lectures in applied econometrics 13
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
1/16
Κ εφάλαιο 13. Υποδείγματα
Χρονολογικών Σειρών
Στο κεφάλαιο 4 μας απασχόλησε η αυτοσυσχέτιση. Ποια άλλααπλά σχήματα αυτοσυσχέτισης μπορούμε άραγε να θεωρήσουμε
στην πράξη !ς υποθέσουμε ότι έχουμε μια τυχα"α σειρά t u . Στην
πράξη# φυσικά# $εν μπορούμε να ξέρουμε αν η σειρά ε"ναι τυχα"α ήόχι. % συγκεκριμένη σειρά# ας υποθέσουμε ότι ε"ναι οι ημερήσιεςαπο$όσεις μιας μετοχής.
&ια να κατανοήσουμε καλύτερα τη σειρά και να 'απομακρύνουμε(ή να 'απομον)σουμε( τις τυχα"ες μετα*ολές της +θεωρ)νταςφυσικά ότι $εν έχουμε μια τυχα"α σειρά, θα μπορούσαμε να
υπολογ"σουμε κινητούς μέσους της σειράς. % $ια$ικασ"α τωνκινητ)ν μέσων +moving average, λέει το εξής. !ν έχουμε μια σειρά
με τιμές 1u # 2u και 3u θα μπορούσαμε να την αντικαταστήσουμε με
την νέα σειρά ( )1 2 / 2u u+ και ( )2 3 / 2u u+ . -αμ*άνοντας μέσους#
ελπ"ουμε να $ούμε $ιαγραμματικά κάποιο πρότυπο πουεν$εχόμενα υπάρχει στη σειρά. % λογική της $ια$ικασ"ας ε"ναι ότιοι μέσοι έχουν την ι$ιότητα να αφαιρούν τις τυχα"ες μετα*ολέςκαι να επικεντρ)νονται στην 'ουσ"α( της σειράς.
!ς υποθέσουμε# λοιπόν# ότι η αρχική σειρά ε"ναι ( )~ 0, 1t u N και
θεωρούμε τον κινητό μέσο / και 01 ημερ)ν# αν έχουμε συνολικά /1παρατηρήσεις. 2α αποτελέσματα φα"νονται στο επόμενο$ιάγραμμα.
RNDSEED 11GENR U=NRNDGENR MA5=@MOVAV(U,5)GENR MA10=@MOVAV(U,10)PLOT U MA5 MA10
2
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
2/16
-3
-2
-1
0
1
2
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
U MA5 MA10
2ο αποτέλεσμα ε"ναι ότι παρόλο που ξεκινήσαμε από μια τυχα"ασειρά# η $ια$ικασ"α των κινητ)ν μέσων έχει παράξει σειρές στιςοπο"ες προφαν)ς υπάρχει εξάρτηση# $ηλα$ή $ομή ή$ιάρθρωση+structure,. 3α"νεται# για παρά$ειγμα# ότι οι απο$όσεις$εν ε"ναι παρά τετραγωνικές συναρτήσεις του χρόνου 2ο γεγονόςαυτό# ανακαλύφθηκε από τον στατιστικό U. Yule# στη $εκαετ"α του561 και φυσικά# ο$ήγησε στην απόρρι7η του κινητού μέσου# σαν$ια$ικασ"ας εξομάλυνσης μιας σειράς.
8στόσο# η $ια$ικασ"α του κινητού μέσου είναι σε θέση να μας$)σει ένα απλό σχήμα αυτοσυσχέτισης# εναλλακτικό τουαυτοπαλ"ν$ρομου σχήματος. 2ο σχήμα του κινητού μέσου $υοπεριό$ων# $εν ε"ναι παρά9
1 1
12 2 =
t t t v u u
−+ .
2ο σχήμα του κινητού μέσου τρι)ν περιό$ων# ε"ναι9
1 1 1
1 23 3 3 =
t t t t v u u u
− −+ + .
