell’interaclasse.Inizialmente rimbalzano proposte “fotografiche”, in senso letterale, poi si inizia aragionare sugli strumenti comunemente usati nelle indagini statistiche.


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Lo studente: Legge grafici? Colloca dati in un grafico? Effettua ricerche internet?

Una ragazzina filiforme propone di dividere la classe in “magre”, “ medie” e“grasse”; una compagna si oppone vigorosamente nonostante sia propostol’anonimato. Alla fine qualcuno ricorda di aver visto un grafico sull’enciclopediamedica, comunemente lasciata a disposizione in classe.

da: Enciclopedia medica. La salute dalla A alla Z. La Repubblica

Si studia il modo per riprodurlo, poi ciascuna persona registra il proprio peso ed ilpeso ideale, utilizzando un simbolo convenzionale. Una badante intraprendentepropone di riversare “il gioco” su altre classi e poi fare il confronto. Il graficotranquillizza chi ha paura di “esser messa agli atti”, però solleva il problema delladiversa rappresentazione e accettazione di sé.Questa considerazione viene ripresa, chiarendo che esistono parametri diversi dalpeso ideale; alcuni si riferiscono proprio al peso accettabile inteso come valoreintermedio fra peso reale e peso ideale. Anche i grafici utilizzati sono costruiti apartire da un indice diverso, l’indice di massa corporea ovvero il rapporto frapeso in kg e il quadrato della statura in m.Qualcuno traduce l’indice con un’ immagine suggestiva: è il rapporto fra l’altezzae una persona quadrata (tanto larga quanto alta!).Si propone di fare una piccola ricerca internet per vedere se esistono altreformule. Parole chiave? Peso ideale, formula di Lorenz, fitness.Il gioco può continuare a lungo.


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1.6 Per eccesso e per difetto

L’approssimazione di numeri interi e decimalicorrisponde ad una pratica ricorrente in diversicontesti quotidiani soprattutto da quando è statointrodotto l’uso dell’euro; inoltre vieneampiamente sfruttata in numerose applicazionimatematiche a diverse aree disciplinari comel’economia, e la statistica.

ProblemaL’approssimazionematematica dei prezzicomporta il rischio di “unaperdita” certa di denaro perun acquirente?La classe si divide frainnocentisti e colpevolisti.L’insegnante propone dipartire da alcuni esempiconcreti, sia per vincere lediffidenze iniziali, sia periniziare a documentare leipotesi.

Percorso 1Lo scontrino: fino a quali cifre si approssima la spesa?Nel caso di prodotti alimentari, l’approssimazione del prezzo riguarda le cifredecimali.La richiesta è di calcolare gli importi complessivi e poi di approssimarliriportandoli sullo scontrino

Si discute sul significato dei termini (peso netto e tara), su quali dati e operazionisiano da considerare.Bisogna moltiplicare il peso netto per il prezzo unitario, ma molti cercano diconvertire il peso in grammi . Viene chiarito che, essendo il prezzo unitariorelativo al kg, si debba usare il peso in kg.

Riferimenti agli Standard. Area scientifica, Standard ALivello 2. Applica alcuni modelli aritmetici generali perrisolvere problemi di contabilità e compravendita. Comprendeed usa informazioni in forma scritta, con alcuni termini esimboli specifici. Standard D Livello 1. Manipola denaro;compone importi, li classifica; opera con essi in situazioniconcrete. Riconosce significato ed esistenza delle tasse nellapropria vita. Standard M, Livello 2. Individua, descrive evaluta strategie alternative, applica in modo intituitivoragionamenti di tipo predittivo/probablistico. Livello 3. Applicaconsapevolmente una modalità di ragionamentopredittivo/probabilistico per ottimizzare le sue sceltestrategiche. Descrive e rappresenta sinteticamente procedure estrategie. Interiorizza il concetto di probabilità.


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Lo studente: Riconosce/utilizza termini, simboli, ordini di grandezza dei numeri in materialicorrenti?Seleziona i dati necessari, calcola costi da prezzi unitari e pesi utilizzando l’operazione e

l’unità di misura adatte allo scopo?Esegue moltiplicazioni con decimali (calcolatrice)?

Trasferisce il valore delle monete in notazioni decimali?Approssima per difetto e per eccesso aicentesimi, descrive procedimenti?

“Si può prevedere in anticipo quante cifre decimali avrà il risultato?” La risposta arriva dopo aver analizzato alcuni esempi di moltiplicazione connumeri decimali. “ Il peso arriva fino ai grammi, tre cifre decimali; “Il prezzounitario ha due decimali….cinque in tutto”. Un commesso ha già fatto i calcoli conla calcolatrice.0.248 * 12.37 = 3.06776 €0.262 * 8.21 = 2.15102 €Conferma che il risultato ha cinque cifre decimali, ma non sa dove troncarel’importo.

“Quali sono le monete più piccole esistenti In Italia e nell’Unione Europea?”L’operatrice scolastica accenna a 1, 2 centesimi, ma non riesce a sganciarsidagli importi specifici. Viene aiutata a definire l’ordine di grandezza senza valorinumerici ( “insomma centesimi!”), ma coglie l’occasione per denunciare letendenza ad arrotondare fino a monete di maggior valore. Si cerca di individuarei centesimi nei prezzi sin qui calcolati Alcuni procedono spediti (hanno esperienze alla cassa) e suggeriscono agli altri,più incerti, partendo da esempi con le monete: “3 euro e 6 centesimi si scriveproprio 3.06 e non 3.60!“Quindi per approssimare bisogna guardare se le cifre successive ai centesimisuperano la metà. Ma la metà è 5 o 50 o 500?” Tutti sembrano preferire il 500.3.06776 ~ 3.07 per eccesso perché 776 è più di 5002.15102 ~ 2.15 per difetto perché 102 è meno di 500

Ma una rappresentazione su retta orientata convince anche i più resistenti: “E’sufficiente che la prima cifra eliminata (7 per 776 e 1 per 102) sia maggiore ominore di 5 (uguale a 50 e a 500).

Che probabilità di “perdita” c’è approssimando gli importi della spesa?

Lo studente: Ricava il rapporto probabilistico? Descrive procedimenti? Confronta punti divista?Sintetizza gli esiti di un ragionamento?

L’insegnante ricapitola: “In questo scontrino un importo viene approssimato pereccesso ed uno per difetto. In quale caso ci rimettiamo, in quale ciguadagniamo?”. Qualcuno azzarda: “ Per eccesso aumenta la spesa, per difettocala; conviene il difetto!”L’insegnante incalza:“Due casi non bastano. Per calcolare la probabilità reale,dovremmo studiare a tappeto una enorme quantità di casi, per vedere come sidistribuiscono gli arrotondamenti per difetto e per eccesso; possiamo peròtentare di abbozzare il problema in teoria.”


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“Che probabilità teorica c’è che un numero debba essere arrotondato perdifetto?” Il concetto di probabilità è assolutamente oscuro; qualche esempio

(monete, dadi, carte, lettere alfabetiche..) consente di arrivare a descriverlacome rapporto fra casi favorevoli e casi possibili.Non si riesce ancora a vedere però come trasferire il concetto di probabilità aglieuro di spesa.L’insegnante invita a ripartire dalle definizioni: “Quali sono i casi possibili?”Qualcuno sospetta che ci siano infiniti casi perché ci sono infiniti numeri decimali.Si ritorna al meccanismo di approssimazione, con la richiesta di esplicitarne leistruzioni nel modo più preciso.Dopo una prima grande approssimazione verbale, si riesce ad approdare allasequenza di istruzioni descrivendone un passaggio per volta.Assemblando le singole azioni si arriva a ricostruire l’intero percorso.Paolo, l’ addetto alla vendita di un supermercato inizia ad intuire: “Per conoscerei casi possibili, basta guardare la prima cifra da eliminare….non ci sono infinitepossibilità…le cifre possono essere solo 0, 1, 2……da 0 a 9”.Inizialmente pensa a 9 cifre (non conta lo zero), poi a 11 (conta anche il 10),infine si corregge a 10.

Quanti sono i casi favorevoli?Una volta deciso che il 5 può essere destinato ad essere approssimato sia perdifetto che per eccesso, il gruppetto ricostruisce l’insieme.“Stabilito l’ordine di grandezza desiderato, se la cifra dopo ai centesimi è 0, 1, 2,3, 4, (? Ma il 5 dove va?) si approssima per difetto…”“ l’approssimazione per difetto ha 5 cifre su 10 totali” “cioè 5 casi favorevoli su10 possibili”, “ la probabilità è 1 su due; p = _”, “l’approssimazione per eccessoha uguale probabilità: p=1/2 se il 5 viene destinato all’eccesso”.“il 5 può portare la probabilità a 6 casi favorevoli su 10 se viene invececonvenzionalmente arruolato nell’altro schieramento.“Quindi, su un solo prezzo, teoricamente si ha la stessa probabilità diguadagnarci per difetto o di perderci per eccesso se si toglie al 5 la sua posizionedi neutralità, in caso contrario (con il 5) si ha una probabilità maggiore perdifetto”.

Percorso 2Lo scontrino: come cambia la probabilità teorica di “perdita” se i prezzi sono due,tre?L’insegnante propone di indicare con un simbolo le probabilità di avereun’approssimazione per difetto e per eccesso: D per difetto, E per eccesso echiede di rappresentare simbolicamente tutte le combinazioni possibili su dueprezzi. “un po’ come avviene negli anagrammi: roma, amor…)

Lo studente: Individua combinazioni?Descrive e rappresenta combinazioni in forma sintetica?Rappresenta con potenze?Rappresenta variabili, valuta esiti?

Con due prezzi?Qualche gruppo elenca le diverse combinazioni: primo prezzo per difetto e ilsecondo pure, entrambi per eccesso, “c’è rischio di perdersi.L’insegnante propone una rappresentazione su tabella.


