lectures in applied econometrics 08

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 08

1/24

8. Βασικά υποδείγματα της εφαρμοσμένης οικονομετρίας

Κ εφάλαιο 8.Βασικά Υποδείγματα της

ΕφαρμοσμένηςΟικονομετρίας

Στο κεφάλαιο αυτό, σκοπός μας είναι να αναλύσουμε ορισμέναχρήσιμα υποδείγματα και να εοικει!"ούμε περισσότερο με τιςέννοιες της αυτοσυσχέτισης και της ετεροσκεδαστικότητας όπ!ςχρησιμοποιούνται στην πράη.

Περίπτωση Ι. !νο ετεροσκεδαστικ!τητα.

#ς "ε!ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα$

1 1 2 2t t t t t k tk t x x x xβ β β β ′= + = + + + +y u uL , για κά"ε 1, ,t n= L ,

όπου τα σφάλματα ικανοποιούν τις εής υπο"έσεις$

( ) 0t =uE , για κά"ε 1,...,i n= ,

( ) ( )2t t t ar u ω = =uE V , για κά"ε 1, ,t n= L , και

( ) ( ), 0t s t sov = × =u u u uC E , για κά"ε t s≠ , με , 1, ,t s n= L .

%ροφαν&ς "α έχουμε$

1

2

n

ω

ω

ω

Ω =

O , 0iω > , για κά"ε 1, ,i n= L .

%οιο "α έπρεπε να είναι το μετασχηματισμένο υπόδειγμα της μορφής'() στο οποίο η εφαρμογή της *+ μας δίνει εκτιμητές *+ -και

194


2/24


επομέν!ς εκτιμητές */01 #ν διαιρέσουμε και τα δυο σκέλη με iω

"α έχουμε$

1 21 2 ...

i i i ik ik

i i i i i

X X X β β β

ω ω ω ω ω

= + + + +Y u

, για κά"ε 1,...,i n= . '2)

3 στοχαστικός όρος στο μετασχηματισμένο υπόδειγμα, είναι$

* ii

iω =

uu , για κά"ε 1, ,i n= L .

και έχει αναμενόμενη τιμή$

( )*1

( ) 0ii ii i

E E E ω ω

= = = ÷ ÷

uu u , για κά"ε 1,...,i n= .

4πίσης, ο στοχαστικός όρος στο μετασχηματισμένο υπόδειγμα, έχειδιακύμανση$

( )2 2

*( ) 1ii i i

i

i ii i

E Var Var E

ω

ω ω ω ω

= = = = = ÷ ÷ ÷ ÷

uu uu , για κά"ε

1, ,i n= L .

4πομέν!ς, το μετασχηματισμένο υπόδειγμα στην '2) έχειομοσκεδαστικά σφάλματα, πράγμα που σημαίνει ότι ικανοποιεί τις

προ5πο"έσεις για να είναι */0 ο εκτιμητής της με"όδου *+.

6ο μετασχηματισμένο υπόδειγμα, δεν είναι παρά$

* * *

i i i x β ′= +Y u , για κά"ε 1, ,i n= L , '7)

όπου

* ii

iω =

YY ,

* 1i i

i

x xω

= και* ii

iω =

uu , για κά"ε 1, ,i n= L .

ια παράδειγμα, αν είχαμε ένα υπόδειγμα με στα"ερά και μια μόνοερμηνευτική μετα9λητή, το μετασχηματισμένο υπόδειγμα στην '7) "αήταν$

*

1 2

1i ii

i i i

X β β

ω ω ω = + +

Yu ,. για κά"ε 1, ,i n= L .

195


3/24


6ο υπόδειγμα αυτό, μπορεί να εκτιμη"εί με τη μέ"οδο *+, αφού ο

στοχαστικός του όρος, *iu , ικανοποιεί όλες τις κλασσικές υπο"έσεις.

%ροσέτε ότι στο μετασχηματισμένο υπόδειγμα δεν "πάρ#ειστα$ερά.

3ι ερμηνευτικές μετα9λητές του, είναι$*

1

1i

i

X ω

= και*

2i

i

i

X X

ω = .

#ν στο αρχικό υπόδειγμα δεν υπήρχε στα"ερά και επομέν!ς 1 0β = ,

τότε το μετασχηματισμένο υπόδειγμα, "α ήταν$

*

2i i

i

i i

X β

ω ω = +

Yu , για κά"ε 1, ,i n= L .

: εφαρμογή της με"όδου *+ στο υπόδειγμα αυτό, μας δίνει τονεκτιμητή$

( )

( )

11

2 22

11

/

/

nn

i i

i i ii i i i

nn

i i i

ii i

X X

X X

ω ω ω

ω

ω

= =

==

× ÷ ÷ ÷ ÷

= = ÷ ÷

∑ ∑

∑∑

YY

b ,

που "α είναι ο *+ εκτιμητής. 3 συγκεκριμένος εκτιμητής, λέγεταισυχνά και εκτιμητ%ς στα$μισμένων ελα#ίστων τετραγ&νων'weighted least squares(.

: διακύμανση του εκτιμητή, είναι$

( )2

2

1

1( )

/n

i i

i

Var

X ω =

=

∑b

.

3 εκτιμητής ελαχίστ!ν τετραγ&ν!ν$

12

2

1

ˆ

n

i i

i

n

i

i

X

X

=

=

=∑

∑

Y

β ,

"α έχει αλη"ινή διακύμανση που, όπ!ς είδαμε, είναι$

196


4/24


( ) ( ) ( )2

1 1 12 2

2

1

ˆ

n

i i

i

n

i

i

X

Var X X X X X X

X

ω − − =

=

′ ′ ′= Ω = ÷

∑

∑β .

4ίναι εύκολο να αποδείουμε ότι ( )2 2ˆ ( )Var Var ≥β b , αν σχηματίσουμε τη

διαφορά ( )2 2ˆ ( )Var Var −β b και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση{ }min 1min ,...,i nω ω ω ω ≥ ≡ .

