matematika15.wordpress.com lembar aktivitas … · · 2016-08-3110. latihan 2 1. tentukan nilai a...
TRANSCRIPT
Matematika15.wordpress.com
1 King’s Learning Be Smart Without Limits
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – MATRIKS
Nama Siswa : ___________________
Kelas : ___________________
A. PENGERTIAN MATRIKS
1) Tabel berikut menyatakan nilai yang di peroleh oleh 3 tim bola
basket dari SMU yang berbeda dari 5 pertandingan bola basket
yang diikuti.
Jika data pada tabel di atas hanya dituliskan bilangan saja,
kemudian susunan bilangan diberi tanda kurung, maka akan
diperoleh
………. Bentuk (1)
2) Lihat tabel berikut dan lengkapi.
JIka hanya koefisien peubahnya saja yang dituliskan, kemudian
diberi tanda kurung maka diperoleh
……………… Bentuk (2)
Bentuk (1) dan (2) merupakan sebuah matriks, maka dapat
disimpulkan
Notasi dan Ordo Matriks
Lengkapilah isian berikut!
Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital,
misalnya:
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom
yang terdapat di dalam matriks tersebut.
Dengan demikian matriks m x n adalah sebagai berikut.
Jenis-jenis Matriks
1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris,
sehingga berordo 1 x n. berikan 3 contoh matriks baris dengan
ordo yang berlainan.
A = B =
C =
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu
kolom, sehingga berordo m x 1. berikan 3 contoh matriks baris
dengan ordo yang berlainan.
P = Q = R =
Matriks adalah ……………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………
Matematika15.wordpress.com
2 King’s Learning Be Smart Without Limits
3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan
kolomnya sama, sehingga berordo m x m. berikan 3 contoh
matriks baris dengan ordo yang berlainan.
D = E = F =
4. Matriks transpose
Transpose dari suatu matriks A ditulis dengan At atau A’ adalah
suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris
matriks A menjadi kolom pada matriks A’ atau seballiknya.
Contoh:
Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika
ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang seletak
juga sama.
Contoh:
matriks A = a cb d
, matriks B = p rq s , jika A = B maka:
a = p
b = q
c = r
d = s
Latihan 1
1.
2.
3.
4.
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
3 King’s Learning Be Smart Without Limits
8.
Jawab:
9.
Jawab:
10.
Tentukan nilai a dan b.
Jawab:
11.
Tentukan nilai a + b + y .
Jawab:
B. OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
“Jumlah atau selisih dua matriks yang sama ukurannya (ordo
sama) sama dengan matriks baru dengan menjumlahkan atau
mengurangkan elemen-elemen seletaknya”
Contoh:
(Penjumlahan)
a. a cb d
+ p rq s =
a + p c + rb + d d + s
b.
c.
(pengurangan)
d.
e.
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Latihan 2
1.
Jawab:
2.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
4 King’s Learning Be Smart Without Limits
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
8.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
5 King’s Learning Be Smart Without Limits
9.
Jawab:
10.
Jawab:
11.
Jawab:
12.
Jawab:
13.
Jawab:
14. 2x − 1 3
−1 y + 2 +
y 1−2 x + 1
t
= 2 10 4
.
Tentukan Nilai y –x.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
6 King’s Learning Be Smart Without Limits
2. Perkalian Matriks
Perkalian matriks ada dua jenis, yaitu perkalian matriks dengan
skalar dan perkalian antarmatriks.
a) Perkalian Matriks Dengan Skalar
Perkalian matriks dengan real k hasilnya matriks yang
diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan
bilangan k.
Contoh:
Jawab:
a.
b.
c.
Latihan 3
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
7 King’s Learning Be Smart Without Limits
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
8.
Jawab:
9.
Jawab: 10.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
8 King’s Learning Be Smart Without Limits
11. Dik: A = −1 21 34 −2
, B = 1 5
−1 32 −2
, dan C = 4 2
−3 13 −1
Jika 3A – 5B + D = 2C, tentukan D.
Jawab:
b) Perkalian Dua Matriks
Metode menggabungkan dua matriks ini disebut Perkalian
Matriks. Aturannya adalah “kalikan matriks baris dengan kolom
dan jumlahkan hasilnya”
Catatan:
Contoh:
a. 2 11 0
−1 2 .
1 −1 02 1 2
10
= … + … … + … … + …… + … … + … … + …… + … … + … … + …
… + …… + …… + …
=
… … … … … …… … … … … …… … … … … …
… …… …… …
b.
Perpangkatan Matriks Persegi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks
persegi, maka An = A x A x A x …… A (sebanyak n faktor) atau
dapat juga dituliskan An = A X A
n-1 atau A
n = A
n-1 x A.