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Il commesso osserva che ci sono in tutto quattro casi possibili, due alternativeper due prezzi. L’insegnante suggerisce di pensarli come 22.Si discutono i risultati: ogni accoppiata ha 1 probabilità su 4 cioè _, ma rispettoallo scopo, una accoppiata rappresenta decisamente un vantaggio (DD), 1decisamente una perdita (EE), due sono da definire in base al bilancio degliimporti (DE, ED).Con tre prezzi?Emergono 8 casi: DDD, EEE, DEE, DED, DDE, EDD, EDE, EED.In questo caso esprimere il numero di combinazioni è un po’ più complesso; siarriva alla risposta ricostruendo la logica del problema: due alternative per treprezzi cioè 23.Per quanto riguarda il senso delle combinazioni, il rischio di perdita secca (EEE) èdiventato 1 su 8 come pure il vantaggio deciso (DDD), tutte le altre ipotesi (6 su8) dipendono dai bilanci in difetto ed in eccesso.L’insegnante chiede che cosa accadrebbe in presenza di un numero imprecisatodi prezzi suggerendo di chiamarlo “n”.L’addetto alla vendita comincia a soppesare la domanda: “n prezzi, n casi,ognuno ha due possibilità…”.Un operaio edile (studente di economia al suo paese) conclude: “ ci sono 2npossibilità; le situazioni secche di vantaggio e svantaggio diminuiscono a 1/n,aumentano invece le situazioni da definire!”Tutti si ripromettono di provare a vedere la probabilità reale su un gran numerodi prezzi.

Percorso 3Possibili estensioniLo scontrino: Quando c’è un saldo passivo fra le approssimazioni per difetto equelle per eccesso in una serie di prezzi? “Resta però il problema delbilanciamento fra le cifre sottratte o aggiunte”. Si ritorna allo scontrino, limitandoinizialmente l’analisi ai due prezzi. Un ex-studente recidivo (ha lasciato la scuolaper tornarci a poca distanza di tempo) cerca di fare il bilancio della situazione: “Nel calcolo per eccesso ci hanno aggiunto 224 (che cosa?), per difetto ci hannotolto 102 . Qui si è in perdita di 224-102 =122!”.L’operatrice scolastica cerca faticosamente le parole per descrivere in generalequello che pensa: “Basta che il più sia più del meno…..” Viene aiutata a precisareil senso. “basta che l’importo aggiunto (in eccesso) sia più grande rispettoall’importo sottratto (per difetto)…” L’ex studente condensa l’osservazione:“Basta 1 in più fra i due importi!”. L’insegnante chiede l’ordine di grandezzadell’1.Scorporando i due importi la risposta è immediata: “con 103 si è in passivo”“ma 103 che cosa?”Si rivedono le posizioni dei decimali: “Ammesso che il prezzo reale abbia cinquecifre decimali finite, il disavanzo negativo deve essere come minimo 1 centesimodi millesimo; nel caso specifico è 122 centesimi di millesimi!!!”.

Le imposte: cambia la probabilità di “perdita” economica, se si approssima ad unaltro ordine di grandezza? L’insegnante ha in serbo un altro esempio.


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Legge le istruzioni relative alla dichiarazione dei redditi in materia diarrotondamenti: “Si ricorda che gli importi delle imposte che scaturiscono dalladichiarazione devono essere versati arrotondati all’unità di euro, così comedeterminati nella dichiarazione stessa. Se invece l’ammontare indicato indichiarazione deve essere successivamente elaborato (acconti, rateazioni) prima

di essere versato, si applica la regola generale dell’arrotondamento al centesimodi euro (es. euro 10000.752 arrotondato diventa euro 10000.75; euro10000.755 diventa euro 10000.76; euro 10000.758 diventa euro 10000.76……”

Lo studente: Calcola differenze e saldi, compila moduli correnti?Individua valori critici, applica adaltri contesti, ragiona in astratto?

Il nuovo esempio appare decisamente facile, anche se risolleva malumori per“quei 5 millesimi destinati d’ufficio ad essere arrotondati per eccesso”.Le tecniche di approssimazione sono persino più intuitive nel casodell’arrotondamento all’euro, sia perché più praticato mentalmente, sia perchéviene accompagnato dalle forme grafiche comunemente usate nei moduli. Questoesempio, o simili (conti correnti, moduli di versamento..) può servire a fissare leregole quando sussiste qualche difficoltà.

Si cerca di complicare la situazione, chiedendo in questo caso, quandol’approssimazione va a svantaggio del contribuente, nel caso semplice che ladichiarazione consista in una serie di pochi passaggi: reddito imponibile, impostalorda, detrazioni, imposta netta. Ogni valore ha nuovamente due possibilità.A questo punto non si cerca più di calcolare le probabilità, quanto di vedere lasituazione migliore e peggiore.Inizialmente si pensa ad una situazione in cui gli importi siano tutti daapprossimare per difetto, poi si scopre che le detrazioni servono ad abbassarel’imposta lorda.Si conclude che la situazione di vantaggio si ha se il reddito e l’imposta vannoarrotondati per difetto, mentre il totale delle detrazioni va arrotondato pereccesso.L’operatrice scolastica richiama all’ordine tutti: “Comunque, pochi centesimi inpiù o in meno ormai non cambiano la vita né in meglio né in peggio, soprattuttose la loro distribuzione è casuale!”


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1. 7 Il prezzo da pagare

Nell’unità si parte dalla semplice decifrazione di unarappresentazione grafica di tipo consueto per condurregli allievi, in modo graduale e soprattutto guidato, aduna più raffinata modalità di analisi che richiedel’attivazione di una serie di operatori concettuali viavia più complessi, che nella descrizione dello standardvengono sintetizzati nel termine “elaborazione”.

UN ANNO DI SALITA DEI PREZZI(aumento dei prezzi in percentuale)

Step 1Che cosa si vede?Non vi è difficoltà a rispondere: “4 gruppi dicolonnine di diverso colore”, “sul latosinistro una linea verticale che riporta unascala”, “un riquadro con quadrettino colorati(stessi colori delle colonne) con accanto inomi di paesi europei”

Che significato, quali collegamenti ci sonotra gli elementi che sono stati descritti?Anche in questo caso non ci sono difficoltà amettere in relazione i diversi elementi: èchiaro che la legenda serve a mettere incorrispondenza ogni colonnina con un paese,che ogni gruppo di colonnine è riferito ad un tipo di merci, che l’elementoimportante è l’altezza, che ogni altezza corrisponde ad un valore (“..come nelcaso del termometro..”)

Lo studente: Individua e descrive elementi grafici e simbolici?Ricerca relazioni e significati?Che cosa rappresentano i valori riportati sulla scala?Più difficoltà emergono nel definire il contenuto, il significato del grafico, perchéla scarsa abitudine ad una lettura attenta ed analitica fa sì che venga trascuratal’importanza del titolo. La risposta alla domanda non è immediata ed èl’insegnante a dover suggerire un’ulteriore ricognizione del grafico, che prenda inconsiderazione tutte le sue parti.

-0,50

0,51

1,52

2,53

3,54

4,5

cibo trasporti

Unione europea

Italia

Germania

Francia

Riferimenti agli Standard. Areascientifica, Standard L Livello 2. Selezionainformazioni riguardanti caratteristiche digruppi ristretti di persone in funzione di unoscopo. Decifra le rappresentazioni grafiche ei simboli più ricorrenti per rappresentaredati di popolazione. Elabora informazioni inbase a schemi prefissati. Coglie analogie traesperienze, fatti, fenomeni, procedure.Comunica in forma orale e scritta usando illinguaggio specifico di uso corrente.Condivide e affronta con altri procedure epunti problematici.


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Una volta accertata, con domande di verifica (es. “cosa significa che per quantoriguarda il cibo l’altezza della colonna dell’Unione Europea corrisponde a 2?”) lacomprensione del contenuto del diagramma, si entra nel merito dell’analisi delfenomeno rappresentato e del suo andamento.Viene posta una serie di domande che hanno lo scopo di introdurre una fase divalutazione e riflessione.

Step 2L’Italia nei vari settori commerciali come si colloca rispetto agli altri paesi?Nelle risposte a questa prima domanda ( “è dove si spende di più” “tutte le mercisono più care in Italia” “i prezzi sono più alti” “prima dell’euro gli zucchini…”)emerge una non chiarezza (dovuta probabilmente anche all’evocazioneimmediata e all’interferenza dell’esperienza personale) sul concetto di aumento,che in questo contesto viene assimilato al prezzo.Viene chiarita quindi, con esempi tratti dalla vita quotidiana, relativi ad aumentidi peso corporeo, costi, temperature, ecc. la differenza tra i due parametri.

Quali altri settori di spesa dovrebbero essere presi in considerazione?In quale settore la differenza tra l’Italia e tutti gli altri paesi è più marcata?In quale settore gli aumenti sono stati molto simili nei vari paesi?Qual è il paese che in generale ha avuto gli aumenti più contenuti?A quale settore corrispondono gli aumenti più elevati?Questo che cosa suggerisce, considerando gli aumenti di settori di spesa nonconsiderati?

Lo studente: Effettua classificazioni? Valuta differenze? Opera deduzioni e inferenze?

Rispetto alla prima domanda si innesca una discussione vivace su quali possonoessere altri capitoli di spesa significativi, oltre quelli riportati nel grafico, e sucome possano essere definiti e classificati (“quello che viene speso in pizzeria vacatalogato come cibo o tempo libero?” “tutte le spese per la scuola dei figli inquale settore possono andare?” “ ci sono una serie di spese difficili da collocare,bisogna trovare un modo per riunirle….”, finché non si giunge ad un accordo, chericalca sostanzialmente le partizioni convenzionali.La valutazione delle differenze non crea difficoltà, anzi viene apprezzata lachiarezza con cui vengono rappresentate dal disegno (“ci fossero solo numeribisognerebbe fare dei calcoli, invece qui salta all’occhio…”), considerazioni chepermettono di chiarire la funzione e l’utilità delle rappresentazioni grafiche didati.Più difficile appare la risposta all’ultimo quesito: appurato che l’aumentomaggiore si riferisce a “tutti i generi”, non è intuitiva la considerazione cheevidentemente gli aumenti relativi ai settori di spesa non riportati sono maggioridi quelli illustrati nel grafico.L’insegnante suggerisce di prendere in considerazione un solo paese, es. laFrancia: l’aumento su “tutti i generi” raggiunge il 3% mentre la colonnina dialtezza massima riportata sul grafico (il cibo) corrisponde al 2,5%. Che cosa avràfatto salire la colonnina? “Gli aumenti degli altri generi di spesa “ “Le altre spesesaranno aumentate ben più del 2,5 %”. “Ma anche più del 3%, per compensaregli aumenti più bassi”.I commenti che vengono da più parti del tenore “La situazione quindi è piùtragica di quello che appare dal grafico “conforta l’insegnante sul fatto che ilpunto sia chiaro per la maggior parte delle persone.