;να ενδιαφέρον ερ&τημα, είναι τι συμ9αίνει αν αγνοήσουμε τηνετεροσκεδαστικότητα, εκτιμήσουμε το υπόδειγμά μας με τη μέ"οδο *+

και χρησιμοποιήσουμε σαν ( )2ˆVar β εκείνη που προκύπτει από τα

οικονομετρικά πακέτα, δηλαδή τη μήτρα ( )1

2S X X −

′ , όπου 2ˆ ˆu u

S n k

′= − .


5/24


2

1

21 1

1

( )

n

i in ni

i i ini i

i

i

X

tr M

X

ω

ω ω ξ =

= =

=

Ω = − =∑

∑ ∑∑

,

όπου

2

2

1

1 ii n

j

j

X

X

ξ

=

= −

∑ , για κά"ε 1, ,i n= L .

Aυσικά, 0iξ ≥ , για κά"ε 1, ,i n= L και1

1n

i

i

nξ =

= −∑ .

4πομέν!ς, εφόσον 1k = , "α έχουμε$

2 *1

1

( )1

n

i i ni

i i

i

E n

ω ξ

ξ ω =

=

= =−

∑∑S ,

όπου * 01

ii

n

ξ ξ = ≥

−, για κά"ε 1, ,i n= L , οπότε "α έχουμε$

*

1

1n

i

i

ξ =

=∑ .

4πομέν!ς η μέση τιμή του 2S είναι ένας στα"μικός μέσος τ!ν iω , με

στα"μίσεις που εαρτ&νται από τις τιμές της ερμηνευτικήςμετα9λητής(.

Aυσικά αν είχαμε 2iω σ = , για κά"ε 1, ,i n= L , όπου 2σ είναι μια "ετική

στα"ερά, τότε είναι φανερό ότι 2 20σ σ = , οπότε2 2( ) E σ =S .

4ίναι αυτονόητο ότι στο υπόδειγμα με ετεροσκεδαστικότητα, δενυπάρχει ένα μοναδικό = 2σ > όπ!ς στο ομοσκεδαστικό υπόδειγμα.

#γνο&ντας την ετεροσκεδαστικότητα και "ε!ρ&ντας τις εκτιμήσεις*+ με τυπικά σφάλματα όπ!ς προκύπτουν από τα οικονομετρικάπακέτα, το = 2σ > που υπονοείται από μια τέτοια άκριτη ενέργεια δεν

είναι παρά το 20σ .

1 Ο σταθμικός μέσος, !έ"ι #α έ$"ι %#τα σταθμ&σ"ις θ"τικές ο' αθ!ο&ο'# στ μο#%α, +α

μο!ο-# #α "!μ#"'θο-# σα# ιθα#όττ"ς.

19


6/24


4πομέν!ς, η =λαν"ασμένη μήτρα συνδιακύμανσης του *+ εκτιμητή>

"α έχει αναμενόμενη τιμή ( ) ( )1 12 2

0( ) E X X X X σ − −

′ ′× =S .

3 λόγος της λαν"ασμένης προς την αλη"ινή διακύμανση του

εκτιμητή *+, στην περίπτ!ση με μια ερμηνευτική μετα9λητή, "α είναι$

2 2 * 2 2 2

0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

1

1

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n n n

i i i i i i i

i i i i

X X X X

r n

X X X X

σ ω ξ ω ω

ω ω ω

= = = = = =

= = = =

−= = = ×

−

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑.

Bεν είναι σαφές αν ο λόγος αυτός είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος

της μονάδας. #υτό εαρτάται από τα i X και τα iω .

Περίπτωση ΙΙ. !νο α"τοσ"σ#έτιση.

#ς "ε!ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα$C

1 1 2 2 ...t t t t t k tk t x X X X β β β β ′= + = + + + +Y u u , για κά"ε 1, ,t n= L ,


( ) 0t E =u , για κά"ε 1, ,t n= L ,( )2 2( )t t u E Var σ = =u u , για κά"ε 1, ,t n= L , και

( , ) ( ) 0t s t sCov E = ≠u u u u , για κάποιο , , 1,...,t s t s n≠ = .

%ροφαν&ς, "α πρέπει να εειδικεύσουμε τη μορφή τηςαυτοσυσχέτισης.

;να διάσημο υπόδειγμα, είναι το αυτοπαλίνδρομο 'autoregressive)σχήμα πρ&του 9α"μού, συμ9ολικά DE'(), σύμφ!να με το οποίοέχουμε τα εής$

1t t t ρ −= +u u e ,

2 (0, )t iid σ e ,

για κά"ε 1, ,t n= L .

2 ιοθ"το-μ" το "&κτ t (αό το time) α#τ& το' i, 3ιατ& α'τοσ'σ$έτισ "μα#&"ται σ'#θς σ" στοι$"&α

$!ο#ο+ο3ικ# σ"ι!#.

199


7/24


: γενίκευση του υποδείγματος, λέγεται DE' m ) και είναι της μορφής$

1 1 2 2

1

...m

t i t i t t t m t m t

i

ρ ρ ρ ρ − − − −=

= + = + + + +∑u u e u u u e ,2 (0, )t iid σ e ,


ια το υπόδειγμα DE'(), 1t t t ρ −= +u u e ,2 (0, )t iid σ e , για κά"ε 1, ,t n= L ,

"α προσδιορίσουμε στη συνέχεια το μέσο και τη διακύμανση του t u .

Fταν αυτές οι ροπές είναι ίδιες για όλα τα t u , δηλαδή τα t u

προέρχονται από κατανομές 'όχι αναγκαστικά τις ίδιες) με τον ίδιο

μέσο και διακύμανση, λέμε ότι η t u είναι μια ασ"εν&ς στάσιμη

'weakly stationary ) στοχαστική διαδικασία.

3 όρος =στο#αστικ% διαδικασία> 'stochastic process) δηλ&νει ότι

έχουμε μια οικογένεια τυχαί!ν μετα9λητ&ν { }, 1,...,t t T =u που, γενικά,δεν είναι μεταύ τους ανεάρτητες.

