lectures in applied econometrics 01

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 01

1/83

1. Το γραμμικό υπόδειγμα

Κ εφάλαιο 1.Το Γραμμικό Υπόδειγμα

«Δυο πράγματα είστε καλύτερα αν δεν δείτε στην κατασκευή τους:Τα λουκάνικα και τις οικονομετρικές εκτιμήσεις»1

Εισαγωγικά

Σύμφωνα με τον Keye!, η κατανάλωση είναι μια απλή γραμμικήσυνάρτηση του εισοδήματος, δηλαδή:

,Y X α β = + ×

όπου Y είναι η κατανάλωση, X είναι το εισόδημα, α είναι ηλεγόμενη αυτόνομη κατανάλωση και β είναι η οριακή ροπή γιακατανάλωση. Τα οικονομικά δεδομνα δεν σ!ηματί"ουν ποτ ακρι#είςσ!σεις. $τσι μπορεί να !ουμε μια κατάσταση όπως στο επόμενοδιάγραμμα στο οποίο οι παρατηρήσεις δεν βρίσκονται ακριβςπάνω σε μια ε!"εία αλλά είναι επίσης σαφ#ς από την άλλημεριά ότι #$ο!ν μια προσεγγιστική γραμμική σ$#ση.

1 E. E. Leamer, 1983, Let’s take the con out of econometrics, American Economic Review 73, 31-43, σελ.

37.

1


2/83


Y

X

%πως φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα, η κατανάλωση και τοεισόδημα δεν #ρίσκονται πάνω σε μια ευ&εία, ούτε σε καμία άλλη

προφανή συνάρτηση. 'υτό συμ#αίνει πάντοτε με τα οικονομικάστοι!εία, για δυο #ασικούς λόγους:

"ρ#τον, οι &εωρίες δεν είναι τλειες και είναι δυνατόν κάποιεςσημαντικς μετα#λητς να !ουν παραλειφ&εί από το υπόδειγμα.

Δεύτερον, υπάρ!ουν σφάλματα μτρησης στις μετα#λητς. (ατάσυνπεια &α πρπει να τροποποιήσουμε τη &εωρία στη μορφή:

, X α β = + × +Y u

όπου u είναι μια μετα#λητή που περιλαμ#άνει όλους τους παράγοντεςπου !ουμε παραλεί)ει και τα σφάλματα μτρησης στηνκατανάλωση.* + μετα#λητή αυτή λγεται σφάλμα. 'ν συμ#ολίσουμε

2 !" λ#$%&' (%& )ε* +" "' "("σ%λσ%&* ε)/ +" &(%+0σ%&ε #! )ε* &(%&* σλ"" 05σ5' σ%

ε!σ#)5" ε6#' "* % "*+ε% "*"0ε"! 5. & ε*"! !" σ5"*!6 &(#+εσ5.

2

υ&είαπαλινδρόμη

σης

-αρατήρηση


3/83


με t Y την κατανάλωση του τους t , με t X το εισόδημα του τους i

και t u το σφάλμα του τους t , &α πρπει να !ουμε:

t t t X α β = + × +Y u , 1,2, ,t n= L .

Τα , :t t Y X λγονται παρατηρήσεις ή στοι!εία. Τα α και β

ονομά"ονται παράμετροι του υποδείγματος. ίναι άγνωστες

στα&ερς που !ουν σημασία για τη &εωρία. -! τοβ −1

1 είναι η τιμή

του πολλαπλασιαστή σε μια κλειστή οικονομία με ε/ωγενή επνδυσηκαι ε/ωγενή δημόσια δαπάνη. 'υτή η τιμή, είναι πολύ σημαντική γιατη &εωρία γιατί δίνει την αύ/ηση του εισοδήματος που &α προλ&ειαπό μια αύ/ηση των δημοσίων δαπαν0ν ή επενδύσεων. στόσο, ητιμή του πολλαπλασιαστή είναι άγνωστη, γιατί η τιμή του β είναι

άγνωστη. 'πό την παραπάνω ε/ίσωση είναι φανερό ότι ο αρι"μόςτων παρατηρήσεων είναι n , δηλαδή !ουμε στοι!εία για n!ρόνια.

Τλος, η μετα#λητή t Y λγεται ε%αρτημ#νη μεταβλητή και η t X λγεται ερμηνε!τική μεταβλητή.

&ια απλή εισαγωγή στην 'ικονομετρία

2$%y &'e ()' *&y! )+,e'e*- &* (.- !&y- /e..e'e*34 567789 ;;


4/83


%πως !ουμε δει αυτό μπορεί να γίνει αν επιλ/ουμε τ7 #, τσι 0στενα ελα!ιστοποιήσουμε το ά&ροισμα των τετραγ0νων τωνκαταλοίπων, δηλαδή τη συνάρτηση:

( ) ( )>

2

1

; t t t

S y xβ β =

− ×

∑.

'υτό είναι να πρό#λημα που μπορεί να λυ&εί με #άση τιςμα&ηματικς συν&ήκες για την ελα!ιστοποίηση μιας συνάρτησης μιαςμετα#λητής που εδ0 δεν είναι παρά το β .

'ν δούμε το πρό#λημα από αρι&μητική σκοπιά, δηλαδή από τη σκοπιάτου υπολογισμού των εκτιμήσεων, η αλή&εια είναι ότι δεν !ρειά"εταικανείς πολλά μα&ηματικά για να υπολογίσει τις εκτιμήσεις αυτς?

άν με τη #οή&εια, ενδε!όμενα, του υπολογιστή, μπορούμε ναυπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης S για διάφορες τιμς του β ,τότε &α μπορούσαμε να επιλ/ουμε εκείνη που δίνει την ελά$ιστητιμή στη συνάρτηση αυτή.

'υτό, φυσικά, μπορεί να γενικευ&εί σε οποιαδήποτε αντικειμενική

συνάρτηση, όπως για παράδειγμα τη συνάρτηση ( ) ( )>

4

1

; t t t

F y xβ β =

− ×∑

ή τη συνάρτηση ( )>

1

; t t t

G y xβ β =

− ×∑ .

Το μόνο που απαιτείται, είναι να κάνουμε να διάγραμμα στο οποίονα φαίνεται η αντικειμενική συνάρτηση σε σ!ση με το #, όπωςπαρακάτω.

4


5/83


'ι αντικειμενικ#ς σ!ναρτήσεις )* + και ,

@@@@ AB#C, 5555555 DB#C, EE.. FB#C.Στο διάγραμμα, για ευκρινστερη παρουσίαση, οι αντικειμενικς συναρτήσεις

!ουν τυποποιη&εί 0στε να ισούνται με 1 για #G1, H, δηλαδή !ουν διαιρε&εί με τημγιστη τιμή τους, στο δεδομνο εύρος τιμ0ν του #.

'πό το διάγραμμα αυτό, η τιμή του # που ελα!ιστοποιεί τις

αντικειμενικς μας συναρτήσεις, μπορεί να υπολογισ&εί εύκολα.Ττοιοι υπολογισμοί, μπορούν να γίνουν με προγράμματα όπως το 102e/.

'ν υπο&σουμε τ0ρα, ότι η ευ&εία που &λουμε να διλ&ει από ταδεδομνα μας, !ει και στα&ερό όρο, δηλαδή είναι της μορφής:

; y xα β + × ,

τότε οι αντικειμενικς μας συναρτήσεις &α πρεπε λογικά να είναι:

( ) ( )>

2

1

, ; t t t

S y xα β α β =

− − ×∑ και ( ) ( )>

4

1

, ; t t t

F y xα β α β =

− − ×∑ .

'υτς είναι συναρτήσεις δυο μετα#λητ0ν, δηλαδή των α και β καιμπορούμε να ακολου&ήσουμε την ίδια προσγγιση για να λά#ουμε ταεπόμενα διαγράμματα τα οποία, φυσικά, είναι στον τρισδιάστατο

>


6/83


!0ρο εφόσον !ρεια"όμαστε δυο ά/ονες για τις μετα#λητς α και β

κιI ναν ά/ονα για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης S ή F .

- αντικειμενική σ!νάρτηση )

?


7/83


- αντικειμενική σ!νάρτηση +

+ διαγραμματική προσγγιση γίνεται προ#ληματική από τη στιγμήπου το υπόδειγμά μας είναι πιο περίπλοκο, με την ννοια ότιπεριλαμ#άνει περισσότερες παραμτρους.

Jια παράδειγμα, αν &λαμε το υπόδειγμά μας να είναι:

2 ; y x xα β γ + × + × ,

τότε &α μπορούσαμε να επιλ/ουμε τις παραμτρους μας τσι 0στε ναελα!ιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση:

( ) ( )>

22

1

, , ; t t t t

S y x xα β γ α β γ =

− − × − ×∑ .

ίναι ωστόσο προφανς ότι δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε ή νακατανοήσουμε να διάγραμμα στον !0ρο των τεσσάρων διαστάσεων.

7

Τελικά* ακόμα κι αν #$ο!με #να πολ!μεταβλητόγραμμικό !πόδειγμα της μορφής/

0 β12 1 3 β42 4 3 5 3 β6 2 6 *

στο οποίο οι μεταβλητ#ς 2 1* 2 4* 5* 2 6 επηρεά7ο!ν τηνε%αρτημ#νη μεταβλητή 0* "α μπορο8σαμε ναακολο!"ήσο!με μια παρόμοια διαδικασία στε να!πολογίσο!με τα β1* β4* 5 * β6 . 9ασικό μ#ρος της

:εωρητικής 'ικονομετρίας αποτελεί ο προσδιορισμόςα!τν ακριβς των τιμν.


8/83


ίναι όμως ε/ίσου αυτονόητο ότι δεν !ρεια"όμαστε υπο!ρεωτικά ναδιάγραμμα για να λύσουμε το πρό#λημά μας, δηλαδή ναυπολογίσουμε τα α , β και γ . 'πλά !ρειά"εται να /ρουμε τις

αρι"μητικ#ς τιμ#ς των α , β και γ που δίνουν την ελά!ιστη τιμήστη συνάρτηση S .

