Leis de KirchhoffProf. Marco Simões

Leis de Kirchhoff

Gustav Robert Kirchhoff (1824 –1887)

As leis de Kirchhoff aplicam-se a circuitos que contêm mais de uma fontede alimentação. São duas leis:• Lei das malhas• Lei dos nós

Definições• Nó: um ponto em que três ou mais condutores são ligados (b, d)• Malha: qualquer caminho condutor fechado (badb; bdcb; badcb)

a b c

d

Nó

Nómalha

malha malha

Lei das malhas• A soma das variações de tensão numa malha fechada é

sempre zero.

E −V1 −V2 −V3 =0⇒ E −R1 ⋅i−R2 ⋅i−R3 ⋅i =0120−10⋅2−20⋅2−30⋅2=120−20−40−60=0

i=2 A

R1 R2

R3

E =0∑

Convenção de sinal

−Ri +Ri

Sentido da observação

Sentido da corrente

+E −E

Sentido da corrente

Sentido da observação

Resistores: quandoo sentido de obervação é o mesmo da corrente, a quedade tensão énegativa, e vice-versa

Fontes: quando o sentido de observação vai do polo negativo parao positivo, a quedade tensão épositiva

Sentido da observação

Sentido da observação

Exemplo 1• Aplicando essa regra, determine a corrente elétrica do

circuito abaixo.

Primeiraforma:a partir de A,indonosentidohorário:+12−2i−4i =0−2i−4i = −12−6i = −12

i = −12−6 =2AA

i

Exemplo 1

Segundaforma:apartir de A, indonosentidoanti-horário:4i+2i−12=04i+2i =126i =12

i = 126 =2AA

i

Conclusão: respeitada a convenção de sinais, a escolha do sentido de observação é arbritrária.

Exemplo 2 (uma malha)• No circuito abaixo, calcular a corrente e a tensão e corrente

em cada resistência.

2.1 V

O exemplo será resolvido de quatro possíveis formas.

Procedimento:

1. Escolher um pontoinicial2. Escolher um sentido para análise3. Escolher um sentido para a corrente4. Percorrer o circuitorespeitando a convenção de sinais

Exemplo 2 – primeiro modo

2.1 V

A

Ponto inicial: ASentido de análise: horárioSentido da corrente*: horário

−2,3i+ 4, 4− 2,1−1,8i− 5,5i = 0−2,3i−1,8i− 5,5i = −4, 4+ 2,1−9,6i = −2,3

i = −2,3−9,6

= 0,24A

i

*o sentido da corrente ésuposto no início do problema; se o resultadofor negativo ele deve serinvertido no final dos cálculos.

Dica: escolher o sentido da corrente pela bateria de maior tensão.

Exemplo 2 – segundo modo

2.1 V

A

Ponto inicial: ASentido de análise: anti-horárioSentido da corrente: horário

5,5i+1,8i+ 2,1− 4, 4+ 2,3i = 05,5i+1,8i+ 2,3i = −2,1+ 4, 49, 6i = 2,3

i = 2,39, 6

= 0,24A

i

Exemplo 2 – terceiro modo

2.1 V

A

Ponto inicial: ASentido de análise: horárioSentido da corrente: anti-horário

2,3i+4,4−2,1+1,8i+5,5i =02,3i+1,8i+5,5i = −4,4+2,1

9,6i = −2,3⇒ i = −2,39,6 = −0,24A

i

Portanto a corrente flui no sentido inverso ao suposto

Exemplo 2 – quarto modo

2.1 V

A

Ponto inicial: ASentido de análise: anti-horárioSentido da corrente: anti-horário

−5,5i−1,8i+2,1−4,4−2,3i =0−5,5i−1,8i−2,3i = 4,4−2,1

−9,6i =2,3⇒ i = 2,3−9,6 = −0,24A

i

Portanto a corrente flui no sentido inverso ao suposto

Exercício• Calcule a corrente no circuito abaixo e a tensão em cada

componente

Lei dos nós• A soma das correntes que entram em um nó é igual à

corrente que sai do nó

2 A

3 A

5 A

2 A3 A

5 A

3 A

5 A2 A

Exemplo 3• Calcular a corrente em cada resistência e a potência total do

circuito abaixo

Exemplo 3

1. Montar a equação dos nós2. Escolher o sentido de análise

da malha3. Montar uma equação para

cada malha4. Resolver o sistema

i1

i2

i3

Equaçãodos nós :i2 = i1 + i3 →(1)

A

Malha direita :4i2 +3i3 − 6 = 04i2 +3i3 = 6→ (3)

R2

Sistema :

i2 = i1 + i3i1 + 2i2 = 64i2 +3i3 = 6

!