Sifat-sifat perkalian dua matriks
jika matriks A, B, dan C serta k ∈ Bil. Real, berlaku sifat-sifat
berikut:
a. anti komutatif: A.B ≠ B.A
b. distributif kiri: A (B ± C) = (AB ± AC)
c. distributif kanan: (B ± C) A = (BA ± CA)
d. asosiatif: (i) A(BC) = (AB)C
(ii) k (AB) = (kA).B = A.(kB)
e. I.A = A.I = A , dimana I adalah matriks Identitas
f. Jika A.B = O, belum tentu A = O atau B = O, dimana O = matriks
nol
g. Jika AB = AC, belum tentu B = C
h. ((AB)T = B
TA
T
Latihan 4
1.
Jawab:
2.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
9 King’s Learning Be Smart Without Limits
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
8.
Jawab:
9.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
10 King’s Learning Be Smart Without Limits
10.
Jawab:
11.
Jawab:
12.
Jawab:
13.
Jawab:
14.
Jawab:
15.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
11 King’s Learning Be Smart Without Limits
16.
Jawab:
17.
Jawab:
18.
Jawab:
19.
Jawab:
20.
Jawab:
21.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
12 King’s Learning Be Smart Without Limits
22. diketahui A = 2 1 0
−2 3 2 , B =
3 0 0−1 −3 4
, dan
C = 4 1 −12 −1 3
, bila F(x,y,z) = 2x – 3y + z. Tentukan
f(A-2B, 3C, B+A–2C) ?
Jawab:
23. A = −5 7−3 4
, tentukan hasil A + A2 + A
3 + … + A
45 + A
46 + A
47 ?
Jawab:
C. DETERMINAN MATRIKS
Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu
bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks
persegi A dinotasikan dengan |A|.
1. Matriks Berordo 2x2
Contoh:
3 45 7
= (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = ……..
−2 4−3 6
= (…... x ……) – (…… x …...) = ….. – …… = ……..
2. Matriks berordo 3x3
Aturan Sarrus
Contoh:
2 3 41 5 76 8 9
= ( …… + …… + …… ) – (…… – …… – ……)
= ……......... – ……………… = ………….
Matematika15.wordpress.com
13 King’s Learning Be Smart Without Limits
Metode Ekspansi Kofaktor
a. Ekspansi Baris
Contoh: (Baris 1)
2 3 41 5 76 8 9
= …. … … … … – ….
… … … … + ….
… … … …
= ………… – ………….. + ……………
= ……………
b. Ekspansi Kolom
Contoh: (kolom 3)
2 3 41 5 76 8 9
= …. … … … … – ….
… … … … + ….
… … … …
= ………… – ………….. + ……………
= ……………
Catatan:
Matriks Singular adalah matriks yang determinannya adalah 0.
Sifat-sifat determinan matriks
a. |A| = |AT|
b. |kA| = kn |A|, Matriks A berordo (n x n)
c. |AB| = |A|. |B|
d. |An| = (|A|)
n
e. Jika salah satu baris atau kolom dari matriks A dikalikan k
maka determinannya menjadi: k.|A|
f. Jika baris ke-i ditukarkan dengan baris ke-j atau kolom-m
ditukarkan dengan kolom ke-n, maka determinannya menjadi:
(-1) x determinan semula.
g. apabila baris ke-i ditambah k dikali baris ke-j atau kolom ke-n
ditambah k kali kolom ke-n, maka tidak mengubah determinan
matriks (operasi baris/kolom tidak mengubah nilai
determinan).
h. apabila ada dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan,
maka determinannya sama dengan nol.
i. apabila ada baris atau kolom yang semua nilai elemennya nol,
maka determinannya sama dengan nol
Latihan 5
1.
Jawab
2.
Jawab:
3.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
14 King’s Learning Be Smart Without Limits
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
8.
Jawab:
9.
Jawab:
10.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
15 King’s Learning Be Smart Without Limits
11.
Jawab:
12. sin 𝑥 cos 𝑥 1
0 1 01 cos 𝑥 sin 𝑥
= ….
A. cos2 x D. sin
2 x
B. - sin2 x E. - cos
2 x
C. 1
Jawab:
13. Matriks A berordo 3x3 dan mempunyai determinan 2, maka
determinan dari matriks (2A) adalah …
A. 16 C. 18 E. 5
B. 12 D. 36
Jawab:
14. Jika A = 0 0 0
15 −5 821 −8 31
, maka nilai |-3A| = …
A. 9 D. 0
B. 3 E. -3
C. 1
Jawab:
15. A = 2 73 10
maka |A2016
| = ….
Jawab:
16. Jika A = −2 5−1 3
, B = 12 2 51 −8 3
24 4 10 ,
maka nilai |3.A25
| - 325
.|BT|= ….
