lekcija 11: upravljanje kretanjem mobilnogkretanjem

Lekcija 11: Upravljanje kretanjem mobilnogkretanjem mobilnog robotom

Prof dr sc Jasmin Velagić

robotom

Prof.dr.sc. Jasmin VelagićElektrotehnički fakultet Sarajevo

K l ij M bil b tikKolegij: Mobilna robotika

2012/2013

11.1. Upravljanje mobilnim robotom

Upravljanje kretanjem robota sastoji se od generiranja upravljačkih momenata 2/79generiranja upravljačkih momenata, odnosno brzina, ovisno o tome da li se upravlja dinamičkim ili kinematičkim modelom

2/79

upravlja dinamičkim ili kinematičkim modelom robota, na kotače mobilnog robota. Zahtjevi za upravljanje kretanjem mobilnimZahtjevi za upravljanje kretanjem mobilnim robotom:

Poznavanje kinematičkog odnosnoPoznavanje kinematičkog, odnosno dinamičkog modela robota.Model interakcije između kotača i podlogeModel interakcije između kotača i podloge.Definiranje referentne trajektorije, odnosno zahtijevanog kretanjazahtijevanog kretanja.

Upravljanje mobilnim robotom

Načini ostvarivanja zahtijevanog kretanja → brzinsko i/ili pozicijsko upravljanje 3/79brzinsko i/ili pozicijsko upravljanje.Upravljački zakon koji zadovoljava zahtjeve

3/79

zahtjeve. Problemi upravljanja kretanjem mobilnim robotom:robotom:

Ne postoji izravan način mjerenja pozicije b trobota.

Pozicija se mora integrirati u vremenu.Neprecizna (netačna) estimacija pozicije → izazov broj 1 u mobilnoj robotici.


Strategije upravljanja zasnivaju se na:

č 4/79Kinematičkom modelu robota.Dinamičkom modelu robota.

4/79

Kada su brzine kretanja mobilnog robota male:male:

Koristi se kinematički model robota.

Primjenjuje se upravljanje brzinom kretanja lijevog i desnog kotača (regulator brzine).

U slučaju većih brzina kretanja i masa robota:

Koristi se dinamički model robotaKoristi se dinamički model robota.

Primjenjuje se upravljanje momentom.


Upravljanje zasnovano na dinamičkom modelu 5/79modelu

ž lj

5/79

željena pozicija

Željena t j kt ij

Regulator i ij

željena brzina

Regulator b i Pogon Dinamika Kinematika

b

napon moment brzina

trajektorija pozicije brzine Pogon robota robota

struja pozicija


Upravljanje zasnovano na kinematičkom modelu 6/79modelu

Nestaje unutarnja petlja.6/79

željena pozicija

željena brzina napon moment brzina

pozicija

Željena trajektorija

Regulator pozicije

Regulator brzine Pogon Dinamika

robota Kinematika

robota

pozicija struja

11.2. Upravljanje kinematičkim modelom

Kod sinteze regulatora brzine mobilnog robota pretpostavljaju se sljedeća pojednostavljenja: 7/79pretpostavljaju se sljedeća pojednostavljenja:

Kinematički model je opisan diferencijalnom jednadžbom prvog reda

7/79

diferencijalnom jednadžbom prvog reda.Odgovarajuća upravljačka brzina se može

tićipostići.Unutar ovih pretpostavki potrebno je postići sljedeće rezultate:

Eksponencijalnu konvergenciju trajektorije ka željenoj (referentnoj) trajektoriji.Mogućnost podešavanja brzine konvergencije (parametar k ).

Upravljanje kinematičkim modelom

Kinematički model mobilnog robota s diferencijalnim pogonom. 8/79diferencijalnim pogonom.

Kinematičke jednadžbe:

8/79

Y

x

ym v

⎥⎤

⎢⎡⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

θθ

vx

0)i (0 )cos(

&

&

y

xm

θ

A

C ⎥⎦

⎢⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ω

θ

θ

y1 0 0 )sin(

&

D 2r

d

⎤⎡⎥⎤

⎢⎡

⎤⎡rr

XxO

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

L

R

vv

rrv

-

2

2ω

X ⎥⎦⎢⎣ DD


Kombiniranjem prethodne dvije kinematičke jednadžbe dobiva se: 9/79

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎤⎡⎤⎡⎤⎡

rrrrx 2

)cos( 2

)cos(

0)cos(

θθ

θ&

9/79

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

L

R

L

R

vvrr

vv

rryx

2)sin(

2)sin(

-

2

2

100 )sin(0 )cos(

θθθθ

θ&&

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣

Dr

DrDD -

1 0 θ

Ulazi kinematičkog modela su brzine lijevog i desnog kotača.Izlazi kinematičkog modela su koordinate pozicije (x,y) mobilnog robota i orijentacija (ugao θ).Neholonomsko ograničenje (nemogućnost bočnogNeholonomsko ograničenje (nemogućnost bočnog kretanja):

