lf t)} = f sks.zut.edu.pl/pliki/wzto_w4_sn2.pdf · 2010. 12. 18. · 1 stany nieustalone w obwodach...
TRANSCRIPT
-
1
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
Transformata Laplace'a (przekształcenie Laplace'a)
Transformatą Laplace'a oryginału funkcji f(t) nazywamy funkcję zespoloną F(s) zmiennej zespolonej s, określoną następującym wzorem całkowym:
F s=∫0
∞
f t e−st dt
L{f (t)} = F(s)
-
2
Skok jednostkowy 1(x)
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
3
Transformata skoku jednostkowego 1(t)
1s=∫0
∞
f t e−st dt=∫0
∞
1t e−st dt =∫0
∞
1e−st dt
=lima∞
∫0
a
1 e−st dt =lima∞ [ e
−st
−s ]0a
=−1s
lima∞ 1eas− 1e0 =1s
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
4
Najważniejsze własności przekształcenia Laplace'a
L[∫0t
f t dt]= F ss
Liniowość:L{a∙f(t) + b∙g(t)} = a∙L{f(t)} + b∙L{g(t)}
Różniczkowanie oryginału:L{f '(t)} = s∙F(s) – f(0)
Całkowanie oryginału:
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
5
Przesunięcie w dziedzinie oryginału:L{ f (t – t1) } = e-st1F(s)
Najważniejsze własności przekształcenia Laplace'a
Przesunięcie w dziedzinie obrazu:F(s – s0) = L{ e-s0t f (t) }
Mnożenie obrazu:F(s ) G(s) = L{ f (t) * g (t) }
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
6
Transformata funkcji eksponencjalnej
F s=∫0
∞
f t e−st dt=∫0
∞
e± t e−st dt =∫0
∞
e±−s t dt
=lima∞
∫0
a
e±−st dt =lima∞ [ e
±−st
±−s ]0a
= 1±−s
lima∞ 1e±−sa− 1e0 = −1s∓ lima∞ 1e±−sa− 1e0
= 1s∓
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
7
Transformaty funkcji trygonometrycznych
F s=∫0
∞
f t e−st dt=∫0
∞
sin t e−st dt =∫0
∞ e j t−e− j t
2je−st dt
= s22
F s=∫0
∞
f t e−st dt=∫0
∞
cos t e−st dt =∫0
∞ e j te− j t
2e−st dt
= ss22
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
8
Transformaty najczęściej używanych funkcji
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
9
Analiza stanów nieustalonych metodą operatorowąSchemat 1
1. Określamy warunek początkowy
2. Zapisujemy równanie dla obwodu (prawa Kirchhoffa, Ohma)
3. Przekształcamy równanie do postaci zależnej od s.
4. Rozwiązujemy równanie – wyznaczamy szukane wielkości.
5. Przekształcamy rozwiązanie do postaci czasowej.
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
10
Analiza stanów nieustalonych metodą operatorowąSchemat 2
1. Określamy warunek początkowy
2. Przekształcamy schemat do postaci zależnej od s.
3. Zapisujemy równanie dla obwodu (prawa Kirchhoffa, Ohma)
4. Rozwiązujemy równanie – wyznaczamy szukane wielkości.
5. Przekształcamy rozwiązanie do postaci czasowej.
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
11
Przekształcenie schematu
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
12
Odwrotna transformata Laplace'a
f t = 12 j ∫c− j∞
c j∞
F sest ds
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
f (t) = L -1{F(s)}
-
13
Zadanie 1
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
14
=Em
1T
ss 1T sL
L RLsU 1s=
E mT
1
s 1T 1
RLs
U 1s=E mT As 1T
BRLs Zadanie 1
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
A= 1RL−
1T
; B= −1RL−
1T
U 1s=E mT
1RL−
1T
1
s 1T
− 1RLs
U 1s=E m
RTL
−1 1s 1T −1
RLs
u1t =Em
RTL−1
e tT−e−RL t
-
15
Zadanie 2 (rozwiązane na laboratorium)
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
16
Zadanie 3
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
i 0= ER
, uC 0=0
RiL didt 1
C∫0t
i dt=E
RI sL [s I s−i 0] 1C [1s I s]= EsI s[RsL 1sC ]= Es ELRI s=
Es
ELR
RsL 1sC
=EL
EsR
s22
R2 LCZakładamy: I s=ER s s 22 E2L s 22i t = ER cos t E2 L sin te− ti t = E
RLCe− t cos t−
-
17
Zadanie 4 – przekształcenie schematu
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
18
Zadanie 5 – przekształcenie schematu
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
19
Zadanie 6
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
Narysować operatorowy schemat zastępczy i policzyć prąd I(s) oraz i(t)
Na podstawie schematu operatorowego układ najłatwiej można rozwiązać metodą potencjałów węzłowych.
-
20
Zadanie 7
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
21
Zadanie 8E = 10 VR = 1 ΩL = 1 HC = 1 F
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
22
Zadanie 9
Wykazać, że dla _ R1 = R2 = R = √ L / C Prąd i(t) = e(t) / R niezależnie od postaci napięcia zasilającego.
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
23
Zadanie 10
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
24
Zadanie 11
1) u1(t) = E2) u1(t) = Umcos(ωt)
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
-
25
Zadanie 12
u(t) = Umsin(ωt)
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych