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G. Bosia - Fisica del plasma confinato Lezione 4 1

Lezione 7Collisioni tra particelle e loro effetti

G. BosiaUniversita’ di Torino


Processi collisionali

Le collisioni tra particelle sono i meccanismi che danno origine ai processi di diffusione e di trasporto di particelle ed energia nel plasma. Sono inoltre responsabili per la resistività macroscopica del plasma.

L’ analisi di questi processi e’ complessa perché gli effetti macroscopici sono il risultato integrato di diversi tipi di collisione fra particelle di velocità e masse diverse , che incidono a angoli diversi delle collisioni

In un plasma coesistono due o più specie di particelle ionizzate (elettroni e vari tipi di ioni che possono interagire con collisioni a lungo range (lunghezza di scala : λD = 7.5 102 (T/n)1/2 cm -3) elastiche, come le collisioni columbiane e-e, e-i, i-i…. o anelastiche (scambio di carica , ricombinazione-ionizzazione, (lunghezza di scala: raggio di Bohr : a0 ~ 5 10-9 cm) , reazioni nucleari (lunghezza di scala : 5 10-13cm). L’ incidenza sui fenomeni macroscopici dipende dalle sezioni d’ urto dei vari processi .

I processi collisioni Coulumbiani (scattering Rutherford) sono i meccanismi a piu’ alta sezione d’ urto in plasmi termonucleari e saranno pertanto presi in considerazione.in questa lezione.


Scattering RutherfordIl processo di scattering Rutherford tra una particella di massa m1 e carica Z1e ed una particella di massa m2 e carica Z2 e’ studiata imponendo la conservazione di energia ed impulso durante la collisione.

Richiamiamo le formule fondamentali:

Il moto nel sistema di riferimento del centro di massa delle due particelle che collidono puo’ essere rappresentato da quella di una particella fittizia di massa (“ridotta”)

in moto nel campo di forze. Se il campo di forza e’columbiano F( r) ~ r--2 , la traiettoria e’ iperbolica con direzione asintotica

Dove b e’ il parametro d’ urto e b0 il parametro corrispondente ad un impatto a 90°

µm1 m2⋅

m1 m2+

b 0

Z 1 Z 2⋅ e2⋅

µ v2⋅

(VII-1)

(VII-2)

v m.1 v.1⋅ m.2 v.2⋅+

m.1 m.2+

tanθ2

b 0 v( )

bb.0

q.1 q.2⋅

4 π⋅ ε.0⋅1

µ v2⋅

⋅con


Scattering Rutherford

Le particelle che incidono con un parametro d’ urto b - b+db sono deflesse ad un angolo θ − θ+dθ, ovvero nell’ angolo solido dΩ = 2π sin(θ)|dθ|. Pertanto la sezione d’urto differenziale relativa alla diffusione nell’ angolo θ, dσ sara’:

dσ =2πbdb =2πb(db/dθ) db

Se si introduce la sezione d’urto di diffusione per unita’ di angolo solido

σ = (dσ/dΩ) = (b|db/dθ|)/sin(θ)

Si arriva alla sezione d’urto di diffusione

che Rutherford utilizzò per dimostrare la struttura orbtale dell’ atomo di H.

(VII- 3)

Geometria di scattering

(VII- 4)

(VII- 5) σb0

2

4 sinθ2

4

⋅

q1 q2⋅

8 π⋅ ε0⋅ µ⋅ v2⋅ sin

θ2

2

⋅

2


Effetti delle collisioni

Note :

1) La forte dipendenza da θ della sezione d’ urto fa prevedere che, nel nostro caso di collisioni multiple, l’ effetto dello scattering a piccoli angoli sia molto piu’ importante di quelli di scattering a grandi angoli.

2) σ cresce come v –4. Dato che le collisioni che avvengono per unita’ di tempo e’ proporzionale a <vσ>, e’ prevedibile che gli effetti collisionali diminuiscano all’ aumentare della temperatura. A parità di densità in un plasma di alta temperatura ci sono meno collisioni. Questo effetto ha conseguenze pratiche importanti.

3) Se fissiamo v e θ , σ decresce all’ aumentare del parametro di collisione b. Pertantodovremo attenderci che per collisioni con b > λD non vi sia una significativa interazionecollisionale tra particelle.

