legendre eq main
TRANSCRIPT
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phương Trình Legendre
Phương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
I. Phương Trình Legendre
1. Định Nghĩa:
Phương trình vi phân Legendre là phương trình có dạng:
(1− x2)d2y
dx2− 2x
dy
dx+ ν(ν + 1) = 0 (1)
Hay:d2y
dx2− 2x
1− x2dy
dx+
ν(ν + 1)
1− x2= 0 (2)
2. Nghiệm Phương Trình Legendre:
Nghiệm phương trình biểu diễn dạng chuỗi:
y =
∞∑
m=0
amxm (3)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
(1−x2)
∞∑
m=2
m(m− 1)amxm−2−2x
∞∑
m=1
mamxm−1+k
∞∑
m=0
amxm = 0
Trong đó: k = ν(ν + 1)Đồng nhất hai vế của phương trình trên ta có:
as+2 = −(ν − s)(ν + s+ 1)
(s+ 1)(s + 2)as (s = 0, 1, ...) (4)
Hệ thức truy hồi này cho phép ta tính các giá trị an theo a1 vàa0. Từ đó ta có:
y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) (5)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Với:
y1(x) = 1− ν(ν + 1)
2!x2 +
(ν − 2)ν(ν + 1)(ν + 3)
4!x4 −+... (6)
Và
y2(x) = x−(ν − 1)(ν + 2)
3!x3+
(ν − 2)(ν − 1)(ν + 2)(ν + 4)
5!x5−+...
(7)
Chú ý: Các chuỗi trên chỉ hội tụ khi: |x| < 1
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Trong một số bài toán tham số ν là một số nguyên dương n. Từphương trình (4) chúng ta thấy: an+2 = 0 và an+4 = 0... Vì vậynếu n chẳn (lẻ) y1(x) (y2(x)) là đa thức bậc n các đa thức đógọi là Đa thức Legendre
as = − (s+ 2)(s + 1)
(n− s)(n + s+ 1)as+2 (8)
Chọn:
an =(2n)!
2n(n!)2=
1× 3× 5...(2n − 1)
n!, n = 1, 2, ... (9)
Khi đó:
an−2m = (−1)m(2n− 2m)!
2nm!(n −m)!(n− 2m)!(10)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Nghiệm của phương trình Legendre khi đó gọi là Đa ThứcLegendre Bậc n Pn(x)
Pn(x) =M∑
m=0
(−1)m(2n− 2m)!
2nm!(n −m)!(n − 2m)!xn−2m (11)
Với M = n/2 hoặc (n− 1)/2. Một và đa thức Legendre:
P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =1
2(3x2−1), P3(x) =
1
2(5x3−3x),
P4(x) =1
8(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) =
1
8(63x5 − 70x3 + 15x).
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
3. Công Thức Rodrigues Cho Pn(x):
Các đa thức Legendre Pn(x)) có thể được viết dưới dạng:
Pn(x) =1
2nn!
dn
dxn[(x2 − 1)n] (12)
CM:
Đặt: z = (x2−1)n
2nn! . Ta có:
(x2 − 1)dz
dx= 2nxz (13)
Đạo hàm phương trình (13) (n+ 1) lần:
(1− x2)dn+2z
dxn+2− 2x
dn+1z
dxn+1+ n(n+ 1)
dnz
dxn= 0 (14)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Đây chính là phương trình Legendre với y = dnzdxn
. Vậy nghiệmphương trình Legendre:
y = Pn(x) =1
2nn!
dn
dxn[(x2 − 1)n] (15)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
4. Đa Thức Sinh Của Pn(x):
Khảo sát hàm Φ(x, z):
Φ(x, z) = (1− 2xz + z2)−1
2 ; |z| < 1 (16)
Khai triễn công thức (16) chúng ta có:
Φ(x, z) = 1 +1
2z(2x − z) +
1× 3
22 × 2!z2(2x− z)2 + ...