> υπολογιστής είναι σε &ση να !ρησιμοποιη&εί εύκολα για να μαςδ0σει ττοιες αρι&μητικς τιμς. 'πλά συγκρίνει τις τιμς του S γιαδιάφορες τιμς των παραμτρων Bα , β και γ C και επιλγει εκείνες τιςτιμς που ελα!ιστοποιούν το S .

Kυσικά ο υπολογιστής δεν μπορεί να δοκιμάσει άπειρες τιμς τωνπαραμτρων και να διαλ/ει εκείνες που είναι οι καλύτερες δυνατς.Lα πρπει:

1. ίτε να περιορίσει τον υπολογισμό του A σε 1M τιμς BστωC για

κα&να από τα α, # και γ Bπράγμα που σημαίνει ότι πρπει ναυπολογίσει το A για 1.MMM διαφορετικούς συνδυασμούς?C, είτε

*. να /εκινήσει από κάποια NλογικήO εκτίμηση των παραμτρωνκαι να την ανα&εωρήσει σύμφωνα με κάποιον αλγόρι&μο, για ναφτάσει γρήγορα στην NτελικήO επιλογή των παραμτρων.

Kυσικά το B1C δεν είναι παρά η διαδικασία που ακολου&ήσαμε 0στενα προκύ)ουν γραφικς παραστάσεις των S και F .

Υπάρ$ει ωστόσο και μια τρίτη δ!νατότητα. ;!τή δεν είναιπαρά να $ρησιμοποιήσο!με τις γνωστ#ς μα"ηματικ#ςσ!ν"ήκες το! διαφορικο8 λογισμο8 για την ελα$ιστοποίησημιας σ!νάρτησης και να προκ8ικονομετρίας,είναι στη μ&οδο των ελα!ίστων τετραγ0νων Bδηλαδή τηνελα!ιστοποίηση αντικειμενικ0ν συναρτήσεων της μορφής S C ακρι#0ςγιατί μας επιτρπουν να !ουμε αυτή την τρίτη δυνατότητα.

Σίγουρα σε μια επο!ή που οι υπολογιστς είναι πανίσ!υροι δενφαίνεται καν επι&υμητό να είμαστε σε &ση να α/ιοποιήσουμε αυτήτην δυνατότητα. στόσο, τα πράγματα δεν είναι ακρι#0ς τσι.

-αρόλο που η μ&οδος των ελα!ίστων τετραγ0νων φαίνεταιNικανοποιητικήO και NλογικήO, σίγουρα δεν είμαστε, στο στάδιοαυτό, ##αιοι ότι η ελα!ιστοποίηση της τταρτης δύναμης τωνκαταλοίπων Bή της απόλυτης τιμής τουςC μας δίνει καλύτερα ή

8


9/83


!ειρότερα αποτελσματα. Qεν !ουμε καννα κριτήριο και καννααντικειμενικό μτρο που να είναι σε &ση να μας πει ότι πρπει ναλά#ουμε τα α , β και γ με #άση την αντικειμενική συνάρτηση S καιό!ι την F , την G ή οποιαδήποτε άλλη.

ίναι, φυσικά, αυτονόητο από τα διαγράμματα που δ0σαμε ότιδιαφορετικς αντικειμενικς συναρτήσεις &α μας δ0σουνδιαφορετική απάντηση για τα α , β και γ . Το αντικείμενο της>ικονομετρίας είναι, !ονδρικά, να προσδιορίσει συν&ήκες κάτω απότις οποίες η NεύκοληO λύση των ελα!ίστων τετραγ0νων είναι ηκαλύτερη δυνατή, όπως και να προτείνει τρόπους για τη #ελτίωσητων εκτιμήσεων Bπάλι με NεύκολουςO τρόπους αν αυτό είναι εφικτό?Cόταν η μ&οδος των ελα!ίστων τετραγ0νων /ρουμε ότι αποτυγ!άνει.

Το αντικείμενο της >ικονομετρίας, λοιπόν, είναι να &σει ορισμνακριτήρια και ορισμνα αντικειμενικά μτρα, όπως είπαμε, για να

α/ιολογήσει τις εκτιμήσεις που προκύπτουν από την ελα!ιστοποίησηδιαφορετικ0ν αντικειμενικ0ν συναρτήσεων, όπως είναι τα S και F αλλά και άλλα εναλλακτικά, 0στε να δ0σει, τελικά, στον !ρήστη τηςμε&όδου τη #ε#αιότητα ότι οι αρι&μητικς τιμς που !ρησιμοποιεί!ουν να μεγάλο #α&μό εγκυρότητας και α/ιοπιστίας.

+ &εμελίωση μιας ννοιας εγκυρότητας και α/ιοπιστίας είναι,ουσιαστικά, μεγάλο μρος της δουλειάς που κάνουμε στη:εωρητική 'ικονομετρία:

Τι ακρι#0ς σημαίνει εγκυρότητα και α/ιοπιστίαR -οιες αντικειμενικς συναρτήσεις μας οδηγούν σε εγκυρότητα και

α/ιοπιστία και κάτω από ποιες προSπο&σειςR Τι κάνουμε όταν οι προSπο&σεις αυτς δεν ισ!ύουν και πως

/ρουμε αν ισ!ύουν στην πρά/η ή ό!ιR

Στην Εφαρμοσμ#νη 'ικονομετρία ασ!ολούμαστε #ασικά με δυοπράγματα:

Tρησιμοποιούμε αυτά τα &εωρητικά αποτελσματα για ναυπολογίσουμε αρι&μητικς τιμς των παραμτρων Bόπως τα α, #και γC που είναι, στο μτρο του εφικτού, γκυρα και α/ιόπιστα μετην ννοια ότι προρ!ονται από μια διαδικασία εκτίμησηςBδηλαδή, από μια αντικειμενική συνάρτησηC που δίνει γκυρα καια/ιόπιστα αποτελσματα κάτω από γνωστς προSπο&σεις καιεπίσης

ασ!ολούμαστε με τον #α&μό στον οποίο οι γνωστς αυτςπροSπο&σεις, ισ!ύουν στην εφαρμογή μας.

9


10/83


&ια άλλη ερμηνεία το! γραμμικο8 !ποδείγματος

'ς υπο&σουμε ότι !ουμε να τυ!αίο δείγμα 1 2, , , ny y yL που

παριστάνει τη #α&μολογία n φοιτητ0ν. Σύμφωνα με τα όσα !ουμε

πει μ!ρι τ0ρα, μια υπό&εση που &α μπορούσαμε να κάνουμε, είναιότι:

2 , :@i µ σ y , για κά&ε 1, ,i n= L ,

δηλαδή η #α&μολογία ενός φοιτητή προρ!εται από την κανονικήκατανομή με μσο µ και διακύμανση 2σ . Kυσικά, κά&ε φοιτητής &απάρει τελικά διαφορετικό #α&μό, αλλά ο στατιστικός νόμος πουκα&ορί"ει την #α&μολογία Bπριν αυτός παρατηρη&είC είναι ο ίδιος γιακά&ε φοιτητή. + προσγγιση αυτή, δεν είναι ικανοποιητική, γιατί δεν

λαμ#άνει υπό)η το προφανς γεγονός ότι η #α&μολογία ενός φοιτητήκα&ορί"εται από το πόσες 0ρες !ει δια#άσει, 2e.e'3! 4&'3,)!.

-! νας φοιτητής που !ει δια#άσει 1H 0ρες δεν είναι πι&ανό ναπάρει τον ίδιο #α&μό με ναν που !ει δια#άσει μόνον H. πειδή όμωςδεν μπορεί να αποκλεισ&εί ότι &α πάρουν τον ίδιο #α&μό, μια σωστήδιατύπωση &α ήταν: + αναμενόμενη #α&μολογία ενός φοιτητή που!ει δια#άσει 1H 0ρες &α είναι μεγαλύτερη από την αναμενόμενη#α&μολογία ενός φοιτητή που !ει δια#άσει H 0ρες.

'ν συμ#ολίσουμε τους φοιτητς με 1 και *, αυτό που λμε, είναι απλά

ότι 21 µ µ > . 'υτό, όμως, σημαίνει ότι &α πρπει να !ουμε διαφορετικόμσο για κά&ε φοιτητή και τσι να !ουμε το υπόδειγμα:

( )2 ,@i i µ σ y , 1, ,i n= L .

Jια να εισάγουμε την ννοια ότι οι 0ρες δια#άσματος ασκούν &ετική

επίδραση στην μση #α&μολογία, ας συμ#ολίσουμε με i x τις 0ρες

δια#άσματος του φοιτητή i . Uπο&τουμε ότι τα i x είναι δεδομνες

στα&ερς Bδηλαδή δεν είναι τυ!αίες μετα#λητς όπως τα iy , διότι π!

ρωτήσαμε τους φοιτητς και μας απάντησαν πόσες 0ρες προτί&ενταινα δια#άσουνC. Τότε, μπορούμε να υπο&σουμε ότι:

;i i x µ α β + × , 1, ,i n= L ,

δηλαδή να υπο&σουμε μια απλή γραμμική σ!ση ανάμεσα στη μ#ση#α&μολογία και τις 0ρες δια#άσματος. Kυσικά, &α περιμναμε A>β .+ ερμηνεία του α είναι ότι αποτελεί τη μση #α&μολογία αν κανείς

1A


11/83


δεν δια#άσει κα&όλου Bπου &α μπορούσε ίσως να είναι 1C. $!ουμελοιπόν το !πόδειγμα:

( )2 ,@i i xα β σ + ×y , 1, ,i n= L . B1C

Το υπόδειγμα αυτό μπορούμε να το γρά)ουμε και στη μορφή:

i i i X α β = + × +y u αν iu είναι νας στο!αστικός όρος με κανονικήκατανομή 29A, : σ και τσι !ουμε ακρι#0ς το γραμμικό υπόδειγμα.

