Leseprobe

zu

Maschinenelemente

Formeln

von Decker

ISBN (Buch): 978-3-446-45031-8

ISBN (E-Book): 978-3-446-45306-7

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Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktionstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Maße, Abmaße und Toleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9ISO-Toleranzsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Rauheit der Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Festigkeitsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Allgemeine Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Hertz’sche Pressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Beanspruchbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kerbwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Betriebsfestigkeit nach der FKM-Richtlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Schmelzschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Berechnung der Spannungen in Schweißnähten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Schweißverbindungen im Maschinen- und Gerätebau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Pressschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Punktschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Buckelschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Lötverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Berechnung von Lötverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Berechnung von Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Berechnung von Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Grundlagen der Berechnung zylindrischer Pressverbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Berechnung bei rein elastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Berechnung bei elastisch-plastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Einpresskraft und Fügetemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Spannelementverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Klemmverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Befestigungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Vordimensionierung und �berschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Schraubenanziehmoment, Anziehfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Nachgiebigkeit von Schraube und Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Berechnung: Bleibende Verformung durch Setzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Berechnung: Betriebskräfte Zug, Druck und Schwingungen auf vorgespannte Schraubenverbindungen 66Haltbarkeit der Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Standardisierte Vorgehensweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Berechnung querbeanspruchter Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11 Bewegungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Gewinde, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Berechnung der Haltbarkeit und der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12 Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Längskeilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Passfederverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Keilwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Zahnwellenverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Polygonwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kegelverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Stirnzahnverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

13 Stift- und Bolzenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Gelenkstifte oder Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Steckstifte unter Biegekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Querstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Längsstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Federsteifigkeit, Federarbeit, Schwingverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Zusammenwirken mehrerer Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten oder Stäben . . . . . . . . . . . . . . . 80Tellerfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Spannungen in den Punkten OM, I bis IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Gewundene Schenkelfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Stabfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Spiralfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Blattfedern als Biegefedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Ringfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Luftfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

15 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Biegemomente, Längskräfte und Torsionsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98�berschlagsrechnung auf Torsion und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Achsen und Wellen gleicher Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Verdrehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Kritische Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . . . . . . . 108

16 Tribologie: Reibung, Schmierung und Verschleiß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Schmieröle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

17 Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Radiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Axiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

18 Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Tragfähigkeit und Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Berechnung von Kegelrollen- und Schrägkugellagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Besondere Belastungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Grenzdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Schmierung der Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

19 Lager- und Wellendichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

20 Wellenkupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Kupplungsmomente bei Ausgleichskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Reibungskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

21 Grundlagen für Zahnräder und Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141�bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Evolventenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Inhaltsverzeichnis 7

22 Abmessungen und Geometrie der Stirn- und Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Außenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Innenverzahnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Schrägverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Profilverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Geometrische Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Profilüberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Geradverzahnte Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Schräg- und bogenverzahnte Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

23 Gestaltung und Tragfähigkeit der Stirn- und Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkräfte an Stirnrädern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkräfte an Kegelrädern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Wirkungsgrad und Gesamtübersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Gestaltung der Räder aus Stahl und aus Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Gestaltung der Räder aus Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Schmierung, Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Allgemeine Einflussfaktoren für die Tragfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Zahnfußtragfähigkeit der Stirnräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Grübchentragfähigkeit der Stirnräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Zahnfußtragfähigkeit der Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Grübchentragfähigkeit der Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Berechnung der Räder aus thermoplastischen Kunstoffen auf Tragfähigkeit und Verformung. . . 175

24 Zahnradpaare mit sich kreuzenden Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Eingriffsverhältnisse von Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Wirkungsgrad und Zahnkräfte an Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Tragfähigkeit von Schraub-Stirnradpaaren, Schmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Geometrie der Schneckenradsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Wirkungsgrad und Zahnradkräfte an Schneckenradsätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Gestaltung der Schnecken und Schneckenräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Schmierung von Schneckenradsätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Tragfähigkeit von Schneckenradsätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

25 Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Kettenräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Schmierung der Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