:εν ε"ναι $ύσκολο να θεωρήσουμε γενικεύσεις. &ια παρά$ειγμα#μπορούμε να θεωρήσουμε σταθμικούς μέσους και να έχουμε9
1 2 1 =t t t v u uθ θ −+ .
3
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
3/16
Σε μια τέτοια $ια$ικασ"α στάθμισης# ε"ναι λογικό να έχουμε
1 21θ θ + = # αλλά αυτό $εν ε"ναι ουσι)$ες. ;πορούμε να
υιοθετήσουμε μια εναλλακτική τυποπο"ηση# για παρά$ειγμα 1 1θ =
και να έχουμε το +εν$εχόμενα απλούστερο, σχήμα9
1 =
t t t v u uθ
−+ .
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
4/16
Παρόμοια# θα μπορούσαμε να συν$υάσουμε τα υπο$ε"γματα ( ) AR p
και ( ) MA q στο γενικότερο υπό$ειγμα# που λέγεται ( ), ARMA p q και
έχει τη μορφή9
1 1 2 2 1 1 2 2 =
t t t p t p t t t q t qu u u u ρ ρ ρ ε θ ε θ ε θ ε
− − − − − −+ + + + + + + +
6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48
L L
αυτοπαλ"ν$ρομο τμήμα τμήμα κινητού μέσου
.
3υσικά# τα t u ε"ναι τα σφάλματα της παλιν$ρόμησης# $ηλα$ή
t t t u y xβ = − και το t ε ε"ναι μια τυχα"α σειρά# με κατανομή
( )2~ 0,t N ε ε σ .
Στην οικονομετρ"α# υπάρχουν $υο χρήσεις των υπο$ειγμάτων
?@A?9
o Σαν σχήματα αυτοσυσχέτισης σε εξισ)σεις παλιν$ρόμησης.
o Σαν υπο$ε"γματα πρό*λε7ης όταν η σειρά t u ε"ναι
παρατηρούμενη.
% $εύτερη χρήση# ε"ναι επιθυμητή όταν $εν έχουμε οικονομική
θεωρ"α για να περιγρά7ουμε τα t u και θα πρέπει# παρόλα αυτά# να
προ*λέ7ουμε τις μελλοντικές τιμές τους. Στην περ"πτωση αυτή# τα
υπο$ε"γματα ?@A? ε"ναι μια καλή 'αγνωστικιστική( λύση στοπρό*λημα της πρό*λε7ης# όταν $ιαρθρωτικά οικονομικάυπο$ε"γματα $εν ε"ναι $ιαθέσιμα ή ε"ναι "σως $ιαθέσιμα αλλά δεν
επιθυμούμε να τα χρησιμοποιήσουμε. Bταν η σειρά t t u X ≡ ε"ναι
παρατηρούμενη# το σχετικό υπό$ειγμα# ε"ναι9
1 1 2 2 1 1 2 2 =
t t t p t p t t t q t q X X X X ρ ρ ρ ε θ ε θ ε θ ε
− − − − − −+ + + + + + + +
6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48 6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48
L L
αυτοπαλ"ν$ρομο τμήμα τμήμα κινητού μέσου.
2α ητούμενα# πρέπει να ε"ναι περ"που προφανή9
o Πως γ"νεται η εκτ"μηση των παραμέτρωνo Πως επιλέγουμε τα p και q
o Πως πραγματοποιούνται οι προ*λέ7εις του t X
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
5/16
>α πρέπει# πριν προχωρήσουμε παρακάτω# να επισημάνουμε ένα
*ασικό ήτημα. !κόμη κι5 αν έχουμε το απλό σχήμα ( )1 AR της
μορφής9 1t t t X X ρ ε −= + # το οπο"ο $εν ε"ναι παρά ( )1,0 ARMA # θα πρέπει
να έχουμε 1 1 ρ − < < # $ηλα$ή 1 ρ < . :ηλα$ή# η σειρά t X # θα πρέπεινα ε"ναι στάσιμη.
