DETERMINISMO

CASO

CAOS

Riflettiamo un attimo …• La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i

fenomeni naturali e le interazioni dei costituenti della materia.

• Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il problema il più semplice possibile, cercando di individuare le caratteristiche fondamentali del fenomeno in studio e trascurando il resto.

• Ad esempio: lo studio del moto di un grave o di un pendolo, trascurando l’attrito

• Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi, ma si basa sull’idea, non sempre valida, che basta scomporre un oggetto o un fenomeno in quelle che sono le sue parti fondamentali per spiegarne il suo comportamento complessivo

• Non è sempre realistico descrivere con semplici figure geometriche (coni,cerchi,cubi,triangoli, ecc.) gli oggetti che vogliamo studiare

• Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono sempre debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con termini non lineari. Ad ad esempio a differenza della semplice forza elastica F = −kx che contiene solo un termine lineare, è spesso più realistico considerare dei termini quadratici o di ordine superiore

• Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti.

• I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a prima vista possa spesso sembrare ….

Basta guardarsi intorno.

In realtà …

DETERMINISMO CLASSICO• Scriveva Laplace (1814):

Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di più fosse abbastanza profonda per sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.Noto lo

stato del sistema a

t=t0

Conosco lo stato del sistema a

ogni tempo t successivo

Pierre Simon de Laplace(1749-1827)

Tutto ciò si pone in palese contrasto con la realtà che ci

circonda. Perchè• il moto della pallina alla roulette• il moto di una piuma che cade• il tempo che farà fra due settimane• il gocciolamento di un rubinetto• i terremoti

sembrano essere dominati dal caso e sfidano la nostra

possibilità di previsione, nonostante siano tutti fenomeni

descrivibili con leggi deterministiche?

Come conciliare l’assunto fondamentale di Laplace con

l’apparente irregolarità di questi e altri fenomeni?

Una maniera potrebbe essere quella di pensare che molti fenomeni sembrano irregolari a causa delle difficoltà di calcolo dovute ad esempio al fatto che l’evoluzione temporale del sistema è data da un numero molto grande di equazioni.

Magari con l’uso di computers abbastanza potenti riusciamo a risolvere il problema

L’irregolarità la possiamo pensare quindi solo come “apparente”

(dovuta a un numero molto grande di cause ognuna delle quali è però semplice)

Il moto browniano:moto di un granello di polline immerso in un liquido a

temperatura TSecondo l’impostazione meccanicistica:

scriviamo le equazioni che governano il moto di tutte le molecole e del granello e conosceremo tutto del nostro sistema.

Ma quante equazioni dovremmo scrivere?

Langevin propone di scrivere una sola equazione per il moto del granello che tenga conto della forza media dovuta all’attrito col fluido e degli urti delle molecole.

Passiamo ad un approccio di tipo statistico che ci permette di fare previsioni.

Ad esempio, Einstein determinò il coefficiente di diffusione …

Un nuovo approccio per lo studio di sistemi a molte

particelle:• Con la nascita della meccanica statistica si

rinuncia alla descrizione e previsione dei sistemi termodinamici in termini accurati e si passa ad un tipo di previsioni di tipo statistico.

• Si passa a considerare i valori medi delle grandezze fisiche.

• Questo approccio permette di determinare molte proprietà macroscopiche a partire dalla conoscenza delle interazioni microscopiche tra le particelle

Schemi probabilistici diversi:Probabilità di tipo epistemica, vale a

dire dovuta all’ignoranza delle precise condizioni iniziali e di tutte le

condizioni al contorno del processo Rispecchia la posizione del matematico

francese Pierre-Simon de Laplace

Il Caso

Il Caos

Gli ostacoli sferici per il potere defocalizzante delle superfici curve fanno sì che piccole

differenze iniziali vengano amplificate ….dopo pochi rimbalzi due traiettorie

inizialmente simili hanno una evoluzione completamente diversaRispecchia la posizione del matematico

Jules-Henri Poincaré

Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere, e allora diciamo che l’effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi. Ma non sempre è così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile e si ha un fenomeno fortuito.

Henri Poincarè (1854 – 1912)

Scriveva Poincarè in “Science et méthode”:

Altro schema:• Nello schema quantomeccanico non è il fatto che, per

esempio, il vettore di stato non sia mai determinabile con precisione assoluta o che la dinamica potrebbe essere del tipo che amplifica esponenzialmente gli errori a imporre che ci si debba accontentare di previsioni probabilistiche circa gli esiti dei processi di misura.