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Nell’ultima fase sono emersi alcuni termini come “compensazione”,“bilanciamento”, “valore intermedio”: è questo il momento concettualmentefavorevole per introdurre la media aritmetica, e si indirizza l’attenzione sulparametro relativo all'Unione Europea.

Step 3Che cosa rappresenta la colonnina che si riferisce all’Unione Europea?Dapprima si registrano osservazioni piuttosto fantasiose “Sono gli aumenti deivari paesi presi tutti insieme..” “E’ l’aumento che avrebbe dovuto esserci…”, “E’l’aumento che si è verificato nella maggioranza dei paesi europei…”, ma con ilprocedere della discussione i termini del problema cominciano a chiarirsi: “ E’ ilvalore che sta a metà tra gli aumenti più alti e quelli più bassi…..” “E’ il valoreche sta al centro, tra tutti” “E’ un numero che riassume come sono andate lecose in Europa…” “E’ la media degli aumenti” E’ stata pronunciata la parolachiave e tutti concordano.

Lo studente: Registra e ordina dati? Concettualizza i parametri “media” e “scarto” e le proceduredi calcolo?Discrimina tra media aritmetica e ponderata?

Ma come si può rappresentare con un unico dato, la media, una pluralità di datidiversi? L'insegnante propone di provare a calcolare un valore medio relativo algruppo, per esempio il peso medio. L'azione preliminare appare subito la raccoltadei dati che vengono segnati alla lavagna.

E ora come cercare quel valore centrale, rappresentativo dei dati raccolti?Vengono fatte varie proposte: mettere in ordine i dati e individuare quello chesta in mezzo, calcolare quello a metà tra valore minimo e massimo, sceglierequello che compare con maggiore frequenza…L’insegnante osserva che questimetodi effettivamente consentono l’individuazione di un valore significativo perrappresentare un insieme di dati, e in molti casi vengono usati a questo scopo,ma che il calcolo della media aritmetica è leggermente diverso.Suggerisce di richiamare alla memoria qualche situazione della vita quotidiana incui si è costretti a ridurre ad un unico valore dati diversi.Un allievo trova un'analogia con quando si deve dividere il conto di un ristorantetra diverse persone: si considera il totale e lo si divide, trovando un valoreuguale per tutti, anche se qualcuno avrebbe dovuto pagare un po’ di più equalcuno un po’ di meno.Questa soluzione appare convincente, quindi si procede al calcolo: vengonosommati tutti i pesi e divisi per il numero delle persone.L’insegnante spiega che quella appena calcolata è la media aritmetica.Questo valore viene definito da qualcuno come l’indicatore della “stazza” delgruppo: vi sono battute circa la necessità di allontanare qualcuno perché “alza lamedia”. Si parla allora di “scarto dalla media” e ognuno calcola il proprio. Vieneproposta una seconda attività: il calcolo dell'età media del gruppo. Questa voltasi registrano diversi dati uguali.Come considerarli? Una sola volta, in modo che sia rappresentata la diversitànella distribuzione dei dati o più volte? Tutti osservano che non sarebbe giustorappresentare solo la diversità e contarli una sola volta, devono comparire nellasomma per il numero di volte che sono stati registrati. L'insegnante concorda,aggiungendo che in casi come questo la media viene chiamata “ponderata”perché il “peso” dei dati è proporzionale al numero di volte che compaiono.


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Step 4Elementi per lo studio delle operazioni mentali possibili: trasferire dati da graficoa tabella, definire dati preoccupandosi della precisione e ricercare una strategiadi azione per raggiungere questo obiettivo, minimizzare l’errore di misurautilizzando il calcolo della media

Si ritorna al grafico e l'insegnante propone una tabella in cui riportare i dati trattidal grafico

Quali valori mettere in tabella?La corrispondenza dei vari parametri con i valori numerici riportati sulla scalanon pare presentare difficoltà, mentre la definizione dei valori non risultasemplicissima: il problema è rappresentato dalle ridotte dimensioni del graficoche rendono difficile una lettura precisa.Qualcuno propone che ogni intervallo della scala venga suddiviso in 5 parti il piùpossibile uniformi per facilitare la lettura. Tutti si ingegnano con righelli esquadrette per portare a termine il compito in modo accettabile, qualcuno“barando” forse un po’ per arrotondare i valori.

Confrontando le varie tabelle, viene osservato che, come era prevedibile, nelcaso dei valori intermedi ci sono differenze anche relativamente importanti:dopo una verifica individuale della correttezza della propria misurazione lasituazione non è cambiata granché.Come ottenere dei valori più attendibili, in cui gli errori vengano minimizzati?L’insegnante propone un problema: quattro persone misurano l’altezza di unafinestra: le quattro misure ricavate sono: 150,5 cm, 150,8 cm 150,2 cm e 150,1cm. Come fare a ridurre gli errori (inevitabili) di misurazione e scegliere unamisura che vada bene?“Si sceglie il valore che sta più o meno a metà, quindi 150,5” “No, non ècentrale, è troppo alto…” L’insegnante fa notare come queste considerazionisiano già state fatte, e di fronte ad un problema analogo.L’orizzonte si chiarisce: anche in questo caso si può usare il calcolo della media!

Lo studente: Opera in modo intuitivo con numeri relativi?

Viene calcolata quindi la media dei dati controversi, ma rimane un ultimo puntooscuro: il bizzarro dato relativo all’aumento dei prezzi per l’abbigliamento inGermania.


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Step 5

Che significato ha in questo contesto un valore negativo? “Che senso ha unaumento negativo?” Qualcuno, osservando che viene riportato anche un aumentopari a zero, per cui evidentemente il prezzo non è cambiato, deduce che inquesto caso il prezzo è addirittura diminuito.L’osservazione appare convincente.

Qual è la differenza tra gli aumenti relativi a tutti i generi di merci verificatisi inItalia e Germania? E per quanto riguarda il settore dell’abbigliamento?La risposta al primo quesito è presto trovata: tutti propongono di calcolare ladifferenza tra le due percentuali.La situazione si complica con la seconda domanda per via del valore negativodella Germania. Molti si rendono conto che non può essere applicata la stessaoperazione.L’insegnante suggerisce di analizzare il problema dal punto di vista grafico: neldisegno quale colonna potrebbe rappresentare la differenza? “Dovrebbe partiredal livello –0,5 e arrivare fino a 2,6” “…..e quindi bisogna calcolare una somma,non una differenza!”Per alcuni la questione non è ancora chiara, ma gli ultimi dubbi vengono dissipatiquando qualcuno propone l’esempio di un ascensore che dal sesto piano arriva alsecondo sotterraneo: è evidente che i piani complessivi percorsi sono 8.


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1.8 Una questione di età e di opinioni

Al di là dell’esempio riportato l’unità cerca disuggerire le azioni necessarie per condurreattività di lettura ed interpretazione di testi,che abbiano contenuti statistici, a sostegno diopinioni.

L’esempio.L’Italia è “vecchia” e ha bisogno diimmigrati di Giuseppe Turani (La Repubblica 08/09/02).Ma, giusto per toccare un altro tema di cui si parla in questi giorni, gli immigrati, conviene sottolineare che quisi sta preparando (parlo per ora dell’Italia) una sorta di catastrofe a lungo termine, di portata più devastantedell’inquinamento ambientale .Anche perché, una volta che il disastro sarà stato compiuto, tirarsene fuoririchiederà decenni e decenni. Parlo, ovviamente, della popolazione italiana.Forse pochi sanno che oggi I Italia è indicata nei documenti dell’Onu come il secondo Paese più “vecchio” delmondo. Gli esperti dell’ONU hanno fatto una classifica dei dieci Paesi con l’ età mediana più alta e in testa c’è ilGiappone, con il valore dì 41, 2 anni (anno 2000). Ma al secondo posto, con un valore di 40,2 anni, c’è propriol’Italia. Il fatto che nel nostro paese l’ età mediana è pari a 40,2 anni significa che la popolazione che ha menodi quell’età e quella che ha di più sono equivalenti, come numero.L’Onu fa anche la classifica dei Paesi con la popolazione più giovane: nello Yemen l’età mediana è pari a 15anni. Quelli con meno di 15 anni e quelli con più di 15 anni si equivalgono, come numero.E già questo spiega la complessità del mondo in cui viviamo:di fatto si confrontano non solo Paesi ricchi e Paesipoveri, ma anche Paesi vecchi (e quindi un po’ conservatori) e paesi giovani. La difficoltà di capirsi è evidente enon può che aggravarsi, visto che la distanza di età fra Paesi vecchi e Paesi giovani tira a crescere.Ma torniamo all’Italia. E già grave che oggi sia il secondo paese più vecchio del mondo, dopo il Giappone. Ma lacosa diventa gravissima quando si vanno a vedere le proiezioni (sempre dell’ Onu) al 2050. Al primo posto, fra iPaesi vecchi, troviamo la Spagna, con un’età mediana pari a 55,2 anni. Al secondo posto la Slovenia e al terzol’Italia: entrambe con un’età mediana di 54,1 anni. Il Giappone, che oggi detiene il primo posto, quanto avecchiaia, scivola al sesto. L’Italia, invece, rimane saldamente in testa.Chiunque, a questo punto, capisce che l’Italia ha un disperato bisogno di giovani, cioè di immigrati (visto che lapopolazione locale più di tanto non «produce»). La situazione è gravissima e si sta correndo verso unacatastrofe demografica spaventosa. Per rendersene conto basta leggere un’altra statistica. Oggi in Italia il 61,7per cento della popolazione è nell’età “giusta”, cioè fra i 15 e i 59 anni. E dopo i 60 anni c’è il 24,1 per cento.Negli Stati Uniti (cioè in un Paese che ha puntato molto sugli immigrati), i cittadini al di sopra dei 60 anni sonoappena il 16,1 per cento. Insomma, qui da noi già oggi un quarto della popolazione è sopra i 60 anni. NegliStati Uniti solo poco più di un sesto si trova oltre tale età.Ma ciò che terrorizza è il futuro. Nel 2050, infatti, l’Italia avrà il 42,3 per cento della sua popolazione oltre i 60anni. Nell’età “giusta” (lavorativa, 15-59 anni) ci sarà il 46,2 per cento della popolazione. Di fatto, insomma, ilnumero di quelli in età lavorati-va, produttiva, sarà uguale a quelli oltre i 60 anni. In sostanza, per essereancora più chiari, quasi metà della popolazione italiana (nel 2050) avrà più di 60 anni (42,3 per cento). NegliStati Uniti non sarà così. NeI 2050 in America la popolazione sopra i 60 anni sarà soltanto il 26,9 per cento. Enell’età “giusta” ci sarà più di metà della popolazione: 54,6 per cento.Bastano credo, queste poche cifre per capire che l’Italia ha bisogno (e anche con una certa fretta) di popola-zione giovane perché oggi sta correndo verso una configurazione con quasi metà della popolazione sopra i 60anni. E questo, come si sa, dà luogo a una società costosissima (i vecchi, non è colpa loro, si ammalano enecessitano di cure varie, e di solito percepiscono anche una pensione) e a una società nella quale la voglia dirischiare, di intraprendere tende a diminuire in modo pericoloso.