;ια σειρά λέγεται ασθενώς στάσιμη +weakly stationary , αν έχει$ιαχρονικά τον "$ιο μέσο και την "$ια $ιακύμανση.
!ν μια σειρά έχει τάση# $εν μπορε" να ε"ναι στάσιμη# εφόσον ομέσος της μετα*άλλεται $ιαχρονικά.
!ν μια σειρά έχει χρονικά μετα*αλλόμενη $ιακύμανση# επ"σης
$εν μπορε" να ε"ναι στάσιμη.
Τα υποδείγματα !" μπορο#ν να $ρησιμοποιηθο#ναποκλειστικά σε σ$%ση με στάσιμες σειρ%ς. 8στόσο# στηνπραγματικότητα# πολλές οικονομικές χρονολογικές σειρές έχουντάση κι5 έτσι $εν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθε"ας τημεθο$ολογ"α των υπο$ειγμάτων ?@A?. Cρισμένα παρα$ε"γματαφα"νονται στα επόμενα. Στον οριόντιο άξονα μετράμε τον χρόνοκαι στον κάθετο την τιμή της σειράς.
;ια παλαιότερη *ι*λιογραφ"α έχει 'λύσει( αυτό το πρό*λημα μ5έναν σχετικά απλό τρόπο# ο οπο"ος σήμερα ξέρουμε ότι $εν μπορε"να γ"νει απο$εκτός9 !πλά θεωρούμε αρκετές $ιαφορές της σειράς
t X # )στε να γ"νει στάσιμη και στη συνέχεια εφαρμόουμε τα
υπο$ε"γματα ?@A?.
6
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
6/16
&ια παρά$ειγμα# αν η σειρά έχει γραμμική τάση της μορφής
t Y t α β = + × # λαμ*άνοντας πρ)τες $ιαφορές θα έχουμε9
1t t t X X X β −∆ = − = και επομένως η σειρά θα έχει σταθερό μέσο *#
αγνο)ντας τα σφάλματα.
!ν η σειρά έχει μια $ευτερο*άθμια τάση της μορφής92
t Y t t α β γ = + × + × # η πρ)τη παράγωγος ε"ναι 2 t β γ + × και η $εύτερη
παράγωγος ε"ναι 2γ # $ηλα$ή σταθερά. 3υσικά# η παραγ)γιση καιοι πρ)τες $ιαφορές# ε"ναι 'παραπλήσιες( $ια$ικασ"ες# πράγμα πουαφήνεται σαν άσκηση.
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
7/16
όπου ( ) 21 21 p
p A L L L L ρ ρ ρ = − − − −L και ( )2
1 21 q
q B L L L Lθ θ θ = + + + +L $εν
ε"ναι παρά πολυ)νυμα του τελεστή L .
2ο υπό$ειγμα ( , , ARIMA p d q # μπορε" να γραφε" στη μορφή9
( ) ( ) ( )1 =d
t t A L L X B L ε − ή
( ) ( ) =t t A L x B L ε # όπου ( )1 d
t t x L X = − .
1. &κτίμηση τ'ν υποδειγμάτ'ν !"
% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( ) AR p της μορφής9
1 1 =t t p t p t X X X α ρ ρ ε − −+ + + +L
#
μπορε" να γ"νει με τη μέθο$ο EF και να έχουμε συνεπε"ς εκτιμητές#αρκε" τα σφάλματα να μην αυτοσυσχετ"ονται.
% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( )1 MA της μορφής9
1 =t t t X ε θε −+ #
ε"ναι επ"σης απλή αν λύσουμε ως προς t ε # για να έχουμε9
1 =t t t X ε θε −− # για κάθε 1, ,t n= L .