• L’aleatorietà degli esiti è incorporata nella struttura stessa del formalismo che, se assunto come completo, non consente neppure di pensare che, in generale, gli esiti siano, anche se in un modo a noi sconosciuto, predeterminati.

Torniamo al CAOS• Le certezze della fisica e di altre scienze della

natura vengono oggi messe in forse da una nuova serie di fenomeni caotici, mai osservati prima, sia per questioni di miopia e pigrizia mentale, sia per la mancanza di strumenti adeguati come il computer. Questi fenomeni si rifiutano di obbedire al paradigma della scienza classica, pur rimanendo in una cornice deterministica. Il caos, infatti, rende impossibili le predizioni non per una sua intrinseca natura indeterministica, ma per la sua estrema sensibilità alle condizioni iniziali, che dovrebbero essere date con una precisione impossibile.

(Ian Stewart, Dio gioca a dadi?)

Come si innescano i comportamenti caotici ed a che cosa sono dovuti?

I sistemi che consideriamo sono assolutamente deterministici, nel senso che i loro comportamenti sono regolati da equazioni dinamiche che in linea di principio consentono di calcolare ad ogni istante lo stato del sistema, se è esattamente noto lo stato iniziale.

Come è possibile che si manifestino comportamenti imprevedibili?

Forse è responsabile l’incertezza dello stato iniziale?• L’incertezza dello stato iniziale esatto di

un sistema deterministico può avere conseguenze drastiche sulla sua evoluzione successiva.

• Ma tutto ciò non si verifica per i sistemi lineari: stati iniziali che differiscono tra di loro di piccole quantità evolvono mantenendo limitata questa differenza, cioè danno luogo a traiettorie che rimangono vicine tra loro.

Facciamo un esempio di sistema lineare:Caduta di un grave:

azz 0)0( bvv 0)0(

)(21)0()0()( 2 tbagttvztz

btagtbttvazgtbttvazz 2221

21 2

002

00

Nota come z cresce linearmente con t

Note le condizioni iniziali:

Possiamo ricavare:

Pertanto ricaviamo:

La non linearità è un requisito necessario perché possa manifestarsi un comportamento caotico Per un sistema non lineare : un cambiamento,

anche piccolo, dello stato iniziale, aumenta esponenzialmente al passare del tempo; quindi due traiettorie vicine all’istante iniziale divergono esponenzialmente tra loro. Questo avviene di solito in un sistema dinamico non lineare per certi valori dei parametri che lo caratterizzano.

Sistemi caoticiSistemi non lineari

Sistemi dissipativi

Sistemi conservativi

Si contraggono in regioni limite del loro spazio delle fasi, cioè presentano un attrattore che ha un aspetto diverso a seconda se il sistema è regolare o caotico

Sia in quelli caotici che non, le traiettorie non si contraggono non convergono verso un attrattore, poiché rimangono confinati a superfici di energia costanti. Il volume nello spazio delle fasi si conserva

Sistemi caoticiSistemi non lineari

Sistemi dissipativi

Sistemi conservativi

Si contraggono in regioni limite del loro spazio delle fasi, cioè presentano un attrattore che ha un aspetto diverso a seconda se il sistema è regolare o caotico

Sia in quelli caotici che non, le traiettorie non si contraggono non convergono verso un attrattore, poiché rimangono confinati a superfici di energia costanti. Il volume nello spazio delle fasi si conserva

Stretching and folding• L’insorgere del caos

deterministico è legato alle trasformazioni che provocano stiramenti e ripiegamenti. Pensiamo al modo in cui un fornaio impasta. La pasta viene alternativamente spianata e ripiegata, per poi essere spianata nuovamente e così di seguito: una goccia di cioccolato immersa nella pasta si allunga ed il ripiegamento riporta vicini punti lontani. Questo insieme di stiramento e ripiegamento avviene per le traiettorie nello spazio delle fasi.

Ed ancora …• Poiché un sistema presenti un comportamento caotico,

deve essere un sistema non lineare, ma non tutti i sistemi non lineari sono necessariamente caotici.