26 Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Theoretische Grundlagen für Riementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Riemenscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Geometrie der Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189�bersetzung, Riemengeschwindigkeit, Biegefrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Berechnung der Antriebe mit Leder- und Geweberiemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Berechnung von Antrieben mit Mehrschichtriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Spannrollentrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

27 Keilriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Berechnung der Antriebe mit Keilriemen und Keilrippenriemen . . . . . . . . . . . . . . . 194

28 Synchron- oder Zahnriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196�bersetzung und Geometrie der Synchronriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Berechnung von Antrieben mit Synchron- oder Zahnriemen . . . . . . . . . . . . . . . . 198

29 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Temperaturbedingte Längenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Berechnung von Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Inhaltsverzeichnis8

Vorwort

Diese Formelsammlung ist eine Ergänzung zu der im gleichen Verlag erschienenen 20. Auf-lage des tausendfach bewährten Lehrbuches „Decker, Maschinenelemente“. Sie enthält ineiner übersichtlichen Anordnung alle wichtigen Gleichungen zur Berechnung von Maschinen-elementen. Bei der Vielzahl an Formeln für die Bemessung und den Festigkeitsnachweis vonMaschinenelementen ist es zweckmäßig, eine Zusammenfassung in kompakter Form zur Ver-fügung zu haben, was auch von vielen Benutzern des Lehrbuches gewünscht wurde. Mit derFormelsammlung kann ohne das Lehrbuch gearbeitet werden.Die Systematik und die Gleichungsnummern stimmen vollständig mit dem Lehrbuch überein,ebenso die Bezeichnungen der zu berechnenden Größen. Ihre Bedeutung ist erläutert, dievorzugsweise anzuwendenden Einheiten sind angegeben. Zum besseren Verständnis der Zu-sammenhänge wurden Bilder eingefügt. Die Angabe von Normen und andere wichtige Hin-weise, die beim Berechnen von Maschinenelementen zu beachten sind, ergänzen das Ange-bot der Berechnungsunterlagen.Auf die Tabellen und Diagramme für erforderliche Werte von Festigkeiten, Sicherheiten, zu-lässigen Spannungen, Berechnungsfaktoren, Reibzahlen, Normteil- und Profilabmessungen,Toleranzen und dergleichen wird hingewiesen. Alle für die Berechnungen benötigten Wertebefinden sich ausnahmslos im Tabellenband, der dem oben genannten Lehrbuch beigefügtist.Mit dieser Formelsammlung liegt eine Arbeitshilfe vor, die eine rationelle Lösung von Auf-gabenstellungen zur Berechnung von Maschinenelementen während des Studiums und in derPraxis ermöglicht. Sie ist deshalb besonders geeignet für Klausuren und Prüfungsarbeiten.Auch für das Durchrechnen von �bungsaufgaben bietet sie Vorteile, da ein aufwendigesBlättern im Lehrbuch entfällt.Hierzu wird auf die im gleichen Verlag erschienene Aufgabensammlung „Decker/Kabus,Maschinenelemente – Aufgaben“ hingewiesen. Dieses bewährte Buch mit �bungsaufgabenzur Berechnung von Maschinenelementen ist vollständig auf das Lehrbuch abgestimmt. ZurAbrundung kann eine Vielzahl von Informationen und kostenlosen Zusatzmaterialien zumDecker Gesamtwerk unter www.hanser-fachbuch.de/decker nachgeschlagen werden.Verfasser und Bearbeiter hoffen, dass die Formelsammlung allen Benutzern eine wertvolleHilfe sein wird. Allen Kolleginnen und Kollegen sagen wir hiermit herzlichen Dank für ihreRatschläge, auch Frau Ute Eckardt vom Carl Hanser Verlag für die gute Zusammenarbeit.