In realtà, l’Italia sta correndo verso una società (2050) che sarà semplicemente ingestibile, sia sotto il profiloeconomico (spesa pubblica) che quello sociale-imprenditoriale. Se oggi l’Italia corre poco, è del tutto evidenteche, mano a mano che passano gli anni, correrà sempre meno, mentre avrà sempre più anni sulle spalle (inmedia) e avrà gambe sempre più molli.

Con gli immigrati, quindi, bisognerebbe fare esattamente il contrario di quello che si fa oggi. Invece di avere unatteggiamento ostile e persecutorio, invece di schierare navi e magistrati per fermarli, bisognerebbe fare unasaggia o moderna politica di reclutamento e di integrazione. Capisco che queste sono parole gettate al vento.Ma allora le cose andranno sempre peggio perché questo sarà un Paese che farà sempre più fatica a trascinarsiavanti. Nel 2050 gli italiani con meno di l5 anni saranno appena 1,11 per cento. Negli Stati Uniti quasi il doppio.

Se fino a qualche settimana fa potevano esserci dei dubbi, adesso quel tempo èpassato ed è abbastanza chiaro a tutti che l’economia in Europa e in Italia staviaggiando a velocità minima: è un po’ come assistere a un film proiettato alrallentatore. E questo è un guaio, anche perché non si vedono politiche (fatte dagoverni o da altre autorità) intese a dare una scrollata alla congiuntura. Si vive


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rassegnati, senza alcuna idea capace di cambiare questo lento strisciare sulfondo.

Attività 1la lettura, il linguaggioLa lettura ad alta voce è appannaggio dipochi, ai più (e non soltanto stranieri)riesce difficile tenere il filo del discorso,dovendo dare una prestazione in pubblico.Ogni gruppo è quindi invitato a leggereindividualmente e poi a discutere alproprio interno, soffermandosi su alcuniaspetti: il titolo, l’autore e la testata; ilgenere di articolo; le parole non capite opoco chiare.Non va sottovalutata comunque la capacitàdi leggere neppure in matematica: chi la pratica sovente avverte difficoltà aleggere numeri, simboli, termini, piccola spia delle difficoltà interpretative chepossono seguire. Quindi una prima operazione riguarda la comprensione dellinguaggio in campo.Una griglia di domande aiuta ad evidenziare e a registrare i singoli aspetti.Emergono difficoltà a riconoscere sigle (Onu), paesi (Yemen), alcuni vocaboliinconsueti della lingua italiana (strisciare, rallentatore, reclutamento..), terminispecifici (età mediana..).Il gruppo ha la funzione di far circolare le conoscenze e possibili interpretazioni,riportandole poi a tutti nella fase di presentazione.Per quanto riguarda la mediana, l’insegnante suggerisce inizialmente di cercareed isolare la definizione nel testo: “la popolazione che ha meno di quell’età equella che ne ha di più sono equivalenti come numero”.Il termine “equivalente” viene lentamente sostituito da “uguale” e poi da “metà”.“L’età mediana divide in due la popolazione: metà ha meno, metà ha più anni”.

Lo studente: Legge individualmente? Comprende il significato di termini e sigle? Identificare partidel testo significative?

Attività 2Informazioni esplicite e sintesiSi passa poi ad analizzare le informazioni fornite dal testo.Alla richiesta di individuare i dati significativi molti si perdono nei meandri dellecifre. Si invita allora il gruppo a pensare a tutti quegli aspetti grafici che aiutanosia la lettura che la descrizione di dati, focalizzando l’attenzione sugli anni cui fariferimento l’articolo. Le reazioni appaiono diverse.Quelli che hanno un astuccio “d’artista” mettono in campo penne e pennarelli didiverso colore per evidenziare dati diversi con sottolineature, ma spesso nonriescono a ricostruire relazioni e rilevanze (molti arrivano a sottolineare tutto).Alcuni costruiscono una mappa disponendo originariamente i numerirelativamente “sciolti”e poi cercando di collegarli con graduatorie, frecce oinsiemi. Altri ancora, usano correttamente tabelle, grafici. L’insegnante consentea ciascuno di utilizzare “la propria versione”, purché raggiunga lo scopo disintetizzare in modo chiaro e comprensibile agli altri.

Lo studente: Seleziona informazioni? Sintetizza e rappresenta informazioni?

Riferimento agli Standard dell’Areascientifica. Standard L Livello 3 Analizzadati demografici e rappresenta informazionicon diverse modalità. Rielaborainformazioni di base ad un modello o aduna procedura data. Coglie gli elementiessenziali e sintetizza il significato di untesto, una rappresentazione grafica, unatabella. Comunica in forma scritta.Raccoglie informazioni e le confronta conaltri.

Riferimento agli Standard dell’Areascientifica. Standard L Livello 3 Analizzadati demografici e rappresenta informazionicon diverse modalità. Rielaborainformazioni di base ad un modello oad unaprocedura data. Coglie gli elementiessenziali e sintetizza il significato di untesto, una rappresentazione grafica, unatabella. Comunica in forma scritta.Raccoglie informazioni e le confronta conaltri.


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Attività 3Una volta riordinati i dati, ad ogni gruppo viene chiesto di riflettere sia sulleintenzioni di chi ha scritto l’articolo sia di sintetizzare le argomentazioni ed ilsenso prevalente dell’articolo.Appare evidente a tutti che l’articolo difende la necessità di una maggior aperturaall’immigrazione.Circa i motivi che sostengono tale posizione, si crea una concatenazione di idee:diminuzione della popolazione italiana, diminuzione dei giovani, aumento deivecchi, calo della fascia di età “produttiva”.Alla domanda di quale genere siano i motivi addotti dal giornalista (esigenzeeconomiche? esigenze politiche? liberalità culturale? principi etici? principireligiosi?…), rispunta l’eccesso di soggettività e molti rispondono in base allapropria opinione personale.E’ il classico problema delle etichette: finché si chiede un lavoro analitico sulleinformazioni, gli adulti riescono a tenere la giusta distanza, ma quando si chiedeuna sintesi interpretativa vincono gli slogan personali.E’ quindi necessario ritornare al testo chiedendo di enucleare le frasi in cui gliintenti e gli argomenti sono esplicitati, facendone una specifica annotazione.

Lo studente: Riconosce il significato complessivo? Distingue fra fatti e opinioni, Classificaargomentazioni: “ scopo” dell’autore e “centro” del discorso?

Attività 4La medianaL’articolo fa esplicito uso della mediana, uno degli indicatori comunementeutilizzati nell’elaborare dati statistici assieme alla media e alla moda.Il significato intuitivo e operativo è facilmente intuibile, non altrettanto laprocedura con cui ottenerne il valore. E’ abbastanza facile trovareun’esemplificazione a partire dalle età degli allievi della classe.Una volta raccolte tutte le età, ripetendole in caso di contemporaneità, si puòarrivare a definire la mediana per approssimazioni successive, basandosisull’idea, già descritta dall’articolo, che mezza classe deve avere meno e mezzapiù anni di tale età. Dopo alcune congetture, emerge l’esigenza di riordinare glianni in ordine crescente, ripetendo i valori uguali.Il passo successivo consiste nel contare la metà degli allievi ed individuare ilvalore centrale della serie, se gli allievi sono dispari, o la media fra i due valoricentrali, se sono pari. Questa fase è articolata in atti concreti e operazionimentali descrittive.

Lo studente: Concretizza il concetto di mediana? Converte azioni concrete in rappresentazionimatematiche?

Attività 5Gli indicatori statisticiUtilizzando i dati di classe si rivisitano gli altri indicatori statistici, la moda e lamedia. Viene da chiedersi perché l’autore dell’articolo non abbia fatto ricorso adessi, preferendo la mediana. Emerge una prima intuizione, quando un’allievasostiene che la media è “finta”, intendendo che può non corrispondere ad alcunaetà reale, soprattutto “se c’è un grande scarto fra le età”. Una compagna osservache”la moda spiega solo le caratteristiche della maggioranza”, “singoli numericome la media e la moda non spiegano com’è la classe”. Altri intervengono perriportare il discorso sull’articolo, chiedendosi se sarebbe stato altrettanto efficacecon dei dati relativi alla moda e alla media. Si fa strada l’idea che sia significativa


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- 67 -la distribuzione delle età, soprattutto dovendo far vedere i due blocchicontrapposti (tali li si vuole in una logica economica ) dei giovani e dei vecchi.