> μόνος περιορισμός αυτής της προσγγισης, είναι η κανονικότητατων iu που δεν !ουμε στο προηγούμενο γραμμικό υπόδειγμα. Kυσικάμπορούμε να ερμηνεύσουμε την B1C κάπως πιο ελεύ&ερα και να μηνυπο&σουμε κανονική κατανομή αλλά μόνο ότι τα iu !ουν μσο M

και διακύμανση 2σ .V

Ε=;>&'Γ- 1. ?'('Τ@Κ- :ΕA>@; Τ'Υ B>-&;Τ'(

Σαν να άλλο παράδειγμα, ας ε/ετάσουμε τη σ!ση ανάμεσα στοεπίπεδο των τιμ0ν B ! C και τη προσφορά !ρήματος B " C. Σύμφωνα μετην ποσοτική &εωρία του !ρήματος, !ουμε Y ! # " ⋅=⋅ , όπου # είναιη τα!ύτητα κυκλοφορίας του !ρήματος και Y είναι το πραγματικόεισόδημα.

Pε την υπό&εση ότι η τα!ύτητα κυκλοφορίας και το πραγματικόεισόδημα είναι στα&ερά, !ουμε " $ ! ⋅= όπου Y # $ B= , είναι μιαστα&ερά. φόσον " $ ! CoDCoDCoD += είναι σαφς ότι μια 1W μετα#ολήστη ποσότητα !ρήματος &α !ει σαν αποτλεσμα μια 1W αύ/ηση στοεπίπεδο των τιμ0ν.

-ραγματικά σε όρους διαφορικ0ν !ουμε " d ! d CoDCoD = όπου ! d! ! d BCoD = και " d" " d BCoD = , σύμφωνα με γνωστς ιδιότητες των

διαφορικ0ν της λογαρι&μικής συνάρτησης.

(ατά συνπεια ο ρυ&μός μετα#ολής της προσφοράς !ρήματος πρπεινα είναι ίσος με τον ρυ&μός μετα#ολής των τιμ0ν. πομνως, αν

CoDt t y d ! = και CoDt t x d " = είναι οι ρυ&μοί μετα#ολής για το τος t , η

ποσοτική &εωρία μπορεί να ελεγ!&εί στα πλαίσια του γραμμικούυποδείγματος:

;t t t xα β + × +y u .

4 ε* &(ε! %&σ!"σ!6#' λ#$%' $!" %* %(%% 5 )!"6F"*σ5 *" 5* εG""! 6"! "& "(# 6(%!"

ε"Hλ5 5* I λλ5: ε6#' "(# % #! 5 "*λ&σ5 $*ε"! (!% (ε(λ%65. * 5 )!"6F"*σ5 )ε* ε*"!σ"+ε "λλ ε"Hλλε"! "(# (""5σ5 σε (""5σ5 )5λ") "(# %!5 σε %!5: 0%&ε %φαινόμενο της ετεροσκεδαστικότητας #(=' +" )%Fε σ" ε(#ε*".

11


12/83


Συγκεκριμνα η ποσοτική &εωρία &α ισ!ύει αν Aα = και 1β = .-ροσ/τε ότι αν A=α και 1=β , η ποσοτική &εωρία δεν &α ισ!ύειακρι#0ς, αφού επιτρπουμε κάποιες αποκλίσεις από την &εωρία στην

μορφή των σφαλμάτων t u .

+ μορφή της ποσοτικής &εωρίας που &α ισ!ύει είναι t t t x= +y u ή

t t t y x− = u , δηλαδή μπορούμε να !ουμε αποκλίσεις, αλλά αυτς &αείναι τυ!αία σφάλματα, ό!ι κάποιοι συστηματικοί παράγοντες που &ακαναν την &εωρία να μην ισ!ύει.

'ν ε/ετάσουμε λληνικά στοι!εία της περιόδου 1XYM51XXZ, !ουμε τοεπόμενο διάγραμμα.H

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

>ι κύκλοι δίνουν τα πραγματικά στοι!εία Bτα "εύγη t y και t x που

!ουμε στα στοι!είαC. Το διάγραμμα δίνει επίσης τη διαγ0νιο τουκουτιού, επάνω στην οποία &α πρεπε να είναι όλα τα δεδομνα αν ηποσοτική &εωρία ήταν ακρι5#ς σωστή. + διαγ0νιος αυτή προκύπτειαν !ουμε A=α , 1=β και A=u .

%πως είπαμε η εκδο!ή που μας ενδιαφρει &α είναι λιγότερο αυστηρήκαι επιτρπει κάποια σφάλματα, άρα το ερτημα πο! τελικά μας

> !" % ε((ε)% !/*, 5σ!%(%!+56ε % )ε65' !/* 6""*"λ=. !" 5* (%σ#5" "%',

5σ!%(%!+56ε % " ε 5* ε&ε" 0**%!" $*=σ# σ"* J4. K" σ%!ε", (%0%*"! "(# %&' EMN+*!6%F' O%$"!"σ%F' %& PQNR< +*", 1999:. K% )!"%!6# d" (%σε$$Sε"! ε 5* )!"% " t-

" t-1.

12

x

y


13/83


ενδιαφ#ρει* διαμορφνεται ως ε%ής/ Είναι η διαγνιος μιαλογική περιγραφή α!τν των δεδομ#νωνC

Pε άλλα λόγια η υπό&εση A=α και 1=β φαίνεται να ισ!ύει με #άσητα στοι!είαR

Ε=;>&'Γ- 4. '@Κ'D'&@Κ- (ΥΓΚE@(- (Τ-D ΕΥ>A?-

+ διαδικασία της οικονομικής σύγκλισης αναφρεται στη δυνατότηταδιαφόρων οικονομι0ν να μει0νουν τις διαφορς τους και να τείνουνσε κάποια κοινή κατάσταση ισορροπίας. %πως είναι γνωστό, σε νασύνολο οικονομι0ν κάποιες &α !ουν υ)ηλά επίπεδα εισοδήματοςκατά κεφαλή Bστω x C και κάποιες άλλες &α !ουν !αμηλά επίπεδα.Jια να συγκλίνουν τα κατά κεφαλή εισοδήματα &α πρπει οιNφτω!ςO !0ρες να αναπτύσσονται τα!ύτερα από τις NπλούσιεςO,διαφορετικά δεν &α υπάρ!ει η δυνατότητα να φ&άσουν σε κάποιο

κοινό επίπεδο.

πομνως αν ε/ετάσουμε ναν αρι&μό !ωρ0ν και πάρουμε σαν #άσητα κατά κεφαλή εισοδήματα του 1XYM, τότε &α πρπει οι ρυ&μοίανάπτυ/ης των !ωρ0ν με !αμηλό εισόδημα Bμσοι όροι αςυπο&σουμε στην περίοδο 1XY151XX1C να υπερ#αίνουν τους ρυ&μούς

των !ωρ0ν με υ)ηλό εισόδημα. $στω λοιπόν ότι i y είναι ο μσος

ρυ&μός ανάπτυ/ης της !0ρας i στην περίοδο 1XYH5*MMM και i x το

αρ!ικό επίπεδο του πραγματικού κατά κεφαλή εισοδήματος το 1XYM. 'ν !ουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

;i i i xα β + × +y u ,

τότε η σύγκλιση απαιτεί A


14/83


Γερμανία ,1VX *,YM Ιρλανδία 1,H\* ,VM Ιταλία *,1XY ,M Λουξεμβο

ύργο ,\*V *,VM

Ολλανδί

α

*,X1\ *,HM

Νορβηγία *,Y\1 ,*M Ισπανία 1,HMM ,ZM Σουηδία ,YM *,1M Αγγλία ,*YV *,MM Ελλδα 1,MMM ,\M

Το αρ!ικό εισόδημα του 1XYM είναι εκφρασμνο σε όρους τηςλλάδας.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4

X

Y

+ ευ&εία στο διάγραμμα αυτό είναι απλά μια ευ&εία πουNπροσαρμό"εται καλάO στα στοι!εία σύμφωνα με μια ννοια που &αε/ετάσουμε στα επόμενα. Kαίνεται, πραγματικά, ότι υπάρ!ει μια

αρνητική σ!ση ανάμεσα στον ρυ&μό ανάπτυ/ης και το αρ!ικόεισόδημα.

Το ερτημά μας εδ είναι αν η παράμετρος είναιστατιστικά διαφορετική από το μηδ#ν, με την ίδια ννοια πουστον λεγ!ο του μσου δεν μας ενδιφερε αν η αρι&μητική τιμή τουδειγματικού μσου είναι αρνητική ή &ετική, αλλά αν μπορούμε ναυποστηρί/ουμε ότι A


15/83


'πό τις δυο προηγούμενες εφαρμογς, πρπει να είναι σαφς ότισημαντικά οικονομικά "ητήματα μπορούν να ε/ετασ&ούν με τη !ρήσηστατιστικ0ν με&όδων στα πλαίσια του απλού γραμμικούυποδείγματος.

-ριν συνε!ίσουμε με τον στατιστικό λεγ!ο της &εωρίας, &α πρπεινα μελετήσουμε περισσότερο τη φύση του γραμμικού υποδείγματοςκαι τη διαδικασία με την οποία &α εκτιμήσουμε τις άγνωστεςπαραμτρους α και β . Σαν παράδειγμα, &α συνε!ίσουμε να !ουμετη (εSνσιανή συνάρτηση κατανάλωσης.

'φού !ουμε στοι!εία για την κατανάλωση t y και το εισόδημα t x και

!ουμε κάνει κάποια υπό&εση για το ποια είναι η συνάρτησηκατανάλωσης, είναι λογικό να "ητήσουμε να εκτιμήσο!με τιςπαραμ#τρο!ς α και β* με βάση τα στοι$εία πο! #$ο!με.