#ν λοιπόν, έχουμε ( )t E µ =u και ( )2

t Var σ = uu , "α πρέπει επίσης ναέχουμε$

( ) ( ) ( )1

1 1 0t t t t t t E E E ρ

ρ ρ µ ρµ µ ≠

− −= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =u u e u u e ,

%ροσέτε ότι αν 1 ρ = , τότε κά"ε τιμή µ ∈ ¡ , αποτελεί λύση τηςπαραπάν! είσ!σης και έτσι προκύπτει μια απροσδιοριστία σχετικάμε τη τιμή του µ .

4πίσης, "α έχουμε$

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2

1 2

1t t Var Var

σ ρ σ σ ρ σ σ σ

ρ −= + ⇒ = + ⇒ = −u u u

u u , αν 1 ρ ≠ .

#υτός ο υπολογισμός του

2

σ u , έχει νόημα μόνο αν

2

1 0 ρ − > , δηλαδή αν7 7 1 ρ < , &στε να έχουμε 2 0σ >u .

%ροσέτε, ότι αν 1 ρ = , τότε έχουμε 2σ = ∞u .

200


8/24


4πομέν!ς, αν η διαδικασία t u είναι στάσιμη, πρέπει να έχει μέσο

μηδέν και διακύμανση2

2

21

σ σ

ρ =

−u.

#ν γράGουμε το υπόδειγμα DE'() αναλυτικά, "α έχουμε$

2 1 2 ρ = +u u e ,2

8 1 2 8 ρ ρ = + +u u e e ,8 2

4 1 2 8 4 ρ ρ ρ = + + +u u e e e ,

H

και στη γενική περίπτ!ση "α έχουμε$

1

1

t t t i

t i

i

ρ ρ −

=

= + ∑u u e , για κά"ε 1, ,t n= L .

4ίναι φανερό ότι$

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1,t t t t t t t t Cov E E E ρ ρ ρσ − − − − −= = + = = uu u u u u e u u ,

( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 2 1 2,t t t t t t t t t t Cov E E E ρ ρ ρ σ − − − − − − −= = + = = uu u u u u u e u u u , κτλ.

ια να καταλήουμε σε ένα μετασχηματισμένο υπόδειγμα, στο οποίοη εφαρμογή της με"όδου *+ είναι ισοδύναμη με τη *+ και άρα είναι*/0, ας "ε!ρήσουμε το υπόδειγμά μας$

t t t x β ′= +Y u , για κά"ε 1, ,t n= L , 'I)

το οποίο, με μια χρονική υστέρηση, γίνεται$

1 1 1t t t x β − − −′= +Y u , για κά"ε 2,..., 1t n= + .

4πομέν!ς, πολλαπλασιά@οντας και τα δυο μέλη με ρ , έχουμε$

1 1 1t t t x ρ ρ β ρ − − −′= +Y u , για κά"ε 2,..., 1t n= + . 'J)

#φαιρ&ντας κατά μέλη τις 'I) και 'J), προκύπτει ότι

( )1 1 1t t t t t t t

x x ρ β ρ β ρ − − −′ ′− = − + −e

Y Y u u1 4 2 4 3 , για κά"ε

2, ,t n= L ,

από το οποίο, έχουμε$

201


9/24


1 1t t t t t x x ρ β ρ β − −′ ′− = − +Y Y e , για κά"ε 2, ,t n= L .

%ιο συνοπτικά, "α έχουμε απλά$

( )1 1t t t t t x x ρ ρ β − −′− = − +Y Y e , για κά"ε 2, ,t n= L . 'K)

#ν το ρ είναι γν!στό, το παραπάν! υπόδειγμα μπορεί να εκτιμη"είμε τη μέ"οδο *+, αν κανείς ορίσει τις μετασχηματισμένεςμετα9λητές$

*

1t t t ρ −= −Y Y Y και το διάνυσμα*

1t t t x x x ρ −= − , για κά"ε 2, ,t n= L ,

&στε να έχουμε$* *

t t t x β ′= +Y e , για κά"ε 2, ,t n= L .

Στο υπόδειγμα αυτό, ο στοχαστικός όρος, t e , ικανοποιεί όλες τιςκλασσικές υπο"έσεις και επομέν!ς η εφαρμογή της με"όδου *+οδηγεί σε */0.

3 εκτιμητής αυτός, δεν "α είναι παρά ο εκτιμητής *+.

4ίναι αιοσημεί!το, ότι κατά την εφαρμογή της με"όδου αυτής,χάνουμε μια παρατήρηση 'την πρ&τη) και έχουμε τελικά δείγμαμεγέ"ους 1n − αντί για n .

Σε υποδείγματα με στα"ερό όρο και μια μόνο ερμηνευτική μετα9λητή,

έστ! t X , έχουμε$

1 2t t t xβ β = + +Y u , για κά"ε 1, ,t n= L .

Lαμ9άνοντας μια χρονική υστέρηση και πολλαπλασιά@οντας με ρ ,έχουμε$

1 1 2 1 1t t t x ρ ρβ ρβ ρ − − −= + +Y u , για κά"ε 1, ,t n= L .

6ο μετασχηματισμένο υπόδειγμα, "α είναι$

1 1 2 1(1 ) ( )t t t t t X X ρ β ρ β ρ − −− = − + − +Y Y e , για κά"ε 2, ,t n= L .

4φόσον έχουμε * 1t t t ρ −= −Y Y Y και*

1t t t X X X ρ −= − , για κά"ε 2,...,t n= , το

υπόδειγμα είναι$

* *

1 2(1 )t t t X β ρ β = − + +Y e , για κά"ε 2, ,t n= L .

202


10/24


: στα"ερά είναι *1 1(1 )β β ρ = − και εφόσον έρουμε το ρ , μπορούμε να

προσδιορίσουμε το 1β , αν έχουμε τις εκτιμήσεις τ!ν*

1β και 2β .

4ίναι, ασφαλ&ς, αιοσημεί!το ότι αν συμ9εί να έχουμε 1 ρ = , τότε οιμετασχηματισμένες μετα9λητές είναι διαφορές τ!ν σειρ&ν μας και

δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το 1β σε μια τέτοια περίπτ!ση,

διότι έχουμε$

( )1 2 1t t t t t X X β − −− = − +Y Y e , για κά"ε 2, ,t n= L ,

ή σε μορφή διαφορ&ν$

2t t t X β ∆ = × ∆ +Y e , για κά"ε 2,...,t n= .