4) Il parametro b0 e’ assunto come lunghezza di scala di avvicinamento tra le particelle che collidono e dipende dal tipo di particelle che urtano. Per una collisione elettrone-protone µ ~ me , b0 ~ e2/mev2 , e σ90 ~ π b0 = π e2/mev2… Pertanto in un plasma di protoni ed elettroni avvengono tre tipi di collisione con parametri d’ urto diverse: ione –ione, elettrone-elettrone, elettrone-ione, ione-elettrone)



6) In un plasma completamente ionizzato lo scattering a 90° in seguito ad urto singolo e’ molto meno probabile di una deflessione finale a 90° gradi dovuta ad una successione stocastica di deflessioni a piccoli angoli, perché il raggio di interazione effettivo di una singola carica e’ ~ λD e per plasmi a temperature di interesse termonucleare e’ λD >> b0. La maggior parte degli eventi di diffusione avviene pertanto ad angoli << 90°


Collisioni multiple

Valutiamo, sulla base dei risultati ottenuti, gli effetti di collisioni multiple in un plasma completamente ionizzato Dalle 2) per piccoli angoli:

In un processo stocastico di collisioni multiple, la diffusione delle particelle rispetto la direzione di origine avviene secondo l’ angolo quadratico medio

Dove F(θ) e’ il numero di collisioni ad angolo θ e θ +d θ compresi tra un valore minimoθmin e un valor massimo θ max

Se n e’ la densita’ di particelle per unita’ di volume del plasma con cui una particella in arrivo interagisce, il numero di collisioni all’angolo θ e θ +d θ e’ pari al numero di collisioni che avvengono con parametro d’urto compreso tra b e b+db e pertanto, su una distanza L:

θ min

θ max

θθ2

F θ( )⋅⌠⌡

d< θ2>

F θ( ) dθ n L⋅ σ θ( )⋅ dΩ n L⋅ 2⋅ π⋅ b⋅ db⋅

(VII- 6)

(VII- 7)

(VII- 8)

θ2 b.0⋅

b

q.1 q.2⋅

2 π⋅ ε.0⋅ b⋅ µ⋅ v2⋅


Collisioni multipleSostituendo la 2) e 4) nella 7) si ottiene :

La quantita’ ln(Λ)Λ)Λ)Λ) = viene spesso indicata come “logaritmo di Coulomb”

Λ−−> ∞ per bmax --> ∞ (ovvero per qmin --> 0) . Questo e’ dovuto al lungo range del potenziale columbiano (~1/r). Nel nostro caso tuttavia e’ stato dimostrato che il raggio di interazione collisionale di una singola carica con quelle circostanti e’ λD ed e’ quindi naturale assumere:

bmax= λD

Il valore minimo bmin (θ < θmax) si sceglie tenendo conto che, dato l’ andamento della sezione d’ urto, si considerano solo piccoli angoli, che corrispondono a parametri di impatto superiori a un certo valore.

Se si assume

(ovvero si considerano solo angoli θ < π/2),

<θ 2>(VII- 9)

(VII-10) bmin= b0

q1 q2⋅

4 π⋅ ε0⋅1

µ v2⋅

⋅

= n L⋅ 2⋅ π⋅ b.0⋅θ.min

θ.max

θθ2

F θ( )⋅⌠⌡

d

⋅ n L⋅ 8⋅ π⋅ b.02⋅

b.min

b.max

b1

b

⌠⌡

d⋅ n L⋅ 8⋅ π⋅ b.02⋅ lnΛ⋅


Collisioni multipleSi ottiene infine :

Se si pone < θ 2> = (π/2)2 nella 9) , utilizzando i valori della 10) si ottiene la distanzache un la carica deve percorrere per essere deflessa di 90° in una successione di piccoli urti

A cui corrisponde una sezione d’urto effettiva :

Se ora si confronta con la sezione d’urto ad urto singolo che produce una deflessione di 90°

e dato che per un plasma termonucleare quantità ln(Λ) ∼ 20 e’ molto più probabile che una carica diffonda a 90°per effetto di collisioni multiple che per effetto di una collisione singola