0cossin =−+ θθθ &&& dyx


Zahtjev koji se postavlja na upravljanje je da pogreška slijeđenja eksponencijalno teži ka nuli 10/79pogreška slijeđenja eksponencijalno teži ka nuli kao funkcija vremena, tj.:

ed

10/79

0=+ Keedtd

(*)

Pogreška pozicije je definirana kao:

⎤⎡⎤⎡ xx⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

yx

yx

r

rr xxe

Uvjet (*) je zadovoljen za sljedeći zakon upravljanja:upravljanja:

rr xxxKv &+−= )( K mora biti pozitivno definitnamatrica.


Drugim riječima, potrebno je da vrijedi:11/790, 21 >kk 11/79

gdje su k1 i k2 elementi matrice K:

⎤⎡ 0k⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

00k

kK

Na temelju prethodnog upravljačkog zakona, brzine lijevog i desnog kotača postaju:

RvxxxKvJ &+−==⎥

⎤⎢⎡ − )(1 Matrica Jacobiana J mora

rrLv

xxxKvJ +⎥⎦

⎢⎣

)(biti nesingularna.


Struktura sistema upravljanja ⎤⎡ 12/79

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

L

R

vv

v⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

r

rr y

xx

xxe −= r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yx

x12/79

Regulator Mobilni robot

Parametri PD regulatora su ručno podešavani na načinParametri PD regulatora su ručno podešavani na način da se postigne što je moguće bolje slijeđenje referentne trajektorije. Pri tome su dobivene sljedeće vrijednostitrajektorije. Pri tome su dobivene sljedeće vrijednosti elemenata matrice K: k1=102.9822, k2=1.3536 [Velagić, Osmić i Lačević, 2008].

Upravljanje kinematičkim modelomRezultati upravljanja

4 13/79

3

13/79

1

2

U toku slijeđenja lemniskatne

0

y [m

] stvarnareferentna

lemniskatne trajektorije razmatraju se d i i i ij

-2

-1 odzivi pozicije, orijentacije i linearnih brzina

-3lijevog i desnog kotača.

-6 -4 -2 0 2 4 6-4

x [m]

Upravljanje kinematičkim modelomRezultati upravljanja

14/79

4

5referentnastvarna

14/79

2

3

m]

0

1

oord

inat

a [m

-2

-1

X k

o

-4

-3

0 20 40 60 80 100 120 140-5

Vrijeme [s]


4 15/79

Rezultati upravljanja

3

referentnastvarna

15/79

2

m]

0

1

oord

inat

a [m

-1

0

Y k

o

-2

0 20 40 60 80 100 120 140-3

Vrijeme [s]


200 16/79


150

referentnastvarna

16/79

50

100

eg]

0

ijent

acija

[de

-100

-50Ori

-150

0 20 40 60 80 100 120 140-200

Vrijeme [s]


0.8 17/79


0.7

17/79

0.5

0.6

otac

a [m

]/s

0.4

na d

esno

g k

0.2

0.3

inijs

ka b

rzin

0.1

L

0 20 40 60 80 100 120 1400

Vrijeme [s]


0.718/79


0.6

]18/79

0.4

0.5

kota

ca [m

/s]

0.3

ina

lijev

og k

0.1

0.2

Lini

jska

brz

i

0

L

0 20 40 60 80 100 120 140-0.1

Vrijeme [s]

11.3. Upravljanje dinamičkim modelom

Za razliku od upravljanja kinematičkim modelom koji zahtijeva samo regulaciju brzine 19/79modelom, koji zahtijeva samo regulaciju brzine robota, kod upravljanja dinamičkim modelom mobilnog robota neophodno je regulirati, osim

19/79

mobilnog robota neophodno je regulirati, osim brzine, i poziciju robota (sljedeća slika). Prema tome ovdje postoji kaskadnaPrema tome, ovdje postoji kaskadna regulacija brzine i pozicije mobilnog robora. Unutarnji odnosno podređeni regulacijski krugUnutarnji, odnosno podređeni, regulacijski krug upravlja brzinom, a vanjski (nadređeni) krug upravlja pozicijom mobilnog robota Kodupravlja pozicijom mobilnog robota. Kod sinteze ova dva regulatora, prvo će se obaviti sinteza regulatora brzine, a nakon toga sinteza g , gregulatora pozicije robota.

Upravljanje dinamičkim modelom

Sistem upravljanja dinamičkim modelom mobilnog robota [Lačević Velagić 2005] 20/79mobilnog robota [Lačević, Velagić, 2005].

q&

20/79

dtd

Tr rq

rv

Regulator brzine

Dinamika robota i

τ euu q& Tv

ve qr

Tp

f(e,vr,k) pogona

q Nelinearni

regulator pozicije

q&)(qS

q∫q&


Dinamički model mobilnog robota sa diferencijalnim pogonom 21/79diferencijalnim pogonom.