Aυσικά, το 1β δεν εμφανί@εται που"ενά στην είσ!ση αυτή και άρα -

όπ!ς λέμεM δεν =ταυτοποιείται>, δηλαδή δεν είμαστε σε "έση να τοεκτιμήσουμε.

: περίπτ!ση 1 ρ = 'για την οποία η στοχαστική διαδικασία t u δενείναι στάσιμη) δεν πρόκειται να μας απασχολήσει εδ& και "αυπο"έσουμε ότι έχουμε 1 1 ρ − < < .

#ί@ει ακόμα να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να γράGουμε τη σχέση'K) στη μορφή$

( )1 1 1 1t t t t t t t t t x x x x ρ ρ β β ρ γ − − − −′ ′ ′= + − + = + + +Y Y e Y e , για κά"ε 2, ,t n= L ,

όπου γ ρβ = − .

: είσ!ση αυτή, λέγεται δ"ναμικ% γραμμικ% ε)ίσωση. :σημασία της είναι ότι αν υποπτευόμαστε την ύπαρη αυτοσυσχέτισης,τότε για να οδηγη"ούμε σε */0 τ!ν παραμέτρ!ν πρέπει ναεπαυήσουμε το υπόδειγμά μας με χρονικές υστερήσεις όλ!ν τ!νμετα9λητ&ν 'ερμηνευτικ&ν και εαρτημένης).


11/24


Aυσικά, το υπόδειγμα DE'() επι9άλλει τους k περιορισμούς,

( 1) ( 1) ( 1)0k k k γ ρβ × × ×+ = .

6ι "α συνέ9αινε αν είχαμε 1 ρ = 1 #ς "ε!ρήσουμε το πιο γενικόυπόδειγμα που λέγεται στα αγγλικά, random walk with drift$

1t t t γ −= + +u u e , για κά"ε 1, ,t n= L .

Lύνοντας το υπόδειγμα αυτό "α έχουμε$

1 0 1γ = + +u u e ,

2 0 1 22γ = + + +u u e e ,

8 0 1 2 88γ = + + + +u u e e e ,

'H)

0

1

t

t s

st γ

== + + ∑u u e

'H)

0

1

n

n s

s

nγ =

= + + ∑u u e .

#πό τη γενική μορφή, 01

t

t s

s

t γ =

= + + ∑u u e , 9λέπουμε ότι αν το υπόδειγμα

έχει 1 ρ = και περιέχει μια στα"ερά 'drift), 0γ ≠ , τότε, στην ουσία,έχουμε μια γραμμική τάση στα t u , με συντελεστή γ .

: ύπαρη της γραμμικής τάσης, προφαν&ς, είναι ασυμ9ί9αστη με τηνυπό"εση της ασ"ενούς στασιμότητας.

: περίπτ!ση 0γ = και 1 ρ = επιτρέπει να έχουμε οποιονδήποτε μέσο, µ , άρα και 0 µ = , αλλά οδηγεί σε άπειρη διακύμανση.

204


12/24


Περίπτωση ΙΙΙ. *α"τ!#ρονη +παρ)η ετεροσκεδαστικ!τηταςκαι α"τοσ"σ#έτισης.

Στη περίπτ!ση αυτή, συνδυά@ουμε τις προηγούμενες δυο περιπτ&σειςκαι έχουμε το υπόδειγμα$



1t t t ρ −= +u u e ,

2 (0, )t t iid σ e ,

για κά"ε 1, ,t n= L και 7 7 1 ρ < .

: κατασκευή του μετασχηματισμένου υποδείγματος, αφήνεται σαν

άσκηση. ;να οικονομετρικό υπόδειγμα στο οποίο μια τέτοια υπό"εσημπορεί να είναι φυσιολογική δίνεται παρακάτ! στο τμήμα NO.

Περίπτωση ,-. Παραμετρικ% μορφ% ετεροσκεδαστικ!τητας.

Στη περίπτ!ση αυτή, έχουμε το υπόδειγμα$



( ) 0t E =u , ( )2 2

( 1)(1 )

( ) :;


13/24


: κατασκευή του μετασχηματισμένου υποδείγματος όταν τοδιάνυσμα γ είναι γν!στό, αφήνεται σαν άσκηση.

Σαν μια 'πολύ) δύσκολη άσκηση, δίνεται το "π!δειγμα μεστο#αστικ% ετεροσκεδαστικ!τητα$

t t t x β ′= +Y u ,

( )2 2 27 0,t t t t N σ σ =uσ ,2=>? t t t z γ ′= +σ e , ( )

2 0,t iid N ω e ,


#ν τα t x και t z μπορούν να "ε!ρη"ούν στα"ερά, @ητούνται τα

ακόλου"α$

(. ιατί δεν μπορούμε να γράGουμε ( )2 2 2

7 0,t t t t N σ σ =uσ iid , ακόμηκαι αν 2 2t t σ =σ είναι γν!στό1

C. %οια είναι η κατανομή του 2 27t t t σ =Yσ 1

2. %οια είναι η κατανομή του 2=>? t σ 1

7. %οια είναι η κατανομή του 2t σ 1

I. %οια είναι η υπό συν"ήκη κατανομή, 2 27t t t σ =Yσ 1

J. %οια είναι η από κοινού κατανομή τ!ν 2 καιt t Yσ 1

K. %οια είναι η κατανομή του t Y 1

Pα σημει&σουμε ότι το υπόδειγμα δεν μπορεί να εκτιμη"εί με τημέ"οδο *+, γιατί δεν υπάρχει κατάλληλο μετασχηματισμένουπόδειγμα, αλλά η μέ"οδος μέγιστης πι"ανοφάνειας μπορεί,"ε!ρητικά τουλάχιστον, να χρησιμοποιη"εί αν και έχει τεράστιεςυπολογιστικές δυσκολίες.

#υτό μπορείτε να το δείτε αν ασχολη"είτε με το ερ&τημα 'K). Σανυπόδειη στο ερ&τημα 'K) έχουμε$

( ) ( )

2 2

0

,t t t t

p Y p Y d σ σ ∞

= ∫ , για κά"ε1, ,t n

= L

.

6ο ολοκλήρ!μα αυτό, δεν μπορεί να προσδιορισ"εί αναλυτικά.

206


14/24


Περίπτωση -. "τοπαλίνδρομη ετεροσκεδαστικ!τητα

Στη περίπτ!ση αυτή, έχουμε το υπόδειγμα$



( ) 0t E =u , ( )2 2 2

1 2 1( )t t t t E Var uσ α α −= = = +u u , για κά"ε 2, ,t n= L .

Στο υπόδειγμα αυτό, η ετεροσκεδαστικότητα εαρτάται από τοτετράγ!νο τ!ν σφαλμάτ!ν στην προηγούμενη περίοδο.

Aυσικά,

( )22

1 2 1 1t t t Y xσ α α β − −′= + − .

6έτοια υποδείγματα, έχουν αποδειχ"εί πολύ χρήσιμα στιςχρηματοοικονομικές σειρές και είναι γν!στά σαν υποδείγματα /012'autoregressive conditional heteroscedasticity ). Qε τα υποδείγματααυτά, "α ασχολη"ούμε πιο συστηματικά σR επόμενο κεφάλαιο.

-,. 3ταν η α"τοσ"σ#έτιση δεν είναι α$&α4 5"ναμικά"ποδείγματα

Σαν εφαρμογή της προηγούμενης ανάλυσής μας για τη λαν"ασμένηεειδίκευση, ας "ε!ρήσουμε ένα απλό δυναμικό υπόδειγμα τηςμορφής$

1t t t t xα β − ′= + +Y Y u . '()

6ο υπόδειγμα αυτό, περιλαμ9άνει σαν ερμηνευτική μετα9λητή, τηνεαρτημένη μετα9λητή με χρονική υστέρηση.

;να πρ&το συμπέρασμα που προκύπτει από τη μορφή τουυποδείγματος, είναι ασφαλ&ς ότι, σε τέτοια υποδείγματα, η μήτρα

τ!ν ερμηνευτικ&ν μετα9λητ&ν είναι υποχρε!τικά στοχαστική, αφού"α περιέχει τη μετα9λητή 1t −Y .

Qια σημαντική παρατήρηση που μπορεί να γίνει, είναι στη περίπτ!σηπου τα σφάλματα αυτοσυσχετί@ονται, δηλαδή αν, για παράδειγμα,έχουμε το υπόδειγμα DE'()$

207


15/24


1t t t ρ −= +u u e ,2

17 (0, )t t iid σ −e u .

#ν γράGουμε το υπόδειγμα με μια χρονική υστέρηση καιπολλαπλασιάσουμε με ρ , "α έχουμε$

1 2 1 1t t t t x ρ αρ ρ β ρ − − − −′= + +Y Y u .

#ν αφαιρέσουμε κατά μέλη, προκύπτει$

( ) ( )1 1 2 1 1t t t t t t t t t

x x ρ α ρ β ρ ρ − − − − −′− = − + − + −e

Y Y Y Y u u14 2 43 .

%ροφαν&ς, το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί στη μορφή$

1 1 2 2 8 1 4t t t t t t x xγ γ γ γ − − −′ ′= + + + +Y Y Y e , 'C)

όπου$

1γ α ρ = + , 2γ αρ = − , 8γ β = και 4γ ρβ = − .

#ν συγκρίνει κανείς τα υποδείγματα '() και 'C), είναι σαφές ότι ηεκτίμηση του '() με τη μέ"οδο *+, που αγνοεί την ύπαρηαυτοσυσχέτισης, δεν πρόκειται να δ&σει συνεπείς εκτιμητές διότι τοσ!στό υπόδειγμα, όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, είναι το 'C).

#λλά σε σχέση με το 'C), το υπόδειγμα '() είναι λαν$ασμέναε)ειδικε"μένο, διότι έχει παραλείGει να προσ"έσει της

ερμηνευτικές μετα9λητές με χρονική υστέρηση, 1t x − και την μετα9λητή

2t −Y .

Στην περίπτ!ση αυτή, λοιπόν, η αυτοσυσχέτιση δεν είναι τόσο α"&αS

20


16/24


-,,. Εκτίμηση με στο#αστικο+ς περιορισμο+ς στιςπαραμέτρο"ς4

ια εφαρμογ% της με$!δο" 67

#ς "ε!ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα$

X β = +Y u , 2 (0, )niid I σ u και το σ είναι γν!στό.

;χουμε εκ τ!ν προτέρ!ν πληροφόρηση της μορφής ( ) ( 1)( 1) J k J k R r β

× ××= , πχ

στα"ερές αποδόσεις κλίμακας σε μια συνάρτηση παραγ!γής Cobb- Douglas, αλλά δεν είμαστε απόλυτα 9έ9αιοι για την εγκυρότητααυτής της πληροφορίας και έτσι μια λογική σκέGη είναι τηνεπι9άλλουμε σε στοχαστική μορφή$

Rβ = +r v , ( ) 0, Ωv .

Συνδυά@οντας τις σχέσεις μας, έχουμε$

X

Rβ

= +

Y u

r v,

2( 1)

( 1)

0 ,

0

n n

k

I iid

σ ×

×

÷ ÷Ω

u

v.

6ο υπόδειγμα, μπορεί να γραφεί !ς$

* * X β = +Yε , ( )( ) 1 0 ,n k iid ε + × Σ , όπου2

n I σ Σ = Ω

.

Στο υπόδειγμα αυτό, το β πρέπει να εκτιμη"εί με τη μέ"οδο *+ και"α έχουμε$

( )1

1 1

* * * * X X X −− −′ ′= Σ Σb Y .

#ντικα"ιστ&ντας τους ορισμούς τ!ν *Y και * X , "α έχουμε$

[ ]2

2

1

1 11* *

1

k I X

X X X R X X R R R

σ

σ

− −

−

′ ′ ′ ′ ′Ω = = + Ω Ω

,

[ ]2

2

1

1 11* * 1

k I

X X R X Rσ

σ

− −

−

′ ′ ′ ′ ′Σ = = + Ω Ω

YY Y r

r.