στόσο οι τιμς του iu δεν είναι γνωστς: -ροφαν0ς, δεν /ρουμε

ούτε ποιοι μη συστηματικοί παράγοντες !ουν παραλειφ&εί από τουπόδειγμαZ ούτε ποια είναι τα ακρι#ή σφάλματα μτρησης στηνκατανάλωση. Jια τον λόγο αυτό, πάντοτε &α υπάρ!ουν κάποιασφάλματα στην ε/ίσωση, με αποτλεσμα να μην #ρίσκονται όλες οιπαρατηρήσεις ακριβς πάνω στην ευ&εία.

Jια τον λόγο αυτό αντιμετωπί7ο!με τα σφάλματα FG σαντ!$αίες μεταβλητ#ς πράγμα που αυτόματα κάνει την κατανάλωση

να είναι και αυτή τυ!αία μετα#λητή. Pια συ!νή ερ0τηση, είναι:

-ως είναι δυνατόν η κατανάλωση να είναι τυ!αία μετα#λητή αφού!ουμε συγκεκριμνες παρατηρήσεις για την κατανάλωση που είναιαυτς και ό!ι άλλεςR + απάντηση είναι ότι οι παρατηρήσεις που!ουμε, είναι μια !λοποίηση της αντίστοι!ης τυ!αίας μετα#λητήςκαι ότι &α μπορούσαμε να εί!αμε κάλλιστα άλλες παρατηρήσεις πουνα διαφρουν κάπως από τις υπάρ!ουσες, αν τα σφάλματα μτρησηςήταν λίγο διαφορετικά.

Pε άλλα λόγια αν είναι γνωστό ότι υπάρ!ουν σφάλματα μτρησης

στην ε/αρτημνη μετα#λητή, τότε δεν είναι δυνατόν να &εωρήσουμετις παρατηρήσεις που !ουμε σαν απόλυτα σωστς αλλά πρπει νατις αντιμετωπίσουμε με κάποια σ!ετικότητα.

Qηλαδή πρπει να &εωρήσουμε ότι οι παρατηρήσεις &α μπορούσαν ναείναι λίγο διαφορετικς ]!ωρίς αυτό να σημαίνει ότι το υπόδειγμα

7 W*"' ("$%*"' (%& (""λε(ε"! "(# % &(#)ε!$" 6"! ε(%0*=' )ε* ε*"! Χ : ε*"! &(%ε=!6

σλ".

1>


16/83


δεν είναι σωστό. 'υτή η σ!ετικότητα, αντανακλάται στον τρόπο πουαντιμετωπί"ουμε τα σφάλματα και την ε/αρτημνη μετα#λητή,δηλαδή σαν τυ!αίες μετα#λητς.

1?


17/83


Y

t y

Xt y

t x

x Στο παραπάνω διάγραμμα !ουμε την ευ&εία της παλινδρόμησης, την

παρατήρηση , :t t y x και την &εωρητική τιμή:

X ; ,t t y xα β + ×

που είναι η τιμή που δίνει η παλινδρόμηση όταν ^_G^1 . + διαφορά

τους είναι το σφάλμα.

Στην συν!εια &α &εωρήσουμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα στηγενική περίπτωση που μπορεί να γραφεί στη μορφή:

;t t t α β + × +y x u , 1,2, ,t n= L .

Pε ντονα γράμματα &α συμ#ολί"ουμε στη συν!εια τις τυ!αίεςμετα#λητς και με απλά γράμματα τις υλοποιήσεις των τυ!αίωνμετα#λητ0ν Bδηλαδή τις παρατηρήσειςC.

+ εκτίμηση των παραμτρων, στηρί"εται σε μια !πό"εση για τασφάλματα:

17

Rε=5!6 !

Y"λ%!(%

N&+ε" ("λ!*)#5σ5'

Q""5σ5

Z "*"ε*#ε*5 ! 6+ε σλ"%', ε*"! 5)0*[

( ) At =uE , $!" 6+ε 1, ,t n= L .


18/83


'ν λά#ουμε αναμενόμενες τιμς, με δεδομνη την τιμή της

ερμηνευτικής μετα#λητής σI αυτή που !ουμε, δηλαδή με δεδομνο ότιt t x=x , &α !ουμε:

( ) ( )\ ; ;t t t t t x x xα β α β + × + + ×y uE E , 1,2, ,t n= L .

'υτή ή κφραση, λγεται παλινδρόμηση. Jενικότερα:

+ σ!ση \ :t t t x xα β = + ×yE είναι σημαντική. Pας λει ότι η

αναμενόμενη τιμή της t y με δεδομνη την t x είναι γραμμική

συνάρτηση της t x , δηλαδή ότι η &εωρία Bτης κατανάλωσης π!C ισ!ύει

κατά μσον όρο. Pε άλλα λόγια, η &εωρία ισ!ύει ακρι#0ς στον μσοόρο, αλλά λόγω σφαλμάτων μτρησης στα στοι!εία και άλλουςπαράγοντες, δεν #ρίσκουμε μια ακρι#ή σ!ση στα στοι!εία.

'ς υπο&σουμε, τ0ρα, ότι οι εκτιμήσεις μας είναι Xα και Xβ . Jια τις

εκτιμήσεις αυτς μπορούμε να υπολογίσουμε:

XXX ;t t t u y xα β − − × , 1, ,t n= L ,

που λγονται κατάλοιπα της παλινδρόμησης. Τα κατάλοιπα αυτά,εκφρά"ουν την απόκλιση της μετρούμενης κατανάλωσης από την

συνάρτηση κατανάλωσης, που #ασί"εται στις εκτιμήσεις μας. 'φούπαίρνουμε την &εωρία στα σο#αρά Bδιαφορετικά, γιατί ασ!ολούμαστεμε την εκτίμηση των παραμτρων τηςRC δεν μπορεί παρά ναπιστεύουμε ότι τα κατάλοιπα αυτά &α πρπει να είναι μικρά.

Pια ερ0τηση είναι: 'φού παίρνουμε την &εωρία στα σο#αρά, γιατίτα κατάλοιπα να μην είναι ακριβς μηδ#ν* αντί να είναιαπλς μικράC

18

Παλινδρόμηση ε*"! %(%!")(%ε υπό συνθήκη "*"ε*#ε*5

! :\9 X E =Y $!" %(%!εσ)(%ε &"ε' ε"Hλ50' Y,

.

- προσ#γγιση α!τή* λ8νει το πρόβλημα πο! εί$αμε αρ$ικά*

δηλαδή ότι η κατανάλωση και το εισόδημα δεν είναιακριβς πάνω σε μια ε!"εία γραμμή.


19/83


> πρτος λόγος είναι τε!νικός: $!οντας δυο παραμτρους μόνον,δεν είναι δυνατόν να κάνουμε μηδν όλα τα n κατάλοιπα στηνπαραπάνω σ!ση. 'υτό &α απαιτούσε να ικανοποιήσουμε nε/ισ0σεις με δυο αγν0στους. 'πλ0ς, δεν είναι δυνατόν να

ικανοποιήσουμε όλες τις ε/ισ0σεις και άρα κάποια κατάλοιπα &απρ#πει να είναι μη μηδενικά.

> δε8τερος λόγος είναι ουσιαστικός: Το ότι υπάρ!ουν κάποιεςαποκλίσεις από τη &εωρία, αυτό δεν σημαίνει υπο!ρεωτικά ότι είναιλαν&ασμνη η &εωρία, αν οι αποκλίσεις αυτς εκφρά"ουν κάποιασφάλματα μτρησης ή άλλους παράγοντες που δεν !ουν σ!ση μετην ίδια τη &εωρία.

-ριν συνε!ίσουμε, είναι σκόπιμο να δούμε ποιος είναι ο ρόλος τηςστα&εράς. 'ν το υπόδειγμα δεν !ει στα&ερά, τότε A=α και επομνως

το υπόδειγμα είναι t t t y x uβ = × + , με τη συνπεια ότι η ευ&εία τηςπαλινδρόμησης &α διρ!εται από την αρ!ή των α/όνων. 'πό το επόμενο διάγραμμα, &α πρπει να είναι φανερό ότι αν τουπόδειγμα πρπει να περιλαμ#άνει στα&ερά, αλλά λαν&ασμνα τηνπαραλεί)ουμε, η προσαρμογή του υποδείγματος δεν &α είναιικανοποιητική, με την ννοια ότι η παλινδρόμηση !ωρίς στα&ερά, δενδιρ!εται τόσο κοντά από τις παρατηρήσεις όσο η παλινδρόμηση πουπεριλαμ#άνει στα&ερά.

y

19

?αλινδρόμηση με

?αλινδρόμηση $ωρίς


20/83


M x

2A


21/83


Στο σ!ήμα !ουμε μια διαγραμματική παρουσίαση του υποδείγματος.

21

Hιαγραμματική παρο!σίαση της #ννοιας της παλινδρόμησης

\ : ) y x

E y1\]1: E y2\]2: ^

]1

]2

]

!ατανομή

1 1 \ : ) y x

!ατανομή

2 2 \ : ) y x

P(# σ&*+65

0σ%' 1 1 \ : xyE

Παλινδρόμηση


22/83


Στο παραπάνω σ!ήμα !ουμε δυο σημεία 1 x και 2 x και &εωρούμε τις

κατανομς 1\ xy και 2\ xy .

>ι κατανομς αυτς, είναι στην ίδια οικογνεια, αφού είναι και οιδυο κανονικς με την ίδια διακύμανση, αλλά διαφρουν ως προς τονμσο, που στην πρ0τη περίπτωση είναι:

( ) ( )1 1 1 1\ ; ; x x xα β α β + + +y uE E ,

εν0 στη δεύτερη περίπτωση, είναι:

( ) ( )2 2 2 2\ ; ; x x xα β α β + + +y uE E .