Lo studente: Confronta parametri statistici, Riconosce il parametro più adatto allo scopo?Comprende il significato di distribuzione?

Attività 6Informazioni implicite. Estrapolazione. Discussione. I temi dell’articolo, ladenatalità, l’invecchiamento, sottendono alcune considerazioni: perché si fannomeno figli? (modelli culturali, crisi economica, costo della vita, mancanza diservizi, de-fertilità…); quali pesi economici e sociali comporta una popolazionevecchia? (pensioni, sanità, improduttività…).L’insegnante stimola la ricerca delle informazioni sotterranee attraversodomande, dialoghi, discussioni.


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Matematica per attività: Note sulle unità didattiche

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1.9 Note sulle unità didattiche

Le regole del giocoNei corsi per adulti sono presenti molti giovani, italiani e migranti.Fra gli italiani, numerosi sono i minorenni che non hanno completato la scuolamedia.Di solito hanno una sufficiente preparazione aritmetica e matematica di tipotecnico, accompagnata però da una sorta di “disattenzione valoriale” che rischiadi appiattire le possibilità di apprendimento attivo e creativo: hanno unatteggiamento più esecutivo che interpretativo, esauriscono gli sforzi con i primitentativi, tendono a non correggersi, danno valore ai risultati più che ai processi,non si preoccupano della coerenza di quello che fanno, non riescono aspiegarsi….Si tende ad addebitare la loro indifferenza a problemi di motivazione (“nonm’importa quello che devo imparare”), ma probabilmente, a monte dellemotivazioni, sta una sorta di rassegnata abitudine ad eseguire “richieste” checonsiderano artificiose e da cui ricavano frustrazione e insuccessi (“chem’importa se esce un risultato od un altro!”).Spesso co-abitano con coetanei di altra nazionalità, che possono avere unabuona preparazione tecnico-scientifica e una forte motivazione allo studio, manecessitano di strumenti linguistici e di occasioni di socializzazione.Sono importanti quindi tutte le attività che riescono a mettere assieme leesigenze diverse, in una situazione di cooperazione attiva.

Nelle UUDD si parla di sequenze di operazioni; quasi tutti ricordano le espressionidalla scuola media del mattino.Molti pensano che le espressioni somiglino ad un gioco, ma trovano difficilericordarne le regole, trasferirle a situazioni problematiche, descrivere iprocedimenti verbalmente.Qualcuno si ritiene “fregato” dalla mancanza di velocità o dalla distrazione(persino nella fase di dettatura!).“Forse, se si potesse “mettersi in gioco” direttamente, “inventando” brevisequenze di calcolo, si riuscirebbe a fissarne con più precisione e più a lungo imeccanismi!”Il passaggio da “mettersi in gioco” a “giocare” è breve.Il gioco inoltre è una situazione “viva” e “naturale” (perché vicino all’esperienza eal piacere ludico di quell’età), complessa, ma non necessariamente difficile, peril numero di stimoli che suscita; può essere un’occasione per integrarecomportamenti cognitivi diversi.Si divide la classe in tre, quattro gruppi; ogni gruppo deve provare a ri-elaborarele regole di un gioco.Per semplicità, l’insegnante propone di costruire una variante del gioco dell’oca,modificando i meccanismi di movimento in genere determinati dal lancio di undado.

Con questa unità si cerca di rovesciare i ruoli da esecutori passivi ad artefici, suun terreno semplice (brevi sequenze di calcoli), che di solito quasi tutti i ragazziricordano positivamente dalle precedenti esperienze scolastiche, ma in maniera“sfocata”.Sia l’attività di elaborazione che la ricerca di una soluzione, condivise in ungruppo, mettono in campo capacità logiche e linguistico-procedurali, che moltospesso rappresentano una difficoltà sottovalutata nell’insegnamentoconvenzionale.


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- 69 -L’unità esemplifica la fase di progettazione e non quella di esecuzione del gioco,fase fondamentale per rinforzare e chiarire i punti emersi nella preparazione.

L’insegnante valuta, attraverso gli interventi verbali e i tentativi scritti, le diversecapacità a progettare e prevedere i fattori in gioco, fra chi ha bisogno dirappresentarsi la situazione con dati numerici e chi riesce a ragionare in astratto;fra chi procede un passaggio per volta e chi cerca di avere sotto controllo l’interadinamica, fra chi procede per tentativi ed errori e chi riesce ad organizzarecontemporaneamente diverse strategie, tenendo conto di eventuali vincoli.Il dialogo in gruppo viene utilizzato come riflessione, come rinforzo o contrasto,ma anche come integrazione fra stili analitici e stili olistici.Sono inoltre critiche le competenze relative al riconoscimento logico di simboli,all’esecuzione di calcoli in sequenza ( regole di precedenza), ma soprattutto dicontrollo/verifica degli stessi.Mettere a confronto risultati finali/tappe di un procedimento svolto con operazionidistinte (ma correlate) con quelli ottenuti attraverso le espressioni aiuta gli allieviche hanno difficoltà. Così pure utilizzare strumenti grafici o tecnologici puòessere un supporto per la comprensione.Inoltre chi sa spiegare le proprie operazioni mentali dimostra di aver raggiuntoun maggior grado di consapevolezza e di poter affrontare situazioni analoghe.

Il collegamento con gli standard è insito nel “contenitore” usato per veicolareoperatori concettuali (il gioco), ma trova una coerenza rispetto agli operatoristessi (le espressioni come algoritmi; le strategie come sequenze di passi…).Abbiamo voluto sottolineare come il gioco, soprattutto nelle fasi di creazione eprogettazione, rappresenti un’attività di problem solving, ma anche un ambitoprivilegiato di esercizio e sviluppo di competenze logiche, che può far parte apieno titolo dei contesti di esperienza e di apprendimento di adulti e giovani. Ilgioco può comportare un fare matematica “in modo leggero”, senza l’ansia daprestazione, che spesso si genera da modalità di insegnamento tradizionali. Lascelta dei livelli lascia presupporre uno spettro relativamente ampio di rispostecognitive da parte degli allievi, in cui sono proprio le attività di meta-riflessione enarrazione a permettere un’evoluzione e a stimolare dei salti cognitivi.

Percentuali di democraziaLa presenza contemporanea di italiani a bassa scolarità e di migranti di diversanazionalità nei corsi per adulti, la loro urgenza verso l’inclusione sociale elavorativa pongono necessariamente un forte richiamo a soffermarsi su problemidi cittadinanza, rappresentanza e democrazia.I corsi per adulti operano una spinta verso percorsi di avviamento al lavoro o diformazione professionale accrescendo il bisogno di competenze sociali su comecondividere il lavoro, prendere decisioni, applicare criteri di giustizia, esercitarediritti e doveri…La stessa convivenza in classe di persone di nazionalità, culture, età, backgrounddiversi (in particolare in presenza di giovanissimi italiani o di minori stranieri diseconda generazione) richiede spesso l’esercizio di principi elementari diconvivenza e confronto.

Anche l’area matematica cerca di contestualizzare e collegare contenuti specifici,sia per saldarli con le esperienze di vita degli adulti, sia per far vederechiaramente le possibili applicazioni di quanto si impara.


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- 70 -Sembra quindi interessante proporre approcci diversi dalla lezione convenzionale,ad esempio con giochi di simulazione, che da un lato permettono di sperimentaremeccanismi complessi in presa diretta e dall’altro possono aprirsi a un realeesercizio di pratiche democratiche, comunque mettendo in risalto la percezionecomune di fatti e di informazioni.Il dialogo “operativo” della classe aiuta a far emergere intuizioni o errori, chevengono ripresi con domande-guida e sottolineati schematicamente alla lavagna.

L’occasione nasce dall’elezione di 2 delegati di classe (con compiti dirappresentare le esigenze dei frequentanti, di raccordarsi con gli insegnanti, dicoordinare le attività esterne..).Tutta la classe è chiamata a definire le modalità di elezione.La prima fase è utilizzata per alcuni preliminari da discutere: stabilire se tuttisono eleggibili, se si propongono candidature, se si accettano liste unitarie, se sivogliono dei simboli.Viene scelta inizialmente la strada più facile: tutti sono eleggibili individualmente.Ciascuno può votare per due nomi.

Elementi di valutazione. Una prima valutazione dell’insegnante riguarda lacapacità di convertire espressioni verbali in notazioni matematiche, ma l’uso diuna percentuale così intuitiva dovrebbe permettere di superare la difficoltà anchea chi stenta a formalizzare.La capacità di disaggregare percentuali per svolgerne più facilmente i calcoli, èabbastanza diffusa fra gli adulti, mentre risulta più difficile applicarlaconsapevolmente. La situazione di controversia permette di focalizzarla emettere in evidenza il passaggio ad un valore unitario (1%), che può essereripreso con frazioni meno intuitive.In questa fase può essere valutata la capacità di applicare nella pratica diretta idiversi tipi di indicatori di maggioranza, richiamando sia l’esperienza sia leriflessioni di tipo matematico e di ricavarne elementi di giudizio.

Gli spunti di connessione agli standard nascono dalla confluenza di diversielementi: l’esigenza di concretizzare l’analisi della realtà attraverso una suasperimentazione/simulazione (dall’esercizio di procedure democratiche allacomprensione di meccanismi e regole), la volontà di trasformare elementi diconoscenza comune (la maggioranza del 51%) in un percorso di riflessione evalutazione, questi elementi congiunti per soppesare i pro e contro di alcunescelte di rappresentatività. Lo standard connesso, propone competenze piùanalitiche che attive, ma riteniamo appunto, e in questo ci aiuta la costruzionedell’unità come oggetto di problem solving, che lo studio di fenomeni politici esociali debba prevedere per gli adulti una fase di immedesimazione collettiva, cheli sottragga da una visione egocentrica o estranea. La costruzione corale delpercorso diventa strumento di analisi.