Tατά συνέπεια, ο εκτιμητής της με"όδου *+, "α είναι$

209


17/24


( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

1 1 2 1 2 11 1 X X R R X R X X R R X Rσ σ

σ σ − −− − − −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + Ω + Ω ⇒ = + Ω + Ωb Y r b Y r

και "α έχει μήτρα συνδιακύμανσης$

( ) ( )1 1

1 2 2 1

* *( )Cov X X X X R Rσ σ − −− −′ ′ ′= Ω = + Ωb .

3 *+ εκτιμητής, μπορεί να γραφεί στη μορφή =κανονικ&νεισ&σε!ν> !ς$

( )2 1 2 1 2 1ˆ X X R R X R X X Rσ σ σ − − −′ ′ ′ ′ ′ ′+ Ω = + Ω = + Ωb Y rβ r ,

όπου β̂ είναι ο εκτιμητής *+, για τον οποίο έρουμε ότι ˆ X X X ′ ′=Yβ .

Tατά συνέπεια έχουμε$

1 2ˆW W = +bβ r ,

όπου$

( )1

2 1

1W X X R R X X σ −−′ ′ ′= + Ω και ( )

12 2 1 1

2W X X R R Rσ σ −− −′ ′ ′= + Ω Ω .

Στη μορφή αυτή ο *+ εκτιμητής δεν είναι παρά ένας στα"μικόςμέσος του εκτιμητή *+ και του εκ τ!ν προτέρ!ν μέσου r 'όπου οι

στα"μίσεις είναι 9έ9αια μήτρες).

#ν τ&ρα, Ω είναι μια διαγ&νια μήτρα με στοιχεία 1 2, , ..., nω ω ω και

iω → ∞ 'για κά"ε 1,...,i n= ) τότε Ω → ∞ και επομέν!ς1

( )0 k k −

×Ω → .

Σαν συνέπεια, έχουμε$

ˆ→bβ .

#ν 0Ω → , οπότε 1−Ω → ∞ , τότε 'σαν άσκηση) μπορείτε να αποδείετε

ότι R →b r .

6έλος, αί@ει να σημει&σουμε ότι αν n I Ω = , ( 1)0 k ×=r και2( / ) k V I σ λ = × ,

όπου 0λ > , τότε έχουμε απλά$

( )1

k X X I X λ −

′ ′= + ×b Y .

210


18/24


3 εκτιμητής αυτός, λέγεται εκτιμητ%ς της ρα#οειδο+ςπαλινδρ!μησης 'ridge regression estimator ) και χρησιμοποιείταισυχνά 'με τιμές του λ κοντά στο μηδέν2) όταν η μήτρα X X ′ είναιπολυσυγγραμμική 'δηλαδή περίπου αλλά όχι ακρι9&ς) ιδιά@ουσα.

-,,,. Υποδείγματα με στο#αστικο+ς σ"ντελεστές4 ιαερμηνεία της ετεροσκεδαστικ!τητας

%ολλές φορές δεν είναι δυνατόν να υπο"έσουμε ότι οι συντελεστέςείναι οι ίδιοι για όλες τις παρατηρήσεις.

ια παράδειγμα, αν έχουμε να εκτιμήσουμε μια συνάρτησηπαραγ!γής Cobb-Douglas, δεν είναι δυνατό να υπο"έσουμε ότι όλεςοι επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία. 9 ρεαλιστικ% "π!$εσηεδ&: είναι !τι κά$ε επι#είρηση μπορεί να έ#ει την δικ% τηςιδιαίτερη τε#νολογία που διαφέρει, γενικά, από τη τεχνολογία

όλ!ν τ!ν υπόλοιπ!ν επιχειρήσε!ν7

.

%ροφαν&ς, αν έχουμε ένα δείγμα n επιχειρήσε!ν με δυοπαραγ!γικούς συντελεστές -κεφάλαιο και εργασίαM και στα"ερά στουπόδειγμα, "α έχουμε$

[ ]

1 2 8

1

2

8

=n =n =n

1 =n =n ,

i i i i i i i

i

i i i i i i i

i

L

L x

β β β

β

β β

β

= + + + =

′× + ≡ +

Y u

u u

3ια κ%θ" 1,..., .i n=

Στο υπόδειγμα αυτό, έχουμε 8n αγν&στους και μόνο n παρατηρήσεις.

4πομέν!ς, πρέπει να υπο"έσουμε κάτι για τα iβ , αφού δεν μπορούμε

να τα μεταχειρισ"ούμε όλα σαν άγν!στες παραμέτρο"ς. Qια συχνή

υπό"εση είναι ότι είναι ότι τα iβ είναι τ"#αίες μετα;λητές

προερχόμενες από μια κατανομή με κάποιες ροπές.

Qε αυτό τον τρόπο, "α έχουμε απλ&ς να εκτιμήσουμε τις ροπέςαυτές 'στη γενική περίπτ!ση που είναι άγν!στες) και όχι 8n

αγν&στους.

8 @ ικαιο+ό3σ α#"ται σα# %σκσ.4 A" κ%θ" $!ο#ικ στι3μ, οι "ι$"ι!σ"ις "ι+έ3ο'# το# !'θμό μ" το# οο&ο 'ιοθ"το-# τ #έα τ"$#ο+ο3&α

στ" #α μ"3ιστοοισο'# τα κέ! το'ς. @ 'ιοθέτσ τς #έας τ"$#ο+ο3&ας "# μο!"& #α 3"ται μ" το#

&ιο !'θμό αB ό+"ς τις "ι$"ι!σ"ις αο- το κόστος !οσα!μο3ς στ #έα τ"$#ο+ο3&α "α!τ%ται αό τις 'οομές τς "ι$"&!σς, το mana!ement κτ+. Cομέ#ς, σ" κ%θ" $!ο#ικ στι3μ, θα !έ"ι #α

"!ιμέ#ο'μ" οτι τ"$#ο+ο3&α τς α!α33ς ιαέ!"ι σ" έ#α σ-#ο+ο "ι$"ι!σ"#.

211


19/24


Στα επόμενα, "α υπο"έσουμε ότι οι ροπές της κατανομής τ!ν iβ είναι

γν!στές και "α αναλύσουμε τις συνέπειες που έχει το υπόδειγμα μεστοχαστικούς συντελεστές.

