lectures in applied econometrics 05

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 05

1/41

5. Το πολυμεταβλητό γραμμικό υπόδειγμα

Κ εφάλαιο 5.Το Πολυμεταβλητό

Γραμμικό Υπόδειγμα

Το απλό γραμμικό υπόδειγμα, t t t xβ = +y u , πολύ σπάνια είναικατάλληλο για εμπειρικές αναλύσεις στο βαθμό που δεν επιτρέπειστην εξαρτημένη μεταβλητή να επηρεάεται από έναν αριθμόερμηνευτικ!ν μεταβλητ!ν.

"ια παράδειγμα, η ητούμενη ποσότητα ενός αγαθού δεν είναισυνάρτηση μόνο της τιμής του αλλά επίσης του εισοδήματος τ#νκαταναλ#τ!ν και τ#ν τιμ!ν όλ#ν τ#ν άλλ#ν συμπληρ#ματικ!ν καιυποκατάστατ#ν αγαθ!ν.

$πίσης η κατανάλ#ση δεν εξαρτάται μόνο από το εισόδημα, αλλά καιαπό τα επιτόκια.

%το κε&άλαιο αυτό θα δούμε ότι το γραμμικό υπόδειγμα μεπερισσότερες ερμηνευτικές μεταβλητές δεν είναι παρά μια απλήγενίκευση του απλού γραμμικού υποδείγματος.

'ποτελεί απλή γενίκευση με μια διπλή έννοια. Πρώτον, στο επίπεδοτ#ν τε(νικ!ν, για τον υπολογισμό τ#ν εκτιμήσε#ν ελα(ίστ#ντετραγ!ν#ν. Δεύτερον, στο επίπεδο τ#ν στατιστικ!ν ιδιοτήτ#ν τ#νεκτιμητ!ν.

"ια να αποκτήσουμε μια εμπειρική αίσθηση του πολυμεταβλητούγραμμικού υποδείγματος ας υποθέσουμε ότι έ(ουμε τα ακόλουθαστοι(εία)

y x1 x 2 x3 24 * *+ 27 * *-

134


2/41


26 * *- 22 * *5 3 * / 0

Το 1 είναι η ητούμενη ποσότητα ενός αγαθού, 2- είναι η τιμή του, 23

είναι το εισόδημα του καταναλ#τή και 2* είναι μια μεταβλητή πουαποτελείται από μονάδες και (ρησιμεύει στο να εισάγουμε σταθερόόρο στο υπόδειγμα.

Τα αποτελέσματα της εκτίμησης του υποδείγματος, με τη μέθοδο 4&αίνονται στον παρακάτ# πίνακα.

Dependent Variable: YMethod: Least SquaresSample: 1 5Included observations: 5

Variable Coefficient Std !rror t"Statistic #rob

$1 %&&1'() )*%)&%) &(&%+%* **1*1$% "1*&++&% *%1%5%% "51,55)) **)55$) 1)*5&&' *)%%,11 '*'(%*% **55&

-"squared *&'&%5) Mean dependent var %5(**** .d/usted -"squared *(&(5*5 SD dependent var )*))15*S! of re0ression *&,,)*& .aie info criterion )*5)*''Sum squared resid 1(,+5*( Sch2ar3 criterion %(1(+*+Lo0 lielihood "',)%,1* Durbin"4atson stat 1,()*'*

6π#ς βλέπουμε τα αποτελέσματα δεν δια&έρουν πολύ από εκείνα πουπαίρνουμε όταν έ(ουμε μια μόνο ερμηνευτική μεταβλητή. "ια κάθεμια απ7 τις μεταβλητές, έ(ουμε μια εκτίμηση, ένα τυπικό σ&άλμα, μιαt 8στατιστική 9που είναι ο λόγος της εκτίμησης προς το τυπικό τηςσ&άλμα: και συνολικά η εξίσ#ση έ(ει έναν συντελεστήπροσδιορισμού 2 R , ο οποίος εδ! μας δεί(νει ότι /,/; τηςμεταβλητικότητας της Y εξηγείται από τις ερμηνευτικές μεταβλητές,

1 x , 2 x και 3 x .

Το πολυμεταβλητό γραμμικό υπόδειγμα και τα αμοιβα!ακεφάλαια

'ς θε#ρήσουμε το υπόδειγμα της αγοράς για ένα αμοιβαίο κε&άλαιο)

=t t t y x uα β + + , όπου)

t t t y R r = − είναι η υπερβάλλουσα απόδοση του αμοιβαίου κε&αλαίου, M

t t t x R r = − είναι η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς,

t r είναι η βέβαιη απόδοση,

135


3/41


t R είναι η απόδοση του αμοιβαίου κε&αλαίου και M

t R είναι η απόδοση της αγοράς.


4/41


$&όσον, όμ#ς, είπαμε ότι υπάρ(ει θετική σ(έση του β και τηςκατάστασης της αγοράς, αν η σ(έση αυτή υποθέσουμε ότι είναιγραμμική, πρέπει να έ(ουμε)

t t xβ γ δ = + , με 0δ > .

@ σ(έση αυτή δεν μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθοδο τ#ν ελα(ίστ#ντετραγ!ν#ν για να λάβουμε εκτιμήσεις τ#ν γ και δ, ε&όσον δεν

παρατηρούμε τα t β .

'ν αντικαταστήσουμε αυτή τη σ(έση στην προηγούμενη, έ(ουμε)

( ) t t t t t t t t y x u y x x uα β α γ δ = + + ⇒ = + + + ⇒2

t t t t y x x uα γ δ = + + + .

$πομέν#ς καταλήγουμε σε μια συνάρτηση δευτέρου βαθμού. @εκτίμηση της σ(έσης αυτής με τη μέθοδο τ#ν ελα(ίστ#ν τετραγ!ν#ν9δηλαδή η εκτίμηση τ#ν συντελεστ!ν α, γ και δ: μας επιτρέπει νααξιολογήσουμε τόσο την επιλεκτικότητα 9που σημαίνει ότι 0α > : όσοκαι τον συγ(ρονισμό με την αγορά 9αν 0δ > :.

? συντελεστής γ δεν έ(ει μεγάλη σπουδαιότητα και απλά μας δίνει

την τιμή του t β όταν η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς 9 t x : είναι

μηδέν. $πίσης το υπόδειγμα αυτό μας επιτρέπει να έ(ουμε και να

υπολογίσουμε δια(ρονικά μεταβαλλόμενες τιμές του συντελεστή β #ς* **t t xβ γ δ = + , όπου *γ και *δ είναι οι εκτιμήσεις ελα(ίστ#ν τετραγ!ν#ν

τ#ν γ και δ.

'ν εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό για τα αμοιβαία κε&άλαια της Midland και Nationale Nederlanden, με τα δεδομένα που έ(ουμε ήδη(ρησιμοποιήσει 9-AB-B*//3 C 3*B*-B*///: τα αποτελέσματα είναι ταακόλουθα.

Dependent Variable: -1Method: Least Squares

Sample: 1 ()Included observations: ()


C **1(*%) ***'1,* '))%%,5 *****-M *+,5%1% **'5()5 1,,&'(5 *****

-M% "**+')'& *%)+&,( "*)1%')) *+555

-"squared *(**5%, Mean dependent var **%,&1( .d/usted -"squared *+&55)& SD dependent var **+5(1+

13+


5/41


Dependent Variable: -%Method: Least SquaresSample: 1 ()Included observations: ()


C ***),,& ***%55+ 1')'('% *155%-M *&%55,' **%(1+1 )%(5'&, *****

-M% *%))(+, *1',%,* 15&&*'' *11)(

-"squared *&'%',) Mean dependent var **1+*%+ .d/usted -"squared *&'1*%5 SD dependent var **(,+,5

'π7 τα αποτελέσματα είναι &ανερό ότι η Midland έ(ει επιλεκτικότητααλλά ό(ι συγ(ρονισμό με την αγορά. @ Nationale Nderlanden δενέ(ει καμιά απ7τις δυο ιδιότητες.


6/41


t t t t t x xβ β ′ ′= + = +y u u , 1' 't n= L .

'ν συγκεντρ!σουμε όλες τις τυ(αίες μεταβλητές, θα έ(ουμε)

1 1 1

12 2 2

2

=

n n n

x

x

x

β

β

′ ′ × + ′

y u

y u

y u

M M M,

το οποίο μπορούμε να γράEουμε στην απλή μορ&ή)

X β = +y u , 9*:

αν ορίσουμε τα διανύσματα)1

2 =

n

y

yy

y

M,

1

2

n

=

u

uu

u

M,

και τη μήτρα)

1 1

2 2

1

1= =

1n n

x x

x x X

x x

′ ′

′

M M.