Frank RiegFrank WeidermannGerhard Engelken

Reinhard HackenschmidtBettina Alber-Laukant

1 Konstruktionstechnik

Maße, Abmaße und Toleranzen

Oberes Abmaß ES ðbzw: esÞ ¼ Go �N , Unteres Abmaß EI ðbzw: eiÞ ¼ Gu �N ,Istabmaß Ai ¼ I �N ,Maßtoleranz T ¼ Go �Gu oder T ¼ ES � EI ðbzw: es� eiÞN Nennmaß, I Istmaß, Go Höchstmaß, Gu Mindestmaß

Allgemeintoleranzen nach DIN ISO 2768-1 (siehe Tab. 1.7).

ISO-Toleranzsystem

Für die Grundtoleranzgrade IT 5 bis IT 18 und Nennmaße bis 500 mm:

Toleranzfaktor i ¼ 0,45ffiffiffiffi

D3pþ 0,001 D in mm ð1:1Þ

und für Nennmaße über 500 mm bis 3150 mm:

Toleranzfaktor I ¼ 0,004 Dþ 2,1 in mm ð1:2Þ

D ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

D1 �D2p

geometrisches Mittel aus den Zahlenwerten der Grenzwerte D1 und D2 des Nenn-maßbereichs.

Eine ISO-Grundtoleranz T ist ein Vielfaches des Toleranzfaktors i bzw. I (siehe Tab. 1.2).Die errechneten Werte sind nach vorgegebenen Regeln zu runden, und zwar die nachGl. (1.1) bis 100 mm auf 1 mm, bis 200 mm auf 5 mm und bis 500 mm auf 10 mm genau.Verbindliche Werte der Grundtoleranzen bis 3150 mm sind in DIN EN ISO 286-1 angegeben(Auszug siehe Tab. 1.2). Für Nennmaße über 3150 mm gilt weiterhin DIN 7172.

Passungen

Spielpassung

Höchstspiel Sg ¼ ES � ei ¼ GoB �GuW ð1:3Þ

Mindestspiel Sk ¼ EI � es ¼ GuB �GoW ð1:4Þ

Bild 1.1 Maße und Abmaßea) an einer Welle,b) an einer Bohrung

1

�bermaßpassung

Höchstübermaß Ug ¼ es� EI ¼ GoW �GuB ð1:5Þ

Mindestübermaß Uk ¼ ei � ES ¼ GuW �GoB ð1:6Þ

�bergangspassung

Höchstspiel Sg nach Gl. (1.3) und Höchstübermaß Ug nach Gl. (1.5)

ES, EI, es, ei oberes und unteres Abmaß der Bohrung bzw. der Welle,GoB, GuB, GoW, GuW Höchstmaß und Mindestmaß der Bohrung bzw. der Welle.

Toleranz der Passung

Passtoleranz Tp ¼ Sg � Sk bei Spielpassung ð1:7Þ

Tp ¼ Sg þUg bei Übergangspassung ð1:8Þ

Tp ¼ Ug �Uk bei Übermaßpassung ð1:9Þ

Tp ¼ TB þ TW allgemein ð1:10Þ

Auswahl von Passungen siehe Tab. 1.9.

Rauheit der Oberflächen

Rauheitsmessgrößen

Arithmetischer Mittenrauwert Ra (kurz Mittenrauwert) ¼ arithmetisches Mittel derabsoluten Beträge der Profilabweichungen y von der Mittellinie innerhalb derGesamtmessstrecke ln (Bild 1.2a).

Gemittelte Rautiefe Rz ¼ ðZ1 þ Z2 þ Z3 þ Z4 þ Z5Þ=5 als arithmetisches Mittel ausden Einzelrautiefen Zi fünf aneinander grenzender Einzelmessstrecken le (Bild 1.2b).

Maximale Rautiefe Rmax ¼ größte der auf der Gesamtmessstrecke ln vorkommendenEinzelrautiefen Zi, z. B. Rmax ¼ Z5 im Bild 1.2b.

Näherungsweise gilt Ra � 0,1 Rz und Rz � Rmax.