"##

$##

R3R1

Malhaesquerda :12−2i1 −4i2 =0−2i1 −4i2 = −12i1 +2i2 =6→(2)

Resolução por determinante

! =1 −1 11 2 00 4 3

⇒ ! = 13

*+, = +- + +/+- + 2+, = 64+, + 3+/ = 6

Reorganizando, fica *+- − +, + +/ = 0+- + 2+, + 0+/ = 60+- + 4+, + 3+/ = 6

!12 =0 −1 16 2 06 4 3

⇒ !12 = 30 ⟹ +- =!12! = 30

13 ⇒ +- = 2,31 5

!16 =1 0 11 6 00 6 3

⇒ !16 = 24 ⟹ +, =!16! = 24

13 ⇒ +, = 1,85 5

!19 =1 −1 01 2 60 4 6

⇒ !19 = −6 ⟹ +, =!19! = −6

13 ⇒ +/ = −0,462 5

O valor negativoencontradopara +/ indicaque o sentidoinicialmentesuposto éinverso ao real

Sistema :

i2 = i1 + i3 (1)i1 + 2i2 = 6 (2)4i2 +3i3 = 6 (3)

!

"##

$##

(1)em(2)i1 + 2 i1 + i3( ) = 6i1 + 2i1 + 2i3 = 63i1 + 2i3 = 6

(1)em(3)4 i1 + i3( )+3i3 = 64i1 + 4i3 +3i3 = 64i1 + 7i3 = 6

Novo sistema :

3i1 + 2i3 = 6 (a)4i1 + 7i3 = 6 (b)

!"#

$#

De a( ) : 3i1 + 2i3 = 6

3i1 = 6− 2i3→ i1 =6− 2i33

Em b( ) :4i1 + 7i3 = 6

4 6− 2i33

#

$%

&

'(+ 7i3 = 6

24−8i33

+ 7i3 = 6

24−8i3 + 21i3 =18−8i3 + 21i3 =18− 2413i3 = −6

i3 =−613

= −0, 462 A*

*Atenção: manter negativo para calcularos demais valores e inverter no desenhono final

Resolução por substituição

Resolução por substituição

i3 = −0, 462 AEm(a) :3i1 + 2i3 = 63i1 + 2 −0, 462( ) = 63i1 − 0,923= 63i1 = 6+ 0,9233i1 = 6,923

i1 =6,9233

= 2,31 A

Em(1) :i2 = i1 + i3i2 = 2,31− 0, 462i2 =1,85 A

Resposta:

Exemplo 3• Sabendo-se a corrente, é possível calcular a queda de

tensão e a potência em cada resistência

V1 = R1 × i1V1 = 2×2,31V1 = 4,62V

P1 =V1 × i1P1 = 4,62×2,31P1 =10, 7W

V2 = R2 × i2V2 = 4×1,85V2 = 7, 40V

P2 =V2 × i1P2 = 7, 40×1,85P2 =13, 7W

V3 = R3 × i3V3 = 3×0, 462V3 =1,39V

P3 =V3 × i3P3 =1,39×0, 462P3 = 0,640W

Pt = P1 +P2 +P3⇒ Pt =10,7+13,7+0,640=25,0W

Exercício 1• Calcular a corrente no circuito ao lado, e, em cada

resistência, a tensão e potência. Os valores das resistênciasestão indicados em Ohms.

80 V

Respostas:

Exercício 2• Calcular a corrente no circuito abaixo, e, em cada resistência, a tensão e

potência. Os valores das resistências estão indicados em Ohms. Respostas abaixo.

Exercício 3• Calcular a corrente no circuito abaixo, e, em cada resistência, a tensão e

potência. Os valores das resistências estão indicados em Ohms. Respostas abaixo.

80 v

60 v

10 v

i3

i2

i1

Exercício 3• Três possíveis soluções