Dinamičke jednadžbe:

21/79

Y

xm

ym v

RtrRLR

KAB

KBA

θθθ

θτθθ&&&&&

&&&&& −=+

y

m

θ

A

C LtrLLR KAB θτθθ −=+

⎞⎛ 22D 2r

d

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 02

122

4I

DIrmrA

XxO ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

122

4 DIrmrB

X xO ⎟⎠

⎜⎝

24 D


Općenito, zadatak regulatora mobilnog robota je da slijedi referentnu trajektoriju q koja se 22/79

rq&je da slijedi referentnu trajektoriju qr, koja semijenja brzinom .Na temelju dinamičkog modela robota se

22/79

Na temelju dinamičkog modela robota se dizajnira upravljački zakon za pogonske momente mobilnog robota, tako damomente mobilnog robota, tako da trajektorija mobilnog robota slijedi glatku zadanu trajektoriju. j jReferentna i stvarna trajektorija opisane su izrazima:

Trrrr yxt ] [)( θ=q

Tyxt ] [)( θ=q


Mobilni robot treba da slijedi referentnu trajektoriju tako da apsolutne vrijednosti 23/79trajektoriju tako da apsolutne vrijednosti pogrešaka koordinata i ugla:

23/79

|)()(||||)()(|||

tttxtxx re −=

|)()(||||)()(|||

tttytyy

re

re

θθθ −=−=

re

budu što je moguće manje, odnosno da teže ka nuli.

Upravljanje dinamičkim modelomZa potrebe slijeđenja referentne trajektorije često se koristi princip slijeđenja virtualnog

24/79(referentnog) robota.

Y referentni robot

24/79

x1 y1

θr

robot x

yr

y

θ

y

Xx xr

Upravljanje dinamičkim modelomPrincip slijeđenja virtualnog (referentnog) robota.

U lokalnom koordinatnom sistemu mobilnog 25/79grobota pogreške koordinata iznose:

25/79

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−=⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

θθθθ

r

r

yyxx

ee

0 cos sin0 sin cos

2

1

d

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ θθ r

r

e 1 0 0 3

2

odnosno:

)( qqTe −=

Da bi se dobio dinamički model pogreške

)( qqTe = rp

Da bi se dobio dinamički model pogreške slijeđenja potrebno je derivirati gornji izraz.


Deriviranjem se dobiva: 26/79j

rrrrrr

rrrr

yyvvxxvv

yyyyxxxxe

θθθθθθθθθθ

θθθθθθ

cos)(sin)sinsin(sin)(cos)coscos(

cos)(sin)(sin)(cos)(1

⋅−+−+⋅−−−=

⋅−+−+⋅−−−=&&

&&&&&&&

26/79

rrrrr

rrrrrr

rrrrrr

vvyyxx

yyvvxxvv

yyvvxxvv

θθθθθθθθθ



)sinsincos(cos)sin(cos)cos)(sin)((

cos)(sinsinsinsin)(coscoscos

cos)(sin)sinsin(sin)(cos)coscos(

22

22

−++−−+−−=

⋅−+−+⋅−−−=

++

&

&&

ere vvy θω cos +−=

yyyyxxxxe θθθθθθ sin)(cos)(cos)(sin)(2 ⋅−−−+⋅−−−−= &&&&&&&

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

yyvvxxvv

yyvvxxvv

yyyyxxxxe

θθθθθθθθθθθθ


θθθθθθ

sin)(cossincossincos)(sincossincos

sin)(cos)sinsin(cos)(sin)coscos(

sin)(cos)(cos)(sin)(2

⋅−−−+⋅−−+−=

⋅−−−+⋅−−−−=

+

&

&&

&&

ere

rrrrr

vxvyyxx

θωθθθθθθθ

sin )sincoscos(sin)sin)(cos)((

+−=−+−+−−=

ωωθθ −=−= rre &&&3


Prema tome, model pogreške slijeđenja glasi:27/79

θωθω

++−= ere

vxevvye1

sincos

&

&Dinamika pogreške

27/79

ωωθω

−=+−=

r

ere

evxe

3

2 sin&

p gpredstavlja nelinearan dinamički sistem

Izborom upravljačkih ulaza dobiva se:Tuu ] [ 21=uuee +=& ω.

312

121

sin eveeuee

r+−=+=

& ωω

Zadatak je dizajnirati nelinearni upravljački zakon

23 ue =&

Zadatak je dizajnirati nelinearni upravljački zakon u=f(e) takav da cjelokupni sistem bude stabilan, te da pogreške pozicije i brzine konvergiraju ka nuli.