1 Konstruktionstechnik10

1

Bild 1.2 Rauheitskenngrößena) Arithmetischer Mittelrauwert Ra, b) Einzelrautiefen als Grundlage für die Bestimmung der ge-mittelten Rautiefe Rz und von Rmax

3 Festigkeitsberechnungen

Kräfte

allg: Kraft F ¼ m � a ð3:1Þ

F in N Kraftm in kg Massea in ms2 Beschleunigung

Mehrere Einzelkräfte können im Spezialfall unter Anwendung des Satzes des Pythagoras zueiner Resultierenden zusammengefasst werden

F2R ¼ F21 þ F22 ! FR ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F21 þ F22q

ð3:2Þ

F in N Kraft

Momente

allg: Moment M ¼ F � l ð3:3Þ

M in Nm MomentF in N Kraftl in m Hebelarm

In der Statik können damit sechs Gleichgewichtsbedingungen für den Raum aufgestellt wer-den.

X

FX ¼ 0X

FY ¼ 0X

FZ ¼ 0 ð3:4Þ

X

MX ¼ 0X

MY ¼ 0X

MZ ¼ 0 ð3:5Þ

FX in N Kraft in x-RichtungFY in N Kraft in y-RichtungFZ in N Kraft in z-RichtungMX in Nm Moment um x-AchseMY in Nm Moment um y-AchseMZ in Nm Moment um z-Achse

3

Allgemeine Festigkeitsberechnung

Die Spannung s ist ein Maß für die Beanspruchung.

Spannung s ¼ FA

ð3:6Þ

s in Nmm2 Spannung

F in N KraftA in mm2 beanspruchte Querschnittslänge

Die Verformung (z. B. Verlängerung eines Stabes infolge einer Zugkraft) bezogen auf denAusgangszustand (Ausgangslänge des Stabes) liefert ein dimensionsloses Maß für die auftre-tende Verformung, die sog. Dehnung e:

Dehnung e ¼ �ll0¼ l1 � l0

l0ð3:7Þ

e in - Dehnung�l in m Verlängerung/Verkürzungl0 in m Ausgangslängel1 in m Länge im belasteten Zustand

Der Zusammenhang zwischen der Beanspruchung, also der inneren Spannung s, und derDehnung e wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Im Falle eines isotropen, linear-elasti-schen Materials gilt beispielsweise:

s ¼ E � e ð3:8Þ

s in Nmm2 Spannung

E in Nmm2 E-Modul

e in - Dehnung

Beanspruchungen

Grundbeanspruchungsarten

Zugbeanspruchung sz ¼FzA

Druckbeanspruchung sD ¼FDA

Flächenpressung p ¼ FA

bzw: ð3:9Þ

p ¼ FAproj

ðbspw: Zapfen in einer LagerschaleÞ ð3:10Þ

Biegebeanspruchung sb zð Þ ¼MbIy� z ð3:11Þ

maximalen Biegespannung sb;max ¼MbWb;y

ð3:12Þ

3 Festigkeitsberechnungen12

3

Schubbeanspruchung tm ¼QA

ð3:13Þ

Torsionsbeanspruchung tt zð Þ ¼MtIt� z ð3:14Þ

maximalen Torsionsspannung tt;max z ¼D2

� �

¼MtIt�D

2¼Mt

Wtð3:15Þ

F in N KraftA in mm2 beanspruchte QuerschnittsflächeAproj in mm2 beanspruchte projizierte Querschnittsfläche (siehe ME Bild 3.23)s in Nmm2 Spannung

t in Nmm2 SpannungMb in Nmm BiegemomentI in mm4 Flächenträgheitsmomentz in mm RandfaserabstandWb in mm3 BiegewiderstandsmomentQ in N QuerkraftMt in Nmm TorsionsmomentIt in mm4 TorsionsflächenträgheitsmomentWt in mm3 Torsionswiderstandsmoment

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Die Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand berechnen sich wie folgt:

s1 ¼sx þ sy

2þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

sx � sy2

� �2þ t2xy

r

ð3:16Þ

s2 ¼sx þ sy

2�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

sx � sy2

� �2þ t2xy

r

ð3:17Þ

Bild 3.1 erläutert die Spannungskomponenten.