@ εξίσ#ση 9*: είναι κε&αλαι!δους σημασίας και μπορεί να(ρησιμοποιηθεί για να περιγράEει ένα πολυμεταβλητό γραμμικόυπόδειγμα.

Dραγματικά, ας υποθέσουμε ότι έ(ουμε τις ερμηνευτικές μεταβλητές

1 2' '&&&' k x x x και ενδια&ερόμαστε να εκτιμήσουμε μια γραμμική εξίσ#ση

της μορ&ής)

1 1 2 2= k k x x xβ β β + + + +y uL .

'ν γράEουμε το υπόδειγμα αυτό για κάθε μια από τις n διαθέσιμεςπαρατηρήσεις, τότε θα έ(ουμε)

1 1 2 2t t t k tk t x x xβ β β = + + + +y uL , για κάθε 1' 't n= L .

13/


7/41


Το υπόδειγμα μπορεί, προ&αν!ς, να γρα&εί με τη μορ&ή διανυσμάτ#νστην εξής μορ&ή)

[ ]

1

2

1 2

t

t

t k t

tk

x

x

x

β β β

= × +

y uLM

.

'ν ορίσουμε το διάνυσμα)

1

2 =

t

t

t

tk

x

x x

x

M,

που συμβολίει την t παρατήρηση για όλες τις ερμηνευτικέςμεταβλητές και το διάνυσμα τ#ν παραμέτρ#ν)

1

2 =

k

β

β β

β

M,

τότε το υπόδειγμα μπορεί να γρα&εί στη μορ&ή)

= =t t t t t x xβ β ′ ′+ +y u u . 9-:

'υτή είναι μια συμπυκν#μένη μορ&ή για την i παρατήρηση τουυποδείγματος.

@ εξίσ#ση 9-: μοιάει πολύ με ένα απλό γραμμικό υπόδειγμα της

μορ&ής t t t xβ = +y u , στο οποίο υπάρ(ει μια μόνο ερμηνευτικήμεταβλητή, δηλαδή η t x .

% μόνη διαφορά "την &'( ε!ναι ότι )#ουμε διανύ"ματα.

'ν συγκεντρ!σουμε όλες τις παρατηρήσεις, θα πρέπει να έ(ουμε)

140


8/41


1 1 1 1

2 2 2 2 =

n n k n

x

x

x

β

β

β

′ ′ × ′

y u

y u

y u

M M M M.

Fε την μορ&ή μητρ!ν, είναι &υσικό ότι θα έ(ουμε)

X β = +y u , 93:

όπου

11 12 11

2 21 22 2

1 2

&&&

&&&= =

&&&

k

k

n n n nk

x x x x

x x x x X

x x x x

′ ′

′ M L

.

'υτή είναι μια μήτρα διαστάσε#ν 1k × που περιέ(ει τα στοι(εία γιαόλες τις παρατηρήσεις και όλες τις ερμηνευτικές μεταβλητές.

%την j στήλη περιέ(ονται όλα τα στοι(εία για την j ερμηνευτική

μεταβλητή 9 1' ' j k = L : εν! στην i γραμμή περιέ(εται η i παρατήρησηγια όλες τις μεταβλητές.

'ν γράEουμε το υπόδειγμα 93: με τις διαστάσεις τ#ν μητρ!ν να&αίνονται, τότε έ(ουμε

1 1 1 n k nk n

X β × ×××

= +y u .


9/41


%την περίπτ#ση αυτή, η μήτρα X θα έ(ει * στην πρ!τη στήλη,δηλαδή θα είναι)

12 1

22 2

2

1 &&&

1 &&&&

1 &&&

k

k

n nk

x x

x x X

x x

=

L

Υπολογι"μό$ τ,ν εκτιμ-"ε,ν ελά#ι"τ,ν τετραγών,ν.

?ι εκτιμήσεις 4 στο υπόδειγμα)

1 1 2 2t t t k tk t y x x x uβ β β = + + + +L , για κάθε 1' 't n= L ,

δεν είναι παρά οι τιμές τ#ν 1 2' ' ' k β β β L που ελα(ιστοποιούν το

άθροισμα τ#ν τετραγ!ν#ν τ#ν καταλοίπ#ν, δηλαδή πρέπει ναλύσουμε το πρόβλημα ελα(ιστοποίησης της συνάρτησης)

( ) 22

1 1 2 2

1 1

n n

t t t t k tk

t t

S u y x x xβ β β β = =

= = − − − −∑ ∑ L .

Το πρόβλημα, μπορεί να λυθεί με τις κλασσικές συνθήκεςαριστοποίησης και η λύση δίνεται αναλυτικά στο Dαράρτημα '.

?ι συνθήκες πρ!της τάξης, στην πραγματικότητα, λένε ότι)

1

* * = 2

n

tj t

t j

S x u

β

β =

∂−

∂ ∑ , για κάθε 1' ' j k = L

και επομέν#ς, δεν είναι παρά)

1

* = 0n

tj t

t

x u=

∑ .

'ξίει να σημει!σουμε ότι αν το υπόδειγμα έ(ει σταθερά, δηλαδή αν

1 1t x = , τότε η πρ!τη από τις προηγούμενες σ(έσεις λέει ότι)

1

* = 0n

t

t

u=

∑ ,

142


10/41


δηλαδή αν το υπόδειγμα )#ει "ταερά/ τότε τα κατάλοιπααρο!0ουν "το μηδ)ν και έτσι έ(ουν 9δειγματικό: μέσο όρο μηδέν.


11/41


( ) ( )1 2 1 3 =t t t t W S β β β β + × + + × +C u 9:

$πομέν#ς το τελικό μας υπόδειγμα είναι αυτό που δίνεται από τηνπαραπάν# σ(έση.

%το υπόδειγμα αυτό όμ#ς δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε και τους

τρεις συντελεστές αλλά μόνον τους συντελεστές 1 1 2β β β = + και

2 1 3β β β = + .

Fε αυτή την έννοια η ύπαρξη γραμμικ!ν εξαρτήσε#ν μεταξύ τ#νερμηνευτικ!ν μεταβλητ!ν δημιουργεί ένα πρόβλημα ταυτοποίησηςτ#ν παραμέτρ#ν.

Το αν αυτό είναι υπο(ρε#τικά κακό ε1αρτάται από το ποιοι"υντελε"τ)$ μα$ ενδιαφ)ρουν-. 'ν μας ενδια&έρει οποιοσδήποτε

μεμον#μένος συντελεστής από τους 1 2 3' ήβ β β , τότε προ&αν!ς

υπάρ(ει πρόβλημα.

'ν, #στόσο, μας ενδια&έρει η επίδραση του εισοδήματος από εργασίαστην κατανάλ#ση, ή η επίδραση τ#ν άλλ#ν πηγ!ν εισοδήματος στηνκατανάλ#ση, τότε δεν υπάρ(ει πρόβλημα, α&ού οι επιδράσεις αυτές,

δηλαδή οι συντελεστές 1β και 2β , μπορούν να εκτιμηθούν.

Dαρόλο που κανένας οικονομολόγος δεν θα υGοθετούσε το υπόδειγμα9:, υπάρ(ουν περιπτ!σεις στις οποίες οι ερμηνευτικές μεταβλητέςυπόκεινται σε στο(αστικές γραμμικές σ(έσεις. Hνα παράδειγμα

δίνεται από το ακόλουθο υπόδειγμα)

1 2

1

= '

= '

= '

t t t t

t t t

t t t t I G

β β

α

+ ++

+ +

C E r u

r E v

E C

όπου E είναι το εισόδημα, r είναι το επιτόκιο, I είναι οι επενδύσεις,G είναι δημόσιες δαπάνες και 'u v είναι στο(αστικά σ&άλματα. @πρ!τη εξίσ#ση είναι μια συνάρτηση κατανάλ#σης και η δεύτερη μιαεξίσ#ση διαμόρσης τ#ν επιτοκί#ν.

Dροσέξτε ότι στη συνάρτηση κατανάλ#σης και οι δυο ερμηνευτικέςμεταβλητές 9τα επιτόκια και το εισόδημα: είναι στο(αστικές λόγ#της δεύτερης και τρίτης εξίσ#σης.

2 παρατήρηση αυτή είναι αναγ$αία' εομ!νης της λαν"ασμ!νης εντ(πωσης που ίνεται σε πολλάοι$ονομετρι$ά εγειρίια ότι η πολυσυγγραμμι$ότητα είναι πρό%λημα6' με την ίια !ννοια που είναι η

αυτοσυσ!τιση $αι η ετεροσ$εαστι$ότητα&

144


12/41


%την πραγματικότητα στη συνάρτηση κατανάλ#σης τα επιτόκια καιτο εισόδημα δεν μπορούν να θε#ρηθούν #ς εξ#γενείς α&ού υπάρ(ουνοι υπόλοιπες δυο στο(αστικές εξισ!σεις που τα προσδιορίουν.