Upravljanje dinamičkim modelomSinteza regulatora brzine

Prije negoli se pređe na pronalaženje upravljačkog k i ij i ši ć i l 28/79zakona za poziciju, izvršit će se sinteza regulatora

brzine.Unutarnja regulacijska petlja linijskih i ugaonih brzina

28/79

Unutarnja regulacijska petlja linijskih i ugaonih brzina.

PI regulator Dinamika τ eu u q& Transformacija v

brzine robota + pogona brzina

.

Regulator brzine ima dva ulaza i dva izlaza. Ul i šk li ij kih i ih b i i i l iUlazi su greške linijskih i ugaonih brzina ev i eω, a izlazi momenti pogona lijevog i desnog kotača τL i τR.


Veza između vektora i brzine robota v dana je q& 29/79relacijom:

q

vqq )(S=&29/79

odnosno:⎤⎡ −⎤⎡ θθx sincos&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωθθθθ

θ

vyx

10cos sinsin cos

&

&

Izrazi za linijske i ugaone brzine mobilnog robota

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣θ 1 0

su:&& += 22 yxv

θω &=


Multivarijabilni PI regulator linijske i ugaone brzine30/79opisan je sljedećom jednadžbom u Laplaceovoj

domeni:

30/79

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

)()()()(

)()()()(

)(2221

1211

sese

sGsGsGsG

Drses

Dr

ss

s vu

L

R

ωττ

Gτ

gdje je ev(s) greška linijske brzine i eω(s) pogreškaugaone brzine mobilnog robota.g gElementi Gij(s) su odabrani na sljedeći način:

11D

11

)11()(,)11(2

)(2

2121

111

DsT

KsGsT

DKsGii

+=+=

)11()(,)11(2

)(2

2221

121 sTKsG

sTDKsG

ii

+−=+=


Regulacijska petlja brzine sa PI regulatorom:31/79

G11(s) τR G12(s)

ev

31/79

G21(s) G22(s)τL

Dinamika robota + pogona

u eu τ v

G21(s) G22(s)eω

Parametri PI regulatora su: K1 K2 Ti1 Ti2

100 60 20 20

Efikasnost projektiranog multivarijabilnog PIbrzinskog regulatora testirat će se pomoću skokovitih

100 60 20 20

brzinskog regulatora testirat će se pomoću skokovitihpobudnih funkcija, koje će respektivno predstavljatilinijsku i ugaonu brzinu.


Rezultati simulacija 32/79Rezultati simulacija

1.2 1.2

32/79

0 6

0.8

1

)

setpointresponse

0 6

0.8

1

s)

responsesetpoint

0.2

0.4

0.6

v (m

/s

0.2

0.4

0.6

w (r

ad/s

0 0.5 1 1.5 2-0.2

0

0 0.5 1 1.5 2-0.2

0

t (s) t (s)

Dobro slijeđenje refrentnih trajektorija linijskih i ugaonih brzina.Bolje slijeđenje ugaone brzine.

Upravljanje dinamičkim modelomSinteza regulatora pozicije

Kao regulator pozicije koristi se backstepping algoritam lj d ć i [L č ić & V l ić 2006] 33/79u sljedećem zapisu [Lačević & Velagić, 2006]:

)(11 xfpeu ⋅−= α

33/79

)(sin)(2)(

3212

2212

11

xgeqeveeq

pu

fp

r ⋅−+−= −αα (*)

gdje su p i q pozitivne realne konstante, α > 1 i f(x) i g(x)su funkcije vektora Rm N koje zadovoljavaju uvjet:

q

su funkcije vektora x∈Rm, m∈N, koje zadovoljavaju uvjet: ∃L>0: f(x), g(x) ≥ L, ∀x∈Rm.Ovaj upravljački zakon osigurava stabilnost slijeđenjaOvaj upravljački zakon osigurava stabilnost slijeđenja pozicije (teorem i dokaz teorema su u [Velagić, Lačević & Osmić, “Nonlinear motion control of mobile robot dynamic model”, book chapter in Motion planing and control of mobile robot: New Challenges, Vienna, 2008].


Nepoznati parametri p, q, f i g upravljačkog 34/79algoritma odredit će se pomoću genetskog

algoritma (pretpostavka je da su funkcije f i gkonstantne)

34/79

konstantne).Svi navedeni parametri se kodiraju u binarni kromosom pri čemu je svaki parametarkromosom, pri čemu je svaki parametar predstavljen sa jednakim brojem bita.Struktura kromosoma predstavljena je na slici. p j j

p q f g

100 01 001 11 101 10 011 00 100..........01 001..........11 101..........10 011..........00

12 bita 12 bita 12 bita 12 bita 12 bita 12 bita 12 bita 12 bita


Broj bita zapisanih u kromosomu je 48. Binarni broj 35/79se dekodira u realni pomoću sljedeće jednadžbe: 35/79

( )kkbkk ( )minmaxmin )12(kkbkk n −

−+=α

gdje su kmin i kmax donja i gornja granica vrijednosti k ( š l č j iparametra kα (u našem slučaju to su parametri p, q,

f i g), n je broj bita i b binarni broj zapisan na sljedeći način:sljedeći način:

∑−

=1

2n

iBb ∑=

=0

2i

iBb


Dekodiranjem se binarni broj pretvara u 36/79potencijalno rješenje u intervalu [kmin, kmax].

Za svaku jedinku unutar kromosoma predlaže se lj d ć f k ij ilj [V l ić L č ić i P ičić

36/79

sljedeća funkcija cilja [Velagić, Lačević i Peruničić, 2006]:

( )( )[ ]

( )[ ]

( ))(max)(max1ln,0,0

3

1

tatadtteaF LttLRttRi

t

iiss

s

ττ∈∈⋅+⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=∑ ∫

gdje su: .

[ ] [ ]1 0i ss= ⎥⎦⎢⎣

1,16,1,5,1 321 ====== LRs aataaagdje su: .Iz gornjeg izraza slijedi da bolje jedinke poprimajumanje vrijednosti F-a. Drugi dio izraza ima zadatak

,,,, 321 LRs

j j gda "sankcionira" (reducira) velike iznose pogonskih (upravljačkih) momenata.


Za evoluciju koeficijenata koristi se funkcija u obliku 37/79lemniskate opisana sljedećim jednadžbama: 37/79

)sin()( tatx α=

)cos()sin()(

)(sin1)(

2

2

ttaty

ttx

r

r

ααα

=

+=

))()(arctan()(

)(sin1)( 2

ttyt

ty

rr

r

αα

θ

α

&

&=

+

gdje je α pozitivan parametar.

)( txr α

gdje je α pozitivan parametar. Lemniskata je složena funkcija i koeficijenti regulatora dobiveni evolucijom na temelju lemniskatne funkcije bi j j jtrebali dati dobre rezultate za slijeđenje putanje u obliku bilo koje druge jednostavnije funkcije.


Vrijednosti parametara gornje jednadžbe za potrebe 38/79evolucije su a=1 i α=1.

Za evoluciju parametara backstepping regulatora se k i ti t d d i t ki l it liči

38/79

koristi standardni genetski algoritam sa veličinom populacije od 51 jedinke, turnirskom selekcijom, uniformnim križanjem bitovnom mutacijom sauniformnim križanjem, bitovnom mutacijom sa elitizmom (čuvanje najbolje jedinke). U simulaciji se za grešku orijentacije eθ(t) koristi j g j j θ( )sljedeća funkcija:

⎧ +< )22min(jeako πθθπθθθθθθ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+++−−<−−−−+−−−<−−

=)2i (2jk2)2,min(2 je ako ,2)2,2min(je ako ,

θθθθθθθθπθθθθπθθπθθπθθπθθθθθθ

θ rrrr

rrrr

e⎪⎩ −−−<+−+− )2,min(2je ako ,2 πθθθθπθθπθθ rrrr


Dijagram odvijanja procesa evolucije prikazan je na 39/79sljedećoj slici. 39/79

0.35

0.3

e

0.25

a do

brot

e

0.2

Funk

cija

0 1

0.15

0 10 20 30 40 500.1

Broj generacija


Parametri nelinearnog backstepping algoritma dobiveni 40/79g pp g gprimjenom opisanog genetskog algoritma su:p = 1.9934, q = 0.0530, f = 9.8615, g = 2.9956,

40/79

Sistem upravljanja pozicijom i brzinom robota u Simulinku:

Xex

ey

e1ev τRrxr

τR

Xc

Ycθ

Xc'ey

eθ

e2

eθ

yr

θr

wr

Xc

Yc'

θ'

xdθ/ddx/dtdy/dt

v

wθ

e3

e T *e

ew τLr

Regulator

vr

Referent.trajektor

τL yx'y'

DinamikaBackstepping

v=Tv*q' em=Te*eq Regulator

brzine trajektor. Dinamika

robotaBackstepping

algoritam


Glavni nedostatak predloženog backstepping regulatora 41/79p g pp g gje što na početku slijeđenja virtualnog robota upravljački momenti rapidno rastu ako inicijalna pozicija virtualnog (referentnog) robota ne pripada pravcu koji je određen

41/79

(referentnog) robota ne pripada pravcu koji je određen pozicijom robota i njegovom inicijalnom orijentacijom.

1

0 0.5

virtualni robot

Jedan od načina rješavanja navedenog nedostatka je

-1 5

-1 -0.5

y [m

]

robot

navedenog nedostatka je modificiranje upravljačkog zakona (*), odnosno j hib idi ij

-2.5 -2

-1.5 njegova hibridizacija.