+ ευ&εία που συνδει τους μσους αυτούς, είναι η ευ&εία της

παλινδρόμησης. πάνω στην ευ&εία αυτή, #ρίσκονται όλοι οι μσοιτης μορφής \ : xyE για οποιαδήποτε τιμή του x . >ι παρατηρήσεις 1 y

και 2 y , που πραγματικά !ουμε, δεν είναι ακρι#0ς πάνω στην ευ&εία

της παλινδρόμησης, δηλαδή δεν αντιστοι!ούν ακρι#0ς στους μσουςτων κατανομ0ν. >ι παρατηρήσεις, φαίνονται με τον κύκλο.

22


23/83


4. &Ε:'H'( ΤAD ΕE;B@(ΤAD ΤΕΤ>;ΓADAD

-οια μ&οδος εκτίμησης των παραμτρων &α ήταν λογική αν δενείναι εφικτό να ικανοποιήσουμε όλες τις ε/ισ0σειςR Pια λογική

προσγγιση, &α ήταν να επιλ/ουμε τις παραμτρους τσι 0στε τακατάλοιπα να είναι NμικράO.

'πό τη γραμμική άλγε#ρα είναι γνωστή η ννοια του μήκους ενός

διανύσματος που είναι 2

1

\\ \\n

t

t

u u=

= ∑ .

ίναι φανερό ότι αν όλα τα στοι!εία του διανύσματος είναι NμικράOτότε και το μήκος &α είναι NμικρόO . 'υτή η σκ)η, μας οδηγεί να

επιλ/ουμε σαν κριτήριο την ελα!ιστοποίηση του2

1

n

t

t

u=∑

. 'υτή είναι η

μ&οδος των ελα!ίστων τετραγ0νων ή I) B/e&!. !=)&'e!C.

+ λογική της `A, είναι να επιλ/ει εκείνη την ευ&εία που διρ!εταιπιο κοντά από τις παρατηρήσεις.

y

x

Στο παραπάνω διάγραμμα, η ευ&εία αυτή &α ήταν η ευ&εία N1O.

'ς υπο&σουμε, καταρ!ήν, ότι !ουμε το υπόδειγμα !ωρίς στα&ερά:

23


24/83


;t t t y x uβ × + .

-οια τιμή του β είναι εκείνη που ελα!ιστοποιεί το ά&ροισμα των

τετραγ0νων των καταλοίπων ( )2

1

;n

t t

t

S y xβ

=

− ×∑ R

Jιατί επιλγουμε το ά&ροισμα των τετραγ0νων των καταλοίπων καιό!ι κάποια άλλη συνάρτησηR

&ια λ8ση πο! δεν αποδίδει είναι να &εωρήσουμε το ά&ροισμα των

καταλοίπων, ( ) 1 21 1 1

;n n n

t t t t

t t t

R y x y x * * β β β = = =

− = − × = − × ÷

∑ ∑ ∑ . στόσο, η

ελα!ιστοποίηση αυτού του κριτηρίου, δεν οδηγεί σε μια λογική λύση.

'ν υπο&σουμε ότι 2 A* > , τότε μπορούμε να &σουμε ∞=β Bκαι α να!ει οποιαδήποτε τιμήC οπότε R = −∞ και &α !ουμε πετύ!ει νακάνουμε το κριτήριο όσο μικρότερο γίνεται. %πως είπαμε ήδη, αυτή ηλύση δεν είναι λογική.

φόσον το ίδιο μπορεί να δει!&εί ότι &α ισ!ύει για οποιαδήποτε

περιττή δύναμη, δηλαδή για τα κριτήρια ( )3

3

1

;n

t t

t

R y xβ =

−∑ ,

( )>

>

1

;n

t t

t

R y xβ =

−∑ κλπ, η μόνη λύση είναι να &εωρήσουμε άρτιεςδυνάμεις και μια από αυτς είναι το τετράγωνο που οδηγεί στοκριτήριο S .

> λόγος για τον οποίο δεν &εωρούμε την τταρτη ή άλλη άρτιαδύναμη Bή ακόμα το ά&ροισμα των απόλυτων καταλοίπωνC είναι ότιμόνο με το κριτήριο S οδηγούμαστε σε απλ#ς αναλ!τικ#ς λ8σεις.

+ συν&ήκη πρ0της τά/ης για ελα!ιστοποίηση του S , είναι AdS

d β = και

μας δίνει:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 2 2

1

; ; ;n

t t n n

t

dS d d y x y x y x y xd d d

β β β β β β β =

− × − + − + + − ∑ L

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 21

2 2 2 2n

n n n t t t

t

y x x y x x y x x y x xβ β β β =

− − − − − − − = − − ×∑L .

Lτοντας την παράγωγο ίση με μηδν !ουμε:

24


25/83


( ) 21 1 1

X X ; A ;n n n

t t t t t t

t t t

y x x x y xβ β = = =

− ⇒ × ⇒∑ ∑ ∑

πομνως, η εκτίμηση του β μπορεί να υπολογισ&εί πολύ απλά με

#άση τα δεδομνα t x και t y . J$ει πολ8 μεγάλη σημασία νακαταλάβει κανείς ότι παρόλο!ς το!ς περιορισμο8ς της* ηε%ίσωση α!τή #$ει μεγάλο βα"μό γενικότητας. Γιαπαράδειγμα* !πο"#σαμε ότι το !πόδειγμα δεν #$ει στα"ερά

αλλά όπως "α δο8με στη σ!ν#$εια* α!τό δεν #$ει ιδιαίτερηαναλ!τική σημασία.

-ραγματικά, ας &εωρήσουμε το πιο γενικό υπόδειγμα t t t Y X uα β = + × + .> λόγος για τη !ρήση κεφαλαίων γραμμάτων a και b &α γίνειφανερός στα επόμενα.

Lα επιλ/ουμε τα Xα και Xβ , ελα!ιστοποι0ντας το ά&ροισμα των

τετραγ0νων των καταλοίπων:

2

1

9 , : 9 : ,n

t t

t

S Y X α β α β

=

= − − ×∑το οποίο, αν γραφεί αναλυτικά, είναι:

9 , :S α β = 2 2 21 1 2 29 : 9 : 9 : .n nY X Y X Y X α β α β α β − − × + − − × + + − − ×L

>ι μα&ηματικς συν&ήκες για την ελα!ιστοποίηση αυτής τηςσυνάρτησης ως προς α και β , είναι:

XX9 , :A

S α β

α

∂=

∂ και

XX9 , :A

S α β

β

∂=

∂.

Lα !ουμε:

2 2 2

1 1 2 2

9 , :9 : 9 : 9 :n n

S Y X Y X Y X

α β α β α β α β

α α

∂ ∂ = − − × + − − × + + − − × ∂ ∂

L G

1 1 2 229 : 29 : 29 :n nY X Y X Y X α β α β α β − − − × − − − × − − − − ×L G

2>

1

2

1

X

n

t t t n

t t

x y

x

β =

=

= ∑∑


26/83


1

2 9 :n

t t

t

Y X α β =

− − − ×∑και:

2 2 2

1 1 2 2

9 , :

9 : 9 : 9 :n nS

Y X Y X Y X

α β

α β α β α β β β

∂ ∂

= − − × + − − × + + − − × ∂ ∂ L

G

1 1 1 2 2 229 : 29 : 29 :n n nY X X Y X X Y X X α β α β α β − − − × × − − − × × − − − − ×L G

1

2 9 : .n

t t t

t

Y X X α β =

− − − × ×∑

Lτοντας τις παραγ0γους ίσες με μηδν Bυπολογισμνες στις

εκτιμήσεις `A που καλούμε Xα και Xβ C !ουμε τις λεγόμενες

κανονικ#ς ε%ισσεις:

( )1

XX ; A,n

t t

t

Y X α β =

− − ×∑

( )1

XX ; A.n

t t t

t

Y X X α β =

− − × ×∑

+ πρ0τη κανονική ε/ίσωση σημαίνει ότι το ά&ροισμα τωνκαταλοίπων Bάρα και το μσο κατάλοιποC &α είναι πάντοτε μηδν ανυιο&ετήσουμε τη μ&οδο `A.

φαρμό"οντας τα α&ροίσματα σε κά&ε όρο /ε!ωριστά στην πρ0τη

ε/ίσωση !ουμε:

1 1

XX ,n n

t t

t t

Y n X α β = =

= × + ×∑ ∑

'ν διαιρσουμε και τα δύο μλη με n , !ουμε:

1 1

1 1

XX ,n n

i t n n

t t

Y X α β = =

= −∑ ∑ή

'πό την ε/ίσωση αυτή, είναι φανερό ότι αρκεί να προσδιορίσουμε τοXβ 0στε να !ουμε κατευ&είαν το Xα . + ε/ίσωση για το Xα μας λει ότι

2?

XX .Y X α β = − ×


27/83


η ε!"εία δι#ρ$εται οπωσδήποτε από το σημείο των μ#σων

( ), X Y , δηλαδή !ουμε:

XXY X α β = + .

'ντικα&ιστ0ντας στην δεύτερη κανονική ε/ίσωση, &α !ουμε Bμετάαπό κάποιες πρά/ειςC:

όπου t t y Y Y = − και t t x X X = − είναι οι αποκλίσεις των δεδομ#νωναπ το!ς μ#σο!ς το!ς. πομνως, ακόμη και αν !ουμε ναυπόδειγμα με στα&ερά, μπορούμε να !ρησιμοποιήσουμε τη γνωστή

σ!ση για το Xβ , αρκεί τα x και y να είναι οι αποκλίσεις τωνστοι!είων απI τους μσους τους. 'υτή είναι μια &εμελι0δης σ!ση.