%το υπόδειγμα αυτό ορισμένες ερμηνευτικές μεταβλητές της

συνάρτησης κατανάλ#σης, υπόκεινται σε μια στο(αστική γραμμικήσ(έση.

%τη συνέ(εια θα ασ(οληθούμε με τις στο(αστικές ιδιότητες του

εκτιμητή 4.Iα θε#ρήσουμε αρ(ικά την περίπτ#ση που οι ερμηνευτικέςμεταβλητές στην μήτρα X είναι μη στο(αστικές και στη συνέ(εια θαάρουμε την υπόθεση αυτή. Iα ορίσουμε μια διανυσματική τυ(αίαμεταβλητή να είναι απλά ένα διάνυσμα τυ(αί#ν μεταβλητ!ν)

1

2 =

n

u

uu

u

M.

@ αναμενόμενη τιμή της διανυσματικής τυ(αίας μεταβλητής δεν είναιπαρά)

1 1

2 2

= =

n n

µ

µ µ

µ

≡

u

uu

u

M M

E

EE

E

.

$πιπλέον μπορούμε να ορίσουμε τη μήτρα συνδιακύμανσης τηςδιανυσματικής τυ(αίας μεταβλητής)

( ) ( ) =ov µ µ ′− −u u uC E ,

η οποία δεν είναι παρά)

145

Το "υμπ)ρα"μα ε!ναι ότι η πολυ"υγγραμμικότητα δενε!ναι υπο#ρε,τικά πρόβλημα και όταν ακόμη ε!ναι/τότε πιανότατα α πρ)πει να εγκαταλε!ουμε το

πλα!"ιο τη$ μια$ ε1!","η$ και να ε,ρ-"ουμε


13/41


[ ]

1 1

2 2

1 1 2 2 = n n

n n

ov

µ

µ µ µ µ

µ

− − × − − −

−

u

uu u u u

u

LM

C E J

2

1 1 1 1 2 2 1 1

2

1 1 2 2 2 2 2 2

1 1

&&&

&&&

& & &

n n

n n

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ

µ

− − − − −

− − − − −

−

u u u u u

u u u u u

u

E E E

E E E

E2

2 2 &&& n n n n n n µ µ µ µ

− − − − u u u uE E

.

Τα διαγ!νια στοι(εία της μήτρας αυτής είναι)

2 = t t t

ar µ −u uE V , για κάθε 1' 't n= L ,

εν! τα μη διαγ!νια στοι(εία είναι)

= ' t t s s t sov µ µ − −u u u uE C , ' 1' 't s n= L , t s≠ .

Περ!πτ,"η 4. % μ-τρα 2 ε!ναι μη "το#α"τικ-.

Το υπόδειγμα είναι) = β +y X u ,

με τις ακόλουθες υποθέσεις)

ΥΠ6*7% 4+. 1 = 0 n×uE .

ΥΠ6*7% 4'. 2 = = nov I σ ′ ×u uuC E .

?ι υποθέσεις αυτές σημαίνουν ότι κάθε σ&άλμα έ(ει αναμενόμενητιμή μηδέν, δηλαδή)

1

2

1

0

0 = = = 0

0

n

n

×

u

uu

u

MM

E

EE

E

και έ(ουν μήτρα συνδιακύμανσης)

14)


14/41


( )

2

2

2

2

= nov I

σ

σ σ

σ

= ×

uO

C .

$πομέν#ς κάθε σ&άλμα προέρ(εται από κατανομή που έ(ει 9τον ίδιο:μέσο + και την ίδια διακύμανση 2σ .

%την περίπτ#ση που τα διαγ!νια στοι(εία δεν είναι όλα ίσα μεταξύτους, λέμε ότι έ(ουμε ετερο"κεδα"τικότητα.

'ν είναι όλα ίσα Cόπ#ς &αίνεται πιο πάν#8 έ(ουμεομοσκεδαστικότητα. %την περίπτ#ση που ορισμένα μη διαγ!νιαστοι(εία δια&έρουν από το μηδέν έ(ουμε αυτο"υ"#)τι"η.

Fπορεί να αποδει(θεί το ακόλουθο σημαντικό θε!ρημα)

6*89%:4 &Gauss – Markov (.Κάτ, από τι$ παραπάν, υπο)"ει$/ ο εκτιμητ-$ τη$

μεόδου ;< ε!ναι =;>?.

@ταν η μ-τρα 2 ε!ναι "το#α"τικ-.

'ς θε#ρήσουμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα)

t t t β = × +y x u ,27 0' 8t t iid σ u x ,

2 ' 8t iid N µ σ Xx ,

για κάθε 1' 't n= L .

@ υπό "υν-κη κατανομ- του t y είναι)

( ) 27 ' 8t t t t x xβ σ =y x , για κάθε 1' 't n= L .

Kστόσο η οριακ- κατανομ- του t y είναι)

2 28 ' t iid βσ σ Xy , για κάθε 1' 't n= L .

14+


15/41


@ λογική τ#ν αποδείξε#ν είναι ότι θα λάβουμε, καταρ(ήν,

αναμενόμενες τιμές δεδομ)νη$ της t x και στην συνέ(εια

αναμενόμενες τιμές ως προς t x . 'ς θυμηθούμε, εδ!, τη βασική

ιδιότητα, ότι αν έ(ουμε μια συνάρτηση δυο μεταβλητ!ν x και u ,

έστ# ' f x u , ισ(ύει ότι [ ] [ ]{ } ' ' 7 f f

= xx u x u xE E E

.


16/41


όταν η ε1αρτημ)νη μεταβλητ- με #ρονικ- υ"τ)ρη"ηαποτελε! ερμηνευτικ- μεταβλητ- και )#ουμεαυτο"υ"#)τι"η "τα "φάλματα.

Τις περιπτ!σεις αυτές θα τις αναλύσουμε διεξοδικά σε επόμενα

τμήματα.

14/


17/41


7τατι"τικ- επαγ,γ- "το πολυμεταβλητό γραμμικόυπόδειγμα

Τι είδους στατιστικές επαγ#γές μπορούν να γίνουν σε έναπολυμεταβλητό γραμμικό υπόδειγμαM Lάθε είδους στατιστική

επαγ#γή απαιτεί να γν#ρίει κανείς την κατανομή του εκτιμητή 48για τον οποίο αποδείξαμε ότι ικανοποιεί μια σειρά από άριστεςιδιότητες. $ίναι, επομέν#ς, λογικό να (ρησιμοποιήσουμε τονεκτιμητή αυτό, σε ελέγ(ους υποθέσε#ν.

'ν είμαστε διατεθειμένοι να υποθέσουμε ότι τα σ&άλματα είναικανονικά, τότε τα πράγματα είναι σ(ετικά απλά. %την περίπτ#ση

αυτή, αν θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση 0 j H cβ = ,όπου c είναι μια γν#στή τιμή 9π( + ή *: τότε η στατιστική ελέγ(ουπου πρέπει να (ρησιμοποιήσουμε, είναι)

( )

* = * 8

j

n k

j

ct

SE −

−βt

β,

όπου ( )* jSE β είναι το τυπικό σ&άλμα και n k t − δηλ!νει την κατανομήStudent-t με n k − βαθμούς ελευθερίας.

'ν θέλουμε να ελέγξουμε γραμμικούς περιορισμούς στις

παραμέτρους, π( την υπόθεση 0 1 2 3 4 1 $αι 2 0 H β β β β + = − = , τότε θαπρέπει να (ρησιμοποιήσουμε τη στατιστική)

( )

2 2

'2 >1 > 8U R

r n k

U

r F n k

−−= − −R R F

R ,

όπου

2

U R είναι ο συντελεστής προσδιορισμού στο υπόδειγμα (#ρίς κανένα

περιορισμό,

2

U R είναι συντελεστής προσδιορισμού στο υπόδειγμα στο οποίο έ(ουν

επιβληθεί όλοι οι περιορισμοί,

r είναι ο αριθμός τ#ν περιορισμ!ν που επιβάλλουμε στην 0 H και

'r n k F − είναι η F κατανομή με r και n-k βαθμούς ελευερίας.

Τα αποτελέσματα αυτά, ισ(ύουν ακόμη και αν τα σ&άλματα δενακολουθούν την κανονική κατανομή, αλλά έ(ουμε μεγάλα δείγματα.

150


18/41


$πομέν#ς κάτ# από τις κλασσικές υποθέσεις που καθιστούν N4OPτον εκτιμητή 4, ο έλεγ(ος υποθέσε#ν μπορεί να γίνει με βάση τις tκαι F κατανομές, τουλά(ιστον σε μεγάλα δείγματα.