Y

X

YX

Y

YX

*

X

1

2

Bild 3.1 Ebener Spannungszustand (links) und Hauptnormalspannungen mit Hauptachsensystem (rechts)

Die Art und Weise der �berführung des mehrachsigen Spannungszustands in den einachs-igen ist abhängig von der Richtung der Spannungskomponenten.

Beanspruchungen 13

3

Sind die Komponenten gleich gerichtet, wie es der Fall bei auftretender Zug-/Druck- zusam-men mit Biegebeanspruchung ist, können die Spannungskomponenten mit dem aus der Me-chanik bekannten Superpositionsprinzip zusammengefasst werden.

smax ¼ sZ þ sb;maxsmin ¼ sZ � sb;max

Zur �berführung in den einachsigen Spannungszustand gibt es grundsätzlich eine Reihe vonFestigkeitshypothesen, in der Praxis haben sich jedoch folgende Hypothesen bewährt:Normalspannungshypothese:

Die Hauptspannungen werden nachfolgend mit s1, s2 und s3 bezeichnet und sind absteigendsortiert, sodass s1 die größte Hauptspannung darstellt.

Vergleichsspannung sV ¼ s1j j < K ð3:18Þ

Vergleichsspannung im mehrachsigen Spannungszustand sV ¼ smax ¼ 2 � tmax ð3:19Þ

sV in Nmm2 Spannung

s1 in Nmm2 Spannung

smax in Nmm2 Spannung

tmax in Nmm2 Schubspannung

K in Nmm2 Werkstoffkennwert

Gestaltänderungsenergiehypothese:

Für den räumlichen Spannungszustand ergibt sich die Vergleichsspannung wie folgt:

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ s2y þ s2z � sx � sy þ sy � sz þ sx � sz� �

þ 3 � t2xy þ t2yz þ t2zx� �

r

ð3:20Þ

Die Vergleichsspannung für den zwei- und einachsigen Spannungszustand vereinfacht sich zufolgenden Gleichungen:

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ s2y � sx � sy þ 3 � t2xyq

ð3:21Þ

sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

s2x þ 3 � t2xyq

ð3:22Þ

3 Festigkeitsberechnungen14

3

Knickung

Knickung kann bei schlanken (wesentlich kleinere Querschnittsfläche im Vergleich zur Stab-länge) druck und/oder torsionsbelasteten Stäben auftreten.

Maßgeblich beeinflusst wird die Knickung von der Querschnittsfläche und vom Flächenträg-heitsmoment I, woraus sich der Trägheitsradius i ergibt:

Knickung i ¼ffiffiffiffi

IA

r

ð3:23Þ

i in mm TrägheitsradiusI in mm4 FlächenträgheitsmomentA in mm2 Querschnittsfläche

Schlankheitsgrad l ¼ lKi

ð3:24Þ

lK in mm freie Knicklänge nach Bild 3.2l in - Schlankheitsgrad

F F F F

l

l K = 2 l l K = 1/2 ll K = l

I II III IV

l K = 1/2√2 l

Bild 3.2 Die vier Knickfälle nach Euler

Im Anschluss an die Berechnung des Schlankheitsgrads ist zum Vergleich der Grenzschlank-heitsgrad lGrenz zu ermitteln:

Grenzschlankheitsgrad lGrenz ¼ pffiffiffiffiffiffi

Esp

s

ð3:25Þ

E in Nmm2 E-Modul

sp in Nmm2 Proportionalitätsgrenze

Unter Verwendung des Schlankheitsgrads l und des Grenzschlankheitsgrads lGrenz erfolgt dieDifferenzierung zwischen der elastischen Knickung nach Euler und der unelastischen Kni-ckung nach Tetmajer:

l < lGrenz : Knickung nach Tetmajer ð3:26Þ

Knickung 15

3

0_9783446450318_Deckblatt1_9783446453067_Inhalt2_9783446453067_Vorwort3_9783446453067_LPR