+ σ!ση αυτή, !ει μεγάλο #α&μό γενικότητας και μπορεί πολύ

εύκολα να γενικευ&εί σε να υπόδειγμα με $ ερμηνευτικςμετα#λητς. Qεν &α δ0σουμε την απόδει/η στο σημείο αυτό, αλλάα/ί"ει να /αναγρά)ουμε την παραπάνω σ!ση σε μια διαφορετικήμορφή:

( )1X x x x yβ

−′ ′= ,

όπου:

1

2 ;

n

x

x x

x

M και

1

2 ;

n

y

y y

y

M ,

είναι οι παρατηρήσεις μας με τη μορφή διανυσμάτων. Kυσικά

2

1

n

t

t

x x x=

′ = ∑ και1

n

t t

t

x y x y=

′ = ∑ , απI τον ορισμό του εσωτερικού γινομνου.

27

1 1

2 2

1 1

9 : 9 :X .

9 :

n n

t t t t

t t

n n

t t

t t

X X Y Y x y

X X x

β = =

= =

− × −= =

−

∑ ∑

∑ ∑


28/83


πίσης, x x′ δεν είναι παρά το BυκλείδειοC μήκος x τουδιανύσματος x . -ροφαν0ς, πρπει A x x′ ≠ .

>ρισμνες πρά/εις, μας δίνουν μια εναλλακτική μορφή:

1

2 2

1

X

n

t t

t

n

t

t

X Y nXY

X nX

β =

=

−=

−

∑

∑,

η οποία μπορεί να είναι !ρήσιμη αν &λουμε να !ρησιμοποιήσουμε τα

αρ!ικά μας δεδομνα για τον υπολογισμό του Xβ αντί για αποκλίσεις

απI τους μσους.

Ε=;>&'Γ- K. (ΥD;>Τ-(- Κ;Τ;D;EA(-( Γ@; Τ-D ΕEE;H;

>?e )!e! !.&.3!.32! &! & *')@e +& )!e! /&+4A4(!.! B(' !)44('.'&.%e' .%& 3//)+3&.3(C> A =8cι σ!ετικοίυπολογισμοί της μήτρας x x′ , της αντιστροφής της και τουπολλαπλασιασμού της με το x y′ γίνονται αυτόματα σε όλατα οικονομετρικά προγράμματα.


29/83


L M0,207458 0,3015970,219790 0,3385330,227379 0,3377490,239340 0,3763330,262609 0,4102940,279780 0,452298

0,297446 0,4781400,314422 0,4993460,337902 0,5337830,358087 0,5933320,389583 0,6448540,412692 0,6973200,432028 0,7578020,456636 0,8154550,449174 0,7601430,479195 0,8010280,500851 0,8446170,536610 0,8561930,572238 0,9064580,597476 0,9246440,594244 0,9218320,585457 0,8993010,599857 0,8836570,607962 0,8690670,608266 0,8821540,609764 0,9008360,599438 0,9027700,614724 0,8806090,649940 0,9165330,686533 0,9480430,700892 0,9433440,712676 0,9620100,721718 0,9580280,712220 0,9377990,722415 0,951228

0,738242 0,9663870,748485 0,9845980,763422 1,011112

?ηγή: Τα πρωτογενή στοι!εία είναι από τους hA &νικούς iογαριασμούς του U-L>.

'πό τα στοι!εία μας, υπολογί"ουμε τα ακόλου&α:

38=n , A,7?44 X = , A,>143Y = ,

2

1

23,9897n

t

t

X =

=∑ ,1

1?,3111n

t t

t

X Y =

=∑ .

(ατά συνπεια, οι εκτιμήσεις της με&όδου `A &α είναι:

1 1

2 2 2

1 1

: :X ; ; ; A,7?7

:

n n

t t t t

t t

n n

t t

t t

X X Y Y X Y nX Y

X X X nX

β = =

= =

− × − − ×

− −

∑ ∑

∑ ∑,

29


30/83


XX A,A722Y X α β = − × = − .

Τα στοι!εία και η συνάρτηση κατανάλωσης, φαίνονται στο επόμενοδιάγραμμα.

>πωσδήποτε, η αρνητική εκτίμηση για την αυτόνομη κατανάλωσηBδηλαδή το α C δεν !ει οικονομικό νόημα.\ Τι &α γινόταν ανυπο&ταμε ότι A=α R Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση για το β &αήταν:

1

2

1

X ; ; A,?799

n

t t

t

n

t

t

X Y

X

β =

=

∑∑

δηλαδή μικρότερη από την προηγούμενη εκτίμηση M,ZYZ.

Ε=;>&'Γ-. Pε ημερήσια στοι!εία της περιόδου *jXj1XXZ 5*Hj1Mj*MM1, &λουμε να εκτιμήσουμε τις παραμτρους τουυποδείγματος της αγοράς, για τις μετο$#ς της Τράπε7ας?ειραις* της Εμπορικής Τράπε7ας και το! 'ΤΕ. Σαν δείκτη

της αγοράς, λά#αμε τον απλό μσο όρο των αποδόσεων των τρι0ναυτ0ν μετο!0ν, στω X . >ι αποδόσεις των μετο!0ν, συμ#ολί"ονταιμε 321 ,, Y Y Y . $!ουμε:

8 J0%' %& (%Hλ"%' ε*"! #! 5 $"!6 σ&*5σ5 6""*λ=σ5' )ε* 0ε! (%λF 6"λ (%σ"%$

#(=' "*ε"! ( "(# 5* _"&%σ&σ0!σ5` σ" 6"λ%!(", 0*"' #%' (%& )ε* +" "' "("σ%λσε! ε)/:.

J!" ε"$=*!6 σ&*5σ5 6""*λ=σ5' "*ε"! *" )*ε! 6"λFε" "(%ελ0σ"" "λλ "&# "("!εε(06"σ5 5' L σε &(%)ε$"" ε (ε!σσ#εε' "(# !" ε"Hλ50' 6"! )ε* +" "(%ελ0σε! "*!6εε*%

5' "*λ&σ' "'.

3A

0.2

0.4

0.6

0.8

0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 1. 2

X

Y


31/83


1A27=n ,1

?1,A>n

t

t

X =

=∑ , 21

>884,37n

t

t

X =

=∑ ,

1

1

1

1

82,734

?4>4,?29

n

t

t

n

t t

t

Y

X Y

=

=

=

∑

∑,

2

1

2

1

99,74>

?>73,?29

n

t

t

n

t t

i

Y

X Y

=

=

=

∑

∑,

3

1

3

1

A,?71

4?2>,1A?

n

t

t

n

t t

t

Y

X Y

=

=

=

∑

∑.

kα #ρείτε τους συντελεστς Xα και Xβ για τις τρεις μετο!ς. Τα Xα

πρπει να είναι M,M1H, M,MMZ και 5M,MVY εν0 τα Xβ πρπει να είναι

1,MXZ, 1,11Z και M,Z\Y. Τι οικονομικά συμπεράσματα προκύπτουν απότις εκτιμήσεις αυτςR

31


32/83


N. @H@'Τ-ΤΕ( ΕΚΤ@&-ΤAD ΕE;B@(ΤAD ΤΕΤ>;ΓADAD

N D παραδοσιακή στατιστική μη7ανή είναι εντελ#ς ακατάλληλη γιατις ανάγκες της πρακτικής έρευναςC E7ι μ8νο 7ρησιμοποιεί ένα καν8νι για να σκοτ#σει ένα σπουργίτι αλλά αστο7εί κι8λαςF G

περίτε7νος μη7ανισμ8ς που είναι 5ασισμένος στη ;εHρία τHν άπειραμεγάλHν δειγμάτHν δεν είναι επαρκ#ς ακρι5ής για απλάεργαστηριακά δεδομέναC I8νο με συστηματική αντιμετ#πιση τHν

προ5λημάτHν σε μικρά δείγματα Jαίνεται δυνατ8 8τι ;α μπορέσουμενα εJαρμ8σουμε ακρι5είς ελέγ7ους σε πραγματικά δεδομέναOX

>() &'e (. .%3@3LC () &'e +e'e/y ,e3L /(L32&/C> 5l


33/83


Pε άλλα λόγια, αν αντιμετωπίσουμε το X% σαν εκτιμητή, &α !ει μια

κατανομή δειγματολη)ίας. 'υτό ##αια καταρ!ήν σημαίνει ότι

διαφορετικς υλοποιήσεις των t y &α μας δ0σουν διαφορετικς

εκτιμήσειςX

β .

Jια να κατανοήσουμε αυτή τη διαδικασία ας συμ#ολίσουμε

1 2g , ,..., n ′=y y y y και την αντίστοι!η υλοποίηση με 1 2g , ,..., n y y y y ′= .Lεωρούμε το παρακάτω διάγραμμα:

r BEEEC

r BEEEC

r BEEEC

'ρ!ί"ουμε υπο&τοντας να αρι&μό υλοποιήσεων, π! >AAA= " . Jιακά&ε μία από τις " υλοποιήσεις u της u , &α !ουμε μια υλοποίηση y της y , πράγμα που δίνει μια εκτίμηση Xβ της `A ]η οποία είναι μια

υλοποίηση της X% . Συνολικά, &α !ουμε " διαφορετικς εκτιμήσεις Xβ

.

'ν παρουσιάσουμε αυτς τις " τιμς σε να ιστόγραμμα, αυτό &απαριστάνει τη κατανομή δειγματολη)ίας του X% . ίναι σαφς ότι η

παραπάνω διαδικασία παρ!ει τη #άση για να διερευνήσουμε τιςστο!αστικς ιδιότητες των εκτιμητ0ν `A, δηλαδή να διερευνήσουμετις ιδιότητες της κατανομής δειγματολη)ίας, όπως τον μσο και τηνδιακύμανση.