ικονομικ- εφαρμογ-D

7ταερ)$ αποδό"ει$ κλ!μακα$ "τη "υνάρτη"η παραγ,γ-$Cobb-Douglas.

Hνας πολύ συνηθισμένος έλεγ(ος υποθέσε#ν στην ε&αρμοσμένηοικονομετρία, είναι ότι στη συνάρτηση παραγ#γής Cobb-ougla!, τηςμορ&ής)

31 2 = ii i i ! " β β β u

y , για κάθε επι(είρηση 1' 'i n= L

ή σε λογαριθμική μορ&ή)

1 2 3?@ = ?@ ?@i i i i ! " β β β + + +y u ,

έ(ουμε σταθερές αποδόσεις κλίμακας, πράγμα που αντιστοι(εί στην

υπόθεση 2 3 1β β + = . Iα (ρησιμοποιήσουμε στοι(εία της $λληνικήςβιομη(ανίας, που δίνονται σε λογαρίθμους πιο κάτ#.

151


19/41


;E ;; ;F -,535*3-3*A *,035-/-+3 -,/0-*+3-++3-,335*/+030 *,A03+A++5-3 -,55*3/A3/*+A-,--*//-/0 *,30*/03 *,3A++5A33-,-003-+-0 *,/-33-35A+3 -,A3*A-/0/53,*-0*-A*3/* -,*++5A+0* 3,0335300*-,*A-+0 3,3-**03 3,-A+03*-

-,35///A0 *,/-5-++-03 -,5-5*3550*3,*3-**5*- -,3A*+-AA-5 3,0A330*A3-,3A/0A0+-/ *,+/0-A+0A -,5-5/A0A*55**,A05530/- *,+0+/50*35 *,3-+-+A3,-+-+000- -,-3-+05353- 3,A50*/5353-,*/*+3A *,/+/-3/-- -,*+3-5*,0*0+A55 *,**+-**-5* -,-/-+-/5/+5-,5***5+A -,+++*-3/A -,+55+-+A*-,0/3+03- *,/-*500 -,/-0*+*/A3,-0+5++/- -,500AA500+0 ,+*33*5-5A/*3,+050+*+A +,/+00-+3

5-,A/*+*0/*5

3,0+A535/A/3 -,//-5-*-A* ,3A-+0--0-,3++353* -,+*/-A*+/- -,5/0-35335*3,30/-**0-* -,*50*//303 3,A0*55-A03-,*++A0/+00 *,A-3-A5-/3 -,-3*/-0-3-,3//-5/0+-5 *,A/++/50*55 -,*+3*++53A0-,A5*03-5-** *,00//3-+/5 -,AA03A/3/5-,A+5-3/*-- *,0--/*-A -,A5+0AA0*A

3,33--+5*+*0 -,0++030/3 ,+/+-*33/A

152


20/41


Τα αποτελ)"ματα #,ρ!$ τον περιορι"μό τ,ν "ταερώναποδό"ε,ν κλ!μακα$ είναι τα ακόλουθα)

Dependent Variable: LYMethod: Least SquaresSample: 1 %5

Included observations: %5Variable Coefficient Std !rror t"Statistic #rob

C *+'1'5+ *%'&&5) %&,,)(1 ***+1LL *'+)&'5 *1+**(( %+(,',5 **1*(L6 *),+'%, *1),++' %,(,)+* **1)5

-"squared *+,)'&, Mean dependent var %+)+,1% .d/usted -"squared *+'1&&5 SD dependent var *5&&&')S! of re0ression *)*'+), .aie info criterion *5+)'%'Sum squared resid %*')**( Sch2ar3 criterion *+1&,&*Lo0 lielihood "'1,+(*, 7"statistic )551*+(Durbin"4atson stat %*5,&1& #rob87"statistic9 *******

Τα αποτελ)"ματα με τον περιορι"μό τ,ν "ταερών

αποδό"ε,ν κλ!μακα$, είναι τα ακόλουθα)

Dependent Variable: LY"LLMethod: Least SquaresSample: 1 %5Included observations: %5


C *'%1*&( *1)+,,% )*5(&%% ***5,L6"LL *)+%'&( *1'*55, %,5*1+1 **1')

-"squared *%))&)1 Mean dependent var *+'5&5' .d/usted -"squared *%**,%' SD dependent var *)5*),+S! of re0ression *)1)%5, .aie info criterion *5&)*%,

Sum squared resid %%5,&+' Sch2ar3 criterion *,&*5),Lo0 lielihood "5'1%()* 7"statistic +*%)'*+Durbin"4atson stat %%),%+) #rob87"statistic9 **1')*)

Τι μπορείτε να συμπεράνετε από τα παραπάν# εμπειρικάαποτελέσματαM

153


21/41


Παράδειγμα πολυμεταβλητ-$ παλινδρόμη"η$

'ς υποθέσουμε ότι έ(ουμε τα εξής στοι(εία)

G H + H '

* * 3 - 3 3 5 *- 5 -

Τα αποτελέσματα με το πρόγραμμα "#ie$!, είναι τα ακόλουθα)

Dependent Variable: YMethod: Least SquaresSample: 1 5

Included observations: 5Variable Coefficient Std !rror t"Statistic #rob

$1 *+1+&&* *)'(5&5 %*5&,+1 *1)15$% *%,'1(% *)(11+' *,&)*+) *5)(1

-"squared **%%*'% Mean dependent var )****** .d/usted -"squared "*)*)&'' SD dependent var 15(11)&S! of re0ression 1(*55*( .aie info criterion ')*(+),Sum squared resid &++&5+& Sch2ar3 criterion '15%511Lo0 lielihood "(++1()& Durbin"4atson stat 1&('*+%

'ν στο υπόδειγμα εί(αμε και σταθερά, τα αποτελέσματα θα ήτανόπ#ς &αίνεται παρακάτ#)

Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11*(*5 ;ime: 1,:*(Sample: 1 5Included observations: 5


C '1***** 5'1),'* *+5+)', *5%+&$1 *1***** *(&(,1* *111%() *&%1,$% "*5***** 1*(&+%5 "*'5(()1 *,&1'

-"squared *%'**** Mean dependent var )****** .d/usted -"squared "*5%**** SD dependent var 15(11)&S! of re0ression 1&'&)5& .aie info criterion ''5,5(+Sum squared resid +,***** Sch2ar3 criterion '%%%%5*Lo0 lielihood "(1'1',& 7"statistic *)15+(&Durbin"4atson stat 1'5%,)% #rob87"statistic9 *+,****

Fπορούμε να ελέγξουμε τη στατιστική σημαντικότητα της σταθεράςμε δυο τρόπους. ? ένας είναι με βάση την t 8στατιστική στο δεύτερουπόδειγμα που είναι +,53A και επομέν#ς η σταθερά &αίνεται ναείναι μηδέν σε επίπεδο 5;. ? άλλος τρόπος είναι με βάση την F 8στατιστική και τα 2 R που μας δίνονται.

154


22/41


'ξίει να παρατηρήσουμε ότι θα έ(ουμε) 2 = F t .%αν ένα ακόμη παράδειγμα υπολογι"μού τη$ I "τατι"τικ-$/ αςυποθέσουμε ότι έ(ουμε το γραμμικό υπόδειγμα)

1 2 3 4 5 ) =t t t t t t t # r p R $β β β β β β + + + + + +m u ,

όπου t m είναι η ήτηση (ρήματος, t # είναι το εισόδημα, t r είναι τα

επιτόκια, t p είναι ο πληθ#ρισμός, t R είναι η απόδοση του

(ρηματιστηρίου και t $ είναι οι προσδοκίες τ#ν καταναλ#τ!ν για την

γενική οικονομική κατάσταση.

Iέλουμε να ελέγξουμε την από κοινού υπόθεση ότι η ήτηση (ρήματος

εξαρτάται από τα πραγματικά επιτόκια 9που είναι t t r p− :, την

πραγματικ- απόδοση τ#ν μετο(!ν 9που είναι t t R p

− : και ότι ηεπίδραση τ#ν προσδοκι!ν δεν είναι σημαντική.

?ι υποθέσεις αυτές σημαίνουν ότι)

3 4 0β β + = , 4 5 0β β + = , ) 0β = . 9*:Fπορούμε να εκτιμήσουμε την παραπάν# εξίσ#ση και να βρούμε το

U RSS ή το2

U R .

%τη συνέ(εια, ενσ#ματ!νοντας τους περιορισμούς, προκύπτει τουπόδειγμα)

1 2 3 1 2 3 = t t t t t t t t t # r R p # xβ β β β β β + + + − + ≡ + + +m u u ,

όπου t t t t x r R p≡ + − .

'πό το υπόδειγμα αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα το R RSS ή

το 2 R R και έτσι να κατασκευάσουμε την I στατιστική για να

ελέγξουμε την από κοινού υπόθεση που μας ενδια&έρει στην 9*:.