!ν υποθέσει κανε"ς ότι 0 0ε = # τότε πρέπει να έχουμε96
1 1 0 1 = = X X ε θε − #
2 2 1 2 1 = = X X X ε θε θ − − #
( ) 23 3 2 3 2 1 3 2 1 = = = X X X X X X X ε θε θ θ θ θ − − − − + # κτλ.
2ο ουσι)$ες ε"ναι ότι (λα τα t ε μπορούν να υπολογισθούν σαν
συνάρτηση του θ και επομένως μια λογική εκτ"μηση του θ# $ενε"ναι παρά εκε"νη η οπο"α ελαχιστοποιε" το άθροισμα των
τετραγ)νων των σφαλμάτων9 ( ) 2 2 2 21 21 = =n
t nt S θ ε ε ε ε
= + + +∑ L .
3υσικά# η εκτ"μηση απαιτε" τη χρήση μη γραμμικ)ν μεθό$ων+γιατ", αλλά μπορε" να γ"νει εύκολα με τη *οήθεια τουπρογράμματος EViews.
2 "#σικά, $% &'ο% ε δεν )*ο#+ε &α'ά +ια γ'α++ική ε-σ$ση διαφο'ν &'το# α+ο.
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
8/16
% εκτ"μηση ενός υπο$ε"γματος ( ), ARMA p q $εν απαιτε" παρά
συν$υασμό των $υο τεχνικ)ν κι5 επομένως το ήτημα τηςεκτ"μησης τέτοιων υπο$ειγμάτων έχει πλήρως λυθε". 2α
υπο$ε"γματα ( ), , ARIMA p d q $εν προσθέτουν καμιά τεχνική
$υσκολ"α# εφόσον απλά πρέπει να θεωρήσουμε d $ιαφορές τηςαρχικής σειράς# να κατασκευάσουμε τη νέα σειρά
( )1 d d
t t t x X L X = ∆ = − και να εκτιμήσουμε το υπό$ειγμα ( ), ARMA p q .
). &πιλογ* τ'ν p και q
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
9/16
3υσικά# $εν ε"ναι τ"ποτε άλλο παρά η επ"$ραση του t m X − στο t X #
με $ε$ομένες των τιμές των υπόλοιπων χρονικ)ν υστερήσεων. &ια
παρά$ειγμα# ο συντελεστής 1ϕ # ε"ναι η επ"$ραση του 1t X − στο t X #
με $ε$ομένα όμως τα 2 , ,t t p X X − −L .
Ποια ε"ναι η *ασική $ιάκριση μεταξύ mr και mϕ % απάντηση ε"ναι
απλή. 2ο 2r ε"ναι ο συντελεστής ελαχ"στων τετραγ)νων στην
παλιν$ρόμηση9
2 2 =t t t X r X eα −+ + .
2ο 2ϕ # ωστόσο# ε"ναι ο συντελεστής ελαχ"στων τετραγ)νων στην
παλιν$ρόμηση9
1 1 2 2 =t t t p t p t X c X X X eϕ ϕ ϕ − − −+ + + + +L .
!ν η σειρά t X έχει κάποιο *αθμό αυτοσυσχέτισης# τότε τα mϕ και
mr ε"ναι προφαν)ς $ιαφορετικά πράγματα. 2ο 2r # ε"ναι ο απλ(ς
συντελεστής αυτοσυσχέτισης μεταξύ t X και 2t X − . 2ο 2ϕ # ε"ναι ο
συντελεστής αυτοσυσχέτισης μεταξύ των t X και 2t X − # με
δεδομ%νες τις τιμές των 1 3, , ,t t t p X X X − − −L # πράγμα που προκύπτει
αποκλειστικά και μόνο απ5 τον ορισμό της γραμμικής
παλιν$ρόμησης.