(VII-12)L 90°

π

32 n⋅ b o2⋅ ln Λ( )

σ 90°1

n L 90°⋅32

πb 0

2⋅ ln Λ( )⋅

σ 90°

σ s.90°8

2

π

2

⋅ ln Λ( )⋅

(VII-11)

(VII-13)

(VII-15)



Per una collisione elettrone-protone µ ~ me , b0 ~ e2/mev2 , e’:

σ90 ~π b0 = π e2/mev2 = 2.6 10-18/W (cm2) con

W = ½mv2 (keV)

A temperature normalmente ottenute in un plasma di interesse termonucleare σ90 e’molto più grande della sezione d’ urto di una reazione di fusione.

Per esempio se poniamo W = 30 keV

σ90 = 10-21 cm2 contro σ D-T = 10-25 cm2

Questo mostra che i fenomeni di diffusione, che sono competitivi con il confinamentoordinato del plasma e pertanto sono responsabili dei fenomeni di trasporto dell’ energia e delle particelle, influiscono in un modo essenziale sulle condizioni di confinamento di un plasma termonucleare.


Parametri relativi alle collisioni

Associati alla lunghezza caratteristica di scattering multiplo ci sono diversi altri parametri

:Libero cammino medio di collisione λλλλ mfp = 1/nσσσσche , se la carica viaggia a velocita’ v e’ percorso in un

:Tempo collisionale ττττcoll= λλλλ mfp /v = 1/nvσσσσ

Il parametro inverso e’ la:Frequenza di collisione ννννcoll = 1/ττττcoll = nvσσσσche e’ il parametro piu’ usato.

In particolare e’ significativo, per stabilire la “collisionalita” di un plasma la quantita’

Frequenza di collisione media <ννννcoll> > > > = 1/ττττcoll = n <v σ(σ(σ(σ(v)>)>)>)>


Valori numerici dei parametri di collisione

Il valore numerico dei tempi di collisione dipende dalle componenti del plasma che interagiscono: Per esempio assumendo per l.c.m. la lunghezza L 90 si ottengono le frequenze di collisione elettrone-elettrone e ione-ione

Con

Per plasmi termonucleari di idrogeno Zi = 1; mi = mp Te = Ti =10 keV n=1014

cm-3

νe.e4

3n⋅ e

4⋅2 π⋅

me T3⋅

⋅ ln Λe( )⋅ 2.91 106−⋅

ne

Te1.5

⋅ ln Λe( )⋅ cm3−

eV⋅( )⋅

ν i.i4

3n⋅ Zi e⋅( )4⋅

2 π⋅

mi T3⋅

⋅ ln Λ i( )⋅ 6.75 108−⋅

ni Zi4⋅

Ti1.5

⋅ ln Λ i( )⋅ cm3−

eV⋅( )⋅

ν e.e

ν i.i

mi

me

νe.e 5 kHz⋅ νp.p 166Hz

(VII-16)

(VII-17)


Valori numerici dei parametri di collisione

Le frequenze di collisione danno una misura della velocità degli scambi energetici all’ interno della stessa specie e t6ra specie diverse.

Le collisioni elettrone ione νe.i hanno frequenze abbastanza vicine a quelle elettrone-elettrone (νe.i ~ νe.2 ) perché la massa ridotta della collisione e ‘ circa uguale a quella elettronica e neZi = ne.

Le differenze sono dovute a fattori numerici che appaiono nei log(Λ).

Le collisioni ione-elettrone hanno invece frequenze di collisione diverse, perché l’ angolo di diffusione nel sistema di riferimento del laboratorio e’ molto diverso da quello nel centro di massa

Si può dimostrare che:

ν i.e

me

mi

ν ei⋅me

miν i.i⋅

(VII-18)


Perdite di energia per collisione Nel corso di una singola collisione, l’ energia cinetica e l’ impulso della particella sono modificati. La variazione di energia cinetica di una particella di massa m1 e velocità v1, deflessa ad un angolo θ da una massa m2 inizialmente a riposo, si ricava dalla cinematica della collisione alla Rutherford