Jawab:
A. - 9 D. 0
B. - 3 E. 3
C. - 1
17. Jika |A| = 1
2, |B|= -3 , dan matriks A dan B berordo 2x2
tentukan:
a. 2 .|A|. |B2|
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
16 King’s Learning Be Smart Without Limits
b. |2A|.|B.A|
Jawab:
c. |A3| . |12.B
T|
Jawab:
d. |6.AT |
|B|
Jawab:
18. Jika a b cd e fg h i
= 6, tentukan nilai:
a. d e fa b cg h i
= …
b. 2a 2b 6cd e 3fg h 3i
= …
c. a b c
d − 2a e − 2b f − 2cg + a h + b i + c
= …
d. a + 3c b c − 2bd + 3f e f − 2eg + 3i h i − 2h
= …
D. INVERS MATRIKS
Pengertian Invers Matriks
Jika A = 3 72 5
, B = 5 −7
−2 3 , dan I =
1 00 1
, tentukanlah:
A.I = … …… … .
… …… … =
B.I = … …… … .
… …… … =
A.B = … …… … .
… …… … =
B.A = … …… … .
… …… … =
Invers dari matriks B ditulis B-1
, sedangkan invers matriks A
dituliskan dengan A-1
.
Invers Matriks Berordo 2x2
Contoh:
A = 3 1
15 6
A-1
= 1
…. − …. x
… … … … =
… … … …
Sifatsifat invers matriks:
a. (A.B)-1
= B-1
.A-1
b. A.A-1
= A-1
.A = I: matriks identitas
c. Jika A.B = I maka A-1
= B atau B-1
= A
d. |A-1
| = 1
|A|
e. (At)
-1 = (A
-1)
t
f. (A-1
)-1
= A
Latihan 6
1.
Jawab:
Matriks A disebut invers dari matriks B jika AxB=BxA=I,
dengan I adalah matriks identitas
Matematika15.wordpress.com
17 King’s Learning Be Smart Without Limits
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
8.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
18 King’s Learning Be Smart Without Limits
9. A = a − 1 2a + b c
dan B = −2 −14 3
, Jika A-1
= Bt, nilai b+c adalah ….
A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0 Jawab:
10. A = 2a − 1 b + 2
−4 3a + b dan B =
3 −4−1 1
, Jika A-1
= Bt,
Tentukan nilai b? Jawab:
11. Jika |AT| = -3, |B| =
1
2 , dan matriks A dan B berordo 2x2.
Tentukanlah: a. |2A
T|. |B
-1| = …
b. 3|A.B
-1| = …
c. |-2.A
-1.B| = …
d. 12 |A−1|
B−1 = …
Invers Matriks Berorodo 3x3
Jika maka:
Contoh:
Jika matriks A = 1 2 31 3 31 2 4
, maka A-1
= …….
Jawab:
|A| = ……………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………
A-1
=
Matematika15.wordpress.com
19 King’s Learning Be Smart Without Limits
Latihan 7
1.
Jawab:
2. Matriks A = 1 3 10 3 11 2 1
jumlah elemen-elemen baris pertama
dari invers matriks A adalah…
A. -2 D. 1
B. -1 E. 2
C. 0
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
20 King’s Learning Be Smart Without Limits
3. Matriks A = 1 2 31 3 31 2 4
, maka 2.A-1
adalah…
A. 6 −2 −3
−1 1 0−1 0 1
D. 12 −4 −6−2 2 0−2 0 2
.
B. 6 −2 −3
−2 2 0−2 0 2
E. 6 −2 −3
−2 2 0−1 0 1
C. 12 −4 −6−1 1 0−1 0 1
Jawab:
4. Matriks A = 6 −2 −3
−1 1 0−1 0 1
, maka jumlah kuadrat unsur
pada baris ketiga dari invers matriks A adalah…
A. 21 D. 49
B. 14 E. 34
C. 7
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
21 King’s Learning Be Smart Without Limits
E. PERSAMAAN MATRIKS BENTUK AX = B dan XA = B
Penyelesaiaan persamaan matriks AX = B adalah X = A-1
.B
Penyelesaiaan persamaan matriks XA = B adalah X = B.A-1
Contoh:
Tentukan X supaya: 2 33 5
X = 64 .
Misal A = 2 33 5
, maka A-1
= 1
………….− …………
… … … …
= … … … …
AX = B maka: X = A-1
.B = … … … … . 6
4 . =
… …
Contoh:
Tentukan X supaya: X 3 54 7
= 1 42 5
.
Misal A = 3 54 7
, maka A-1
= 1
………….− …………
… … … …
= … … … …
XA = B maka: X =B. A-1
= 1 42 5
. … … … … =
… … … …
Latihan 8
1.
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Matematika15.wordpress.com
22 King’s Learning Be Smart Without Limits
Jawab:
7.
Jawab: 8. A, B, dan C adalah matriks bukan nol. Jika
ACB = B – A, maka C = … A. A
-1 + B
-1 D. A
-1 – B
-1
B. (AB)-1
E. (A+B)-1
C. (A+B) T
Jawab:
9.
Jawab: 10.
Jawab:
11.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
23 King’s Learning Be Smart Without Limits
12.
Jawab:
F. MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN
LINEAR
1) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:
Latihan 4
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
24 King’s Learning Be Smart Without Limits
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
2) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
(PENGAYAAN)
SPLTV di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:
Dapat diselesaikan dengan:
Latihan 5