+1× 3...(2n − 1)
2nn!zn(2x− z)n + ... (17)
Lấy hệ số của zn trong chuỗi trên:
1× 3...(2n − 1)
2nn!(2nxn)+
1× 3...(2n − 3)
2n−1(n− 1)![−(n−1)(2x)n−2]+... = Pn(x)
(18)Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Φ(x, z) = (1− 2xz + z2)−1
2 =
∞∑
n=0
Pn(x)zn; |z| < 1 (19)
Đạo hàm hai vế phương trình trên theo z:
(x− z)(1 − 2xz + z2)−3
2 =
∞∑
n=1
nzn−1Pn(x) (20)
Nhân hai vế phương trình trên cho (1− 2xz + z2) và dùngphương trình (19) ta có:
(x− z)
[
P0(x) +
∞∑
n=1
Pn(x)zn
]
= (1− 2xz + z2)
∞∑
n=1
nzn−1Pn(x)
(21)Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Cân bằng hệ số hai vế phương trình chúng ta có hệ thức truyhồi:
(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) (22)
Ngoài ra ta có một số hệ thức truy hồi khác (Homework):
xP′
n(x)− P′
n−1(x) = nPn(x) (23)
P′
n(x)− xP′
n−1(x) = nPn−1(x) (24)
(1− x2)P′
n(x) = nPn−1(x)− nxPn(x) (25)
(2n+ 1)Pn(x) = P′
n+1(x)− P′
n−1(x) (26)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
5. Các Tính Chất Của Đa Thức Legendre:
5.1. Tính Trực Giao Của Đa Thức Legendre:
Các đa thức Legendre trực giao với nhau:∫ +1
−1Pn(x)Pm(x)dx =
{
22n+1 if m = n
0 if m 6= n(27)
CM:m 6= n:
Chúng ta viết lại phương trình Legendre cho Pm(x) dưới dạng:
d
dx[(1− x2)P
′
m(x)] +m(m+ 1)Pm(x) = 0 (28)
Và phương trình tương tự cho Pn(x) :
d
dx[(1− x2)P
′
n(x)] + n(n+ 1)Pn(x) = 0 (29)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Nhân phương trình (28) cho Pn(x) và phương trình (29) choPm(x) và trừ nhau:
d
dx[(1− x2)(PmP
′
n − PnP′
m)] + [n(n+ 1)−m(m+ 1)]PmPn = 0
(30)Tích phân hai vế ⇒ ĐPCM
CM:m = n:
Nhân hai vế hệ thức (23) với Pn(x) và tích phân từ −1 −→ +1 :
n
∫ +1
−1[Pn(x)]
2dx =
∫ +1
−1xPn(x)P
′
n(x)dx−∫ +1
−1Pn(x)P
′
n−1(x)dx
(31)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Tích phân thứ hai bên vế phải bằng 0, và dùng tích phận từngphần cho số hạng thứ nhất:
∫ +1
−1xPn(x)P
′
n(x)dx =x
2[Pn(x)]
2|1−1 −
1
2
∫ 1
−1[Pn(x)]
2dx
= 1− 1
2
∫ 1
−1[Pn(x)]
2dx (32)
Thay vào phương trình (31) ⇒ ĐPCM
5.2. Tính Đối Xứng Và Phản Xứng:
Pn(−x) = (−1)nPn(x) (33)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
5.3. Tính "Chuẩn Hóa"
Pn(1) = 1 (34)
P′
n(1) =n(n+ 1)
2(35)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
II. Phương Trình Hermite
1. Định Nghĩa:
Phương trình Hermite là phương trình có dạng:
d2y
dx2− 2x
dy
dx+ 2νy = 0 (36)
2. Nghiệm Phương Trình Hermite:
Nghiệm phương trình biểu diễn dạng chuỗi:
y =
∞∑
j=0
ajxj (37)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Thay vào phương trình Hermite ta được:
∞∑
j=0
[(j + 1)(j + 2)aj+2 + 2(ν − j)aj ]xj = 0 (38)
Từ đó ta có:
(j + 1)(j + 2)aj+2 + 2(ν − j)aj = 0 (39)
Hay
aj+2 =2(j − ν)
(j + 1)(j + 2)aj (40)
Khi ν = nan+2 = an+4 = ... = 0 (41)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Khi n chẳn, phương trình (40) cho ta:
a2 = (−1)2n
2!a0; a4 = (−1)2
22(n− 2)n
4!a0; (42)
a6 = (−1)323(n− 4)(n − 2)n
6!a0;
Tổng quát ta có:
an = (−1)n/22n/2n(n− 2)...4 × 2
n!a0; (43)
Nghiệm này gọi là đa thức Hermite bậc n hay Hn(x). Nếuchúng ta chọn:
a0 =(−1)n/22n/2n!
n(n− 2)...4 × 2=
(−1)n/2n!
(n/2)!(44)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Thì ta có:
Hn(x) = (2x)n−n(n− 1)
1!(2x)n−2+
n(n− 1)(n − 2)(n − 3)
2!(2x)n−4+...
(45)Khi n lẻ nghiệm của phương trình Hermite vẫn còn có thể biểudiễn dạng công thức trên nếu chọn:
a1 =(−1)(n−1)/22n!
(n/2− 1/2)!(46)
Vài đa thức Hermite:
H0(x) = 1; H1(x) = 2x; H2(x) = 4x2 − 2; H4(x) = 8x3 − 12x; (47)
H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12; H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x; ...