33

Pλ%(%5σ5

1

Pλ%(%5σ5

2

Pλ%(%5σ5

J

Pλ%(%5σ5

1

Pλ%(%5σ5

2

Pλ%(%5σ5

J

Pλ%(%5σ51

Pλ%(%5σ52

Pλ%(%5σ5J


34/83


%λες οι αποδεί/εις είναι στο -αράρτημα. 'υτό που είναι σημαντικόστο στάδιο αυτό, είναι να κατανοήσει κανείς τις υπο&σεις κάτω απότις οποίες ισ!ύουν οι ιδιότητες που &α παρουσιάσουμε.

Pε την υπό&εση ότι τα σφάλματα !ουν μσο μηδν, δηλαδή : At =uE

Bγια κά&ε 1,..,t n= C ο εκτιμητής της με&όδου À είναι αμερόληπτος,δηλαδή X : β =%E .

Pε τη πρόσ&ετη υπό&εση ότι τα σφάλματα είναι ανε/άρτητα και

!ουν στα&ερή διακύμανση, δηλαδή : At (× =u uE Bγια t (≠ C και2 2 :t σ =uE η διακ8μανση του εκτιμητή À είναι ως ε/ής:

22

X

2

1

X :n

t

t

ar

x

σ σ

=

≡ =

∑%

%V.

Pε την πρόσ&ετη υπό&εση ότι τα σφάλματα !ουν την κανονικήκατανομή ή ότι το μγε&ος του δείγματος είναι μεγάλο B ∞→n ήπρακτικά 3A≥n C, οι εκτιμητς À !ουν την κανονική κατανομή μετις ροπς που !ουμε ήδη δ0σει και κατά συνπεια:

Pε #άση το συμπρασμα αυτό είναι δυνατόν να κάνουμε λεγ!ο

υπο&σεων για την παράμετρο β και να κατασκευάσουμεδιαστήματα εμπιστοσύνης.

$να πρό#λημα, ωστόσο, είναι ότι η διακύμανση του εκτιμητή Àε/αρτάται από την άγνωστη παράμετρο 2σ και τσι η διακύμανση δενμπορεί να υπολογισ&εί.

Jια τον σκοπό αυτό, η παράμετρος 2σ εκτιμάται με:

2

21

X

1

n

t

t

u

( n== −

∑ , όπου XXt t t

u y xβ = − × , 1, ,t n= L .

και !ουμε την εκτιμημνη διακύμανση1M

1A W*" (!% λ%$!6# σFH%λ% $!" 5* ε6!50*5 )!"6F"*σ5 +" "* · X :ar %V "λλ )ε* +" %

5σ!%(%!σ%&ε, "%F )&σ6%λεFε! σ6%(" 5* "*λ&σ5.

34

( )( )X X@ , ar β % %V


35/83


2

2

1

X : ;n

t

t

(ar

x=

∑%V

.

+ τετραγωνική ρί"α, δηλαδή το X (

% είναι γνωστό σαν τ!πικόσφάλμα του εκτιμητή.

>ι κατανομς της `A &α πρπει να τροποποιη&ούν τ0ρα που ηδιακύμανση 2σ εκτιμάται και συγκεκριμνα, &α είναι M.)*e.5. με

1n − #α&μούς ελευ&ερίας. -ιο συγκεκριμνα, η κφραση:

X

X

X9 :t

ar

β −=

%

%

%V,

είναι γνωστή σαν !Oστατιστική και !ει την κατανομή M.)*e.5. με1n − #α&μούς ελευ&ερίας.11 Το αποτλεσμα αυτό είναι πολύ σημαντικό

στον λεγ!ο υπο&σεων για συγκεκριμνες τιμς του β .-! για να ελγ/ουμε την 1[A =β + !ρησιμοποιούμε τη στατιστική

X

X 1

X :t

ar

−=

%

%

%V η οποία, αν η A + είναι σωστή, !ει τη κατανομή M.)*e.5

. με 2−n #α&μούς ελευ&ερίας. 'ν η εναλλακτική υπό&εση είναι τηςμορφής 1[1 ≠β + &α απορρί)ουμε την A + σε επίπεδο

σημαντικότητας1* ε αν X 1, 1 B 2\ \ nt t ε − −≥% όπου 1, 1 B 2nt ε − − είναι η κριτική τιμή

της κατανομής M.)*e.5. με 2−n #α&μούς ελευ&ερίας μ!ρι την οποίαυπάρ!ει πι&ανότητα 2B1 ε − .

+ οικονομική ερμηνεία του ελγ!ου υπο&σεων αυτής της μορφήςείναι ότι ελγ!ουμε αν η ερμηνευτική μετα#λητή πραγματικάεπηρεά"ει την ε/αρτημνη μετα#λητή. 'ν δε!&ούμε ότι 5GM αυτόσημαίνει ότι η μετα#λητή ^ δεν επηρεά"ει την μετα#λητή 0 .

&ε την #ννοια α!τή* ο #λεγ$ος !πο"#σεων αντιστοι$εί σε#λεγ$ο της οικονομικής "εωρίας.

'ν !ουμε π! μια οικονομική &εωρία, που λει ότι η μετα#λητή xπροσδιορί"ει την y και #ρε&εί ότι A=β , τότε δεν είναι δυνατόν ναδε!&ούμε τη &εωρία.

11 j&σ!6, $!" n3A (%ε *" 5σ!%(%!5+ε (%σε$$!σ!6 5 &(!6 6"*%*!6 6""*%.12 ε* σ&H%λS%&ε % ε((ε)% σ5"*!6#5"' ε " $!" *" "(%F$%&ε *" σ&$0ε"! ε 5 σ"+ε %&

$"!6%F &(%)ε$"%'.

3>


36/83


Kυσικά με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να !ουμε μονοκατάληκτεςεναλλακτικς υπο&σεις. > λεγ!ος υπο&σεων στο γραμμικόυπόδειγμα μπορεί να δο&εί συνοπτικά ως ε/ής:

Στο γραμμικό υπόδειγμα t t t xβ = × +y u , εκτιμούμε την παράμετρο β με

τη μ&οδο `A και !ουμε την εκτίμηση Xβ και το τυπικό της σφάλμα X (%.

$να τυπικό δείγμα αποτελεσμάτων υπολογιστή, με το πακτο 1N3eO!,μα"ί με την ερμηνεία των αποτελεσμάτων τα οποία παρ!ει, φαίνεταιπαρακάτω. '/ί"ει, ίσως, να επισημάνουμε την ννοια της 45τιμήςστον λεγ!ο των παραμτρων του γραμμικού υποδείγματος.

- "Oτιμή είναι το ελά$ιστο επίπεδο εμπιστοσ8νης στο οποίομπορο8με να απορρί


37/83


Dependent Variable: YMethod: ea!t "#$are!"a%ple: 1 70

&n'l$ded ob!er(ation!: 70

Variable )oe**i'ient "td. +rror t"tati!ti' -rob.

) 0.002095 0.012340 0.169788 0.8657X 0.123126 0.012309 10.00290 0.0000

!#$ared 0.595378

37

N6!σε!'

LK&(!6

σλ""

t -σ"!σ!60' (%& (%%F* *"

5σ!%(%!5+%F* "(ε&+ε"'$!" %* 0λε$% #! 5

"*σ%!5 ("ε%' ε*"!

5)0*. Z σ"+ε ε*"! 5)0*

"λλ #! 6"! 5 6λσ5 σε >l:.

,-!0' =* t -σ"!σ!6/*.

* !" ! , ε*"! !6!6#ε5 %& A,A>: 5

("ε%' )!"0ε! "(# %

5)0* σε >l.

&*ελεσ'

(%σ)!%!σ%F 2. K%

&(#)ε!$" εG5$ε %>9,>l 5'

)!"6F"*σ5' 5' P.


38/83


πίσης, είναι απλό να αποδεί/ουμε τη σ!ν#πεια του εκτιμητή X% .

> συγκεκριμνος ορισμός, λει απλά, ότι κα&0ς το μγε&ος τουδείγματος, =, τείνει στο άπειρο, ο εκτιμητής δεν πρόκειται ναδιαφρει πολύ απtτην παράμετρο Bδηλαδή ό!ι περισσότερο από εC.Kυσικά, το νόημα του ορισμού είναι ότι μπορούμε να κάνουμε το εόσο μικρό &λουμε, για παράδειγμα 1M5Y.

πίσης, X n β ε −


39/83


Bγια κά&ε 1, ,t n= L C η διακύμανση του εκτιμητή είναι

2

2

1

X : An n

t

t

ar

x

σ

=

= →

∑%V

όταν ∞→n εφόσον2

1

Cimn

t n

t

x→∞

=

= ∞∑ . πομνως, XCim :n , β =% και οεκτιμητής είναι συνεπής.

Pια περίπτωση στην οποία η συνπεια μπορεί να μην ισ!ύει, είναι

όταν π! 1Bt x t = B 1, , :t n= L . 'συμπτωτικά, όλες οι τιμς του t x είναιπολύ κοντά στο μηδν και η διακύμανση είναι μηδν, οπότε η

συν&ήκη2

1

Cimn

t n

t

x→∞

=

= ∞∑ δεν μπορεί να ικανοποιείται.+ συν&ήκη αυτή σημαίνει απλά ότι για να μπορσουμε ναεκτιμήσουμε με συνπεια μια ε/ίσωση παλινδρόμησης, &α πρπει να

!ουμε όσο γίνεται μεγαλύτερη διασπορά στα t x .

Στην ακραία περίπτωση που όλα τα t x είναι ίσα μετα/ύ τους, &α

!ουμε t x c= Bγια κά&ε 1, ,t n= L , όπου c είναι κάποια στα&εράC καιεπομνως !ουμε:

( ) t t t t t t t x c * α β α β = + + ⇒ = + + ⇒ = +y u y u y u ,

και το μόνο που μπορούμε να εκτιμήσουμε είναι τη γενική στα&ερά* cα β = + .

Pια άλλη περίπτωση στην οποία η συν&ήκη που μόλις προσδιορίσαμε

δεν ισ!ύει είναι όταν π! !ουμε at x t = , για 1, ,t n= L και A 1a< < , π!

