Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità

Generalmente, lanciando un dado, si considera il valore numerico della faccia uscita e, lanciando una coppia di dadi, interessa il punteggio totale realizzato oppure il valore massimo fra i due ottenuti. Spesso si considera il numero di teste ottenute lanciando un certo numero di volte una moneta.

In generale, ai possibili eventi elementari e1, e2,..., en di un dato spazio S sono associati dei valori numerici: più tecnicamente è data una funzione avente come dominio lo spazio S e che a ciascun evento elementare di S associa un numero reale.

Funzioni di tal genere sono dette variabili casuali o aleatorie: variabili in quanto suscettibili di assumere valori diversi, casuali poiché il valore da esse assunto dipende dall’esito di un esperimento casuale, ossia da quale evento elementare si è realizzato in una data prova.

Una variabile casuale sarà indicata con X. Data una variabile casuale X indichiamo con x1, x2,..., xn l’insieme dei suoi possibili valori. Se xi è un valore della variabile casuale X, indichiamo con pi la probabilità che assuma il valore xi, in formula: pi = p(X = xi ). La determinazione di pi è subordinata alla scelta del modello probabilistico relativo allo spazio di eventi relativamente al quale la variabile casuale è definita. Dato lo spazio di probabilità S, pi si calcola semplicemente sommando le probabilità degli eventi elementari ai quali è associato il valore xi di X e si perviene ad unoschema di questo tipo:

nella quale si riportano i valori della variabile casuale e le rispettive probabilità, ossia la distribuzione di probabilità della variabile casuale

Definizione della variabile casuale

Definizione del supporto della variabile casuale

Schema di una v. c. discreta

Esempio: costruzione di una v. c. discreta

Valore atteso di una v.c.Così come per le variabili statistiche, anche per le variabili casuali è possibile calcolare alcuni indici di sintesi che ne consentano la descrizione e il confronto.In particolare si fa riferimento al valor medio e alla varianza di una v.c.Si definisce valore atteso (momento primo o valor medio) di una v.c. X, la somma dei valori della X ponderati per le rispettive probabilità.Nel caso di v.c. continue il concetto di somma è da “intendersi nel continuo” per cui l’operatore somma trova suo analogo nell’integrale.Il valore atteso è indicato con il simbolo E().

Varianza di una v.c.Si definisce varianza (momento secondo) di una v.c. X, la somma degli scarti al quadrato tra i valori x e il valor medio, ponderati per le rispettive probabilità.Nel caso di v.c. continue il concetto di somma è da “intendersi nel continuo” per cui l’operatore somma trova suo analogo nell’integrale.

Calcolo della media e della varianza di una v.c.

EsercitazioneUn investitore deve scegliere tra due portafogli azionari (A e B) con rendimenti variabili in funzione di quattro possibili situazioni economiche: recessione, stabilità, crescita moderata e crescita elevata. Le probabilità assegnate a ciascuna di queste e i relativi rendimenti dei due portafogli sono i seguenti:

Valutare quale portafoglio azionario è mediamente più redditizio e quale dei due portafogli è più variabile.

Situazione p A B

Recessione

0,10 30 -50

Stabilità 0,40 70 30

Crescita moderata

0,30 100 250

Crescita elevata

0,20 150 400