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
3. Công Thức Rodrigues Cho Đa Thức Hermite:
Đa thức Hermite cũng có thể biễu diễn dạng sau:
Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxn
(
e−x2)
(48)
CM:
Đặt q = e−x2
, chúng ta có:
Dq + 2xq = 0, D =d
dx(49)
Đạo hàm phương trình trên (n+ 1) lần
Dn+2q + 2xDn+1q + 2(n + 1)Dnq = 0 (50)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Đặt y = (−1)nDnq chúng ta có:
D2y + 2xDy + 2(n + 1)y = 0 (51)
Thay u = ex2
y thì:
Du = ex2{2xy +Dy} (52)
VàD2u = ex
2{D2y + 4xDy + 4x2y + 2y} (53)
Vì vậy phương trình (51) trở thành
D2u− 2xDu+ 2nu = 0 (54)
Vì vậyu = (−1)nex
2
Dn(e−x2
) (55)
là nghiệm phương trình HermitePhần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
4. Các Hệ Thức Truy Hồi Cho Đa Thức Hermite:
Đạo hàm hai vế của công thức Rodrigues:
H′
n(x) = (−1)n2xex2
Dn(e−x2
) + (−1)nex2
Dn+1(e−x2
) (56)
Vì vậy:H
′
n(x) = 2xHn(x)−Hn+1(x) (57)
Đạo hàm hai vế:
H′′
n(x) = 2Hn(x) + 2xH′
n(x)−H′
n+1(x) (58)
Mặt khác Hn(x) Thỏa Phương trình Hermite:
H′′
n(x)− 2xH′
n(x) + 2nHn(x) = 0 (59)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Từ đó ta có:H
′
n+1(x) = 2(n+ 1)Hn(x) (60)
Thay n bằng n+ 1 trong phương trình (57) và kết hợp vớiphương trình trên ta có:
Hn+2(x) = 2xHn+1(x)− 2(n+ 1)Hn(x) (61)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
5. Hàm Sinh Cho Hn(x)::
Bằng cách dùng công thức Rodrigues ta có thể tìm ra hàm sinhcủa Hn(x)
Φ(x, t) = e2xt−t2 = ex2−(t−x)2 =
∞∑
n=0
Hn(x)
n!tn (62)
Đạo hàm hai vế n lần:
ex2 ∂n
∂tne−(t−x)2 = ex
2
(−1)n∂n
∂xne−(t−x)2 =
∞∑
k=0
Hn+k(x)tk
k!(63)
Thay t = 0 vào phương trình trên chúng ta thu được công thứcRodrigues:
Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxn
(
ex2)
(64)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
6. Tính Trực Giao Của Hn(x)::
Định nghĩa:Fn(x) = e−x2/2Hn(x) (65)
Ta có:D2Fn(x)− x2Fn(x) + (2n + 1)Fn(x) = 0 (66)
Nhân Fm(x) hai vế
Fm(x)D2Fn(x)−x2Fn(x)Fm(x)+(2n+1)Fn(x)Fm(x) = 0 (67)
Đổi chỉ số m và n
Fn(x)D2Fm(x)−x2Fm(x)Fn(x)+(2m+1)Fm(x)Fn(x) = 0 (68)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Trừ hai phương trình cho nhau vế theo vế và tích phân từ−∞ → +∞
In,m =
∫ +∞
−∞
Fn(x)Fm(x)dx =1
2(n −m)
∫ +∞
−∞
(F′′
nFm−F′′
mFn)dx
(69)Tích phân từng phần → VP=0
m 6= n:
Thì
In,m =
∫ +∞
−∞
Fn(x)Fm(x)dx = 0 (70)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
m = n:
In,n =
∫ +∞
−∞
e−x2
Hn(x)Hn(x)dx =
∫ +∞
−∞
ex2
Dn(e−x2
)Dn(e−x2
)dx
(71)Tích phân từng phần với u = ex
2
Dn(e−x2
) và v = Dn−1(e−x2
)Ta có:
In,n =
∫ +∞
−∞
[2xex2
Dn(e−x2
) + ex2
Dn+1(e−x2
)]Dn−1(e−x2
)dx
(72)Dùng phương trình (51) với y = (−1)nDnq = (−1)nDn(e−x2
) Tathu được:
In,n =
∫ +∞
−∞
2nex2
Dn−1(e−x2
)Dn−1(e−x2
)dx = 2nIn−1,n−1
(73)
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Mà
I0,0 =
∫ +∞
−∞
e−x2
dx =√π (74)
Vì vậy:
In,n =
∫ +∞
−∞
e−x2
Hn(x)Hn(x)dx = 2nn!√π (75)
Vì vậy hệ hàm (1/2nn!√π)1/2e−x2/2Hn(x) là hệ hàm trực
giao chuẩn hóa.
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phương Trình LegendrePhương Trình Hermite
Phần III: Hàm Đặc Biệt
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Hàm ThửHàm Delta DiracHàm Suy Rộng Và Vi Phân
Phần IV: Phương Pháp Biến Phân
Hàm Thử
Hàm Delta Dirac
Phần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Hàm ThửHàm Delta DiracHàm Suy Rộng Và Vi Phân
Phần IV: Phương Pháp Biến Phân
Phần III: Hàm Đặc BiệtPhần IV: Phương Pháp Biến Phân
Hàm ThửHàm Delta DiracHàm Suy Rộng Và Vi Phân
Phần IV: Phương Pháp Biến Phân