#ς υπο"έσουμε λοιπόν ότι έχουμε το υπόδειγμα$

i i i i x′= +Yβ u ,2

( 1)7 (0 , )i i n niid I σ ×uβ ,

( , )i iid β Σβ , ασυσχέτιστα με τα iu ,

για κά"ε 1, ,i n= L .

%ροφαν&ς, "α έχουμε i iβ = +β e , όπου ( 1) (0 , )i k iid × Σe , που είναι

ασυσχέτισταI με τα iu .

#ντικα"ιστ&ντας στο υπόδειγμά μας, "α έχουμε$

( )i i i i i i x xβ β ′ ′= + + = +Y e u v ,

όπου i i i i x′= +v u e , για κά"ε 1, ,i n= L .

4ίναι φανερό ότι καταλήγουμε σε ένα υπόδειγμα με στα"ερούς

συντελεστές β και στοχαστικό όρο i i i i x′= +v u e , ο οποίος έχει

αναμενόμενη τιμή$

( )( ) 0i i i i E E x′= + =v u eκαι διακύμανση$

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2 .

i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

Var Var x Var Var x E x x

x E x x Cov x x x

σ

σ σ σ

′ ′ ′ ′= + = + = + =

′ ′ ′ ′+ = + = + Σ

v u e u e e e

e e e

Επομένως: καταλ%γο"με σε ένα "π!δειγμα με στα$ερο+ςσ"ντελεστές: αλλά ετεροσκεδαστικά σφάλματα.

Aυσικά, η εφαρμογή της με"όδου *+ που αγνοεί την ύπαρηετεροσκεδαστικότητας, καταλήγει σε αμερόληπτους και συνεπείςεκτιμητές, αλλά οι εκτιμητές αυτοί δεν "α είναι */0.

5 Dα ui "αι τ'$α&οι α!%3ο#τ"ς ο' "!"%ο'# το "&"ο α!α33ς, ός $ ο και!ός σ" μια α3!οτικ

"ι$"&!σ, τ'$α&"ς ιακοές τς +"κτ!ικς τ%σς, α"!3&"ς κ+. Dα εi "αι ο'σιαστικ% μ"ταE+τ ο'μο!"& #α "ι+έ"ι "ι$"&!σ, +α "ι$"&!σ έ$"ι τ '#ατόττα #α "ι+έ"ι τ τ"$#ο+ο3&α τς F

ο' "ται αό τα βi. Cομέ#ς οι 'ο σ'#ιστσ"ς ui και εi μο!ο-# #α θ"!θο-# ασ'σ$έτιστ"ς.

212


20/24


ια να έχουμε */0, πρέπει να εφαρμόσουμε τη μέ"οδο *+.

: ετεροσκεδαστικότητα, στο υπόδειγμά μας, είναι παραμετρικήςμορφής και η μορφή αυτή είναι τετραγ!νική συνάρτηση τ!ν

ερμηνευτικ&ν μετα9λητ&ν στο διάνυσμα i x .

ια παράδειγμα αν έχουμε δυο ερμηνευτικές μετα9λητές, τότε η

μήτρα συνδιακύμανσης τ!ν συντελεστ&ν, είναι11 12

12 22

σ σ

σ σ

Σ =

και η

διακύμανση του στοχαστικού όρου iv "α πρέπει να είναι$

( ) [ ]111 122

1 2

12 22 2

2 2 2

11 1 12 1 2 22 2

2 .

i

i i i

i

i i i i

X Var X X

X

X X X X

σ σ σ

σ σ

σ σ σ σ

= + × ×

+ + +

v

#ν η μήτρα Σ και το 2σ είναι γν!στά, το υπόδειγμα μπορεί ναεκτιμη"εί με τη μέ"οδο τ!ν στα"μισμέν!ν ελαχίστ!ν τετραγ&ν!νπου είδαμε πιο πάν!.

Στη συνέχεια, ας επι9άλλουμε την υπό"εση της κανονικότητας καιανεαρτησίας, για να έχουμε το υπόδειγμα$

i i i i x′= +Yβ u ,2

( 1)7 (0 , )i i n niid N I σ ×uβ ,

( , )i

iid N β Σβ, ανεάρτητα με τα i

u,για κά"ε 1, ,i n= L .

6ο ενδιαφέρον μας επικεντρ&νεται στο να εκτιμήσουμε τα iβ , δηλαδή

να εκτιμ%σο"με την άγνωστη τε#νολογία κά$ε επι#είρησης

με ;άση τα στοι#εία μας. Qια λογική εκτίμηση, είναι ( )ˆ 7i i i E =β β Y

η οποίαJ μπορεί να προκύGει από τη κατανομή ( )7i i p β Y .

#φήνεται σαν άσκηση, να αποδείετε ποια "α είναι η κατανομή καινα προσδιορίσετε την αναμενόμενη τιμή της. Σαν υπόδειη έχουμε τα

εής$

6 G+α α#αμ"#όμ"# τιμ το' βi μ" "ομέ#α τα στοι$"&α.

218


21/24


( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

σταθ"!% α#"%!ττ αό

,

.

i i i i i

i i

i i

i i i i

i i i

p p p p

p p

p p p

C p p

−

×= = =

× ×

× ×

β

β Y Y β ββ Y

Y Y

Y Yβ β

Yβ β

14 2 43

4ίναι σαφές ότι ( )27 ,i i i i iiid N xβ β σ ′=Yβ και ( , )i iid N β Σβ . Συνδυάστε

τους όρους ( ) ( )7 καιi i i p pYβ β , κάντε τις απαραίτητες πράειςK καιπροσδιορίστε ότι αυτή "α είναι μια κανονική κατανομή. 3 μέσος της

κατανομής, ( )ˆ 7i i i E =β β Y "α προκύGει απευ"είας από τον ορισμό της

συνάρτησης πυκνότητας της κανονικής κατανομής.

,


22/24


0

1

t

t s

s

t β γ =

= + + ∑β e .