155


23/41


7κ)ει$"#ετικά με την

α1ιολόγη"ητ,ν αμοιβα!,ν

κεφαλα!,ν

%το βασικόυπόδειγμα τηςαξιολόγησης,

μπορούν να γίνουν ορισμένες τροποποιήσεις. 'ν ο δια(ειριστής δεναλλάει τη σύνθεση του (αρτο&υλακίου στηριόμενος αποκλειστικά

και μόνο στην κατάσταση της αγοράς t x , αλλά επειδή υπάρ(ουν και

διά&οροι άλλοι παράγοντες τους οποίους συλλογικά καλούμε t ε , τότε

θα μπορούσαμε να έ(ουμε το εναλλακτικό υπόδειγμα)

=t t t xβ γ δ ε + + .

? δια(ειριστής μπορεί να γν#ρίει τους παράγοντες αυτούς 9π( ναέ(ει εσ#τερική πληρο&όρηση: αλλά εμείς δεν μπορούμε να τους

γν#ρίουμε κι7 έτσι θα πρέπει να μετα(ειρισθούμε το t ε σαν

στο(αστικό όρο. Iα έ(ουμε το τελικό υπόδειγμα)

( ) = =t t t t t t t t t y x u y x x uα β α γ δ ε + + ⇒ + + + × +2 =t t t t y x x vα γ δ + + + , 9*:

όπου =t t t t v u xε + × .

@ βασική δια&ορά αυτού του υποδείγματος από το προηγούμενο δενείναι στη συναρτησιακή μορ&ή, η οποία είναι η ίδια, αλλά στονστο(αστικό όρο. 'κόμη και αν κανείς υποθέσει ότι οι στο(αστικοίόροι είναι ανεξάρτητοι, με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση, ο

στο(αστικός όρος t v θα πρέπει να έ(ει προβλήματα.

Dραγματικά, αν η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς δεν είναι

τυ(αία μεταβλητή, τότε ( ) ( )

2 2 2

= =t t t t u t ar v ar u x xε ε σ σ + + ×V V

. $&όσον ηδιακύμανση του t v εξαρτάται κατευθείαν από το t x που μεταβάλλεται

δια(ρονικά, θα πρέπει να έ(ουμε ετεροσκεδαστικότητα.

'ν η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς είναι τυ(αία μεταβλητή, με

σταθερή διακύμανση 2 M σ , τότε ( ) ( ) 2 2 2 = =t t t t u M ar v ar u x ε ε σ σ σ + + ×V V .

15)

*πομ)ν,$ από κοινού )λεγ#οι μπορούν ναπραγματοποιηούν πολύ απλά με τη#ρ-"η τ,ν οικονομετρικών πακ)τ,ν καιπεριλαμβάνουν την εκτ!μη"η δυουποδειγμάτ,ν. *νό$/ "το οπο!ο δεν

επιβάλλουμε καν)να περιορι"μό "τι$παραμ)τρου$ και ενό$ δεύτερου/ "τοοπο!ο )#ουμε επιβάλλει όλου$ του$περιορι"μού$.


24/41


$&όσον η διακύμανση του t v δεν μεταβάλλεται δια(ρονικά, θα πρέπει

να έ(ουμε ομοσκεδαστικότητα.

'ν η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς είναι τυ(αία μεταβλητή, με

(ρονικά μεταβαλλόμενη διακύμανση2

' M t σ , τότε έ(ουμε)

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 '= = =t t t t u t u M t ar v ar u x ar xε ε ε σ σ σ σ σ + + × + ×V V V .

$&όσον η διακύμανση του t v μεταβάλλεται δια(ρονικά, θα πρέπει να

έ(ουμε ετεροσκεδαστικότητα. 'υτή είναι και η πιο ρεαλιστικήπερίπτ#ση.

$&όσον =t t t t v u xε + , είναι άραγε δυνατόν η πιθανή ύπαρξη

αυτοσυσ(έτισης στο t x να μας οδηγήσει σε αυτοσυσ(έτιση του

στο(αστικού όρου t v M 'ς υποθέσουμε για απλότητα ότι η αγοράακολουθεί ένα αυτοπαλίνδρομο σ(ήμα πρ!του βαθμού της μορ&ής

1 =t t t x x ρ ξ − + . %το σ(ήμα αυτό έ(ουμε ( ) 2 2

1 =t t x x x ξ ρσ σ − + ≡ Γ E .

Iα υποθέσουμε ότι οι στο(αστικοί όροι t u και t ε δεν

αυτοσυσ(ετίονται και είναι, όπ#ς και πριν, ανεξάρτητοι μεταξύτους. %την περίπτ#ση αυτή, θα έ(ουμε)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 0 0t t t t t t t t t t t t v v u x u x x xε ε ε ε − − − − − −= + × + = × = ×Γ = E E E E .

$πομέν#ς, η αυτοσυσ(έτιση της αγοράς, αν υπάρ(ει, δεν πρόκειταινα δημιουργήσει προβλήματα αυτοσυσ(έτισης στο στο(αστικό

σ&άλμα t v . @ ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας, #στόσο, θα

δημιουργήσει προβλήματα ετεροσκεδαστικότητας στο t v , κάτ# από

πολύ γενικές υποθέσεις. $πομέν#ς, αν εκτιμήσουμε το υπόδειγμα 9*:και διαπιστ!σουμε ετεροσκεδαστικότητα στα σ&άλματα αυτό,ενδε(όμενα, σημαίνει ότι οι συντελεστές ό(ι μόνον μεταβάλλονταιδια(ρονικά σύμνα με την αγορά, αλλά επιπλέον είναι καιστο(αστικοί. ? λόγος είναι ότι αν οι συντελεστές β δεν είναι

στο(αστικοί, τότε η διακύμανση ( ) 2 = = 0t ar ε ε σ V , οπότε το t ε

ισούται με την αναμενόμενη τιμή του και είναι απλά μηδέν.

'ν έ(ουμε δJ+ αλλά 2 0ε σ ≠ , τότε οι συντελεστές β είναι t t β γ ε = + ,

πράγμα που σημαίνει ότι κατά μέσον όρο είναι γ 9αν ( ) 0t ε =E : και4 Aι αποόσεις του Bενι$ο( Cεί$τη $αι των περισσότερων μετο


25/41


απλά κυμαίνονται τυ(αία γύρ# από το επίπεδο αυτό, ενδε(όμεναλόγ# τ#ν μεταβολ!ν που επι&έρει ο δια(ειριστής στη σύνθεση του(αρτο&υλακίου σαν αποτέλεσμα της εσ#τερικής του πληρο&όρησης.$δ!, η Qεσ#τερική πληρο&όρησηR, δεν είναι παρά ορισμένα QνέαRπου οδηγούν σε μεταβολές του (αρτο&υλακίου και επομέν#ς σε

μεταβολές του β κατά την ποσότητα t ε . 'ν τα t ε είναι ανεξάρτητα,αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι τα QνέαR που μαθαίνει ο δια(ειριστήςσαν αποτέλεσμα της εσ#τερικής του πληρο&όρησης, απλά είναιανεξάρτητες τυ(αίες μεταβλητές σ(ετικά με την πορεία δια&όρ#νμετο(!ν, την κατάσταση ορισμέν#ν εταιρει!ν κτλ.


26/41


1 1 =t t t t t t t y x x x x # uα γ δ ζ − −+ + + + .

'ν έ(ουμε δJJ+, τότε δεν υπάρ(ει συγ(ρονισμός με τις μεταβλητές x και # και ο συντελεστής β είναι απλά σταθερός. %την πράξη, είναιδύσκολο αν ό(ι αδύνατο να γν#ρίει κανείς ποιες μεταβλητές

(ρησιμοποιεί κάποιος δια(ειριστής για να αλλάξει τη σύνθεση του(αρτο&υλακίου του.

$πομέν#ς, θα πρέπει να δοκιμάσουμε διά&ορες τέτοιες μεταβλητέςκαι να (ρησιμοποιήσουμε κάποιο κριτήριο επιλογής υποδείγματος γιανα καταλήξουμε σε τελικά συμπεράσματα ανα&ορικά με τοσυγ(ρονισμό ή μη. Τέτοια κριτήρια μπορεί να είναι ο διορθ#μένοςσυντελεστής προσδιορισμού 9ad%u!ted S -:, η ικανότητα του τελικούυποδείγματος να παράγει καλές προβλέEεις κτλ.

Dρακτικά μιλ!ντας, η εύρεση σ(ετικ!ν μεταβλητ!ν όπ#ς το 1t # −είναι σ(ετικά δύσκολη και έτσι πολλές &ορές απλά (ρησιμοποιείται η

μεταβλητή 1t x − για να διαπιστ!σουμε αν υπάρ(ει συγ(ρονισμός ή ό(ι.