12

a = οπότε t x t = . Τότε2

1

Cimn

t n

t

x→∞

=

< ∞∑ . 'υτό, ωστόσο, δεν σημαίνειαπαραίτητα ότι ο εκτιμητής `A αποκλείεται να είναι συνεπής BγιατίRC.

Τ' ;?E' Υ?'HΕ@Γ&; Τ'Υ &Ε('Υ (;D &Ε>@Κ- ?Ε>@?ΤA(-

Pια εναλλακτική προσγγιση στα παραπάνω, είναι να &εωρήσουμεαπευ&είας το γραμμικό υπόδειγμα !ωρίς ερμηνευτική μετα#λητή,δηλαδή:

t t β = +y u

39


40/83


και να εκτιμήσουμε την παράμετρο α με τη μ&οδο `A, δηλαδή

ελα!ιστοποι0ντας τη συνάρτηση2

1

:n

t

t

- y β =

= −∑ . Kυσικά, αυτό είναιαπλά μερική περίπτωση του υποδείγματος t t t xβ = × +y u με 1t x = , για

κά&ε 1, ,t n= L . πομνως, 21

n

t

t

x n=

=∑ και 1 1n n

t t t

t t

x y y= =

=∑ ∑ με συνπεια να

!ουμε κατευ&είαν 1

1

Xn

t n

t

y yβ =

= =∑ .

πίσης, !ουμε:

2 2

2

1

X :n

t

t

ar n

x

σ σ

=

= =

∑%V

ή 2X : Bar n=% &V αν εκτιμη&εί, οπότε

η κατάλληλη στατιστική για να ελγ/ουμε την υπό&εση ότι A A[ β β =

Bόπου Aβ είναι μια γνωστή τιμήC &α είναι: A AX X

X B : n#ar

β β − −=% %&%, αν η A +

είναι σωστή.

4A


41/83


P. ?>'(;>&'Γ- Τ-( ?;E@DH>'&-(-(

PQ%e'e &'e .%'ee @3*! (B /3e!: R3e!- S&+ R3e!- &* M.&.3!.32!CT ]wmnce


42/83


43/83


Jια να μην υπάρ!ει καμιά αμφι#ολία, ας &εωρήσουμε τις ακόλου&ες1M παρατηρήσεις:

/ 10,12042 0,150645 9,983820 1,183424 9,281374 0,214647 9,136090 1,109765 11,42517 1,249125 9,262155 0,425001 8,724547 0,242983 9,683760 1,145942 8,800806 0,836925 8,619788 0,714011

Τα αποτελσματα της εκτίμησης, φαίνονται στη συν!εια:

Dependent Variable: YMethod: ea!t "#$are!"a%ple: 1 10&n'l$ded ob!er(ation!: 10

Variable )oe**i'ient "td. +rror t"tati!ti' -rob.

X 3.906866 3.562804 1.096571 0.3013

!#$ared 123.207746 Mean dependent (ar 9.503793 d$!ted !#$ared 123.207746 ".D. dependent (ar 0.847262".+. o* rere!!ion 9.442610 aie in*o 'riterion 7.422981"$% !#$ared re!id 802.4660 "'har 'riterion 7.453240o lielihood 36.11491 D$rbinat!on !tat 0.135929

Jια να αναπαράγετε εύκολα αυτά τα αποτελσματα στο 1N3eO!,μπορείτε απλά να δ0σετε τις επόμενες εντολς:

rnd!eed 12enr nrndenr /10nrnd

l! / !ho / l! /

ρος της λ8σης το! Rπαραλόγο!S είναι να !πολογί7ο!μεπάντα το Q 4 σαν το τετράγωνο το! σ!ντελεστή σ!σ$#τισηςμετα%8 των 2 και 0.

43


44/83


45/83


Y XY XY Y − XY Y − Xu 2Xu11 X M M * VX \ 51 1

1 1

1M 11 * V 5

1

1

H \ 51 1 5

X

1M X M M1

1

T"ρ.

VH M Y M 1Y

+ εκτίμηση της διακύμανσης των καταλοίπων, &α είναι

2

2 1

X

1? 41 4

n

t

t

u

(n== = =−

∑. πομνως, η διακύμανση του εκτιμητή `A για το

β ,

&α είναι

22

X2

1

4A,???

?n

t

t

( (

x=

= = =

∑% και το τυπικό σφάλμα είναι

X A, ??? A,81? ( = =% .

+ .5στατιστική του X% είναι:

X

1 ; ; 1,22

A,81?

t % ,

από την οποία φαίνεται ότι ο συντελεστής κλίσης δεν είναιστατιστικά σημαντικός, δηλαδή μπορούμε να δε!&ούμε την υπό&εση

A[A =β + ναντι της A[1 ≠β + .

-ραγματικά, η κριτική τιμή της κατανομής M.)*e.5. με #α&μούςελευ&ερίας σε επίπεδο σημαντικότητας A>.A=α είναι

2,1 B 2 3,A.97> 3,182nt t α − − = = , οπότε μπορούμε να απορρί)ουμε τη μηδενικήυπό&εση.

> συντελεστής προσδιορισμού1 είναι

2

2 1

2

1

X?

A,2722

n

t

t

n

t

t

y R

y

=

=

= = =∑∑

, που

σημαίνει ότι η παλινδρόμηση ε/ηγεί το *ZW της διακύμανσης τηςε/αρτημνης μετα#λητής.13 < σ&*ελεσ' (%σ)!%!σ%F (%ε *" +ε=5+ε &"" ε"Hλ5 6"! ε(%0*=' (%%Fε *"

6""σ6ε&σ%&ε )!σ5" ε(!σ%σF*5'. 5* (G5 "&# )ε* $*ε"! (%0.

4>


46/83


ναλλακτικά, &α εί!αμε

2

2 1

2

1

X1?

; 1 1 A,2722

n

t

t

n

t

t

u

R

y

=

=

− = − =∑

∑.

4?


47/83


?;>;>Τ-&;. &;:-&;Τ@ΚΕ( ;?'HΕ@UΕ@(

PSeX3/ 3! 3 .%e *e.&3/!T 5z=g=7d=

-ρ0τα, &α αποδεί/ουμε ότι ο `A εκτιμητής, X% , είναι αμερόληπτος και

!ει διακύμανση:

2

2

1

X :n

t

t

ar

x

σ

=

=

∑%V

.

'φού

1

2

1

X

n

t t

t

n

t

i

x

x

=

=

=∑

∑

y

% ,

αν αντικαταστήσουμε την κφραση για το t t t xβ = × +y u &α !ουμε:

( ) 21 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

X

n n n n n

t t t t t t t t t t

t t t i t

n n n n

t t t t

t t t t

x x x x x x

x x x x

β β

β = = = = =

= = = =

+ += = = = +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

y u u u

%

Jια να #ρούμε την αναμενόμενη τιμή του X% , &α !ουμε:

( ) 11 12 2 2

1 1 1

X ; ; ;

nn n

t t t t t t t t t

n n n

t t t

t t t

x x x

x x x

β β β == =

= = =

÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ +

÷ ÷ ÷ ÷

∑∑ ∑

∑ ∑ ∑

uu u

%

E

E E E G

( )

t t x

β

uE1

2

1

n

t

n

t

t

x

β =

=

=∑

∑πράγμα το οποίο δεί!νει ότι ο εκτιμητής `A X% είναι αμερόληπτος.

Στη συν!εια, &α υπολογίσουμε τη διακύμανση του εκτιμητή X% . +

κφραση που μας !ρειά"εται για να υπολογίσουμε τη διακύμανση τουX% , είναι:

47


48/83


1

2

1

X ;

n

t t

t

n

t

t

x

x

β =

=

×+

∑

∑

u

% .

φόσον δεί/αμε ότιX

: β =%E

, &α !ουμε:

1

2

1

X X X : ; ;

n

t t

t

n

t

t

x

x

β =

=

×− −

∑

∑

u

% % %E .

'φού 2X X X : g :ar = −% % %V E E , &α πρπει να υπολογίσουμε το δεύτεροσκλος. 'πό την προηγούμενη σ!ση, &α !ουμε:

22

2 2

1 12 1

2 22

2 2

11 1

X :

n nn

t t t t t ( t (t t t t t (t

nn n

t t t

t t t

x x x x x

x x x

β = = ≠=

= = =

× +× ÷ ÷ ÷ ÷− = = = =

÷ ÷ ÷ ÷

∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑

u u u uu%

E EE E

( ) ( )2

2 2

1

n

t t t ( t (

t

x x x

σ =

+∑ u u u1 2 3E E 2 2

2

1

2 22

2 2

11 1

n

t ( t

t

nn n

t t t

t t t

x

x x x

σ σ ≠ =

== =

= = ÷ ÷

∑ ∑

∑∑ ∑

Το αποτλεσμα ( ) At ( =u uE προκύπτει από την υπό&εση της

ανε/αρτησίας των t u , η δε υπό&εση της στα&ερής διακύμανσης,

δηλαδή 2 :t ar σ =uV Bγια κά&ε 1, ,t n= L C μας δίνει ( )2 2

t σ =uE . Kυσικά,

υποτί&εται ότι2

1

An

t

t

x=

≠∑ .

Jια να κατανοήσουμε τη διαδικασία, είναι !ρήσιμο να αναλύσουμετο ά&ροισμα και να πάρουμε αναμενόμενες τιμς. Lα το κάνουμε

αυτό, υπο&τοντας ότι !ουμε μόνο 2=n όρους, αλλά η ανάλυσηγενικεύεται με τον προφανή τρόπο. Lα !ουμε:

( )2

2

1 1 2 2

1

n

t t

t

x x x=

× = × + × ÷

∑ u u uE E G

( )2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 x x x x× + �

lectures in applied econometrics 01

Documents