Il regaloQuesta unità nasce come esperienza in corsi per la licenza media dei CTP conitaliani e migranti di varie nazionalità, adulti e minorenni in formazioneprofessionale.Molti possono avere esperienze professionali (commesse, decoratori, rilegatori..)attraverso cui hanno consolidato competenze e operatività manuali.C’è il senso di una propria professionalità, ma poca abitudine a “formalizzare”. Laconoscenza della matematica per alcuni è fonte di orgoglio (alcuni stranieri


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scolarizzati), per molti un sapere “alto” e “altro”, al di fuori della propria portata.Gli stranieri vorrebbero arricchire il loro linguaggio di base.Per qualcuno è fondamentale “muoversi”, per altri è meglio “scrivere”, per tuttiva bene “parlare”.

L’ambiente di apprendimento (la disposizione dei banchi, la posizione dellacattedra, la disponibilità di materiali..) svolge un’azione significativa su come sistrutturano le lezioni e le relazioni. Per gli adulti deve avere caratteristiche dilaboratorio e la possibilità di riorganizzare lo spazio per lavorare in gruppo,coppia, individualmente….Sono preferibili tavoli lunghi, disposti a formare isole con quattro/cinquestudenti per tavolo (per lavorare in gruppo)Devono esserci materiali di cancelleria e di disegno.Paradossalmente gli adulti non riescono sempre a cogliere il legame fra lageometria e i suoi fondamenti concreti di cui si fa uso nel quotidiano: hannodifficoltà a “vedere” figure tridimensionali disegnate bidimensionalmente,tendono a confondere perimetri ed aree, queste ultime quasi sempre viste solocome prodotto di misure lineari.Spesso questa dissonanza emerge come richiesta di “esempi” vicini al reale.La trattazione dovrebbe quindi sollecitare consapevolmente il richiamo adesperienze di uso informale quotidiano e professionale, per giungere solosuccessivamente alla fase di sistematizzazione ed integrazione di conoscenze ecompetenze.

Situazione: Si sta svolgendo una lezione sui concetti di perimetro ed area.L’insegnante ha chiesto di riconoscere e disegnare alcune figure geometriche.Molti chiedono se non si possa fare un esempio più vicino al proprio lavoro.Si domanda in quale occasione abbiano bisogno di misurare.Il decoratore: “ sempre: pavimenti, stanze, mobili”.Il rilegatore:“ per ricoprire, rilegare libri”.La casalinga:“ nei lavori di taglio e cucito e di arredo”.Le commesse:“non proprio misurare con il metro….ma qualcosa del generequando si fanno i pacchetti”. “Si vuole sprecare poca carta, ma non sempre ci siriesce.”Le attività possono essere episodiche (diramazione di una lezione), specifiche(per una festa scolastica) o costituire un vero laboratorio di manutenzione ericiclaggio della scuolaSi cerca quindi di individuare un’attività che permetta di confrontare lecompetenze concrete con quelle astratte, sapendo che i compiti reali hanno ungrado di complessità, in cui non tutto è riconducibile ad un modello lineare.La concettualizzazione dello sviluppo di figure solide sul piano avviene perconfronto fra azioni concrete (con la carta) e l’astrazione (con il disegno, lemisure, le formule) , attraverso una progressione concreto-astratto-concreto, cheporta al raggiungimento degli obiettivi iniziali, integrando consapevolmente atti econoscenze.

Nel quadro degli standard di matematica, l’unità presentata trova la suacollocazione “naturale” in due luoghi: il livello 2 dello standard B ( Analizza erisolve semplici problemi…utilizzando conoscenze ridotte ma strutturate diaritmetica, misure, geometria… Utilizza un minimo lessico specifico erappresentazioni grafiche per comunicare…) e il livello 2 dell’ F (Amplia e ordinaconoscenze su numeri, operazioni, misure e geometria accrescendo le possibilitàoperative, ma anche di gestione e valutazione…). In entrambi i casi questa unità


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di apprendimento vorrebbe rappresentare un momento evolutivo, in cui,coerentemente con i termini stessi usati nell’enunciazione degli standard(conoscenze strutturate…, gestione e valutazione…. amplia e ordina..) si realizzail passaggio, a partire dalla conoscenza intuitiva e di natura esperienziale, senon ancora alla formalizzazione, tuttavia all’integrazione e sistematizzazione diconoscenze. Un processo quindi di riflessione consapevole su atti concreti,generativo delle “prestazioni cognitive” che attengono al livello successivo deglistandard citati: la concettualizzazione di enti geometrici, figure e proprietà, ilpassaggio all’astrazione di modelli, l’utilizzo di forme di comunicazione precise erelativamente formalizzate…Inoltre, al di là del focus di contenuto specificodell’unità di apprendimento, in essa sono rintracciabili aspetti cognitivi trasversaliche rimandano direttamente agli standard I ( …problematizza situazioni al finedi effettuare scelte di consumo razionali e consapevoli….ottimizza strategie ecomportamenti…) ed M (….crea e applica strategie e sa individuare gli elementicruciali…).Formule e problemiL’unità di apprendimento è rivolta ad adulti che hanno difficoltà ad analizzare erielaborare testi problematici e a tradurre riflessioni e procedure in linguaggiosintetico/formale.Viene condotta con modalità interattive allo scopo di stimolare la meta-riflessione, sviluppando la consapevolezza delle procedure di pensiero messe inatto.Il docente propone problemi “atipici”, non tanto rispetto al contenuto,banalmente “scolastico”, quanto per il tipo di presentazione (situazioni senza datinumerici, o con dati ridondanti, o con soluzione a scelta multipla…) e per lerichieste che vengono espresse (individuare la domanda…, descrivereverbalmente la procedura di soluzione…).

La valutazione all’interno di questa unità di apprendimento, la cui intenzionalitàdidattica si esprime su diversi livelli di operatività cognitiva che vanno dall’analisidi situazioni problematiche alla meta-riflessione, alla capacità di sintesiattraverso simboli, ad una riflessione sul linguaggio, non può avvenire cheattraverso un’attenta osservazione degli allievi da parte del docente.Sono le domande, gli interventi, le osservazioni che emergono durante il lavoro adare la misura, per ognuno, del grado di consapevolezza ed interiorizzazionedelle operazioni cognitive su cui è focalizzata l’attività.Le spettro dei possibili esiti di apprendimento è ampio: sicuramente una delledifficoltà maggiori è la maturazione della capacità di verbalizzare, quindi didescrivere e generalizzare i propri percorsi mentali, astraendo dalla concretezzadel dato numerico, della situazione specifica.E’ a partire da ciò che si sviluppa la capacità di cogliere gli elementi e le relazionicruciali , riuscendo così a operare sintesi anche in situazioni complesse.Un altro ostacolo, il cui superamento va accertato, è l’individuazione dellerelazioni tra gli elementi di una situazione e la loro rappresentazione insequenza: alla descrizione parcellizzata di una strategia che mette in luceessenzialmente i risultati parziali, spesso non descritti con chiarezza ma solointuiti, sostituire una sequenza, una “frase” in cui la maggiore evidenza è data alprocesso, alla strategia complessiva, non è una operazione da dare per scontataquando si parla di adulti poco scolarizzati.Così pure è importante la riflessione sul linguaggio: è attraverso il linguaggio chele riflessioni personali acquistano chiarezza e condivisibilità, è attraverso simboliche rimandano a parole che diventa possibile descrivere una sequenza di azioni:il linguaggio deve diventare quindi sintetico e preciso.


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L’unità didattica si connette in modo diretto allo Standard M per la centralità dataad alcuni operatori concettuali: le capacità di descrivere in modo sinteticoprocedure, creare ed applicare strategie, individuare elementi cruciali insituazioni complesse. I versanti cognitivi fondamentali su cui si agisce l’unità diapprendimento sono due e riguardano essenzialmente la comunicazionesintetico/simbolica e l’approccio ai problemi, ma il campo su cui si opera , inprima istanza, è lo sviluppo di capacità meta-riflessive, che si riallaccia alla“consapevolezza” che l’articolazione dello standard sottolinea

Il peso idealeSpesso le lezioni hanno una creatività interna che si relega ad un postoinformale.Varrebbe invece la pena di essere pronti all’imprevisto momento creativo,dotandosi di agilità (mentale e logistica), di risorse (materiali di consultazione,PC) e di tempo.Questa esperienza nasce in un gruppo-classe per la licenza media, con numerosecorsiste adulte, italiane e migranti, molte delle quali frequentanocontemporaneamente un corso regionale per operatore socio-sanitario.Si stanno trattando temi di educazione sanitaria, con gli allievi suddivisi in piccoligruppi. Il clima è informale.Per introdurre alcune conoscenze di anatomia e fisiologia si è inserito un gioco,che ha il senso di avvicinare e sdrammatizzare i contenuti.La lezione ha una struttura a spirale, in cui l’insegnante ha una funzione diascolto, catalizzazione delle idee e rilancio.Molte lamentano problemi di sovrappeso e dicono di leggere avidamente rivistefemminili per verificare il peso-forma per sé. Ci si confronta e ci si scambiacomplimenti più o meno sinceri.

Importante la capacità di mettersi in gioco, elaborando correlazioni, a partire daun tema “non convenzionale.Il percorso iniziale non richiede conoscenze tecniche specifiche, si possonoprendere in esame anche congetture stravaganti, ma poi, con l’aiuto del gruppoe dell’insegnante, deve esserci un salto di qualità che faccia emergere la capacitàdi connetterle al tema con coerenza e quindi di saper problematizzare lasituazione.Un passaggio importante è ragionare per variabili, attribuire possibili valoriquantitativi alle caratteristiche prefigurate (anche a quelle non comunementemisurabili, come è pratica nei sondaggi d’opinione), considerare una variabilecome funzione di un’altra. L’espressione “il peso dipende da…” può fuorviare erimandare alle cause piuttosto che agli elementi correlati, come già detto, mapuò essere chiarita con esempi figurati, considerando persone ugualmentepesanti, ma diversamente conformate. Non sempre chi ha più competenzestrumentali formali riesce a dilatare uno spunto problematico, perché èprigioniero di regole prefissate, in questo caso il brain-storming deve essereaccompagnato da suggerimenti paradossali (es. accostare idee lontanissime fraloro).