'υτή, δεν μπορεί παρά να είναι βέβαια μια (ονδρική προσέγγιση.$ίναι διαπιστ#μένο ότι οι δια(ειριστές δεν μεταβάλλουν τη σύνθεσητου (αρτο&υλακίου τους μέρα με τη μέρα αλλά σε μεγαλύτερα(ρονικά διαστήματα. 'ν, επομέν#ς, έ(ουμε ημερήσια στοι(εία ηυπόθεση ότι το β μεταβάλλεται συστηματικά με την αγορά δεν μπορείπαρά να είναι μια πολύ (ονδρική υπόθεση.

Fια πιο λογική υπόθεση μπορεί να είναι ότι ο δια(ειριστής

μεταβάλλει το (αρτο&υλάκιό του μόνο αν 1t x U − > με 0U > ή αν 1t x !− < ,με 0 ! < . 'υτό σημαίνει ότι μεταβάλλει το (αρτο&υλάκιό αν η αγοράέ(ει θετική απόδοση μεγαλύτερη από ! 9για παράδειγμα 5;: ήμικρότερη από U 9π( +F− :. Hνα λογικό υπόδειγμα θα μπορούσε ναείναι το εξής)

1 1 =t t t # 'β β δ − −+ ∆ + × ,

όπου1

1

1

1' αν

0' αν

t

t

t

x U #

U x !

−−

−

≥= > >

και1

1

1

1' αν

0' αν &

t

t

t

x !'

U x !

−−

−

≤= > >

%τις περιόδους στις οποίες η υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς

είναι QμικρήR 9δηλαδή μεταξύ τ#ν ορί#ν ! και U :, ο συντελεστής t β

θα είναι β . "ενικά έ(ουμε)

β δ + , αν 1t x !− ≤ 9η αγορά έ(ει πέσει πολύ:,

15/


27/41


β , αν 1t U x !−> > 9ενδιάμεση περιο(ή: καιβ + ∆ , αν 1t x U − ≥ 9η αγορά είναι πολύ ανοδική:.

Iα περιμέναμε ότι 0δ < και 0∆ > .


28/41


@ περίπτ#ση 0 ρ < σημαίνει ότι το αμοιβαίο κε&άλαιο τείνει νααλλάει κατάταξη πολύ συ(νά και επομέν#ς ο δια(ειριστής του δενμπορεί να είναι ιδιαίτερα αξιόπιστος.

@ περίπτ#ση 0γ = και 1 ρ = , σημαίνει ότι η επιλεκτικότητα

παραμένει, βασικά, στο αρ(ικό της επίπεδο, 0α και μεταβάλλεταιλόγ# διά&ορ#ν τυ(αί#ν παραγόντ#ν που ενσ#ματ!νονται στο

τυ(αίο σ&άλμα t ε .

@ περίπτ#ση γ>+ και ρJ* δεν είναι ιδιαίτερα ρεαλιστική. %ημαίνειότι έ(ουμε ένα αμοιβαίο κε&άλαιο στο οποίο η επιλεκτικότητααυξάνεται κατά γ σε κάθε (ρονική περίοδο 9δηλαδή έ(ουμε μια

γραμμική τάση της μορ&ής t t α γ = + 9στο(αστικός όρος:.

@ εκτίμηση τέτοι#ν υποδειγμάτ#ν δεν είναι απλή και δεν πρόκειται

να μας απασ(ολήσει εδ!. Fπορούμε όμ#ς να διαπιστ!σουμε ταακόλουθα.

'ς υποθέσουμε ότι έ(ουμε)

t t t t y x uα β = + + ' 1

1t t t α γ ρα ε −= + + . 9-:

Tαμβάνοντας (ρονική υστέρηση της πρ!της εξίσ#σης, έ(ουμε)

1 1 1 1t t t t y x uα β − − − −= + + &

Dολλαπλασιάοντας με ρ και τα δυο μέλη, έ(ουμε)

1 1 1 1t t t t y x u ρ ρα βρ ρ − − − −= + + & 3

'&αιρ!ντας την 93: από την 9*: Cκαι (ρησιμοποι!ντας την 9-:8 θαέ(ουμε

( ) ( )1 1 1t t t t t t t y y x x u u ρ γ β ρ ε ρ − − −− = + − + + − . 9:

%ε εναλλακτική μορ&ή, έ(ουμε)

( ) ( )1 1 1t t t t t t t y y x x u uγ ρ β ρ ε ρ − − −= + + − + + − .

'ν ο στο(αστικός όρος t u ικανοποιεί όλες τις κλασσικές υποθέσεις, ο

στο(αστικός όρος ( )1t t t t v u uε ρ −= + − θα ακολουθεί ένα σ(ήμα F'9*:. @

εξίσ#ση μπορεί να γρα&εί επίσης στη μορ&ή)

1)1


29/41


1 1 1 2 1 3 4 1t t t t t t t t t y y x x v y x x vγ ρ β βρ β β β β − − − −= + + − + ≡ + + + + .

@ κατάλληλη 9προσεγγιστική: μέθοδος εκτίμησης είναι η μέθοδος τηςμέγιστης πιθανο&άνειας για μια εξίσ#ση με μη γραμμικούς

περιορισμούς στις παραμέτρους και αυτοσυσ(έτιση που δίνεται απόένα σ(ήμα F'9*:. 'υτή η μέθοδος, είναι προσεγγιστική γιατί το

ακριβές σ(ήμα F'9*: θα ήταν ( )1t t t v u u ρ −= − , δηλαδή δεν θα περιεί(ε

το στο(αστικό σ&άλμα t ε . 'γνο!ντας αυτό το σ&άλμα και θέτοντας

0t ε = , στην ουσία υποθέτει κανείς ότι τα t α ακολουθούν μιαμονοτονική πορεία δια(ρονικά, πράγμα που σ(εδόν σίγουρα είναι σεαντίθεση με την πραγματικότητα.

Το υπόδειγμα που αποτελείται από τις εξισ!σεις 9*: και 9-: είναι σεμια μορ&ή που λέγεται Qυπόδειγμα στον (!ρο καταστάσε#νR 9!tate

!&a'e model:. Τέτοια υποδείγματα μπορούν να εκτιμηθούν με τημέθοδο της μέγιστης πιθανο&άνειας και μια τε(νική που είναι γν#στήσαν &ίλτρο του (alman 9 (alman )lter :. @ τε(νική αυτή,(ρησιμοποιείται για να απλοποιήσει τον υπολογισμό της συνάρτησηςπιθανο&άνειας και είναι ενσ#ματ#μένη στο πρόγραμμα "#ie$!, τοοποίο μπορεί να εκτιμήσει πολύ εύκολα υποδείγματα όπ#ς εκείνοστις σ(έσεις 9*: και 9-:. @ γενική μορ&ή τ#ν υποδειγμάτ#ν στον(!ρο καταστάσε#ν είναι μια γραμμική παλινδρόμηση μεαυτοπαλίνδρομους συντελεστές, δηλαδή)

t t t t y x uβ ′= + , 1t t t β α β ε −= + Φ + .

Τα υποδείγματα αυτά στην ουσία προσπαθούν να εκ&ράσουν τογεγονός ότι υπάρ(ει συνε(ής διαρθρ#τική μεταβολή, δηλαδή ότι οιπαράμετροι ενός υποδείγματος μεταβάλλονται σε κάθε (ρονικήπερίοδο. @ μεταβολή τους, #στόσο, γίνεται με σ(ετικά QομαλόR

τρόπο, πράγμα που σημαίνει ότι τα t β αυτοσυσ(ετίονται. Το

υπόδειγμα για τα t β παραπάν#, δεν είναι παρά ένα σ(ήμα UVS

9*e'tor autoregre!!ion:.


30/41


Dοια είναι η συνθήκη για να έ(ει ένα αμοιβαίο κε&άλαιο μεγαλύτερεςυπερβάλλουσες αποδόσεις από εκείνες της αγοράςM

'ν το υπόδειγμα του αμοιβαίου κε&αλαίου είναι) y x uα β = + + για ναέ(ουμε ( ) E y x> , θα πρέπει να έ(ουμε ( )1 0 xα β + − > αν ( ) 0u >E .

Fε την υπόθεση ότι 1β < , αυτό σημαίνει ότι1

x α

β < −

−.

Fε την υπόθεση ότι 1β > , αυτό σημαίνει ότι1

x α

β > −

−.