-3 -2 -1 0 1 -3 x [m]

11.4. Hibridni backstepping regulatorModifikacija upravljačkog zakona (*) se obavlja pomoću sljedećih izraza [Lačević i Velagić, 2005]:

42/7942/79

)())(1()()()()()()( 11

ttttttuttu α+

=

Funkcija ω (t) se generira pomoću strukture

)())(1()()()( 22 tttuttu sωαα −+=

Funkcija ωs(t) se generira pomoću strukture prikazane na slici.

K0

1(t)

1s

1/T1 d(t) ws(t)d(t)

Hibridni backstepping regulatorFunkcija d(t) je dana sa:

43/7943/79))())(),((atan2(sgn)( ttetetd xy θ−=

dok je funkcija α(t) određena sljedećom diferencijalnom jednadžbom:

)()()()(12

2

0 tztdt

tdbdt

tdb =++ ααα

gdje z(t) predstavlja skokovitu funkciju oblika:

dtdt

gdje z(t) predstavlja skokovitu funkciju oblika:

[ ]⎨⎧ =∈∃

=))(),((atan2)(:,0,1

)( 1111 tetetttAKOtz xyθ

⎩⎨= ostale za ,0

)(tz

Hibridni backstepping regulatorNa ovaj način robot prvo rotira oko svoje osi sapovećanjem ugaone brzine ωs(t) dok ne "ugleda"

44/79virtualnog robota. Nakon toga robot započinje slijediti virtualnog robota,

44/79

što je predočeno sljedećom slikom. 0.5

0virtualni

robot Usmjeravanje mobilnog robota prema virtualnom

-0.5

y [m

] robota prema virtualnom robotu u početnoj konfiguraciji.

-1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

x [m]

Hibridni backstepping regulatorSimulacijska shema

45/7945/79

Hibridni backstepping regulatorUsporedba rezultata hibridnog i običnog backstepping regulatora

46/7946/79


47/7947/79


48/7948/79

1

1.2hibridni BS regulatorBS reg lator

0.8

1

ate

[m]

BS regulator

0 4

0.6

x ko

ordi

na

0.2

0.4

ogre

ška

x

0 2

0

Po

0 5 10 15-0.2

Vrijeme [s]


49/7949/79

1.4hibridni BS regulator

1

1.2

e [m

]

gBS regulator

0.6

0.8

koor

dina

te

0 2

0.4

greš

ka y

k

0

0.2

Pog

0 5 10 15-0.2

Vrijeme [s]


50/7950/79

2.5hibridni BS reg lator

1.5

2

ad]

hibridni BS regulatorBS regulator

0.5

1

enta

cije

[ra

-0.5

0

greš

ka o

rije

-1.5

-1Pog

0 5 10 15-2

Vrijeme [s]


51/7951/79

200 desni kotac

Backstepping regulator

100

200lijevi kotac

0

100

nt [N

m]

-100

Mom

e

-200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Vrijeme [s]


52/7952/79

4d i k t

Hibridni backstepping regulator

2

3desni kotaclijevi kotac

0

1

i [N

m]

-1

0

Mom

ent

-3

-2

0 5 10 15-4

Vrijeme [s]


53/7953/79

60 desni kotac

Backstepping regulator

40

lijevi kotac

20

aga

[W]

-20

0Sna

-40

0 5 10 15Vrijeme [s]


54/7954/79

6

8x 10

4

desni kotaclij i k t

4

6 lijevi kotac

0

2

ergi

ja [W

]

-4

-2Ene

-8

-6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 18

Vrijeme [s]

11.5. Neizraziti regulator pozicijeU primjeru se razmatra dvorazinski sistem upravljanja mobilnim robotom [Lačević, Velagić i Osmić, 2007;

55/79Lačević i Velagić, 2011], prikazan na sljedećoj slici.Upravljački sistem se sastoji od podređene regulacijske

55/79

petlje brzine mobilnog robota i nadređene regulacijske petlje pozicije mobilnog robota.

Regulator brzine

Dinamika robota i

τ eu u q&

Tv

ve qr Tp

f(e,θ) brzine pogona

q

p f

Neizraziti regulator pozicije

)(qSq&

∫q&

Neizraziti regulator pozicije

56/79

U nastavku će biti prikazana sinteza neizrazitogregulatora pozicije koji osigurava kvalitetno

56/79praćenje zadane trajektorije, uz relativno male norme aktuacijskih veličina.Odabrana je Sugenova konfiguracija nultog reda sadva ulaza i dva izlaza [Lačević, Velagić i Osmić,2007; Lačević i Velagić 2011] prikazana na slici2007; Lačević i Velagić, 2011] prikazana na slici.