Si e’ anche visto che l’ effetto collisionale più importante a provocare la diffusione delle particelle a grande angolo e’ quello di collisione multipla. Per calcolare le perdite di energia e’ pertanto necessario sommare le perdite elementari per tutti i parametri d’ urto. Per piccoli angoli di scattering (b/b0 = b/ b90° >>1) si ottiene :

ossia:

Si definisce una frequenza di collisione per perdita di energia :

(VII-16) ∆Kθ

(VII-17)

(VII-18)


Perdite di impulso per collisione

. La variazione di impulso (in direzione x) di una particella di massa m1 e velocità v1, deflessa ad un angolo θ da una massa m2 inizialmente ferma (v2 = velocità dopo l’ urto), si ricava dalla cinematica della collisione alla Rutherford

Per il calcolo delle perdite di impulso e’ pertanto necessario sommare le perdite elementari per tutti i parametri d’ urto come fatto per le perdite di energia cinetica. Per piccoli angoli di scattering (b/b0 = b/ b90° >>1) si ottiene :

Pertanto la frequenza di collisione per perdite di impulso e’:

θ(VII-19)

(VII-20)


Rapporti fra frequenze di collisione

Si noti che il rapporto :

(VII-21)

vale:

(VII-22)

Dalla terza condizione si deduce che lo scattering di elettroni causa prevalentemente con una variazione di angolo

p

K

νν

se

se

se


Sommario di frequenze di collisione

Applicando le formule precedenti per il caso di collisioni tra elettroni e ioni, si ottiene:

(VII-23)

La frequenza di collisione per perdite di energia e’ un indice di velocità di scambio di energia e di rallentamento delle componenti del plasma. Viene utilizzato per calcolare i tempi di equilibrio delle temperature the specie diverse

La frequenza di collisione per perdite di impulso e’ un indice della perdita di velocità in una direzione. Viene utilizzata per calcolare la mobilità, la viscosità la resistività e la diffusione particelle e di energia .


Frequenze di collisione per una distribuzione maxwelliana di particelle

Nelle pagine precedenti si sono calcolate le frequenze di collisione per urti in cui una delle particelle e’ a riposo. Il calcolo degli stessi parametri per un plasma in equilibrio termodinamico si ottiene mediando le quantità ottenute su una distribuzione di velocita’ di tipo maxwelliano :

(VII-24)

Per esempio la perdita totale di impulso per elettroni che perdono impulso per collisioni con ioni e’ data da

(VII-25)

con;

(VII-26)

come calcolato precedentemente


Frequenze di collisione per un plasma maxwelliano

Si ottiene per le perdite di impulso :

(VII-27)

E per le perdite di energia:

(VII-28)


Un elettrone veloce che si muove in un plasma perde momento ed energia cinetica per collisioni con elettroni ed ioni con frequenze di collisione :

(VII-29)

In assenza di altre forze l’ equazione del moto e’

(VII-30)

ossia si muove sotto l’ effetto di una forza di attrito

(VII-31)

:

Effetti di Run Away


Effetti di RunawaySi noti che:

• Per Z=1 la perdita di velocità e’ 2/3 sugli elettroni e 1/3 sugli ioni

• La forza di attrito decresce con la velocità

Se il plasma e’ in un campo elettrico E, gli elettroni sono accelerati da una forza

(VII-32)

E sono possibili due casi :

Pertanto al di sopra di una energia

(VII-33)

gli elettroni sono continuamente accelerati e la forza di attrito decresce progressivamente

gli elettroni sono decelerati

gli elettroni sono accelerati


Resistenza di plasma

Un insieme di elettroni in campo elettrico e’ accelerato dal campo e rallentato dalle collisioni. Dato che il movimento degli elettroni e’ di insieme essi non perdono impulso per collisioni e-e ma solo per collisioni con gli ioni del plasma.La legge del moto e’ pertanto:

(VII-34)

A velocità costante :

(VII-35)

Il moto genera una corrente:

(VII-36)

Il plasma si comporta come un mezzo conduttore con conduttività :

(VII-37)


Resistività di plasma

Pertanto:

(VII-38)

Ossia :

(VII-39)

Che viene chiamata “Resistività di plasma”

•Note:

• η η η η e’ inversamente proporzionale a T 3/2

• η η η η non dipende dalla densità del plasma


Resistività di Spitzer

(VII-39)

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