'ν 1β = , αρκεί απλά να έ(ουμε 0α > , δηλαδή τη γν#στή μας συνθήκηεπιλεκτικότητας. ?ι συνθήκες αυτές μας λένε ότι τα QσυντηρητικάRαμοιβαία είναι λογικές επιλογές όταν η αγορά δίνει υπερβάλλουσα

απόδοση μικρότερη απ7 το α τους. 'ν το α είναι σ(ετικά μικρό, αυτόσημαίνει ότι είναι λογικές επιλογές όταν η αγορά δεν περιμένουμε ναείναι πολύ ανοδική. 'ν περιμένουμε η αγορά να είναι πολύ ανοδική,τα QεπιθετικάR αμοιβαία κε&άλαια είναι πιο λογική επιλογή. 'ν οισυντελεστές α τ#ν περισσότερ#ν αμοιβαί#ν κε&αλαί#ν είναι κοντάστο μηδέν, τότε θα έπρεπε να επιλέγουμε QσυντηρητικάR(αρτο&υλάκια αν αναμένουμε η αγορά να είναι πτ#τική καιQεπιθετικάR (αρτο&υλάκια αν αναμένουμε να είναι ανοδική.

Fπορούμε να πούμε ότι τα $λληνικά αμοιβαία κε&άλαια έ(ουντέτοιες ιδιότητεςM 'ς ξεκινήσουμε με ένα υπόδειγμα στο οποίοέ(ουμε)

1 =t t # β β γ −+ ,

όπου1

1

1

1' αν=

0' αν &

t

t

t

x U #

x U

−−

−

≥


31/41


O +d%u!ted S -

+,++5 +,5*+,++5 +,0/+ /JJKK+,+- +,33

+,+ +,33+,+ +,A/+,+0 +,


32/41


Sspace: EF;I;L!DMethod: Maimum lielihood 8Marquardt9Sample: 1 ()Included observations: ()Conver0ence achieved after 1 iteration

Coefficient Std !rror 3"Statistic #robC819 *+'%,(, **)5(5' %*+1)&) *****C8%9 ",((()%, *15%),1 "'5%1*'( *****C8)9 "1*(&,(' *&,'(1, "11%&'%% *****C8'9 ****1'& ****)51 *'%5&+* *,+*1C859 *&&&&&) )1)!"*5 )1(&++) *****

7inal State -oot MS! 3"Statistic #rob

SV1 **)'%55 **1%1%) %(%5,*) ***'+

Lo0 lielihood "%5',)55 .aie info criterion *+)'*,1#arameters 5 Sch2ar3 criterion *(+&++5Diffuse priors * Gannan"Huinn criter *+&%,*1

'πό τα αποτελέσματα αυτά &αίνεται ότι το ρ είναι πολύ κοντά στη

μονάδα και η σταθερά στο t β είναι μη σημαντική. Fε την έννοια

αυτή, δεν &αίνεται να υπάρ(ει δια(ρονική μεταβλητικότητα του

συντελεστή επιλεκτίκότητας t α . Dάντ#ς ο συντελεστής Y93:, όπου

Z2X9Y93:: είναι η διακύμανση του t α , είναι στατιστικά σημαντικός

ε&όσον η t 8στατιστική του εινα 8**,-/ πράγμα που σημαίνει ότι ηεπιλεκτικότητα μεταβάλλεται δια(ρονικά σαν αποτέλεσμα Qτυ(αί#νπαραγόντ#νR. @ εκτίμηση του συντελεστή της αγοράς, Y9*:, είναι+, με τυπικό σ&άλμα +,+3A περίπου, δηλαδή το διάστημα

εμπιστοσύνης /5; είναι περίπου από +,A έ#ς +,0*, τιμές οι οποίεςείναι λογικές.

1)5


33/41


Π 4949Τ%:4Τ4

, ./0.ω ω. 4ρρ5/ω. 5πορ67 89 ρ:;. . πρ?67@

Π4949Τ%:4 4. Υπολογι"μό$ τ,ν εκτιμ-"ε,ν ;<

'ν συμβολίσουμε τις εκτιμήσεις 4 9δηλαδή την άριστη λύση: με *β ,

τότε πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες πρ!της τάξης)

* = 0' 1' '

j

S j k

β

β

∂=

∂ L .

?ι παράγ#γοι δεν είναι παρά)

( ) 21 1 2 21

=n

t t t k tk

t j j

S y x x xβ β β β β β =

∂ ∂ − − − − ∂ ∂ ∑ L ,

'λλά αυτές με τη σειρά τους είναι)

( ){ }2

1 1 2 2

1

=

n

t t t k tk

t j j

S y x x x

β β β β

β β =

∂ ∂− − − −

∂ ∂∑ L J

( )1 1 2 21

2n

t t t k tk tj

t

y x x x xβ β β =

− − − − − ×∑ L , 1' ' j k = L . 9*:

$πομέν#ς έ(ουμε τις εξισ!σεις)

( )1 1 2 21

0n

t t t k tk tj

t

y x x x xβ β β =

− − − − × =∑ L , για κάθε 1' ' j k = L . 'ν γράEουμε τις εξισ!σεις αυτές αναλυτικά θα έ(ουμε)

1 1 2 2

1 1 1 1

* * *n n n n

t tj tj t tj t tj tk k

t t t t

y x x x x x x xβ β β = = = =

= + + +∑ ∑ ∑ ∑L , για κάθε 1' ' j k = L .

$πομέν#ς αν γράEουμε αυτές τις εξισ!σεις (#ριστά για κάθε1'&&&' j k = , θα έ(ουμε)

1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1

* * *n n n n

t t t t t t t tk k

t t t t

y x x x x x x xβ β β = = = =

= + + +∑ ∑ ∑ ∑L , για 1 j = ,

2 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1 1

* * *n n n n

t t t t t t t tk k

t t t t

y x x x x x x xβ β β = = = =

= + + +∑ ∑ ∑ ∑L , για 2 j = ,9 . . . :

1))


34/41


1 1 1 2

1 1 1 1

* * *n n n n

t tk t tk t tk tk tk k

t t t t

y x x x x x x xβ β β = = = =

= + + +∑ ∑ ∑ ∑L , για j k = .

'υτές οι εξισ!σεις μπορούν να γρα&ούν συμπυκν#μένα με τη μορ&ήμητρ!ν #ς)

* ( )β × = ,όπου)

1 1 1 2 1

1 1 1

1 2 2 2 2

1 1 1

1 21 1 1

&&&

&&&=

&&&

n n n

t t t t t tk

t t t

n n n

t t t t t tk

t t t

n n n

t tk t tk tk tk t t t

x x x x x x

x x x x x x (

x x x x x x

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

L

και)

1

1

2

1

1

=

n

t t

t

n

t t

t

n

t tk

t

y x

y x)

y x

=

=

=

∑

∑

∑

M

.

$ίναι όμ#ς εύκολο να διαπιστ!σει κανείς ότι, στην πραγματικότητα,έ(ουμε)

= ( X X ′ και =) X y′ .

H(ουμε λοιπόν ότι οι εκτιμήσεις 4 είναι)

* = X y X X β ′ ′

ή εναλλακτικά)

( ) 1* = X X X yβ

−′ ′ .


35/41


Π4949Τ%:4 =. 7το#α"τικ)$ ιδιότητε$ τη$ μεόδου ;<

? εκτιμητής 4 είναι)

( ) 1* = X X X −′ ′β y

και το υπόδειγμα είναι X β = +y u . 'ντικαθιστ!ντας αυτή τη σ(έσηστην προηγούμενη έ(ουμε)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1* X X X X X X X X X X X β β

− − −′ ′ ′ ′ ′ ′= + = +β u u ,

από την οποία προκύπτει ότι)

( ) 1* X X X β

−′ ′= +β u .

%τη συνέ(εια λαμβάνοντας αναμενόμενες τιμές έ(ουμε)

( ) ( ) Α1

1 1* = = X X X X X X β β β − − ′ ′ ′ ′+ + × =

β u uE E E .

@ υπόθεση ότι η μήτρα X είναι μη στο(αστική, προ&αν!ς μαςβοήθησε πολύ στον υπολογισμό αυτής της αναμενόμενης τιμής. $ίναισημαντικό να σημει!σουμε ότι για να αποδε!1ουμε τηναμερολη!α του εκτιμητ- #ρη"ιμοποι-"αμε αποκλει"τικάτην υπόε"η 4+ ότι τα "φάλματα )#ουν αναμενόμενη τιμ-μηδ)ν. Hτσι, δεν (ρειασθήκαμε την υπόθεση '-.

@ μήτρα συνδιακύμανσης μπορεί επίσης να υπολογισθεί απλά. @μήτρα συνδιακύμανσης του εκτιμητή, είναι)

( ) ( ) ( )* * * * * * * = =ov β β ′′ − − − − ÷

β β β β β β βC E E E E .