Cι συντελεστές αυτοσυσχέτισης +?G, και οι συντελεστές μερικήςαυτοσυσχέτισης +H?G,# μπορούν να μας *οηθήσουν να
ταυτοποιήσουμε ένα υπό$ειγμα ( ), ARMA p q # $ηλα$ή να
υπολογ"σουμε λογικές τιμές των υστερήσεων p και q . &ια νακατανοήσουμε τη $ια$ικασ"α επιλογής# ας θεωρήσουμε $ιάφορασχήματα ARMA κι5 ας εξετάσουμε στη συνέχεια τη συμπεριφοράτων συναρτήσεων ?G και H?G.
10
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
10/16
Υπ(δειγμα !+3,
Sampl! 4 50000"#$l%&& '*+a'#! 4.../
A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*'
1 010 010 32/.4 0000 2 066/ 0031 55015 0000 3 0515 -00.6 62./ 0000 4 03.. -0001 /6250 0000 5 0305 0000 0.5 0000 6 0234 0003 3635 0000 / 01/ -0003 522/ 0000 013 0005 61// 0000 . 0105 -0004 6/26 0000 10 00/. -0004 /035 0000 11 005 -0003 /201 0000 12 0043 0003 /2.3 0000 13 0030 -0006 /336 0000
14 0021 0001 /35 0000 15 0014 0002 /36 0000
Στο υπό$ειγμα αυτό# ε"ναι φανερό ότι η συνάρτηση H?G μπορε" ναχρησιμοποιηθε" για να επιλέξουμε την τάξη του αυτοπαλ"ν$ρομουτμήματος +να ε"ναι I, εν) η συνάρτηση ?G ακολουθε" έναχαρακτηριστικό σχήμα9 Cι απλο" συντελεστές αυτοσυσχέτισηςσυγκλ"νουν ομαλά προς το μη$έν.
Υπ(δειγμα -+/,.
Sampl! 5 50000"#$l%&& '*+a'#! 4...6
A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*'
1 0300 0300 450/. 0000 2 -012 -0240 53314 0000 3 0112 02/1 5.634 0000 4 00/2 -012. 62206 0000 5 -0005 010. 6221/ 0000 6 0000 -005 6221/ 0000 / 0004 0055 62223 0000 0002 -0041 62226 0000 . 0000 002 62226 0000 10 -0004 -0025 62234 0000
11 -0002 0016 62236 0000 12 0001 -0011 6223/ 0000 13 -0002 000/ 6223 0000 14 -0004 -000 62245 0000 15 -0005 -0001 6225. 0000
11
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
11/16
Υπ(δειγμα !"+10),
Sampl! 3 50000"#$l%&& '*+a'#! 4...
A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*' 1 03 03 3.5 0000 2 06. -040 626. 0000 3 054 024 ///40 0000 4 043/ -0206 /2/ 0000 5 034. 0162 .3356 0000 6 020 -0120 ./2/1 0000 / 0225 00. ..12 0000 011 -005 101442 0000 . 0143 0065 1024/1 0000 10 0114 -0053 10311/ 0000 11 00.0 0044 103522 0000 12 00/0 -0044 103/6. 0000
13 0053 002 103.0. 0000 14 003. -0024 103.5 0000 15 002. 0022 10402 0000
&ενικότερα# μπορούμε να εκτιμήσουμε εναλλακτικά υπο$ε"γματα
( ), ARMA p q # για τιμές των , 1, 2, , p q L= L και να επιλέξουμε εκε"νο
που ελαχιστοποιε" το κριτήριο του !c"war## το οπο"ο γνωρ"ουμεότι καταλήγει σε συνεπε"ς εκτιμητές των p και q . ;ιαεναλλακτική ε"ναι χρησιμοποιήσουμε τον $ιορθωμένο συντελεστήπροσ$ιορισμού 2 R # αλλά οι εκτιμητές των p και q $εν πρόκειταινα ε"ναι συνεπε"ς.