Neizraziti regulator pozicijeUlazi i1 i i2 su odabrani na sljedeći način:

57/792222 57/792222

211 yx eeeei +=+=

))2(( θfi

gdje je funkcija f dana sa:

)),atan2((2 θ−= xy eefi

gdje je funkcija f dana sa:

( ) ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛= tanatan2 xxf

Očit j d l i d t lj t t d lj t

( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

=2

tanatan2xf

Očito je da ulaz i1 predstavlja trenutnu udaljenost mobilnog robota od virtualnog robota. Ulaz i2 je ugao koji zaklapaju pravac orijentacije robota i pravac kojikoji zaklapaju pravac orijentacije robota i pravac koji spaja mobilnog robota sa virtualnim robotom.

Neizraziti regulator pozicijeFunkcija f služi da taj ugao svede na interval (-π, π].

58/794

58/79

2

0

2

f

I l i i d t lj j k d li i-15 -10 -5 0 5 10 15

-4

-2

xIzlazi o1 i o2 predstavljaju komande za linearnu i ugaonu brzinu robota. Ul i i i i ć d li ti d ij t idUlazi i1 i i2 će se modelirati sa dvije trapezoidne, odnosno pet trokutastih funkcija pripadnosti. A i i k j d t lj j ij d ti ihApscisne osi, koja predstavljaju vrijednosti ovih varijabli će se respektivno determinirati sa jednim (a1) i sa šest parametara (b b b b b i b ) koji ćei sa šest parametara (b1, b2, b3, b4, b5 i b6), koji će predstavljati po jedan binarni kromosom.

Neizraziti regulator pozicijeProizvoljno postavljene funkcije pripadnosti ulaznih varijabli.

59/7959/79

dnos

ti

VE MA 1

upan

j pri

pad

Stu

i1 0 2a1

nost

i

NV NM ZE PM PV1

panj

pri

padn

Stup

i2

-π π 0 b2 b3 b4 b5 b6 b1

Neizraziti regulator pozicijeProizvoljno postavljene funkcije pripadnosti izlaznih varijabli.

60/7960/79

dnos

ti

NA MNA ST MNP NP 1

upan

j pri

pad

Vrijednosi izlaznih

Stu

o1 -2 0 c2 c3 c4 c5 2 c1

varijabli o1 i o2determiniraju se pomoću parametara c1,

nost

i

DE PR LE 1

p p 1c2, c3, c4 i c5, odnosno d1, d2 i d3

panj

pri

padn

Stup

o2 -2 0 2 d1 d3 d2

Neizraziti regulator pozicijeNakon determiniranja, formiran je potpun skup od 10 pravila:

61/7961/79

AKO (i1 je MA) I (i2 je NV) ONDA (o1 je MNA) (o2 je DE)AKO (i1 je MA) I (i2 je NM) ONDA (o1 je MNP) (o2 je DE)AKO (i1 je MA) I (i2 je NM) ONDA (o1 je MNP) (o2 je DE)AKO (i1 je MA) I (i2 je ZE) ONDA (o1 je ST) (o2 je PR)AKO (i1 je MA) I (i2 je PM) ONDA (o1 je MNP) (o2 je LE)AKO (i1 je MA) I (i2 je PM) ONDA (o1 je MNP) (o2 je LE)AKO (i1 je MA) I (i2 je PV) ONDA (o1 je MNA) (o2 je LE)AKO (i1 je VE) I (i2 je NV) ONDA (o1 je NA) (o2 je DE)AKO (i1 je VE) I (i2 je NV) ONDA (o1 je NA) (o2 je DE)AKO (i1 je VE) I (i2 je NM) ONDA (o1 je NP) (o2 je DE)AKO (i1 je VE) I (i2 je ZE) ONDA (o1 je NP) (o2 je PR)( j ) ( j ) ( j ) ( j )AKO (i1 je VE) I (i2 je PM) ONDA (o1 je NP) (o2 je LE)AKO (i1 je VE) I (i2 je PV) ONDA (o1 je NA) (o2 je LE)

Neizraziti regulator pozicijeParametri koji određuju funkcije pripadnosti neizrazitog regulatora su kodirani u binarni

62/79kromosom i podvrgnuti evoluciji, dok je skup pravila bio nepromjenjiv.

62/79

Svaki parametar je u kromosomu predstavljen sa po 12 bita.

a1 b1 b2 b3 b4 b5 b6 c1 c2 c3 c4 c5 d1 d2 d3

Za funkciju cilja korištena je sljedeća funkcija:

3 t ⎤⎡( )( )

[ ]( )

[ ]( ))(max)(max1ln

,0,0

3

1 0

tatadtteaF LttLRttRi

t

iiss

s

ττ∈∈

=

⋅+⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=∑ ∫

gdje je .