#ντικα"ιστ&ντας στο υπόδειγμα, "α έχουμε$

( )0 01

t

t t t t t s t t t t

s x x t x t xβ γ β γ =

= + = + + + = + × + ÷ ∑Yβ u e u v , για κά"ε 1,...,t T = ,

όπου ( )1 21

...t

t t t s t t t

s

x x=

= + = + + + +∑v u e u e e e .

Tαταλήγουμε8, λοιπόν, σε μια είσ!ση με δυο ερμηνευτικές

μετα9λητές, στην οποία όμ!ς ο στοχαστικός όρος, t v , εμφανί@ει

αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα.

%ραγματικά "α έχουμε$

( ) 2 2 2t t Var t xσ ω = + × ×v , για κά"ε 1,...,t T = .4πίσης$

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 1 2 1 1 2 1, ... ... 1 0t t t t t t t t t t Cov E x x E t x xω − − − − − = = + + + × + + + = − × × ≠ v v v v e e e e e e ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 1 2 2, ... ... 2 0t t t t t t t t t t Cov E x x E t x xω − − − − − = = + + + × + + + = − × × ≠ v v v v e e e e e e

κλπ.

: ανάλυση της περίπτ!σης 1t t t γ δ −= + × +β β e , 1δ < , αφήνεται σαν

άσκηση.

@ 'όθ"σ ότι το E0 "# "αι τ'$α&α μ"ταE+τ έ3ι#" ακ!ιEς 3ια #α !οκ-J"ι σα# σ'#τ"+"στς το' ; K

στ α!α%# "&σσ.

215


23/24


ρι$μητικές τε#νικές σε μη γραμμικά οικονομετρικά"ποδείγματα

#ρκετές φορές στις οικονομικές και οικονομετρικές εφαρμογές,

αντιμετ!πί@ουμε το πρό9λημα της αριστοποίησης συναρτήσε!ν, γιατις οποίες οι συν"ήκες πρ&της τάης δεν μπορούν να λυ"ούν σεαναλυτική μορφή.

Bυο παραδείγματα που έχουμε αναλύσει ήδη, είναι το γραμμικόυπόδειγμα με σφάλματα DE'() και το γραμμικό υπόδειγμα μεπαραμετρική ετεροσκεδαστικότητα.

Σε τέτοιες περιπτ&σεις, ανα@ητούμε προσεγγιστικές λ+σεις που ναμπορούν να 9ρε"ούν με τη 9οή"εια του υπολογιστή.

3 υπολογιστής δεν είναι, δυστυχ&ς, σε "έση να 9ρει αναλυτικέςλύσεις σε περιπτ&σεις που είναι αν"ρ&πινα αδύνατο να γίνει κάτι

τέτοιο. ια παράδειγμα, η λύση της είσ!σης 82 x

e x− = , δεν είναι

δυνατό να 9ρε"εί αναλυτικά. Σε τέτοιες περιπτ&σεις, "α πρέπει ναχρησιμοποιήσουμε έναν αλγόρι"μο για να 9ρούμε τη λύση.

Qε τον όρο =αλγόρι"μος> εννοούμε ένα κανόνα, σύμφ!να με τονοποίο μπορεί κανείς να αρ#ίσει με μια εκτίμηση της λύσης 'πχ

( )01,2 x = ) και να παράγει μια ακολο"$ία σημείων (1) (2), , ... x x που να

σ"γκλίνει προς τη λύση 'που είναι * x ; U,8IKK).

Aυσικά, στη περίπτ!ση που έχουμε μια μόνο μετα9λητή, είναιπροφανές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτεπρόγραμμα, όπ!ς το Excel, για να κάνουμε μια γραφική παράσταση

της συνάρτησης 82( ) x ' x e x= − − και να υπολογίσουμε προσεγγιστικά τη

λύση της είσ!σης. #ν !στόσο, έχουμε συναρτήσεις πολλ&νμετα9λητ&ν, μια τέτοια διαγραμματική προσέγγιση, δεν μπορεί ναείναι εφικτή.

4πομέν!ς, το @ητούμενό μας είναι η κατασκευή αλγορί"μ!ν που νασυγκλίνουν 'σχετικά γρήγορα, αν είναι δυνατόν) στη λύση, * x .

6έτοιοι αλγόρι"μοι για ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίησησυναρτήσε!ν, πραγματεύονται στην #ρι"μητική #νάλυση καιυπάρχουν σε όλα τα οικονομετρικά πακέτα.

Στη συνέχεια, δίνουμε ορισμένα παραδείγματα από τιςοικονομετρικές εφαρμογές.

216


24/24


Παλινδρ!μηση Poisson

#ς υπο"έσουμε ότι 1,..., nY Y είναι iid με συνάρτηση μά@ας πι"ανότητας$

( ) ( ):;< L

i

i

Y

i

Y i ii

' Y Y

λ

λ = − × , 0,1, 2,... ( = ,=n

i i xλ β ′= ,

για κά"ε 1,...,i n= .

Στο υπόδειγμα αυτό έχουμε μια κατανομή Poisson, στην οποία ο

μέσος, 0iλ > , εαρτάται από ορισμένες ερμηνευτικές μετα9λητές, στοδιάνυσμα i x . 6ο χαρακτηριστικό της κατανομής, είναι ότι η τυχαία

μετα9λητή μπορεί να έχει μόνο ακέραιες τιμές και έτσι το υπόδειγμαμπορεί να είναι κατάλληλο για να μελετήσουμε τον αρι"μό τ!ν

απεργι&ν σε μια χρονική περίοδο, τον αρι"μό τ!ν επιχειρήσε!ν πουέκλεισαν κτλ.

: λογαρι"μική συνάρτηση πι"ανοφάνειας, είναι$

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

=n M =n L :;< :;<n n n n

i i i i i i i

i i i i

L Y Y x ( x ( x xβ β β β β = = = =

′ ′ ′ ′= − − + = − ∑ ∑ ∑ ∑ .

3ι συν"ήκες πρ&της τάης, δεν μπορούν να λυ"ούν αναλυτικά !ς

προς β̂ , αλλά μπορούν να υπολογισ"ούν με αρι"μητικές τεχνικές και

τη 9οή"εια τ!ν υπολογιστ&ν.

lectures in applied econometrics 08

Documents