• Partiamo dalla seconda legge della dinamica: da essa si può calcolare lo stato del sistema se tale stato è noto ad un certo istante. Partiamo dalle accelerazioni (F/m) ed integrando risaliamo alle v(t) e x(t). Vi sono sistemi per cui ciò in forma analitica non si può fare. Fu Poincarè che collegò tale risultato con il concetto di non integrabilità.

I sistemi lineari Sono integrabili

I sistemi non lineari Sono integrabili

Sono non integrabili e presentano comportamento caotico

Dunque, cosa è il caos deterministico ?

• Evoluzione temporale di un sistema deterministico con dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

• Non predicibilità dell’evoluzione del sistema a lungo termine

• Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano con crescita esponenziale, producendo traiettorie completamente imprevedibili.

l è l’esponente di Lyapunov

se l=0 la distanza si mantiene costante, se l<0 le traiettorie si avvicinano, se l>0 le traiettorie divergono

Si riconosce la presenza del caos in tutti i casi in cui si ottengono traiettorie limitate che

soddisfano le seguenti tre condizioni:• sensitività rispetto alle condizioni iniziali: partendo da due

diverse condizioni iniziali, arbitrariamente vicine tra loro, la distanza tra le rispettive traiettorie cresce esponenzialmente e, dopo un numero finito di iterazioni, diventa dello stesso ordine di grandezza della variabile di stato

• transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata, partendo da una generica condizione iniziale, ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi

• esistenza di infiniti cicli repulsivi, con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.

Le proprietà 2 e 3 implicano la 1 che è la più semplice ed evidente.

Esempi di caos deterministicoChe CAOS … !!!

Esempio di gioco caotico:Pendolo di Todd

Filmato

Pagina internet

Il pendolo caoticoFilmato 1

Filmato 2

Filmato 3

Filmato 4

Biliardo semplice

FilmatoFilmatoFilmato

Filmati in parallelo

Biliardo con ostacolo

Filmato

Filmato

Il matematico russo

Sinai ha provato inmaniera rigorosa

chequesto tipo di

biliardoè caotico

Detto anche biliardo di Sinai

Biliardo con ostacoli• Un tavolo da biliardo con

ostacoli fissi di sezione circolare presenta una sensibilità alta nella dipendenza dalle condizioni iniziali: una minima differenza nella direzione della velocità con cui una palla viene lanciata può tradursi dopo soli due o tre urti in traiettorie esponenzialmente divergenti.

Come mai avviene ciò?

Supponiamo di avere sullo stesso tavolo da biliardo una palla reale ed una immaginaria che occupano inizialmente la stessa posizione. Si spingono simultaneamente le due palle in direzioni leggermente diverse, ma con la stessa velocità. Le traiettorie della palla vere e della palla immaginaria formano dunque un certo angolo alfa. Vediamo che la distanza tra le due palle sarà proporzionale al tempo trascorso. Se il centro della palla reale e il centro della palla immaginaria, dopo un secondo, è di un micrometro, cioè un millesimo di millimetro, la loro distanza dopo venti secondi si sarà dilatata a venti micrometri che è ancora una distanza molto piccola.

Utilizziamo una analogia per cercare di capire

Dunque una riflessione su un bordo rettilineo del tavolo da biliardo non apporta niente di nuovo: le traiettorie riflesse formano lo stesso angolo alfa di prima e la distanza tra le due palle rimane proporzionale al tempo.

Ma se sul tavolo da biliardo ci sono ostacoli rotondi, che corrispondono a

specchi convessi ?

In realtà, in capo a un certo tempo, l’angolo diventa grande, le traiettorie si allontanano e, mentre una delle due palle urta un ostacolo, l’altra continua il suo moto senza incontrarlo. A partire da questo momento i due movimenti non hanno più alcun rapporto fra loro.

Dopo un nuovo urto contro un ostacolo rotondo, però, le traiettorie divergono, e formano un angolo alfa primo che sarà il doppio di alfa, dopo un nuovo urto divergeranno di un angolo quattro volte alfa. Dopo dieci urti, l’angolo sarà moltiplicato per 1024 e così via. Se si avrà un urto al secondo, l’angolo fra le traiettorie della palla reale e della palla immaginaria crescerà in modo esponenziale col tempo. Si può dimostrare matematicamente che anche la distanza tra le due palle crescerà in modo esponenziale col tempo: avremo così una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

Anche una semplicedeformazione dalla forma sferica può indurre una forte sensibilità alle condizioni iniziali.

Il biliardo a forma di stadio