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ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

201527- SISTEMAS DINMICOSActividad 08: Leccin Evaluativa de la Unidad 2

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MTODOS DE ANLISIS

Hay bsicamente dos mtodos de anlisis para determinar ciertas propiedades, de talmanera que los procedimientos de diseo se pueden desarrollar utilizando estaspropiedades como medidas de rendimiento. Si una seal en el tiempo como un escaln ouna rampa se utilizan para excitar el sistema y se obtiene su respuesta en el tiempo, estose conoce como anlisis de la respuesta en el tiempoo anlisis en el dominio del tiempo.Por otra parte, si se utiliza una seal sinusoidal de frecuencia variable para excitar elsistema y se mide la magnitud y la fase de la salida del sistema en estado estacionario,esto se conoce como anlisis de la respuesta en frecuenciao anlisis en el dominio defrecuencia. Ambos mtodos tienen sus propias ventajas y desventajas.

1. Anlisis de la respuesta en el tiempo

El primer paso en el anlisis de un sistema de control es describir el sistema en trminosde un modelo matemtico. Un determinado sistema puede ser modelado mediante ladefinicin de su funcin de transferencia. El siguiente paso sera obtener su respuestatransitoria y en estado estacionario para una entrada especfica. La entrada puede seruna funcin que vara en el tiempo, la cual puede ser descrita mediante el conocimientode las funciones matemticas o puede ser una seal aleatoria. Por lo tanto, seacostumbra someter el sistema de control a algunas seales de entrada de pruebaestndares. Ests seales de prueba estndares son: un impulso, un escaln, una rampay una parbola. El anlisis y el diseo de los sistemas de control se llevan a cabomediante la definicin de ciertas medidas de rendimiento para el sistema, utilizando estasseales de prueba estndares.

Tambin es pertinente mencionar que cualquier funcin arbitraria en el tiempo puede serexpresada en trminos de combinaciones lineales de estas seales de prueba y por lotanto, si el sistema es lineal, la salida del sistema se puede obtener fcilmente mediante lautilizacin del principio de superposicin. Adems, la integral de convolucin tambinpuede utilizarse para determinar la respuesta de un sistema lineal ante cualquier entrada,si se conoce la respuesta a una entrada escaln o impulso.

En el anlisis de un sistema de primer orden la respuesta escaln da informacin valiosaacerca de la velocidad de la respuesta transitoria. Se observa que la velocidad de larespuesta es inversamente proporcional a la constante de tiempo del sistema. Lasentradas rampa y parbola no dan ninguna informacin adicional con respecto a lavelocidad de la respuesta. Sin embargo, los errores en estado estacionario son diferentespara estos tres tipos de entrada. Para una entrada escaln, el error en estado estacionario es cero, para una entrada de velocidad hay un error finito igual a la constante detiempo del sistema y para una entrada de aceleracin del error en estado estacionarioes infinito.

En un sistema de control de segundo orden se requieren satisfacer tres especificacionesprincipales, esto es, sobreimpulso pico ante una entrada escaln , tiempo de

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establecimiento y precisin en estado estacionario. El sobreimpulso pico es un indiciodel amortiguamiento del sistema, y para un amortiguamiento dado, el tiempo deestablecimiento indica la frecuencia natural no amortiguada del sistema. La precisin enestado estacionario se especifica mediante el error en estado estacionario, y el errorpuede estar dentro de los lmites determinados mediante la eleccin de una constante deerror apropiada , o dependiendo del tipo de sistema. Si se dan algunas otrasespecificaciones como tiempo de subida o tiempo de retardo, stas deben serconsecuentes con las otras especificaciones. La mayora de sistemas de control sedisean para ser subamortiguados con un factor de amortiguamiento entre 0.3 y 0.7. Enun sistema de segundo orden las nicas variables son y . Incluso si ambas estndisponibles, slo se pueden satisfacer dos de las tres especificaciones a saber, , y .

2. Anlisis de la respuesta en frecuencia

Debido a que la respuesta en el tiempo y la respuesta en frecuencia de un sistema serelacionan a travs de la transformada de Fourier, la respuesta en el tiempo se puedeobtener fcilmente de la respuesta en frecuencia. La correlacin entre las respuestas enel tiempo y en frecuencia se puede establecer fcilmente de tal manera que las medidasde rendimiento en el dominio del tiempo se pueden obtener de las especificaciones deldominio de la frecuencia y viceversa.

A continuacin se realiza una comparacin entre los anlisis en el dominio del tiempo y dela frecuencia:

Los generadores de seales sinusoidales de frecuencia variable e instrumentos demedida de precisin estn disponibles fcilmente para mediciones de magnitud yngulos de fase. La respuesta en el tiempo para una entrada escaln es ms difcil demedir con precisin.

Es ms fcil obtener la funcin de transferencia de un sistema mediante una pruebasencilla en el dominio de la frecuencia. Obtener la funcin de transferencia de larespuesta escaln es ms tedioso.

Si el sistema tiene constantes de tiempo grandes, se necesita ms tiempo paraalcanzar el estado estacionario para cada frecuencia de la entrada sinusoidal. Por lotanto, en tales sistemas se prefiere el mtodo de dominio en el tiempo sobre el mtododel dominio en frecuencia.

Para hacer una prueba de respuesta en frecuencia sobre un sistema, el sistema tiene

que estar aislado y tiene que aplicarse la seal sinusoidal al sistema. Puede que estono sea posible en sistemas que no puedan ser interrumpidos. En tales casos se puedeaplicar una seal escaln o una seal impulso al sistema para encontrar su funcin detransferencia. Por lo tanto, para aquellos sistemas que no pueden ser interrumpidos, elmtodo en el dominio del tiempo es ms adecuado.

El diseo de un controlador se realiza ms fcilmente con el mtodo del dominio enfrecuencia que con el mtodo del dominio en el tiempo. Los parmetros de la funcinde transferencia en lazo abierto se pueden ajustar fcilmente para un conjuntodeterminado de medidas de rendimiento en el dominio de la frecuencia.

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El efecto de las seales de ruido se puede evaluar ms fcilmente en el dominio de lafrecuencia que en el dominio del tiempo.

La ventaja ms importante del anlisis en el dominio de la frecuencia es la habilidadpara obtener la estabilidad relativa de los sistemas de control realimentados. El criteriode Routh-Hurwitz es, esencialmente, un mtodo en el dominio del tiempo quedetermina la estabilidad absoluta de un sistema. El criterio de Nyquist no slo permiteobtener la estabilidad sino tambin la estabilidad relativa del sistema sin encontrar lasraces de la ecuacin caracterstica.