Σαν ένα απλό παρά$ειγμα ας κατασκευάσουμε μια σειρά t Y ως
εξής9
1 1 21 0,! 0,5 0,2t t t t t Y Y ε ε ε − − −= + + + − # με ( )~ 0,1t N ε # για κάθε 1, ,100t = L .
RNDSEED 11GENR 7=0GENR E=NRNDSMPL 3 100
GENR 7=1 8 0/7(-1) 8 E 8 05E(-1) - 02E(-2)
% σειρά φα"νεται στο επόμενο $ιάγραμμα.
12
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
12/16
0
1
2
3
4
5
6
/
.
25 50 /5 100
p& ' ()*+,)*-
!c"war #
*-)/012ν- 3 4
0# 1 2..//34 05/2562
0# 0 21/5 0655655
0# 6 24.506 065/22.
0# I 22445 06530/
6# 1 2.314. 061422/
6# 0 24501 065/426# 6 2.144 065501
6# I 2.803868 06.52.0
6# 4 21421 0.701713
6# / 265642 06.26/
I# I 22601 06.4/0
4# 4 2.5342 06/.53
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
13/16
1 =t t t Y Y α ρ ε −+ + # για την περ"ο$ο εκτ"μησης 1, ,t n= L .
% πρό*λε7ή μας για την περ"ο$ο 1n + # θα ε"ναι9
1 1 =n n nY Y α ρ ε + ++ + .
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
14/16
Στατικ%ς προ2λ%εις του υποδείγματος !"+)03,
15
20
25
30
35
40
45
.2 .4 .6 . 100
7 79
4υναμικ%ς προ2λ%εις του υποδείγματος !"+)03,
16
20
24
2
32
36
40
44
4
.2 .4 .6 . 100
7 79D7N
;ε *άση αυτά τα αποτελέσματα# ε"ναι φανερό ότι 011παρατηρήσεις $εν ε"ναι αρκετές για να ταυτοποιήσουμε τοπραγματικό υπό$ειγμα και να κάνουμε καλές $υναμικές
προ*λέ7εις. 3υσικά# στα υπο$ε"γματα ?@A? γνωρ"ουμε ότι τοπραγματικό ητούμενο ε"ναι η $ιεξαγωγή *ραχυχρόνιων
15
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
15/16
προ*λέ7εων.
-
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 13
16/16
% πρ)τη σειρά κατασκευάσθηκε σαν 12t t t x x u−= + και η $εύτερη σαν
12 0,05t t t y y t v−= + × + . Cι συναρτήσεις ?G και H?G της πρ)της σειράς
φα"νονται στον επόμενο π"νακα.
Sampl! 13 100
"#$l%&& '*+a'#!
A%'$'**la'# Pa*al '**la'# A PA -Sa P*'
1 -0045 -0045 0154 066/
2 -0031 -0033 02/54 0/1
3 -02/0 -02/4 /0632 00/0
4 0135 0115 /00 006/
5 -01/3 -0202 11636 0040
10 -0054 -0251 22/3 0012
11 -0030 -0204 2233 001.
12 0/06 0542 /4/45 0000
13 -0041 -005/ /4.22 0000
22 -0044 0032 /42 0000
23 -0014 -0004 /451 0000
24 0415 -0113 10/2 0000
25 -003/ -000. 10 0000
26 -0022 0001 10.5 0000
35 -0004 -0001 11323 0000
36 0151 -0145 1166 0000
&ια μια εποχική σειρά με περιο$ικότητα S +προηγούμενα ε"χαμε12S = , η τυπική $ια$ικασ"α ε"ναι να λά*ουμε $ιαφορές τάξης S και
στη συνέχεια να εφαρμόσουμε ένα υπό$ειγμα ?@A?# $ηλα$ή ναέχουμε9
( )1 S t t L x y− = #
0 1 1
p q
t i t i t j t ji j y y u uβ β γ − −= == + + +∑ ∑ .
1!