Il secondo percorso ha il senso di confrontare la fase per “libera associazione edipotesi” con uno strumento convenzionale.


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In questo caso la proposta di ragionare in astratto sicuramente è una richiestapiù difficile che procedere alla sostituzione di valori numerici, ma permette difar cogliere l’andamento complessivo dei fattori in gioco e di non perdersi nelcalcolo. Si può facilitare l’interpretazione della formula separandola in blocchi (laprima sottrazione, la sottrazione a numeratore, il rapporto; la sintesi fra primoblocco e secondo).In particolare il concetto di rapporto divide le persone fra chi riesce a prevedernel’esito solo in presenza di numeri e chi ha un’immaginazione astratta, ma puòfavorire una crescita di capacità se viene facilitato ad esempio con la descrizionea parole e fissando uno dei termini in gioco (grande diviso piccolo, grande divisogrande..).

Quando si passa all’applicazione concreta della formula nel terzo percorso, moltipossono trovarsi in difficoltà nell’ eseguire più algoritmi in successione, in questocaso si devono suggerire gli stessi stratagemmi utilizzati nel ragionamento senzanumeri (separando i passaggi).Così pure l’interpretazione e l’uso della seconda tabella può comportare notevolidifficoltà, perché prevede numerosi passaggi mentali (misurazione, calcolo,ordinamento, confronto, percentuale), ma può essere accompagnato da unasequenza di istruzioni che delimitino i compiti.L’ultimo percorso richiede un’ulteriore progressione mentale, dal caso singolo alcaso collettivo.Lo strumento grafico, una volta chiarito il funzionamento, non comportaparticolari problemi, permette però di “vedere” la relazione fra peso ed altezza,anche se con criteri diversi.Il richiamo, non necessario, a forme rappresentative diverse è fondamentale perconsentire l’espressione di diverse potenzialità e per relativizzare la/le disciplinein campo.

Il contesto, gestione della salute, è solo uno dei motivi di connessione, mentreinvece ci è parsa rilevante quella continuità fra una valutazione soggettiva,qualitativa ed una invece convenzionale e quantitativa di una caratteristica. Lostesso passaggio compare in numerose situazioni problematiche; non è dettoche la prima fase sia meno significativa della seconda, in quanto, oltre a favorireun’interiorizzazione maggiore di competenze, può addirittura suscitare un mododiverso di osservare fenomeni e generare un’attitudine esplorativa utile insituazioni di lavoro, ricerca e sperimentazione.La scelta dei due livelli permette di dar conto di questo passaggio evolutivo,connotato anche dall’acquisizione di strumenti matematici, piùconcettuali/trasversali (cercare relazioni, quantificare, sintetizzare..) che specifici(la formula), tali che possano contribuire a una lettura della realtà più razionale eal tempo stesso più complessa.

Per eccesso e per difettoQuesta unità di apprendimento è rivolta ad adulti che frequentano un breve corsopropedeutico all’ingresso in un monoennio di scuola superiore presso un IstitutoProfessionale con indirizzo aziendale: numerosi italiani, qualche migranteresidente in Italia da lungo tempo.Alcuni sono ex-studenti che hanno interrotto gli studi, molti sono lavoratori; disolito vogliono riprendere la scuola per desiderio di avanzamento di carriera,come opportunità per cambiare lavoro, come riscatto culturale o, nel caso deglistranieri, per ritornare rapidamente in possesso di titoli che hanno acquisito inmadre patria, ma che non vengono riconosciuti in Italia.


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Nonostante le competenze di base siano assai diverse, alcuni contenutimatematici “sottotraccia”, tendono a livellare le differenze e a cogliere tuttirelativamente impreparati, se non addirittura diffidenti.L’approssimazione di numeri interi e decimali rientra fra gli oggetti di studiocomunemente trattati con gli adulti, ma pochi allievi sono consapevoli di talediffusione, delle sue rigorose convenzioni, della sua necessaria utilità.Spesso anzi, trattando questo aspetto si possono provocare, oltre alle difficoltàintrinseche, reazioni inaspettate.

La situazione: si è in classe, l’insegnante sta richiamando alla memoria ilprocedimento matematico con cui si approssima per difetto e per eccesso; gliallievi, dotati di calcolatrici tascabili non professionali, sono disposti a isole di tre-quattro persone in modo da favorire una circolazione delle idee in due tempi (dalpiccolo al grande gruppo).Un primo esercizio consiste nel confrontare operazioni con numeri decimali, fatte“a mano” e con la calcolatrice, i cui risultati superino il numero di cifre previstesul visore. Si ripete l’esercizio con la richiesta di approssimare ad ordini digrandezza diversi.Qualcuno si trova in difficoltà, l’insegnante ricorre a rappresentazioni grafiche(rette orientate) per chiarire i procedimenti.Si apre un borbottio diffuso da parte di alcuni italiani di lontana scolarizzazione.“Ma serve davvero?”“Capita di doverlo fare nella vita quotidiana?”L’insegnante descrive alcune situazioni in cui ricorrono le approssimazioni:scontrini, bollette, imposte, cambi…Giovanna, un’operatrice scolastica (ambisce ad una funzione di concetto):“Arrotonda di qui, arrotonda di là……è un altro sistema per “fregarci” dei soldi!”.Come spesso capita, queste situazioni di dialogo fanno nascere e crescere iproblemi.

E’ interessante sfruttarle, perché mettono a nudo ragionamenti, pregiudizi,errori, consentendo di rielaborarli e superarli. Lo sforzo dell’insegnante consistenell’ascoltare, raccogliere e animare la situazione; deve mediare e far convergerei discorsi, stimolare le riflessioni con domande, “cogliere l’attimo”, inventando asua volta nuove piste di studio, ma anche lasciandosi trascinare dalla corrente diidee.In questo caso rilancia l’ultima osservazione sotto forma di problema.

Nello sviluppare l’unità possono esserci diversi gradi di difficoltà nella letturastessa dello scontrino perché alcuni non riescono autonomamente a riconosceretermini e dati necessari alla soluzione. L’insegnante deve modificare lavalutazione in corso d’opera, mentre il dialogo sta portando a una maggiorconoscenza dei dettagli.Così pure va annotata la progressione rispetto alla scelta delle operazioni:l’abitudine porta chi ha scarsa dimestichezza con importi decimali ad utilizzarevalori interi e quindi ad eseguire divisioni e conversioni (da Kg a g) nonnecessarie per svolgere il calcolo del costo, soprattutto in presenza di misure deltipo 0,…

La sicurezza su questi passaggi viene acquisita nel tempo, qui va ripresa esottolineata con esempi e contro-esempi.


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Rispetto alle procedure di calcolo, sia a mano che con calcolatrice, va anticipatala previsione delle cifre decimali risultanti, proprio per evitare errori di esecuzione(a mano) o di interpretazione (con calcolatrice).La calcolatrice diventa un supporto “intelligente” se permette di accelerare leprestazioni di calcolo ma soprattutto se fa riflettere sull’entità e la qualità di esitie procedimenti.

Il passaggio dall’uso del denaro alla sua notazione è cruciale sia rispetto alloscopo specifico, sia per comprendere la struttura a “scatole cinesi” dei decimali.Dopo l’introduzione dell’euro si dovrebbe incrementare l’esercizio dicompilazione guidata di moduli, come qui proposto, proprio per fonderecompetenze pratiche e teoricheE’ fondamentale l’esercizio, sempre più affinato, di descrizione dei meccanismi diapprossimazione, azione non facile anche per chi ha maggior padronanzadell’argomento. Possono crearsi differenze fra chi sa usare il meccanismo inalcuni casi più semplici e chi lo sa estendere, per questo la “recitazione” deipassaggi può migliorare la prestazione soprattutto se accompagnata da schemigrafici. Le persone che usano schemi hanno sicuramente maggiori sicurezze epossono indurle in altri.

L’unità didattica si connette a diversi standard in quanto diversi sono gli operatoriconcettuali e i contenuti disciplinari che vengono messi in gioco. Se il terrenoall’interno del quale viene agita l’unità didattica si collega esplicitamente allostandard A (problemi di gestione economica quotidiana) e le operazioni cognitiveche stanno alla base dell’unità e che fungono da “trampolino” verso unatrattazione più complessa sono connesse direttamente con esso ( Applica alcunimodelli generali aritmetici… Comprende ed usa informazioni in forma scritta, conalcuni termini e simboli specifici), nello sviluppo dell’attività, che si configuracome un”cambiamento di punto di vista”, nuova prospettiva di studio di unaquestione apparentemente risolta con metodi convenzionali, ci si proietta versolo standard M .Questo implica l’approccio ad una serie di operatori concettuali e contenutidisciplinari più complessi: viene messa in gioco la capacità di riflettere sucongetture e ipotesi e di cercarne la verifica, di seguire una linea diragionamento di tipo probabilistico, di concettualizzare le modalità di calcolo dellaprobabilità, di utilizzare strumenti specifici quali le tavole combinatorie.Il concetto di probabilità non è istintivo, più esempi concreti si presentano perfacilitarne la comprensione, più è possibile che si possa applicarlo in questocontesto, dove appaiono meno visibili e riconoscibili i termini del rapporto.Molti passaggi vanno inizialmente guidati lasciando però libertà alle soluzionipersonali, ad esempio nel descrivere le combinazioni, eventualmenteconfrontando le modalità più ordinate ed efficienti.Arrivare a descrivere il numero di combinazioni con una formula non èstrettamente necessario, ma può essere usato come sfida nei confronti di chi hamaggiori competenze formali. Per ultimo le attività proposte con il terzo percorsoservono come rinforzo/rilancio dei contenuti, per verificarne la trasferibilità insituazioni lievemente diverse.