$&όσον έ(ουμε ( ) 1* X X X β

−′ ′= +β u ή εναλλακτικά)

( ) 1* X X X β

−′ ′− =β u ,προκύπτει ότι

( ) ( ) ( )1 1* =ov X X X X X X

− − ′ ′ ′ ′ ′× β u uC E J

( ) ( )1 1

X X X X X X − − ′ ′ ′ ′ uuE ,

1).


36/41


στην οποία (ρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η μήτρα X X ′ καιεπομέν#ς και η μήτρα ( )

1 X X

−′ είναι συμμετρική και κατά συνέπεια,

( ) ( )1 1

X X X X − −′ ′ ′=

. '&ού η μήτρα X είναι μη στο(αστική θα έ(ουμε)

( ) ( ) ( ) ( )1 1* =ov X X X X X X

− −′ ′ ′ ′× ×β uuC E .

'πό την υπόθεση '-, έ(ουμε) ( ) 2 k I σ ′ =uuE και αντικαθιστ!ντας στηνπαραπάν# σ(έση έ(ουμε)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12

1 1 12 2

* =

= &

k ov X X X I X X X

X X X X X X X X

σ

σ σ

− −

− − −

′ ′ ′ =

′ ′ ′ ′

βC

"ια την απόδειξη αυτή (ρειασθήκαμε τις υποθέσεις '* και '-.

$ίναι, λοιπόν, αυτονόητο ότι αν η υπόε"η 4' δεν ι"#ύει/ τότεδεν μπορούμε να )#ουμε την παραπάν, μ-τρα"υνδιακύμαν"η$ του εκτιμητ- ;


37/41


'πό την ιδιότητα F- μπορούμε να δείξουμε εύκολα ότι 1* 0 k X ×′ =u , πουδεν είναι παρά οι κανονικές εξισ!σεις της μεθόδου 4. 'ν υπολογίσουμε στη συνέ(εια το ί(νος 9tra'e: της μήτρας M ,δηλαδή το άθροισμα τ#ν διαγ!νι#ν στοι(εί#ν της, θα έ(ουμε)

LΔLΤ%Τ4 :M. =tr M n k − .

Fε βάση την [διότητα F, μπορεί κανείς να δείξει ότι ο εκτιμητής

2 * * =n k

′−

u uS ,

έ(ει την ιδιότητα)

( ) ( ) ( ) 22 2* * = = =

n k

n k n k

σ σ

′ −− −u u

SE

E

και επομέν#ς έ(ουμε ότι το 2S είναι αμερόληπτο$ εκτιμητ-$ τη$διακύμαν"η$ τ,ν "φαλμάτ,ν.

6π#ς &αίνεται εδ!, το άθροισμα τ#ν τετραγ!ν#ν τ#ν καταλοίπ#νδεν πρέπει να διαιρεθεί απλά με n , αλλά με n k − , που δεν είναι παράοι βαθμοί ελευθερίας του πολυμεταβλητού γραμμικού υποδείγματος,γιατί έ(ουμε n στοι(εία και k αγν!στους που πρέπει να εκτιμήσουμε

9τα 1' ' k β β L :.

%τη συνέ(εια ας αντικαταστήσουμε την απλή υπόθεση '- με τηνακόλουθη)

ΥΠ6*7% 43. ov ′= = Ωu uuC E , όπου Ω δεν είναι αναγκαστικάδιαγ!νια μήτρα.

Dοιες θα είναι οι συνέπειες της υπόθεσης '3 για τον εκτιμητή 4M @αμεροληEία του εκτιμητή δεν πρόκειται να επηρεασθεί γιατί, όπ#ςτονίσαμε, αυτή εξαρτάται αποκλει"τικά και μόνον από τηνυπόθεση '*.

Kστόσο η μήτρα συνδιακύμανσης πρέπει να είναι δια&ορετική τ!ραπια και ό(ι ( )

12 X X σ −′ .

"ια να το δούμε αυτό ξεκάθαρα έ(ουμε)

( ) ( )1 1* ov X X X X X X

− − ′ ′ ′ ′ ′= β u uC EJ

1+0


38/41


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

, -

&

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

− −

− −

− −

′ ′ ′ ′ =

′ ′ ′ ′ =

′ ′ ′Ω

uu

uu

E

E

'ν εί(αμε 2 n I σ Ω = , τότε θα εί(αμε το προηγούμενο αποτέλεσμα ότι

( ) 12* ov X X σ

−′=βC , αλλά όταν τα σ&άλματα έ(ουν μη διαγ!νια μήτρασυνδιακύμανσης, το αποτέλεσμα αυτό δεν είναι πλέον σ#στό καιέτσι η σ#στή μήτρα συνδιακύμανσης του εκτιμητή 4 δίνεται από τηνπαραπάν# σ(έση. Fεγάλο μέρος της οικονομετρίας ασ(ολείται μετην εύρεση κατάλληλ#ν εναλλακτικ!ν εκτιμητ!ν κάτ# από τηνυπόθεση '3 και την εύρεση κατάλληλ#ν εκτιμητ!ν της μήτρας Ωόταν αυτή, #ς συνήθ#ς, δεν είναι γν#στή εκ τ#ν προτέρ#ν. $μάς δενθα μας απασ(ολήσουν ακόμη αυτά τα προβλήματα.

%τη συνέ(εια θα άρουμε την υπόθεση ότι η μήτρα X είναι μηστο(αστική, αλλά θα διατηρήσουμε τις υποθέσεις '* και '-.

Π4949Τ%:4 Γ. LΔLΤ%Τ*7 Τ%7 :*6ΔΥ ;< :*7Τ247ΤLΚ% 2

"ια να δούμε καταρ(ήν αν ο εκτιμητής 4 είναι αμερόληπτος έ(ουμε,όπ#ς αποδείξαμε πιο πάν#, ότι)

( ) 1* =β −′ ′−β X X X uκαι επομέν#ς ισ(ύει)

( ) ( ) ( ){ }1 1

* = = 7 X β − − ′ ′ ′ ′− = Xβ X X X u X X X u XE E E E .

Kστόσο είναι σα&ές ότι)

( ) ( )G1

1 1

17 7 0 k X X X X X − −

× ′ ′ ′ ′= = = = X X X u X u XE E .

$πομέν#ς έ(ουμε)

( ) ( ) 1 1

* * = 0 = 0 =k k β β × ×− ⇒X

β βE E E .

1+1


39/41


'σ&αλ!ς αντιλαμβάνεστε ότι (ρειαόμαστε την υπόθεση \* και ό(ιτην '* για να αποδείξουμε την αμεροληEία του εκτιμητή.


40/41


Lάτ# από την ]πόθεση \- είναι προ&ανές ότι)

2* ov +σ =βC .

=εν (ρειάεται να τονίσουμε ότι( ) ( )

11 −− ′ ′≠

X X X XE E

, α&ού ταστοι(εία της αντίστρο&ης μήτρας, ( )

1−′X X , είναι 5 0ρ55=8Aς

συναρτήσεις τ#ν στοι(εί#ν της μήτρας ( )′X X . "ν#ρίουμε ότι γενικά,

( ) ( ) f f ≠ X XE E , εκτός αν η συνάρτηση f είναι γραμμική και οιαναμενόμενες τιμές υπάρ(ουν.

@ \- δεν είναι μια ασήμαντη υπόθεση. 'ν υποθέσουμε ότι έ(ουμεμόνο μια ερμηνευτική μεταβλητή, δηλαδή 1k = , τότε προ&αν!ς θα

έ(ουμε2

1

n

t

t =

′ =

∑X X X και επομέν#ς)

( ) 1

2

1

1 =

n

t

t

−

=

÷

÷′ ÷ ÷ ∑

X X

X

E E .

Fια τέτοια κατάσταση τ#ν πραγμάτ#ν είναι οπ#σδήποτεπροβληματική στην οικονομετρία, ε&όσον δεν μπορούμε ναγν#ρίουμε την κατανομή της X .

'υτό μας οδηγεί στην ασυμπτ#τική ανάλυση του γραμμικούυποδείγματος, στην οποία τα πράγματα είναι κάπ#ς πιο απλά όπ#ςθα δούμε, αν και δεν μπορούμε να απαλλαγούμε εντελ!ς απόυποθέσεις σ(ετικά με την στο(αστική συμπερι&ορά της X .

'ξίει ίσ#ς να τονίσουμε στο σημείο αυτό ότι στην ε&αρμοσμένηδουλειά, σπάνια οι οικονομολόγοι κάνουν τη διάκριση μεταξύ τ#νπεριπτ!σε#ν ' και \ κι7 απλ!ς εργάονται με βάση την βολικήπερίπτ#ση '. 'υτή η τακτική δεν είναι κακή, αρκεί κανείς να ξέρει τηδιάκριση ανάμεσα στις δυο αυτές περιπτ!σεις.

1+3


41/41


lectures in applied econometrics 05

Documents