⎦⎣

1,16,1,5,1 321 ====== LRs aataaa

Neizraziti regulator pozicijeKod podešavanja parametara funkcija pripadnosti ulaznih i izlaznih varijabli cilj je bio smanjiti

63/79(ograničiti) momente desnog i lijevog kotača, uz istovremeno dobro slijeđenje referentne trajektorije.

63/79

U tom smislu je izabrana složena trajektorija trifolijumskog oblika. Za optimizaciju funkcija pripadnosti korišten je jednostavan genetski algoritam sa veličinom populacije od 51 jedinke turnirskom selekcijompopulacije od 51 jedinke, turnirskom selekcijom, uniformnim križanjem, bitovnom mutacijom sa uključenim elitizmom. jNakon sprovedenog postupka evolucije genetskim algoritmom dobivene su funkcije pripadnosti ulaznih g j p pi izlaznih varijabli prikazanih na sljedećim slajdovima.

Neizraziti regulator pozicijeFunkcije pripadnosti ulaznih varijabli

64/7964/79

Neizraziti regulator pozicijeFunkcije pripadnosti ulaznih varijabli

65/7965/79

1NV ZE PVNM PM

0.8

osti

0 4

0.6

nj p

ripad

no

0.2

0.4

Stu

pan

0

-3 -2 -1 0 1 2 3i2

Neizraziti regulator pozicijeFunkcije pripadnosti izlaznih varijabli

66/7966/79

1

1.2NA MNA ST MNP NP

0.8

1

0.6

upan

j pa

dnos

ti

0.2

0.4Stu

prip

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

oo1

Neizraziti regulator pozicijeFunkcije pripadnosti izlaznih varijabli

67/7967/791.2

DE PR LE

0.8

1

0.6

nj nost

i

0 2

0.4

Stu

pan

prip

adn

-2 5 -2 -1 5 -1 -0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 50

0.2

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5o2

Neizraziti regulator pozicijeBitna karakteristika ovako koncipiranog regulatorapozicije je da su njegovi izlazi inherentno ograničeni.

68/79Mana ovakvog koncepta je nemogućnost praćenja trajektorija koje podrazumijevaju veće brzine od

68/79

onih koje regulator može "predložiti". S druge strane, prednost leži u činjenici da aktuacijske veličine (konkretno brzine, a posljedično i momenti) ne mogu izaći iz unaprijed definiranih okviraokvira. Na temelju evoluiranih funkcija pripadnosti i odabranih pravila zaključivanja dobivaju se dvijeodabranih pravila zaključivanja dobivaju se dvije karakteristične upravljačke površine, po jedna pridružena svakom izlazu, predočene su slikama na p , psljedećem slajdu.

Neizraziti regulator pozicijeUpravljačke površine

69/7969/79

Neizraziti regulator pozicijeSimulacijski rezultati

Početno stanje robota je [x y θ] = [-1 -1 3π /4], a virtualnog b [0 0 0] 70/79robota [0 0 0].

Na slici je prikazano praćenje referentne trajektorije, gdje je kretanje referentnog virtualnog robota prikazano punom linijom

70/79

kretanje referentnog virtualnog robota prikazano punom linijom a stvarnog pomoću strelica.


71/7971/79


72/7972/79


73/7973/79


74/7974/79


75/7975/79


76/7976/79


77/7977/79

3

4

2

3

0

1

uL(N

m)

-1

0 tau

3

-2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

t(s)


Sa slika se zapaža da robot jako dobro prati 78/79p j preferentnog robota i da je u stanju, bez obzira što nije krenuo iz iste tačke kao i referentni, za veoma kratko

ij h titi j k t j

78/79

vrijeme uhvatiti njegovo kretanje. Ovo se dobro vidi na slikama na kojima su prikazani d i i i k di todzivi x i y koordinata.

Osim u početnom dijelu, zbog različitih startnih tačaka u cijelom vremenskom intervalu praćenjatačaka, u cijelom vremenskom intervalu praćenja gotovo da i nema odstupanja koordinata stvarnog od koordinata referentnog robota.koordinata referentnog robota. U prilog ovoj prići idu rezultati orijentacije robota prikazani.prikazani.


Kako je ranije naglašeno, glavni cilj sinteze 79/79Kako je ranije naglašeno, glavni cilj sinteze neizrazitog regulatora bio je smanjiti aktuacijske veličine (brzine, odnosno momente) koje djeluju

79/79

( ) j j jna kotače mobilnog robota, uz istovremeno dobro slijeđenje pozicije referentnog virtualnog robota.Ovaj cilj je u potpunosti ostvaren, a to j j jpotkrepljuju rezultati u odzivima brzina (slajdovi 74 i 75), odnosno momenata (slike 76 i 77).

lekcija 11: upravljanje kretanjem mobilnogkretanjem

Documents