Il prezzo da pagareLa capacità di lettura, interpretazione e valutazione di dati statistici non solo è unelemento essenziale per chi vuole esercitare una cittadinanza consapevole ma


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mette in gioco una serie di conoscenze e capacità che afferiscono a modalità dirappresentazione, linguaggio, approccio concettuale e metodologico di tipomatematico.Non sono in gioco solo la capacità di decifrare simboli e schemi e la correttaindividuazione e lettura di dati, ma anche l’ abilità a metterli in relazione, acomprendere i principi di calcolo di specifici parametri, a compiere inferenze,deduzioni, estrapolazioni.

Gli adulti di incerta scolarizzazione spesso hanno un atteggiamento ambivalentenei confronti della statistica: da una parte c’è una diffidenza radicata epreconcetta verso questo terreno (la storia del mezzo pollo…) dall’altra unrispetto quasi religioso per tutto ciò che ha a che fare con numeri e con modalitàdi rappresentazione che minimamente abbiano un aspetto “scientifico/tecnico”.Questo genera un atteggiamento di sostanziale disinteresse: grafici e tabelles’incontrano continuamente (nei telegiornali, nei quotidiani, persino nelle rivisted’intrattenimento) ma raramente scatta l’interesse a leggerli e capirli, più spessovengono ignorati. Nei casi migliori, data l’evidenza illustrativa che li caratterizza,vengono letti come la “fotografia” di un fenomeno, esaminata solo nel suosignificato descrittivo più generico, senza un approccio più analitico e critico.I grafici rappresentano invece una forma comunicativa e rappresentativa digrande potenza, che è necessario saper decifrare, sia per poter comprendere evalutare in modo razionale un fenomeno, sia a scopo di “autodifesa”, per poterindividuare e smontare eventuali scorrettezze e mistificazioni.

Questa unità di apprendimento rappresenta un primo passo su questo terreno distudio ed è rivolta a un gruppo di adulti che frequentano il corso di licenza mediapresso un CTP.Si tratta in genere di persone con un passato scolastico irregolare, conconoscenze disorganizzate e a volte frammentarie, persone spessocaratterizzate da un approccio “precipitoso”ai temi di studio, connotato da scarsariflessività.Nell’urgenza di “svolgere il compito” gli argomenti e le attività vengono spessofronteggiati da una parte in modo affrettato e poco analitico (a questocontribuisce anche la scarsa abitudine alla lettura), e dall’altra, vista la difficoltàa decentrarsi, a ricercare il più possibile agganci con la propria realtà e la propriaesperienza che in molti casi possono essere fuorvianti.E’ quindi necessario che l’unità di apprendimento, oltre a presentare unparametro statistico essenziale come la media, aritmetica e ponderata, siconfiguri soprattutto come una sorta di “guida all’ analisi”, strutturata in piccolipassi successivi.Sono essenziali in questo percorso le domande/stimolo dell’insegnante e ilconfronto all’interno del gruppo che spesso riesce a chiarire i nodi controversi inmodo più efficace dell’intervento del docente.

L’unità didattica si connette in modo diretto con lo standard L: in esso sipossono enucleare alcune “parole chiave” che rimandano sia all’oggettodisciplinare dell’unità didattica (modalità comunicative proprie dellamatematica), sia alle operazioni mentali (analizza, descrive, decifra, interpreta,sviluppa un atteggiamento critico) che rappresentano lo scopo intenzionale edesplicito dell’attività.


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Il livello a cui viene fatto riferimento precisa a quale grado di operativitàconcettuale si agisce e riverbera anche su opzioni metodologiche.Di centrale importanza anche nell’unità didattica è la questione dellacomunicazione: non solo appare rilevante, coerentemente con lo standard,l’acquisizione di un linguaggio più rigoroso, insieme con il significato di parametrispecifici, ma va sottolineata l’importanza metodologica della verbalizzazione, daparte degli allievi, dei propri processi di pensiero al fine di sviluppare lametariflessione, e dello sviluppo delle capacità di confronto e contraddittoriocome mezzo di chiarimento e verifica dei propri apprendimenti e di opportunità diapprendere ad analizzare e valutare razionalmente congetture e ipotesi altrui.

Una questione di età e opinioniSi sta svolgendo un laboratorio di lettura dei quotidiani in una classe di terzamedia, con italiani e migranti adulti. Molti lavorano come badanti e colf.L’aula è disposta ad isole di banchi, che condensano 3, 4 gruppi di allievi.L’attività di lettura è integrata da momenti di relazione e discussione, chepossono diventare dei contraddittori.Il giornale è un veicolo importante di conoscenza del paese, della lingua e quindisi presta ad essere usato in situazioni “interculturali” quali si riscontrano neicentri territoriali per adulti, ma spesso si trascura il fatto che possa offrire spuntiinteressanti a tutte le aree disciplinari, inclusa l’area scientifica, sia per contenutispecifici, sia perché può essere utilizzato come strumento per argomentare inmodo razionale fatti, opinioni con dati statistici.In questa UD, è l’insegnante di materie scientifiche ad aprire uno spazio dilettura e, nell’occasione specifica, prende spunto dal continuo dibattito internosull’immigrazione.

Fra gli italiani emerge qualche preoccupazione all’idea di essere una minoranza(anche in classe), di essere in concorrenza per il lavoro, la casa….Individualmente tutti si apprezzano e si sentono affettuosamente legati, maquando si passa a fare discorsi generali, emerge l’ansia “da invasione”, cuivengono contrapposti i sacrifici, le fatiche, il senso di esclusione di chi emigra.Si fa una breve ricerca fra gli articoli pubblicati nel corso della settimana,focalizzando l’attenzione su quelli che riguardano il tema in discussione.Ogni gruppo deve leggere , “raccontare” e sostenere le argomentazioni di unarticolo diverso, a prescindere dalle proprie posizioni personali, che verrannosuccessivamente richieste come commento.A titolo di esempio, riportiamo un articolo ampiamente utilizzato nei corsi.All’interno ci sono alcuni concetti utilizzati in campo statistico che possono essereripresi, sia per dare fondamento alle argomentazioni reciproche, sia per capirel’opportunità dei diversi indicatori usati in questo tipo di analisi ( media, moda,mediana).

Il fatto di lavorare in gruppo favorisce scambi e condivisioni del lavoro e puòessere perfezionato caratterizzando maggiormente i singoli ruoli (chi analizza, chiscrive, chi presenta.) o i compiti di ogni gruppo, ad esempio con la presentazionedi articoli a tesi opposte.

In questo caso è possibile solo una valutazione “evolutiva”. Il testo vieneutilizzato come pretesto per mettere a fuoco le competenze dichiarate nei titoli,che dovrebbero essere coltivate e riprese sul lungo periodo, con attività simili.Ci sono profonde differenze fra chi non sa leggere, chi legge ma non capisce, chi


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capisce segmenti separati ma non sa connetterli in un senso complessivo, comepure fra chi applica operatori statistici informalmente e chi convenzionalmente,fra quanti usano più o meno criticamente informazioni e operatori…ma il dialogofra pari, sostenuto e cadenzarto dall’insegnante, in genere accelera sia i processidi apprendimento che la capacità di argomentare.Introdurre dei “rituali” riconosciuti in cui si montano e si smontano informazionied opinioni, può consentire quella “giusta convergenza” fra giudizi passionali evalutazioni razionali, che sono anticamera per un confronto democratico e risorsanella vita sociale e lavorativa.

Il giornale è uno degli strumenti di informazione di ampia diffusione, anche sedecisamente sotto-utilizzato e poco capito dagli adulti a bassa scolarità.Laboratori di lettura dei quotidiani permettono di sviluppare molte operazionicognitive trasversali, fra cui quelle descritte nello standard L, utili a forme diauto-apprendimento ed auto-informazione/formazione se opportunamenteesercitate nel tempo.La matematica di tipo statistico è comunemente presente in articoli di tipoeconomico, politico, socio-demografico e viene utilizzata per dimostrare orafforzare le tesi degli opinionisti con una valenza comunemente riconosciuta dioggettività. Come prevede lo standard in questione, è rilevante connettere fatti epareri personali con quanto viene documentato, ma anche riconoscere l’efficaciao meno dei parametri quantitativi, così si è cercato di proporre attraverso questaunità.

Analisi del modello prevalente: Matematica per attività

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1.10 Analisi del modello prevalente Matematica per attività

Tutte le unità didattiche presentate afferiscono ad un modello prevalente che èstato definito Matematica per attività.Il modello è rappresentato nello schema posto di seguito ed individua i puntisalienti delle unità presentate che pure possono differire per altri aspetti specifici.

I blocchi a sinistra rappresentano la situazione di apprendimento cui ci siriferisce. Per situazione si intende il contesto “sociale” del gruppo (tipologia degliallievi, caratteristiche cognitive, esperienze di vita e lavoro, concezioni di sensocomune, difficoltà..) ma anche l’attività in corso in quel dato momento nellaclasse.Il contesto a sua volta interagisce con oggetti - contenuti (matematici, di altrediscipline o di natura reale) generati o elaborati attraverso momenti didiscussione e meta-riflessione e poi raccolti sotto forma di problema.Al centro dello schema viene evidenziato il nucleo del percorso (il problema o iproblemi): in genere si tratta di un quesito aperto, oppure è un documentospecifico, ad esempio un grafico ed un articolo di giornale (UD Il prezzo dapagare e Una questione di età e opinioni); o ancora la modalità con cui vienetrattato il quesito e cioè l’elaborazione di un gioco (UD Le regole del gioco).Nella parte destra dello schema sono rappresentate le attività attraverso cui siaffronta il problema, non necessariamente sequenziali.

Lo sviluppo avviene con modalità interattive: dialoghi, domande, confrontihanno il senso di mettere a fuoco gli elementi cruciali e le relazioni interne delproblema, con azioni di rinforzo reciproco fra pari; l’interazione del gruppo è ilterreno formativo, che permette di accostare e rilanciare congetture, ipotesi,confutazioni.

le unita’ didattiche della matematica - eduadu.net · il gioco della rana, una variante del gioco...

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